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esercizi1

Materiale didattico di supporto al corso di
PROGETTO DI MACCHINE
ESERCIZI
ultimo aggiornamento: 22 maggio 2018
Michele Manno
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Università degli Studi di Roma Tor Vergata
[email protected]
1
Indice
Esercizi
1 Miscele di gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Combustione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Cicli termodinamici . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 3.1 Ciclo Joule-Brayton . . . . .
Esercizio 3.2 Ciclo Otto . . . . . . . . . . .
Esercizio 3.3 Ciclo Diesel . . . . . . . . . .
4 Turbine a vapore . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 4.2 Turbina a salti di pressione
Esercizio 4.3 Turbina Curtis . . . . . . . .
5 Turbine a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.1 Turbina a gas heavy duty . .
Esercizio 5.2 Microturbina a gas . . . . .
6 Compressori centrifughi e turbocompressori .
Esercizio 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
Soluzioni
1 Miscele di gas . . . . . . .
Esercizio 1.1 . . . . .
Esercizio 1.2 . . . . .
Esercizio 1.3 . . . . .
Esercizio 1.4 . . . . .
2 Combustione . . . . . . .
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26
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33
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Esercizio 2.1 . . .
Esercizio 2.2 . . .
Esercizio 2.3 . . .
3 Cicli termodinamici .
Esercizio 3.1 Ciclo
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Joule
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33
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42
Appendice
48
Calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
Esercizi
1
Miscele di gas
Esercizio 1.1
Una miscela di gas scorre alla velocità c0 = 2 m/s in un condotto di diametro
D0 = 0,15 m. Sapendo che la miscela si trova a pressione e temperatura
ambiente, e che la sua composizione in volume è la seguente:
He
N2
CO2
70%
20%
10%
si calcolino:
1. la portata massica ṁ0 ;
2. il flusso termico Q̇ necessario per portare detta miscela alla temperatura T1 = 110 ○C.
La temperatura viene quindi regolata al valore T2 = 95 ○C mediante miscelazione con una portata di aria (secca) a temperatura ambiente. Calcolare:
3. la portata massica ṁa di aria necessaria;
4. la composizione in volume della miscela risultante.
Infine, nell’ipotesi di umidificare il fluido tramite iniezione di una portata
di acqua ṁw = 0,50 g/s disponibile in fase liquida a pressione e temperatura
ambiente, determinare:
5. la temperatura finale della miscela nel punto 3, T3 ;
6. l’umidità relativa u3 .
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
pressione e temperatura ambiente: pa = 1 atm, Ta = 20 ○C;
∎
perdite di carico trascurabili;
4
∎
composizione in volume dell’aria (secca): N2 79%, O2 21%;
∎
comportamento di gas ideale (cp indipendente dalla temperatura) per
tutti i componenti gassosi;
∎
vapor d’acqua assimilabile a gas ideale con cp = 1,9 kJ/(kg K);
∎
comportamento dell’acqua “sottoraffreddata” assimilabile a liquido
perfetto con cl = 4,2 kJ/(kg K).
Esercizio 1.2
Una miscela di gas è contenuta in un serbatoio di volume V = 1 m3 alla
pressione p1 = 1 bar e alla temperatura T1 = 20 ○C. La composizione in
volume della miscela è la seguente:
x̂CO = 20 %
x̂N2 = 30 %
x̂CO2 = 50 %
Si calcolino innanzitutto:
1. la massa m1 contenuta nel serbatoio;
2. la composizione in massa della miscela.
Si consideri quindi un riscaldamento del serbatoio tramite un flusso termico Q̇ = 200 W applicato per un periodo di tempo pari a t = 10 min. Si
calcoli:
3. la temperatura T2 , la pressione p2 e la densità ρ2 della miscela gassosa
al termine del processo di riscaldamento.
Nell’ipotesi di introdurre nel serbatoio, successivamente al riscaldamento
sopra descritto, una quantità di aria secca, disponibile alla temperatura
Ta = 10 ○C, tale da portare la temperatura della miscela risultante (miscela
originaria + aria) al valore T3 = 50 ○C, determinare:
4. la massa m3 presente nel serbatoio al termine del miscelamento;
5. la composizione in volume della miscela risultante;
6. la pressione p3 e la densità ρ3 della miscela.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
composizione in massa dell’aria (secca): N2 77%, O2 23%;
∎
comportamento di gas ideale (cp indipendente dalla temperatura) per
tutti i componenti gassosi.
5
Esercizio 1.3
Si consideri un condotto convergente, di sezione circolare, percorso da una
miscela di gas caratterizzata dalla seguente composizione molare:
x̂He = 45 %
x̂O2 = 35 %
x̂Ar = 20 %
e dalle seguenti condizioni di funzionamento:
∎
portata di gas ṁ = 2,0 kg/s;
∎
temperatura di ristagno T10 = 250 ○C;
∎
pressione di ristagno p01 = 300 kPa;
∎
velocità del gas all’ingresso del condotto c1 = 20 m/s;
∎
pressione allo scarico del condotto p2 = 250 kPa.
Sulla base delle condizioni sopra assegnate, e nell’ipotesi di flusso ideale
(isoentropico), si calcolino:
1. la composizione in massa del fluido;
2. il diametro del condotto all’ingresso D1 ;
3. il diametro del condotto allo scarico D2 ;
4. la temperatura del fluido allo scarico T2 ;
5. la velocità del fluido allo scarico c2 .
Nell’ipotesi che il condotto cosı̀ dimensionato si trovi ad operare con
le stesse condizioni termodinamiche del fluido nel serbatoio che alimenta il
condotto, ma con una pressione allo scarico p′2 = 200 kPa, calcolare, sempre
nell’ipotesi di flusso isoentropico:
6. la portata di gas ṁ′ che percorre il condotto.
Si determini infine:
7. la pressione allo scarico p2,cr che determina il raggiungimento delle
condizioni soniche in uscita dal condotto.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
comportamento di gas ideale (cp indipendente dalla temperatura) per
tutti i componenti gassosi.
6
Esercizio 1.4
Si consideri un sistema costituito da due condotti, attraversati da miscele
gassose, che convergono in un terzo condotto. La pressione nei condotti
sia p = 500 kPa, e i flussi che attraversano i due condotti hanno le seguenti
caratteristiche:
∎
flusso 1:
– frazioni molari: x̂H2 ,1 = 80 %; x̂CO2 ,1 = 20 %
– portata molare: ṅ1 = 2 mol/s
– temperatura: T1 = 80 ○C
∎
flusso 2
– frazioni massiche: xN2 ,2 = 50 %; xCO2 ,2 = 50 %
– portata massica: ṁ2 = 10 g/s
– temperatura: T2 = 20 ○C
Assumendo per tutti i componenti il comportamento di gas ideale, calcolare:
1. la composizione massica e molare della miscela risultante nel condotto
3;
2. la portata massica ṁ3 e molare ṅ3 nel condotto 3;
3. la temperatura della miscela risultante T3 ;
4. l’irreversibilità generata dal processo di miscelamento Ẇirr = T0 Ṡirr .
2
Combustione
Esercizio 2.1
Una caldaia debba fornire una potenza termica Q̇u = 30 kW ad un flusso
di acqua calda, che entra in caldaia alla temperatura Twi = 50 ○C e viene
portata alla temperatura Twu = 70 ○C.
La caldaia è alimentata con un combustibile gassoso la cui composizione
molare è la seguente:
x̂H2 = 60 %
x̂CO = 35 %
x̂CO2 = 5 %
7
La combustione è caratterizzata da un eccesso d’aria e = 70 % (si consideri l’aria secca con composizione in massa xN2 ,a = 77 %, xO2 ,a = 23 %); le
condizioni ambiente siano pa = 100 kPa e Ta = 25 ○C.
Sapendo che i poteri calorifici inferiori dell’idrogeno e del monossido di
carbonio valgono Hi,H2 = 120,0 MJ/kg e Hi,CO = 10,1 MJ/kg, e nell’ipotesi che i gas combusti escano dalla caldaia alla temperatura Tgu = 175 ○C,
calcolare:
1. la portata volumetrica di acqua V̇w in l/min;
2. la portata volumetrica normale di combustibile V̇n,c in m3 n /h;
3. la composizione in massa dei gas combusti;
4. la portata volumetrica normale di gas combusti V̇n,g in m3 n /h
5. il flusso termico disperso per calore sensibile dei fumi Q̇f ;
6. il rendimento della caldaia η.
Esercizio 2.2
Una caldaia è impiegata per produrre vapore saturo alla pressione pv = 10 bar
ed è alimentata da acqua in condizioni di liquido saturo alla stessa pressione
(10 bar).
Il combustibile in ingresso alla caldaia è costituito da gas naturale, la cui
composizione molare è la seguente:
x̂CH4 = 97,0 %
x̂CO2 = 2,4 %
x̂N2 = 0,6 %
L’aria comburente è caratterizzata da un’umidità relativa u = 60 % ed
entra in camera di combustione a temperatura ambiente. L’eccesso d’aria
impiegato è pari a e = 80 %.
Nell’ipotesi che i gas combusti escano dallo scambiatore di calore con una
differenza di temperatura rispetto al vapore pari a Tgu − Tv = 80 K, calcolare:
1. la massa di combustibile necessaria per unità di massa di vapore prodotto ṁc /ṁv ;
2. la composizione in volume dei gas combusti;
3. il rendimento della caldaia η.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
condizioni ambiente: pa = 101,3 kPa; Ta = 25 ○C;
8
∎
calore specifico a pressione costante dei gas combusti all’uscita dalla
caldaia cp,g = 1,10 kJ/(kg K);
∎
calore specifico a pressione costante dell’aria cp,a = 1,02 kJ/(kg K);
∎
le uniche perdite in caldaia sono costituite dal calore sensibile dei gas
combusti.
Esercizio 2.3
Un bruciatore è alimentato da una portata di miscela combustibile pari a V̇c = 1,0 m3 /h (condizioni di alimentazione: pressione p = 300 kPa e
temperatura Tc = 25 ○C), caratterizzata dalla seguente composizione molare:
x̂H2 =
50 %
x̂CH4 =
36 %
x̂N2 =
2%
x̂C2 H6 =
10 %
x̂CO2 =
2%
L’aria comburente (aria secca, composizione in massa xN2 ,a = 77 %,
xO2 ,a = 23 %) è inviata al bruciatore a pressione p = 300 kPa e temperatura
Ta = 25 ○C, con un eccesso d’aria pari a e = 50 %.
Si chiede di calcolare:
1. la composizione in massa della miscela combustibile;
2. la portata in massa di combustibile ṁc ;
3. il flusso termico sviluppato Q̇;
4. la portata in massa di gas combusti ṁg ;
5. la composizione in massa dei gas combusti;
6. la temperatura adiabatica di fiamma Tf .
Supponendo quindi che i gas combusti in uscita dal bruciatore siano
inviati, alla pressione p = 300 kPa, ad un ugello convergente, nel quale siano accelerati fino al raggiungimento di una velocità di uscita cu = 600 m/s
(mentre la velocità di ingresso nell’ugello è trascurabile: ci ≈ 0), calcolare:
7. la temperatura di uscita dei gas combusti Tgu ;
8. la pressione di uscita dei gas combusti pgu ;
9. il numero di Mach che caratterizza il flusso dei gas combusti allo scarico dell’ugello assumendo che la trasformazione sia reversibile e che il
calore specifico dei gas combusti sia costante nell’espansione (e pari al
valore corrispondente alla temperatura Tf ).
9
3
Cicli termodinamici
Esercizio 3.1
Ciclo Joule-Brayton
Si consideri un ciclo Joule-Brayton, caratterizzato dai seguenti parametri:
∎
rapporto di compressione β = 18;
∎
temperatura massima del ciclo T3 = 1300 ○C;
∎
rendimento isoentropico della turbina ηis,T = 0,89;
∎
rendimento isoentropico della turbina ηis,C = 0,83;
∎
combustibile: metano, potere calorifico inferiore Hi = 50 MJ/kg.
Si calcolino:
1. la temperatura alla mandata del compressore T2 e allo scarico della
turbina T4 ;
2. l’eccesso d’aria da impiegare in camera di combustione e;
3. la composizione in massa dei gas combusti;
4. il lavoro massico erogato dalla turbina WT , il lavoro richiesto dal
compressore WC e il lavoro netto del ciclo W ;
5. il calore entrante nel ciclo Qin e il calore ceduto Qout ;
6. il rendimento termodinamico del ciclo.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
condizioni ambiente p1 = 1 bar e T1 = 25 ○C;
∎
perdite di carico e in camera di combustione trascurabili;
∎
combustione in aria secca, di composizione in massa N2 77%, O2 23%.
Esercizio 3.2
Ciclo Otto
Si consideri un ciclo Otto caratterizzato da un rapporto volumetrico di compressione pari a rv = 9; il combustibile sia benzina (potere calorifico inferiore Hi = 44,0 MJ/kg, composizione elementare approssimata xC = 86%,
xH = 14%).
Assumendo un rapporto di equivalenza pari a φ = 0,96, calcolare:
1. composizione dei gas combusti;
2. pressione, temperatura e densità del fluido di lavoro nei punti caratteristici del ciclo;
10
3. lavoro netto del ciclo;
4. rendimento termodinamico del ciclo.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
condizioni ambiente p1 = 1 bar e T1 = 25 ○C;
∎
ciclo limite: trasformazioni di compressione ed espansione ideali, combustione ideale senza perdite di calore verso l’esterno;
∎
combustione in aria secca, di composizione in massa N2 77%, O2 23%.
Esercizio 3.3
Ciclo Diesel
Si consideri un ciclo Diesel caratterizzato da un rapporto volumetrico di
compressione pari a rv = 16; il combustibile sia benzina (potere calorifico
inferiore Hi = 42,9 MJ/kg, composizione elementare approssimata xC = 87%,
xH = 13%).
Assumendo un rapporto di equivalenza pari a φ = 0,70, calcolare:
1. composizione dei gas combusti;
2. pressione, temperatura e densità del fluido di lavoro nei punti caratteristici del ciclo;
3. lavoro netto del ciclo;
4. rendimento termodinamico del ciclo.
Si proceda sotto le seguenti assunzioni e approssimazioni:
∎
condizioni ambiente p1 = 1 bar e T1 = 25 ○C;
∎
ciclo limite: trasformazioni di compressione ed espansione ideali, combustione ideale senza perdite di calore verso l’esterno;
∎
combustione in aria secca, di composizione in massa N2 77%, O2 23%.
4
Turbine a vapore
Esercizio 4.1
Si consideri un impianto di turbina a vapore caratterizzato dai seguenti dati
di progetto:
∎
potenza utile erogata dalla turbina: P = 200 MW;
∎
condizioni del vapore surriscaldato in ammissione alla turbina: pSH =
120 bar, TSH = 550 ○C;
11
∎
pressione al condensatore pcnd = 0,05 bar ;
∎
linea rigenerativa costituita da un solo scambiatore a miscela, alimentato con vapore spillato alla pressione prig = 5 bar;
∎
temperatura dell’acqua di alimento in uscita dal rigeneratore pari a
Tw = Tsat (prig ) (liquido saturo);
∎
espansione caratterizzata dai seguenti rendimenti isoentropici: primo
stadio ηis,AP = 85 %; corpo di media pressione ηis,M P = 89 %; corpo di
bassa pressione ηis,BP = 87 %;
∎
rendimento delle pompe di estrazione e di alimento: ηP = 80 %;
∎
generatore di vapore alimentato a metano (Hi = 50,0 MJ/kg) con eccesso d’aria pari a e = 30 %;
∎
rendimento complessivo del generatore di vapore ηGV C = 90%: le perdite nel generatore (complessivamente 10 %) sono costituite per il 7 %
dal calore sensibile dei gas combusti allo scarico del generatore, e per
il restante 3 % da perdite termiche di altra natura.
