CALCOLO DELLE AREE Concetti generali Metodi numerici Concetti generali Area di un triangolo e formula di camminamento Formula di Erone Coordinate polari Coordinate cartesiane Indice Trilaterazioni e allineamenti Metodi grafo numerici Concetti generali Bezòut Cavalieri - Simpson Metodi grafici Concetti generali Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base base data Integrazione grafica Concetti generali In questa unità viene affrontata quella parte dell’agrimensura che tratta dei metodi di calcolo delle aree delle superfici agrarie dei terreni La “superficie agraria” è quella che si ottiene proiettando i punti della superficie fisica del terreno sul piano orizzontale di riferimento Mentre la superficie fisica può subire nel tempo notevoli variazioni, la superficie agraria si modifica solo se vengono cambiati i suoi confini Alla superficie agraria sono riferiti molti parametri caratteristici di un terreno quali ad esempio la sua produttività e gli indici di fabbricazione Concetti generali. Metodi per il calcolo delle aree Il calcolo dell’area della superficie agraria si effettua con metodi: numerici grafo numerici grafici Concetti generali. L’ettaro e i suoi sottomultipli ara e centiara L’ETTARO (ha) corrisponde a 10000 m2 ARA (aa) corrisponde a 100 m2 CENTIARA (ca) corrisponde a 1 m2 2260 m2 sono 14135 m2 sono ha 0 ha 1 aa 22 aa 41 ca 60 ca 35 METODI METODI NUMERICI NUMERICI PER PER IL IL CALCOLO CALCOLO DELLE DELLE AREE AREE Concetti generali I metodi numerici o analitici utilizzano per il calcolo delle aree, angoli e distanze misurate nella esecuzione di un rilievo. La scelta della procedura geometrica e della formula da impiegare, dipendono essenzialmente dal tipo di rilievo effettuato in campagna per definire il contorno dell’appezzamento Area di un triangolo e formula di camminamento St = 0,5 x AB x AC x sen A B A X X A B̂ D B X Â X X Ĉ C FORMULA DI CAMMINAMENTO St = 0,5 x [AB x BC x sen B + BC x CD x sen C – AB x CD x sen (B + C)] C Formula di Erone Se sono noti i tre lati di un triangolo l’area si ottiene dalla “formula di Erone” SABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ] A in cui p = ( AB + BC + CA ) / 2 è il semiperimetro B C Coordinate polari Se da un punto esterno di stazione S si misurano le distanze SA, SB, SC e gli angoli (SB) e (SC) l’area dell’appezzamento triangolare ABC si ottiene dalla somma delle aree dei tre triangoli SAB, SBC, SAC SAC 0C SABC = SSAB + SSBC – SSAC SSAB = 0,5 x SA x SB x sen (SB) A SSBC = 0,5 x SB x SC x sen [(SC) – (SB)] B S (SB) (SC) C SSAC = 0,5 x SA x SC x sen (SC) 0C Coordinate polari B AB A (AC) AC C (AD) A D D Se facciamo stazione in uno dei vertici, ad esempio A, e dopo aver aver orientato il C.O. su B si misurano le distanze AB, AC, AD e gli azimut (AC) e (AD) si ottiene St = SBAC + SCAD SBAC = 0,5 x AB x AC x sen (AC) SCAD = 0,5 x AC x AD x sen [ (AD) – (AC) ] Coordinate cartesiane Note le coordinate cartesiane dei vertici di Y un poligono l’area si può calcolare applicando B la “formula di Gauss” C A X SABC = 0.5 x [ ya x (xb - xc) + yb x (xc - xa) + yc x (xa – xb) ] L’area assume un segno diverso (+/ (+/--) se il poligono considerato è percorso in senso orario o antiorario Coordinate cartesiane Y B A C X D SABC = 0.5 x [ ya x (xd - xb) + yd x (xc - xa) + yc x (xb – xd) + yb x (xa – xc) ] Coordinate cartesiane Y C B D Yc Yb A Yd Ya A’ O SABCD = (SA’ABB’ + SB’BCC’ + SC’CDD’) – SA’ADD’ SA’ABB’ = 0,5 x [(Ya + Yb) x (Xb - Xa)] SB’BCC’ = 0,5 x [(Yb + Yc) x (Xc - Xb)] SC’CDD’ = 