L’energia 174 6.7 Energia potenziale 1. Si chiama energia potenziale di un corpo K il lavoro eventuale delle forze conservative ad esso applicate. Più precisamente: detta A la posizione di K e detta R una posizione di riferimento (scelta ad arbitrio) si chiama «energia potenziale di K in A rispetto a R » il lavoro che le forze conservative compirebbero in relazione a un eventuale trasferimento di K da A a R: [A] EPA (R) = LA R . In relazione poi alla specifica natura delle forze conservative che a K sono applicate (gravitazionali, elastiche, elettrostatiche e così via) l’energia potenziale di K si chiamerà gravitazionale, elastica, elettrostatica ecc. L’energia potenziale elastica, ad esempio, è il lavoro eventuale delle forze elastiche. 2. L’attribuzione ad un corpo di un’energia potenziale univocamente definita in funzione della posizione A del corpo e della posizione R di riferimento è naturalmente possibile solo quando il lavoro relativo allo spostamento da A a B non dipende dalla traiettoria seguita dal corpo: è per tale motivo che l’energia potenziale può essere riferita esclusivamente al lavoro delle forze conservative. 3. La ragione poi per la quale viene chiamato «energia potenziale » del corpo K il lavoro che le forze conservative applicate a K compirebbero in relazione a un ipotetico spostamento di K , risiede nel fatto che se, effettivamente, lo spostamento in questione si verifica, al lavoro delle forze fa riscontro un uguale incremento dell’energia cinetica di K. In altre parole, l’energia potenziale rappresenta un possibile incremento (naturalmente positivo o negativo) dell’energia cinetica: l’energia potenziale è energia cinetica in più o in meno allo stato di possibilità. [1] 4. È chiaro che, per una stessa posizione di K , al variare della posizione di riferimento R varia anche il valore dell’energia potenziale di K. Nell’idea di energia potenziale è quindi implicito un elemento di arbitrarietà. Tuttavia, le variazioni che l’energia potenziale di un corpo subisce quando il corpo si sposta da una posizione ad un’altra risultano del tutto indipendenti dalla scelta del riferimento (purché ovviamente l’energia potenziale iniziale e quella finale vengano valutate rispetto a uno stesso riferimento). Risulta infatti in ogni caso, quale che sia il riferimento R prescelto, [B] EPA (R) EPB (R) = L A B . Vale a dire: la diminuzione dell’energia potenziale (intendendosi per «diminuzione » la differenza tra il valore iniziale e il valore finale) è uguale al lavoro delle forze Importante: si eviti di definire l’energia potenziale di un corpo come il lavoro che le forze conservative «devono compiere per spostare » il corpo fino alla posizione di riferimento. Tale terminologia presuppone, in modo totalmente arbitrario, che l’eventuale spostamento del corpo sia l’effetto del lavoro compiuto dalle forze conservative ad esso applicate. Su tale questione si veda in 100 errori di Fisica il capitolo 45 («Chi è che compie il lavoro »). 1 L’energia 175 conservative (la diminuzione dell’energia potenziale elastica è uguale al lavoro delle forze elastiche, la diminuzione dell’energia potenziale gravitazionale è uguale al lavoro della forza gravitazionale, ecc.). Se il lavoro delle forze conservative è positivo, la diminuzione dell’energia potenziale è positiva, cioè il valore finale è inferiore a quello iniziale. Se il lavoro delle forze conservative è negativo, la diminuzione dell’energia potenziale è negativa, cioè l’energia potenziale è in realtà aumentata. 5. Tale importante teorema ha immediata dimostrazione: il lavoro delle forze conservative da A a B è uguale per qualsiasi percorso tra A e B, per valutarlo possiamo quindi anche scegliere un percorso che passa dalla posizione R di riferimento dell’energia potenziale. In tal modo, il lavoro complessivo risulterà uguale alla somma del lavoro da A fino a R e del lavoro da R fino a B. Il primo dei due termini non è altro che l’energia potenziale in A rispetto a R, il secondo non è altro che l’energia potenziale in B rispetto a R cambiata di segno: L A B = L A R + L R B = L A R L B R = EPA (R) EPB (R) . 