La turbina dell’impianto sia costituita da uno stadio ad azione (velocità
periferica uAP = 250 m/s, angolo di uscita dallo statore α1 = 12°), da una
sezione di media pressione fino al raggiungimento della pressione di spillamento, e infine da una sezione di bassa pressione; la velocità periferica al
raggio medio sia pari a uM P = 300 m/s negli stadi di media pressione e pari
a uBP = 350 m/s negli stadi di bassa pressione. La velocità di rotazione sia
n = 3000 rpm.
Assumendo un grado di reazione (al raggio medio) negli stadi di media
pressione pari a RM P ≈ 0,5 e negli stadi di bassa pressione RBP ≈ 0,65, un
rapporto massimo tra altezza della palettatura e diametro medio nell’ultimo
stadio della macchina pari a (l/D)max = 40 %, e una componente assiale di
velocità negli stadi di bassa pressione pari a ca = 250 m/s, e nell’ipotesi che le
perdite di carico siano trascurabili e che il rendimento meccanico/organico
dell’impianto sia ηm/o = 98 %, calcolare:
1. la portata di vapore richiesta ṁSH ;
2. il rapporto tra portata di vapore spillato per la rigenerazione e la
portata di vapore complessiva ṁspill /ṁSH ;
3. il rendimento del ciclo termodinamico ηth ;
4. il rendimento globale dell’impianto ηg ;
5. la portata di combustibile richiesta ṁc ;
6. la composizione in massa dei gas combusti;
12
7. la temperatura dei gas combusti allo scarico del generatore di vapore Tgu , assumendo un calore specifico a pressione costante cp,g =
1,15 kJ/(kg K);
8. il numero di flussi richiesti nella sezione di bassa pressione Nf ;
9. il numero di stadi nella sezione di media pressione NM P e di bassa
pressione NBP ;
10. il grado di parzializzazione dello stadio ad azione necessario affinché
l’altezza della palettatura non risulti inferiore a l = 20 mm.
Esercizio 4.2
Turbina a salti di pressione
Si consideri una turbina a vapore a salti di pressione, caratterizzata dai
seguenti dati di progetto:
∎
potenza erogata P = 5 MW;
∎
pressione e temperatura in ammissione: pin = 50 bar; Tin = 510 ○C;
∎
pressione allo scarico pout = 5 bar;
∎
velocità di rotazione pari a n = 6000 rpm;
∎
rendimento isoentropico ηis = 82 %;
∎
altezza della palettatura del primo stadio l1 = 15 mm;
∎
angolo di uscita dallo statore α1 = 15°.
Nell’ipotesi che la velocità periferica massima per questa applicazione
sia umax = 250 m/s, e che la componente assiale della velocità sia costante
lungo lo stadio e uguale per tutti gli stadi, si chiede di calcolare:
1. il numero di stadi N ;
2. la velocità del vapore all’uscita dello statore del primo stadio c1 e il
relativo numero di Mach;
3. la portata di vapore ṁ richiesta per l’azionamento della turbina;
4. il grado di parzializzazione ;
5. l’altezza della palettatura rotorica dell’ultimo stadio l nell’ipotesi che
il flusso si mantenga parzializzato su tutti gli stadi.
13
Esercizio 4.3
Turbina Curtis
Una turbina Curtis, in grado di fornire una potenza P = 1,0 MW alla velocità di rotazione n = 6000 rpm, è alimentata da vapore surriscaldato alle
condizioni pin = 40 bar e Tin = 450 ○C, e la pressione allo scarico è pari a
pout = 5 bar.
La turbina è inoltre caratterizzata, dal punto di vista costruttivo, da
un’altezza della palettatura rotorica pari a l = 15 mm e da un angolo di
uscita dagli ugelli statorici α1 = 10°.
Assumendo un rendimento isoentropico ηis = 80 %, si calcolino:
1. la velocità periferica della ruota u;
2. il diametro medio delle palettature della girante D;
3. la portata richiesta per l’azionamento della turbina Curtis ṁ;
4. il numero di Mach che caratterizza il flusso di vapore all’uscita dello
statore;
5. il grado di parzializzazione .
5
Turbine a gas
Esercizio 5.1
Turbina a gas heavy duty
Con riferimento all’impianto di turbina a gas descritto nell’Esercizio 3.1, si
assumano i seguenti ulteriori dati relativi alle due macchine:
∎
potenza utile P = 175 MW;
∎
velocità di rotazione n = 3000 rpm;
∎
componente assiale di velocità allo scarico della turbina ca = 275 m/s;
∎
componente assiale della velocità all’ingresso del compressore ca =
125 m/s;
∎
rapporto tra altezza della palettatura e diametro medio nell’ultimo
stadio della turbina (l/D)T = 25 %;
∎
rapporto tra altezza della palettatura e diametro medio nel primo
stadio del compressore (l/D)C = 35 %;
∎
grado di reazione (al raggio medio) per tutti gli stadi del compressore
RC = 0,75;
∎
grado di reazione (al raggio medio) per tutti gli stadi della turbina
RT = 0,10;
14
∎
rendimento meccanico/organico ηm/o = 98 %.
Si calcolino:
1. la portata di combustibile ṁc e di gas combusti ṁg ;
2. il numero di stadi della turbina NT e del compressore NC ;
3. la velocità periferica al raggio medio per gli stadi di turbina uT e
compressore uC ;
4. il rendimento ηd del diffusore posto a valle della turbina affinché l’energia cinetica residua dei gas combusti sia inferiore al 5 % del lavoro
utile del ciclo.
Esercizio 5.2
Microturbina a gas
Si consideri una microturbina a gas che debba fornire una potenza elettrica
Pel = 150 kW con alimentazione a metano, con un ciclo termodinamico (Joule
rigenerativo) caratterizzato da una temperatura massima T3 = 950 ○C, un
rapporto di compressione β = 4,5, un grado di rigenerazione ηrig = 85 %.
Le due macchine hanno ugual rendimento isoentropico, pari a ηis = 80 %,
rendimento volumetrico unitario, grado di reazione R = 0,2 per la turbina e
R = 0,5 per il compressore, e per entrambe il diametro esterno della girante
non può superare il valore D = 0,15 m. Il rendimento meccanico/organico
dell’impianto sia pari a ηm/o = 97 %.
Si chiede di calcolare:
1. il rendimento globale dell’impianto ηg ;
2. la portata di combustibile richiesta ṁc ;
3. la velocità periferica di turbina uT e compressore uC ;
4. la velocità di rotazione del gruppo turbocompressore n;
5. la temperatura allo scarico dell’impianto (a valle del rigeneratore) T .
6
Compressori centrifughi e turbocompressori
Esercizio 6.1
Si consideri un compressore centrifugo monostadio che debba elaborare una
portata di aria (secca) pari a V̇ = 50 m3 /s, aspirata alle condizioni p1 = 1 bar
e T1 = 25 ○C, fornendo un rapporto di compressione pari a β = 2,5.
Il compressore ruota alla velocità n = 6000 rpm ed è caratterizzato da un
rendimento isoentropico ηis = 80 %, da un rendimento volumetrico ηv = 98 %
e da un rendimento meccanico ηm = 98 %.
15
Il grado di reazione sia pari a R = 0,5, il rapporto tra componente meridiana della velocità del fluido e velocità periferica all’uscita della girante c2m /u2 = 0,3, la velocità all’ingresso della girante puramente meridiana (c1u = 0), la componente meridiana della velocità costante nel rotore
(c1m = c2m ).
Nell’ipotesi che il diffusore sia palettato, con un angolo di uscita dal
diffusore α3 = 35°, calcolare:
1. la portata massica di aria elaborata ṁ;
2. la potenza assorbita dal compressore P ;
3. il diametro esterno della girante D2 ;
4. l’altezza della palettatura all’uscita della girante l2 ;
5. il rendimento del diffusore ηd ;
6. il diametro esterno del diffusore D3 ;
7. la temperatura dell’aria alla mandata del compressore T3 ;
8. il diametro esterno del diffusore D3′ che sarebbe necessario per ottenere
le medesime prestazioni nel caso il diffusore stesso fosse liscio anziché
palettato.
Esercizio 6.2
Un compressore centrifugo multistadio è costituito da N = 4 stadi, tutti
caratterizzati da un grado di reazione R = 0,6, da un ingresso del fluido in
direzione esclusivamente meridiana (c1u = 0), da una velocità periferica u2 =
250 m/s (diametro esterno uguale per tutte le giranti), e da una componente
meridiana della velocità costante lungo lo stadio (cm = 100 m/s).
Il compressore è impiegato per elaborare, alla velocità di rotazione n =
9000 rpm, una portata di metano pari a ṁ = 10 kg/s, a partire da condizioni
ambiente (pa = 1 bar, Ta = 25 ○C).
Assumendo che il rendimento isoentropico della trasformazione sia ηis =
82 %, che il calore specifico del metano sia pari a cp = 2,35 kJ/(kg K) e
invariante rispetto alla temperatura, si chiede di valutare:
1. il rapporto di compressione β;
2. la potenza assorbita dal compressore P ;
3. la temperatura del fluido alla mandata del compressore Tm ;
4. l’altezza del condotto rotorico all’uscita della prima girante l2,rot1 ;
5. l’altezza del condotto rotorico all’uscita dell’ultima girante l2,rot4 .
16
Si chiede inoltre di tracciare il diagramma relativo alla trasformazione termodinamica sul piano T -s.
Esercizio 6.3
Una condotta sia attraversata da una portata in massa di metano ṁ =
176 kg/s, che vi entra con una pressione pari a p = 70 bar e a temperatura
T = 65 ○C. L’attraversamento della condotta (non adiabatica), fino al raggiungimento della successiva stazione di compressione, determina una caduta
di pressione ∆p = 30 bar e una diminuzione della temperatura ∆T = 30 ○C.
Nella stazione di compressione è presente un compressore centrifugo che
consente di ripristinare il valore della pressione del metano al valore iniziale
(p = 70 bar); la sua velocità di rotazione è n = 6000 rpm, il rendimento
isoentropico ηis = 0,85, il rendimento meccanico ηm = 0,98 (si trascurino i
trafilamenti e le le fughe di fluido).
Nell’ipotesi che il compressore centrifugo sia costituito da una o più
giranti di ugual diametro esterno D e uguale grado di reazione R = 0,75,
che la velocità periferica sia prossima al valore u2 ≅ 275 m/s e infine che
la componente meridiana di velocità sia costante e pari a cm = 80 m/s, si
calcolino:
1. la potenza complessivamente assorbita dal compressore P ;
2. il numero di stadi di cui il compressore è costituito N ;
3. il diametro esterno delle giranti D;
4. l’altezza del condotto rotorico all’uscita dell’ultima girante l;
5. la temperatura del metano alla mandata del compressore T ′ .
Esercizio 6.4
Si consideri un turbocompressore destinato alla sovralimentazione di un motore alternativo a combustione interna ad accensione comandata. Il compressore fornisce, in condizioni nominali, un rapporto di compressione pari a
β = 1,95 elaborando una portata d’aria (secca) ṁa = 70 g/s. Il combustibile
impiegato nel motore ha un rapporto stechiometrico pari a αst = 14,80 e si
può assumere un rapporto di equivalenza φ = αst /α unitario (eccesso d’aria
nullo, e = 0).
Le due macchine che costituiscono il gruppo turbocompressore hanno
ugual rendimento isoentropico, pari a ηis = 76 %, rendimento volumetrico
unitario, grado di reazione R = 0,3 per la turbina e R = 0,6 per il compressore,
e per entrambe il diametro esterno della girante non può superare il valore
D = 5,0 cm. La componente meridiana di velocità per il compressore può
17
essere assunta costante lungo la girante e pari al 20 % della velocità periferica
all’uscita della girante.
Il rendimento meccanico sia pari a ηm = 98 %. La perdita di carico
nell’intercooler è (∆p/p)IC = 3 %.
Si chiede di calcolare:
1. la potenza assorbita dal compressore PC ;
2. la velocità periferica di turbina uT e compressore uC ;
3. la velocità di rotazione del gruppo turbocompressore n;
4. la potenza termica Q̇ ceduta dall’aria nell’interrefrigeratore;
5. il rapporto l/D tra altezza del condotto rotorico e diametro della
girante nella sezione di uscita della stessa.
18
Soluzioni
1
Miscele di gas
Esercizio 1.1
Per il calcolo della portata in massa nella sezione 0, occorre determinare la
massa molare della miscela di gas entrante nella sezione:
M0 = ∑ x̂i Mi = (0,7 ⋅ 4 + 0,2 ⋅ 28 + 0,1 ⋅ 44) kg/kmol = 12,8 kg/kmol
i
La densità della miscela risulta pertanto:
ρ0 =
p 0 M0
R̂T0
=
101,325 ⋅ 12,8
kg/m3 = 0,532 kg/m3
8,3145 ⋅ 293,15
da cui segue che la portata in massa vale:
π
π
ṁ0 = ρ0 D02 c0 = (0,532 ⋅ ⋅ 0,152 ⋅ 2) kg/s = 18,8 g/s
4
4
Per valutare il flusso termico necessario a portare la miscela alla temperatura T1 , occorre determinare il calore specifico della miscela stessa; essendo nota la composizione in volume, si può innanzitutto calcolare il calore
specifico molare:
ĉp,0 = ∑ x̂i ĉp,i = (0,7 ⋅
i
5
7
9
+ 0,2 ⋅ + 0,1 ⋅ ) R̂ = 2,9R̂ = 24,11 kJ/(kmol K)
2
2
2
e da questo il calore specifico massico:
cp,0 =
cp,0
ˆ
24,11
=
kJ/(kg K) = 1,884 kJ/(kg K)
M0
12,8
In alternativa, si può procedere dapprima con il calcolo della composizione
in massa della miscela:
xHe = x̂He MHe /M0 = 0,70 ⋅ 4/12,8
= 21,88%
xN2 = x̂N2 MN2 /M0 = 0,20 ⋅ 28/12,8
= 43,75%
xCO2 = x̂CO2 MCO2 /M0 = 0,10 ⋅ 44/12,8
= 34,38%
19
e quindi con il calcolo del calore specifico massico in funzione della composizione in massa e dei calori specifici massici dei singoli componenti, ottenendo
ovviamente lo stesso risultato:
cp,0 = ∑ xi cp,i
i
5 8,3145
7 8,3145
9 8,3145
+ 0,4375 ⋅
+ 0,3438 ⋅
kJ/(kg K)
2 4
2 28
2 44
= 1,884 kJ/(kg K)
= 0,2188 ⋅
Noto il calore specifico della miscela, il flusso termico risulta:
Q̇ = ṁ0 cp,0 (T1 − T0 ) = 18,8 ⋅ 10−3 ⋅ 1,884 ⋅ 90 kW = 3,19 kW
Per valutare la portata d’aria da miscelare con il flusso sopra descritto
in modo da ottenere la temperatura al valore T2 , si deve applicare il primo
principio al volume di controllo compreso tra le sezioni 1 e 2. In questo
volume di controllo si hanno due flussi entranti (la miscela di gas di portata
ṁ0 e temperatura T1 , e la portata d’aria incognita ṁa a temperatura Ta ), e
un flusso uscente, risultante dalla miscelazione delle due portate ṁ0 e ṁa .
