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Appunti costruzine di macchine

Giuseppe Giudice
Appunti di
Costruzione
di Macchine
2014
Ringraziamenti
Questi appunti sono stati riprodotti per molti anni a cura e spese del Dipartimento di Progettazione e Gestione Industriale (fondi didattici prof. Giudice); poi, scomparsi i fondi medesimi, gli
studenti hanno dovuto arrangiarsi.
Per questo si ringrazia il Libero Mercato.
Ringrazio il sig. Paolo Mazza per l’assistenza alla stampa di parecchie edizioni.
Ringrazio il Dipartimento di Progettazione Aeronautiche, e in particolare il carissimo prof.
Renato Tognaccini, per la stampa di molte edizioni precedenti.
Ringrazio gli allievi degli anni scorsi per gli utilissimi suggerimenti.
Dove trovarmi
Ufficio: 081-7682471 (dall’interno del Politecnico solo 82471)
Telefonino: (meglio lasciare il numero alla tradizione orale, comunque lo uso solo per chiamare,
quindi di solito risponde la segreteria...; in compenso richiamo io appena posso.)
Posta elettronica: [email protected]
Figura 1: L’autore sulla spiaggia di Montecito, California, il 18 III 1990.
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Presentazione
Questi appunto nascono dalla mia esperenza didattica nei corsi di Costruzione di Macchine per i
Corsi di Laurea di Ingegneria Chimica e, più di recente, di Ingegneria dei Materiali e di Ingegneria
navale.
Sono stati concepiti solo a servizio e non come sostitutivi della lezione; di fatto, l’esposizione
in aula degli argomenti è sempre molto più ampia di quanto qui riportato (per non parlare dei
miei intermezzi culturali); ciò nasce sia dalla mancanza di tempo per la redazione di dispense più
complete, sia dalla difficoltà di procurarsi materiale iconografico, tabelle e dati tecnici, sia dalla
necessità di contenere i costi di stampa, e quindi di non produrre troppe pagine.
Le parti scritte in carattere piccolo sono complementari e vengono di solito tralasciate; lo
svolgimento del corso suggerirà delle integrazioni, e magari di trattare più sinteticamente alcune
parti.
Il capitolo sull’analisi dinamica, e sulle sue applicazione (analisi sismica di serbatoi alti) è
ancora allo stato di abbozzo.
Conto di apportare altre modifiche nel prossimo futuro, sia ampliando alcuni argomenti, sia
trattandone altri più sinteticamente, man mano che se ne presenterà l’esigenza. In particolare sto
preparando del materiale sulla termodinamica della deformazione e sull’applicazione della meccanica dei continui alle problematiche della Costruzione di Macchine. Anche la parte calcolativaprogettuale merita di essere ampliata, compatibilmente con il ridotto numero di ore di quelle che
è pur sempre un corso ‘complementare’.
Forse già da quest’anno presenterò in maniera più organica l’instabilità dell’equilibrio elastico.
ii
Indice
1 Prove sui materiali
1.1 Prova di trazione . . . . .
1.1.1 Diagramma σ-² . .
1.2 La tensione ammissibile .
1.3 Altre prove . . . . . . . .
1.3.1 Prova di flessione .
1.3.2 Prova di resilienza
1.3.3 Prova di durezza .
1.4 Macchine di prova . . . .
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1-7
2 Deformazione
2.1 Teoria della deformazione .
2.2 Misura della deformazione .
2.2.1 Estensimetri elettrici
2.2.2 Fotoelasticità . . . .
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3 Richiami di Resistenza dei Materiali
3.1 Analisi della tensione . . . . . . . . .
3.2 Legame tensione-deformazione . . .
3.3 Termodinamica della deformazione .
3.4 Criteri di resistenza . . . . . . . . . .
3.5 Formule di verifica e di progetto . .
3.6 Solido del De Saint Venant . . . . .
3.7 Deformazioni laterali di travi inflesse
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4 Metodo degli elementi finiti
4.1 Il problema generale dell’equilibrio elastico . .
4.2 Spostamento e sua approssimazione . . . . . .
4.3 Lineamenti generali . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Proprietà e significato fisico della matrice K.
4.5 Complementi e complicazioni . . . . . . . . .
4.6 Analisi dinamica . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Effetto d’intaglio
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Analogia idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Soluzione del Neuber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione . . . . . . . . . .
5.5 Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in trazione
5.6 Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione . . .
5.7 Aste a sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Instabilità dell’equilibrio elastico
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Definizione di instabilità . .
6.1.2 Un semplice esempio . . . .
6.1.3 Postulato fondamentale . .
6.2 Metodi per lo studio della stabilità
6.2.1 Metodo statico . . . . . . .
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8 Scorrimento viscoso
8.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Prove di creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Meccanismi del creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Estrapolazione dei dati sperimentali . . . . . . . . . . .
8.5 Parametro di Larson-Miller . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso . . .
8.7 Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali
8.7.1 Tempo compensato . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.2 Parametri di Dorn . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.3 Parametro di Manson-Haferd . . . . . . . . . . .
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8-11
9 Meccanica della frattura
9.1 Trattazione energetica . . . . . . . . .
9.2 Prove di tenacità alla frattura . . . . .
9.2.1 Tipi e proporzioni dei provini .
9.2.2 Appoggi e afferraggi . . . . . .
9.2.3 Dimensioni dei provini . . . . .
9.2.4 Formazione a fatica della cricca
9.2.5 Strumentazione . . . . . . . . .
9.2.6 Interpretazione della prova . .
9.2.7 Calcolo di KIc . . . . . . . . .
9.3 Materiali per basse temperature . . . .
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9-12
10 La rilevazione delle cricche
10.1 Liquidi penetranti . . . .
10.2 Raggi X e gamma . . . .
10.3 Ultrasuoni . . . . . . . . .
10.4 Metodi elettromagnetici .
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11 Fatica dei materiali
11.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Prove di fatica . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Aspetto della rottura per fatica . . . . .
11.1.3 Studio del comportamento a fatica . . .
11.1.4 Metodo Staircase . . . . . . . . . . . . .
11.1.5 Fattori che influenzano la fatica . . . . .
11.1.6 Trattamenti di rullatura e di pallinatura
11.2 Resistenza a limite di fatica . . . . . . . . . . .
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6.3
6.2.2 Metodo energetico . . . . . .
Applicazioni . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Travi snelle caricate di punta
6.3.2 Travi tozze caricate di punta
6.3.3 Metodo omega . . . . . . . .
6.3.4 Altre applicazioni . . . . . . .
7 Plasticità
7.1 Fenomenologia della plasticità . . .
7.2 Cause della plasticità . . . . . . . .
7.3 Teorie matematiche della plasticità
7.4 Tensioni residue . . . . . . . . . . .
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iv
11.2.1 Determinazione del coefficiente di sicurezza
11.2.2 Osservazioni critiche . . . . . . . . . . . . .
11.3 Resistenza a fatica (vita finita) . . . . . . . . . . .
11.3.1 Determinazione dl numero di cicli a rottura
11.3.2 Esercizio: albero in flessione rotante . . . .
11.3.3 Fatica cumulativa . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Propagazione delle cricche di fatica . . . . . . . . .
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12 Recipienti a parete sottile
12.1 L’elemento di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Geometria dei recipienti di rivoluzione . . . . . . . . . . .
12.3 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale) . .
12.3.2 Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale)
12.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Recipienti per gas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Sfera di raggio R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Cilindro di raggio R con fondi di pezzo . . . . . . .
12.4.4 Recipente torico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.5 Serbatoio conico per liquidi . . . . . . . . . . . . .
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13 Recipienti a parete spessa
13.1 Equazioni di Lamé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Equazione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Equazioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione)
13.1.4 Equazione differenziale della tensione . . . . . . . . .
13.2 Formule di progetto e di verifica . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Appendice al capitolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Recipienti per altissime pressioni
14.1 Recipienti cerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Recipienti nastrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Recipienti autocerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 La costruzione dei recipienti
15.1 Spessori minimi delle pareti . . . . .
15.2 Recipienti sferici . . . . . . . . . . .
15.3 Cilindri soggetti a pressione interna .
15.4 Cilindri soggetti a pressione esterna .
15.5 Cilindri verticali snelli . . . . . . . .
15.5.1 Pressione . . . . . . . . . . .
15.5.2 Carichi statici . . . . . . . . .
15.5.3 Spinta del vento . . . . . . .
15.5.4 Carico sismico . . . . . . . .
15.6 Cilindri orizzontali snelli . . . . . . .
15.7 Fondi . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7.1 Fondi sferici . . . . . . . . . .
15.7.2 Fondi ellittici . . . . . . . . .
15.7.3 Fondi torosferici . . . . . . .
15.7.4 Costruzioni grafiche per fondi
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15.7.5 Aspetti normativi . . . . . . . . .
15.8 Serbatoi di stoccaggio . . . . . . . . . . .
15.8.1 Serbatoi per liquidi . . . . . . . . .
15.8.2 Serbatoi per gas . . . . . . . . . .
15.9 Strutture di sostegno . . . . . . . . . . . .
15.9.1 Fondazioni . . . . . . . . . . . . .
15.9.2 Sostegni . . . . . . . . . . . . . . .
15.10Tecnologie per la costruzione dei recipienti
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16 Collegamenti filettati, flange e guarnizioni
16.1 Chiusura dei coperchi . . . . . . . . . . . .
16.2 Formule per le rigidezze . . . . . . . . . . .
16.3 Collegamento a flangia per attrito . . . . .
16.4 Momento di serraggio . . . . . . . . . . . .
16.5 Verifica della vite . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Distanze tra i bulloni . . . . . . . . . . . . .
16.7 Tabelle dell’unificazione . . . . . . . . . . .
16.8 Guarnizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8.1 Guarnizioni tra superfici fisse . . . .
16.8.2 Guarnizioni tra superfici mobili . . .
16.9 Flange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17 Trasmissioni
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17.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-1
17.2 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-4
18 Ruote dentate
18.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Profili dei denti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Profilo cicloidale . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Profilo ad evolvente . . . . . . . . . . .
18.4 La forma della dentatura . . . . . . . . . . . . .
18.4.1 Ruote a denti diritti . . . . . . . . . . .
18.4.2 Ruote a denti elicoidali . . . . . . . . .
18.5 Angolo di spinta . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6 La costruzione delle ruote dentate ad evolvente
18.7 Verifica delle ruote dentate . . . . . . . . . . .
18.7.1 Simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.7.2 Condizione di resistenza al pitting . . .
18.7.3 Condizione di resistenza alla fatica . . .
18.7.4 Progetto a flessione del dente . . . . . .
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19 Cuscinetti a strisciamento
19.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Lubrificanti e viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Teoria della lubrificazione perfetta . . . . . . . . . .
19.4 Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento
19.5 Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento
19.6 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.7 Materiali per cuscinetti a strisciamento . . . . . . . .
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A Bibliografia
A.1 Manuali ed enciclopedie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Opere generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Articoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali . . . . .
A.5 Periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1 Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture
A.6.2 Principali norme circa le prove sui materiali metallici . . . .
A.6.3 Principali norme circa le prove sui materiali non metallici .
A.6.4 Raccolte di norme tecniche europee . . . . . . . . . . . . . .
A.6.5 Manuali UNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.6 ISO Standards Handbooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.7 Altre pubblicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Alfabeto greco
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A-1
A-1
A-1
A-2
A-2
A-3
A-3
A-3
A-4
A-4
A-5
A-6
A-6
A-6
B-1
vii
1. Prove sui materiali
1.1 Prova di trazione
La più comune prova sui materiali è quella di trazione. Un provino, di forma e diminsioni unificate
(ma talvolta si deroga alle dimensioni, ferma restando la forma) viene ammorsato tra le ganasce
della macchina di prova e sottoposta ad un carico crescente.
Per i prodotti in lastre, fogli o lamine il provino viene ritagliato dal grezzo e ha perciò sezione
rettangolare; per gli altri prodotti (getti, trafilati, fucinati) il provino è a sezione circolare (vedi
fig. 1.1).
Figura 1.1: Provini per prove di trazione: a) sezione circolare; b) sezione rettangolare
Le parti estreme espanse servono per l’ammorsamento alla macchina di prova; la parte centrale è
quella su cui vengono effettuate le misure vere e proprie; le due parti devono essere opportunamente
raccordate per evitare effetti d’intaglio.
Le caratteristiche geometriche fondamentali del provino sono l’area S0 della sezione ristretta
e la lunghezza L0 del tratto di misura. Tra esse intercorrono precise condizioni geometriche: si
hanno cosı̀ provette lunghe, corte, proporzionali lunghe e proporzionali corte.
Durante la prova vengono rilevati istante per istante la forza P agente sul provino e la lunghezza
L del tratto di riferimeno, dai quali si risale alle seguenti grandezze convenzionali:
• tensione σ:
σ=
• deformazione ²:
²=
P
S0
L − L0
L0
1-1
Come si vede le grandezze convenzionali cosı̀ definite possono confondersi con quelle analoghe
definite dalla Scienza delle Costruzioni solo se i carichi e gli allungamenti sono sufficientemente
piccoli, tali da garantire che il provino deformato non sia geometricamente troppo discosto da quello
indeformato; però le definizioni convenzionali sopra ricordate fanno fede ai fini dell’accettazione
del materiale anche in caso di grandi deformazioni.
1.1.1
Diagramma σ-²
Nel seguito si farà riferimento al diagramma σ-²1 per il più caratteristico dei materiali, ossia per
l’acciaio a basso tenore di carbonio.
Figura 1.2: Tipico diagramma σ-² per un acciaio a basso tenore di carbonio
Questo diagramma (fig. 1.2) riporta in ascisse la deformazione2 e in ordinate la tensione. Il
diagramma presenta
• un primo tratto rettilineo, durante il quale il provino ha comportamento elastico, vale a dire
che se scaricato ritorna esattamente alla forma e dimensione iniziali;
