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Disequazioni lineari

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LE
DISEQUAZIONI LINEARI
4
Per ricordare
H
Una disequazione si rappresenta come una disuguaglianza fra due espressioni algebriche A x † e
>
B x †; essa assume dunque la forma A x† <
-- B x†.
Per risolvere una disequazione ci si avvale di due principi di equivalenza formalmente simili a quelli
visti per le equazioni:
Primo principio: se ai due membri di una disequazione si aggiunge o si toglie una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Secondo principio: se si moltiplicano o si dividono i due membri di una disequazione per uno stesso
numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente che ha lo stesso verso di quella data; se si
moltiplicano o si dividono i due membri per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si cambia il verso.
Considerazione comune ai due principi eÁ che l'espressione che si aggiunge o si toglie, per cui si moltiplica o si divide, se contiene l'incognita, deve avere lo stesso dominio di quella data.
Di conseguenza, in una disequazione si possono eseguire queste operazioni:
trasportare i termini da un membro all'altro cambiandone il segno (come nelle equazioni):
2x
3>x‡4
!
2x
x >4‡3
cambiare i segni a tutti i termini cambiandone peroÁ anche il verso:
x‡7>
2
!
x
7<2
dividere tutti i termini per un fattore comune: se questo eÁ positivo il verso non cambia, se eÁ negativo
occorre cambiare il verso:
4x
2>8
6x
dividendo per 2
dividendo per
H
2x
2
1>4
2x ‡ 1 <
3x
4 ‡ 3x
eliminare i denominatori dopo aver calcolato quello comune solo se questi sono numerici; non eÁ possibile in generale eliminare i denominatori letterali percheÁ di essi non si conosce il segno.
Una disequazione di primo grado, dopo aver svolto opportunamente i calcoli si presenta sempre nella
forma
ax > b
Per trovare l'intervallo delle soluzioni basta dividere entrambi i membri per a facendo attenzione al
segno di a:
b
se a eÁ un numero positivo la disequazione non cambia verso e l'intervallo delle soluzioni eÁ x >
a
b
se a eÁ un numero negativo la disequazione cambia verso e l'intervallo delle soluzioni eÁ x <
a
70
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Prima di procedere alla risoluzione, conviene allora operare in modo che il coefficiente a sia positivo,
eventualmente cambiando i segni ed il verso a tutta la disequazione:
3x > 5
H
!
3x <
5
!
x<
5
3
Le disequazioni frazionarie, cioeÁ quelle che hanno l'incognita al denominatore, calcolato il denominaA x† >
tore comune e svolti i calcoli, si possono tutte ricondurre alla forma
-- 0.
B x† <
Ricordiamo nuovamente che i denominatori che contengono l'incognita non possono in generale essere
eliminati percheÁ il loro segno eÁ variabile a seconda del valore assunto da x.
Per trovare l'insieme delle soluzioni si deve studiare il segno dei vari fattori che si trovano al numeratore
e al denominatore, riportare questi segni in una tabella e dedurre poi da essa il segno della frazione e
quindi gli intervalli della soluzione.
Attenzione a quando il verso della disequazione comporta anche il simbolo di uguaglianza, eÁ cioeÁ oppure ; in questo caso sono solo i fattori al numeratore che devono essere posti 0, mentre quelli al
denominatore non possono annullarsi.
Esempio:
2x 3
0
x‡1
di dominio R
f 1g
Studio dei segni dei fattori al numeratore e al denominatore:
(del numeratore eÁ richiesto anche che si annulli)
2x
30
x‡1>0
!
x
!
x>
3
2
1
Nella tabella dei segni si usa la seguente convenzione:
si dispongono sulla retta dei numeri i valori che sono emersi
dallo studio dei segni di ciascun fattore
in corrispondenza di ciascuno di essi si traccia una linea verticale in modo da suddividere in zone la retta dei numeri; la
linea diventa doppia in corrispondenza dei valori esclusi dal
dominio della disequazione
per ciascuna disequazione risolta si riporta la corrispondente riga dei segni evidenziando con un pallino dove eÁ richiesto che uno dei fattori si annulli
si calcola in ciascuna zona il segno della frazione
si scelgono gli intervalli che soddisfano la disequazione
x<
1 _ x
3
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
H
71
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Le soluzioni di un sistema di disequazioni si determinano calcolando l'intersezione fra gli insiemi delle
soluzioni di ciascuna disequazione.