Il flusso uscente ha dunque una portata complessiva pari a ṁ2 = ṁ0 + ṁa e
un calore specifico massico risultante dalla media pesata dei calori specifici
dei due flussi entranti:
cp,2 =
ṁ0
ṁa
cp,0 +
cp,a
ṁ2
ṁ2
Introducendo il fattore y = ṁa /ṁ2 , la portata e il calore specifico nella
sezione 2 si possono esprimere come segue:
ṁ2 = (1 + y) ṁ0
1
y
cp,0 +
cp,a
1+y
1+y
dove compare il calore specifico massico dell’aria secca, che risulta dalle
seguenti relazioni:
cp,2 =
Ma = ∑ x̂i Mi = 0,79 ⋅ 28 + 0,21 ⋅ 32 kg/kmol = 28,84 kg/kmol
i
7
ĉp,a = ∑ x̂i ĉp,i = R̂ = 29,10 kJ/(kmol K)
2
i
ĉp,a 29,10
=
kJ/(kg K) = 1,009 kJ/(kg K)
Ma 28,84
Il bilancio di energia applicato al volume di controllo sopra descritto
risulta pertanto:
cp,a =
ṁ0 cp,0 (T1 − Tref ) + ṁa cp,a (Ta − Tref ) = ṁ2 cp,2 (T2 − Tref )
20
da cui si ottiene:
cp,0 (T1 − Tref ) + ycp,a (Ta − Tref ) = (cp,0 + ycp,a ) (T2 − Tref )
y=
cp,0 (T1 − T2 ) 1,884 ⋅ 15
=
= 0,3734
cp,a (T2 − Ta ) 1,009 ⋅ 75
ṁa = y ṁ0 = 0,3734 ⋅ 18,8 g/s = 7,02 g/s
Le equazioni sopra riportate hanno un’ovvia interpretazione fisica: il
flusso proveniente dalla sezione 1 viene raffreddato dall’aria dalla temperatura T1 alla temperatura T2 , mentre l’aria si riscalda nel processo dalla
temperatura Ta fino alla temperatura T2 ; essendo il processo complessivamente adiabatico, il rapporto tra i salti entalpici fornisce il rapporto tra le
portate in massa dei due flussi entranti.
Nota la portata di aria ṁa , è possibile calcolare la composizione della
miscela risultante nella sezione 2. La miscela è costituita da quattro componenti: He (proveniente dalla sezione 1), N2 (proveniente sia dalla sezione 1
sia dal flusso di aria), O2 (proveniente dal flusso di aria), CO2 (proveniente
dalla sezione 1). Per calcolare direttamente la composizione molare (senza
passare attraverso il calcolo della composizione in massa), occorre valutare
le portate molari di miscela gassosa e di aria secca:
ṅ1 = ṅ0 = ṁ0 /M0 = 18,8/12,8 mol/s = 1,469 mol/s
ṅa = ṁa /Ma = 7,02/28,84 mol/s = 0,243 mol/s
ṅ2 = ṅ1 + ṅa = 1,713 mol/s
Il rapporto tra moli di aria e moli di miscela gassosa vale:
ŷ = ṅa /ṅ0 = yM0 /Ma = 0,1657
La composizione molare della miscela gassosa nella sezione 2 si calcola quindi
come segue:
x̂He,0 ṅ0 x̂He,0
=
n˙2
1 + ŷ
x̂N2 ,0 ṅ0 x̂N2 ,a ṅa x̂N2 ,0
ŷ
x̂N2 ,2 =
+
=
+ x̂N2 ,a
n˙2
n˙2
1 + ŷ
1 + ŷ
x̂O2 ,a ṅa
ŷ
x̂O2 ,2 =
= x̂O2 ,a
n˙2
1 + ŷ
x̂CO2 ,0 ṅ0 x̂Co2 ,0
x̂CO2 ,2 =
=
n˙2
1 + ŷ
x̂He,2 =
= 60,05 %
= 28,39 %
= 2,98 %
= 8,58 %
Infine, l’ultima parte dell’esercizio richiede un’applicazione del primo
principio della Termodinamica del tutto analoga a quella precedente: in
questo caso i due flussi entranti sono la miscela di gas proveniente dall sezione
21
2 e la portata d’acqua, mentre il flusso uscente è la miscela umida risultante
nella sezione 3. Per comodità, conviene calcolare le proprietà della miscela
gassosa nella sezione 2:
ṁ2 = ṁ0 + ṁa = 25,8 g/s
cp,2 = cp,0 + ycp,a = 1,646 kJ/(kg K)
Il bilancio di energia applicato al volume di controllo comprendente la
sezione 2, la sezione 3 e la sezione di ingresso dell’acqua si può scrivere come
segue:
ṁ2 cp,2 (T2 − T3 ) = ṁw (hv,3 − hw )
dove hv,3 rappresenta l’entalpia del vapore surriscaldato presente nella miscela nella sezione 3. Il salto entalpico complessivo subito dall’acqua, presente
al secondo membro dell’equazione, è costituito da tre componenti: la trasformazione relativa al liquido sottoraffreddato dalle condizioni ambiente alle
condizioni di saturazione; il calore latente di evaporazione; il surriscaldamento del vapore fino alla temperatura finale T3 . Assumendo, come suggerito
dal testo, che il liquido sottoraffreddato si comporti come liquido perfetto
(fluido incomprimibile) e che il vapore surriscaldato si comporti come gas
perfetto, si ottiene:
hv,3 − hw = cl (Tsat − Ta ) +
pv − pa
+ r + cp,v (T3 − Tsat )
ρ
Da questa espressione, risulta che per poter calcolare la temperatura T3
dall’equazione di bilancio, occorre conoscere la pressione parziale del vapor
d’acqua nella miscela gassosa, dalla quale dipende la temperatura di saturazione Tsat (il che sarebbe valido anche per il calore latente r, per il quale però
il valore è fornito dal testo). In realtà, il salto entalpico è quasi interamente
costituito dal calore latente di evaporazione, e con questa semplificazione
si potrebbe immediatamente risolvere l’equazione di bilancio; si procede comunque con il calcolo completo, per poi confrontare il risultato ottenuto con
quello derivante da questa assunzione semplificativa.
Noto il rapporto tra la portata di gas e la portata d’acqua, si può
calcolare l’umidità assoluta della miscela nella sezione 3:
X3 =
ṁw
= 0,0194
ṁ2
L’umidità assoluta è legata alla pressione parziale del vapor d’acqua:
X3 =
M v pv
M2 p2 − pv
Da questa espressione si può ricavare la pressione parziale del vapor d’acqua
(per l’ipotesi di assenza di perdite di carico la pressione totale della miscela
22
p2 coincide con quella all’ingresso del sistema, ovvero pressione ambiente):
pv =
1
Mv
1 + X3
M2
p2 =
1
10,0194 ⋅
18
15,08
⋅ 101,325 kPa = 1,62 kPa
La massa molare della miscela nella sezione 2, utilizzata nell’equazione
precedente, si calcola come segue:
1
1
xi = 1/(1 + y) y/(1 + y)
∑i
+
Mi
M0
Ma
1
=
kg/kmol = 15,08 kg/kmol
0,7281 0,2719
+
12,8
28,84
M2 =
Nota la pressione parziale del vapor d’acqua, le tabelle delle proprietà
del vapor d’acqua forniscono la corrispondente temperatura di saturazione
e il calore latente di evaporazione:
Tsat = Tsat (pv ) = 14,17 ○C
r = hvs (pv ) − hls (pv ) = 2467,3 kJ/kg
Si può pertanto procedere al calcolo approssimato della variazione di
entalpia subita dall’acqua nel processo di umidificazione. Il salto entalpico
subito dal liquido sottoraffreddato fino al raggiungimento delle condizioni di
saturazione vale:
pv − pa
+ cl (Tsat − Ta )
ρ
1,62 − 101,325
=
+ 4,2 ⋅ (14,17 − 20) kJ/kg = −24,57 kJ/kg
1000
∆hl =
La variazione di entalpia del liquido sottoraffreddato può essere meglio interpretata fisicamente immaginando il processo diviso in due parti: dapprima
si ha un’espansione isoentropica dalla pressione ambiente fino alla pressione
parziale del vapor d’acqua nella miscela gassosa di saturazione, e successivamente uno scambio di calore con la miscela gassosa per portare il vapor
d’acqua alle condizioni di saturazione. Il segno negativo è dunque essenzialmente motivato dall’espansione del liquido, che comporta una diminuzione
di entalpia.
Il salto entalpico del vapore surriscaldato vale invece:
∆hv = cp,v (T3 − Tsat )
ed è dunque funzione della temperatura finale T3 , che rappresenta l’incognita
del problema.
23
A questo punto nell’equazione di bilancio è presente appunto T3 come
unica incognita:
ṁ2 cp,2 (T2 − T3 ) = ṁw [∆hl + r + cp,v (T3 − Tsat )]
Risolvendo, si ottiene:
T3 = 65,13 ○C
E’ utile osservare che, trascurando la variazione di entalpia del liquido sottoraffreddato e del vapore surriscaldato rispetto al calore latente di
evaporazione, l’errore è molto contenuto:
T3 ≈ T2 −
ṁw r
= 65,98 ○C
ṁ2 cp,2
Per concludere, l’umidità relativa della miscela gassosa nella sezione 3
vale:
pv
1,62
u3 =
=
= 6,4 %
psat (T3 ) 25,28
Esercizio 1.2
La massa molare e la densità della miscela inizialmente presente nel serbatoio
valgono:
M1 = ∑ x̂i Mi = (0,2 ⋅ 28 + 0,3 ⋅ 28 + 0,5 ⋅ 44) kg/kmol = 36,0 kg/kmol
i
ρ1 =
p 1 M1
R̂T1
=
100 ⋅ 36
kg/m3 = 1,477 kg/m3
8,3145 ⋅ 293,15
La massa presente nel serbatoio è dunque:
m1 = ρ1 V1 = 1,477 kg/m3
mentre la composizione in massa risulta dalle seguenti relazioni:
xCO = x̂CO MCO /M1 = 0,20 ⋅ 28/36
= 15,56 %
xN2 = x̂N2 MN2 /M1 = 0,230 ⋅ 28/36
= 23,33 %
xCO2 = x̂CO2 MCO2 /M1 = 0,50 ⋅ 44/36
= 61,11 %
Si consideri ora il processo di riscaldamento, nel corso del quale la miscela
gassosa riceve una quantità di calore pari a Q = Q̇t = 200 ⋅ (10 ⋅ 60) J =
120 kJ. Naturalmente, trattandosi di un sistema chiuso di volume costante,
la densità non varia rispetto a quella iniziale (il sistema contiene la stessa
massa nel medesimo volume rispetto alle condizioni iniziali):
ρ2 = ρ1 = 1,477 kg/m3
24
La temperatura finale raggiunta dalla miscela è fornita dal bilancio dell’energia:
∆U = m1 cv,1 (T2 − T1 ) = Q
Per valutare il calore specifico medio della miscela, nell’ipotesi che ciascun
componente si comporti come gas ideale, è utile calcolare dapprima il valore
molare:
ĉv,1 = ∑ x̂i ĉv,i = (0,5 ⋅ 2,5 + 0,5 ⋅ 3,5) R̂ = 24,94 kJ/(kmol K)
i
e quindi il calore specifico massico:
cv,1 = ĉv,1 /M1 = 24,94/36 kJ/(kg K) = 0,693 kJ/(kg K)
La temperatura finale risulta:
T2 = T1 +
Q
120
= (20 +
) ○C = 137,26 ○C
m1 cv,1
1,447 ⋅ 0,639
La pressione, tenendo conto che si tratta di un processo isocoro, vale :
p2 = p1
T2
= 1,400 bar
T1
Infine, l’ultima parte del problema, relativa al miscelamento con aria
secca al fine di raggiungere la temperatura T3 , richiede l’applicazione del
primo principio della termodinamica al sistema chiuso costituito dalla massa m2 = m1 di gas e dalla massa (incognita) ma di aria secca. Poiché questo sistema non scambia calore né lavoro con l’ambiente, l’energia interna
complessiva è costante nella trasformazione:
U3 = U2 ⇒ m3 cv,3 (T3 − T0 ) = m2 cv,2 (T2 − T0 ) + ma cv,a (Ta − T0 )
La capacità termica complessiva del sistema non varia:
m3 cv,3 = m2 cv,2 + ma cv,a
pertanto l’equazione di conservazione dell’energia diventa:
ma cv,a (T3 − Ta ) = m2 cv,2 (T2 − T3 )
da cui si ricava la massa d’aria richiesta:
ma = m2
cv,2 T2 − T3
0,693 87,26
= 1,447
kg = 3,096 kg
cv,a T3 − Ta
0,721 40
Nell’equazione precedente compare il calore specifico a volume costante
dell’aria secca, che, trattandosi di un gas biatomico, si calcola come segue:
Ma = 1/ ∑
i
xi
= 1/ (0,77/28 + 0,23/32) kg/kmol = 28,83 kg/kmol
Mi
25
cv,a = ĉv,a /Ma = 2,5R̂/Ma = 0,721 kJ/(kg K)
La massa complessivamente presente nel serbatoio a seguito del miscelamento vale:
m3 = m2 + ma = 4,573 kg
La densità del sistema vale:
ρ3 = m3 /V = 4,573 kg/m3
La composizione in massa della miscela al termine del processo è data
da:
m2
m3
ma
m2
+ xN2 ,a
xN2 ,3 = xN2 ,2
m3
m3
ma
xO2 ,3 = xO2 ,a
m3
m2
xCO2 ,3 = xCO2 ,2
m3
xCO,3 = xCO,2
La massa molare della miscela vale:
1
1
M3 =
xi = 0,0503
0,5967
0,1557
∑i Mi
28 + 28 + 32 +
= 5,02 %
= 59,67 %
= 15,57 %
= 19,74 %
0,1974
44
kg/kmol = 30,81 kg/kmol
e pertanto la composizione molare risulta:
x̂CO,3 = xCO,3 M3 /MCO
= 5,53 %
x̂N2 ,3 = xN2 ,3 M3 /MN2
= 65,66 %
x̂O2 ,3 = xO2 ,3 M3 /MO2
= 13,82 %
x̂CO2 ,3 = xCO2 ,3 M3 /MCO2
= 14,99 %
Per concludere, la pressione al termine del processo di miscelazione vale:
p3 = ρ3
8,3145
R̂
⋅ 323,15) kPa = 3,988 bar
T3 = (4,573 ⋅
M3
30,81
Esercizio 1.3
La massa molare della miscela di gas risulta:
M = ∑ x̂i Mi = (0,45 ⋅ 4 + 0,35 ⋅ 32 + 0,20 ⋅ 40) kg/kmol = 21,0 kg/kmol
i
da cui si ottiene la seguente composizione in massa:
xHe = x̂He MHe /M = 0,45 ⋅ 4/21
= 8,57 %
xO2 = x̂O2 MO2 /M = 0,35 ⋅ 32/21
= 53,33 %
xAr = x̂Ar MAr /M = 0,20 ⋅ 40/21
= 38,10 %
26
E’ utile calcolare i calori specifici del fluido, nonché gli esponenti dell’isoentropica:
ĉp = ∑ x̂i ĉp,i = (0,65 ⋅ 2,5 + 0,35 ⋅ 3,5) R̂ = 23,70 kJ/(kmol K)
i
ĉv = ĉp − R̂ = 15,38 kJ/(kmol K)
k = ĉp /ĉv = 1,5405
= R̂/ĉp = 0,3509
cp = ĉp /M = 1,128 kJ/(kg K)
All’ingresso del condotto, la pressione e la temperatura statiche del gas
valgono:
T1 = T 0 −
p1 = p0 (
400
c2
= (250 −
) ○C
2cp
2 ⋅ 1128
T1 1/
)
T0
= 249,82 ○C
= 299,7 kPa
da cui si ricava il seguente valore per la densità del fluido:
ρ1 =
p1 M
=
R̂T1
299,7 ⋅ 21
kg/m3 = 1,447 kg/m3
8,3145 ⋅ 522,97
Il diametro all’ingresso del condotto può ora essere ricavato a partire dall’equazione della portata:
ṁ
2
m2 = 6,91 × 10−2 m2
=
ρ1 c1 1,447 ⋅ 20
√
D1 = 2 Ω1 /π = 0,297 m
Ω1 =
Per quanto riguarda la sezione allo scarico, la temperatura del gas è
determinata dall’equazione dell’isoentropica (per ipotesi il flusso è ideale):
T2 = T 0 (
p2 250 0,3509
)
= 490,73 K = 217,58 ○C
)
=
523,15
⋅
(
p0
300
L’equazione di conservazione dell’energia fornisce quindi la velocità del gas
allo scarico; poiché non vi è scambio di calore né di lavoro con l’ambiente,
l’entalpia totale si conserva:
√
√
h2 + c22 /2 = h0 ⇒ c2 = 2cp (T 0 − T2 ) = 2 ⋅ 1128 ⋅ 32,42 m/s = 270,5 m/s
La densità nella sezione 2 può essere calcolata tramite l’equazione di
stato (o, in alternativa, mediante l’equazione dell’isoentropica):
ρ2 =
p2 M
R̂T2
=
250 ⋅ 21
kg/m3 = 1,287 kg/m3
8,3145 ⋅ 490,73
27
Dunque il diametro della sezione di scarico del condotto vale:
2
ṁ
=
m2 = 5,75 × 10−3 m2
ρ2 c2 1,287 ⋅ 270,5
√
D2 = 2 Ω2 /π = 0,086 m
Ω2 =
Nell’ipotesi che allo scarico del condotto sia presente una diversa pressione p′2 , a parità di condizioni termodinamiche nel serbatoio di alimentazione
(cioè a parità di pressione e temperatura di ristagno), la nuova portata che
scorre nel condotto può essere determinata applicando dapprima l’equazione
dell’isoentropica per il calcolo della temperatura allo scarico, quindi l’equazione di conservazione dell’energia per valutare la velocità del gas, e infine
l’equazione di stato per il calcolo della densità, come mostrato dalle equazioni seguenti. E’ utile osservare preliminarmente che il flusso si mantiene
subsonico in quanto il rapporto di espansione (0,67) è ancora superiore al
valore critico.