0,5 x [(Yc + Yd) x (Xd - Xc)] SA’ADD’ = 0,5 x [(Ya + Yd) x (Xd - Xa)] Xa B’ Xb C’ Xc D’ Xd X Trilaterazioni e allineamenti Se un appezzamento è stato rilevato per trilaterazione, misurandone tutti i lati, l’area totale si ottiene sommando le aree dei triangoli in cui è stato diviso l’appezzamento in fase di rilievo. Per il B calcolo delle aree triangolari si applica la formula di BC C AB BD Erone A SABCD = SABD + SBCD SABD = √ [p x (p –AB) x (p – BD) x (p – AD)] AD)] SBCD = √ [p x (p –BC) x (p – DC) x (p – BD)] BD)] C D AD D Trilaterazioni e allineamenti C SABCD = SABB’ + SB’BCC’ + SC’CD + SAE’E + SEE’D B SABB’ = 0,5 x AB’ x B’B SB’BCC’ = 0,5 x (B’B + C’C) x B’C’ SC’CD = 0,5 x C’D x C’C A E’ B’ C’ SAE’E = 0,5 x AE’ x E’E SEE’D = 0,5 x EE’ x E’D E D METODI METODI GRAFO GRAFO -- NUMERICI NUMERICI PER PER IL IL CALCOLO CALCOLO DELLE DELLE AREE AREE Concetti generali I metodi grafo – numerici consentono, di calcolare l’area di appezzamenti rappresentati graficamente. Questi metodi sono più rapidi ma anche meno precisi di quelli numerici. Infatti la loro precisione risente, oltre che degli eventuali errori commessi nelle misure prese sul terreno per costruire la mappa, anche delle inevitabili approssimazioni sia della rappresentazione grafica che delle grandezze su di essa misurate. Conviene applicare questi metodi ad appezzamenti con contorno parzialmente o totalmente curvilineo. Scale di rappresentazione grafica SCALA CARTA REALTA’ 1 : 100 100 cm 1 m 1 : 1000 1000 cm 10 m 1 : 2000 2000 cm 20 m 5000 cm 50 m 1 : 10000 10000 cm 100 m 1 : 25000 25000 cm 250 m 1 : 5000 1 cm Formula di Bézout Supponiamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento ABCD, con BC curvilineo. Si divide AD in n parti uguali di lunghezza d e dai punti di divisione si tracciano le ordinate y0, y1, y2, ......... Yn. Si sostituiscono gli archi di ogni striscia (trapezio mistilineo) con le corde. L’appezzamento risulta così diviso in trapezi rettangoli di stessa altezza d. Più piccola è l’altezza più la corda approssima l’arco che sostituisce migliorando il calcolo finale dell’area dell’appezzamento dell’appezzamento B C y0 A y1 d y2 d Yn -1 d Yn D Formula di Bézout B C y0 A y1 d y2 d Yn -1 d Yn D L’area si ottiene dalla formula S = 1/2 x (y0 + y1) x d + 1/2 x (y1 + y2) x d + ...... + 1/2 x (yn-1 + yn) x d considerando che l’altezza d è comune a tutti i termini e che le ordinate y0 e yn compaiono una sola volta divise per 2, semplificando di ottiene la formula di Bézout S = d x [ 1/2 x (yo + yn) + y1 + y2 + ...... + yn-1 ] se le ordinate estreme sono nulle la precedente formula diventa S = d x ( y1 + y2 + ...... + yn-1 ) Formula di Bézout C B Y’2 Y’1 A Y’3 Y’n - 1 B’ C’ A’ B’’ C’’ Nel caso di appezzamenti totalmente curvilinei, l’area si ottiene dalla formula S = d x ( y ’1 + y ’2 + ...... + y ’n-1 ) Formula di Cavalieri - Simpson B C S2 S1 y0 A y1 y2 d d Yn d D 2d Vogliamo calcolare l’area dell’appezzamento parzialmente curvilineo curvilineo ABCD. Si procede come con Bézout dividendo la base AD in un numero pari di di intervalli n di stessa ampiezza d. L’area totale si ottiene dalla somma delle aree parziali di due trapezi mistilinei adiacenti di altezza 2d. L’area S1 della prima coppia è data dalla somma di due aree parziali: quella del trapezio rettangolo rettangolo di basi yo e y2 più l’ area del settore parzialmente curvilineo. Quest’ultima si si può ritenere uguale ai 2/3 dell’area del parallelogramma che circoscrive il settore settore curvilineo Formula di Cavalieri - Simpson L’area S1 si ottiene dalla relazione S1 = 1/2 x (yo + y2) x 2d + 2/3 x [ y1 – (yo + y2) / 2 ] x 2d B effettuando i prodotti e raccogliendo d/3 si ottiene S1 = 1/3 x d x (yo + 4y1 + y2) indicando con S2, S3, ...... Le aree delle successive coppie possiamo scrivere per analogia S2 = 1/3 x d x (y2 + 4y3 + y4) y0 y1 y2 S1 S3 = 1/3 x d x (y4 + 4y5 + y6) Sommando tra loro le aree parziali si ottiene la formula di Cavalieri – Simpson che permette il calcolo dell’area totale A S = 1/3 x d x [yo + yn + 4(y1 + y3 + ...) + 2(y2 + y4 + ...)] d d 2d METODI METODI GRAFICI GRAFICI PER PER IL IL CALCOLO CALCOLO DELLE DELLE AREE AREE Concetti generali I metodi grafici per il calcolo delle aree consistono nel trasformare appezzamenti di forma poligonale in triangoli o rettangoli equivalenti. Dei triangoli e rettangoli viene determinata scelta dal graficamente, costruzioni, l’altezza tecnico mediante la base e opportune Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data N F C B G h h O b E A M D Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, l’incognita del problema è la sua altezza h. Il valore di h deve essere tale che, se moltiplicata per la base fissata, il rettangolo rettangolo sia equivalente al trapezio dato ABCD Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data N F C B G h h O b E A M D Costruzione grafica si traccia la base media MN = (AB + CD)/2 si proietta N sulla verticale per E individuando il punto F si congiunge F con O da A si traccia la parallela ad OF fino ad incontrare in G la base CD del trapezio h = GD è l’altezza cercata Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data N F C B G h h O b E A M D Si deve dimostrare quindi che il rettangolo b x h, ottenuto dalla costruzione grafica è equivalente al trapezio ABCD. Dalla similitudine dei due triangoli rettangoli OEF e ADG si ottiene che: AD : h = b : EF b x h = AD x EF EF = MN = (AB + CD)/2 b x h = AD x (AB + CD)/2 Integrazione grafica D C B Il rettangolo è equivalente all’appezzamento poligonale ABCDE b A Si definisce integrazione grafica il metodo con il quale un poligono poligono viene trasformato in un rettangolo equivalente di base data E Integrazione grafica D C B h1 O b A h2 h3 E Ipotizziamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento poligonale poligonale ABCDE. Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, base di integrazione, integrazione, si divide il poligono in figure semplici (triangoli e trapezi). trapezi). Applicando il procedimento di trasformazione “di “di un trapezio in un rettangolo equivalente” equivalente” si determinano le altezze h1, h2, ....... di ogni figura semplice in cui risulta divisa l’area poligonale poligonale ABCDE Integrazione grafica D C B S3 S2 S1 h1 O b h2 h3 A E Le aree parziali si calcolano moltiplicando le altezze h1, h2, h3, ......, per la base b S1 = b x h1 S2 = b x h2 S3 = bx h3 sommando le aree parziali si ottiene l’area totale dell’appezzamento dell’appezzamento poligonale ABCDE St = S1 + S2 + S3 = b x h1 + b x h2 + b x h3 = b x ( h1 + h2 + h3 ) = b x H in cui H è l’altezza totale del rettangolo equivalente che si ottiene ottiene sommando le altezze parziali H = h1 + h2 + h3 + ...... Integrazione grafica D C B linea integrale H 2 H = h1 + h2 + h3 h1 + h2 1 h1 O b A L’altezza totale H si ottiene graficamente riportando dall’estremo dall’estremo 1 il segmento inclinato che permette di individuare l’altezza parziale h2, e successivamente dal punto 2 il segmento inclinato che individua l’altezza h3 E