Per individuare tale intersezione si utilizza una tabella simile a quella dei segni nella quale peroÁ si indicano con una linea continua le soluzioni di ciascuna disequazione. L'intersezione eÁ rappresentata
dagli intervalli in cui tutte le linee sono continue.
2x 1 > 0
Esempio:
8 x6
1
2
Soluzione della prima disequazione:
x>
Soluzione della seconda disequazione:
x2
Tabella delle soluzioni:
!
E SERCIZI
DI
1
<x2
2
C ONSOLIDAMENTO
Risolvi le seguenti disequazioni.
ESERCIZIO SVOLTO
1
1 x
2
2† ‡ 2x > 3 x ‡ 1†
4
3
Sviluppiamo i calcoli nei due membri:
1x
2
1 ‡ 2x > 3 x ‡ 3
4
4
facciamo il denominatore comune:
2x
4 ‡ 8x > 3x ‡ 3
4
4
3
12
Eliminiamo i denominatori moltiplicando per 4 (numero positivo): 10x 4 > 3x
Trasportiamo i termini con l'incognita a sinistra e i termini noti a destra:
10x
3x >
9‡4
Dividiamo per 7 (numero positivo): x >
2 x
3
1 ‡ 2x x ‡ 1
da cui
7x >
9
5
5
7
‰x 1Š
72
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3 12 ‡ 6x ‡ 4x ‡ 2 > 4x
3
4 x
5 3 ‡ 3x
3
x>
2 ‡ x ‡ 1†2 x2
x‡1 2 1x 1
2
2
2
2
7
x 1 2x 3† 3 ‡ 4x
2
2
1
9 1x‡1
3
4
x ‡ 3x
8
2x
‰x 0Š
x< 8
9
2 <2
1† 2
1 x2 ‡ 1 † x
3
1
2
1x
3
x 4
3
x
7
5
x
6
7
x>
5
7
12 x ‡ 1 ‡ x 1 ‡ 1 ‡ x > 0
6
12
3
13 3x ‡ 1 ‡ 3x 2 < 4 x 2
5
15
5
3
14 3x 1 ‡ 2 x 2 < 4x ‡ 1 ‡ x
3
3
2
1
1
2x>1
x‡1 3
15
5
2
3
17 x
18 12
19
3
x ‡ 1† x
1
20 3x 1 ‡ x
2
21
x ‡ 1†2
2
x
1
x‡
3
‰x < 9Š
x>
9
7
‰x 0Š
1
3
16 x
3
‰S ˆ RŠ
x 1
3
2
1† x ‡ 5†
2x ‡ 3 2
‰S ˆ RŠ
1x 1
1 ‡1‡ 2
1 3x ‡ 5
3
12
6
12
1
x< x 3
2
‰S ˆ 1Š
2
1† ‡ 1 x ‡ 1† < 2x ‡ 1†
2
6 x ‡ 2† ‡ 15x 3
5
x 2
3
5x
‡
1
2
‡ 2x ‡ 1 1 ‡ 2x† x
10
4
2
11 3 x 1 ‡ 4x† 2 x ‡ 3 x2
4
2
16 4 x2
10
9
x
6 1
8 x‡3
2
x 1
4
4x† 1
4
21
19
5
1
x2
1‡
2
1†2 ‡ x ‡ 5
2
x 3
4
x 17
3
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
73
Risolvi le seguenti disequazioni per via grafica.
ESERCIZIO SVOLTO
22
2x
5>0
Consideriamo la retta di equazione y ˆ 2x
nel piano cartesiano (figura a lato)
5 e rappresentiamola
La disequazione eÁ equivalente al sistema
y ˆ 2x
y>0
5
che graficamente eÁ rappresentato dalla parte di retta che si trova
nel semipiano positivo delle ordinate; poiche il punto d'intersezione
della retta con l'asse x ha ascissa 5 , possiamo concludere che la di2
sequazione eÁ verificata se x > 5 .