6. Per un sistema di corpi, l’energia potenziale è il lavoro che le forze conservative agenti sui corpi del sistema compirebbero qualora, cambiando la posizione dei corpi del sistema, il sistema assumesse una determinata configurazione di riferimento (per esempio, qualora diventasse infinitamente grande la distanza tra ogni corpo del sistema e tutti gli altri). Il lavoro eventuale delle forze conservative interne (quelle con cui interagiscono tra loro i corpi del sistema) rappresenta l’energia potenziale interna, il lavoro eventuale delle forze conservative esterne (quelle che sono esercitate sui corpi del sistema da parte di corpi estranei al sistema) rappresenta l’energia potenziale esterna. Si immagini ad esempio di lanciare nel vuoto due corpi di massa m1 ed m 2 , uniti da una molla ideale [2] di costante k. L’energia cinetica del sistema è 1 2 l’energia potenziale interna (rispetto alla molla indeformata) è m1v12 + 1 2 1 2 m2v22, kx 2 (dove x rappresenta la deformazione della molla), l’energia potenziale esterna è m1gh 1 + m2 g h 2 (dove h 1 e h 2 sono i livelli delle due masse rispetto al livello di riferimento). 6.8 Conservazione dell’energia meccanica 1. È immediata la dimostrazione del seguente teorema: quando il lavoro delle forze non conservative è zero, l’energia complessiva (cinetica + potenziale) di un sistema fisico macroscopico (la cosiddetta energia meccanica del sistema) si mantiene a un valore costante. In tale eventualità infatti l’aumento dell’energia cinetica (uguale al lavoro di tutte le forze) e la diminuzione dell’energia potenziale (uguale al lavoro delle forze È una molla di massa trascurabile che si deforma senza riscaldarsi (e quindi senza dissipare energia). 2 L’energia 176 conservative) coincidono: di tanto aumenta l’energia in una forma, di altrettanto diminuisce nell’altra. 2. In particolare, l’energia di un sistema si conserva quando tutte le forze applicate al sistema sono conservative. Ma si osservi che tale condizione non è affatto necessaria. Ad esempio, quando un cilindro rigido ruota senza strisciare lungo un piano inclinato, le forze d’attrito (che impediscono al cilindro di scivolare) non compiono lavoro in quanto applicate a punti la cui velocità è zero: in assenza d’aria pertanto l’energia complessiva di tale oggetto ideale (cinetica + potenziale gravitazionale) si manterrebbe costante. 3. Se viene compiuto lavoro anche da parte di forze non conservative, l’incremento che tale lavoro produce nel valore dell’energia cinetica non trova riscontro in una analoga diminuzione dell’energia potenziale (non definibile per forze non conservative). Perciò il valore finale dell’energia complessiva si ottiene dal valore iniziale aggiungendo il lavoro (L NC ) compiuto dalle forze non conservative: [A] E tot = L NC . 4. La conservazione dell’energia, del tutto ovvia nel caso lavorino solo forze conservative, risulta di fatto verificata in qualsiasi caso, purché si tenga conto non solo dell’energia cinetica e potenziale a livello macroscopico, ma anche dell’energia cinetica e potenziale a livello microscopico, dell’energia trasportata dalla radiazione elettromagnetica, ed eventualmente dell’energia relativistica di massa .[ 3] 5. Al di là dei riscontri sperimentali, le leggi di conservazione possono essere dedotte da principi di simmetria: in particolare, dal principio di omogeneità del tempo e dello spazio (secondo il quale le leggi della Fisica sono sempre e dappertutto le stesse), derivano rispettivamente la conservazione dell’energia e della quantità di moto [4]. In definitiva, viene ritenuta senz’altro valida una legge di conservazione dell’energia, che noi enunceremo in questi termini: l’energia complessiva di un sistema isolato (che cioè non ha nessun genere di interazione con altri sistemi) mantiene, nel giudizio di uno stesso osservatore inerziale, un valore costante.