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Introduzione ai postulati della Relativita'

Introduzione ai postulati
della Relatività Ristretta
e alle loro conseguenze cinematiche
G IOVANNI B ORGHI
Laboratorio didattico-pedagogico di fisica
Didattica della fisica
Sommario
Questa unità didattica (UD) consiste in una introduzione alla relatività speciale
a partire dai risultati di Maxwell sulla propagazione delle onde elettromagnetiche.
Al suo interno, si discute la generalizzazione del concetto di relatività Galileiana
all’elettrodinamica, seguendo la linea dell’articolo originale di Einstein. Nel fare
questo, si riprendono in modo ragionato i concetti di sistemi di riferimento e di
trasformazioni di sistema di riferimento, e si procede col mostrare gli aspetti innovativi
della relatività Einsteiniana rispetto alla Galileiana, puntualizzando i concetti di spaziotempo, sistema inerziale, causalità, simultaneità e tempo proprio, in un modo che può
essere propedeutico all’introduzione della relatività generale. Si introducono a scopo
didattico alcuni strumenti di “orientamento” nello spazio-tempo, attraverso i quali si
costruiscono esercizi al fine di consolidare i contenuti della materia. Le tempistiche
necessarie allo sviluppo degli argomenti presentati sono fuori dalla portata di un
corso tradizionale (pre-riforma) di fisica per la classe V dei licei. Tuttavia, nell’ottica
della riforma dei programmi, si propone un percorso un po’ più lungo, che esclude la
dinamica relativistica, ma che è comunque diluito nel corso una dozzina di ore.
Motivazioni
Ritengo utile utilizzare come motivazioni per questa UD tre argomenti, tra tanti. Il primo
argomento è relativo ai fondamenti stessi della fisica moderna: si intende formulare una
elettrodinamica che, al pari della meccanica dei punti materiali e dei corpi rigidi (regolata
dalle tre leggi di Newton), sia valida in qualsiasi riferimento inerziale1 . Il termine
“relatività” suona quasi come un ossimoro di fronte allo scopo raggiunto da Einstein:
rendere le equazioni di Maxwell “assolute”, piuttosto che relative ad un particolare
sistema di riferimento. La relatività Einsteiniana è una conferma delle intuizioni di Galileo
sul fatto che le leggi della fisica siano universali, emancipate dalle angustie di uno specifico
sistema di riferimento, sia esso il laboratorio terrestre (in cui potevano avere luogo gli
esperimenti ai tempi di Galileo), sia esso il riferimento del sistema solare o delle stelle
fisse (laboratorio più arioso dove i fenomeni ottici continuano però a dispiegarsi su scale
di tempo umanamente accessibili). Il fatto che la relatività di Einstein renda obsolete
1 En passant, la teoria della relatività speciale non è ancora una unificazione di meccanica ed elettrodinamica;
per queste manca ancora oggi una trattazione organica dell’interazione tra i campi elettromagnetici e la materia
in cui entrambi siano considerati variabili dinamiche
1
le trasformazioni di Galileo, sostituendole con le trasformazioni di Lorentz, non deve
essere visto come una correzione, ma piuttosto come una generalizzazione del lavoro
dello scienziato pisano.
Il secondo argomento è meno storico-epistemologico e più cinematografico, e si collega
sia alla prospettiva dei viaggi nel tempo, che alla prospettiva dei viaggi inter-galattici.
Tutto sommato non fa che cavalcare alcuni cliché fantascientifici, proponendo ad esempio
queste due domande:
• le leggi della fisica rendono possibili i viaggi nel tempo?
• le leggi della fisica rendono idealmente possibile per un uomo, nel corso della sua
vita naturale, di raggiungere luoghi arbitrariamente lontani dell’universo?
Si verificherà come sia necessario, per dare una risposta positiva a entrambe, affrontare
almeno due punti cruciali della relatività speciale, come il concetto di e la preservazione
del principio di causalità.
Al primo argomento, epistemologico, ed al secondo, cinematografico, ne aggiungerei un terzo, valido soprattutto per l’insegnante, ma che vale la pena presentare agli
studenti come motivazione alla riflessione personale, anche in vista dell’orientamento
universitario e della tesina di maturità. La relatività speciale è un’ottima occasione per
ripassare gli argomenti di cinematica proprio nella fase conclusiva del triennio della scuola
superiore, e in particolare del liceo, in vista dell’esame di maturità. Più in generale, il
modulo didattico di Fisica del ’900, che comprende oltre alla relatività la Meccanica Quantistica, si presta ad un “ripasso” critico della fisica dei secoli precedenti (studiata dall’alunno
negli anni precedenti), dalla cinematica alla dinamica, dalla fisica delle onde alla termodinamica, fornendo innumerevoli spunti per collegamenti all’interno della disciplina.
Inoltre, gli argomenti di Fisica Moderna consentono una discussione sulla “forma mentis”
dello scienziato, sul metodo e sull’attitudine della ricerca (che tende all’unificazione delle
leggi ed alla generalizzazione dal particolare all’universale) sulla falsificabilità delle teorie
scientifiche e sull’importanza dei cambi di paradigma. Questo tipo di riflessioni sono
strettamente correlate con gli aspetti umanistici e storici del nostro passato prossimo, e
possono essere ampiamente utilizzate per spunti interdisciplinari.
Contesto
Tipologia di scuola
La scuola dove ritengo opportuno sviluppare questa UD è un liceo scientifico. Non tanto per i pre-requisiti di conoscenze, che sono verosimilmente ben sviluppati anche nei
programmi degli istituti tecnici, ma perchè si presta a riflessioni piuttosto profonde sui
fondamenti della fisica classica e della fisica moderna, e sul significato dei sistemi di
coordinate, che credo siano più efficaci e meglio contestualizzabili in ambito liceale. In
particolare, se dovessi svilupparla per un istituto tecnico, strutturerei questa UD in modo
da concentrarmi più su applicazioni pratiche (con l’uso degli strumenti per gli “esperimenti mentali”), dilungandomi meno sugli aspetti di fondamento e sulla motivazione
dei postulati della relatività speciale. In tal caso, tra le motivazioni addotte per l’UD, mi
soffermerei più sulla seconda che sulla prima o la terza, queste ultime molto più valide
per gli studenti di un liceo, per i quali si prospetta, tra le scelte di orientamento, anche
l’iscrizione alla facoltà di fisica.
Modulo didattico
Questa UD si inserisce al termine del modulo didattico di elettromagnetismo, e in particolare al termine dell’UD finale di questo modulo, sulle onde elettromagnetiche come
2
fenomeno predetto a partire dalle equazioni di Maxwell . Oltre ad essere un coronamento
importante per il modulo didattico di elettromagnetismo, la relatività speciale apre il
modulo didattico di Fisica Moderna (si veda lo schema concettuale Fig. 1), funzionando
allo stesso tempo da argomento propedeutico alla Relatività Generale. Ciascun argomento
di Fisica Moderna può essere introdotto partendo dall’aspetto della Fisica Classica rimasto incompreso fino al secolo scoroso, quindi il blocco “Crisi della Fisica Classica” nello
schema Fig. 1, mostra una serie di temi che si possono trattare come motivazioni esplicite
delle unità didattiche e dei sottoargomenti delle unità didattiche di Fisica Moderna.
3
4
Figura 1: Contestualizzazione dell’UD sulla relatività speciale: il modulo didattico (di tipo sperimentale allo stato attuale della normativa sui programmi
di scuola superiore e in particolare di liceo scientifico) è quello di Fisica Moderna, le singole unità didattiche sono segnate con un numero progressivo. Le
suddivisioni del diagramma ad albero sono più fini ed evidenziano la possibilità di una parcellizzazione ulteriore delle unità didattiche nel caso si voglia e
si possa dedicare più tempo alla fisica moderna. Le bandierine indicano il tema svolto prima della presente UD, che apre il modulo, mentre le stelle
contrassegnano l’UD a cui questa può essere propedeutica. Il rettangolo titolato “Crisi della fisica classica” contiene una serie di punti che devono essere
sviluppati prima di svolgere o all’inizio dello svolgimento delle unità didattiche del modulo che ne sono interessate.
Pre-requisiti
Conoscenze
• conoscenza dalle lingua Italiana, della grammatica italiana, dei connettivi logici,
della logica matematica e dialettica;
• conoscenza del concetto di vettore;
• conoscenza del concetto di circuitazione di un campo vettoriale;
• conoscenza dei concetti di posizione, velocità, accelerazione;
• conoscenza della cinematica del punto materiale, della legge oraria, del moto
rettilineo uniforme, del moto uniformemente accelerato;
• conoscenza del principio di inerzia galileiano, e delle tre leggi della dinamica
Newtoniana;
• conoscenza della relatività galileiana e delle trasformazioni di Galileo;
• conoscenza della forma finale delle equazioni di Maxwell (non si richiede una
conoscenza approfondita dell’elettromagnetismo ai fini di questa UD);
• conoscenza della fisica delle onde non-elettromagnetiche, in particolare dell’effetto
doppler;
• conoscenza del concetto di derivata, del concetto di integrale, del concetto di limite;
• conoscenza di una scaletta per lo studio di funzioni;
• conoscenza delle tecniche di scomposizione in fattori, di razionalizzazione, di soluzione di equazioni e disequazioni algebriche di diverso grado, irrazionali, fratte;
• conoscenza generale del contesto storico sullo sfondo delle principali scoperte della
fisica dal ’600 e dell”800 nel campo della meccanica e dell’elettromagnetismo.
Abilità
• risoluzione di semplici problemi cinematici tramite legge oraria, calcolo dei tempi di
percorrenza, o dello spazio percorso in un determinato tempo;
• risoluzione semplici problemi di dinamica, applicazione della seconda legge di
Newton dopo l’analisi vettoriale delle forze;
• distinzione dei sistemi di riferimento inerziali da quelli non inerziali e applicazione delle
trasformazioni di Galileo alla legge oraria di un corpo;
• saper ricavare l’effetto doppler per un’onda classica che si muove in un mezzo materiale;
• saper affrontare un problema di algebra, risolvendo equazioni, comprendendo la
significatività delle soluzioni;
• saper studiare una funzione, calcolandone derivata, facendone il limite, comprendendo le ricadute dello studio della funzione sul contesto fisico in cui è stata formulata
(ad esempio se è una legge oraria, o una velocità in funzione del tempo);
• abilità di affrontare un problema generico di fisica, sistematizzando la risoluzione
in modo da mettere in evidenza le grandezze in gioco e le relazioni tra di loro e i
loro eventuali cambiamenti, riconoscendo le “grandezze incognite” e operando per
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trovare un sistema di equazioni che le possa determinare (abilità di problem solving
in fisica);
• abilità nell’esposizione scritta ed orale, correttezza formale del linguaggio, e scioltezza nell’eloquio.
Competenze
• saper trovare, tra i concetti spiegati a lezione, e gli esempi svolti di problemi di
matematica o di fisica, gli ingredienti che possono essere utilizzati per la risoluzione
di un problema mai visto (competenza generale di problem solving scientifico) [saper
essere un buon risolutore di problemi];
• saper tradurre un problema della vita reale in espressioni e termini fisico-matematici,
adatti alla formulazione di un problema fisico tramite ipotesi e congetture, ed alla
sua risoluzione tramite esperimento pratico o mentale, saper applicare il risultato di
un esercizio di fisica ad un fenomeno della vita reale [saper essere uno “scienziato”];
• saper individuare gli elementi chiave di un nuovo argomento, distillandone i nodi
concettuali e le relazioni reciproche [saper essere un buon “ascoltatore”, saper essere
“ricettivo”];
• saper comunicare un concetto, per iscritto o oralmente, in modo chiaro e sintetico,
mostrando consapevolezza della diversa rilevanza delle idee che si espongono all’interno di una materia o di un argomento più specifico [saper essere un comunicatore
sintetico ed efficace];
• saper mettere in relazione il contesto storico con le scoperte della fisica, e vice versa
[saper essere detentore di una cultura “interdisciplinare”];
• saper essere perseverante nelle difficoltà incontrate durante le lezioni e le prove di
valutazione, imparando dagli errori e adottando un atteggiamento positivo anche in
caso di fallimento temporaneo o di flessione nella propria performance scolastica;
• saper essere umile e collaborativo nelle routines di classe, intervenendo per dare
il proprio contributo e non disturbando nei momenti in cui non viene richiesto un
intervento individuale agli studenti.
Obiettivi
Obiettivi Trasversali
Gli obiettivi trasversali consistono nel consolidamento dei pre-requisiti di competenze
sopra elencati.
Obiettivi Specifici
Conoscenze
• conoscere le ragioni della necessità della teoria della relatività speciale come risposta
ad una controversia sull’esistenza dell’etere, nata con la forma finale delle equazioni
di Maxwell, e proseguita con l’esperimento di Michelson e Morley;
• conoscere le applicazioni della relatività speciale, dalla descrizione della vita del
muone, al GPS, a quella, ideale, del viaggio inter-galattico;
• conoscere il concetto di sistema di riferimento, sistema di riferimento inerziale (SRI),
evento, di misura della posizione di un evento nello spazio-tempo;
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• conoscere il concetto di trasformazione da un sistema di riferimento ad un altro,
pensato come trasformazione di coordinate in 4 dimensioni, in cui lo spazio si
combina con il tempo;
• sapere che l’universalità delle leggi della fisica nei sistemi di riferimento inerziali,
formulata da Galileo viene sposata perfettamente da Einstein, mentre quello che
viene aggiornato è la trasformazione di coordinate da un sistema di riferimento ad
un altro;
• conoscere il concetto di tempo proprio, conoscere il concetto di linea di universo;
• conoscere la relatività della simultaneità temporale, in analogia con la relatività
dell’identificazione delle posizioni di due eventi già introdotta da Galileo.
Abilità
• saper calcolare la distanza invariante tra due eventi di tipo tempo, come tempo
proprio di un viaggiatore che parte dal primo evento ed arriva puntuale al secondo
evento muovendosi di moto rettilineo uniforme, saper applicare il concetto di tempo
proprio a semplici problemi;
• capire quando un sistema di riferimento è inerziale o no, capire il “paradosso
dei gemelli” non solo nel senso di dilatazione dei tempi, ma nel senso di una
diminuzione del tempo proprio in tutte le “linee di universo” tra due eventi che non
sono di moto rettilineo uniforme;
• capire e saper applicare il “radar”, come mezzo per calcolare la velocità di un altro
sistema di riferimento rispetto al mio, capire le differenze tra un radar a onde sonore
(“non relativistico”) e un radar relativistico, a onde elettromagnetiche;
• saper ottenere il fenomeno della dilatazione dei tempi applicando il concetto di
universalità della velocità della luce in tutti i sistemi di riferimento;
• saper applicare il concetto di tempo proprio come distanza nello spazio-tempo;
Competenze
• saper comprendere e contestualizzare la relatività Galileiana e Einsteiniana nell’ambito delle scoperte scientifiche degli ultimi quattro secoli;
• essere consapevoli del significato della parola “relatività”, e del fatto che esso non
sminuisce la validità delle osservazioni scientifiche. Capire la differenza “relativismo”
in ambito filosofico e “relatività” in ambito scientifico;
• auto-valutare criticamente il proprio approccio ad un problema di relatività, capire
dove i “luoghi comuni” di intervalli di tempo assoluti possono subentrare a viziare
il ragionamento;
• saper combinare le proprie conoscenze di fisica classica con i nuovi concetti di questa
UD, in modo da ottenere una visione organica dei problemi di fisica di cinematica
classica e relativistica;
• consolidare le proprie competenze di Problem Solving, in particolare acquisendo
flessibilità nel “cambiare punto di vista”, e “utilizzare le simmetrie del problema”.