• un tratto curvo (la concavità verso il basso) in cui il comportamento è ancora elastico; si
parla di elasticità non lineare, ma questo tratto è difficilmente rilevabile e non ha importanza
ai fini dell’accettazione del materiale;
• lo snervamento, ossia una rapida riduzione del carico, che, giunto alla tensione di snervamento superiore bruscamente cade alla tensione di snervamento inferiore, e successivamente rimane quasi stazionario attorno a questo valore, mentre la deformazione cresce
notevolmente;
• l’incrudimento ossia una forte risalita del carico, ma con pendenza minore di quella del tratto
elastico,
1 Gli ingegneri indicano un diagramma con la successione ordinata-ascissa, come in questo caso, mentre i fisici
fanno il contrario.
2 convenzionale, ma d’ora in poi ometteremo questo aggettivo per tutto questo capitolo, salvo il caso di possibile
confusione
1-2
• la zona delle grandi deformazioni, ossia quella in cui il carico raggiunge un massimo e poi
decresce fino alla rottura finale.
In corrispondenza della zona delle grandi deformazioni il provino presenta il fenomeno della
strizione, ossia si restringe vistosamente in una zona limitata del tratto di misura; è evidente che
da questo momento in poi la sezione effettiva non ha niente a che fare con la sezione nominale e
ciò spiega come mai il carico diminuisca proprio mentre il materiale raggiunge la massima tensione
vera (cioè riferita all’area istantanea).
Dal diagramma σ-² si ricavano i seguenti valori caratteristici della tensione:
• tensione al limite di proporzionalità σEp
• tensione al limite di elasticità σE
• tensione di snervamento superiore o inferiore (la tensione di snervamento simpliciter3 σs è
quella inferiore)
• tensione di rottura σR , che è quella in corrispondenza del massimo del diagramma.
• tensione ultima σu , che è quella in corrispondenza dell’effettiva rottura del provino4
La tensione al limite di elasticità viene di solito stabilita in maniera convenzionale come quella
che lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua di 0.002%.
Nel caso in cui lo snervamento non sia chiaramente visibile si definisce una tensione di snervamento convenzionale, come quella che lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua dello
0.2%.
Nella figura 1.3 sono riportati i diagrammi tensione-deformazione per un certo numero di acciai.
1.2 La tensione ammissibile
Molto spesso, specie nelle norme tecniche, le capacità di resistenza di un materiale sono espresse dalla tensione ammissibile, ossia una tensione tale da garantire la resistenza degli organi di
macchine (e anche da garantire il progettista contro eventuali conseguenze legali).
Il calcolo della tensione ammissibile non è di pertinenza del progettista, ma degli enti di normazione (in base al principio oggi in Italia obsoleto che il ‘controllore’ deve essere diverso dal
‘controllato’), e tiene conto sia delle caratteristiche di resistenza del materiale (tensione di rottura
e/o di snervamento) sia della variabilità delle stesse sia delle approssimazioni introdotte dai metodi
usuali di calcolo.
Dal punto di vista concettuale essa viene ottenuta dividendo una delle caratteristiche di resistenza per un coefficiente di sicurezza (variabile a seconda dei casi da 2 a 5 o anche di più).
Ciò che importa in questa sede è sottolineare quale caratteristica di resistenza venga scelta come
riferimento.
Una lunga tradizione sceglieva il carico di snervamento, in base al consolidato principio che
mai e poi mai il materiale dovesse uscire dall’ambito elastico. A tale scapo ci si dovette inventare
un ‘carico di snervamento’ (cosiddetto convenzionale: vedi sopra) anche per materiali che non
presentassero lo snervamento come fenomeno constatabile. La tendenza attuale è invece di usare
il carico di rottura (che ovviamente è una caratteristica fisica di tutti i materiali), magari al costo
di ritoccare un po’ verso l’alto i coefficienti di sicurezza.
3o
tout court.
denominazione mi sembra francamente da evitarsi, visto che si può facilmente confondere con l’anglosassone ultimate tension, anch’essa indicata con σu e che corrisponde invece alla nostra tensione di rottura
σR .
4 Questa
1-3
Figura 1.3: Diagrammi σ-² per acciai.
In mancanza di ogni altra indicazione, dividere il carico di rottura per 3 (che corrisponde circa
a dividere il carico di snervamento più o meno convenzionale per 2.5 o per 2) dovrebbe essere una
norma di larga massima.
In caso di tensione variabile nel tempo il coefficiente dovrebbe essere aumentato e, al limite,
raddoppiato; ma tali casi vanno meglio trattati con riferimento alle specifiche prove di fatica (ossia
con carichi variabili).
1.3 Altre prove
Si darà qui un cenno sommario di alcune prove per la caratterizzazione meccanica dei materiali.
Le prove di creep, di tenacità alla frattura e di fatica verranno trattate più tardi, nei rispettivi
capitoli.
Prova di compressione
Si distingue la prova tecnologica di schiacciamento, che serve solo per determinare la modalità
di rottura, da quella di compressione che serve a determinare quantitativamente le caratteristiche
meccaniche di un materiale.
In quest’ultimo caso le provette devono avere forma cilindrica, con diametro d0 ≥ 20 mm, ed
altezza L0 = 3d0 . Tuttavia questa prova è usata raramente per materiali metallici e più spesso per
materiali non metallici da costruzione, per i quali la forma dei provini è fissata da apposite norme.
è ben noto il caso dei provini cubici (‘cubetti’) di calcestruzzo.
1-4
1.3.1
Prova di flessione
Il provino è una barretta parallelepipeda o cilindrica appoggiata alle esteremità e caricata in
mezzeria perpendicolarmente al suo asse (flessione a tre punti) o in due punti simmetrici rispetto
agli appoggi (flessione su quattro punti); in quest’ultimo caso la sezione centrale del provino è
soggetto ad un momento flettente uniforme.
1.3.2
Prova di resilienza
Permette di stabilire la resistenza all’urto degli acciai. La più usata è la prova Charpy. Consiste nel
rompere a flessione per urto, con una massa imperniata a pendolo, un provino di forma intagliata
appoggiato orizzontalmente su due sostegni.
La parte del pendolo che urta il provino è sagomato a forma di coltello e urta il provino dalla
parte non intagliata in modo da indurre tensioni di trazione, quindi più pericolose, sulla parte
intagliata.
Il pendolo viene portato ad una certa altezza e poi lasciato andare; nel suo punto più basso
trancia il provino e poi prosegue la sua corsa risalendo fino ad una certa altezza. La perdita di
energia potenziale corrisponde all’energia assorbita dal provino. Questa fornisce la resilienza del
materiale, misurata in J. Non è possibile comparare la resilienza misurata su provini di dimensioni
diverse. Vedi UNI EN 10045.
Vedi fig. 1.4
Figura 1.4: Provini per prove di resilienza
1.3.3
Prova di durezza
Consiste le comprimere la superficie del pezzo in esame con una punta di materiale più duro,
in modo da determinarne una locale plasticizzazione. La misura consiste nel determinare l’area
dell’impronta (nelle prove Brinell e Vickers) o la profondità di penetrazione dell’indentatore (prova
1-5
Rockwell).Per gli elastomeri si usa la prova Shore, per materiali duri e fragili, come il vetro, si usa
la prova Knoops (talvolta usata anche per metalli), con penetratore di diamante.
Nell’ambito di ciascuna classe di prove esistono parecchie varietà, e se ne usa l’una o l’altra
a seconda della durezza presunta del materiale e anche della grandezza e soprattutto dello spessore del pezzo da misurare. Infatti in questi casi non si usano provini, ma si effettua la prova
direttamente sul pezzo finito, a meno che questo non sia eccessivamente ingombrante.
Per le prove di durezza non si usano le macchine universali, ma macchine dedicate, dette
durometri.
Prova Brinell5 Il penetratore è una sfera di acciaio extraduro di diametro D normalizzato. Dopo
la prova si misura il diametro d dell’impronta, e se ne calcola la superficie, considerandola una
calotta sferica di diametro D. La durezza Brinell (HBS) si ottiene dividendo il carico applicato
espresso in kgf per l’area trovata espressa in millimetri quadrati. La ragione del permanere di
queste unità superate sta nel fatto di non voler cambiare i valori della durezza ben noti per i vari
materiali. La formula unificata, con la forza F espressa in newton e i diametri in millimetri, è:
HBS =
2 × 0.102F
√
πD(D − D2 − d2
Per un incredibile miracolo la stessa formula è usata anche in America, che questa volta ci ha
risparmiato le libbre e i pollici; quindi i valori di HBS da testi americani non hanno bisogno di
conversione.
La durezza Brinell si indica con HBW quando si usa una sfera di metallo duro, invece che di
acciaio. è ancora usata peraltro la vecchia indicazione HB.
Il simbolo HBS o HBW è preceduto dal valore della durezza e seguito da un’indicazione numerica che riporta il diametro della sfera e il valore della forza applicata. Ovviamente questi valori
sono unificati e ciò dà luogo ad una trentina di varietà di questa prova.
Il valore del carico deve essere scelto in modo che
0.24D ≤ d ≤ 0.6D
Inoltre il rapporto 0.102F/D2 deve essere scelto in funzione del materiale secondo la tabella 1.1.
Lo spessore del pezzo in prova deve essere maggiore di 8 volte la profondità dell’impronta.
quando lo spessore del pezzo lo permette è opportuno usare la sfera di diamtreo 10 mm.
Prova Vickers6 Il penetratore è di diamante, a forma di piramide retta a base quadrata,
con angolo al vertice di 136◦ tra facce opposte. La durezza si ottiene misurando la diagonale
d dell’impronta e applicando la formula
HV = 0.102 × 0.1891
F
d2
in cui la forza F è in newton e la diagonale d in millimetri.
Nella designazione, il simbolo HV è preceduto dal valore della durezza e seguito dall’indicazione
numerica del carico di prova.
Anche qui il carico di prova viene scelto in funzione della durezza e dello spessore del pezzo.
5 dal
nome del suo inventore, Johann August Brinell (Bringetofta, Svezia merid., 1849-Stoccolma 1925), ingegnere,
metallurgo e metallografo
6 dal nome dell’industriale inglese Edward Vickers (1814-1894)
1-6
Tabella 1.1: Durezza Brinell: Rapporto 0.102F/D2 in funzione del materiale di prova
Prova Rockwell
La prova consiste nel far penetrare nel pezzo un indentatore conico o sferico misurando la profondità di penetrazione in due tempi: in una prima fase si usa un carico F0 , successivamente si
aggiunge un carico addizionale F1 . Quello che conta è la differenza tra le profondità di penetrazione sotto il carico totale F0 + F1 e sotto il carico iniziale F0 , misurata in micrometri. Questa a
sua volta viene sottratta da un numero fisso (100 o 130 a seconda dei metodi).
Come penetratore si usa una sfera di acciaio o un cono di diamante.
Le scale Rockwell più usate sono la Rockwell B (simbolo: HRB) e la Rockwell C (simbolo:
HRC). Per i particolari si rimanda alla normativa.
Correlazioni tra le scale di durezza
Tra le varie scale di durezza esiste una correlazione empirica; inoltre la durezza è correlata anche
con il carico di rottura del materiale. Vedi la tab. 1.2 e la fig. 1.5.
1.4 Macchine di prova
Le prove di trazione, di compressione, di flessione e talvolta quelle di fatica vengono effettuate
per mezzo delle macchine di prova universali, suddivise in due categorie principali, quelle ad
azionamento meccanico e quelle ad azionamento idraulico (oleodinamico).
Entrambi i tipi sono composti da due montanti, una traversa superiore e una traversa inferiore
(figg. 1.6 e 1.7). Nelle macchine di prova meccaniche la ganascia inferiore è fissa e quella superiore
viene fatta salire o scendere grazie ad un dispositivo vite-chiocciola (la rotazione della vite, azionata
da un motore elettrico passo-passo, induce una traslazione della chiocciola e quindi della traversa).
Nelle macchine ad azionamento oleodinamico la traversa superiore è fissa, e ad essa è solidale la ganascia superiore, mentre la ganascia inferiore è solidale all’asta del pistone del cilindro
oleodinamico, il cui mantello è collegato alla traversa inferiore.
Entrambe le macchine possono effettuare sia prove a deformazione imposta che prove a carico
imposto.
Sulle macchine ad azionamento oleodinamico (le più diffuse) le prove a carico imposto vengono
effettuate controllando semplicemente la pressione nel cilindro, mentre quelle a spostamento o
1-7
Tabella 1.2: Correlazione tra varie scale di durezza e il carico di rottura degli acciai.
deformazione imposta richiedono un controllo a retroazione, che faccia variare la pressione nel
cilindro con una legge dipendente dalla forma d’onda che si vuole realizzare e dalla risposta del
sistema macchina + provino.
Nelle macchine ad azionamento meccanico le prove a spostamento o deformazione imposta si
ottengono semplicemente facendo ruotare la vite con una certa legge temporale, mentre quelle a
carico imposto richiedono un controllo a retroazione, in quanto la rotazione della vite deve tener
conto anche della risposta del sistema.
Oggi, con un po’ di elettronica di controllo, entrambi i tipi di azionamento riescono altrettanto
bene in entrambi i tipi di prova.
La misura del carico avviene con le cosiddette celle di carico che sono in effetti l’evoluzione
concettuale dei vecchi dinamometri a molla. Un elemento deformabile (ma sufficientemente rigido),
di solito a forma di anello, viene deformato dalla forza da misurare. La deformazione, a sua volta,
viene misurata con dispositivi estensimetrici.
La misura dell’allungamento avviene misurando la rotazione della vite nelle macchine ad azio-
1-8
Figura 1.5: Durezze rappresentative di alcune classi di materiali, in varie scale di durezza. La scala
segnata sull’estrema destra come ‘Brinell’, è in realtà una contaminazione delle scale Brinell (per
valori fino a circa 300), Vickers (per valori fino a 1500) e Knoops (per valori superiori)
namento meccanico, o la traslazione dell’asta del pistone in quelle ad azionamento oleodinamico,
o anche misurando direttamente la deformazione del provino a mezzo dei cosiddetti estensometri.
Nei primi due casi, quando cioè si misura lo spostamento relativo di due parti della macchina,
occorre tenere conto della deformabilità di tutta la catena di trasmissione della forza, che comprende non solo il provino, ma tutta una serie di elementi deformabili, ossia il telaio della macchina
e soprattutto la cella di carico, la cui deformabilità, pur più piccola di quella del provino, non è
affatto trascurabile.
L’estensometro è un dispositivo dotato di due terminali tenuti solidali al provino dall’attrito
e che quindi si spostano l’uno rispetto all’altro man mano che il provino si deforma. Le figg. 1.9
e 1.10 mostrano un estensometro per prove ad alta temperatura; in questo caso i terminali sono
due barrette ceramiche.
1-9
Figura 1.6: Telaio di macchina di prova a due montanti (INSTRON Ltd.)
Figura 1.7: Telaio di macchina di prova a quattro montanti (INSTRON Ltd.)
1-10
Figura 1.8: Schema di principio di una macchina di prova ad azionamento oleodinamico e controllo
elettronico (INSTRON Ltd.)
1-11
Figura 1.9: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista assonometrica (INSTRON Ltd.)
Figura 1.10: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista laterale (INSTRON Ltd.)
1-12
2. Deformazione
2.1 Teoria della deformazione
Spostamento
Dato un punto P che dopo la deformazione si sposta in P’, si definisce spostamento il vettore
P’-P. Se in ogni punto del corpo si applica il vettore spostamento si definisce una funzione vettoriale
spostamento s equivalente a tre funzioni scalari del punto u, v, w. Se queste si sviluppano in serie
di Taylor nelle vicinanze di un punto O, assunto come origine, per l’ipotesi di piccolezza degli
spostamenti ci si limita al termine lineare e si ottiene