p′2
200 0,3509
)
=
523,15
⋅
(
)
= 453,77 K
p0
300
√
√
c′2 = 2cp (T 0 − T2′ ) = 2 ⋅ 1128 ⋅ 69,38 m/s
T2′ = T 0 (
ρ′2 =
ṁ′ =
p′2 M
R̂T2′
ρ′2 Ω2 c′2
200 ⋅ 21
kg/m3
8,3145 ⋅ 453,77
=
= (1,113 ⋅ 5,75 × 10−3 ⋅ 395,69) kg/s
= 180,62 ○C
= 395,69 m/s
= 1,113 kg/m3
= 2,531 kg/s
Per concludere, è richiesto il calcolo della pressione allo scarico che
permette di raggiungere le condizioni soniche. Imponendo che la velocità
del gas sia pari alla velocità del suono nella sezione di scarico, si ottiene
dall’equazione di conservazione dell’energia:
1
cp (T 0 − T2,cr ) = a2 /2 = kRT2,cr
2
Risolvendo rispetto all’incognita T2,cr :
cp
T2,cr =
cp +
k
2R
T0 =
1
T 0 = 411,84 K = 138,60 ○C
1 + k−1
2
La pressione critica allo scarico vale dunque:
p2,cr = p0 (
T2,cr 1/
411,84 1/0,3509
)
=
300
⋅
(
)
kPa = 151,7 kPa
T0
523,15
Esercizio 1.4
E’ utile innanzitutto valutare tutte le proprietà dei flussi nei condotti 1 e 2.
Per quanto riguarda il primo condotto, si ottiene:
M1 = ∑ x̂i Mi = (0,8 ⋅ 2 + 0,2 ⋅ 44) g/mol = 10,40 g/mol
i
28
xH2 ,1 = x̂H2 ,1 MH2 /M1 = 0,8 ⋅ 2/10,40
= 15,38 %
xCO2 ,1 = x̂CO2 ,1 MCO2 /M1 = 0,2 ⋅ 44/10,40
= 84,62 %
ĉp,1 = ∑ x̂i,1 ĉp,i = (0,8 ⋅ 3,5 + 0,2 ⋅ 4,5) R̂ = 30,76 J/(mol K)
i
R1 = R̂/M1 = 0,799 J/(g K)
cp,1 = ĉp,1 /M1 = 2,958 J/(g K)
ṁ1 = M1 ṅ1 = 20,80 g/s
Per il secondo condotto si ricava:
−1
xi
M2 = ( ∑
)
i Mi
=(
0,50 0,50 −1
+
) g/mol = 34,22 g/mol
28
44
x̂N2 ,2 = xN2 ,2 M2 /MN2 = 0,5 ⋅ 34,22/28
= 61,11 %
x̂CO2 ,2 = xCO2 ,2 M2 /MCO2 = 0,5 ⋅ 34,22/44
= 38,89 %
ĉp,2 = ∑ x̂i,2 ĉp,i = (0,6111 ⋅ 3,5 + 0,3889 ⋅ 4,5) R̂ = 32,33 J/(mol K)
i
R2 = R̂/M2 = 0,243 J/(g K)
cp,2 = ĉp,2 /M2 = 0,945 J/(g K)
ṅ2 = ṁ2 /M2 = 0,292 mol/s
Applicando l’equazione di conservazione della massa ad un volume di
controllo che comprende i tre condotti, si ottiene ovviamente che la portata
in massa del flusso uscente 3 è data dalla somma delle portate nei due
condotti entranti 1 e 2:
ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 30,80 g/s
In questo caso particolare, data l’assenza di reazioni chimiche nel volume
di controllo, anche le moli si conservano:
ṅ3 = ṅ1 + ṅ2 = 2,292 mol/s
Risulta dunque per la miscela in 3 una massa molare pari a:
M3 = ṁ3 /ṅ3 = 13,44 g/mol
La composizione in massa risulta dalle equazioni seguenti:
∑i ṁH2 ,i ∑i xH2 ,i ṁi 0,1538 ⋅ 20,80
=
=
=
10,39 %
ṁ3
ṁ3
30,80
∑ ṁN2 ,i ∑i xN2 ,i ṁi 0,50 ⋅ 10
xN2 ,3 = i
=
=
=
16,23 %
ṁ3
ṁ3
30,80
∑ ṁCO2 ,i ∑i xCO2 ,i ṁi 0,8462 ⋅ 20,80 + 0,50 ⋅ 10
xCO2 ,3 = i
=
=
= 73,38 %
ṁ3
ṁ3
30,80
xH2 ,3 =
29
Sempre sfruttando l’assenza di reazioni chimiche, si possono scrivere
equazioni analoghe per il calcolo della composizione molare:
∑i ṅH2 ,i ∑i x̂H2 ,i ṅi 0,80 ⋅ 2
=
=
=
ṅ3
ṅ3
2,292
∑ ṅN ,i ∑ x̂N ,i ṅi 0,6111 ⋅ 0,292
=
x̂N2 ,3 = i 2 = i 2
=
ṅ3
ṅ3
2,292
∑ ṅCO2 ,i ∑i x̂CO2 ,i ṅi 0,20 ⋅ 2 + 0,3889 ⋅ 0,292
x̂CO2 ,3 = i
=
=
=
ṅ3
ṅ3
2,292
x̂H2 ,3 =
69,80 %
7,79 %
22,41 %
Si può quindi verificare che il calcolo della massa molare, effettuato sulla base della composizione molare (o massica), coincide con il valore già
determinato come rapporto tra portata in massa e portata molare:
M3 = ∑ x̂i,3 Mi = (0,6980 ⋅ 2 + 0,0779 ⋅ 28 + 0,2241 ⋅ 44) g/mol = 13,44 g/mol
i
I calori specifici a pressione costante della miscela 3 valgono:
ĉp,3 = ∑ x̂i,3 ĉp,i = (0,7759 ⋅ 3,5 + 0,2241 ⋅ 4,5) R̂ = 30,96 J/(mol K)
i
cp,3 = ĉp,3 /M3 = 2,304 J/(g K)
L’applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia al volume di
controllo considerato permette il calcolo della temperatura della miscela.
Trascurando eventuali variazioni di energia cinetica e potenziale, il primo
principio della termodinamica stabilisce che il flusso complessivo di entalpia
uscente deve essere uguale al flusso complessivo di entalpia entrante:
ṁ3 h3 = ṁ1 h1 + ṁ2 h2
Trattandosi di gas ideali:
ṁ3 cp,3 (T3 − T0 ) = ṁ1 cp,1 (T1 − T0 ) + ṁ2 cp,2 (T2 − T0 )
Poiché la capacità termica del flusso 3 non è altro che la somma delle
capacità termiche dei flussi 1 e 2 (ṁ3 cp,3 = ṁ1 cp,1 + ṁ2 cp,2 ), i fattori che
includono il termine T0 si semplificano (ciò implica anche che il calcolo potrà
essere eseguito indifferentemente in K o in ○C); si ottiene pertanto, come ci
si poteva attendere, che la temperatura risultante è la media pesata delle
temperature dei flussi entranti, dove i pesi sono rappresentati dal rapporto
tra la capacità termica di ciascun flusso e la capacità termica complessiva
della miscela finale:
T3 = ∑
i
ṁi cp,i
20,80 ⋅ 2,958
10,00 ⋅ 0,945
Ti =
⋅ 80 ○C +
⋅ 20 ○C = 72,01 ○C
ṁ3 cp,3
30,80 ⋅ 2,304
30,80 ⋅ 2,304
30
La temperatura T3 è pertanto molto vicina a T1 in quanto la capacità termica
del flusso 1 è molto maggiore di quella del flusso 2.
Infine, l’applicazione del secondo principio della termodinamica al volume di controllo individuato consente il calcolo delle irreversibilità generate
dal processo di miscelazione. Tali irreversibilità, trattandosi di un sistema
adiabatico e senza scambio di lavoro, sono date dalla differenza tra l’entropia associata al flusso uscente e l’entropia complessiva dei flussi entranti; si
ottiene dunque, in termini di proprietà molari:
Ṡirr = (∑ ṅi ŝi )
i
− (∑ ṅi ŝi )
out
i
in
Naturalmente l’equazione può anche essere espressa in termini di proprietà
massiche:
Ṡirr = (∑ ṁi si )
i
− (∑ mi si )
out
i
in
Nel seguito, per comodità, si farà ricorso alla formulazione in termini di
proprietà molari.
Il calcolo può procedere in due modi: con riferimento alla variazione di
entropia subita dai flussi 1 e 2 a seguito del processo di miscelazione, oppure
mediante il calcolo della variazione di entropia subita da ogni specie gassosa
contenuta in ogni flusso entrante.
In quest’ultimo caso, l’irreversibilità associata ad ogni specie gassosa si
valuta come segue (indicando con i il pedice relativo alla specie gassosa, e
con j il pedice relativo al flusso entrante):
Ṡirr,i,j = ṅi,j (ĉp,i log
pi,3
T3
− R̂ log
)
Tj
pi,j
Il termine pi,j = x̂i,j p rappresenta la pressione parziale della specie i nel
flusso j (ogni flusso ha la stessa pressione totale p), mentre il termine ṅi,j =
x̂i,j ṅj rappresenta la portata molare della specie i nel flusso j. L’equazione
può essere pertanto riscritta come segue (dividendo per la portata molare
complessiva ṅ3 :
σi,j = Ṡirr,i,j /ṅ3 = x̂i,j
ṅj
x̂i,3
T3
(ĉp,i log
− R̂ log
)
ṅ3
Tj
x̂i,j
Poiché nel caso in esame si hanno due specie (H2 e N2 ) che compaiono in
uno solo dei due flussi entranti, l’equazione ottenuta dovrà essere applicata
quattro volte (una volta per H2 e N2 , due volte per CO2 ).
L’irreversibilità complessiva Ṡirr sarà infine data dalla somma delle irreversibilità cosı̀ calcolate:
Ṡirr = ∑ ∑ Ṡirr,i,j = ṅ3 ∑ ∑ σi,j
j
i
j
31
i
La tabella seguente mostra i risultati di questo calcolo, distinguendo
tra l’irreversibilità dovuta alla variazione di temperatura (che può essere
nulla, qualora i flussi entranti si trovino alla stessa temperatura) e quella
determinata dalla variazione delle pressioni parziali (che non può mai essere
nulla, e che fa sı̀ che il processo di miscelazione sia irreversibile).
σi,j
temp.
press.
totale
σH2 ,1
σN2 ,2
σCO2 ,1
σCO2 ,2
-0,465
0,370
-0,149
0,303
0,791
1,334
0,198
0,849
0,327
1,704
0,048
1,152
J/(mol K)
J/(mol K)
J/(mol K)
J/(mol K)
totale
0,059
3,173
3,232
J/(mol K)
L’irreversibilità complessivamente generata nel processo vale dunque:
Ṡirr = ṅ3 σtot = (2,292 ⋅ 3,232) W/K = 7,408 W/K
In termini di lavoro perso per irreversibilità, si ricava:
Ẇirr = T0 Ṡirr = (298,15 ⋅ 7,408) W = 2,209 kW
Come anticipato, allo stesso risultato si giunge considerando i flussi entranti nel loro complesso (come se fossero specie chimiche a sé stanti) anziché
ogni singola specie chimica. In questo caso, occorre definire una pressione
parziale fittizia relativa a ciascun flusso entrante all’interno della miscela risultante: poiché le pressioni parziali sono proporzionali alle frazioni molari,
è sufficiente calcolare la frazione molare “equivalente” come rapporto tra
la portata molare del flusso entrante e la portata molare complessiva. In
formule: pj,3 /p3 = ṅj /ṅ3 .