Strategie didattiche
• Lezione frontale di tipo euristico-socratica per illustrare, ogni volta, i nodi concettuali
dell’UD.
7
• Esercizi guidati (tecnica del “problem solving” o “scoperta guidata”, “apprendistato”) proposti a casa e/o svolti dall’insegnante alla lavagna, facendo domande
agli studenti su come di volta in volta proseguire la risoluzione, per stimolare alla
riflessione ed allo sviluppo delle abilità specifiche della materia.
• Discussione-dibattito, sia nel momento della lezione, sia durante gli esercizi, per fare
emergere in modo circolare i nodi concettuali dell’argomento.
Strumenti
• Libro di testo, non tanto per gli aspetti teorici, ma per estrarre eventualmente esercizi
ulteriori rispetto a quelli proposti. In ogni caso si sceglieranno esercizi della stessa
tipologia di quelli elencati in questa UD.
• Eventualmente slides, in particolare per sottolineare con immagini i momenti chiave della lezione o la schematizzazione di un problema, in particolare laddove la
mancanza di tempo potesse farle preferire ad un disegno alla lavagna.
Suddivisione delle lezioni
In questa sezione dell’unità didattica si descrivono in modo schematico le lezioni di cui
l’UD è composta, facendo continuamente riferimento alla parte di contenuti (Sezione 8) e
strumenti (Sezione 9) in cui presento più dettagliatamente la linea di pensiero che vorrei
sviluppare. La linea temporale delle lezioni è sintetizzata anche in Fig. 2. Il materiale da
cui ho preso spunto sono i testi e gli appunti su cui a suo tempo ho studiato la relatività,
ovvero gli appunti del prof. Paolo Rossi dell’università degli studi di Pisa [1], gli appunti
del prof. Elio Fabri [2], e il libro di relatività speciale “Fisica dello Spazio-Tempo” [3].
Le suddette persone non hanno comunque responsabilità per le eventuali inesattezze
presenti nella mia esposizione dei contenuti.
Tempo previsto per lo svolgimento compessivo della unità didattica
Si prevede di svolgere questa untià didattica sull’arco di tempo compessivo di circa un
mese. Si prevedono un massimo di 15h30 dedicate all’argomento, di cui 10h di lezione, ed
il tempo restante dedicato a verifiche formative e sommative. Si prevede che circa metà
del tempo dedicato alle lezioni sarà nella forma di teoria esposta tramite l’ausilio esercizi
guidati e discussione degli esercizi.
Prima lezione: 1h
• ricapitolazione delle equazioni di Maxwell (sezione 8.1)
• per motivare allo studio della materia, si utilizza il primo argomento illustrato nella
sezione 1
• esposizione delle tre ipotesi su relatività e validità delle equazioni di Maxwell
• esperimento di Michelson e Morley (sezione 8.2)
Seconda lezione: 1h
• ricapitolazione dell’esperimento di Michelson e Morley (sezione 8.2)
• l’interpretazione di Einstein: i postulati della Relatività Speciale (sezione 8.3)
• esposizione del paradosso nel paragrafo 8.3. Si può lasciare aperta la discussione e
la riflessione fino alla lezione successiva.
8
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
Raccordo UD, motivazione
Mappa
Orologio a luce e Autovelox
Bomba
Radar
Valutazione
Figura 2: Schema della suddivisione dei tempi didattici (in ore), suddivisi, anzichè per
argomenti, secondo gli “strumenti” elencati nella mappa in Fig. 3, e sviluppati nella
sezione 9.
Terza lezione: 1h
• ricapitolazione, spiegazione del paragrafo 8.3, breve anticipazione di quello che
accadrà con l’orologio a luce.
• lezione sulla sezione 8.4.1 e 8.4.2, esempi di trasformazioni di galileo, si può richiamare l’effetto doppler classico
• come “compito a casa”, si possono dare una serie di oggetti dei quali si deve dire se
siano eventi o meno; si può utilizzare a tale scopo la tabella 2; inoltre si può chiedere
agli studenti di disegnare su un grafico x, t un elenco di eventi dati (ad esempio
durante il viaggio di una corriera lungo l’autostrada) e discutere che aspetto avrà
invece la propagazione di un raggio di luce. In sostanza si introduce lo strumento
“mappa” (sezione 9.1).
Quarta lezione: 1h
• ricapitolazione, “sincronizzatore” di orologi (sezione 9.3), spiegazione dei paragrafi 8.4.3 e 8.4.4
• anticipazione qualitativa dell’orologio a luce
• come compito a casa, si può chiedere di disegnare sulla “mappa” la linea di universo
di un corpo che si muove, in fisica classica, di moto uniformemente accelerato, e di
confrontarlo con la linea di universo di un raggio di luce (ne uscirà una discussione
su se e come sia possibile andare a velocità maggiore della luce, questo anticipa la
discussione sullo strumento “radar”, ma anche l’orologio a luce, e l’introduzione del
fattore γ, già comparso quasi per magia nell’esperienza di Michelson e Morley).
Quinta lezione: 1h
• illustrazione dell’orologio a luce (sezione 8.5), paradosso dei gemelli (sezione 8.5.1)
• introduzione dello strumento “autovelox” e contrazione delle lunghezze (sezione 9.4), anticipazione dello strumento radar.
• discussione dei viaggi ai confini dell’universo, ovvero presentazione della seconda
motivazione illustrata nella sezione 1. Anche viaggiando a velocità minore di c,
grazie alla contrazione delle lunghezze si può arrivare ovunque (anche se non
9
“in tempo per ogni cosa”), ma al rientro dal viaggio si troveranno i nostri amici
enormemente invecchiati.
Sesta lezione: 1h
• lezione sul tempo proprio (sezione 8.6), e la distanza invariante nello spazio-tempo
(sezioni 8.7, e 8.8)
• come compito si possono lasciare quattro o cinque eventi, chiedendo di classificarne
le distanze come “di tipo tempo”, “spazio” o “luce”; si può chiedere di calcolare
quanto tempo proprio trascorre per un abitante della luna durante una rivoluzione
lunare attorno alla terra, da confrontare con il tempo di rivoluzione lunare nel
riferimento terrestre (supponendo il riferimento terrestre come inerziale e ignorando
la relatività generale).
• introduzione dello strumento “bomba” (sezione 9.5), eventualmente si può lasciare
un esercizio a tale scopo.
Settima lezione: 1h
• ricapitolazione sullo strumento bomba, e relatività della simultaneità (sezione 9.5.3)
• introduzione dello strumento “radar” (sezione 9.6), discussione sull’effetto doppler,
e confronto con quello classico
• per casa, un esercizio ancora sulla “bomba”
Scritto-interrogazione formativa: 1h
• si danno esecizi da fare al posto, anche a piccoli gruppi, e si chiamano alla lavagna
alcuni studenti per esporre le soluzioni.
Ottava lezione: 1h
• Ricapitolazione sullo strumento radar, legge di composizione delle velocità, concetto
di rapidità;
• discussione, dubbi, ricapitolazione degli argomenti visti; lo strumento “radar” potrebbe essere abbastanza ostico, e richiede di ribadire più volte in particolare la sua
importanza nel calcolo delle velocità;
• si può lasciare un esercizio sul “radar”, ad esempio si può chiedere di calcolare il
fattore di il ritardo doppler per riflessione contro uno specchio che si allontana con
velocità c/2, e un’altro che si allontana rispetto al primo ancora con velocità c/2.
Nona lezione: 1h
• Ricapitolazione degli argomenti dell’unità didattica, seguendo ad esempio la mappa
in figura 3;
• schema per ricapitolare il funzionamento del “radar”;
• esercizi di ricapitolazione, sui diversi strumenti introdotti.
Decima lezione: 1h
• Conferme sperimentali ed applicazioni della relatività speciale (sezione 8.9);
• spunti per introdurre alle prossime unità didattiche (come indicato nel paragrafo 8.10);
10
• esercizi svolti alla lavagna, facendo domande al posto
Compito: 1h 30 min
• compito con domande aperte ed esercizi da svolgere
Correzione: 1h
• correzione del compito
Recupero: 1h+1h
• interrogazione degli insufficienti e di altri studenti, domande alla lavagna di teoria
ed esercizi
11
12
Figura 3: Mappa concettuale sintetica dei contenuti dell’unità didattica, suddivisi in nodi concettuali e strumenti per “esperimenti mentali”. Si intende
usare gli elementi di questa mappa concettuale come dei cardini intorno a cui far ruotare il linguaggio delle lezioni, come vere e proprie routines concettuali
e lessicali da reiterare durante l’interazione didattica con gli studenti.
Trasformazioni
di Galileo valide
Eq. di Maxwell
corrette
Eq. di Maxwell
indip. da SRI
3
3
7
3
7
3
7
3
3
I ipotesi
II ipotesi
III ipotesi
Tabella 1: Tabella riassuntiva delle tre congetture formulate dopo la scoperta delle Equazioni di Maxwell, per capire la relazione tra elettrodinamica e relatività. Se le trasformazioni
di Galileo sono corrette e le equazioni di Maxwell valide nel SR dell’etere, allora queste
equazioni saranno diverse in altri sistemi di riferimento. Se accettiamo che le Equazioni di Maxwell siano giuste, e anche indipendenti dal sistema di riferimento, dobbiamo
rinunciare alla validità delle trasformazioni di Galileo.
Contenuti
Equazioni di Maxwell e trasformazioni di Galileo
Le equazioni di Maxwell (scritte nel Sistema di misura Internazionale (SI))
~E · d~S = ∑ Qi
e0
IS
~B · d~S = 0
I
S
I
~
~E · d~l = − dΦ( B)
dt
γ
(1)
(2)
(3)
~
~B · d~l = µ0 i + e0 µ0 dΦ( E)
(4)
dt
γ
√
presentano al loro interno una costante 1/ e0 µ0 che risulta essere uguale alla velocità
della luce “nel vuoto”. Nel sistema internazionale (SI) questa compare esplicitamente
soltanto nell’equazione di Ampère-Maxwell , tuttavia sia e0 , la costante dielettrica del
vuoto, sia µ0 , la permeabilità magnetica del vuoto, sembrano presupporre che il vuoto
sia “pieno” di una materiale che consenta la propagazione dell’onda attraverso le sue
proprietà intrinseche di polarizzazione e magnetizzazione, un materiale che chiameremo,
seguendo la terminologia della fisica del diciannovesimo secolo, “etere”. Se crediamo
quindi alla struttura delle equazioni di Maxwell , si pone allora un dilemma inevitabile:
dobbiamo rinunciare al principio di eguaglianza delle leggi fisiche in tutte i riferimenti
inerziali, che sembrava essere assodato dopo la formulazione delle leggi della dinamica, a
causa di questa non invarianza dell’elettrodinamica? Il sistema di riferimento dell’etere
sebrerebbe infatti essere un sistema di riferimento “speciale”, in cui la fisica avviene in
modo esclusivo, rendendo valide le equazioni di Maxwell . Se non si ammette invece che
esista un sistema di riferimento speciale in cui l’elettrodinamica è regolata dalla forma
conosciuta delle equazioni di Maxwell, resta comunque un grosso problema da risolvere.
Infatti le trasformazioni di Galileo, il modo fino ad ora accettato per passare da un SRI ad
un altro, se applicate alle equazioni di Maxwell, ne alterano profondamente la struttura (in
particolare ne alterano un parametro, la velocità della luce); se vogliamo che le equazioni
di Maxwell conservino la stessa forma in tutti i riferimenti inerziali, siamo allora costretti
a considerare ammissibili due importantissime affermazioni:
I
• affinchè le equazioni di Maxwell restino le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, anche la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento
inerziali.
13
• le trasformazioni di Galileo non sono adeguate a descrivere un cambiamento di
sistema di riferimento.2
L’interferometro di Michelson e Morley
Di fronte alle tre possibilità prospettate nella Tabella 1, si rese necessario un esperimento
dirimente. Un esperimento che verificasse, ad esempio, la possibilità che le equazioni
di Maxwell fossero valide soltanto per un particolare SR, quello dell’etere, il mezzo, se
esistente, in cui si era convinti che la luce si propagasse. Per verificare l’esistenza o meno
dell’etere si costruı̀ un interferometro in cui lo stesso raggio di luce veniva diviso in
due da uno specchio semitrasparente, percorrendo due cammini ortogonali. I due raggi
vennero poi fatti interferire su una lastra, e venne osservata la figura di interferenza. Se
esiste un riferimento dell’etere, allora la Terra, almeno in un periodo dell’anno, siccome
effettua un moto circolare, si troverà in moto rispetto all’etere; esisterà quindi un “vento
di etere” che attraversa l’interferometro. Nell’ipotesi in cui i bracci A e B sono puntati
rispettivamente lungo la direzione del vento di etere, e perpendicolarmente a questa
direzione, e componendo vettorialmente la velocità della luce con la velocità dell’etere, si
ottengono per la lunghezza temporale dei due cammini i valori3 :
L
L
2L/c
+
=
2
c+v c−v
1 − vc2
q
2 L2 + v2 TB2
2L/c
TB =
=⇒ TB = q
2
c
1 − vc2
TA =
TA /TB = q
1
1−
(5)
(6)
(7)
v2
c2
Quindi il primo ed il secondo raggio di luce, viaggiando per un tempo diverso, arrivano
sulla lastra con una fase diversa, cosa che dovrebbe far spostare le frange di interferenza
rispetto al caso in cui, ad esempio entrambi i bracci A e B vengono disposti perpendicolarmente al vento di etere, facendo registrare ai raggi luminosi lo stesso percorso.
L’esperimento venne eseguito numerose volte, senza vedere alcuno spostamento delle
frange. Venne eseguito in diversi periodi dell’anno, quando in teoria la terra avrebbe
dovuto viaggiare in direzione diversa rispetto all’etere, senza tuttavia ottenere nessuna
variazione delle frange di interferenza. Se si considera il moto circolare della terra, che
porta circa all’inversione della sua velocità ogni sei mesi, si comprende come la terra
costituisse, a seconda del periodo dell’anno, un riferimento in moto approssimativamente
rettilineo, ma con velocità diversa rispetto al riferimento del sistema solare. Eppure,
indipendentemente dalla velocità della Terra rispetto al Sole (ipoteticamente fermo rispetto all’etere), nel riferimento della Terra, la luce viaggiava sempre con la stessa velocità.
Nessun esperimento è stato in grado di trovare un sistema di riferimento in cui la luce
si propagasse con una velocità diversa da c.