∂u
∂u
∂u

 
  
 ∂x ∂y ∂z  x
uO
u
 ∂v

 v  =  vO  + 
∂v
∂v   y 
 ∂x ∂y
∂z 

 z
wO
w
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
La matrice è la somma di una parte antisimmetrica (che rappresenta una rotazione rigida) e
in una parte simmetrica (deformazione pura).
Lo spostamento dovuto alla deformazione pura, le cui componenti sono indicate con apice, è:


 0
 
∂u
1 ∂u
∂v
1 ∂u
∂w
u
x
∂x
2 ( ∂y + ∂x )
2 ( ∂z + ∂x ) 

 v 0  =  1 ( ∂v + ∂u )
∂v
1 ∂v
∂w   y 
(
+
)
 2 ∂x ∂y
∂y
2 ∂z
∂y 
w0
z
1 ∂w
∂u
1 ∂w
∂v
∂w
(
+
)
(
+
)
2 ∂x
∂z
2 ∂y
∂z
∂z
La matrice ² delle componenti speciali di deformazione appare come un operatore che trasforma
i vettori posizione nei corrispondenti vettori spostamento.
Se si definisce ²i l’allungamento nella direzione i e γij la variazione dell’angolo tra le direzioni
i e j, inizialmente ortogonali, si dimostra che è:
∂u
∂x
∂v
²y =
∂y
∂w
²z =
∂z
∂u ∂v
+
γxy =
∂y
∂x
∂u ∂w
γxz =
+
∂z
∂x
∂v ∂w
+
γyz =
∂z
∂y
²x =
Quindi la matrice ² si scrive

²x
² =  21 γyx
1
2 γzx
1
2 γxy
²y
1
2 γzy
2-1
1
2 γxz
1
2 γyz
²z

.
Si noti che, per i 6= j, risulta ²ij = (1/2)γij .
Direzioni principali
Un punto P nell’intorno di O individua una direzione principale OP se dopo la deformazione
pura si porta in P* tale da essere allineato con O e P.
Ciò significa che il vettore spostamento è parallelo al vettore posizione e quindi le direzioni
principali sono gli autovettori dell’operatore ².
2.2 Misura della deformazione
2.2.1
Estensimetri elettrici
I più usati estensimetri elettrici sono quelli a resistenza nei quali la misura della deformazione è
ricondotta alla misura di una variazione di resistenza. Sono costituiti da una griglia di materiale
resistivo, generalmente una lega di nichel, fissata ad una base di materiale plastico che a sua volta
viene incollata al pezzo con resina epossidica o cianoacrilato. Lo spessore complessivo di griglia,
base e collante non supera i 50 µm. La deformazione del pezzo induce una deformazione della
griglia, che a sua volta fa variare la resistenza elettrica letta tra i due terminali. La variazione di
resistenza è dovuta in parte alla variazione di sezione e di lunghezza dei tratti della griglia in parte
alla variazione di resistività del materiale di cui essa è fatta.
Infatti la resistenza di un conduttore di sezione A e lunghezza l è
R=ρ
l
A
in cui ρ è la resistività del materiale. La derivata logaritmica di questa espresione dà:
∆R
∆ρ ∆l ∆A
=
+
−
.
R
ρ
l
A
Dalla teoria dell’elasticità
∆l
∆A
=²
= 2ν.
l
A
Il fenomeno della piezoresistività è la dipendenza della ∆ρ/ρ dalla deformazione; questa per piccoli
valori di ² si assume lineare
∆ρ
= k0 ²
ρ
con k 0 ≈ 0.5 per molti materiali. Quindi
∆R
= ²(k 0 + 1 + 2ν) ≈ 2.1²
R
e in generale
∆R
= k²
R
dove la deformazione ² è misurata parallelamente ai tratti della griglia. Il valore di k è di circa
2–2.1 per i tipi più diffusi di estensimetri. Il valore nominale di R è di 120 Ω e l’isolamento rispetto
al substrato deve superare i 1000 MΩ. La misura di ∆R viene fatto con un ponte di Wheatstone;
con opportuna disposizione è possibile ottenere la compensazione per le variazioni di temperatura.
L’applicazione (incollaggio) degli estensimetri è preceduta da accuratissima pulizia della superficie e deve essere fatta da un operatore esperto; inoltre l’estensimetro non può essere riutilizzato
perché non è possibile staccarlo senza rovinarlo. La precisione ottenibile è dell’ordine di poche
unità per milione (pochi microepsilon (µ²) come si dice in gergo).
2-2
2.2.2
Fotoelasticità
La luce, e in generale la radiazione elettromagnetica, è costituita da onde trasversali: i campi
elettrico e magnetico sono diretti in senso perpendicolare alla direzione di propagazione. La velocità
di propagazione è per i materiali monorifrangenti, data da c/n, essendo c la velocità della luce
nel vuoto e n l’indice di rifrazione. Nei materiali birifrangenti la velocità dell’onda varia aseconda
dell’orientazione dei campi elettrico e magnetico dell’onda rispetto a certi assi del materiale.
Alcuni materiali presentano il fenomeno della birifrangenza artificiale meccanica: essi, se investiti da un fascio di luce polarizzata, trasmettono con velocità diverse le due componenti parallele
alle due direzioni principali di deformazione. In altri termini per essi gli assi di birifrangenza coincidono con quelli principali di deformazione (fenomeno della fotoelasticità), e quindi non sono fissati
a priori ma dipendono dallo stato di sforzo.
In un materiale fotoelastico soggetto a deformazione, gli indici di rifrazione n1 e n2 nelle
direzioni principali sono correlati con le deformazioni principali dalla seguente legge
n1 − n2 = K(²1 − ²2 )
in cui K è una costante adimensionale detta costante fotoelastica (strain-optical coefficient) del
materiale (tab 2.1).
Misure relative a questo fenomeno ottico permettono quindi di risalire allo stato di deformazione
nel materiale. Sono possibili due applicazioni: o si costruisce un modello dell’organo sotto sforzo e
si risale dalle deformazioni del modello a quelle della struttura1 o si incolla sull’organo in studio
uno strato di materiale fotoelastico, che si deformerà come gli strati superficiali di quello. Nel
seguito parlerò esclusivamente della tecnica del modello, che fornisce risultati quantitativamente
più accurati. Inoltre ci si riferirà a modelli piani, ritagliati in una lastra di spessore costante s, in
quanto di più facile realizzazione e studio.
Si disponga una lamina di materiale fotoelastico tra due polarizzatori incrociati, cioè con gli
assi ottici a 90◦ , detti polarizzatore e analizzatore; se essa è scarica non modifica la polarizzazione
della luce, che non viene trasmessa; se invece viene caricata fa ruotare in generale l’angolo di
polarizzazione, per cui la luce viene trasmessa.
Sia α l’angolo tra la direzione di polarizzazione della luce e uno degli assi principali di tensione,
diciamo l’asse x. La vibrazione della luce può essere rappresentata dallo ‘spostamento’2
s = a cos ωt
nella direzione OA, dove ω è 2π volte la frequenza, dipendente dal colore della luce (qui supposta
monocromatica)3 .
Le proiezioni di questa vibrazione sugli assi principali, all’ingresso della luce nel modello
fotoelastico, sono
xim = a cos α cos ωt
yim = a sin α cos ωt.
L’effetto della lamina fotoelastica è di introdurre un certo ritardo temporale nella trasmissione
della luce, visto che la velocità di propagazione è più piccola che nell’aria, ma questo ritardo
dipende dalla direzione della vibrazione; infatti il raggio che vibra nella direzione x incontrerà un
1 famosi
furono i modelli fotoelastici di cattedrali gotiche, realizzati negli anni sessanta del XX secolo
che ‘vibra’ nel piano di polarizzazione OA è il vettore induzione magnetica B. Ciò che ‘vibra’ nel piano di
vibrazione, normale al piano di polarizzazione, è il campo elettrico E.
3 Si riportano le relazioni tra la pulsazione ω, la frequenza ν, la lunghezza d’onda λ e la velocità c:
2 Ciò
ω = 2πν;
ν = c/λ.
2-3
Figura 2.1: Fotoelasticità
indice di rifrazione n1 e quindi si propagherà con velocità c/n1 , mentre il raggio che vibra nella
direzione y incontrerà un indice di rifrazione n2 e quindi si propagherà con velocità c/n2 .
Il tempo impiegato dalla luce per attraversare lo spessore s del provino, vibrando nella direzione
x, è
sn1
t1 =
.
c
Se invece vibra nella direzione y impiegherà un tempo
t2 =
sn2
.
c
All’uscita del modello si avrà
xum = a cos α cos ω(t − t1 )
yum = a sin α cos ω(t − t2 ).
Si è cioè introdotto un ritardo di fase ∆ = ω(t2 − t1 ), per cui si può scrivere, con opportuna
posizione, per la luce che arriva all’analizzatore,
xum = a cos α cos ψ
yum = a sin α cos(ψ − ∆).
Il piano di polarizzazione dell’analizzatore, che è a 90◦ con quello del polarizzatore, è rappresentato
in figura dal piano OM ; le componenti lungo esso sono
xum sin α =
1
a sin 2α cos ψ
2
1
−yum cos α = − a sin 2α cos(ψ − ∆).
2
La vibrazione che attraversa l’analizzatore è quindi
µ
¶
∆
∆
1
a sin 2α[cos ψ − cos(ψ − ∆)] = −a sin 2α sin sin ψ −
2
2
2
2-4
la cui ampiezza è
∆
;
2
essa è diversa da zero a meno che sin 2α = 0 o sin(∆/2) = 0. Si hanno cosı̀ due famiglie di fasce
scure, rispettivamente le isocline e le isocromatiche.
Le prime sono il luogo dei punti in cui le direzioni principali di deformazione sono contenute
nei piani di simmetria del polarizzatore e dell’analizzatore; le seconde sono il luogo dei punti in
cui è
∆ = 2N π
a sin 2α sin
essendo N un intero relativo, detto ordine di frangia. Risalendo alla definizione del ritardo di fase
∆ si ha:
2πs
2πsK
∆ = ω(t2 − t1 ) =
(n2 − n1 ) =
(²2 − ²1 )
λ
λ
e quindi
Nλ
sK
in cui λ è la lunghezza d’onda della luce, N è l’ordine di frangia, s è lo spessore del modello e K
è la costante fotoelastica (strain-optical coefficient) del materiale (tab. 2.1).
²2 − ²1 =
Tabella 2.1: Costante fotoelastica K per vari materiali
Materiale
K
Vetro
0.14
Resina epossidica
0.07 ÷ 0.13
Resina espossidica plasticizzata 0.02 ÷ 0.03
Poliestere allilico
0.06
Policarbonato
0.15
Poliuretano
0.003
Per i materiali isotropi le direzioni principali delle deformazioni e delle tensioni coincidono e
per i materiali elastici tra tensioni e deformazioni c’è proporzionalità; perciò per materiali isotropi
elastici le isocromatiche sono anche il luogo dei punti in cui è costante la differenza tra le tensioni
principali. Di fatto il valore di una frangia F è espresso in termini di tensione, cioè è la quantità
di cui varia la differenza tra tensioni principali quando si passa da una frangia alla successiva.
σ2 − σ1 =
NF
s
essendo F = Eλ/K, per cui in F rientrano non solo le caratteristiche del materiale ma anche
la lunghezza d’onda della luce. è chiaro che ci interessa che F sia il minimo possibile per poter
rilevare le minime differenza di tensione.
Come si vede nella fig. 2.2 ruotando gli assi principali del polariscopio le isocline ruotano,
mentre le isostatiche rimangono fisse.
Le isocromatiche possono essere osservare da sole facendo ruotare rapidamente polarizzatore
e analizzatore purchè si mantengano sempre incrociati: le isocline ruotano anch’esse per cui si
rendono invisibili. Lo stesso risultato è conseguito con mezzi puramente ottici impiegando due
polarizzatori circolari, che fanno ruotare rapidamente il piano di polarizzazione della luce.
Le direzioni principali di deformazione (e di tensione) possono essere individuate ruotando in
diverse posizioni polarizzatore e analizzatore, sempre con gli assi rigorosamente incrociati, determinando cosı̀ i luoghi dei punti in cui le deformazioni principali sono inclinati dello stessio angolo
2-5
Figura 2.2: Frange isocromatiche e isocline in un disco caricato agli estremi osservato al polariscopio
in luce monocromatica.
rispetto agli assi di riferimento. E’ possibile quindi, con un numero sufficiente di rilievi, tracciare
l’andamento delle isostatiche.
La numerazione dell’ordine delle isocromatiche è facile osservando che, in luce monocromatica,
essa segue l’ordine di apparizione delle frange all’aumentare del carico, mentre, in luce bianca,
l’ordine zero è nero, mentre gli altri sono colorati in maniera caratteristica.
Una volta nota la differenza delle deformazioni o delle tensioni principali basterà determinarne
la somma per poter calcolare, per addizione e sottrazione, separatamente ciascun valore di esse.
Per questa determinazione sono possibili vari metodi sia sperimentali che teorici. Uno dei più
antichi, ma anche dei meno precisi, è quello dovuto a Mesnager, che consiste nel misurare in vari
punti del modello la variazione dello spessore conseguente all’applicazione dei carichi; essa è infatti
legata, per il fenomeno della contrazione laterale, alla somma delle tensioni principali. Le linee di
uguale variazione di spessore sono dette isopachiche e si possono determinare direttamente con
metodi interferometrici.
Altri metodi suggeriscono l’integrazione grafica delle equazioni di Lamé-Maxwell o l’impiego
di analogie reoelettriche.
Si noti che lungo il contorno, dove di solito sono i punti più sollecitati, una delle tensioni
principali è nulla, per cui la differenza coincide in modulo con il valore dell’unica tensione principale
diversa da zero.
2-6
3. Richiami di Resistenza dei Materiali
3.1 Analisi della tensione
Si ammette come postulato che se un corpo è sezionato lungo una qualsiasi superficie, esso rimane
in equilibrio applicando alla superficie di taglio delle opportune forze dF distribuite. In ogni punto
la tensione t è data da
dF
t = lim
dA→0 dA
dove dA è un elementino di superficie nell’intorno di P e dF è la forza su di esso agente. Le componenti di t rispetto alla terna ortogonale n, m, l dove n è la normale a dA sono dette componenti
speciali di tensione e si indicano con
tn = σn
tl = τnl
tm = τnm
In particolare è utile considerare le componenti speciali quando le direzioni di n, m, l coincidono
(non necessariamente in quest’ordine) con quelle degli assi x, y, z
Equazioni di Cauchy1
Rispondono alla domanda: Qual è la tensione su un piano di giacitura nx , ny , nz (questi sono i
coseni direttori della normale alla giacitura, ovvero le componenti cartesiane del versore normale
alla giacitura) se sono note le componenti speciali di tensione?
Si scrivono in forma matriciale:

 
 
tnx
σx τxy τyz
nx
 tny  =  τyx σy τyz   ny 
tnz
τxy τzy σz
nz
ovvero
tn = σn
e in notazione di Einstein
tni = σij nj .
La matrice delle componenti speciali di tensione appare come un operatore σ che trasforma vettori
giaciture in vettori tensione.
Equazioni ai limiti
Basta scrivere le equazioni di Cauchy con riferimento alla pressione esterna. In questo caso
αx , αy , αz sono i coseni direttori della normale alla superficie esterna.
Proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali
τij = τji
Equazioni indefinite dell’equilibrio
1 Augustine-Louis
Cauchy (Parigi 1789 - Sceaux, Seine, 1857), matematico.
3-1
∂σx
∂τxy
∂τxz
+
+
+X =0
∂x
∂y
∂z
eccetera, che si possono anche scrivere come
div σ + F = 0
Direzioni principali di tensione.
Principale è quella direzione tale che sulla giacitura ad essa normale non siano presenti tensioni
tangenziali, ma al massimo tensioni normali.
Ciò significa che il vettore tensione è parallelo al vettore giacitura, e quindi le direzioni principali
sono gli autovettori dell’operatore σ . Le tensioni principali sono i relativi autovalori.
Stati piani di tensione
1) uno stato di tensione è piano quando al variare della giacitura il vettore tensione giace
sempre in un piano (piano delle tensioni)
2) uno stato di tensione è piano quando esiste una giacitura sulla quale non vi è tensione nè
normale nè tangenziale. Questo piano coincide col piano delle tensioni sopra definito.
Le due definizioni qui date sono equivalenti.
I due casi più importanti di stato piano di tensione sono:
• lastra o membrana di piccolo spessore, in cui il piano delle tensioni coincide punto per punto
col piano tangente.
• solido di de Saint Venant2 in cui il piano scarico è parallelo all’asse del solido e alla direzione
punto per punto della τ sulla sezione normale.
Cerchi di Mohr3
Se sul piano σ, τ si rappresentano, con le convenzioni seguenti, le tensioni agenti su tutte le
giaciture di un certo fascio i punti rappresentativi giacciono su archi di circonferenza.
Particolare importanza hanno i cerchi di Mohr per fasci di giaciture aventi per sostegno una
direzione principale di tensione (cerchi principali di Mohr).
Convenzioni: 1) Le σ di trazione sono positive, quelle di compressione negative. 2) Le τ che
inducono una rotazione oraria del cubetto sono positive.
Ricerca delle tensioni principali su un cerchio principale di Mohr: posto che z sia una direzione
principale e che siano note σx , σy e τxy ,
r
σx + σy
σx − σy 2
2
σ1 =
+ (
) + τxy
2
2
r
σx − σy 2
σx + σy
2
− (
) + τxy
σ2 =
2
2
2 Adhemar-Jean-Claude Barré de Saint Venant (Villiers-en-Brie 1797 - Saint Ouen, Loir-et-Cher 1886), ingegnere
e matematico.
3 Christian Otto Mohr (Wesselburen, Holstein 1835 - Dresda 1918), ingegnere, costruttore di ponti.
3-2
3.2 Legame tensione-deformazione
Ci si limita al campo elastico per materiali omogenei e isotropi.
Nel caso più semplice di solido prismatico di materiale omogeneo e isotropo soggetto a sforzo
assiale si constata che si ha allungamento lungo l’asse e contrazione nelle dimensioni perpendicolari
all’asse. Inoltre l’allungamento e l’accorciamento sono proporzionali alla tensione e le costanti
di proporzionalità sono caratteristiche del materiale. Questa relazione di proporzionalità venne
scoperta per la prima volta da Hooke4 (1676) nelle sue ricerche sulle molle da orologio.
In formula, se z è la direzione della forza, si ha
²z =
1
σz
E
ν
σz .
E
E è detto modulo di elasticità longitudinale o semplicemente modulo di elasticità o anche modulo
di Young; ν è detto modulo di Poisson o coefficiente di contrazione laterale.
²x = ²y = −
Equazioni di Navier5
Se agiscono contemporaneamente tensioni lungo i tre assi, per il principio di sovrapposizione
degli effetti si ha:
1
(σx − ν(σy + σz ))
E
1
²y = (σy − ν(σx + σz ))
E
1
²z = (σx − ν(σx + σy ))
E
1
γxy = τxy
G
1
γxz = τxz
G
1
γyz = τyz
G
²x =
in cui
G=
E
2(1 + ν)
è detta modulo elastico trasversale o prima costante di Lamé6 (in questo caso spesso indicata con
µ).
Equazioni inverse di Navier
Le ultime tre si invertono in modo ovvio.
Le prime tre, invece, sommate danno
E(²x + ²y + ²z ) = (1 − 2ν)(σx + σy + σz ).
4 Robert
Hooke (Freshwater, Isola di Wight 1635 - Londra 1703), fisico, matematico e naturalista.
Navier (Digione 1785 - Parigi 1836), ingegnere.
6 Gabriel Lamé (Tours 1795 - Parigi 1870), fisico matematico
5 Louis-Marie-Henry
3-3
(1)
La prima eq. di Navier si riscrive, aggiungendo e sottraendo νσx ,
E²x = (1 − ν)σx − ν(σx + σy + σz ) = (1 + ν)σx −
da cui
che si scrive
E
σx =
1+ν
µ
²x +
ν
(²x + ²y + ²z )
1 − 2ν
¡
σx = 2G ²x +
essendo
G=
νE
(²x + ²y + ²z )
1 − 2ν
¶
¢
ν
e
1 − 2ν
E
2(1 + ν)
e = ²x + ²y + ²z
La forma più comune in cui vengono scritte le equazioni inverse di Navier è la seguente:
σx = 2µ²x + λe
σy = 2µ²y + λe
σz = 2µ²z + λe
τxy = µγxy
τxz = µγxz
τyz = µγyz
in cui µ, prima costante di Lamé, non è altro che il modulo elastico trasversale G e λ, seconda
costante di Lamé, è data da
νE
λ=
(1 + ν)(1 − 2ν).
Equazioni di Navier in notazione di Einstein
è opportuno a questo punto porre le equazioni di Navier in una forma più sintetica, utilizzando
la notazione di Einstein per i tensori, che sarà utilizzata anche nelle sezioni successive, dedicate ai
deviatori degli sforzi e delle deformazioni e alla termodinamica della deformazione.
1) gli indici x,y,z sono sostituiti da 1,2,3 rispettivamente
2) viene posto σx = σ11 ; σy = σ22 ; σz = σ33
3) viene posto ²x = ²11 ; ²y = ²22 ; ²z = ²33 ; (1/2)γxy = ²12 eccetera.
In questo modo il tensore degli sforzi viene indicato con σij e il tensore delle deformazioni con
²ij .
4) la somma ²11 + ²22 + ²33 , già indicata con e viene indicata con ²ii sottintendendo il simbolo
di sommatoria. In generale, ogni volta che un indice è ripetuto si sottintende che viene eseguita la
sommatoria facendo variare quell’indice da 1 a 3.
5) Si introduce il tensore unitario