In definitiva, si deve calcolare per i due flussi entranti l’irreversibilità
come segue:
ṅj
ṅj
T3
σj′ = Ṡirr,j /ṅ3 =
(ĉp,j log
− R̂ log )
ṅ3
Tj
ṅ3
Si noti che i calori specifici ĉp,j sono i calori specifici medi per i flussi
1 e 2. Nella tabella seguente sono riportati i risultati del calcolo, di nuovo distinguendo tra l’irreversibilità dovuta alla variazione di temperatura e
quella dovuta alla variazione di pressione parziale.
σj′
temp.
press.
totale
σ1′
σ2′
-0,614
0,673
0,990
2,183
0,376
2,856
J/(mol K)
J/(mol K)
0,059
3,173
3,232
J/(mol K)
totale
32
2
Combustione
Esercizio 2.1
A partire dalla potenza termica utile fornita dalla caldaia, è possibile innanzitutto calcolare la portata di acqua, essendo nota la sua variazione di
temperatura:
ṁw =
Q̇u
30
=
kg/s = 0,357 kg/s
cw (Twu − Twi ) 4,2 ⋅ 20
La portata volumetrica di acqua è dunque:
V̇w = ṁw /ρw = 21,43 l/min
Per quanto concerne invece il combustibile, si può calcolarne la massa
molare:
Mc = ∑ x̂i,c Mi = (0,60 ⋅ 2 + 0,35 ⋅ 28 + 0,05 ⋅ 44) kg/kmol = 13,20 kg/kmol
i
e quindi la composizione in massa:
xH2 ,c = x̂H2 ,c MH2 /Mc = 0,60 ⋅ 2/13,20 =
9,09%
xCO,c = x̂CO,c MCO /Mc = 0,35 ⋅ 28/13,20 =
74,24%
xCO2 ,c = x̂CO2 ,c MCO2 /Mc = 0,05 ⋅ 44/13,20 =
16,67%
Dalla composizione in massa è possibile calcolare il potere calorifico inferiore
della miscela di combustibile:
Hi = ∑ xj,c Hi,j = (0,0909 ⋅ 120 + 0,7424 ⋅ 10,1) MJ/kg = 18,41 MJ/kg
j
Le reazioni di ossidazione delle specie combustibili forniscono i rapporti
tra le masse di reagenti e di prodotti, utili per il calcolo del rapporto stechiometrico (rapporto ossigeno / combustibile) e per il calcolo della composizione
dei gas combusti (rapporto tra H2 O o CO2 e combustibile).
H2 +
2 kg
2 CO +
28 kg
1
O2 ÐÐ→ H2 O
2
18 kg
16 kg
1
O2 ÐÐ→ 2 CO2
2
44 kg
16 kg
Il rapporto stechiometrico risulta pertanto:
αst = ∑ xj,c αst,j =
j
0,0909 ⋅ 4 + 0,7424 ⋅ 4/7
= 5,01
0,23
33
Essendo noto l’eccesso d’aria, si può immediatamente calcolare il rapporto
effettivo aria/combustibile:
α = (1 + e) αst = 8,51
La composizione in massa dei gas combusti è data dalle seguenti equazioni (occorre ovviamente tenere conto della presenza di CO2 nel combustibile):
α
8,51
xN2 ,a =
0,77 =
α+1
9,51
α
8,51 0,7
e
=
xO2 ,a =
0,23 =
α+11+e
9,51 1,7
xH2 ,c ⋅ 9 0,0909 ⋅ 9
=
=
=
α+1
9,51
xCO,c ⋅ 11/7 + xCO2 ,c 0,7424 ⋅ 11/7 + 0,1667
=
=
=
α+1
9,51
xN2 ,g =
xO2 ,g
xH2 O,g
xCO2 ,g
68,90 %
8,48 %
8,60 %
14,02 %
La massa molare dei gas combusti vale:
xi,g
Mg = (∑
)
i Mi
−1
= 28,39 kg/kmol
Nota la composizione in massa dei gas combusti, nonché la loro temperatura all’uscita dello scambiatore di calore, le tabelle riportate in appendice
permettono di valutare l’entalpia sensibile dei combusti:
hg (Tgu ) = ∑ xi,g hi (Tgu ) = 0,6890 ⋅ 156,4 + 0,0848 ⋅ 140,3
i
+ 0,0860 ⋅ 283,8 + 0,1402 ⋅ 137,0 kJ/kg = 163,3 kJ/kg
Assumendo che le uniche perdite della caldaia siano costituite dal calore
sensibile dei gas combusti allo scarico, il rendimento della caldaia risulta:
η =1−
hg (Tgu )
163,3
=1−
= 91,56 %
Hi /(α + 1)
18,41 × 103 /9,51
In mancanza di dati riguardanti l’entalpia sensibile dei gas combusti,
il calcolo del rendimento può essere condotto valutando il calore specifico
medio dei gas combusti nell’intervallo di temperatura di interesse, in questo
caso tra 25 ○C (temperatura di riferimento) e Tgu = 175 ○C. Il calore specifico
medio risulta, sfruttando la tabella dei calori specifici riportata in appendice:
T
T
[cp,g ]Tgu
= ∑ xi,g [cp,i ]Tgu
= 0,6890 ⋅ 1,042 + 0,0848 ⋅ 0,935
0
0
i
+ 0,0860 ⋅ 1,891 + 0,1402 ⋅ 0,915 kJ/(kg K) = 1,088 kJ/(kg K)
34
Il rendimento della caldaia, sulla base del calore specifico medio dei gas
combusti, si calcola come segue:
cp,g (Tgu − T0 )
1,088 ⋅ 150
=1−
= 91,56 %
Hi /(α + 1)
18,41 × 103 /9,51
η =1−
Il risultato è pressoché identico a quello ottenuto in precedenza in virtù della
limitata estensione dell’intervallo di temperatura su cui si è calcolato il calore
specifico medio; come si vedrà nei prossimi esercizi, su intervalli di temperatura di maggiore ampiezza lo scostamento può diventare apprezzabile (ma
di norma comunque piuttosto contenuto).
Tramite il rendimento, si può calcolare la portata di combustibile necessaria ad ottenere l’assegnata potenza utile:
ṁc =
Q̇u
30
=
kg/s = 1,780 g/s
ηHi 0,9156 ⋅ 18,41 × 103
In termini di portata volumetrica normale, si ottiene:
ρn,c =
p n Mc
R̂Tn
=
101,325 ⋅ 13,2
kg/m3n = 0,589 kg/m3n
8,3145 ⋅ 273,15
V̇n,c = ṁc /ρn,c = 10,88 m3n /h
La portata di gas combusti, in termini massici e di portata volumetrica
normale, risulta:
ṁg = (α + 1) ṁc = 9,51 ⋅ 1,780 g/s = 16,93 g/s
pn Mg 101,325 ⋅ 28,39
ρn,g =
kg/m3n = 1,267 kg/m3n
=
8,3145 ⋅ 273,15
R̂Tn
V̇n,g = ṁg /ρn,g = 48,11 m3n /h
Infine, il flusso termico perso allo scarico della caldaia può essere calcolato come segue:
1
Q̇g = ( − 1) Q̇u = ṁg hg (Tgu ) = 2,76 kW
η
Esercizio 2.2
E’ utile procedere innanzitutto con il calcolo delle caratteristiche della miscela combustibile e dell’aria comburente. La massa molare e la composizione
massica del combustibile valgono:
Mc = ∑ x̂i,c Mi = (0,97 ⋅ 16 + 0,024 ⋅ 44 + 0,006 ⋅ 28) kg/kmol = 16,74 kg/kmol
i
35
xCH4 ,c = x̂CH4 ,c MCH4 /Mc = 0,97 ⋅ 16/16,74 =
92,69%
xCO2 ,c = x̂CO2 ,c MCO2 /Mc = 0,024 ⋅ 44/16,74 =
6,31%
xN2 ,c = x̂N2 ,c MN2 /Mc = 0,006 ⋅ 28/16,74 =
1,00%
Poiché il metano è l’unica specie combustibile presente, il potere calorifico e
il rapporto stechiometrico sono semplicemente date dai corrispondenti valori
per il metano moltiplicati per la frazione in massa del metano. Il calcolo del
potere calorifico è immediato:
Hi = xCH4 ,c Hi,CH4 = 0,9269 ⋅ 50,0 MJ/kg = 46,34 MJ/kg
mentre per valutare il rapporto stechiometrico occorre dapprima calcolare
la frazione in massa di ossigeno nell’aria umida. La massa molare dell’aria
secca vale:
−1
Mas = (∑
i
xi,as
)
Mi
=(
0,77
0,23
+
)
28 kg/kmol 32 kg/kmol
−1
= 28,83 kg/kmol
La pressione di saturazione corrispondente alla temperatura ambiente è
psat (Ta ) = 3,17 kPa; dunque l’umidità assoluta dell’aria comburente vale:
X=
Mv
upsat
0,6 ⋅ 3,17
18
= 1,19 × 10−2 kgv /kgas
=
Ma s pa − upsat 28,83 101,3 − 0,6 ⋅ 3,17
La composizione in massa dell’aria umida è conseguentemente:
1
xN ,as =
1+X 2
1
xO2 ,a =
xO ,as =
1+X 2
X
=
xH2 O,a =
1+X
76,09 %
xN2 ,a =
22,73 %
1,18 %
Poiché occorrono 4 kg di ossigeno per kg di metano, il rapporto stechiometrico della miscela risulta:
αst = xCH4 ,c
4
xO2 ,a
= 0,9269 ⋅
4
= 16,31
0,2273
mentre il rapporto effettivo aria/combustibile vale:
α = (1 + e) αst = 29,36
36
A questo punto è possibile calcolare la composizione in massa dei gas
combusti:
xN ,c 29,36
α
0,0100
xN2 ,a + 2 =
0,7609 +
=
73,62 %
α+1
α + 1 30,36
30,36
α
e
29,36 0,8
=
xO2 ,a =
0,2273 =
9,77 %
α+11+e
30,36 1,8
xCH4 ,c ⋅ 9/4
α
0,9269 ⋅ 9/4 29,36
=
+
xH O,a =
+
0,0118 = 8,01 %
α+1
α+1 2
30,36
30,36
xCH4 ,c ⋅ 11/4 + xCO2 ,c 0,9269 ⋅ 11/4 + 0,0631
=
=
=
8,60 %
α+1
30,36
xN2 ,g =
xO2 ,g
xH2 O,g
xCO2 ,g
La massa molare dei gas combusti vale:
xi,g
)
Mg = (∑
i Mi
−1
= 27,97 kg/kmol
e la loro composizione in volume è:
x̂N2 ,g = xN2 ,g Mg /MN2 = 0,7362 ⋅ 27,97/28 =
73,54 %
x̂O2 ,g = xO2 ,g Mg /MO2 = 0,0977 ⋅ 27,97/32 =
8,54 %
x̂H2 O,g = xH2 O,g Mg /MH2 O = 0,0801 ⋅ 27,97/18 =
12,45 %
x̂CO2 ,g = xCO2 ,g Mg /MCO2 = 0,0860 ⋅ 27,97/44 =
5,47 %
Per ipotesi, i gas combusti abbandonano lo scambiatore di calore alla
temperatura:
Tgu = Tsat (pv ) + ∆T = (179,89 + 80) ○C = 259,89 ○C
e pertanto il rendimento della caldaia vale:
η =1−
cp,g (Tgu − Ta )
1,10 ⋅ 234,89
=1−
= 83,07 %
Hi /(α + 1)
46,34 × 103 /30,36
Il rendimento rappresenta il rapporto tra il flusso termico utile, che in
questa applicazione è il prodotto tra portata di vapore e calore latente di evaporazione (Q̇u = ṁv r), e la potenza associata al combustibile ṁc Hi . Poiché il
calore latente alla pressione pv vale r = 2014,4 kJ/kg, il rapporto tra portata
di combustibile e portata di vapore risulta:
ṁc
r
2014,4
=
=
= 52,32 × 10−3 = 52,32 g/kg
ṁv ηHi 0,8307 ⋅ 46,34 × 103
37
Esercizio 2.3
La massa molare, la densità e la portata in massa della miscela combustibile
valgono:
Mc = ∑ xi,c Mi = 11,20 kg/kmol
i
300 ⋅ 11,20
=
ρc =
kg/m3 = 1,355 kg/m3
8,3145
⋅
298,15
R̂Ta
ṁc = ρc V̇c = 0,3765 g/s
pMc
La composizione in massa del combustibile risulta:
xH2 ,c = x̂H2 ,c MH2 /Mc = 0,50 ⋅ 2/11,20 =
8,93%
xCH4 ,c = x̂CH4 ,c MCH4 /Mc = 0,36 ⋅ 16/11,20 =
51,43%
xN2 ,c = x̂N2 ,c MN2 /Mc = 0,02 ⋅ 28/11,20 =
5,00%
xC2 H6 ,c = x̂C2 H6 ,c MC2 H6 /Mc = 0,10 ⋅ 30/11,20 =
26,79%
xCO2 ,c = x̂CO2 ,c MCO2 /Mc = 0,02 ⋅ 44/11,20 =
7,86%
e conseguentemente il potere calorifico inferiore vale:
Hi = ∑ xj,g Hi,j = (0,0893 ⋅ 120 + 0,5143 ⋅ 50 + 0,2679 ⋅ 47,5) MJ/kg
j
= 49,15 MJ/kg
La potenza termica sviluppata è data da:
Q̇c = ṁc Hi = 18,51 kW
Tenendo presente le reazioni di ossidazione delle specie combustibili:
H2 + 0,5 O2
2 kg
16 kg
ÐÐ→ H2 O
18 kg
CH4 + 2 O2 ÐÐ→ 2 H2 O + CO2
16 kg
64 kg
36 kg
44 kg
C2 H6 + 3,5 O2 ÐÐ→ 3 H2 O + 2 CO2
30 kg
54 kg
112 kg
88 kg
si può calcolare il rapporto stechiometrico (l’aria comburente è aria secca):
αst =
8xH2 ,c + 4xCH4 ,c + 3,73̄xC2 H6 ,c
= 16,40
xO2 ,a
Il rapporto effettivo aria/combustibile vale:
α = (1 + e) αst = 24,60
38
noto il quale si può procedere con il calcolo della composizione in massa dei
gas combusti:
xN2 ,g =
xO2 ,g =
xH2 O,g =
=
xCO2 ,g =
=
xN ,c 24,60
0,0500
α
xN ,a + 2 =
0,77 +
=
α+1 2
α + 1 25,60
25,60
α
e
24,60 0,5
xO ,a =
0,23 =
α+1e+1 2
25,60 1,5
9xH2 ,c + 2,25xCH4 ,c + 1,8xC2 H6 ,c
α+1
9 ⋅ 0,0893 + 2,25 ⋅ 0,5143 + 1,8 ⋅ 0,2679
=
25,60
2,75xCH4 ,c + 2,93̄xC2 H6 ,c + xCO2 ,c
α+1
2,75 ⋅ 0,5143 + 2,93̄ ⋅ 0,2679 + 0,0786
=
25,60
74,19 %
7,37 %
9,54 %
8,90 %
Massa molare e portata in massa di gas combusti valgono:
Mg = (∑
i
xi,g
)
Mi
−1
= 27,68 kg/kmol
ρg =
pMg
R̂Tg
ṁg = (α + 1) ṁc = 9,637 g/s
Il calcolo della temperatura adiabatica di fiamma verrà effettuato sfruttando le tabelle riportate in appendice, facendo uso dapprima delle tabelle dell’entalpia sensibile, per poi confrontare i risultati che si otterrebbero
qualora si impiegassero le tabelle dei calori specifici e pressione costante.