I postulati della relatività speciale
Einstein interpretò l’esperimento di Michelson e Morley non solo come la confutazione
dell’esistenza di un “vento di etere”, ma come una conferma della esistenza di una teoria
2 per
lo meno non sono adeguate a descrivere i cambiamenti di sistemi di riferimento nell’ambito di una
trattazione unificata della Fisica, in cui dinamica dei corpi materiali ed elettrodinamica abbiano lo stesso
status.
3 È possibile far notare più avanti, una volta ricavato il fattore γ , come questo fosse già comparso
v
nell’esperimento di Michelson e Morley
14
che contenesse c come una costante universale, e le equazioni di Maxwell come leggi,
indipendenti dal SRI, per la descrizione dell’elettrodinamica. Adottando la terza ipotesi
in Tabella 1, nel suo articolo del 1905 “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”, stabilı̀
che:
• non solo la meccanica, ma anche l’elettrodinamica segue il principio di relatività, già
formulato da Galileo per la meccanica, ovvero: le leggi della Fisica sono uguali in
qualsiasi SRI
• siccome le Equazioni di Maxwell sono una legge fisica, di cui c (che compare nelle
√
equazioni come 1/ e0 µ0 ) è una costante, allora la luce deve viaggiare a velocità c in
tutti i SRI (proprio per rispettare questa legge).
Raggio di luce alla stazione
Per far meglio capire la portata di questa affermazione, si può far accendere una lampadina
ad un uomo fermo in stazione, e ad un uomo su un treno in moto (istantaneamente nello
stesso punto dell’uomo fermo) Il raggio colpisce un cartello sui binari, verso cui il treno
si sta muovendo. Siccome la velocità del raggio è la stessa, e l’uomo fermo vede un
cartello fermo, mentre l’uomo sul treno vede un cartello che si avvicina, è inevitabile che
i due uomini prevedano un tempo di percorrenza diverso. Questo, si può far vedere,
non avverrebbe in relatività classica, con la composizione delle velocità per somma.
Conclusione, per far sı̀ che c sia la velocità della luce sia per l’uomo sul treno che per
quello a terra, la misura del tempo sui due sistemi di riferimento deve essere diversa.
L’ABC della relatività di Galileo
Eventi e trasformazioni di Galileo
Siamo quindi giunti a stabilire che la velocità della luce sia “assoluta”, nel senso di
indipendente dal SRI. Cosa significa questo? Prima di vederlo, dobbiamo ripassare le
trasformazioni di Galileo. Ricordiamo le trasformazioni di Galileo per due sistemi di
riferimento S e S, dove S si muove rispetto ad S con velocità v nella direzione x (ad
esempio S) è una corriera in viaggio, mentre S è il sistema di riferimento della strada:
x = x − vt
(8)
y=y
(9)
z=z
(10)
t=t
(11)
Vediamo di capire meglio cosa significa operare una trasformazione di Galileo, soprattutto,
a cosa si riferiscono le coordinate x, y, z, t e x, y, z, t. Ad esempio le trasformazioni Eq. (8)
possono contenere le coordinate x, y, z di un semaforo lungo la strada. Però c’è anche
la coordinata t. Questa ad esempio si riferisce al momento in cui il semaforo diventa
rosso. Qual’è l’oggetto quindi di questo spazio descritto con quattro coordinate, in cui
c’è anche il tempo? L’oggetto fisico a cui si riferiscono è un evento, dove per evento
intendiamo qualunque avvenimento oggettivo, verificabile dagli osservatori di tutti i
sistemi di riferimento, che avvenga in un preciso punto dello spazio, e in un preciso
istante. Un semaforo che diventa rosso diventa rosso in un preciso istante e in un preciso
punto dello spazio. Non solo nel riferimento fermo della strada avviene in un preciso
punto dello spazio, ma anche nel riferimento della corriera. Un viaggiatore sulla corriera
può infatti dire: “il semaforo è diventato rosso dopo due secondi che l’avevamo superato, e
quando l’avevamo già sorpassato di dieci metri”. Quindi anche il viaggiatore sulla corriera
15
riesce ad assegnare una precisa quaterna di coordinate spaziali e temporali all’evento “il
semaforo diventa rosso”. La quaterna assegnata da un uomo sulla strada sarà diversa da
quella assegnata dal viaggiatore, e le trasformazioni di Galileo mettono in relazione, per la
fisica classica, le due quaterne tra di loro.
È importante ricordare che l’Eq. (8) va bene scritta cosı̀ se nei due sistemi di riferimento
si concorda su quale sia l’origine degli assi spaziali, e l’origine dei tempi. Ad esempio il
viaggiatore e l’uomo sulla strada e quello sulla corriera potrebbero avere sincronizzato
gli orologi nel momento in cui si sono incontrati all’incrocio, e aver preso le coordinate
dell’incrocio come origine degli assi. La sincronizzazione degli orologi significa proprio
fare sı̀ che t = t. Nel caso più generale in cui viaggiatore e uomo sulla strada non
concordassero sull’origine degli assi spaziali e dei tempi, quello che le trasformazioni di
Galileo ci permettono di scrivere è:
x − x 0 = x − x0 − v ( t − t0 )
(12)
y − y = y − y0
(13)
z − z0 = z − z0
(14)
t − t0 = t − t0
(15)
0
dove adesso le quantità che vengono messe in relazione sono esplicitamente differenze
tra coordinate di un evento x, y, z, t, e un evento di riferimento x0 , y0 , z0 , t0 . Ribadiamolo,
in generale le trasformazioni di Galileo ci aiutano a mettere in relazione le differenze
di coordinate tra un evento dato e un evento di riferimento, che, nel caso particolare
della corriera, poteva essere il passaggio del semaforo. Quando entrambi i sistemi di
riferimento concordano sulla coordinata spaziale e temporale da dare all’evento di riferimento, allora si ha la forma semplificata (di solito quella che si trova sui libri) Eq. (8). Se
guardiamo l’Eq. (12) osserviamo che la trasformazione di Galileo assomiglia ad un cambio
di coordinate in cui le ascisse vengono combinate linearmente con il tempo, usando come
“coefficiente” la velocità. Le trasformazioni di coordinate a cui gli studenti possono già
essere abituati sono, per esempio, se pensiamo al piano cartesiano, quelle che “combinano”
ordinate con ascisse, del tipo:
x − x 0 = x − x0
(16)
y − y = y − y0 − α ( x − x0 )
(17)
0
(18)
in cui l’asse y non cambia, mentre l’asse x viene inclinato lungo una retta con coefficiente angolare −α. Supponiamo che io e un mio amico giochiamo a battaglia navale
avendo lui come riferimento un piano cartesiano con assi ortogonali, e una intelaiatura a
scacchiera fatta tracciando le parallele all’asse x e y, e lui un piano cartesiano con l’asse x
inclinato. Anche lui traccia le parallele. Un evento può essere come un punto sul foglio,
se facciamo due copie del foglio e su ciascuna tracciamo i due riferimenti cartesiani, le
coordinate date all’evento saranno diverse, ma l’evento è uno solo. Le trasformazioni del
piano consentono di prendere l’etichetta x, y data ad un punto rispetto ad un riferimento,
ed esprimerla “nel linguaggio” dell’altro riferimento. I punti sul foglio sono assoluti. Se
io disegno quattro punti a forma di quadrato, quando sia io che il mio amico lo guardiamo, continueremo a vedere un quadrato, ma saranno diverse le etichette che daremo
ai vertici. Come si danno le etichette? Confrontando la posizione di ciascun vertice con
una intelaiatura fatta tracciando parallele agli assi x e y, ovvero linee lungo cui cambia
una sola coordinata alla volta, e guardando vicino a quale “incrocio” di parallele si trova
16
Alcuni esempi di eventi: fatti che avvengono in un istante ed in un punto determinabile
in qualsiasi sistema di riferimento
1. scoppio di una bomba
2. il viaggiatore A incontra il viaggiatore B
3. il viaggiatore A passa all’incrocio ( x, y) della griglia del SR S, il cui orologio
segna il tempo t
4. il viaggiatore A in moto rettilineo uniforme, cambia improvvisamente la sua
velocità aumentandola, diminuendola, o cambiandone la direzione (il cambio di
velocità è indipendente dal SR, mentre di quanto cambi, incluso l’angolo tra le
due direzioni, dipende dal SR)
5. una palla rimbalza contro al muro
6. due palline rimbalzano simultaneamente nello stesso punto
7. un pendolo finisce di effettuare la sua terza oscillazione
Alcuni esempi di cose che non si possono considerare eventi (i punti segnati in blu
non sarebbero eventi neanche per Galileo):
8. due palline rimbalzano simultaneamente in due punti diversi dello spazio (il
rimbalzo può essere simultaneo in un sistema di riferimento, e non simultaneo
in tutti gli altri, quindi in questi SR il rimbalzo simultano potrebbe non avvenire
mai)
9. il viaggiatore A incrementa la sua velocità di 30 m/s (in un riferimento inerziale
rispetto a cui A si sta muovendo con velocità pari a c-3m/s questo incremento
non avverrà mai, perchè gli farebbe superare la velocità della luce)
10. il viaggiatore A passa all’incrocio ( x, y) al tempo t (occorre specificare il SR)
11. il viaggiatore A svolta a destra, cambiando la direzione della sua velocità di 90
gradi (questa “svolta” a destra potrebbe essere a sinistra per un osservatore in
moto relativo, rispetto a cui A si allontana invece di avvicinarsi)
Tabella 2: IMPORTANTE: si ricordi che l’“accadere” di un evento è sempre assoluto (un
evento “accade in qualsiasi sistema di riferimento”) ciò che è relativa è la sua etichetta
x, y, z, t. Qualsiasi “accadimento” espresso in modo che non si possa verificare in tutti i
sistemi di riferimento non si può considerare un evento.
17
ciascun punto. Quindi si misura l’etichetta del punto “per confronto” con una intelaiatura
di incroci (anche questi punti) di riferimento.
Cosa è un sistema di riferimento in relatività
Nello scrivere le trasformazioni di Galileo Eq. (12), si è parlato di coordinate spaziali e
temporali per il viaggiatore sulla corriera, e per l’uomo sulla strada. Più correttamente,
si dovrebbe parlare di “sistema di riferimento” del viaggiatore, e dell’uomo sulla strada.
Cosa intendiamo per sistema di riferimento? Nel paragrafo precedente, con l’esempio
su un piano cartesiano di assi ortogonali o non ortogonali, con una trasformazione di
coordinate dall’uno all’altro, il sistema di riferimento era l’insieme di punti tracciati come
incroci “alla battaglia navale” tra parallele all’asse x e parallele all’asse y, assieme alle
loro etichette x, y. I punti vengono usati come confronto. Una persona che gioca alla
battaglia navale intenderà come sistema di riferimento la scacchiera in cui ogni quadretto
è contrassegnato da una lettera e da un numero. Una persona che vive a New York
prenderà come sistema di riferimento l’intelaiatura in Streets e Avenues, e i loro incroci. In
generale un sistema di riferimento spaziale è una intelaiatura di punti di riferimento,
contrassegnati con una etichetta di posizione. La posizione di qualsiasi altro oggetto
può essere dedotta per confronto con la posizione dei punti di riferimento. In questo
senso, un sistema di riferimento ci permette di tracciare una “mappa”. Per uno stesso
terreno, è possibile prendere intelaiature di punti di riferimento diversi (ad esempio a
New York usando le intersezioni tra paralleli e meridiani invece che streets e avenues
come punti di confronto), e le trasformazioni di coordinate aiutano ad esprimere i punti
di una “mappa” in funzione dei punti dell’altra “mappa”. Le trasformazioni sono quindi
uno strumento “sociale” di “coordinamento” tra diversi sistemi di riferimento, e tra le loro
mappe. Un po’ come le traduzioni sono strumenti sociali di comunicazione tra persone
che parlano lingue diverse. La trasformazione (traduzione) presuppone quindi l’esistenza
sia di qualcosa di relativo (la parola, che cambia con la lingua), sia di qualcosa di assoluto
(il concetto che si vuole esprimere con quella parola). Analogamente, l’Hotel Metropolitan
è un oggetto assoluto, sulla cui esistenza tutti concorderanno (indipendentemente dalla
loro mappa, e concorderanno anche sul fatto che sia più vicino a Central Park che a
Times Square, quindi concorderanno anche sulle relazioni reciproche di posizione di
diversi oggetti). Sono le coordinate dell’Hotel Metropolitan a non essere uguali per tutti
(l’indirizzo via e numero, piuttosto che la posizione GPS).
Cosa c’è di speciale nelle trasformazioni di Galileo? C’è che ora tra le coordinate
compare anche il tempo. Anzi, le trasformazioni di Galileo mescolano il tempo con lo
spazio (ma non lo spazio con il tempo). Il nostro sistema di riferimento deve quindi
comprendere una intelaiatura non soltanto rispetto allo spazio, ma anche rispetto al tempo.
Se prima gli elementi dello spazio erano oggetti a posizione fissata, adesso il “terreno”,
la “città” in cui ci muoviamo è lo spazio-tempo, ovvero gli elementi che lo caratterizzano
sono gli eventi (oggetti a posizione fissata, a cui si attribuisce anche un tempo fissato).
Quindi l’intelaiatura di punti di riferimento deve diventare non più una intersezione di
(ad esempio per la città) una street (a x fissato e y variabile) con una avenue (a y fissato e x
variabile), ma ora per ogni x e y fissati occorre aggiungere un asse a t variabile), quindi
una intelaiatura di rette lungo cui cambia il tempo, ma non la posizione. Se il nostro
asse x era una street, e l’asse y una avenue, l’asse t è un orologio posto all’origine x = 0
e y = 0. Mandare delle parallele a questo asse t in ogni punto x, y significa mettere
un orologio, sincronizzato (ovvero con lo stesso t0 = 0) con quello in (0, 0), in ogni
punto ( x, y). Dunque un prototipo di sistema di riferimento dello spazio-tempo è un
reticolo di “strade”, con ad ogni incrocio un orologio. Questa intelaiatura costituisce
una griglia di eventi di riferimento, dove ogni evento è ad esempio descrivibile come
18
Galileo
Einstein
sim. temporale
3
7
sim. spaziale
7
7
sim spazio-temporale
3
3
Tabella 3: Indipendenza dal SR del concetto di simultaneità spaziale, temporale, e spaziotemporale in Galileo ed Einstein
“l’orologio in ( x, y) batte il minuto t”. Qualunque cosa (evento) succeda in questa città
disseminata di orologi tutti sincronizzati, questa cosa accadrà nelle vicinanze di un
qualche orologio, e precisamente quando questo batte una determinato minuto. L’evento
accade indipendentemente dal sistema di riferimento (se mi dimenticassi di tracciare
l’intelaiatura di strade, o di mettere gli orologi), ma il sistema di riferimento è necessario
per “etichettarlo”, per “orientarmi” rispetto ad esso . Se ci restringessimo ad uno spazio
bidimensionale, come quello della superficie di una città, potremmo rappresentare l’asse
del tempo come un asse verticale (come un asse z). Una persona che siede su una panchina
e sfoglia il giornale, genera eventi (ad esempio lo sfogliare una pagina) che si dispongono
lungo un asse verticale. Una persona che va in bicicletta a velocità costante genera eventi
(ad esempio la prima, la seconda . . . la ventesima pedalata) che si dispongono su una retta
con una pendenza pari alla velocità (attenzione perchè in questo caso l’asse dei tempi è quello
verticale, mentre in cinematica di solito l’asse x era quello verticale).