1 0 0
δij =  0 1 0 
0 0 1
3-4
detto delta di Kronecker7 Con queste notazioni le equazioni inverse di Navier si scrivono
σij = 2µ²ij + λδij ²kk
(notare l’uso di un indice muto diverso da i e da j).
Deviatore degli sforzi e delle deformazioni
La relazione tra sforzi e deformazioni per materiali elastici omogenei e isotropi (legge di Hooke o
equazioni di Navier) può essere posta in forma assai espressiva (e assai più mnemonica) suddividendo i
tensori degli sforzi e delle deformazione in parte sferica e parte deviatorica. La parte sferica è un tensore
isotropo, mentre la parte deviatorica è un tensore a traccia nulla (il che non significa che sono nulli i
termini della diagonale principale ma solo che è nulla la loro somma).
Si definisce ora un deviatore degli sforzi
0
= σij −
σij
δij σkk
3
e analogamente un deviatore delle deformazioni
²0ij = ²ij −
δij ²kk
.
3
00
Le parti sferiche sono date rispettivamente da σij
= δij σkk /3 e da ²00ij = δij ²kk /3.
Sostituendo le eq. inv. di Navier nella definizione del deviatore degli sforzi
0
σij
= 2µ²ij + λδij ²kk −
δij σkk
3
e sostituendo l’espressione del deviatore delle deformazioni
0
σij
= 2µ²0ij +
2µ
δij σkk
δij ²kk + λδij ²kk −
3
3
ovvero
0
σij
= 2µ²0ij + δij (
Quando i 6= j si ha δij = 0 e quindi
2µ
σkk
²kk + λ²kk −
).
3
3
0
σij
= 2µ²0ij .
0
Quando invece i = j si ha, sommando le tre equazioni e ricordando che σii
= 0 e ²0ii = 0,
σkk = ²kk (2µ + 3λ).
(10 )
Di solito si pone
2µ + 3λ = 3K
dove K è il modulo di elasticità di volume o modulo di compressione uniforme; µ è anche detto modulo di
scorrimento. Come si vede la (1’) è identica alla (1) di pag. 3-3.
Scritta in questo modo la legge di Hooke, si può dire che un corpo reagisce alla deformazione in due
modi: se la deformazione implica una variazione di volume, il corpo reagisce aumentando o diminuendo
la sua pressione (parte sferica del tensore degli sforzi); se invece la deformazione implica una variazione
di forma il corpo reagisce con la corrispondente componente del deviatore degli sforzi. Cosı̀ la variazione
di volume non coinvolge la variazione di forma e le singole componenti del tensore degli sforzi sono
disaccoppiate tra loro.
Tale conclusione è però vera solo per i corpi isotropi.
Si dimostra facilmente che il lavoro compiuto da una tensione idrostatica per effetto del deviatore delle
deformazioni è nullo e che tale è anche il lavoro compiuto da una tensione deviatorica per effetto di una
deformazione sferica. Infatti
0 00
0
0
σij
²ij = σij
δij ²kk /3 = σii
²kk /3 = 0
7 Leopold Kronecker (Liegnitz 1823 - Berlino 1894), matematico. famoso presso il popolino per il detto “Dio creò
i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”
3-5
0
in quanto σii
= 0 Cosı̀ anche l’energia elastica si suddivide tra un’aliquota relativa alla variazione di
volume e un’aliquota relativa alla variazione di forma .
φv =
1
σii ²ii
2
1 0 0
σik ²ik .
2
Si noti infine che il coefficiente K = E/(3(1 − 2ν)) è il reciproco del coefficiente di comprimibilità isoterma
che vale 6.4 × 10−12 m2 /N per il ferro e 4.6 × 10−10 m2 /N per l’acqua.
φf =
Propagazione delle onde
Si ricorda che nei solidi sono possibili due tipi di onde elastiche:
• onde rotazionali o di distorsione, caratteristiche dei solidi, che si propagano con velocità
r
vS =
µ
ρ
• onde irrotazionali o di dilatazione, presenti anche nei fluidi, che si propagano con velocità
r
vP =
K + (4/3)µ
=
ρ
r
λ + 2µ
.
ρ
3.3 Termodinamica della deformazione
L’aumento dell’energia interna di un sistema è dato dalla differenza tra il calore ricevuto dal sistema e il
lavoro compiuto dal sistema8 . Nel nostro caso il sistema è un cubetto prelevato dal corpo in tensione. Su
una coppia di facce opposte agiscono dall’esterno le forze σij dA, quindi il sistema reagisce sull’ambiente
con le forze −σij dA. Queste compiono lavoro per effetto dello spostamento d²ij dL dove dL è la dimensione
del cubetto normale alla faccia di area dA. Il lavoro totale è dato dalla somma dei lavori compiuti dalle
forze agenti su tutte le coppie di facce, che si può esprimere con −σij d²ij dLdA = −σij d²ij dV dove V è il
volume del cubetto. Il lavoro per unità di volume è quindi
dR = −σij d²ij
Nella meccanica dei solidi è usuale riferire le grandezze termodinamiche all’unità di volume invece che
all’unità di massa, per cui la variazione di energia interna si scrive
dU = T dS + σij d²ij
in cui le maiuscole indicano appunto grandezze riferite all’unità di volume.
Introducendo l’energia libera di Helmholtz F = U − T S si ha
dF = −SdT + σij d²ij ,
per cui si può scrivere
³
´
³
´
∂F
∂U
=
∂²ij S
∂²ij T
L’espressione dell’energia libera in funzione del tensore di deformazione si trova facilmente per piccoli
valori della deformazione, perché basta allora uno sviluppo in serie limitata ai termini di grado più basso.
Ci si limita qui al caso dei corpi isotropi.
Dato un corpo ad una certa temperatura, si considera non deformato lo stesso corpo in assenza di
forze esterne per la stessa temperatura, per escludere dal conto quelle deformazioni (dilatazioni termiche)
che non sono dovute a tensioni. Ora, per ²ij = 0 si ha per definizione σij = 0, quindi nella espressione di F
non compaiono termini lineari in ²ij = 0. Quindi nella espressione di F compaiono solo termini quadratici.
σij =
8 Più
precisamente il lavoro compiuto dalle forze che il sistema esercita sull’ambiente
3-6
Dato che l’energia libera F è uno scalare, ogni termine dello sviluppo sarà uno scalare. Con
un tensore simmetrico uij si possono costruire due scalari indipendenti di secondo grado; si
possono assumere come tali u2ii , il quadrato della somma delle componenti diagonali, e u2ik , la
somma dei quadrati delle componenti.
Landau - Lifšits, Vol VII pag. 20
Nel nostro caso, ricordando l’espressione della legge dell’elasticità in funzione delle parti sferiche e
deviatoriche dei tensori, non può essere che
F = F0 +
λ 2
²ll + µ²2ij
2
in cui compaiono le costanti di Lamé. Scrivendo il differenziale totale si ha
dF = dF0 + λ²ll d²ll + 2µ²ij d²ij =
³
=
´
λ²ll δij + 2µ²ij d²ij
da cui, poiché dF0 dipende anche dalla temperatura,
³
∂F
∂²ij
´
T
= λ²ll δij + 2µ²ij .
In questo modo si sono riottenute le equazioni di Navier.
3.4 Criteri di resistenza
Sono in uso vari criteri di resistenza, ciascuno basato su una ipotesi di rottura:
1) Criterio della massima tensione (o di Rankine9 -Navier):
La rottura è causata dal superamento della massima tensione normale σ a trazione o a compressione
2) Criterio della massima deformazione o di Grashof10 :
La rottura è causata dal superamento della massima deformazione ² a dilatazione o a compressione.
3) Criterio della massima tensione tangenziale (o di Guest11 o di de Saint Venant o di Tresca12 ):
La rottura è causata dal superamento della massima tensione tangenziale τ
4) Criterio di Hencky-von Mises:
La rottura è causata dal superamento della massima tensione tangenziale ottaedrale (RošEichinger13 ) o dello sforzo tangenziale composto (von Mises14 ) o della massima energia associata
a variazione di forma (Huber15 -Hencky16 ). Le tre ipotesi sono equivalenti.
5) Criterio di Coulomb17 e criterio della curva intrinseca:
La rottura è causata dal superamento dell’attrito interno tra piani adiacenti.
9 William
John Macquorn Rankine (Edimburgo 1820 - Glasgow 1872), ingegnere e fisico
Grashof (Düsseldorf 1826 - Karlsruhe 1893), ingegnere.
11 J. J. Guest, fine XIX - inizio XX sec.
12 Henri-édouard Tresca (Dunkerque 1814 - Parigi 1885), ingegnere.
13 di loro so solo che lavorarono al Politecnico di Zurigo nella prime metà del XX secolo.
14 Richard von Mises (Leopoli 1883 - Boston 1953), matematico e filosofo. Vedi biografia in appendice.
15 M. T. Huber, ingegnere polacco, prima metà del XX secolo.
16 H. Hencky, prima metà del XX secolo.
17 Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême 1736 - Parigi 1806), fisico.
10 Franz
3-7
3.5 Formule di verifica e di progetto
Una formula è di verifica se fornisce un valore di tensione in funzione dei carichi e della geometria;
è di progetto se fornisce un valore dimensionale, in funzione dei carichi, delle caratteristiche del
materiale e di altri valori dimensionali che si suppongono dati a priori o che comunque costituiscono
vincoli al progetto.
In quanto segue si userà una definizione più larga, intendendo come formula di verifica quella
che fornisce direttamente il coefficiente di sicurezza (prima colonna) e come formula di progetto
quella che pone un vincolo alle tensioni principali in funzione della σamm (seconda colonna).
Nel seguito, σ1 , σ2 e σ3 sono le tre tensioni principali in ordine decrescente, σR è la tensione di
rottura e s è il grado di sicurezza, σamm è la tensione ammissibile
1) Criterio della massima tensione
s=
σR
;
σ1
σ1 ≤ σamm
2) Criterio della massima deformazione
s=
σR
;
σ1 − ν(σ2 + σ3 )
σ1 − ν(σ2 + σ3 ) ≤ σamm
3) Criterio della massima tensione tangenziale
s=
σR
;
σ1 − σ3
σ1 − σ3 ≤ σamm
4) Criterio di Hencky- von Mises
σR
s= p
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ1 − σ2 σ3 − σ1 σ3
q
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ1 − σ2 σ3 − σ1 σ3 ≤ σamm
;
5) Criterio di Coulomb e criterio della curva intrinseca:
Il grado di sicurezza si ottiene per via grafica come il rapporto di omotetia che rende il massimo
cerchio di Mohr tangente alla curva intrinseca.
3.6 Solido del De Saint Venant
Problema di de Saint Venant Determinare lo stato di equilibrio di un solido cilindrico o
prismatico sollecitato solo sulle due basi. Tale solido è detto solido di de Saint Venant. De Saint
Venant risolse questo problema con l’ausilio del seguente
Postulato di de Saint Venant In un solido di de Saint Venant le tensioni e le deformazioni
non variano, se non in una zona adiacente alle due basi, se si sostituisce la sollecitazione agente
su di esse con un’altra avente la stessa risultante e lo stesso momento risultante.
Più tardi i risultati vennero estesi a solidi caricati anche sulla superficie laterale, o con asse
non rettilineo, o con sezione variabile con gradualità.
Riassumo qui alcune formule che si suppongono note dalla Scienza delle Costruzioni.
Sforzo normale
N
σ=
A
Flessione retta
Mx
Mx
σ=
y σmax =
Ix
Wf x
3-8
Ix è il momento quadratico di area, popolarmente detto momento d’inerzia, della sezione
rispetto all’asse baricentrico x ed è definito
Z
Ix =
y 2 dA
A
Il modulo di resistenza a flessione Wf x è definito Wf x = Ix /ymax .
Raggio di curvatura di una trave inflessa:
R=
EIx
y
=
²
M
Linea elastica:
M
EIx
y 00 =
Proprietà delle sezioni più comuni:
Cerchio (rispetto ad un diametro):
Ix = Iy =
πD4
64
Wf x = Wf y =
πD3
32
Wf x = Wf y =
π(De4 − Di4 )
32De
Corona circolare (rispetto ad un diametro):
Ix = Iy =
π(De4 − Di4 )
64
Corona circolare sottile di spessore s (rispetto ad un diametro):
Ix = Iy =
πD3
s
8
Wf x = Wf y =
πD2
s
4
Rettangolo (rispetto ad un asse baricentrico x parallelo al lato b e perpendicolare al lato h):
Ix =
b h3
12
Wf x =
b h2
6
Flessione deviata e flessione composta
Per i materiali con comportamento simmetrico a trazione e a compressione (ossia per tutti i
metalli eccetto la ghisa) si applica il principio di sovrapposizione degli effetti
σ=
Mx
My
N
+
y+
x
A
Ix
Iy
Taglio
T S
bI
dove S è il momento statico di una delle parti della sezione
casi particolari:
sezione rettangolare
τ=
τmax =
sezione circolare
3-9
3 T
2b h
Tabella 3.1: Coefficienti per il calcolo della torsione in travi rettangolari
b/c
α
β
1.00
0.208
0.141
1.50
0.231
0.196
1.75
0.239
0.214
2.00
0.246
0.229
2.50
0.258
0.249
3
0.267
0.263
τmax =
4
0.282
0.281
6
0.299
0.299
8
0.307
0.307
10
0.313
0.313
∞
0.333
0.333
4T
3A
Torsione
1) sezione circolare o a corona circolare
Mt De
Ip 2
τmax =
θ=
Mt l
G Ip
Ip è il momento polare di area, popolarmente detto momento d’inerzia polare che vale
Ip =
π (De4 − Di4 )
32
2) sezione rettangolare
La massima tensione tangenziale si ha nel punto medio dei lati più lunghi della sezione e vale
Mt
α b c2
dove b è il lato più lungo e c è il lato più corto della sezione e α è data dalla tabella I.
L’angolo totale di torsione in radianti è
τmax =
θ=
Mt L
β b c3 G
dove L è la lunghezza del tratto soggetto al momento Mt e β è data dalla tabella 3.1.
Casi composti
Si applica il principio di sovrapposizione degli effetti.
Le σ da sf. normale e da mom. flett. si sommano algebricamente, mentre le τ da taglio e torsione
si sommano vettorialmente, visto che in generale hanno direzioni diverse. Dette σ e τ le quantità
cosı̀ ottenute e visto che il solido di de Saint Venant è in stato piano di tensione, si ha:
r
σ
σ
σ1 = + ( )2 + τ 2
2
2
r
σ
σ
σ2 = − ( )2 + τ 2
2
2
3-10
3.7 Deformazioni laterali di travi inflesse
Si ottengono tramite doppia integrazione del diagramma del momento flettente; infatti l’equazione
che connette il momento flettente alla curvatura è:
y 00 =
M
.
EI
L’integrazione può avvenire per via analitica o numerica o per via grafica (col metodo del poligono
funicolare); quest’ultima è ovviamente meno precisa, ma dà un’idea rapida dell’andamento della
deformata e perciò può essere adottata o come primo tentativo, per una conoscenza preliminare
della linea elastica o per la successiva applicazione del metodo di Mohr.
Quest’ultimo, detto anche metodo dell’area dei momenti, parte dalla constatazione che l’angolo
tra le tangenti alla linea elastica nei punti A e B è dato dall’integrale
Z
B
dφ =
A
M
dx.
EI
Si dimostra che la distanza δ (misurata normalmente alla trave) tra la deformata in un punto P e
la tangente alla deformata in un altro punto T è data dal momento statico dell’area del diagramma
dei momenti tra il punto di tangenza T e il punto in studio P
Z
P
δ=
T
M
xdx.
EI
Figura 3.1: Deformazione laterale di travi inflesse
3-11
4. Metodo degli elementi finiti
4.1 Il problema generale dell’equilibrio elastico
Il problema dell’equilibrio elastico si propone di trovare le soluzioni di un complesso sistema di
equazioni differenziali e algebriche:
• 3 equazioni indefinite dell’equilibrio
• 6 equazioni di congruenza (di cui solo tre differenzialmente indipendenti)
• 6 equazioni di Navier (esprimenti la legge di Hooke)
assieme con le relative condizioni ai limiti (equazioni di Cauchy) e di vincolo. Si tratta di 12
equazioni nelle dodici incognite costituite dalle componenti speciali di tensione e di deformazione.
La difficoltà del problema sta soprattutto nella forma del dominio elastico, cioè del corpo in
cui si cerca di risolvere il problema; e infatti soluzioni analitiche sono note solo per domini molto
semplici (semispazio, disco, eccetera).
Qualche semplificazione del problema è possibile, ma la tendenza attuale è di risolverlo attraverso l’applicazione del principio dei lavori virtuali, calcolando però lo spostamento in modo
approssimato. Tale approccio dà luogo al metodo degli elemeti finiti.
4.2 Spostamento e sua approssimazione
Lo spostamento di un punto P del corpo elastico è dato dalla funzione vettoriale ~s di componenti
u, v, w, che viene rappresentato con un vettore algebrico (vettore colonna)