2
23 1 x ‡ 2 > 0
2
24 2x ‡ 1 < 0
25 4
26 x ‡ 3 > 0
x0
1x‡20
5
27 4x 0
28
29 4
30 5
3x 0
3x > 0
31 2x ‡ 1 0
32 7 x ‡ 3 0
5
33 8
5
34
2x0
5
3x
2
3 <0
2
Risolvi le seguenti disequazioni frazionarie.
ESERCIZIO SVOLTO
35
x‡2
x‡1
2x
2
1 3
x
Il dominio della disequazione eÁ R
f 1g:
Trasportiamo tutti i termini al primo membro:
Calcoliamo il denominatore comune:
2 x ‡ 2†
2x
x‡2
x‡1
2x
2
1
3‡x0
1† x ‡ 1† 6 x ‡ 1† ‡ 2x x ‡ 1†
0
2 x ‡ 1†
3x 1 0
2 x ‡ 1†
Cambiamo i segni al numeratore (dobbiamo cambiare anche il verso della disequazione):
Sviluppiamo i calcoli al numeratore e semplifichiamo:
3x ‡ 1 0
2 x ‡ 1†
74
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Studiamo i segni dei fattori al numeratore e al denominatore, tenendo presente che vogliamo
sapere anche quando la frazione si annulla
3x ‡ 1 0
!
x
x‡1>0
!
x>
1
3
1
Costruiamo la tabella dei segni:
Poiche vogliamo che la frazione sia negativa, l'intervallo delle soluzioni eÁ
36 5x
3x
37
x
1 <1
2
x
1
‡
3x
1
3
x 1 >0
4x ‡ 3
x<
41 x ‡ 1 ‡ 2 3x
x 2
x 2
x
x
1
>2
42 1
4x ‡ 3
4x ‡ 3
43
x2
x‡1
44 2 ‡
45
x
3
2
46 x
47
3
4
1<x
1
2
4 x<
5
2
3
3
2x ‡ 2
3
x<
2
4x > x2 ‡ x2
3
2x 4 6x
x 4 _x>4
3
4x
1_x> 5
8
1<x 3
5
0 < x 10
3
2
48 3x 2 ‡ x x ‡ 2
4x
x
2
49 2x ‡ 1
x 2
5_x>
x<
‡ 1 x‡1
4 4
x 4
2
x 1†
‡ 2x 2
x‡1
x2 1
3
4
5 _x>0
2
1
x‡1
3x ‡ 2
3x ‡ 2
x<
2Š
‰x > 2Š
1x
3x ‡ 4
x‡1
2_x>
x
40 2x 1 ‡ 1 x 2
3x
x
1 x<1
3
‰x <
x
4x ‡ 3
39 1
1 <x< 2
2
3
0
38 x ‡ 1 1
x‡2
1.
3
1<x
1
12
x<
7 _x>2
16
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
75
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al primo scomponendo in fattori.
ESERCIZIO SVOLTO
50
4x2
x x ‡ 1†
3x > 2x
Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sviluppiamo i calcoli:
4x2
5x
2x ‡ x x ‡ 1† > 0
3x
2
4x > 0
Scomponiamo in fattori:
x 5x
4† > 0
Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: x > 0
5x
4>0
!
x> 4
5
Costruiamo la tabella dei segni e calcoliamo il segno del prodotto:
Poiche vogliamo sapere quando il polinomio eÁ maggiore di zero, scegliamo gli intervalli con
il segno ‡ :
x<0 _ x> 4
5
51 x2
2x
15 < 0
‰ 3 < x < 5Š
52 5 ‡ x2 ‡ 5x 1
53 x2
x x
4 _ x 1Š
1 x1
2
1
SˆR
3
1
2x
4
1
2x† ‡ 2
54 3 x2
55
2
‰x 2
2x ‡ 1† 3 1
1 ‡ 6x2 > 0
x†
56 1 ‡ 1 x ‡ 1 x2 < 2
3 3
4
9
1
1
1
x x 6† 3
x
57
2
4
2
58
3
x ‡ 1†
2
‰S ˆ 1Š
x
1 _x6
4
5 x0
9
x ‡ 1 ‡ x3 x3 ‡ 2x ‡ 1
6
3
Sˆ
59 3x ‡ 9 x2 ‡ 1 0
4
60
x ‡ 1† 2x
61
x ‡ 1†
2
2
3† ‡ x
2
2x
4
2 x2 ‡ x† 3 x ‡ 1†
1
x
2
3
1_x 3
2
‰ 2x
1Š
76
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
ESERCIZIO SVOLTO
62
8
<x
:
2 < 1 x ‡ 1†
4
3x
1>0
Risolviamo separatamente le due disequazioni:
1a disequazione: 4x
8<x‡1
2a disequazione: 3x > 1
!