Ora, uno può scegliere un altro sistema di riferimento, ad esempio una corriera che
si muove lungo la dodicesima strada. Supponiamo che la corriera sia molto grande, e
che anchèssa sia divisa in righe e colonne di sedili, con ad ogni incrocio un orologio. Se
l’uomo in bicicletta viaggia esattamente alla stessa velocità della corriera, di fianco ad essa,
le sue pedalate “avvengono” nel sistema di riferimento della corriera esattamente nello
stesso punto. Un aspetto delle trasformazioni di sistema di riferimento che si vede già
nella relatività di Galileo è che eventi che accadono nello stesso punto in un sistema di
riferimento, possono non accadere nello stesso punto in altri sistemi di riferimento. In
altre parole “accadere” nello stesso punto non è una proprietà indipendente dal sistema
di riferimento, detto in altre parole ancora, se io dico “Quel signore che legge il giornale
starnutisce nello stesso punto in cui il ciclista fa la sua prima pedalata”, il valore di
verità della mia affermazione non è indipendente dal sistema di riferimento. Infatti il
ciclista potrebbe fare la sua prima pedalata di fianco alla panchina, e di fianco alla corriera
nel momento in cui questa passa di fianco alla panchina, e due minuti dopo il lettore del
giornale starnutisce. I due eventi accadono nello stesso punto nel riferimento della città,
ma in quei due minuti la corriera si è allontanata dalla panchina, quindi in particolare
il signore starnutisce, nel riferimento della corriera (che ha la sua origine nel posto del
guidatore, ad esemio), più lontano di quanto il ciclista faccia la sua prima pedalata.
Sistema di riferimento inerziale
Da quanto visto prima, un sistema di riferimento è una inpalcatura di incroci ed orologi.
Due sistemi di riferimento possono essere in quiete relativa quando le due impalcature non
si muovono l’una rispetto all’altra, oppure possono essere in movimento relativo. Posso
calcolare la velocità relativa ad esempio usando un autovelox, usando come “automobile”
un incrocio dell’impalcatura dell’altro sistema di riferimento. La velocità che calcolo io
avrà la stessa direzione e verso opposto a quella che calcolerà un viaggiatore solidale
all’altro sistema di riferimento che cerca di misurare la mia velocità. Secondo Galileo e
Newton, un sistema di riferimento è inerziale quando è in quiete, o si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento in cui valga la prima legge di
19
Newton, ovvero rispetto ad un sistema di riferimento in cui i corpi non soggetti a forze si
muovono di moto rettilineo uniforme. Secondo la relatività Galileiana, in ogni SRI, la fisica
avviene nello stesso identico modo. L’essere “in quiete o in moto rettilineo uniforme
rispetto a (IMR)” è un concetto relativo. Possiamo vedere che questa frase stabilisce
una relazione di equivalenza. Un SR è sempre IMR rispetto a se stesso, anzi, sempre in
quiete rispetto a se stesso (proprietà riflessiva); se mi muovo a velocità v rispetto ad un
altro sistema, lui si muove a velocità −v rispetto a me (proprietà antisimmetrica); se A si
muove a velocità costante v rispetto a B e B con velocità costente u rispetto a C, allora C si
muove con velocità costante rispetto ad A (transitiva).4
Questa ultima cosa è facile da vedere con le trasformazioni di Galileo, applicandole
per due volte, troviamo che C si muove rispetto ad A con velocità u + v. Con la relatività
speciale sarà un pò diverso, ma resterà il fatto che la velocità di C rispetto ad A sarà
costante. Fissato il mio sistema di riferimento, posso classificare tramite una velocità v
relativa al mio sistema di riferimento, tutti i SR che si muovono rispetto al mio di moto
rettilineo uniforme, etichettandoli con questa v.
Allora la IMR è una relazione di equivalenza, e posso stabilire delle classi di equivalenza. Per ogni classe posso scegliere un rappresentante che descrive la classe. Tra
queste classi una sola è quella dei sistemi di riferimento inerziali, e la relatività Galileiana dice che tra questi non esiste un rappresentante privilegiato. Come controllare allora
se il nostro sistema di riferimento è inerziale o no? Possiamo attaccare ad ogni incrocio
dell’impalcatura del nostro sistema di riferimento un accelerometro, ovvero una molla
con attaccata una massa, vicino ad una molla uguale senza massa. Supponiamo di essere in assenza di gravità. Se il nostro sistema di riferimento è accelerato, la molla con la
massa si allungherà rispetto alla quella senza massa. La lunghezza della molla, e la sua
inclinazione, ci dirà in quale classe di sistemi di riferimento siamo. La classe dei sistemi
inerziali è quella in cui le molle non si allungano; per ogni allungamento e direzione
della molla, esiste una classe di sistemi di riferimento accelerati. Dentro quella classe,
esistono tanti rappresentanti quante sono le velocità relative. Le trasformazioni di Galileo
permettono di connettere le coordinate spazio-temporali di due sistemi di riferimento che
si muovono a velocità relativa v, quindi di connettere due rappresentanti in una classe.
Riprendiamo una trasformazione di Galileo in una dimensione spaziale:
x − x 0 = ( x − x0 ) − v ( t − t0 )
t − t0 = t − t0
(19)
(20)
Se supponiamo che il sistema di riferimento S, con coordinate degli “incroci” x, t sia in
quiete (riferimento della strada), mentre S è la corriera; troviamo:
dx
= −v
dt
(21)
ovvero x è la coordinata del semaforo nel riferimento della corriera, che si sposta con
velocità −v rispetto ad un punto in quiete nella corriera. Se x fosse la coordinata di
un punto in moto con velocità u rispetto alla strada, la derivata della sua coordinata x
sarebbe (controllare per credere) dx/dt = u − v (ad esempio il ciclista che si muove a
fianco della corriera). Questa è la legge Galileiana di trasformazione della velocità u
di un viaggiatore da un sistema di riferimento ad un altro con velocità relativa v: la
nuova velocità è la somma della vecchia velocità, e della velocità relativa del vecchio
sistema di riferimento rispetto al nuovo (la strada si muove con velocità −v rispetto
alla corriera). Se x fosse sempre la coordinata del ciclista, ed il ciclista stesse accelerando
4 Da
notare, Einstein cambia la regola di composizione delle velocità, ma mantiene questa proprietà
transitiva, mantenendo anche le prime due cosı̀ come sono.
20
con accelerazione a nel riferimento della strada, allora si avrebbe d2 x/dt2 = a, quindi
l’accelerazione dei corpi, in relatività galileiana, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento
inerziali; l’accelerazione e la durata degli intervalli di tempo (t − t0 ) tra due eventi, sono
invarianti per trasformazioni di Galileo. Questo ci ribadisce anche che l’aggettivo di
“rettilineo uniforme” (a = 0) è invariante per trasformazioni di Galileo. Se un moto è
rettilineo uniforme in un SR lo è in tutti i SR nella stessa “classe di equivalenza”.
Sistema di riferimento “proprio” e linea di universo
Ogni viaggiatore nello spazio-tempo è dotato anche lui di un suo orologio, supponiamo
che disponga anche di un metro (bastano le sue braccia) per misurare le distanze. In
effetti ogni viaggiatore, per lo stesso fatto di esistere e di possedere il suo “metro”
individua sempre un sistema di riferimento ad esso “solidale”. Infatti ogni viaggiatore
può considerare se stesso come origine degli spazi, e la mezzanotte del suo orologio
come origine dei tempi. Può quindi immaginare di usare il suo metro per creare attorno
a lui una intelaiatura di “incroci” per misurare lo spazio che lo circonda, e idealmente
può pensare di porre una copia del suo orologio ad ogni incrocio. Se il viaggiatore ha
attaccato a se stesso un lampeggiante, l’evento “n-esimo lampo di luce” descrive sempre,
nel riferimento “solidale” con il viaggiatore, una serie di punti su una retta parallela
all’asse t. Ovvero tutti questi eventi accadono nello stesso punto. Chiamiamo questo
sistema di riferimento “solidale” in cui la posizione del viaggiatore è ad ogni tempo
fissata, “sistema di riferimento proprio”. In un altro sistema di riferimento generico S
rispetto a cui il viaggiatore è in moto, il lampeggiare della lampadina del viaggiatore
descriverà una curva nello spazio-tempo. Se il viaggiatore è in moto rettilineo uniforme
rispetto a questo sistema di riferimento S la curva sarà una linea retta in generale inclinata
rispetto all’asse t e x (se supponiamo che ci si muova in una sola dimensione), la cui
pendenza in ogni istante sarà la velocità del viaggiatore “relativa” al sistema di riferimento
in cui lo osserviamo. L’insieme degli eventi “lampeggiare” della lampadina può essere
messo in “ordine” rispetto a quale lampeggio avviene prima e quale dopo rispetto
all’orologio del viaggiatore. L’ordine che diamo ai punti non dipende dal sistema di
riferimento S, mentre come saranno disposti nello spazio dell’“intelaiatura” di incroci ed
orologi di S dipenderà ovviamente dal sistema di riferimento. In generale l’insieme dei
lampeggii, ordinati in questo modo, descrive una curva chiamata “linea di universo”
(forse voi studenti la conoscete meglio come “legge oraria”), che ha forme diverse in
sistemi di riferimento diversi... ma che nel sistema di riferimento “proprio” è sempre
una retta parallela a t.
L’orologio a luce
Secondo il secondo postulato della relatività ristretta, la velocità della luce è la stessa in
tutti i SRI. Questo postulato ha una ripercussione nel modo in cui il tempo trascorre in
un sistema di riferimento piuttosto che in un altro. Prendiamo ad esempio un sistema di
riferimento in cui un orologio sia in quiete, ad esempio uno degli orologi posti all’incrocio
di una impalcatura di un SRI. Utilizziamo come orologio5 una coppia di specchi paralleli
tra cui rimbalzi, in modo perpendicolare agli specchi, un raggio luminoso. Ogni volta che
il raggio di luce ritorna al primo specchio dopo essere rimbalzato sul secondo, l’orologio
registra il trascorrere di una “unità di tempo proprio (UTP)”, dove intendiamo “tempo
proprio” il tempo che trascorre nel SR dove l’orologio è fermo. Supponiamo che la distanza
degli specchi sia standardizzata, per cui l’UTP sia la stessa in tutti gli orologi. Se gli specchi
sono a distanza l, 1 UTP= ∆τ = 2l/c. Se mi metto in un SR S che si muove con velocità v
5 Qui
si può inserire una immagine dell’orologio a luce
21
rispetto all’orologio, in questo SR il raggio di luce che rimbalza da uno specchio all’altro
viene “visto” viaggiare non lungo la stessa direzione avanti e indietro, per una lunghezza
l, ma gli si vede percorrere un cammino inclinato L da uno specchio all’altro. L sarà
l’ipotenusa di un triangolo che ha come cateti l e v∆t /2, dove ∆t è il tempo che la luce
impiega a ritornare sul primo specchio, visto nel riferimento S. Siccome il raggio, per
il secondo postulato della relatività speciale, deve sempre viaggiare con modulo della
velocità uguale a c, ∆t = 2L/c. Questa ultima relazione si puó scrivere tutta in funzione
di ∆t
q
2 l 2 + v2 ∆2t /4
= ∆t
(22)
c
e si trova:
∆2t =
4l 2
∆τ
4l 2
=
=
2
2
2
2
1 − v /c
1 − v /c
1 − v2 /c2
(23)
Quindi il tempo che trascorre in S mentre l’orologio che è fermo in S ticchetta di un
∆τ = 1 UTP, risulta uguale a:
∆ t = γv ∆ τ
(24)
Questo fenomeno è detto “dilatazione dei tempi”, ed è un effetto che non è presente nella
relatività Galileiana, per cui gli intervalli di tempo sono invarianti. L’assolutezza della
velocità della luce costringe a considerare il trascorrere del tempo come “relativo”. In
un mondo Galileiano, il raggio di luce visto da S muoversi attraversando lo specchio,
avrebbe una velocità maggiore di c, e precisamente la sua componente nella direzione del
moto sarebbe uguale a v, mentre quella ortogonale sarebbe uguale a c. Il tempo totale di
attraversamento dell’orologio non cambierebbe. 6 Usando la (24) scritta in un altro modo:
r
v2
∆τ = ∆t 1 − 2
(25)
c
si mostra chiaramente come gli intervalli di tempo misurati da un orologio a luce nel
riferimento in cui l’orologio non si muove (ovvero nel riferimento “proprio” dell’orologio), sono sempre minori dei rispettivi intervalli di tempo misurati in qualsiasi
sistema di riferimento in cui l’orologio è in moto. L’affermazione equivale a dire che
“il quarto d’ora dell’orologio a luce” (il tempo che trascorre tra i due eventi quando la
lancetta dei minuti è sul 12, a quando è sul 3), dura un quarto d’ora solo nel riferimento
proprio dell’orologio a luce, mentre dura di più in qualsiasi altro sistema di riferimento
in moto rispetto all’orologio. Il tempo scandito dell’orologio a luce nel suo sistema di
riferimento proprio si chiama “tempo proprio”.
Esercizio: viaggio verso una stella e ritorno
Studiamo questo problema. In un certo SR, la Terra e la stella X distano 100 anni luce.
Un astronave passa vicino alla Terra viaggiando con v/c = 0.99, quindi impiegherà
t = 100/0.99 ≈ 101 anni a raggiungere
X. Tuttavia il suo orologio segnerà che è passato
√
un tempo uguale a ∆τ ≈ 101 1 − 0.98 ≈ 14 anni. Insomma, mentre sulla Terra i genitori,
e forse i figli, del viaggiatore sono morti, lui è invecchiato di appena 14 anni! Se rimonta
sull’astronave e torna indietro, passeranno nuovamente per lui altri 14 anni mentre sulla
Terra ne passano 101. Risultato finale, viaggiando per 28 anni si ritroverà sulla Terra a
6 Qui
si può proporre di studiare la funzione γv , facendo vedere che è maggiore di 1, e che tende a ∞ per
v→c
22
vivere con persone di due secoli più avanti. È come se Napoleone, facendo un viaggio
spaziale, rientrasse sulla Terra oggi. 7
Prima di proseguire nella discussione sul tempo proprio, introduciamo due strumenti,
utilizzabili per la relatività Galileiana ma anche nella relatività speciale, che servono per
calcolare la velocità relativa di due SRI in moto uno rispetto all’altro, l’“Autovelox” e il
“Radar” (vedi sezioni 9.6 e 9.4)8 .
Un sistema di riferimento speciale per due eventi
Supponiamo che per t = t0 il primo maggio (in un riferimento S, ad esempio quello del
Sistema Solare) vi sia una grigliata per x = x0 Terra, mentre per t = t1 primo maggio
dell’anno dopo, vi sia una grigliata su x = x1 Giove. Un viaggiatore è interessato a
presenziare a entrambi gli eventi, e subito dopo la grigliata sulla Terra azzera il suo
orologio a luce e si mette in viaggio in moto rettilineo uniforme per raggiungere Giove
in tempo per la grigliata successiva, quindi con velocità (spazio percorso fratto tempo
impiegato) v = ( x1 − x0 )/(t1 − t0 ) = ∆ x /∆t . Arrivato su Giove, misura quante UTP sono
passate sul suo orologio. Usando l’Eq. (23), troviamo una relazione tra ∆t anno e ∆τ , che è
il tempo proprio misurato sull’orologio a luce del viaggiatore.