u(x, y, z)
s =  v(x, y, z) 
w(x, y, z)
essendo u, v, w funzioni delle coordinate x, y, z del punto P.
Tutto il metodo degli elementi finiti riposa su opportuni postulati utilizzati per approssimare
la funzione s.
Il primo postulato è che lo spostamento sia funzione di x, y, z ma anche dagli spostamenti di
un certo numero di punti scelti detti nodi. Quindi
u = u(x, y, z, u1 , v1 , w1 , u2 , v2 , w2 , · · · , un , vn , wn )
e lo stesso vale per v e w.
Si postula inoltre che la dipendenza dai parametri u1 , v1 , w1 , u2 , v2 , w2 , · · · , un , vn , wn sia lineare, e che quindi si possa mettere nella forma
s = Nq
in cui q è il vettore colonna le cui componenti sono u1 , v1 , w1 , u2 , v2 , w2 , · · · , un , vn , wn .
Come ultimo postulato si ammette che la dipendenza lineare di u, v, w dalle componenti di
q sia effettiva (cioè abbia coefficiente diverso da zero) solo per i nodi “sufficientemente” vicini al
punto P; tali sono i nodi che appartengono allo stesso sottodominio (elemento) cui appartiene il
punto P.
4-1
4.3 Lineamenti generali
Il metodo degli elementi finiti può essere quindi cosı̀ schematizzato:
1. Si suddivide la struttura in elementi di forma opportuna, collegati tra loro in punti detti
nodi; gli elementi possono avere la stessa dimensionalità della struttura o anche una dimensionalità inferiore, per esempio si possono usare elementi monodimensionali per costruire una
struttura tridimensionale; però questo caso sarà visto più oltre, per cui per il momento si
considereranno solo strutture tridimensionali composti da elementi anch’essi tridimensionali.
2. Si adotta un opportuno modello di spostamento, cioè si ipotizza che lo spostamento s(P )
in ogni punto P di un elemento sia funzione lineare dei soli spostamenti dei nodi appartenenti all’elemento e che quindi non dipenda nè dagli spostamenti di nodi non appartenenti
all’elemento nè dagli spostamenti di altri punti. Lo spostamento s(P ) comunque dipende
anche dalle coordinate dei nodi dell’elemento, e questa dipendenza può essere non lineare. Lo
spostamento, come si è detto, è una funzione vettoriale s(x, y, z) (equivalente a tre funzioni
scalari u, v, w). Nel caso tridimensionale si pone


u(x, y, z)
s(x, y, z) =  v(x, y, z)  = N(x, y, z)q
w(x, y, z)
in cui la matrice N è una matrice di funzioni di forma1 e q è il vettore degli spostamenti
nodali, ossia


u1
 v1 


 w1 
 . 

q=
 .. 


 un 
v 
n
wn
Il numero n è il numero di nodi dell’intera struttura; il vettore q ha una dimensione molto
grande (n può facilmente superare 2000 per cui la dimensione di q supera 6000) e quasi tutti
gli elementi della matrice N2 (cioè quelli che sono in colonne relative a nodi ’estranei’) sono
nulli. Impostando cosı̀ il problema non si ha alcuna difficoltà nè concettuale nè di spazio di
memoria, perché ovviamente vengono immagazzinati in memoria solo gli elementi diversi da
zero, con i loro indici. Spesso, tuttavia, il vettore q e le matrici N e B vengono riferite ai soli
gradi di libertà dell’elemento: si tratta di una proiezione su un sottospazio, analogo al caso
in cui una figura piana viene studiata in due dimensioni invece che in tre. Ciò semplifica la
scrittura su carta delle equazioni ed in parte anche la programmazione ma presenta per il
principiante qualche complicazione, per esempio quando si scrive l’equazione (3).
Per il calcolo delle funzioni di forma si veda appresso.
3. Si scrivono per ciascun elemento le espressioni delle deformazioni e delle tensioni in funzione
1 Nelle funzioni di forma entrano le coordinate del punto e quelle dei nodi; questa dipendenza può essere non
lineare. Di solito la lorma di tali funzioni è polinomiale, con le coordinate del punto a fungere da indeterminate e
le coordinate dei nodi a formare i coefficienti.
2 e della matrice B che sarà introdotta più sotto
4-2
degli spostamenti. Posto
si ha:

²x
 ²y 


 ² 
²= z 
 γyz 


γxz
γxy


∂
∂x
0
 0

 0

²=
 0
 ∂

∂
∂y
0
∂
∂z
0
∂z
∂
∂y
∂
∂x

0
0 
 
u
∂ 
∂z  
v  = ∆s
∂ 
∂y 
 w
∂ 
∂x
0
in cui è implicitamente definita la matrice ∆ per cui
² = ∆Nq = Bq
(1)
Le componenti di B = ∆N sono le derivate parziali delle funzioni di forma. Per la legge di
Hooke
σ = D²
in cui D contiene le costanti elastiche del materiale3 , quindi
σ = DBq.
(2)
Le espressioni (1) e (2), anche se formalmente sono scritte per tutto il dominio della struttura
in studio (anzi addirittura per tutto lo spazio) sono valide solo nell’ambito dell’elemento
considerato perché solo lı̀ le funzioni di forma danno un’approssimazione sufficiente.
4. Si scrive l’espressione dell’energia W di deformazione elastica, che è uguale al lavoro delle
forze esterne nodali f
Z
1X
1
W =
²T σdV = qT f
2 e Ve
2
(dove la sommatoria è estesa a tutti gli elementi e l’integrale è fatto all’interno di ciascun
elemento, per l’avvertenza data alla fine del numero precedente) da cui
XZ
qT BT DBqdV = qT f
Ve
e
5. Al primo membro i vettori qT e q si possono portare fuori sia del segno di integrale che del
segno di sommatoria, per cui
Ã
!
XZ
T
T
q
B DBdV q = qT f
e
3 La
vale:
Ve
matrice D, nel caso di un problema elastico tridimensionale riguardante un materiale omogeneo e isotropo