!
3x < 9
!
x<3
x> 1
3
Costruiamo la tabella delle soluzioni:
Il sistema eÁ verificato nell'intervallo
8
<x‡4 3 x
3
63
: 2
x > x ‡ 2† x
1 < x < 3.
3
1†
8
x‡3
1 x
>
1<
<
3
5
64
>1
:
x 3 ‡ x† 1 x2 1
4
4
65
66
67
68
8 2
<x
:1
4
8
<1
:
x
1
3
2
>
>
: 1 x ‡ 2†
5
6
x† x
2x ‡ 1
x> 3
2
3
x ‡ 4† 4x
3
2
3 x ‡ 2† > 0
4
3
2x 2x
‰S ˆ 1Š
x
4 1
3
4 x< 3
3
8
x2
1† x ‡ 2† x ‡ 1†
8 1
>
>
<2 3
:
x†
2x ‡ 1 < 0
4
x
8
<1
2x† 2
1< 3
5 x<2
4
3
2
3† 2x ‡ 1† ‡5
9 x<
2
2
7
x
6
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
2x < 1
>
>
<
x ‡ 1 1 x ‡ 3†
69
4
>
>
:
2
2 2x x2 x ‡ 1†
1 x< 1
3
2
8
2x ‡ 1
>
>
> 3x 1 >
4
>
>
>
<
x ‡ 2 < 3x ‡ 1
70
2
>
>
>
>
>
>
: 1 2x ‡ 3 3x 1
5
4
8
>
1 x ‡ 1† 1 x ‡ 2 1
>
>
>
>
>
2
<2
72
x<0
>
>
>
>
>
>
:1 x ‡ 3 < x 1
4
2
DI
‰S ˆ 1Š
8
x‡4 x 1
>
>
>
>
3
>
< 3
71
x2 0
>
>
>
>
x 2
1
>
: 7
<
1 ‡ 10x†
10
3
5
E SERCIZI
77
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
1x
2
1 <x 5
2
2
2
‰x > 1Š
A PPROFONDIMENTO
Risolvi le seguenti disequazioni di vario tipo.
1 2x
2 4x ‡ 5
12
3
4
2x ‡ 5 x 2x 1†
2
1 2x ‡ 1 x ‡ 2 > 1
2
6
3† x ‡ 1†
p
3x ‡ 1 1
p
2 x
3
1‡
p 2 >2
p
p
p
1
x
2
x
‡
5 p ‡ x 2 1 > p ‡ p 2
2
2
2 2
p
3 p
2  ‡ p1 > 0
6
x
2
2
x> 5
2
p
p 3 ‡ 3x > x ‡ 3
p 2 x
17
8
x
p
3‡5
x>
2
x<4 3
p
x< 2
p
2 2
p
x> 2
2
6_x>
p
2
78
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
4
x‡2
x
3
1
‡
7
x2 ‡ x
x‡2 ‡ 1 x
3x 1 3x ‡ 1
12 x3 ‡ 2x2
x
2
0
‰x <
2 _ 1 < x 3Š
2
9 1 2x ‡ x x
1
1 ‡ 2x
‡x
2
3x 10 x 1
x 3 3x 1
3x2
11
3
0<x< _x>1
5
x2 ‡ x
x2 x
7 6‡ 2 >1
x x 1
8
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
x< 1
3
16
10x ‡ 3
4
9x2
1
1 <x1
2
0
20
1 <x 3 _x> 1
3
11
3
‰ 2x
1 _ x 1Š
13 x3
13x ‡ 12 0
‰ 4 x 1 _ x 3Š
14 x3
7x2 ‡ 36 < 0
‰x <
15 2x3
x2
16 2x4
7x3
10x2 ‡ 24x > 0
17 9x5
9x4
x3 ‡ x2 < 0
18
19
20
x2 † x2
1
4
x
x
x
1
2†
x
20
x
4† > 0
3x
5
3x
2x
2†
<0
1†
>2 x
21 3x 1
2x
22 1
5x
x>3
x
x
2 _ 3 < x < 6Š
1x 1 _x2
2
3
x< 2_0<x< _x>4
2
x< 1_1 <x<1
3 3
‰1 < x < 4Š
5 <x< 2_1<x<2
2
1
x< _1<x<2
2
x<
1_
1 <x<0
2
‰0 < x < 1Š
1
2
23 x ‡ 3x 1 ‡ 1 > 0
1 x
‰x <
2 _ 0 < x < 1Š
24 4 ‡ x
3
‰x 2 _ 0 < x 2Š
25
28 x
x
6
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.