∆2τ = ∆2t −
v2 2
∆
c2 t
(26)
ma siccome il viaggiatore si è mosso di moto rettilineo uniforme, allora v∆t = ∆ x , quindi
si ottiene:
∆2τ = ∆2t −
∆2x
c2
(27)
A secondo membro in pratica si sta sottraendo all’intervallo di tempo al quadrato che
intercorre tra i due eventi, il tempo al quadrato che ci metterebbe la luce ad attraversare
lo spazio tra uno e l’altro. Il viaggiatore che si muove in moto rettilineo uniforme dalla
Terra a Giove in pratica si mette su un SR speciale, in cui le due grigliate avvengono nello
stesso punto. Anche il primo membro in realtà contiene il tempo al quadrato che passa
tra i due eventi, meno il tempo al quadrato che ci metterebbe la luce ad attraversare lo
spazio che li separa, soltanto nel SR del viaggiatore entrambe le grigliate avvengono con
la stessa coordinata spaziale. 9 In effetti, nel sistema di riferimento solidale al viaggiatore
(che è il sistema di riferimento proprio del viaggiatore), i due eventi distano soltanto nel
tempo, e non nello spazio, e la loro distanza nel tempo coincide con il tempo proprio che
il viaggiatore vede trascorrere tra i due eventi. La cosa importante è che se in qualsiasi
sistema di riferimento, ad esempio quello S di una cometa che si muove attraverso il
sistema solare a velocità costante facciamo la differenza tra il tempo al quadrato che
intercorre tra i due eventi ed il tempo al quadrato che la luce impiega a percorrere lo
spazio tra i due eventi, otteniamo sempre la stessa quantità, che è questo ∆2τ , ovvero il
tempo misurato su un SRI in cui i due eventi avvengono nello stesso punto, ovvero il
tempo proprio di un viaggiatore che presenzia ad entrambi gli eventi, partendo subito
dopo il primo evento e arrivando puntuale al secondo, muovendosi di moto rettilineo
7A
questo punto in teoria per trasparenza sembrerebbe necessario evidenziare il paradosso: anche Napoleone vedrebbe ticchettare gli orologi del SR della Terra in modo più lento, dal suo punto di vista. Ritengo
non opportuno sollevare la questione adesso, lasciando spazio all’effetto stupore causato da questo fenomeno
di “viaggio nel tempo”. Ci si può tornare sopra al momento di discutere il paradosso dei gemelli dopo avere
definito il tempo proprio.
8 Si procede a discutere l’autovelox, introducendo soltanto il Radar, rimandando la discussione di come
funzioni a dopo
9 Sarebbe come dire che su un pullman che viaggia da Roma a Milano, tutti i rifornimenti di benzina
avvengono alla stessa coordinata del SR del pullman, ovvero quella del serbatoio del pullman.
23
uniforme. Questo SR speciale è come la corriera che parte sullo stesso luogo ed allo
stesso tempo dell’evento 1, e si muove in moto rettilineo uniforme in modo da arrivare
esattamente puntuale sul luogo dell’evento 2.
Una quantità per misurare la distanza tra eventi
Si può considerare la quantità ∆2t − ∆c2x , espressa nell’equazione (27) come il quadrato
di una vera e propria “distanza” tra due eventi nello spazio-tempo. 10 Se è positiva
(si dice “di tipo tempo”), questa distanza si può scrivere come (prendendo la radice
quadrata):
r
∆2
∆τ = ∆2t − 2x
(28)
c
2
come detto, corrisponde al tempo dell’orologio a luce di un viaggiatore che parte da un
evento e si muove di moto rettilineo uniforme verso il luogo dell’altro evento, in modo
da arrivarci “puntuale”. Di solito quando si risolve un’equazione con una incognita al
quadrato, si estrae la radice e si prende col più o con il meno. La radice quadrata in
Eq. (28) in questo caso si prende con il segno più, con la convenzione quindi che ∆τ sia
positivo, ovvero l’intervallo di tempo scandito dall’orologio del viaggiatore si calcola tra
l’evento che avviene dopo (nel riferimento del viaggiatore) e quello che avviene prima.
Cosa vuole dire se la distanza tra due eventi è zero ( si dice “di tipo luce”)? Vuole dire che
∆2t = ∆c2x , ovvero che il viaggiatore dovrebbe muoversi alla velocità della luce per arrivare
“puntuale”. In questo senso, quando ∆τ è positivo significa che la luce che partisse dal
primo evento arriverebbe “in anticipo” al punto del secondo evento. Se ∆τ è zero, il
viaggiatore deve viaggiare alla velocità della luce (solo un fotone può farlo), e il tempo
proprio che trascorre per questo viaggiatore risulta essere zero (l’orologio a luce del fotone
non ticchetta mai). Vi è anche la possibilità che la quantità sotto radice in Eq. (28) sia
negativa (distanza “di tipo spazio”). In tal caso ∆τ è immaginario, e ciò significa che
nessun viaggiatore riuscirebbe ad arrivare “puntuale” partendo dalla posizione di un
evento e viaggiando verso la posizione dell’altro. Si può dire anche che il primo evento
non ha alcun modo di “influenzare” il secondo, perchè nessun viaggiatore che è stato
presente al primo evento potrebbe riuscire ad essere presente al secondo (arriverebbe
sempre “in ritardo”, quando l’evento è già avvenuto)11 . Il fatto che ∆τ sia immaginario è
un risultato del fatto che la relatività di Einstein rispetta il principio di causalità. È possibile
dimostrare che per due eventi con un ∆τ immaginario (e quindi un ∆2τ negativo) si può
trovare un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono contemporaneamente (il
∆τ di due eventi che avvengono contemporaneamente è sempre negativo o nullo). Anzi,
se in un SRI i due eventi avvengono uno prima dell’altro, si può trova un altro SRI in cui il
secondo avviene prima del primo. Due eventi per cui esista un sistema di riferimento che
scambia l’ordine in cui accadono, non possono essere in relazione di causalità l’uno con
l’altro12 .
2
10 Si osserva che la quantità Eq. (27) non resta la stessa se si applica una trasformazione di Galileo. Questo è
un’ulteriore conferma del fatto che le trasformazioni di Galileo non sono adeguate alla fisica della relatività di
Einstein, in cui Eq. (28) deve restare la stessa in tutti i SRI. Le trasformazioni di SR giuste, che descrivono il
passaggio da un SRI ad un altro in relatività speciale, riproducendo correttamente la dilatazione dei tempi e
mantenendo invariato ∆τ , sono diverse, e sono chiamate Trasformazioni di Lorentz.
11 Si possono fare molti altri esempi, ad esempio con l’alibi di un omicidio. L’assassino deve dimostrare di
avere presenziato ad un evento “di tipo spazio” rispetto all’omicidio, altrimenti l’alibi cade.
12 Una sciocca battuta a tale proposito: sembra quindi che la nascita dell’uovo e della gallina siano due
eventi di tipo spazio
24
Tempo proprio come lunghezza di una linea di universo
Gli eventi della storia di una persona, o le tappe dalla legge oraria di un qualsiasi corpo,
sono tutti eventi “di tipo tempo”, questo perchè nel sistema di riferimento della persona
avvengono tutti nello stesso punto, e quindi il radicando nella Eq. (28) non ha la parte
negativa, che dipende da ∆ x . Quando abbiamo una distanza13 , possiamo usarla per
calcolare lunghezze non solo di tratti rettilinei, ma anche di curve. E in effetti, l’intervallo di tipo tempo ∆τ può essere usato per misurare il tempo trascorso sull’orologio
a luce di un viaggiatore che si sposta nello spazio-tempo durante la sua vita, anche
in modo curvo (non di moto rettilineo uniforme). Questo tempo proprio non è altro
che la “lunghezza” invariante (misurata con la distanza invariante) della sua linea di
universo (anche curva). Per effettuare la misura, basta considerare tanti eventi, sempre
più vicini nel tempo, della storia del viaggiatore (Giovanni mangia la Pizza a Napoli, si
lava i denti a Firenze, sale su un aereo a Londra, mangia il terzo grissino ad un aperitivo,
mangia il quarto grissino, mastica la prima volta, la seconda . . . l’orologio a luce di Giovanni ticchetta una volta, due volte, tre volte . . . )14 , eventi della sua “linea di universo”, e
sommare il ∆τ . La somma si può fare usando Eq. (28) in qualsiasi sistema di riferimento,
basta calcolare i due intervallini a secondo membro. Tutti gli eventi avvengono nello stesso
punto del SR del viaggiatore, quindi ∆τ = dτ è proprio uguale all’elementino di tempo
proprio tra i due eventi. Inoltre, tra ciascuna coppia di eventi vicini, se sono abbastanza
vicini, il viaggiatore si muove di moto approssimativamente rettilineo uniforme, ed arriva
esattamente “in punto” per l’evento successivo, quindi ∆τ = dτ è anche la distanza nello
spazio-tempo tra i due eventi. Si ottiene:
Z
Z r
(dx )2
(dt)2 − 2
(29)
Tproprio =
dτ =
c
γ
γ
dove γ è la linea di universo del viaggiatore (la linea aperta composta ordinatamente dagli
eventi x0 , t0 , x1 , t1 ... xn , tn della vita del viaggiatore). Il secondo membro si può calcolare
in qualsiasi SR: se tra un evento con coordinate x, t e uno x + dx, t + dt, il viaggiatore si
muove con velocità circa costante v(t) = dx/dt, si può scrivere
Z
Z r
Z r
v2
v ( t )2
2
2
dt − dt 2 =
1 − 2 dt
Tproprio = dτ =
(30)
c
c
γ
che equivale a sommare i “ticchettii” dell’orologio del viaggiatore durante tutto il suo
percorso nello spazio tempo (uguali a secondo membro ai “ticchettii” dell’orologio del SR
contratti del fattore di contrazione dei tempi 1/γv )
Si può dimostrare che se tra due eventi della sua vita t = t0 , x = x0 (ad esempio
l’appuntamento per l’aperitivo al caffé concerto alle cinque) e t = t1 , x = x1 (ad esempio
la proiezione del film al cinema estivo) per un sistema di riferimento S, un viaggiatore si
muove di moto rettilineo uniforme con velocità uguale a ∆ x /∆t (percorre una linea di
universo rettilinea nel piano x, t), la sua variazione di tempo proprio (ovvero il numero
di UTP trascorse sul suo orologio a luce), che in caso di moto rettilineo uniforme è
anche uguale, come detto prima, alla “distanza” nello spazio-tempo tra la colazione e
la projezione al cinema, risulta essere la massima possibile. Supponiamo infatti che il
bar ed il cinema si trovino a 10000 secondi/luce (1000 secondi ×c) di distanza di distanza,
e l’intervallo di tempo tra la colazione e la projezione sia di 20000 secondi, circa cinque ore
13 Conviene
ribadire che questa è una distanza molto strana, perchè può essere immaginaria
si arriva a scandire gli eventi della linea di universo con i ticchettii dell’orologio proprio, si sta
effettivamente parametrizzando la linea di universo come x (τ ), t(τ ), quindi si sta dando la definizione, senza
dirlo, di linea di universo contenuta nei libri universitari di relatività
14 Quando
25
e mezzo. Se un viaggiatore si muove di moto rettilineo uniforme deve viaggiare a v = c/2,
usando l’Eq. (30), si ricava15 :
r
1
Tproprio = 20000 1 − ≈ 17320
(31)
4
quindi al viaggiatore sembrerà che tra l’aperitivo ed il cinema siano trascorsi solo 17320
(cinque ore meno un quarto), e non 10000 secondi. Se però, prima di andare al cinema,
il viaggiatore vuole andare a comprare le sigarette a metà strada, a 5000 secondi-luce di
distanza, arrivando prima della chiusura del negozio (che chiude circa alle sette, ovvero
dopo 7000 secondi/luce) il percorso si spezza in due moti rettilinei uniformi tra il bar e il
tabaccaio, e tra il tabaccaio ed il cinema, divisi da un momento di accelerazione: il tempo
proprio del viaggiatore risulta più piccolo
r
r
25
25
Tproprio = 7000 1 −
+ 13000 1 −
≈ 4898 + 12000 = 16898
(32)
49
169
Ma la questione è ancora più paradossale di quanto sembra: se il viaggiatore decide di
arrivare “in anticipo” sul luogo del secondo evento, in modo da potersi leggere un libro,
ad esempio percorrendo i 10000 secondi-luce in 15000 secondi, invece che 20000, e poi
stando fermo, si ottiene ancora:
r
√
4
(33)
Tproprio = 15000 1 − + 5000 1 − 0 ≈ 11180 + 5000 = 16180
9
ovvero, paradossalmente quando cerca di arrivare in anticipo, il tempo totale che ha a
disposizione per leggersi il giornale tra un evento e l’altro diminuisce16 ! Questo perchè,
anche in questo caso, il viaggiatore ha accelerato (ha cambiato il suo moto arrestandosi
e mettendosi in quiete) in un punto dello spazio-tempo intermedio tra i due eventi.17
Abbiamo quindi questa proprietà: dati due eventi ed un viaggiatore che percorre una
linea di universo che li ha come estremi, in altre parole un viaggiatore che nel corso
della sua vita presenzia ad entrambi, la linea di universo tra i due eventi che comporta
il massimo tempo proprio, ovvero il massimo invecchiamento, o più ottimisticamente
il massimo tempo per leggersi il giornale, per il viaggiatore, è la linea rettilinea nello
spazio-tempo, ovvero che comporta un moto rettilineo uniforme del viaggiatore.
Vedendo le cose in modo equivalente, ma un po’ diverso, il sistema di riferimento
“proprio” del viaggiatore, ad esempio l’automobile su cui si muove, sarà inerziale (si
muoverà di moto rettilineo uniforme) se e solo se il tempo proprio del viaggiatore tra i
due eventi sarà il massimo possibile. Se il viaggiatore, nel passare dal primo al secondo
evento, dovesse accelerare (come è costretto a fare per comprare le sigarette), allora
automaticamente tra l’aperitivo ed il cinema sul suo orologio trascorrerà meno tempo.
Detto in altre parole, se la linea di universo è dritta, il suo tempo proprio è massimo. Se
il viaggiatore accelera, la sua linea di universo è curva (o spigolosa), il tempo proprio è
minore.
In particolare, se due eventi avvengono nello stesso punto dello spazio rispetto
ad un certo SR, il viaggiatore che presenzia ad entrambi gli eventi che registrerà il
massimo intervallo di tempo proprio sarà il viaggiatore che non si muove in quel SR.