Partendo dunque dal calcolo mediante la tabella delle entalpie sensibili,
si procede innanzitutto a valutare, mediante il bilancio in camera di combustione, quale sia l’entalpia sensibile hs dei gas combusti al termine del
processo di combustione:
Hi
= 1920,3 kJ/kg
α+1
A questo punto, se se si trattasse semplicemente di un gas monocomponente, sarebbe sufficiente entrare nella tabella delle entalpie sensibili e determinare, eventualmente tramite interpolazione, la temperatura corrispondente all’entalpia ora trovata. In realtà, i gas combusti sono una miscela gassosa
la cui entalpia è data dalla media pesata delle entalpie di ciascun componente. Si può procedere pertanto per tentativi, ipotizzando una temperatura di
primo tentativo sulla base dell’equazione di bilancio dell’energia, utilizzando
un valore “ragionevole” di calore specifico medio, come cp,g ≈ 1,2 kJ/(kg K):
ṁg (hg − hg,0 ) = ṁc Hi
(1)
Tf
= Ta +
⇒
hg − hg,0 = hs,g =
Hi
49,15 × 103 ○
= (25 +
) C = 1625,2 ○C
cp,g (α + 1)
1,2 ⋅ 25,60
39
La tabella delle entalpie sensibili fornisce i valori per ciascun componente
riportati in tabella:
h(1625 ○C)
h(1650 ○C)
N2
O2
H2 O
CO2
1872,5
1729,1
3747,5
1936,7
1904,5
1758,4
3817,5
1970,9
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
kJ/kg
hg
2046,6
2082,2
kJ/kg
(1)
L’entalpia dei gas combusti corrispondente alla temperatura Tf
(1)
vale:
(1)
hs,g (Tf ) = ∑ xi,g hs,i (Tf ) = 2046,9 kJ/kg
i
L’effettiva temperatura adiabatica di fiamma deve dunque essere infe(1)
riore al valore Tf . La differenza tra il valore di entalpia ora trovato e
l’effettiva entalpia dei gas combusti vale 126,6 kJ/kg, che corrisponde a circa 100 ○C di salto di temperatura, sempre ipotizzando un calore specifico di
circa 1,2 kJ/(kg K) (per una stima più precisa, si potrebbe valutare il calore specifico dalla corrispondente tabella). Si ottiene pertanto per la tem(2)
peratura un valore di secondo tentativo Tf = 1525 ○C, a cui corrisponde
un’entalpia:
(2)
(2)
hs,g (Tf ) = ∑ xi,g hs,i (Tf ) = 1904,8 kJ/kg
i
L’errore è diventato già piuttosto contenuto alla seconda iterazione; procedendo in maniera analoga nelle iterazioni successive, si ottiene infine:
Tf = Tf (hs,g ) = 1536,0 ○C
Il calore specifico medio nell’intervallo tra la temperatura ambiente e la
temperatura di fiamma vale:
T
[cp,g ]Tfa =
hs,g
= 1,271 kJ/(kg K)
Tf − T0
mentre il calore specifico corrispondente alla temperatura Tf (da impiegare, mantenendolo costante per ipotesi, nell’espansione dei gas combusti
attraverso l’ugello) vale:
cp,g (Tf ) = ∑ xi,g cp,i (Tf ) = 1,414 kJ/(kg K)
i
40
Gli esponenti dell’isoentropica valgono pertanto:
ε=
R̂
8,3145
=
= 0,2125
Mg cp,g 27,68 ⋅ 1,414
1
= 1,270
k=
1−ε
Poiché nell’ugello la trasformazione è adiabatica e senza scambio di lavoro, l’entalpia totale dei gas combusti si conserva, per cui, in base all’assunzione di energia cinetica trascurabile all’ingresso dell’ugello, la temperatura
allo scarico dell’ugello vale:
Tgu = Tf −
c2u
6002
= (1536,0 −
) ○C = 1408,6 ○C
2cp,g
2 ⋅ 1414
La pressione allo scarico è fornita dall’equazione dell’isoentropica:
1/ε
pgu = p (
Tgu
)
Tf
= 300 ⋅ (
1681,8 1/0,2125
)
= 212,78 kPa
1809,1
Per concludere, la velocità del suono e il numero di Mach allo scarico dell’ugello valgono:
¿
√
Á R̂
8314,5
Á
À
k
agu =
Tgu = 1,270 ⋅
⋅ 1681,8 m/s = 800,9 m/s
Mg
27,68
cu
M agu =
= 0,749
agu
Si consideri ora la procedura alternativa (approssimata) di calcolo della
temperatura adiabatica di fiamma basata sulla valutazione del calore specifico medio dei gas combusti nell’intervallo considerato. Si supponga di partire
(1)
con lo stesso valore di primo tentativo già individuato, Tf = 1625,2 ○C.
Il calore specifico medio può essere approssimato con il calore specifico
corrispondente alla media delle temperature considerate:
T
[cp,g ]Tfa ≈ cp,g (
Tf + Ta
)
2
(1)
La temperatura media di primo tentativo è Tm = 825,1 ○C; le tabelle del
calore specifico forniscono:
cp (825 ○C)
cp (850 ○C)
N2
O2
H2 O
CO2
1,1851
1,1009
2,3592
1,2558
1,1894
1,1037
2,3767
1,2610
kJ/(kg K
kJ/(kg K
kJ/(kg K
kJ/(kg K
hg
1,2973
1,3028
kJ/(kg K
41
da cui si ottiene:
c(2)
p,g (Tm ) = 1,2973 kJ/(kg K)
Impiegando questo valore nell’equazione di bilancio, si ottiene una temperatura di secondo tentativo pari a:
(2)
Tf
= Ta +
(2)
Hi
= (25 +
cp,g (α + 1)
49,15 × 103 ○
) C = 1505,2 ○C
1,2973 ⋅ 25,60
A questo punto si procede iterativamente finché il valore di temperatura
ottenuto dall’equazione di bilancio non arriva a convergenza. Il risultato
finale è:
Tf ≈ 1519,2 ○C
T
con un calore specifico medio [cp,g ]Tfa ≈ 1,2852 kJ/(kg K).
Come si vede, l’errore commesso (rispetto al calcolo basato sulla tabella
delle entalpie) è abbastanza piccolo ma non trascurabile, a differenza di
quanto avveniva nell’Esercizio 2.1, a causa dell’intervallo di temperature
molto più esteso qui considerato.
3
Cicli termodinamici
Esercizio 3.1
Ciclo Joule
Conviene innanzitutto calcolare le caratteristiche dell’aria secca, che sono,
al solito:
−1
Ma = (∑
i
xi,as
)
Mi
=(
0,23
0,77
+
)
28 kg/kmol 32 kg/kmol
−1
= 28,83 kg/kmol
Ra = R̂/Ma = 8,3145/28,83 kJ/(kg K) = 0,2884 kJ/(kg K)
Nel compressore evolve appunto aria secca, che viene portata dalla pressione p1 alla pressione p2 = βp1 = 18 bar. La tabella riguardante la variazione
di entropia alla pressione di riferimento, riportata in appendice, permette
di calcolare le condizioni di fine compressione isoentropica. Infatti, per una
trasformazione isoentropica di un gas perfetto si ha:
sa,2is − sa,1 = ∫
T2is
T1
cp (T )
dT
p2
− R log
=0
T
p1
Il termine contenente il calore specifico rappresenta la variazione di entropia
a pressione costante tra le temperature T1 e T2is , che può essere ricavata
dalla tabella sopra menzionata:
T2is
∫
T1
cp (T )
T2is
T1
dT
dT
dT
=∫
cp (T )
−∫
cp (T )
= s0a (T2is ) − s0a (T1 )
T
T
T
T0
T0
42
Dall’equazione dell’isoentropica si ottiene pertanto, tenendo conto che in
questo caso T1 = T0 :
s0a (T2is ) = Ra log β = 0,2884 ⋅ log 18 kJ/(kg K) = 0,8336 kJ/(kg K)
L’ultima colonna della tabella relativa all’entropia fornisce i valori per
l’aria secca, da cui si ottiene, interpolando, che la temperatura di fine
compressione isoentropica è:
T2is = T (s0a = 0,8336 kJ/(kg k)) = 395,36 ○C
Per interpolazione sulla tabella dell’entalpia, si ricava l’entalpia di fine
compressione isoentropica:
ha,2is = h(T2is ) = 384,0 kJ/kg
e l’entalpia di fine compressione reale (si osservi che l’entalpia sensibile
nel punto 1 è nulla perché le condizioni ambiente coincidono con quelle di
riferimento):
ha,2is − ha,1
ha,2 = ha,1 +
= 462,6 kJ/kg
ηis,C
a cui corrisponde una temperatura di fine compressione reale, ottenuta
interpolando sulla tabella dell’entalpia:
T2 = T (ha,2 ) = 467,97 ○C
Per completare la caratterizzazione del processo di compressione, si può
valutare l’esponente medio e il calore specifico medio relativi alla trasformazione isoentropica:
[ε]TT2is
=
1
[cp ]TT2is
1
log TT2is
1
= 0,2794
log β
ha,2is − ha,1
=
= 1,037 kJ/(kg K)
T2is − T1
Si può ora passare alla valutazione del processo di combustione. In questo caso si conosce la temperatura finale, e si deve calcolare, mediante l’equazione di bilancio dell’energia in camera di combustione, l’eccesso d’aria
richiesto per mantenere la temperatura finale al valore prefissato. Poiché
non si conosce a priori la composizione dei gas combusti, il procedimento
è necessariamente iterativo: si parte con un valore di primo tentativo per
l’eccesso d’aria, si valuta la composizione dei gas combusti, si calcola l’entalpia sensibile dei gas combusti alla temperatura T3 (mediante la tabella
dell’entalpia riportata in appendice), e si verifica se questo valore di entalpia
sensibile soddisfi l’equazione di bilancio in camera di combustione:
ṁg (hg,3 − hg,0 ) = ṁc Hi + ṁa (ha,2 − ha,0 )
43
ovvero, rapportando ambo i membri alla portata di gas combusti:
Hi
α
hg,3 − hg,0 =
+
(ha,2 − ha,0 )
α+1 α+1
Per avviare il calcolo con una stima ragionevole dell’eccesso d’aria, si
può scrivere l’equazione di bilancio approssimando le caratteristiche dell’aria
comburente a quelle dei gas combusti, e trascurando la differenza tra portata
d’aria e portata di gas combusti:
(α + 1) [cp,g ]TT32 (T3 − T2 ) ≈ Hi
Ipotizzando un calore specifico medio dei gas combusti nell’intervallo considerato pari a 1,2 kJ/(kg K), si ottiene:
α(1) =
Hi
[cp,g ]TT32 (T3 − T2 )
−1=
50 × 103
− 1 = 49,08
1,2 ⋅ 823,0
ovvero, considerando che il rapporto stechiometrico del metano vale in questo caso αst = 4/0,23 = 17,39, in termini di eccesso d’aria:
e(1) = α/αst − 1 = 182,2 %
La composizione in massa dei gas combusti risulta, con questo valore
di eccesso d’aria, la seguente: N2 75,46%; O2 14,55%; H2 O 4,50%; CO2
5,49%. L’entalpia sensibile dei gas combusti risulta dunque, dalla tabella
dell’entalpia:
hg,3 − hg,0 = hs,g (T3 ) = ∑ xi,g hs,i (T3 ) = 1510,2 kJ/kg
i
mentre il secondo membro dell’equazione di bilancio sopra riportata, che
rappresenta il flusso di entalpia entrante in camera di combustione, vale:
50 × 103 49,08
Hi
α
+
(ha,2 − ha,0 ) = (
+
⋅ 462,6) kJ/kg = 1451,8 kJ/kg
α+1 α+1
50,08
50,08
Poiché l’entalpia dei gas combusti ricavata con il valore di primo tentativo di eccesso d’aria risulta maggiore del flusso di entalpia entrante in
camera di combustione (rapportato alla portata di gas combusti), se ne deduce che il flusso entrante (in particolare quello associato al potere calorifico)
è eccessivamente “diluito”, e pertanto occorre diminuire l’eccesso d’aria.
Per ottenere una stima del valore di secondo tentativo per l’eccesso d’aria, si può calcolare il valore di α che fa sı̀ che l’entalpia entrante (fornita
dall’ultima equazione scritta) sia pari all’entalpia uscente (gas combusti),
imponendo l’assunzione semplificativa α ≈ α + 1:
Hi
+ ha,2 − ha,0 = 1510,2 kJ/kg ⇒
(2)
α +1
50 × 103
α(2) =
− 1 = 46,73
1510,2 − 462,6
e(2) = α(2) /αst − 1 = 168,7%
44
Procedendo iterativamente in questo modo, si arriva a convergenza con
il seguente eccesso d’aria:
e = 164,9 %
α = 46,07
a cui corrisponde la seguente composizione in massa dei gas combusti:
α
xN ,a =
α+1 2
eαst
=
xO ,a =
α+1 2
9/4
=
=
α+1
11/4
=
=
α+1
xN2 ,g =
75,36%
xO2 ,g
14,02%
xH2 O,g
xCO2 ,g
4,78%
5,84%
L’entalpia sensibile dei gas combusti alla temperatura T3 vale:
hg,3 = ∑ xi,g hs,i (T3 ) = 1515,0 kJ/kg
i
a cui corrisponde un calore specifico medio:
[cp,g ]TT30 =
hs,g (T3 )
= 1,188 kJ/(kg K)
T3 − T0
mentre la variazione di entropia a pressione costante risulta:
s0g,3 = ∑ xi,g s0i (T3 ) = 1,913 kJ/(kg K)
i
Si può a questo punto completare il ciclo termodinamico con il calcolo
delle proprietà dei gas combusti al termine dell’espansione in turbina. La
massa molare e la costante dei gas combusti valgono:
Mg = (∑
i
xi,g
)
Mi
−1
= 28,35 kg/kmol
Rg = R̂/Mg = 0,293 kJ/(kg K)
Considerando l’espansione ideale (isoentropica) 3 → 4is , si ha:
T3
sg,3 − sg,4is = ∫
T4is
cp,g (T )
p3
dT
− Rg log
=0
T
p4
da cui si ottiene:
s0g,3 − s0g,4is = Rg log β = 0,848 kJ/(kg K)
s0g,4,is = s0g,3 − Rg log β = 1,066 kJ/(kg K)
45
La temperatura di fine espansione isoentropica è dunque quella alla quale
i gas combusti presentano una variazione di entropia a pressione costante pari al valore ora calcolato. Avendo a disposizione l’andamento delle entropie
per i singoli componenti dei gas combusti, occorre individuare la temperatura finale per via iterativa. Come valore di primo tentativo, si può assumere quello risultante dall’equazione dell’isoentropica con un calore specifico
medio pari a 1,2 kJ/(kg K):
(1)
T4is = T3 /β Rg /c̄p,g = 1573,15/180,293/1,2 = 502,99 ○C
Interpolando sulla tabella dell’entropia, in corrispondenza di questa temperatura di primo tentativo si ottiene:
(1)
(1)
s0g (T4,is ) = ∑ xi,g s0i (T4is ) = 1,041 kJ/(kg K)
i
Procedendo poi per via iterativa, si giunge al seguente valore finale:
T4is = T (s0g (T4is )) = 519,35 ○C
La corrispondente entalpia sensibile vale:
hg,4is = ∑ xi,g hi (T4is ) = 543,4 kJ/kg
i
Dalla definizione di rendimento isoentropico, si ottiene l’entalpia di fine
espansione reale:
hg,4 = hg,3 − ηis,T (h3,g − hg,4is ) = 650,2 kJ/kg
Ora, di nuovo per via iterativa (sfruttando questa volta la tabella dell’entalpia sensibile), si può determinare la temperatura di fine espansione
reale:
T4 = T (hg,4 ) = 610,36 ○C
Per avviare il calcolo iterativo, in questo caso si può assumere il comportamento di gas ideale e quindi calcolare la temperatura T4 mediante il
(1)
rendimento isoentropico: si ottiene T4 = T3 − ηis,T (T3 − T4,is ) = 605,22 ○C.