1−ν
ν
ν
1−ν
ν
 ν
 ν
ν
1−ν
E

D=
0
0
(1 + ν)(1 − 2ν)  0
 0
0
0
0
0
0
Essa esprime in forma matriciale le equazioni inverse di Navier.
4-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−2ν
2
1−2ν
2
0
0
0
0
0
0
1−2ν
2






che, con la posizione,
K=
XZ
BT DBdV,
(3)
Ve
e
e con ovvia semplificazione restituisce l’equazione fondamentale del metodo degli elementi
finiti
Kq = f
(4)
in cui il vettore q degli spostamenti nodali è incognito e il vettore f delle forze nodali è noto.
La matrice K che compare nella (2) è detta matrice di rigidezza ed ha una notevolissima
interpretazione: se tutti i gradi di libertà vengono bloccati tranne quello i-esimo e a quest’unico si impone uno spostamento unitario, la reazione del vincolo j-esimo è proprio Kij (a
parte il segno).
6. Si impongono gli opportuni vincoli cancellando quelle righe e quelle colonne della matrice
K e quegli elementi dei vettori f e q che corrispondono a gradi di libertà soppressi.
7. Si risolve la (2) con i consueti metodi dell’algebra lineare.
4.4 Proprietà e significato fisico della matrice K.
La matrice K è simmetrica, data la simmetria della matrice D. Infatti la sua trasposta si scrive
XZ
T
K =
BT DT BdV,
Ve
e
e tale espressione, per la (3) e per la simmetria di D è evidentemente uguale a K.
Per quanto riguarda il suo significato fisico, si ricordi che
1 T
q Kq
2
è il lavoro delle forze interne, quindi si può interpretare Kq come la forza interna che postmoltiplicata per qT restituisce il lavoro, salvo il fattore 1/2 dovuto al teorema di Clapeyron.
Ora, un elemento del vettore Kq è dato da
Ki1 q1 + Ki2 q2 + · · · + Ki, 3nq3n
Tale elemento produce lavoro per effetto dello spostamento qi , quindi si interpreta come la forza
interna “corrispondente” al grado di libertà i-esimo; ed in definitiva Kij è la forza interna che
agisce sul grado di libertà i-esimo per effetto dello spostamento unitario qj = 1 essendo stati
fissati a zero tutti gli altri spostementi degli altri gradi di libertà.
O ancora, Kij è il lavoro mutuo che si ha per uno spostemento unitario del grado di libertà
i-esimo e del grado di libertà j-esimo.
4.5 Complementi e complicazioni
1. L’espressione
Z
K(e) =
BT DBdV,
(5)
Ve
dove l’integrale è esteso al solo volume dell’elemento e, è detta matrice di rigidezza dell’elemento
e. In questo modo la (3) si scrive
X
K(e)
(30 )
K=
e
4-4
e questa espressione è quella comunemente usata, sempre per ragioni di occupazione di memoria.
La matrice K(e) viene di solito scritta eliminando tutte le righe e le colonne che si riferiscono a gradi di libertà estranei all’elemento considerato. Le matrici cosı̀ scritte non possono essere
direttamente sommate tra loro (ovviamente al momento di fare la somma le righe e le colonne
provvisoriamente cancellate devono essere in qualche modo ripristinate: esistono dei semplici algoritmi che si incaricano della bisogna) ma sono di dimensioni maneggevoli e oltretutto dipendenti
non dalla intera struttura ma solo dal tipo di elemento al quale si riferiscono: se ne vedranno degli
esempi più sotto.
2. L’ordine in cui sono elencati i gradi di libertà nel vettore q determina la scrittura di tutte
le matrici e può in generale essere qualsiasi, purché fissato una volta per tutte in ogni singolo
problema. Per ragioni di spazio di memoria si preferisce procedere cosı̀:
a) si numerano i nodi in modo che la massima differenza (in valore assoluto) tra i nodi di uno
stesso elemento sia quanto più piccola possibile.
b) si ordinano i gradi di libertà prendendo nell’ordine lo spostamento u del primo nodo, lo
spostamento v del primo nodo, lo spostamento w del primo nodo, lo spostamento u del secondo
nodo e cosı̀ via fino allo spostamento w dell’ultimo nodo.
In questo modo si ottiene una matrice di rigidezza a banda, ossia tale da avere diversi da zero
solo gli elementi della diagonale principale e di poche diagonali ad essa adiacenti.
3. Calcolo completo di una matrice di rigidezza: l’elemento tetraedrico a quattro nodi. Per il
caso di un tetraedro con quattro nodi (il più semplice elemento tridimensionale) la matrice N,
riferita agli spostamenti dei soli nodi dell’elemento, si scrive:


Ni 0
0 Nj 0
0 Nk 0
0 Nl 0
0
N =  0 Ni 0
0 Nj 0
0 Nk 0
0 Nl 0 
0
0 Ni 0
0 Nj 0
0 Nk 0
0 Nl
dove le Ni , Nj ecc. sono funzioni interpolanti lineari; in particolare la Ni vale 0 sulla faccia jkl e
vale 1 nel nodo i ed è proporzionale alla distanza del punto considerato dalla faccia jkl. Le funzioni
di forma (vedi Rao pag. 123) sono le seguenti:
Ni =
1
(ai + bi x + ci y + di z)
6V (e)
1
(aj + bj x + cj y + dj z)
6V (e)
e le analoghe per Nk ed Nl ; nelle precedenti espressioni vale:
¯
¯
¯ xj yj zj ¯
¯
¯
ai = ¯¯ xk yk zk ¯¯
¯ xl yl zl ¯
¯
¯
¯ 1 yj zj ¯
¯
¯
bi = ¯¯ 1 yk zk ¯¯
¯ 1 yl zl ¯
¯
¯
¯ xj 1 zj ¯
¯
¯
ci = ¯¯ xk 1 zk ¯¯
¯ xl 1 zl ¯
¯
¯
¯ xj yj 1 ¯
¯
¯
di = ¯¯ xk yk 1 ¯¯
¯ xl yl 1 ¯
Nj =
4-5
e le altre costanti si ottengono dalle precedenti permutando circolarmente i pedici i, j, k, l. I valori
xi , yi , zi sono poi le coordinate del primo vertice del tetraedro e cosı̀ via. Essendo B = ∆N si ha
B11 =
∂
bi
Ni =
∂x
6Ve
eccetera, per cui

bi
0
1 
0
B=

6Ve  ci

0
di
0
ci
0
bi
di
0
0
0
di
0
ci
bi
bj
0
0
cj
0
dj
0
cj
0
bj
dj
0
0
0
dj
0
cj
bj
bk
0
0
ck
0
dk
0
ck
0
bk
dk
0
0
0
dk
0
ck
bk
bl
0
0
cl
0
dl
0
cl
0
bl
dl
0

0
0

dl 

0

cl
bl
Poiché B e D sono indipendenti dalla posizione x, y, z, si ha
K(e) = Ve BT DB
in cui Ve è il volume dell’elemento.
6. Per elementi tridimensionali non lineari e per elementi bi- e momodimensionali facenti parte
di una struttura tridimensionale conviene scrivere le matrici N e B in coordinate locali, in modo
da semplificare i calcoli, riconducendosi poi a coordinate globali.
7. L’elemento isoparametrico triangolare a sei nodi di secondo grado in stato piano di tensione
o di deformazione. Gli elementi isoparametrici sono caratterizzati da maggiore flessibilità perché
possono avere lati curvi. Le funzioni di forma vengono scritte in funzione di coordinate interne, che
in questo caso sono L1 , L2 , L3 (vedi figura) con L1 + L2 + L3 = 1. I nodi posti sui lati permettono
di ottenere contorni curvi. Risulta
µ
¶
u(x, y)
= Nq
v(x, y)
con
 
u1
 v1 
 
 u2 
 
v 
q= 2
 . 
 
 . 
 
u6
v6
ed
µ
N=
N1
0
0
N1
N2
0
0
N2
..... N6
..... 0
0
n6
essendo
Ni = Li (2Li − 1)
i = 1, 2, 3
N4 = 4L1 L2
N5 = 4L2 L3
N6 = 4L3 L1 .
Eliminando L3 si ha:
N3 = 1 − 3(L1 + L2 ) + 2(L1 + L2 )2
e gli altri Ni rimangono invariati
4-6
¶
Per permettere l’esistenza di lati curvi si pone (condizione di isoparametricità)
µ ¶
x
= Nx
y
essendo

x1
 y1 
 
 x2 
 
y 
x= 2
 . 
 
 . 
 
x6
y6

ed N è definito come sopra. Sappiamo che è


²xx
² =  ²yy  = Bq
²xy
con
B = ∆N
in cui in questo caso

∂
∂x
∂
∂y
∂
∂y
∂
∂x
∂N6
∂x
0
0
∂N1
∂y
∂N1
∂x
∂N2
∂y
∂N2
∂x
∆= 0
Risulta quindi
 ∂N1
∂x
B= 0
∂N2
∂x
0
∂N1
∂y
∂N2
∂y
....
....
....