15 Nel
mostrare questo caso ed i seguenti, si può disegnare alla lavagna la linea di universo nei diversi casi;
questo può essere utile anche per rimarcare come il tempo proprio non sia uguale alla lunghezza “Euclidea”
sul piano x, t, visto che la linea di universo misurata in modo Euclideo risulterebbe più lunga proprio quando
invece comporta un tempo proprio minore
16 G.K. Chesterton direbbe “la fretta fa perdere tanto tempo”
17 Qui può essere utile rimarcare di nuovo come “punto dello spazio-tempo” ed “evento” siano due
sinonimi.
26
Ecco perchè se di due gemelli uno resta sulla Terra, e uno fa un viaggio sul pianeta X
(Sezione 8.5.1), quello che ha viaggiato ritorna sulla terra più giovane del primo. Tra
l’evento partenza e l’evento arrivo sulla Terra, il secondo gemello ha effettuato un moto
accelerato.
Vedete allora che in relatività speciale esiste un altro modo di definire un SRI, ovvero un sistema di riferimento solidale ad un viaggiatore che percorre lo spazio-tempo in
modo che tra i suoi “impegni” (gli eventi a cui presenzia) intercorra sempre il tempo
proprio massimo (è ad esempio la corriera guidata da un viaggiatore che viaggia “con
calma”, un viaggiatore “inerziale”). Einstein si accorgerà che in presenza di gravità, questa
definizione di SRI fa allargare la classe dei SRI fino a comprendere anche i SRI accelerati
“in volo libero” in campo gravitazionale, come un ascensore in caduta libera, e a causa di
questa osservazione sarà portato a formulare la relatività generale, che estende ancora di
più la validità della meccanica e dell’elettrodinamica, facendole valere anche in questa
ulteriore classe di sistemi di riferimento.
Conferme sperimentali della relatività speciale
Tra le conferme sperimentali della relativits̀peciale possiamo annoverare:
• l’esperimento di Michelson e Morley, che più che altro è una confutazione della
teoria alternativa della propagazione della luce nell’etere (che impediva di estendere
la relatività Galileiana all’elettromagnetismo)
• la vita media del muone. Il muone è una particella che si forma negli strati alti
dell’atmosfera, e come una bomba ad orologeria decade (“esplode”) dopo due
milionesimi di secondo. Se non si verificasse il fenomeno della dilatazione dei tempi
(il muone nel riferimento della terra decade dopo un tempo maggiore rispetto ai due
milionesimi di secondo), il muone non avrebbe tempo di raggiungere la superficie
della terra, cosa che invece avviene, in media, per la maggior parte di loro.
• il sistema GPS; in effetti questo sistema ha bisogno non solo della relatività speciale,
ma anche della relatività generale per funzionare. I satelliti che sono in orbita attorno
alla terra inviano ai dispositivi terrestri un segnale elettromagnetico con la loro
posizione ed il loro tempo. Dal momento in cui arriva il segnale e dall’informazione
del tempo in cui è partito, io posso stabilire la mia distanza dal satellite. Ma il
satellite è in moto rispetto alla terra, ed il suo orologio “ticchetta” più lentamente
per una persona sulla Terra. L’informazione di tempo che lui mi invia è quindi “il
suo” tempo, non “il mio”. Se non ne tengo conto sbaglio a calcolare la mia posizione.
Se ne tengo conto, il GPS invece funziona.
Spunti per motivare alle prossime unità didattiche
Le unità didattiche successive, secondo la mappa in Fig. 1, sono la dinamica relativistica
e la relatività generale. Per introdurre la relatività generale già da questa UD, ci si può
agganciare alla nuova definizione di moto rettilineo uniforme data nella Sezione 8.8 in
termini di percorso di massimo tempo proprio. Ai fini dell’introduzione della dinamica
relativistica, può essere interessante partire dal concetto di dilatazione dei tempi e di
orologio a luce, e provare a mettere di fianco a questo orologio a luce una molla. Per
l’effetto di dilatazione dei tempi il periodo della molla sarà più lungo in un SR in cui la
molla è in movimento. Questo, presupponendo che la seconda equazione di Newton sia
valida in qualsiasi SRI, porta alla definizione di massa relativistica, ed introduce quindi i
concetti chiave di energia ed impulso relativistici.
27
Strumenti per esperimenti mentali
Mappa dello spazio-tempo
Si tratta di una mappa t vs x di un particolare SRI, che usiamo per “etichettare” gli eventi,
come punti sulla mappa. Sulla mappa si possono disegnare anche le linee di universo,
ovvero le successioni ordinate (rispetto al ticchettio dell’orologio a luce proprio) di eventi
a cui “presenzia” un viaggiatore nello spazio tempo. La “storia” di un individuo, in cui
per ogni ticchettio del suo orologio si registra il punto in cui il ticchettio avviene, ed il
momento t del SRI in cui avviene. Gli esercizi che si possono dare o svolgere alla lavagna
concernenti questo strumento sono ad esempio:
• una serie di eventi da rappresentare su una mappa (x, t), calcolandone le distanze
invarianti, classificandoli come di tipo tempo, luce, o spazio.
• dati degli eventi rappresentati su una mappa, rappresentarli su un’altra mappa,
quella di un viaggiatore che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo
sistema di riferimento, tenendo conto che per entrambi i sistemi di riferimento un
particolare evento dato si trova nell’origine (basta quindi riscalare le variazioni di
tempo). Questo esercizio in realtà è troppo avanzato rispetto a quanto visto in questa
UD, in cui non si danno esplicitamente le trasformazioni di Lorentz. Nel caso però i
due eventi siano di tipo tempo, è possibile ricavare la loro posizione sulla mappa
del viaggiatore in moto anche senza sapere le trasformazioni di Lorentz. Sevirebbe
però una lezione apposita che in questa unità didattica non si è prevista.
Orologio a luce
Questo strumento è già stato illustrato nella sezione 8.5.
Sincronizzatore di orologi
Abbiamo visto che un SR , già in relatività galileiana, consiste in una intelaiatura, in una
impalcatura di assi paralleli agli assi x, y, z, con a ciascun incrocio un orologio. L’orologio
a ciascun incrocio, in relatività speciale, è un orologio a luce. Risulta importante poter
sincronizzare gli orologi a ciascun incrocio l’uno con l’altro, in modo che ad ogni punto del
SR gli orologi battano la stessa ora. Per farlo basta mandare un messaggio in forma di onda
elettromagnetica dall’orologio “ufficiale” del SR verso unp
qualunque punto dello spazio.
Il messaggio arriverà dopo un tempo ∆t = L/c, dove L = x2 + y2 + z2 , sottraendo ∆t al
tempo indicato nel messaggio, si troverà l’orario su cui fissare le lancette dell’orologio a
luce. Mentre gli orologi dello stesso SRI, una volta sincronizzati, resteranno in punto, gli
orologi di due diversi SRI, a causa della dilatazione dei tempi, si sfaseranno. È possibile
però fissare per entrambi una origine dei tempi, ovvero sincronizzarli almeno per un
istante in modo che battano la stessa ora. Basta per esempio che (ricordando i due sistemi
di riferimento strada-corriera) il guidatore della corriera, passando davanti alla stazione,
legga il valore delle lancette (quindi la sincronizzazione degli orologi deve avvenire
come un singolo evento, stesso istante, stessa posizione), e poi utilizzando il messaggio
elettromagnetico sincronizzi tutti gli orologi del suo sistema di riferimento rispetto al suo
orologio personale.
Autovelox
Una corriera S viaggia in autostrada a velocità v prossima a quella della luce. Un autovelox
nel SR S della strada verifica questa velocità come segue: due sensori sono posti a distanza
L sopra due pietre miliari consecutive (i cartelli che indicano il kilometraggio lungo le
28
strade), ciascun sensore scatta quando gli passa davanti il muso della corriera. Lo scatto di
un sensore è un evento. Il tempo ∆t tra ciascuno scatto del sensore permette di calcolare
v = L/∆t . È importante che i due orologi dei due sensori siano sincronizzati.
Sulla corriera invece il tachimetro del guidatore viene regolato usando un altro criterio,
ogni volta che un sensore sulla ruota anteriore della corriera passa davanti ad una pietra
miliare, registra l’intervallo di tempo tra una pietra miliare e la precedente. Sulla corriera
l’orologio proprio del guidatore ticchetta più lentamente rispetto all’orologio che è installato su ciascun sensore dell’autovelox, dunque tra un passaggio davanti al primo sensore
ed il passaggio davanti al secondo sensore, passa un tempo ∆t = ∆t /γv , quindi se L è
la distanza tra i due sensori misurata sulla corriera, il modulo della velocità rispetto alla
strada viene calcolata come v = γv L/∆t . Ma se per il SR S la corriera viaggia a velocità in
modulo v, per il SR S, la strada le viene incontro con velocità −v, quindi uguale in modulo
e opposta, per un principio di simmetria nel moto relativo tra i corpi.
Allora questo significa che si deve avere γv L/∆t = L/∆t , ovvero che L = L/γv . Da
notare che se il guidatore prendesse per buone le distanze scritte sulle pietre miliari,
e calcolasse la sua velocità come L/∆t troverebbe un valore di γv L/∆t = γv v, che è
maggiore di v, e che tende addirittura ad infinito quando v → c.
Bomba a orologeria
Si tratta di una bomba che ha come timer un orologio a luce, e che esplode dopo un
intervallo di tempo proprio ∆τ fissato dal momento dell’innesco. Un terrorista la lancia
ad una certa velocità rispetto al proprio SR di quiete, cercando di farla esplodere in
corrispondenza di un certo evento di coordinate (∆ x , ∆t ) nel SR dell’osservatore. Questo
evento può essere considerato anche l’incontro della bomba con un viaggiatore in moto
rispetto al terrorista. Si possono creare svariati esercizi a partire da questo strumento,
faccio alcuni esempi:
Esercizio: lancio di una bomba
Il viaggiatore ed il terrorista sono fermi, condividendo lo stesso SR . Il terrorista ha un
lancia-bombe che spara bombe a velocità fissata u, e deve stabilire di conseguenza la
lunghezza della miccia per riuscire a fare esplodere la bomba al momento giusto. Il
tempo che passa tra il lancio della bomba e l’incontro della bomba con il viaggiatore é
chiaramente uguale a (supponiamo che il viaggiatore sia a distanza L):
∆t =
L
u
(34)
tuttavia il tempo proprio dell’orologio della bomba che trascorre tra il lancio e l’incontro
della bomba e del viaggiatore è:
∆τ =
L
γu u
(35)
Se il terrorista non tiene conto della “lentezza” dell’orologio della bomba quando questa
viene messa in moto, e per esempio fissa la miccia in modo che la bomba esploda dopo
∆τ = L/u, il viaggiatore può prendere in mano la bomba e lanciarla indietro verso il
terrorista; se fa bene i conti, l’ignoranza della teoria della relatività può costare molto cara
al terrorista. Infatti al viaggiatore resta ancora un tempo:
L
1
0
∆τ =
1−
(36)
u
γu
29
per lanciare la bomba all’indietro con velocità v e farla esplodere in corrispondenza del
terrorista.18 Per ottenere la velocità di lancio deve risolvere l’equazione implicita (dove si
conosce ∆0 τ):
∆0τ =
L
γv v
(37)
e si trova
L
∆0τ
v= r
1+
L
c∆0τ
2
(38)
Questo problema può essere utilizzato per illustrare il fenomeno dei muoni, che in effetti
non sono altro che “bombe” lanciate dall’atmosfera verso la terra. Il fatto che facciano più
strada di quanto non ci si aspetterebbe prima di decadere (“esplodere”) avviene per la
stessa ragione per cui la bomba di questo esercizio esplode in ritardo rispetto a quanto il
terrorista “Galileiano” non si aspetterebbe.
Esercizio: attentato suicida
Equivalentemente, si può considerare un viaggiatore che si muove ad una certa velocità
u rispetto al SR del terrorista, questa volta un kamikaze, il quale fissa il timer della
bomba e si lascia esplodere sul posto, senza lanciarla. In questo caso il timer deve
essere fissato a L/u secondi invece che L/(uγu ). Si può far notare che la differenza di
tempo di innesco tra questo caso ed il caso precedente, in cui la bomba viene lanciata,
è dovuta ad una asimmetria tra i due problemi. Nel caso precedente la bomba subisce
una accelerazione dopo che il timer è stato fissato, nel secondo caso non subisce nessuna
accelerazione. L’accelerazione che la bomba subisce tra l’evento innesco e l’evento incontro
con il viaggiatore è responsabile del fatto che il tempo proprio che trascorre tra i due
eventi sia minore di quello che trascorrerebbe se la bomba non subisse accelerazione (ad
esempio se la bomba fosse già in movimento al momento dell’innesco assieme al terrorista,
il quale però calcolerebbe, a causa della contrazione delle lunghezza, che la distanza del
viaggiatore sia L/γu )
Esercizio: doppio attentato
Si può utilizzare lo strumento della bomba (anzi due bombe) per mostrare il concetto di
relatività della simultaneità. Il terrorista lancia due bombe con velocità in modulo uguale
a v, una verso destra e una verso sinistra, per fare esplodere due obiettivi governativi
simultaneamente, dislocati a distanza ± L. Le bombe hanno lo stesso tempo di innesco ∆τ ,
quindi nel riferimento del terrorista esplodono simultaneamente, a distanza spaziale identica dal terrorista, e pari a L/(γu ∆τ ). Dal punto di vista di un viaggiatore su una corriera
con verlocità u, tuttavia, la bomba che gli viene incontro avrà rapidità r (v0 ) = r (v) + r (u),
mentre quella che si allontana avrà rapidità minore: r (v00 ) = r (v) − r (u) 19 . Quindi il
viaggiatore vedrà ticchettare l’orologio della bomba che si avvicina più lentamente dell’orologio della bomba che si allontana. Quindi la bomba che si allontana, nel riferimento del
viaggiatore, esploderà prima di quella che si avvicina.
A che distanza dal terrorista esploderanno nel riferimento del viaggiatore? Nel riferimento del terrorista, esplodono a distanza L dal terrorista. Qui conviene usare la distanza
invariante tra l’evento “lancio” e l’evento “esplosione”. Essa è uguale al tempo proprio
18 NB
una conseguenza del principio del massimo tempo proprio nei moti rettilinei è anche il fatto che più
ci si “rimpalla” un orologio, meno rapidamente l’orologio ticchetta.
19 Se non si è ancora fatto il Radar (vedi Sezione 9.6) e manca il concetto di rapidità, basta parlare di velocità.
30
di ciascuna bomba tra il lancio e l’esplosione: ∆τ . Nel riferimento della corriera, si ha
(∆0t )2 − (∆0x )2 /c2 = ∆2τ = (∆00t )2 − (∆00x )2 /c2 . Siccome ∆0t > ∆00t , allora si deve avere anche
∆0x > ∆00x . Quindi la bomba che viene verso la corriera esplode più lontana dal terrorista di
quella che si allontana.
Radar
Usando un emettitore di onde elettromagnetiche, un viaggiatore V in un SR S nello spaziotempo può controllare la velocità relativa di un altro SR S, su cui sia stato installato uno
specchio. Il metodo funziona in questo modo: il viaggiatore invia due segnali luminosi
ravvicinati, il primo ritardato di un intervallo di tempo ∆ rispetto al proprio orologio a
luce. Dopo un certo lasso di tempo T, riceve il primo due segnali, dopo T 0 = T + ∆00 riceve
il secondo segnale. Anche questi tempi sono ovviamente misurati rispetto all’orologio a
luce del viaggiatore. Il valore del ritarto ∆00 tra l’arrivo del primo e del secondo segnale è
uguale a ∆ soltanto se lo specchio è fermo rispetto al viaggiatore. Altrimenti si modifica.