8
2x ‡ 3
>
>
< x 1
>
>
: 2x ‡ 1 < 1
x 2
2
‰0 < x < 2Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
26
27
28
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
8
2x
>
>
<x‡1 <1
>
>
: 1 x2 ‡ 1 †
3
8
2
>
>
<x
>
>
:
x
1
x 1x 1
6
x2
2
1
<
>
>
>
:x
1x‡ 3
1
2
2x 1
2
1
3
x
1 ‡ 2x2 1 x 1
5
15x
3
8
>
x 3 ‡ 1 x‡1 0
>
>
< 2x 2 2 x 1
29
>
>
>
: 2x > 1
x‡3
8
4x ‡ x ‡ 4 ‡ 1 0
>
>
>
< 1 2x x ‡ 3
30
>
>
>
: 1 x ‡ 3 1 x2 † > 7
3
2
6
32
33
>
>
:1
8
>
>
<x
x >0
x‡1
3>
2
>
>
: 9x ‡ x
x‡2
x2
x‡2
1
1 < x 19
2
2
‰x <
3 _ x > 3Š
‰S ˆ 1Š
x
8
2
>
>
x 3> x ‡1
>
>
<
x 1
31
>
>
1x
>
>
1x
x
2
:
4
8x‡3
x
1
>
>
< x ‡ 4 > x 2 ‡ x2 ‡ 2x
‰0 < x < 1 _ 1 < x 5Š
2x2 1 1
x2 ‡ 4x ‡ 4
8
>
>
>
<
1<x 1
3
x†
x
x‡1
79
8
4 <x<1
5
‰ 1 < x < 2Š
‰ 6<x<
2Š
9x 0
8
2x ‡ 2
3
>
>
< x 1 1‡ x 2
34
>
>
:1 >3
x
0<x< 1
3
80
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Risolvi le seguenti equazioni che contengono moduli.
ESERCIZIO SVOLTO
35
j2x
4j ˆ x ‡ 3
Per risolvere l'equazione dobbiamo togliere il modulo distinguendo il caso in cui il suo argomento eÁ positivo da quello in cui eÁ negativo. Sappiamo infatti che
jaj ˆ
Se
2x
a
se a 0
a
se a < 0
40
l'equazione diventa
Se
2x
4<0
cioeÁ
2x
cioeÁ
x2
4ˆx‡3
!
xˆ7
accettabile percheÁ maggiore di 2
x<2
xˆ 1
3
In definitiva, l'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ 1 ; 7 .
3
l'equazione diventa
36 j3x
38 1 x
2
1 ˆ 3 j2
39 3 ‡ j2
4
40 1 x
5
6
; 4
Sˆ
5
Sˆ 2
5
2
xj ‡ 5
‰S ˆ 1Š
Sˆ 1; 9
2 10
x ˆ1
2
3xj
2 2 x ‡ 1 ˆ 3x
5
41 2x ‡ 5 ˆ 3jx
42
accettabile percheÁ minore di 2
!