[5] La massa delle particelle può (entro limiti ben precisi, vedi nota 4 al par. 1.1) trasformarsi in energia cinetica, e viceversa, secondo la ben nota relazione E = mc2. Ad esempio, l’energia liberata nei processi di fissione (scissione) o di fusione nucleare è l’energia cinetica che corrisponde alla diminuzione subita dalla massa complessiva delle particelle coinvolte nella reazione. Oppure: quando protoni di alta energia colpiscono la materia, vengono prodotte nuove particelle, la cui massa corrisponde all’energia cinetica perduta dai protoni. Altro esempio: annientamento di particella + antiparticella (quindi di materia), con produzione di radiazione elettromagnetica (e della relativa energia cinetica). 4 Dal principio invece di isotropia dello spazio (secondo il quale tutte le direzioni dello spazio hanno uguali proprietà) discende invece la conservazione del momento angolare (o momento della quantità di moto). 5 Benché tutti gli osservatori inerziali siano d’accordo sulla validità del principio di conservazione dell’energia, ognuno di essi attribuisce all’energia di uno stesso sistema un diverso valore: il che si esprime dicendo che l’energia non è un invariante relativistico. Altre grandezze che si conservano nei sistemi isolati, come ad esempio la carica elettrica, hanno invece uguale valore per tutti gli osservatori inerziali. 3 L’energia 177 QUESTIONARIO 1 Se R è il riferimento dell’energia potenziale, il valore dell’energia potenziale di una particella che si trova in R è zero (vero / falso). 2 Se R è il riferimento dell’energia potenziale, il valore dell’energia potenziale di una particella è zero solo in R (vero / falso). 3 Le due locuzioni «energia potenziale in A rispetto a B » e «differenza di energia potenziale tra A e B » sono del tutto equivalenti (vero / falso). 4 Moto armonico tra A e B, con centro in M. Detto H il punto intermedio tra M e B, detto K il punto intermedio tra H e B, e tenuto conto che durante l’oscillazione l’energia cinetica massima è 80 J, si determini l’energia potenziale elastica in A rispetto a M, in A rispetto a K, in K rispetto a B, in H rispetto a K. A M H K B Figura 6.7 5 Un punto Q è soggetto al peso, a una forza elastica, a forze di attrito. Nella posizione P ' l’energia cinetica di Q vale 30 J, l’energia potenziale gravitazionale 20 J, l’energia potenziale elastica 100 J. Nella posizione P " i rispettivi valori sono invece 40 J, 10 J, 20 J. Determinare il lavoro delle forze di attrito tra P ' e P ". 6 Punto materiale in movimento, soggetto solo al peso e a forze elettrostatiche. Nella posizione P ' l’energia cinetica vale 520 J, l’energia potenziale gravitazionale 18 J, l’energia potenziale elettrostatica 0. Trovare i valori dell’energia cinetica e delle energie potenziali nella posizione P ", posta esattamente allo stesso livello di P ', sapendo che nel passaggio da P ' a P " il lavoro delle forze elettrostatiche è 400 J. 7 Il punto materiale K, di massa m, è in quiete nella posizione O. Si determini quanta energia occorre somministrare a K affinché oscilli di moto armonico attorno a O con ampiezza A e frequenza f . RISPOSTE 1 2 3 4 Vero. Un percorso da R a R è un percorso chiuso, perciò il lavoro complessivo di una forza conservativa lungo tale percorso è zero. Falso. Se, a partire da R, ci si sposta sempre e solo perpendicolarmente alla direzione di una forza conservativa, tale forza non compie mai lavoro, e quindi le variazioni della relativa energia potenziale sono nulle. Vero. Entrambe le locuzioni esprimono il lavoro compiuto da una forza conservativa in