Dal tempo di arrivo del primo segnale inviato, e dal confronto tra ∆ e ∆00 si possono
estrarre due informazioni utilissime: la prima è la velocità dello specchio rispetto al
viaggiatore, la seconda è la distanza dello specchio L al momento dell’invio del primo
segnale. Vediamo come ottenerle.
Ricordiamo che il SR S dove facciamo i conti è quello dove il viaggiatore è fermo e lo
specchio si sta muovendo, supponiamo avvicinandosi, con velocità v. Il primo segnale
(1)
s1 verrà emesso al tempo τ0 = 0, quando lo specchio si trova a distanza L. Impiegherà
quindi un tempo δτ = ( L − vδτ )/c 20 a raggiungere lo specchio, e lo stesso tempo a
rientrare, quindi otteniamo:
T = 2δτ =
2L
v+c
(39)
(2)
Il secondo segnale verrà emesso al tempo τ0 = ∆, quando lo specchio si trova a distanza
L − v∆, quindi per tornare al viaggiatore impiegherà un tempo (abbiamo imparato come
si fa, usiamo la stessa formula) 2( L − v∆)/(v + c), che sommato al tempo a cui è stato
emesso ci fornisce il tempo finale di arrivo:
T0 = ∆ +
2( L − v∆)
v+c
Se calcoliamo la differenza tra i due tempi di arrivo, troviamo:
−2v∆
1 − v/c
00
0
∆ = T −T = ∆+
=
∆
v+c
1 + v/c
(40)
(41)
Una osservazione: il ritardo ∆0 con cui, in S, i due raggi colpiscono lo specchio, è uguale
a (basta sommare metà del secondo termine nella (41), cosı̀ che si considera metà del
percorso dei raggi soltanto, cioè l’andata):
−v∆
1
0
∆ = ∆+
=
∆
(42)
v+c
1 + v/c
Quindi se calcoliamo la quantità D (−v) (la chiamiamo D (−v) come “doppler”, mettiamo il meno perchè lo specchio viene “incontro” all’onda) che descrive la contrazione
dell’intervallo tra i due impulsi, troviamo
∆00
1 − v/c
D (−v) =
=
(43)
∆
1 + v/c
20 quando
colpisce lo specchio, lo specchio si è avvicinato di una distanza proporzionale al tempo che il
raggio ci ha messo a raggiungerlo
31
possiamo ottenere la velocità con cui lo specchio ci viene incontro come:
D (v) − 1
v=c
D (v) + 1
(44)
e quindi anche la L misurata al tempo τ = 0
L=
1
T (v + c)
2
(45)
cosı̀ che la distanza L0 al momento T 0 della ricezione del secondo segnale (che è il momento
in cui si ha tutta l’informazione per calcolare v e L), sarà
L0 = L − v( T 0 ) =
1
T (v + c) − vT 0
2
(46)
Dal punto di vista dello specchio
Supponiamo adesso di metterci nel SR dello specchio, S, in cui lo specchio è fermo. Lo
specchio vede arrivare i due raggi di luce inviati dal viaggiatore, questa volta in moto.
Supponiamo che assieme a ciascun segnale venga inviata anche l’informazione rispetto
all’orario dell’orologio a luce del viaggiatore a cui il segnale è stato emesso, in modo
che si possa conoscere, in particolare, il valore di ∆. Ricordiamo√che il secondo-luce
dell’orologio del viaggiatore in moto viene percepito come γv = 1/ 1 − v2 /c2 volte più
lungo dall’osservatore vicino allo specchio. Se fissiamo per convenzione come tempo
t = 0 quello a cui viene emesso il primo raggio (nel riferimento S), il secondo raggio
viene emesso con un ritardo ∆ = γv ∆ nel riferimento S. Nel frattempo il viaggiatore sarà
avanzato di una distanza l = v∆, che dà al secondo raggio un vantaggio di v∆/c secondi.
Quindi l’intervallo ∆0 tra l’arrivo sullo specchio del primo e del secondo segnale sarà, nel
riferimento S uguale a:
v
∆0 = 1 −
∆
(47)
c
e ricordandosi della dilatazione dei tempi, si ottiene
v
γv ∆ =
∆0 = 1 −
c
r
1 − v/c
1 + v/c
!
∆
(48)
Quindi abbiamo ottenuto come coefficiente di proporzionalità tra il ritardo di emissione
(misurato nel SR dell’emettitore) e quello di riflessione sullo specchio (misurato nel SR
dello specchio), esattamente la radice quadrata del termine trovato nell’Eq. (43). Da notare
come a questo punto, scambiando i ruoli di S e S, si può guardare l’intervallo di ricezione
∆00 con cui i due segnali riflessi dallo specchio arrivano sul viaggiatore in S, calcolandolo
in funzione dell’intervallo di riflessione ∆0 . In questo caso è come se i raggi partissero
dallo specchio in moto ed arrivassero al viaggiatore nel riferimento in cui egli è fermo.
Si ottiene quindi che il ritardo tra i due segnali ricevutip
in S rispetto al ritardo con cui
partono dallo specchio in S è più breve di un altro fattore (1 − v/c)/(1 + v/c), cosı̀ che:
!
r
1 − v/c
00
∆ =
∆0
(49)
1 + v/c
e usando l’espressione (48) di ∆0 in funzione di ∆, si torna ad ottenere l’Eq. (41).
32
Confronto con l’effetto Doppler per onde che si propagano in un mezzo
Se andiamo a rivedere l’espressione per l’effetto doppler in fisica classica per un’onda che
si propaga in un mezzo con velocità u, ad esempio un’onda sonora, troveremo che le due
espressioni per il ritardo tra due impulsi inviati in un SR dove il mezzo è fermo, riflessi da
uno specchio in moto (che, riflettendo, si comporta come una sorgente in movimento), e
nuovamente ricevuti dall’emettitore, è ancora:
1 − v/u
∆00 =
∆
(50)
1 + v/u
tuttavia nell’ambito della fisica classica, gli intervalli di tempo non cambiano da un SR
all’altro per cui gli intervalli sottolineati sono uguali agli intervalli non sottolineati; inoltre,
essendo il mezzo di propagazione fermo nel riferimento di S, la velocità u è tale soltanto
in S, mentre in S risulta essere uguale a u + v, per la composizione galileiana delle velocità.
Se andiamo a calcolare il ritardo con cui i due raggi colpiscono lo specchio (Doppler da
sorgente ferma ed osservatore, lo specchio, in moto), troviamo esattamente l’Eq. (42).
−v∆
1
∆0 = ∆ +
∆
(51)
=
v+u
1 + v/u
dove u è la velocità del suono. Se consideriamo ora lo specchio come emettitore (sorgente
in moto), troviamo, in modo analogo a Eq. (47),
v 0
∆00 = 1 −
∆
(52)
u
É interessante notare come ora vi sia una asimmetria tra il percorso di andata e quello
di ritorno. Questo avviene proprio perchè i due sistemi di riferimento non sono più
equivalenti rispetto alla legge di propagazione delle onde. Questa asimmetria tra i due
percorsi dell’onda scompare in relatività speciale. 21
Composizione delle velocità
Analizziamo ora tre sistemi di riferimento S, S e S. I primi due sono gli stessi del problema precedente sull’effetto Doppler, ovvero il riferimento del viaggiatore e quello dello
specchio. Se ci mettiamo in S, di fianco al viaggiatore, vediamo lo specchio muoversi con
velocità v verso di noi.
Supponiamo di metterci in S quindi di fianco allo specchio, e supponiamo anche che
lo specchio sia semitrasparente, cosı̀ che parte del segnale luminoso invato dal viaggiatore
oltrepassi lo specchio. Stando nel riferimento dello specchio vediamo un altro specchio in
movimento verso di noi con velocità u. I due impulsi inviati dal viaggiatore con ritardo ∆,
raggiungeranno il primo specchio fermo in S con un ritardo pari a ∆0 , che abbiamo già
calcolato in Eq. (48) in funzione del ritardo in S, e verranno in parte riflessi, arrivando al
viaggiatore, nel suo riferimento S, con un ritardo ∆00 già visto in Eq. (41). In parte i due
impulsi verranno trasmessi, e si rifletteranno sul secondo specchio. Se pensiamo soltanto
ai SR S e a S, vediamo che possiamo vedere lo specchio fermo in S come un emettitore
(ha il ruolo che prima aveva il viaggiatore), mentre lo specchio fermo nel riferimento S
∗
assume il ruolo che prima aveva lo specchio in S. Se scriviamo come ∆ il ritardo con cui i
due impulsi arrivano al secondo specchio, troviamo la relazione:
!
! r
!
r
r
1 − u/c
1
−
u/c
1
−
v/c
∗
∆ =
∆0 =
∆
(53)
1 + u/c
1 + u/c
1 + v/c
21 Un’altra
cosa da notare è che, nel caso lo specchio si muovesse a velocità maggiore di u, l’intervallo di
ritorno alla sorgente dei due segnali emessi potrebbe essere negativo: i due segnali potrebbero invertirsi, e
quello emesso per secondo arrivare per primo: una cosa che invece non può succedere nel caso di segnali
luminosi emessi dalla stessa sorgente.
33
Che lega il ritardo sullo specchio in S al ritardo di emissione in S. Se togliamo lo specchio
intermedio, e facciamo i conti considerando soltanto i due SR S, e S, quello che troviamo
dovrebbe essere una espressione di questo tipo:
!
r
1 − u0 /c
∗
∆
(54)
∆ =
1 + u0 /c
dove u0 è la velocità che il viaggiatore rileverebbe usando il radar direttamente contro lo
specchio in S, ovvero è la velocità di S rispetto ad S. Secondo Galileo, questa dovrebbe
essere uguale a u + v, e a noi cosa viene? Abbiamo calcolato in due modi diversi quanto
cambia il ritardo tra i due impulsi tra il riferimento S e S. Allora dobbiamo per forza avere,
per essere consistenti:
!
! r
!
r
r
1 − u0 /c
1 − u/c
1 − v/c
=
(55)
1 + u0 /c
1 + u/c
1 + v/c
Risolvendo questa equazione, troviamo:
u+v
1 + uv
c2
u0 =
(56)
Osserviamo una serie di cose interessanti:
• se u, v sono piccole rispetto a c, il denominatore è circa uguale a 1, e si ritrova la
legge di composizione che si ottiene dalle trasformazioni di Galileo.
• il fatto che in generale le velocità non si sommino, significa che le trasformazioni di
Galileo in generale non sono valide
• la velocità di uno specchio in moto non potrebbe mai essere maggiore di c, questo
è un risultato importante che si poteva intuire già dalla divergenza del fattore γ:
delle velocità maggiori di c non hanno senso, non sono fisiche22 .
• guardando l’Eq. (55), se si prendono i logaritmi di entrambi i membri, si trova:
1
ln
2
1 − u0 /c
1 + u0 /c
1
= ln
2
1 − v/c
1 + v/c
1
+ ln
2
1 − u/c
1 + u/c
(57)
v/c
Einstein ha chiamato la quantità r (v) = 21 ln 11+
−v/c “rapidità”. Per ricordarsi
la legge di composizione delle velocità basta ricordarsi che mentre in relatività
Galileiana le velocità si sommano, in relatività speciale le rapidità si sommano. Si
può notare che per v piccole, r (v)/v → 1, mentre r (v) → ∞ per v → c. Quindi
mentre la velocità relativa di due SR non può essere mai maggiore di c, la rapidità
può avere valori arbitrari (proprio come prima la velocità in ambito Galileiano).
• in funzione della rapidità, il fattore di contrazione (o dilatazione) doppler dell’intervallo tra i due impulsi D (v) si scrive come exp 2r (v) (un fattore exp r (v) all’andata e
exp[r (v)]+exp[r (−v)]
uno al ritorno). Il fattore di dilatazione temporale γv si scrive come
2
che è una funzione crescente di r (v).
22 si
può provare a comporre due velocità, ad esempio 3/4c e c/2, il risultato sarà minore di c
34
Alcuni suggerimenti per affrontare un problema di relatività
1. individuare gli eventi in gioco, ricordandosi la definizione di evento
2. individuare di volta in volta i sistemi di riferimento in gioco, e le velocità di ognuno
rispetto agli altri
3. ricordarsi che gli intervalli di tempo e le distanze hanno un valore diverso in un
sistema di riferimento rispetto ad un altro; per non sbagliarsi è meglio usare dei
simboli diversi per sistemi di riferimento diversi, e quando si fa il disegnino del problema, fare un disegno diverso ogni volta che si considera un sistema di riferimento
diverso
4. invece la luce viaggia sempre alla stessa velocità c; si può usare questa cosa per
calcolare calcolare distanze o tempi in un qualsiasi sistema di riferimento
5. chiedersi sempre se per qualsiasi ragione si sta usando un concetto fisico come se
ci si trovasse in relatività galileiana: non siamo abituati a lavorare in relatività di
Einstein, e quindi il cervello, se non stiamo attenti, tende a farci fare ragionamenti
sbagliati.
6. ricordarsi che oltre a c, anche la “distanza spazio-temporale” tra due eventi è sempre
uguale in tutti i sistemi di riferimento. Può essere utile calcolarla prima in un sistema
di riferimento, poi in un altro, per trovare una relazione tra intervalli di tempo e di
spazio nei due sistemi di riferimento.
7. cercare di individuare delle “simmetrie” nel problema, ovvero cercare di capire se
due quantità che in un problema generico non sono uguali, devono essere uguali
per il problema in esame a causa di “situazioni identiche” (si veda il problema
dell’effetto doppler nella sezione 9.6, dove in relatività si possono scambiare i ruoli
di viaggiatore e specchio, ottenendo le stesse formule per il ritardo tra i due impulsi
luminosi emessi e ricevuti)
Valutazione
Valutazione formativa
Per la valutazione formativa si intende assegnare a casa degli esercizi, da risolvere di
volta in volta. Si possono chiamare brevemente alla lavagna alcuni studenti a correggerli
e discuterli, ed annotarsi alcune considerazioni che possano essere usate per compilare
la rubric Tabella 4. È prevista un’ora in cui si propongono degli esercizi da fare a piccoli
gruppi, con discussione di classe alla fine.
Verifica sommativa
Si propone un compito in due sezioni: domande aperte e problemi. Si indica come un’ora
e mezza il tempo per svolgerlo, eventualmente dando una mezz’ora in più nel caso ci si
renda conto che i ragazzi hanno difficoltà a svolgerne una parte soddisfacente in novanta
minuti.
Per ciascuna sezione, si richiede di svolgere metà del compito. Si assegnano 6 punti
ad ogni domanda aperta, 24 punti ad ogni problema. Idealmente, per i soli problemi si
vorrebbe porre la sufficienza a 27 punti, ovvero poco più del punteggio di un problema
completo. Un alunno che si trovasse in difficoltà a risolvere un problema intero potrebbe
arrivare alla sufficienza anche svolgendo le parti più facili di ciascun problema. Mettendo
insieme problemi e domande, si richiede, per avere la sufficienza, un punteggio di 40.