Definito il ciclo termodinamico, in particolare in termini di pressione,
temperatura ed entalpia dei punti del ciclo, si possono calcolare le prestazioni
del ciclo stesso.
Il lavoro fornito dall’espansione dei gas combusti risulta, per unità di
massa di gas combusti:
WE = hg,3 − hg,4 = 864,7 kJ/kg
In fase di compressione, il fluido di lavoro è costituito dall’aria aspirata dal
compressore: per calcolare il lavoro richiesto dalla compressione per unità di
46
massa di gas combusti, è necessario introdurre il rapporto ṁa /ṁg = α/(α+1)
tra la portata d’aria e la portata di gas combusti:
WC =
α
(ha,2 − ha,1 ) = 452,8 kJ/kg
α+1
Il lavoro netto del ciclo risulta pertanto (riferito all’unità di massa di gas
combusti):
W = WE − WC = 412,0 kJ/kg
Per quanto riguarda il calore entrante nel ciclo, questo è dato dal bilancio
in camera di combustione:
Qin =
Hi
α
= (hg,3 − hg,0 ) −
(ha,2 − ha,0 ) = 1062,2 kJ/kg
α+1
α+1
Il calore uscente dal ciclo vale invece:
Qout = (hg,4 − hg,0 ) −
α
(ha,1 − ha,0 ) = 650,2 kJ/kg
α+1
La differenza tra calore entrante e calore uscente risulta pertanto uguale al
lavoro netto del ciclo, come impone il primo principio della termodinamica
applicato al ciclo stesso:
Qin − Qout = W = 412,0 kJ/kg
Infine, il rendimento termodinamico del ciclo vale:
η=
W
412,0
= 38,78 %
=
Qin 1062,2
47
Appendice
Calori specifici
Calori specifici a pressione costante [kJ/(kg K)] al variare della temperatura di
alcuni gas.
1
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria1
25
14.32
2.216
1.863
1.040
0.917
0.845
1.011
50
14.36
2.287
1.871
1.040
0.923
0.869
1.013
75
14.40
2.363
1.880
1.041
0.928
0.893
1.015
100
14.43
2.443
1.891
1.042
0.935
0.915
1.017
125
14.46
2.527
1.902
1.044
0.942
0.937
1.020
150
14.48
2.612
1.913
1.046
0.949
0.957
1.024
175
200
14.49
14.51
2.700
2.789
1.926
1.939
1.049
1.052
0.956
0.963
0.976
0.995
1.028
1.032
225
14.52
2.880
1.953
1.056
0.971
1.013
1.036
250
14.53
2.971
1.967
1.060
0.979
1.029
1.041
275
14.54
3.062
1.982
1.064
0.986
1.045
1.046
300
14.55
3.153
1.997
1.069
0.994
1.061
1.052
325
14.56
3.244
2.013
1.074
1.002
1.075
1.058
350
14.57
3.333
2.029
1.080
1.009
1.089
1.063
375
14.58
3.422
2.045
1.085
1.016
1.102
1.069
400
14.59
3.509
2.062
1.091
1.023
1.114
1.075
425
14.61
3.595
2.078
1.097
1.030
1.126
1.081
450
14.63
3.679
2.095
1.103
1.036
1.137
1.088
475
14.65
3.761
2.112
1.109
1.043
1.148
1.094
500
14.67
3.841
2.129
1.115
1.049
1.158
1.100
525
14.70
3.919
2.147
1.121
1.054
1.168
1.106
550
14.73
3.995
2.164
1.127
1.059
1.177
1.112
aria secca, composizione in massa: N2 77%; O2 23%
48
Calori specifici [kJ/(kg K)] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
575
14.76
4.069
2.181
1.134
1.064
1.186
1.118
600
14.79
4.140
2.199
1.140
1.069
1.195
1.123
625
14.83
4.210
2.216
1.145
1.074
1.203
1.129
650
14.87
4.278
2.234
1.151
1.078
1.211
1.134
675
14.90
-
2.251
1.157
1.082
1.219
1.140
700
14.94
-
2.269
1.162
1.086
1.226
1.144
725
14.98
-
2.286
1.167
1.090
1.233
1.149
750
15.03
-
2.305
1.172
1.093
1.239
1.153
775
15.09
-
2.323
1.176
1.095
1.245
1.158
800
15.14
-
2.341
1.181
1.098
1.250
1.162
825
15.20
-
2.359
1.185
1.101
1.256
1.166
850
15.25
-
2.377
1.189
1.104
1.261
1.170
875
15.30
-
2.394
1.194
1.106
1.266
1.174
900
15.36
-
2.411
1.198
1.109
1.271
1.177
925
15.41
-
2.427
1.202
1.112
1.276
1.181
950
15.46
-
2.444
1.206
1.114
1.280
1.185
975
15.51
-
2.460
1.209
1.117
1.285
1.188
1000
15.57
-
2.476
1.213
1.119
1.289
1.191
1025
1050
15.62
15.67
-
2.491
2.507
1.217
1.220
1.122
1.124
1.294
1.298
1.195
1.198
1075
15.72
-
2.522
1.223
1.127
1.302
1.201
1100
15.77
-
2.536
1.227
1.129
1.306
1.204
1125
15.82
-
2.551
1.230
1.132
1.310
1.207
1150
15.87
-
2.565
1.233
1.134
1.313
1.210
1175
15.93
-
2.579
1.236
1.136
1.317
1.213
1200
15.98
-
2.593
1.239
1.139
1.320
1.216
1225
-
-
2.607
1.242
1.141
1.324
1.219
1250
-
-
2.620
1.245
1.143
1.327
1.221
1275
-
-
2.633
1.248
1.145
1.330
1.224
1300
-
-
2.646
1.250
1.148
1.333
1.227
1325
-
-
2.658
1.253
1.150
1.336
1.229
1350
-
-
2.671
1.255
1.152
1.339
1.232
1375
-
-
2.683
1.258
1.154
1.342
1.234
1400
-
-
2.695
1.260
1.156
1.345
1.236
1425
-
-
2.707
1.263
1.158
1.348
1.239
1450
-
-
2.718
1.265
1.161
1.350
1.241
49
Calori specifici [kJ/(kg K)] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
1475
-
-
2.730
1.267
1.163
1.353
1.243
1500
-
-
2.741
1.269
1.165
1.355
1.245
1525
-
-
2.752
1.271
1.167
1.357
1.247
1550
-
-
2.763
1.273
1.169
1.360
1.249
1575
-
-
2.773
1.275
1.171
1.362
1.251
1600
-
-
2.783
1.277
1.173
1.364
1.253
1625
-
-
2.794
1.279
1.175
1.366
1.255
1650
-
-
2.804
1.281
1.177
1.368
1.257
1675
-
-
2.813
1.282
1.179
1.370
1.258
1700
-
-
2.823
1.284
1.181
1.372
1.260
1725
-
-
2.832
1.286
1.182
1.374
1.262
1750
-
-
2.842
1.287
1.184
1.375
1.264
1775
-
-
2.851
1.289
1.186
1.377
1.265
1800
-
-
2.860
1.290
1.188
1.379
1.267
1825
-
-
2.868
1.292
1.190
1.380
1.268
1850
-
-
2.877
1.293
1.192
1.382
1.270
1875
-
-
2.885
1.294
1.194
1.383
1.271
1900
-
-
2.894
1.296
1.195
1.385
1.273
1925
1950
-
-
2.902
2.910
1.297
1.298
1.197
1.199
1.386
1.387
1.274
1.275
1975
-
-
2.917
1.299
1.201
1.389
1.277
2000
-
-
2.925
1.301
1.202
1.390
1.278
2025
-
-
2.933
1.302
1.204
1.391
1.279
2050
-
-
2.940
1.303
1.206
1.392
1.280
2075
-
-
2.947
1.304
1.208
1.393
1.282
2100
-
-
2.954
1.305
1.209
1.394
1.283
2125
-
-
2.961
1.306
1.211
1.395
1.284
2150
-
-
2.968
1.307
1.213
1.396
1.285
2175
-
-
2.975
1.308
1.214
1.397
1.286
2200
-
-
2.981
1.309
1.216
1.398
1.287
2225
-
-
2.987
1.310
1.218
1.399
1.288
2250
-
-
2.994
1.310
1.219
1.400
1.289
2275
-
-
3.000
1.311
1.221
1.401
1.290
2300
-
-
3.006
1.312
1.222
1.402
1.291
2325
-
-
3.012
1.313
1.224
1.403
1.292
2350
-
-
3.018
1.314
1.226
1.404
1.293
50
Calori specifici [kJ/(kg K)] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
2375
-
-
3.023
1.314
1.227
1.404
1.294
2400
-
-
3.029
1.315
1.229
1.405
1.295
2425
-
-
3.034
1.316
1.230
1.406
1.296
2450
-
-
3.040
1.317
1.232
1.407
1.297
2475
-
-
3.045
1.317
1.233
1.407
1.298
2500
-
-
3.050
1.318
1.235
1.408
1.299
2525
-
-
3.055
1.318
1.237
1.409
1.300
2550
-
-
3.060
1.319
1.238
1.410
1.300
2575
-
-
3.065
1.320
1.240
1.410
1.301
2600
-
-
3.070
1.320
1.241
1.411
1.302
2625
-
-
3.074
1.321
1.242
1.411
1.303
2650
-
-
3.079
1.321
1.244
1.412
1.304
2675
-
-
3.083
1.322
1.245
1.413
1.304
2700
-
-
3.088
1.323
1.247
1.413
1.305
2725
-
-
3.092
1.323
1.248
1.414
1.306
2750
-
-
3.096
1.324
1.250
1.415
1.307
2775
-
-
3.100
1.324
1.251
1.415
1.307
2800
-
-
3.105
1.325
1.253
1.416
1.308
2825
2850
-
-
3.109
3.112
1.325
1.326
1.254
1.255
1.416
1.417
1.309
1.310
2875
-
-
3.116
1.326
1.257
1.417
1.310
2900
-
-
3.120
1.327
1.258
1.418
1.311
2925
-
-
3.124
1.327
1.260
1.419
1.312
2950
-
-
3.127
1.328
1.261
1.419
1.312
2975
-
-
3.131
1.328
1.262
1.420
1.313
3000
-
-
3.134
1.329
1.264
1.420
1.314
51
Entalpie sensibili
Entalpie sensibili [kJ/kg] al variare della temperatura di alcuni gas.