relazione allo spostamento del punto di applicazione da A a B. Per il teorema dell’energia cinetica (che cresce da A a M di 80 J) il lavoro della forza elastica tra A ed M (o tra B ed M ) è 80 J: questo è pertanto il valore dell’energia potenziale elastica in A (o in B) rispetto a M. Tenuto conto che quando la distanza del punto mobile dalla posizione centrale M varia da zero a x il lavoro della forza elastica è L = – kx 2 / 2, e che nel nostro caso quando la distanza è uguale 178 5 6 7 L’energia all’ampiezza dell’oscillazione il lavoro è 80 J, si desume che tra M e H (distanza da M dimezzata) il lavoro è (1/2)2 di 80 J, quindi 20 J. Perciò in H l’energia cinetica è (80 20) J = 60 J, il che significa che il lavoro tra A e H (l’energia potenziale in A rispetto ad H) è 60 J, e che il lavoro da H a B (l’energia potenziale in H rispetto a B) è 60 J. La distanza di K da M è i 3/4 della distanza di B, quindi il lavoro da M a K è i (3/4)2 del lavoro da M a B: L M K = (9/16) L M B = (9/16) ( 80 J) = 45 J. Allora l’energia potenziale elastica in H rispetto a K (il lavoro della forza elastica da H a K ) è uguale a L H M + L M K = 20 J 45 J = 25 J. L’energia complessiva è costante, perciò l’energia cinetica vale 80 J in M, 60 J in H, 35 J in K, zero in B.[6] Se non ci fosse attrito, l’energia complessiva avrebbe lo stesso valore in P ' e in P " : 110 J. A causa invece delle forze di attrito (non conservative), l’energia in P " vale soltanto 10 J. I 100 J mancanti corrispondono evidentemente al lavoro resistente compiuto tra P ' e P " dalle forze di attrito. Essendo le due posizioni allo stesso livello, il lavoro del peso tra P ' e P " è zero, perciò l’energia potenziale gravitazionale non subisce variazioni (valore finale 18 J). L’energia potenziale elettrostatica finale è uguale a quella iniziale meno il lavoro delle forze elettrostatiche, vale quindi 0 ( 400 J) = 400 J. Il lavoro complessivo è 400 J, perciò l’energia cinetica finale è 520 J + ( 400) J = 120 J. Agendo solo forze conservative, in P ' e in P " l’energia complessiva ha lo stesso valore (502 J). Assumiamo la posizione iniziale O come riferimento dell’energia potenziale elastica. Allora l’energia complessiva (cinetica + potenziale) di K quando è immobile in O è zero. Quando invece K oscilla con ampiezza A e frequenza f , nella posizione O la sua energia potenziale è zero e l’energia cinetica è mv 2max / 2, con vmax = A = = 2 f A. Pertanto in O e, per la conservazione dell’energia, in ogni altra posizione, l’energia totale di K è m 2A 2/ 2. In definitiva, questa è l’energia che occorre somministrare a K perché oscilli di moto armonico. Osservazione. Supponiamo, per fissare le idee, che K oscilli avendo in O una energia cinetica di 18 J. Se, come riferimento dell’energia potenziale elastica, avessimo preso (come pienamente legittimo) uno dei due estremi, prima dell’oscillazione l’energia potenziale di K avrebbe avuto valore 18 J (lavoro delle forze elastiche tra la posizione centrale e una delle due posizioni estreme), l’energia cinetica zero, l’energia totale 18 J. Nel corso invece dell’oscillazione, K avrebbe avuto in O energia potenziale 18 J, energia cinetica 18 J, energia totale 0. L’energia del punto oscillante sarebbe questa volta risultata uguale a 0, e quindi avremmo trovato che per far oscillare K occorre un’energia supplementare di 18 J. Conclusione: il valore dell’energia totale di un punto di massa assegnata che oscilla di moto armonico con ampiezza e frequenza assegnate è indeterminato, dipendendo dalla scelta del riferimento dell’energia potenziale. È invece univocamente Come si poteva ottenere calcolando direttamente per ogni posizione il valore della velocità, sulla base di quanto noto dallo studio del moto armonico. 6 L’energia 179 determinato il supplemento di energia di cui, per poter oscillare, il punto ha bisogno.