Il punteggio di un compito svolto perfettamente (4 domande, 2 problemi), è di 72. Il
35
punteggio massimo ottenibile è il doppio, ma ci sono limiti oggettivi di tempo che rendono
la possibilità che uno studente faccia l’en plein estremamente remota.
Domande aperte
Si chiede di rispondere a metà delle domande (6 pt a ciascuna domanda). La valutazione
di completezza di ciascuna domanda viene fatta utilizzando le prime due righe della
rubric in Tabella 4.
1. Enunciare il primo postulato della relatività speciale; enunciare una osservazione
teorica e una sperimentale che hanno portato alla sua formulazione.
2. A cosa si riferisce il termine “relatività”? Che cosa è “relativo” nella teoria? Che cosa
non lo è?
3. Se Einstein avesse potuto discutere con Galileo, che cosa avrebbe approvato della
sua relatività Galileiana? Che cosa avrebbe invece contestato? Percè
4. Perchè secondo te si è dovuto aspettare fino a fine ’800 per poter formulare la teoria
della relatività speciale? Non poteva scoprirla anche Galileo?
5. A cosa “serve” la relatività speciale? Enunciare una applicazione di cui ciascuno
di noi beneficia nella vita di tutti i giorni, e spiegare perchè senza la relatività di
Einstein non funzionerebbe.
6. Descrivere il concetto si SR in relatività.
7. Descrivere il concetto di evento in relatività. Fare due esempi di cose che sono eventi,
e se possibile un esempio di una cosa che non è un evento.
8. Qualè il nuovo concetto di SRI che emerge alla fine della formulazione della teoria
della relatività speciale e che prelude alla relatività generale? Chiarire la connessione
con il concetto più tradizionale di SRI.
Problemi
Si risolvano due dei seguenti quattro problemi. La valutazione di completezza dei singoli
punti viene fatta secondo la seguente griglia: i) 100%, risultato corretto, risposta completa
di passaggi corredati di una breve spiegazione; ii) 80% qualche errore di calcolo, oppure
spiegazione troppo stringata e mancante malgrado risultato corretto, oppure passaggio
finale lasciato in sospeso; iii) 60% mostra di avere capito in che direzione procedere
nello svolgimento, ma lo svolgimento è lacunoso, salta passaggi, o non giustifica nessun
passaggio, i risultati sbagliati non derivano da errori concettuali ma da difficoltà nel
problem solving; iv) 40% commette un errore concettuale (o interpr) che compromette
lo svolgimento dell’esercizio; v) 20% commette un errore concettuale grave; vi) 0% non
risolve.
1. John Wayne e Clint Easwood si affrontano in un duello con la pistola. Il tempo di
reazione di Clint è il doppio di quello di John, che vale ∆t . La pistola di Clint però,
spara proiettili al triplo della velocità rispetto a quelli di John, che viaggiano con
velocità u rispetto alla pistola che li ha sparati. Dopo che l’arbitro dello scontro ha
dato il via, John e Clint estraggono la pistola e sparano dopo che è trascorso il loro
tempo di reazione. John e Clint distano L nel loro sistema di riferimento.
• determinare, se esiste, qual’è il valore minimo di L (in funzione di ∆t e di u)
affinchè John riesca ad uccidere Clint prima che Clint riesca a sparare. (2 pt)
• determinare, se esiste, qualè il valore minimo di u (in funzione di ∆t e di L),
affinché Clint riesca ad uccidere John prima che John riesca a sparare. (2 pt)
36
• nel caso entrambi i contendenti riescano a sparare, determinare in quali casi
muore prima Clint, ed in quali casi muore prima John (calcolare la posizione e il
tempo dell’evento “morte di Clint” e “morte di John” in funzione dei parametri
del problema). (2 pt)
• calcolare la distanza invariante nello spazio-tempo tra i due eventi “morte di
Clint” e “morte di John”, è reale o complessa (o dipende, e se dipende, in quali
casi è reale ed in quali casi è complessa)? (6 pt)
• esiste un sistema di riferimento (in moto rispetto a John e Clint) in cui John
e Clint muoiono contemporaneamente? (6 pt) (suggerimento, considerare la
distanza tra i due eventi di morte dei due contendenti) Trovare questo sistema
di riferimento. (6 pt)
2. un razzo a più stadi parte dal pianeta X (supposto in un sistema di riferimento inerziale) con velocità v, di cui si fissa la direzione. Dopo un tempo ∆τ (nel riferimento
del razzo), dal razzo si sgancia un secondo stadio, un razzetto che viaggia a velocità
v rispetto al razzo iniziale. Dopo un altro tempo ∆τ , si sgancia un altro razzo, sempre
con velocità v rispetto al precedente.
• descrivere come varia nel riferimento del pianeta l’intervallo di tempo tra un
distacco e l’altro di uno stadio del razzo. (6 pt)
• descrivere come varia nel riferimento dell’ultimo stadio del razzo, e nel riferimento del pianeta, lo spazio percorso dal razzo tra il distacco di uno stadio e
l’altro. (6 pt)
• supponiamo che ∆τ tenda a zero (diventando un dτ ), e che la velocità di
distacco di ciascuno stadio sia uguale a adτ ; calcolare, al momento in cui
l’orologio a luce dello stadio più avanzato del razzo batte il tempo τ, qual’è il
tempo T segnato dall’orologio a terra (12 pt)? (suggerimento: si usi il concetto
di rapidità)
3. Carlo e la sua ragazza Chiara abitano a L anni luce di distanza e condividono lo
stesso sistema di riferimento S. Carlo e Chiara decidono di andare a cena insieme,
incontrandosi al tempo t = T a cui apre un ristorante nel loro sistema di riferimento,
e che si trova a L/2 da Carlo e da Chiara. Al tempo t = 0, partono da casa dirigendosi
verso il ristorante. Quando in ristorante apre, Carlo e Chiara, che sono entrambi
arrivati, confrontano i propri orologi, e l’orologio di Carlo è più avanti dell’orologio
di Chiara.
• che cosa si può dire sul moto di Carlo e Chiara tra le loro rispettive case e il
ristorante? (5pt)
• è possibile che il tempo segnato dall’orologio di Carlo segni un tempo trascorso
durante il viaggio pari a T? (2pt)
• qual’è il tempo massimo ed il tempo minimo che potrebbe segnare l’orologio
di Carlo? (Non si fanno ipotesi sul tipo di mezzo di trasporto usato da Carlo e
sulle eventuali tappe del suo viaggio) (5pt)
• supponiamo che Chiara sia arrivata in anticipo al ristorante (muovendosi di
moto rettilineo uniforme in modo da arrivare al ristorante prima di Carlo), per
fare una sorpresa a Carlo, e che Carlo sia arrivato puntuale all’apertura del
ristorante viaggiando di moto rettilineo uniforme. Se la differenza di tempo
segnato dagli gli orologi di Carlo e Chiara è ∆, quanto tempo prima di Carlo è
arrivata al ristorante? (6pt) Descrivere, in funzione dell’anticipo di Chiara, di T
e di L, il valore del tempo segnato dal suo orologio. (6pt)
37
4. Un lanciatore di una squadra di baseball lancia orizzontalmente una palla contro
un battitore che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v = c/2 verso il
lanciatore. Nel sistema di riferimento del lanciatore, la palla ha velocità u = c/4.
Nel sistema di riferimento in cui il battitore è fermo, il battitore colpisce la palla in
modo da invertire il verso della sua velocità, lasciando inalterato il modulo.
• Con quale velocità la palla torna indietro verso il lanciatore (nel sistema di
riferimento in cui il lanciatore è fermo)? (4pt)
• Sarebbe possibile che il lanciatore, invertendo il verso del moto della palla,
raddoppiasse il modulo della sua velocità? Potrebbe triplicarlo? Percè? (5pt)
• Supponendo che il battitore si trovi inizialmente a distanza L nel riferimento
del lanciatore, nell’istante in cui il lanciatore lancia la palla, calcolare l’intervallo
di tempo che passa tra il lancio della palla e l’arrivo della palla sul battitore, e
tra la ribattuta della palla e l’arrivo della palla sul lanciatore i) nel sistema di
riferimento del lanciatore (5pt) ii) nel sistema di riferimento del battitore (5pt)
iii) nel sistema di riferimento della palla. (5pt)
Recupero e valorizzazione delle eccellenze
Recupero
Per quanto riguarda il recupero, si prevede una prova orale, da valutare con l’aiuto della
rubric 4. Le domande possono vertere sia sulle domande aperte già svolte, ma in modo
lacunoso, durante il compito, sia sulle domande aperte presenti nel compito ma non svolte.
Riguardo alla parte di problem-solving, si faranno domande sui problemi svolti durante
le lezioni, apportandovi poche modifiche.
Valorizzazione delle eccellenze
I problemi per la valutazione sommativa sono quattro, divisi in vari punti, con diversi
gradi di difficoltà. La valorizzazione delle eccellenze avviene durante il compito, in cui
studenti che abbiano competenze di problem-solving, un interesse per l’argomento, e
capacità di calcolo sopra la media possono ampiamente dimostrarle, anche risolvendo più
problemi di quanti richiesti.
38
39
10
Esegue le consegne per
a casa, si auto-valuta e
pone domande se non
riesce a capire,
interviene in classe,
segue i consigli
dell’insegnante per
migliorarsi
Mette in atto strategie
corrette di problem
solving, dimostra
intuizione e capacità di
auto-valutare i propri
passaggi.
Esegue gli esercizi
assegnati e segue i
consigli dell’insegnante
per migliorarsi, capisce
gli errori ma non
restituisce un
particolare feedback
8
Mette in atto strategie
corrette di problem
solving, è in grado di
verificare i propri
passaggi.
7
Dimostra originalità
nella presentazione dei
contenuti, ma si è
limitato allo studio
concetti presentati a
lezione.
7
Sviluppa in modo
puntuale tutti i
contenuti richiesti, ma
in modo non organico e
non particolarmente
sintetico
8
Esegue gli esercizi
assegnati, non è molto
in grado di capire i
propri errori, non è
propositivo
6
La risposta non è
organica e vi è una
omissione di alcuni
contenuti rilevanti, ma
viene affrontato almeno
un nodo concettuale
richiesto
6
Presenta i concetti
discussi a lezione in
modo corretto, ma
scolastico, senza
originalità di
ragionamento o di
contenuti
6
Mette in atto strategie
corrette di problem
solving, non riesce a
valutare bene i propri
passaggi. Si
auto-corregge se
brevemente guidato
dall’insegnante.
6
Non è in possesso di
una strategia di
problem solving. Non
riesce ad
auto-correggersi
neanche se guidato
dall’insegnante.
Applica una strategia
di problem solving in
modo talvolta scorretto.
È in grado di
autocorreggersi se
guidato in modo
sostanziale.
Si disinteressa degli
esercizi e delle
sollecitazioni
dell’insegnante
4
4
Possiede una
conoscenza scarsa dei
concetti della materia,
ha difficoltà a metterli
in relazione.
4
5
Possiede una
conoscenza schematica
dei concetti della
materia, ha difficoltà
nel collegarli tra di loro.
5
La risposta è
fortemente lacunosa,
dimostra una mancata
comprensione dei
concetti, o discute
concetti non rilevanti
4
Tabella 4: Rubric per la valutazione dei contributi scritti discorsivi, dei contributi orali discorsivi e di problem solving e dell’impegno in classe. I punteggi
assegnati sono riportati sopra a ciascuna voca. Quando utilizzata per il recupero, una strategia di valutazione che si può utilizzare è quella di dare il peso
di 1/10 a ciascuno dei quattro voti della rubric, sommandoli al voto del compito pesato con un peso di 6/10.
(4)
Impegno
(3)
Soluzione
di problemi
(2) Rielaborazione dei
contenuti
(1)
Ricchezza e
pertinenza
dei
contenuti
10
Sviluppa in modo
organico e puntuale
tutti i contenuti della
UD richiesti dalla
domanda, senza
chiamare in causa temi
non pertinenti
10
Ha rielaborato i
contenuti presentati a
lezione ed è in grado di
presentarli in modo
originale, dimostra di
avere approfondito i
concetti presentati.
9
Indice
1
Motivazioni
1
2
Contesto
2
3
Pre-requisiti
5
4
Obiettivi
6
5
Strategie didattiche
7
6
Strumenti
8
7
Suddivisione delle lezioni
8
8
Contenuti
8.1 Equazioni di Maxwell e trasformazioni di Galileo . . . . .
8.2 L’interferometro di Michelson e Morley . . . . . . . . . . .
8.3 I postulati della relatività speciale . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 L’ABC della relatività di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Eventi e trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . .
8.4.2 Cosa è un sistema di riferimento in relatività . . . .
8.4.3 Sistema di riferimento inerziale . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Sistema di riferimento “proprio” e linea di universo
8.5 L’orologio a luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Esercizio: viaggio verso una stella e ritorno . . . . .
8.6 Un sistema di riferimento speciale per due eventi . . . . .
8.7 Una quantità per misurare la distanza tra eventi . . . . . .
8.8 Tempo proprio come lunghezza di una linea di universo .
8.9 Conferme sperimentali della relatività speciale . . . . . . .
8.10 Spunti per motivare alle prossime unità didattiche . . . . .
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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Strumenti per esperimenti mentali
9.1 Mappa dello spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Orologio a luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Sincronizzatore di orologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Autovelox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Bomba a orologeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Esercizio: lancio di una bomba . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Esercizio: attentato suicida . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Esercizio: doppio attentato . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Alcuni suggerimenti per affrontare un problema di relatività
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10 Valutazione
10.1 Valutazione formativa . . . . . . . . . . . .
10.2 Verifica sommativa . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Domande aperte . . . . . . . . . . .
10.2.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Recupero e valorizzazione delle eccellenze
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Indice analitico
causalità, 1, 2, 23
distanza invariante, 7, 9, 22–24, 29, 33, 35
equazioni di Maxwell, 1, 3, 5, 6, 8, 12–14
esperienza di Michelson, 6, 8, 9, 13, 26
evento, 6, 7, 14–18, 20, 22–25, 27–29, 34, 35
linea di universo, 7, 9, 20, 23–25
problemi svolti, 20, 21, 24, 27–30, 32
sistema di riferimento, 1, 6, 7, 12–14, 16–22,
24, 25, 33, 35, 36
sistema di riferimento proprio, 18, 20, 25
tempo proprio, 1, 2, 7, 9, 23–29
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Riferimenti bibliografici
1. P. Rossi. Fisica relativistica e analitica. 2006.
2. E. Fabri. Insegnare relatività nel xxi secolo.
3. J. A. Wheeler E. F. Taylor. Fisica dello Spazio-Tempo. Zanichelli, 1996.
4. G. Borghi. Appunti presi durante le lezioni di Laboratorio Didattico-Pedagogico di
Fisica e Didattica della Fisica.
Acronimi
UD
unità didattica
UTP
unità di tempo proprio
SR
sistema di riferimento
SRI
sistema di riferimento inerziale
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