1j ‡ 2x ˆ 5
jx ‡ 1j ˆ 4x
37 1
2x ‡ 4 ˆ x ‡ 3
Sˆ 5
9
S ˆ 17; 7
5
4
4j
ESERCIZIO SVOLTO
jxj ‡ jx
1j ˆ 2x ‡ 3
Studiamo il segno di ciascuno dei due moduli e rappresentiamolo in tabella:
Dalla sua osservazione vediamo che dobbiamo risolvere l'equazione considerando tre casi:
x0:
entrambi gli argomenti dei moduli sono negativi:
x
x ‡ 1 ˆ 2x ‡ 3
!
xˆ
1
2
accettabile
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
il primo argomento eÁ positivo, il secondo eÁ negativo:
0<x1:
x
x>1:
x ‡ 1 ˆ 2x ‡ 3
!
xˆ
1 ˆ 2x ‡ 3
!
L'insieme delle soluzioni eÁ quindi
43 j2x ‡ 5j
2jx
44 3 ‡ j2xj
5 j1
Sˆ
1 .
2
1j ˆ x ‡ 3
‰S ˆ f4; 0; 10gŠ
xj ˆ 2
S ˆ 4 ;2
7
2j ˆ jxj ‡ 1
‰S ˆ 1Š
46 j4x ‡ 3j
2x ˆ jx ‡ 2j
47 jxj ‡ jx
1j ˆ 2
6x ‡ x
49 3 jxj ‡ 4 jx
4x
1 ˆ 5
2
2
3j ‡ 6
5
1;
5
Sˆ 3;
2
Sˆ
2xj ‡ 2
jx
Sˆ
x
1j ˆ j1
2 jx ‡ 2j ˆ 1
5
50 x
non accettabile
equazione impossibile
48 1
1
entrambi gli argomenti sono positivi:
x‡x
45 1 x ‡ 1 jx
6
3
81
5
3
1
2
1
6
‰S ˆ f1gŠ
12
S ˆ 6; 0;
7
x
‰S ˆ 1Š
51 j3x 4j ‡ j2x ‡ 1j ‡ 2 ˆ 0
(Suggerimento: il primo membro eÁ la somma di tre numeri positivi e non contemporaneamente
nulli)
52 2jx
4j ‡ 3jx
1j ˆ
53 3j1
2xj ‡ 2x ˆ jx
5
‰S ˆ 1Š
S ˆ 0; 2
3
1j ‡ 2
Risolvi le seguenti disequazioni con i moduli.
ESERCIZIO SVOLTO
54
jx
2j > 2x
6
La disequazione eÁ equivalente ai due sistemi:
x 20
_
x 2 > 2x 6
x2
x<4
_
x
2<0
x ‡ 2 > 2x
8
<x < 2
:x < 8
3
6
82
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Il primo ha per soluzione l'intervallo
2x<4
Il secondo ha per soluzione l'intervallo
x<2
PoicheÁ dobbiamo considerare l'unione dei due intervalli
la disequazione eÁ verificata se x < 4.
55 j2x ‡ 3j 3
jx
56 1
‰ 3 x 0Š
1j 0
57 1 j1
3
‰x 0 _ x 2Š
2
4
_x
x
15
15
x 4 _x 5
3
3
x 1
2
5xj
2xj 1
3
58 j3
59 x jx
1j
60 j2x ‡ 1j
61 jx
3x 0
3j ‡ 2x
3>0
62 jx ‡ 3j > 1 x
2
63
3 j2 xj
4
64 3 ‡ j4x
‰x 1Š
1
‰S ˆ RŠ
x 2
7
x1
1j 2x
‰S ˆ 1Š
65 j3
xj ‡ 3x > x ‡ 1
66 jx
1j ‡ j2x ‡ 3j > 3
67 jxj ‡ jx
‰x > 0Š
‰x >
x
x<
3j 0
5 _x>
2
2Š
1
2
‰S ˆ RŠ
(Suggerimento: si tratta della somma di due numeri positivi o nulli)
68 jx
69
70
71
72
73
1j ‡ 2jx
1
jxj
x
jx
3j > 0
‰S ˆ RŠ
2 >3
x
3
1
2
j2x
3
>
3j
‰ 1 < x < 0Š
2
jx ‡ 1j
‰x > 1Š
1
0
jx ‡ 3j
x
3
9 _ 1 x < 3 _ x > 3Š
> 2
3j
jxj
1
2x ‡ jxj
‰x 1
>2
6 <x< 3_3 <x<6
7
2 2
‰0 < x < 1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
4 - LE DISEQUAZIONI LINEARI
Risultati di alcuni Esercizi di consolidamento.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
83
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