1 Triedro principale, curvatura, vettore curvatura e torsione 1.1 Curva con ascissa curvilinea Definizione 1.1. Sia Γ(λ) una curva in R 3 in forma parametrica. Il triedro principale `e un sistema di riferimento intrinseco definito dalla curva. Sia t(s) il versore tangente alla curva: t(s) = Γ0 (s) dove s indica l’ascissa curvilinea. Sia il vettore curvatura, ortogonale a t(s): Γ00(s). Sia il versore normale, n(s), cos`ı definito: n(s) = Γ 00(s) |Γ00(s)| Si definisce infine il versore binormale, b(s), come il versore normale sia a t(s) che a n(s): b(s) = t(s) × n(s) Definizione 1.2. Sia Γ(λ) una curva in R 3 in forma parametrica, si definisce curvatura il numero κ(s) = |Γ 00(s)| e il raggio di curvatura come l’inverso della curvatura, se non nulla: ρ(s) = 1 κ(s) Propriet`a 1.1. In ogni punto Γ(s) in cui κ(s) 6= 0, i vettori t 0 (s) e b 0 (s) hanno direzione normale: t 0 (s) = κ(s)n b0 (s) = χ(s)n dove χ(s) `e uno scalare negativo, positivo o nullo chiamato torsione della curva. Definizione 1.3. Dalla Proposizione sopra, e derivando le due relazioni n(s) · t(s) = 0 e n(s) · b(s) = 0, si ottengono le formule di Fr´enet-Serret, che mostrano le componenti (in termini di curvatura e torsione) dei vettori t 0 (s), n 0 (s), b 0 (s) nel sistema di riferimento intrinsec