2
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria2
25
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
50
358.5
56.3
46.7
26.0
23.0
21.4
25.3
75
718.1
114.4
93.6
52.0
46.1
43.5
50.6
100
1078.5
174.5
140.7
78.0
69.4
66.1
76.0
125
1439.6
236.6
188.1
104.1
92.9
89.2
101.5
150
1801.3
300.8
235.8
130.2
116.5
112.9
127.1
175
2163.4
367.2
283.8
156.4
140.3
137.0
152.7
200
2525.9
435.9
332.1
182.7
164.3
161.7
178.4
225
2888.7
506.7
380.7
209.0
188.5
186.8
204.3
250
3251.8
579.8
429.7
235.5
212.9
212.3
230.3
275
3615.1
655.3
479.1
262.0
237.4
238.3
256.4
300
3978.7
732.9
528.8
288.7
262.2
264.6
282.6
325
4342.5
812.9
579.0
315.5
287.1
291.3
309.0
350
4706.5
895.1
629.5
342.4
312.3
318.3
335.5
375
5070.9
979.6
680.4
369.5
337.6
345.7
362.1
400
5435.5
1066.2
731.8
396.7
363.1
373.4
388.9
425
5800.6
1155.0
783.5
424.0
388.7
401.4
415.9
450
6166.1
1245.9
835.7
451.5
414.6
429.7
443.0
475
500
6532.1
6898.7
1338.9
1434.0
888.3
941.3
479.1
506.9
440.6
466.7
458.3
487.1
470.3
497.7
525
7265.9
1531.0
994.7
534.9
493.0
516.2
525.3
550
7633.8
1629.9
1048.6
563.0
519.4
545.5
553.0
575
8002.4
1730.7
1102.9
591.3
545.9
575.0
580.8
600
8371.8
1833.3
1157.7
619.7
572.6
604.8
608.9
625
8742.1
1937.7
1212.9
648.3
599.4
634.8
637.0
650
9113.3
2043.8
1268.5
677.0
626.3
664.9
665.3
675
9485.5
-
1324.5
705.8
653.3
695.3
693.7
700
9858.5
-
1381.0
734.8
680.4
725.9
722.3
725
10232.6
-
1438.0
763.9
707.6
756.6
751.0
750
10607.8
-
1495.4
793.1
734.9
787.5
779.7
775
10984.3
-
1553.2
822.5
762.2
818.6
808.6
800
11362.2
-
1611.5
851.9
789.7
849.8
837.6
aria secca, composizione in massa: N2 77%; O2 23%
52
Entalpie sensibili [kJ/kg] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
825
11741.4
-
1670.3
881.5
817.1
881.1
866.7
850
12121.9
-
1729.5
911.2
844.7
912.6
895.9
875
12503.8
-
1789.1
941.0
872.3
944.1
925.2
900
12887.1
-
1849.2
970.9
900.0
975.9
954.6
925
13271.6
-
1909.7
1000.9
927.8
1007.7
984.1
950
13657.5
-
1970.6
1031.0
955.6
1039.6
1013.6
975
14044.7
-
2031.9
1061.1
983.5
1071.7
1043.3
1000
14433.2
-
2093.6
1091.4
1011.4
1103.9
1073.0
1025
14823.0
-
2155.6
1121.8
1039.4
1136.2
1102.9
1050
15214.1
-
2218.1
1152.2
1067.5
1168.6
1132.8
1075
15606.5
-
2281.0
1182.8
1095.7
1201.1
1162.8
1100
16000.2
-
2344.2
1213.4
1123.9
1233.7
1192.8
1125
16395.1
-
2407.8
1244.1
1152.1
1266.4
1223.0
1150
16791.4
-
2471.7
1274.9
1180.4
1299.1
1253.2
1175
17188.9
-
2536.1
1305.8
1208.8
1332.0
1283.5
1200
17587.6
-
2600.7
1336.7
1237.3
1365.0
1313.8
1225
-
-
2665.7
1367.7
1265.7
1398.0
1344.3
1250
-
-
2731.0
1398.8
1294.3
1431.2
1374.8
1275
1300
-
-
2796.7
2862.7
1430.0
1461.2
1322.9
1351.6
1464.4
1497.7
1405.4
1436.0
1325
-
-
2929.0
1492.5
1380.3
1531.1
1466.7
1350
-
-
2995.6
1523.9
1409.1
1564.5
1497.5
1375
-
-
3062.5
1555.3
1437.9
1598.0
1528.3
1400
-
-
3129.8
1586.7
1466.8
1631.6
1559.2
1425
-
-
3197.3
1618.3
1495.7
1665.3
1590.1
1450
-
-
3265.1
1649.9
1524.7
1699.0
1621.1
1475
-
-
3333.2
1681.5
1553.7
1732.8
1652.1
1500
-
-
3401.6
1713.2
1582.8
1766.6
1683.2
1525
-
-
3470.2
1745.0
1612.0
1800.5
1714.4
1550
-
-
3539.2
1776.8
1641.2
1834.5
1745.6
1575
-
-
3608.4
1808.6
1670.4
1868.5
1776.8
1600
-
-
3677.8
1840.5
1699.7
1902.6
1808.1
1625
-
-
3747.5
1872.5
1729.1
1936.7
1839.5
1650
-
-
3817.5
1904.5
1758.4
1970.9
1870.9
1675
-
-
3887.7
1936.5
1787.9
2005.1
1902.3
1700
-
-
3958.2
1968.6
1817.4
2039.4
1933.8
53
Entalpie sensibili [kJ/kg] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
1725
-
-
4028.9
2000.7
1846.9
2073.7
1965.3
1750
-
-
4099.8
2032.9
1876.5
2108.0
1996.9
1775
-
-
4170.9
2065.1
1906.1
2142.4
2028.5
1800
-
-
4242.3
2097.3
1935.8
2176.9
2060.2
1825
-
-
4313.9
2129.6
1965.5
2211.4
2091.8
1850
-
-
4385.7
2161.9
1995.3
2245.9
2123.6
1875
-
-
4457.8
2194.2
2025.1
2280.5
2155.3
1900
-
-
4530.0
2226.6
2055.0
2315.1
2187.1
1925
-
-
4602.4
2259.0
2084.9
2349.7
2219.0
1950
-
-
4675.1
2291.4
2114.9
2384.3
2250.8
1975
-
-
4747.9
2323.9
2144.8
2419.0
2282.7
2000
-
-
4821.0
2356.4
2174.9
2453.8
2314.7
2025
-
-
4894.2
2388.9
2205.0
2488.5
2346.6
2050
-
-
4967.6
2421.5
2235.1
2523.3
2378.6
2075
-
-
5041.2
2454.1
2265.3
2558.1
2410.7
2100
-
-
5114.9
2486.7
2295.5
2593.0
2442.7
2125
-
-
5188.9
2519.3
2325.7
2627.9
2474.8
2150
-
-
5263.0
2552.0
2356.0
2662.8
2506.9
2175
2200
-
-
5337.3
5411.7
2584.7
2617.4
2386.4
2416.7
2697.7
2732.6
2539.1
2571.2
2225
-
-
5486.3
2650.1
2447.2
2767.6
2603.4
2250
-
-
5561.1
2682.8
2477.6
2802.6
2635.6
2275
-
-
5636.0
2715.6
2508.1
2837.6
2667.9
2300
-
-
5711.1
2748.4
2538.7
2872.7
2700.2
2325
-
-
5786.3
2781.2
2569.3
2907.7
2732.5
2350
-
-
5861.7
2814.1
2599.9
2942.8
2764.8
2375
-
-
5937.2
2846.9
2630.5
2977.9
2797.1
2400
-
-
6012.8
2879.8
2661.2
3013.0
2829.5
2425
-
-
6088.6
2912.7
2692.0
3048.2
2861.9
2450
-
-
6164.5
2945.6
2722.8
3083.3
2894.3
2475
-
-
6240.6
2978.5
2753.6
3118.5
2926.8
2500
-
-
6316.8
3011.4
2784.4
3153.7
2959.2
2525
-
-
6393.1
3044.4
2815.3
3188.9
2991.7
2550
-
-
6469.6
3077.3
2846.3
3224.1
3024.2
2575
-
-
6546.1
3110.3
2877.2
3259.4
3056.7
2600
-
-
6622.8
3143.3
2908.2
3294.7
3089.3
54
Entalpie sensibili [kJ/kg] al variare della temperatura di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
2625
-
-
6699.6
3176.3
2939.3
3329.9
3121.8
2650
-
-
6776.5
3209.4
2970.4
3365.2
3154.4
2675
-
-
6853.5
3242.4
3001.5
3400.5
3187.0
2700
-
-
6930.7
3275.5
3032.6
3435.9
3219.6
2725
-
-
7007.9
3308.5
3063.8
3471.2
3252.3
2750
-
-
7085.3
3341.6
3095.0
3506.6
3284.9
2775
-
-
7162.7
3374.7
3126.3
3541.9
3317.6
2800
-
-
7240.3
3407.8
3157.6
3577.3
3350.3
2825
-
-
7318.0
3441.0
3188.9
3612.7
3383.0
2850
-
-
7395.7
3474.1
3220.3
3648.1
3415.7
2875
-
-
7473.6
3507.2
3251.7
3683.6
3448.5
2900
-
-
7551.5
3540.4
3283.1
3719.0
3481.2
2925
-
-
7629.6
3573.6
3314.6
3754.5
3514.0
2950
-
-
7707.7
3606.8
3346.1
3789.9
3546.8
2975
-
-
7786.0
3640.0
3377.7
3825.4
3579.6
3000
-
-
7864.3
3673.2
3409.2
3860.9
3612.5
55
Variazioni di entropia a pressione costante
T
[kJ/(kg K)] di alcuni gas.
Entropia s0 (T ) = s (T,p0 ) − s (T0 ,p0 ) = ∫T0 cp (T ) dT
T
3
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria3
25
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
50
1.155
0.181
0.150
0.084
0.074
0.069
0.081
75
2.226
0.354
0.290
0.161
0.143
0.135
0.157
100
3.226
0.521
0.421
0.233
0.208
0.197
0.227
125
4.163
0.682
0.544
0.301
0.268
0.257
0.294
150
5.044
0.839
0.660
0.365
0.326
0.315
0.356
175
5.875
0.991
0.770
0.425
0.381
0.371
0.415
200
6.662
1.140
0.875
0.482
0.433
0.424
0.471
225
7.410
1.286
0.975
0.536
0.483
0.476
0.524
250
8.121
1.429
1.071
0.588
0.530
0.526
0.575
275
8.799
1.570
1.163
0.637
0.576
0.574
0.623
300
9.448
1.709
1.252
0.685
0.620
0.621
0.670
325
10.069
1.845
1.338
0.731
0.663
0.667
0.715
350
10.665
1.980
1.420
0.775
0.704
0.711
0.759
375
11.239
2.113
1.501
0.817
0.744
0.754
0.801
400
11.791
2.244
1.578
0.859
0.783
0.796
0.841
425
12.323
2.373
1.654
0.899
0.820
0.837
0.880
450
12.837
2.501
1.727
0.937
0.856
0.877
0.919
475
13.335
2.628
1.799
0.975
0.892
0.915
0.956
500
13.817
2.753
1.868
1.011
0.926
0.953
0.992
525
14.284
2.876
1.936
1.047
0.959
0.990
1.027
550
14.738
2.998
2.003
1.082
0.992
1.027
1.061
575
600
15.179
15.609
3.119
3.238
2.068
2.132
1.115
1.148
1.024
1.055
1.062
1.097
1.094
1.127
625
16.027
3.356
2.194
1.181
1.085
1.130
1.159
650
16.434
3.472
2.255
1.212
1.115
1.163
1.190
675
16.832
-
2.315
1.243
1.143
1.196
1.220
700
17.221
-
2.374
1.273
1.172
1.228
1.250
725
17.600
-
2.431
1.303
1.199
1.259
1.279
750
17.971
-
2.488
1.332
1.226
1.290
1.307
775
18.335
-
2.544
1.360
1.253
1.320
1.335
800
18.691
-
2.599
1.388
1.279
1.349
1.363
825
19.041
-
2.653
1.415
1.304
1.378
1.389
aria secca, composizione in massa: N2 77%; O2 23%
56
Entropia s0 (T ) [kJ/(kg K)] alla pressione di riferimento di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
850
19.383
-
2.706
1.442
1.329
1.406
1.416
875
19.719
-
2.759
1.468
1.353
1.434
1.442
900
20.050
-
2.811
1.494
1.377
1.461
1.467
925
20.374
-
2.862
1.519
1.400
1.488
1.492
950
20.693
-
2.912
1.544
1.423
1.514
1.516
975
21.006
-
2.962
1.568
1.446
1.540
1.540
1000
21.314
-
3.011
1.592
1.468
1.566
1.564
1025
21.617
-
3.059
1.616
1.490
1.591
1.587
1050
21.916
-
3.107
1.639
1.511
1.616
1.610
1075
22.210
-
3.154
1.662
1.532
1.640
1.632
1100
22.499
-
3.200
1.685
1.553
1.664
1.654
1125
22.784
-
3.246
1.707
1.573
1.688
1.676
1150
23.065
-
3.291
1.729
1.593
1.711
1.698
1175
23.342
-
3.336
1.750
1.613
1.734
1.719
1200
23.615
-
3.380
1.771
1.633
1.756
1.739
1225
-
-
3.424
1.792
1.652
1.779
1.760
1250
-
-
3.467
1.813
1.671
1.801
1.780
1275
-
-
3.510
1.833
1.689
1.822
1.800
1300
1325
-
-
3.552
3.594
1.853
1.873
1.708
1.726
1.844
1.865
1.820
1.839
1350
-
-
3.636
1.892
1.744
1.885
1.858
1375
-
-
3.676
1.911
1.761
1.906
1.877
1400
-
-
3.717
1.930
1.779
1.926
1.896
1425
-
-
3.757
1.949
1.796
1.946
1.914
1450
-
-
3.797
1.968
1.813
1.966
1.932
1475
-
-
3.836
1.986
1.830
1.985
1.950
1500
-
-
3.875
2.004
1.846
2.004
1.968
1525
-
-
3.913
2.022
1.862
2.023
1.985
1550
-
-
3.951
2.039
1.879
2.042
2.002
1575
-
-
3.989
2.057
1.895
2.061
2.019
1600
-
-
4.026
2.074
1.910
2.079
2.036
1625
-
-
4.063
2.091
1.926
2.097
2.053
1650
-
-
4.100
2.107
1.941
2.115
2.069
1675
-
-
4.136
2.124
1.956
2.133
2.085
1700
-
-
4.172
2.140
1.971
2.150
2.101
1725
-
-
4.208
2.156
1.986
2.167
2.117
57
Entropia s0 (T ) [kJ/(kg K)] alla pressione di riferimento di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
1750
-
-
4.243
2.172
2.001
2.185
2.133
1775
-
-
4.278
2.188
2.016
2.201
2.149
1800
-
-
4.313
2.204
2.030
2.218
2.164
1825
-
-
4.347
2.219
2.044
2.235
2.179
1850
-
-
4.381
2.235
2.058
2.251
2.194
1875
-
-
4.415
2.250
2.072
2.267
2.209
1900
-
-
4.448
2.265
2.086
2.283
2.224
1925
-
-
4.481
2.280
2.100
2.299
2.238
1950
-
-
4.514
2.294
2.113
2.315
2.253
1975
-
-
4.547
2.309
2.127
2.330
2.267
2000
-
-
4.579
2.323
2.140
2.346
2.281
2025
-
-
4.611
2.337
2.153
2.361
2.295
2050
-
-
4.643
2.352
2.166
2.376
2.309
2075
-
-
4.674
2.365
2.179
2.391
2.323
2100
-
-
4.706
2.379
2.192
2.406
2.336
2125
-
-
4.737
2.393
2.205
2.420
2.350
2150
-
-
4.767
2.407
2.217
2.435
2.363
2175
-
-
4.798
2.420
2.230
2.449
2.376
2200
2225
-
-
4.828
4.858
2.433
2.446
2.242
2.254
2.463
2.477
2.389
2.402
2250
-
-
4.888
2.459
2.266
2.491
2.415
2275
-
-
4.917
2.472
2.278
2.505
2.428
2300
-
-
4.947
2.485
2.290
2.519
2.440
2325
-
-
4.976
2.498
2.302
2.532
2.453
2350
-
-
5.005
2.510
2.314
2.546
2.465
2375
-
-
5.033
2.523
2.326
2.559
2.478
2400
-
-
5.062
2.535
2.337
2.572
2.490
2425
-
-
5.090
2.548
2.349
2.585
2.502
2450
-
-
5.118
2.560
2.360
2.598
2.514
2475
-
-
5.146
2.572
2.371
2.611
2.526
2500
-
-
5.173
2.584
2.382
2.624
2.537
2525
-
-
5.201
2.595
2.393
2.637
2.549
2550
-
-
5.228
2.607
2.404
2.649
2.561
2575
-
-
5.255
2.619
2.415
2.662
2.572
2600
-
-
5.282
2.630
2.426
2.674
2.583
2625
-
-
5.308
2.642
2.437
2.686
2.595
58
Entropia s0 (T ) [kJ/(kg K)] alla pressione di riferimento di alcuni gas, considerati come gas perfetti (continua).
T [○C]
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
aria
2650
-
-
5.335
2.653
2.448
2.698
2.606
2675
-
-
5.361
2.664
2.458
2.710
2.617
2700
-
-
5.387
2.676
2.469
2.722
2.628
2725
-
-
5.413
2.687
2.479
2.734
2.639
2750
-
-
5.439
2.698
2.490
2.746
2.650
2775
-
-
5.464
2.709
2.500
2.757
2.661
2800
-
-
5.490
2.719
2.510
2.769
2.671
2825
-
-
5.515
2.730
2.520
2.780
2.682
2850
-
-
5.540
2.741
2.530
2.792
2.692
2875
-
-
5.565
2.751
2.540
2.803
2.703
2900
-
-
5.589
2.762
2.550
2.814
2.713
2925
-
-
5.614
2.772
2.560
2.825
2.723
2950
-
-
5.638
2.783
2.570
2.837
2.734
2975
-
-
5.662
2.793
2.580
2.847
2.744
3000
-
-
5.686
2.803
2.589
2.858
2.754
59