0
0
∂N6
∂y

....
....
....
0
∂N6
∂y
∂N6
∂x


in cui le funzioni di forma Ni sono espresse in funzione delle coordinate naturali L1 ed L2 .
Per valutare K e il vettore delle forze esterne sono necessarie due trasformazioni. Innanzitutto
la matrice K deve essere espressa in termini di derivate delle funzioni di forma rispetto alle variabili
naturali e non rispetto alle x ed y. Successivamente gli integrali di superficie e di volume devono
essere espressi in termini delle coordinate naturali con un opportuno cambio degli estremi di
integrazione.
Per la prima trasformazione si fa uso della matrice jacobiana
µ ∂x
∂y ¶
∂L1
∂L1
J=
∂y
∂x
∂L2
che vale (vedi Rao p. 235)
cosicché
µ P6
J = P6i=1
∂Ni
∂L1 xi
∂Ni
i=1 ∂L1 xi
µ ∂Ni ¶
∂x
∂Ni
∂y
−1
=J
Per la seconda trasformazione vedi Rao pag. 236.
4-7
∂L2
P6
Pi=1
6
∂Ni
∂L1 yi
∂Ni
i=1 ∂L2 yi
µ ∂Ni ¶
∂L1
∂Ni
∂L1
.
¶
4.6 Analisi dinamica
Per scrivere l’equazione fondamentale del metodo degli elementi finiti nel caso dinamico (ossia con forze
esterne variabili nel tempo), applicheremo il principio di d’Alembert, che impone di sommare alle forze
agenti le forze d’inerzia. Calcoliamo preliminarmente la forza d’inerzia di un elementino di densità ρ e
volume dV . Se s(t) è lo spostamento di tale elementino, la forza d’inerzia è
dI = −ρs̈dV
Se per lo spostamento si adotta la stessa espressione usata nel caso statico
s(t) = N(x, y, z)q(t)
risulta
dI = −ρNq̈dV.
Integrando su tutta la struttura (quindi su tutto il volume V ), si ha
Z
I=−
ρNdV q̈ = −Mq̈
V
con opportuno significato della matrice M. tale termine va aggiunto al secondo membro dell’equazione
generale (4) degli Elementi Finiti, che quindi risulta:
Mq̈ + Kq = f (t)
(6)
Alla stessa equazione si arriva sfruttando le equazioni di Lagrange, con opportune ipotesi sulla natura
delle forze agenti. Nella (6) viene talvolta fatto comparire un termine riguardante lo smorzamento, ma
esso non è eccessivamente importante per le applicazioni e verrà quindi trascurato. Va detto infine che la
matrice M cosı̀ ottenuta prende il nome di matrice compatibile delle masse, e risulta una matrice a banda,
con larghezza di banda molto piccola, mentre in altri casi si utilizza una matrice concentrata delle masse,
che risulta addirittura diagonale.
Una volta trovata l’equazione generale (6) per la dinamica dei sistemi schematizzati col metodo degli
elementi finiti, occorre passare alla risoluzione. La grande varietà del vettore delle forze esterne, in cui
evidentemente tutti gli elementi sono funzioni del tempo, impone però dei trattamenti standardizzati e
molto schematici. Tra essi prevale per importanza quello dell’analisi modale.
Questo consiste innanzitutto nel trascurare lo smorzamento, e quindi nel cercare la soluzione dell’equazione omogenea associata alla (6)
Mq̈ + Kq = 0
(60 )
in modo che sia
q = x sin ωt
Derivando e sostituendo nella (6’) si ha
[−Mω 2 + K] sin ωt = 0
e quindi
−Mω 2 + K = 0
che va sotto il nome di problema generalizzato degli autovettori, che si risolve con tecniche standard.4 Questo
problema fornisce tanti autovalori ω 2 e tanti autovettori x quanti sono i gradi di libertà del sistema, ma,
e questo è il bello, se ne prendono in considerazioni solo pochissimi, cioè i primi tre, o, per dire, i primi
4 Nota psicologica: Spesso ho trovato difficoltà a seguire dei passaggi matematici se non avevo un’idea precisa
dell’algoritmo che fornisse una soluzione effettiva (numerica) del problema proposto. Ancora meglio se l’algoritmo è
effettivamente disponibile su una macchina da calcolo fisicamente esistente e non troppo dispendiosa. Per esempio,
calcolare un seno o un coseno era discretamente difficile trent’anni fa, ed è diventato incredibilmente facile con
le ‘macchinette’ tascabili. Allo stesso modo, non tratterei in questo corso il metodo degli elementi finiti se non
avessi a disposizione più codici (alcuni dei quali ‘aperti’) per l’effettiva risoluzione del problema. Programmi per la
manipolazione di matrici e quindi anche per il problema degli autovettori si trovano in tutti i pacchetti standard,
tra cui il NAG, Numerical Recipes, Matlab e credo anche Mathematica.
4-8
venti, e gli altri non si calcolano neppure5 . Gli autovalori più alti infatti hanno una importanza via via
più piccola in quanto eccitano solo una parte via via più piccola della struttura, stante il moltiplicarsi di
punti nodali, in numero pari all’ordine dell’autovettore, in cui la materia è ferma.
Riassumendo: gli autovettori sono le ampiezze delle soluzioni non banali della (6’) e si possono ottenere
solo se la soluzione è sinusoidale nel tempo e con pulsazione apposita (il corrispondente autovalore). Per
ottenere correttamente la soluzione del problema degli autovalori occorre eliminare i gradi di libertà di
corpo rigido, che introdurrebbero degli autovalori spuri ω 2 = 0. Inoltre, gli autovalori sono determinati a
meno di una costante arbitraria, cosa che permette di normalizzarli in modo opportuno.
Gli autovettori possono essere utilizzati per disaccoppiare le equazioni del moto attraverso un opportuno cambiamento di variabili (le q sono coordinate lagrangiane e quindi possono essere cambiate ogni
volta che fa comodo, purché la corrispondenza tra vecchie e nuove coordinate sia biunivoca).
In questo caso si pone
q = Xp
(7)
in cui la matrice X è formata giustapponendo tutti e soli gli autovettori (che sono ovviamente dei vettori
colonna) che sono stati presi in considerazione. Si tratta evidentemente di una matrice ‘alta’ e ‘stretta’,
visto che ha tante righe quanto il numero di gradi di libertà del sistema originario, e solo pochissime
colonne (tre è il minimo di legge per l’analisi sismica). Le coordinate p si chiamano coordinate principali.
Sostituendo la (7) nella (6) e manipolando (parecchio) il risultato ottenuto si ha:
p̈ + Lp = Uf
(8)
ωi2 ;
in cui L è la matrice diagonale degli autovettori
il fatto che questa matrice sia diagonale assicura che
il sistema (8), che ha ormai ‘poche’ (tre è il minimo) equazioni in altrettante incognite, è disaccoppiato
(ossia, in ogni equazione compare una sola incognita).
Per quanto riguarda il secondo membro della (8), tutto naturalmente dipende dalla forma delle funzione
fi (t). Se si deve effettuare un’analisi sismica, esse hanno tre caratteristiche: sono di durata limitata, sono
molto ricche di armoniche e sono inoltre proporzionali alla massa, in quanto forze d’inerzia.
Si suole quindi scrivere il secondo membro come
−güg (t)
in cui, a conti fatti
Pn
gi =
Pn
(i)
k=1
k=1
mk pk
³
(i)
mk pk
´2
(i)
essendo pk gli elementi dell’autovettore i-esimo e mk delle opportune masse associate a ciascun grado di
libertà e che possono essere identificate con gli elementi della diagonale principale della metrice concentrata
delle masse o ricavate facilmente dagli elementi non nulli della matrice compatibile delle masse.
Rimangono da trovare gli effetti dell’eccitazione dei vari modi di vibrare sulle coordinate qi .
A tale scopo si immagina di eseguire l’integrazione di ciascuna delle equazioni disaccoppiate, trovando un
valore massimo per ciascuna delle pi e delle sue derivate:
(p̈i )max = gi (Sa )i
(ṗi )max = gi (Sv )i
(pi )max = gi (Sd )i
essendo (Sd )i , (Sv )i e (Sa )i delle opportune funzioni della eccitazione. In pratica la normativa fornisce
(Sa )i in funzione della pulsazione ωi del modo i-esimo, mentre le altre due si ottengono dividendo la prima
rispettivamente per ωi e ωi2 .
Per quanto riguarda il comportamento del vettore q per effetto del modo di vibrare i-esimo, di esso
importa soprattutto il massimo valore che assume ognuna delle sue componenti e le rispettive derivate. Si
ha quindi
³ ´
(i)
q̈k
max
= x(i) (p̈i )max = x(i) gi (Sa )i
5 I citati programmi standard forniscono delle routine che calcolano solo i primi autovalori, con incredibile
risparmio di tempo macchina
4-9
³
(i)
q̇k
³
(i)
qk
´
max
´
max
= x(i) (ṗi )max = x(i) gi (Sv )i
= x(i) (pi )max = x(i) gi (Sd )i
In un buon codice ad elementi finiti, tuttavia, non è ancora questa la fine del gioco, occorre infatti
calcolare le caratteristiche di sollecitazione (per esempio i momenti) e addirittura le tensioni e deformazioni
in ogni punto.
A tale scopo occorrerebbe combinare i modi eccitati nella peggior maniera possibile. per brevità il
trattamento standard di questi dati avviene però in maniera diversa, ipotizzando che i modi eccitino la
struttura in maniera statisticamente indipendente (p.e. che durante il massimo indotto da un modo su
una delle caratteristiche delal sollecitazione tutti gli altri modi siano ‘abbastanza’ lontani dal massimo).
Questa ipotesi conduce immediatamente alla formula
v
u n
uX
2
(σ (i) (P ))
σ(P ) = t
i=1
in cui si è preso come esempio di calcolo il valore di una σ (non importa specificare quale) in un punto
P (ma lo stesso vale per le deformazioni, per i momenti eccetera). I valori σ (i) (P ) sono quelli che la
componente in studio della tensione assume in quel punto P per effetto del modo i-esimo.
4-10
5. Effetto d’intaglio
“Intaglio: nelle costruzioni meccaniche, soluzione di continuità,
feritoia di piccole dimensioni o anche brusca variazione di sezione
di un pezzo meccanico” (La Piccola Treccani, 1995).
5.1 Introduzione
La distribuzione delle tensioni in prossimità di un intaglio è notevolmente diversa da quella teorica
del de Saint Venant. In particolare, nella zona di gola dell’intaglio si hanno punte di tensione
notevolmente elevate. Il massimo valore di tale tensione, σmax , è particolarmente importante nello
studio della resistenza a fatica.
In questo capitolo l’effetto d’intaglio sarà studiato con riferimento ad un materiale idealmente
elastico, ossia con comportamento sempre lineare (addirittura non passibile di rottura, quindi
assoggettabile a carichi grandi quanto si voglia).
Si definisce coefficiente teorico di intaglio Kt il rapporto
Kt =
σmax
σn
dove σn è una opportuna tensione di riferimento. Per il caso di sforzo normale in pezzi prismatici
si pone quasi sempre
N
σn =
Amin
dove Amin è quella al netto dell’intaglio, ossia la sezione più ristretta.
I valori di Kt , per moltissimi casi di impiego pratico, si rilevano dalla letteratura, in particolare
da Peterson (1973).
Essi sono stati ottenuti raramente per via analitica, alcune volte per via numerica (elementi
finiti) e il più delle volte per via sperimentale (estensimetrica o fotoelastica).
Tra le soluzioni analitiche vi sono:
1. Quella del Kirsch del foro circolare in una piastra di larghezza infinita in sforzo normale:
Kt = 3
2. Quella di Kolosov (1909) ed Inglis (1913) del foro ellittico in piastra di larghezza infinita in
sforzo normale:
r
a
a
=1+2
(1)
Kt = 1 + 2
r
b
dove (fig 5.1) a è il semiasse perpendicolare al carico, b è il semiasse parallelo al carico (notare
l’uso non standard di questi simboli) e r = b2 /a è il raggio di gola dell’intaglio.
3. Quella di Neuber per due intagli iperbolici laterali ad una piastra infinita in trazione e
flessione e ad un solido di rivoluzione in trazione, flessione e torsione.
5-1
Figura 5.1: Definizioni geometriche dell’intaglio ellittico
5.2 Analogia idrodinamica
Prima di riportare alcune soluzioni analitiche, numeriche o sperimentali del problema dell’effetto
di intaglio presenterò un metodo intuitivo che in molti casi può aiutare a determinare i punti
più soggetti ad intaglio o addirittura a ridurne l’incidenza tramite opportune modifiche della
forma del pezzo (in altri casi, pochi per fortuna, questo metodo può condurre anche a risultati
grossolanamente errati, per cui va usato sempre con cautela).
Il metodo è quello dell’analogia idrodinamica (figg. 5.2 e 5.3).
Figura 5.2: Analogia idrodinamica in un’asta con gola torica
Si supponga che il pezzo sia sostutuito da un tubo avente la sua stessa sezione trasversale, ed
in questo sia fatto scorrere un fluido pochissimo viscoso, tanto che la sua velocità sia sensibilmente
uniforme in tutti i punti della sezione purché lontani da singolarità.
Allora, le linee di flusso del fluido si addenseranno in corrispondenza di spigoli rientranti e si
diraderanno in corrispondenza di spigoli sporgenti, con rispettivo aumento o diminuzione della
velocità del fluido; l’analogia fa corrispondere alla velocità del fluido punto per punto la tensione
elastica nel punto corrispondente; perciò dove si hanno aumenti della velocità ci saranno aumenti
di tensione.
L’analogia idrodinamica aiuta a discutere il caso degli intagli in serie e in parallelo: due intagli
5-2
Figura 5.3: Analogia idrodinamica in una lastra con raccordo tra due larghezze (o in un’asta con
spallamento)
si dicono in serie se il flusso di tensione li investe l’uno dopo l’altro, sono in parallelo se li investe
contemporaneamente.
Ovviamente nel caso degli intagli in parallelo si ha un ‘doppio’ restringimento della sezione con
temuto aumento dell’effetto d’intaglio rispetto a quello dell’intaglio singolo. Invece nel caso degli
intagli in serie uno dei due intagli funge da protezione per l’altro, per cui il coefficiente d’intaglio
complessivo può essere minore di quello dei due singoli intagli se fossero isolati.
Tale fatto conduce all’introduzione degli intagli di scarico.
5.3 Soluzione del Neuber
(formule tratte dal Manna)
1) Piastra infinita con due intagli iperbolici di profondità infinita; t è la semilarghezza della
piastra nel punto più stretto, r è il raggio di curvatura in gola; δ = t/r (fig 5.4); caso della trazione.
√
2(1 + δ) δ
√
√
Kt =
(1 + δ)arctg δ + δ
2) Piastra infinita come sopra, in flessione nel proprio piano.
√
4δ δ
√
Kt = √
3[ δ − (1 − δ)arctg δ]
3) Solido di rotazione infinito con scanalatura circonferenziale a sezione iperbolica (ottenibile
dalla rotazione della piastra dei casi 1 e 2). re è il raggio della sezione di gola, r è il raggio del
meridiano nella sezione ristretta; δ = re /r; ν è il modulo di Poisson; σm e σt sono la tensione
meridiana e circonferenziale rispettivamente. Caso della trazione.
√
1
σm,max
= (1 + ν + B 1 + δ)
σn
A
√
δ 1
σt,max
= ( + ν 1 + δ)
σn
A 2
dove
√
A = δ + 2(1 + ν 1 + δ)
B=
3
+ 2ν + δ
2
5-3
Figura 5.4: Geometria dell’intaglio iperbolico
4) Solido del caso precedente, in flessione.
√
3
σm,max
=
(B + C 1 + δ)
σn
4A
√
3δ
σt,max
=
(1 + ν + 3ν 1 + δ)
σn
4A
dove
√
(1 + ν)(5 + 4δ) + [4(1 + ν) + 3δ] 1 + δ
√
A=
1+ 1+δ
B = (1 + ν)(3 + 2δ)
C = 3(1 + ν + δ)
5) solido dei casi precedenti, in torsione.
√
τmax
3(1 + 1 + δ)2
√
=
τn
4(1 + 2 1 + δ)
5.4 Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione
E’ stato studiato da Howland, i cui risultati sono riportati in fig. 5.5. Se il raggio del foro è molto
minore della larghezza della piastra vale la soluzione per piastra di larghezza infinita (Kt = 3)
purchè come tensione nominale si scelga quella a grande distanza a monte o a valle del foro,
ottenuta dividendo la forza agente per la sezione lorda; il relativo valore del fattore d’intaglio è
chiamato Ktg in figura. Se il coefficiente di intaglio è definito in base alla tensione nella sezione
ristretta (Ktn in figura) si ha
w−a
Ktn = Ktg
w
5-4
Figura 5.5: Coefficiente teorico di intaglio Kt per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro
2a, sottoposta a trazione: caso di a/w < 0.5
Per il caso limite a = w molti autori trovano Ktn = 2. La curva inferiore di fig. 5.5 è approssimata
da Heywood con la formula
³
a ´3
Ktn = 2 + 1 −
w
che è in buon accordo coi risultati di Howland per a/w < 0, 3 ed è solo dell’ 1,5 per cento più
bassa per a/w = 0, 5 (dà Kt = 2.125 invece che Kt = 2.16).
Per valori di a/w > 0.4 vale la trattazione di Van Riesen e Spiering (fig. 5.6).
5.5 Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in trazione
Nel caso delle piastre con foro o con intaglio si usano due forme del fattore d’intaglio: 1) Ktn ,
che riferisce la tensione nominale all’area ristretta 2) Ktg , che riferisce la tensione nominale all’area lorda. La prima corrisponde alla definizione generale di effetto di integlio, ma la seconda
è più usata nelle trattazioni teoriche, perché conduce a sviluppi più semplici. Se si hanno intagli
laterali semicircolari (fig. 5.7) la cui profondità è trascurabile rispetto alla larghezza della sezione
ristretta si può usare, guidati dall’analogia idrodinamica, la formula del foro circolare prendendo
Ktg = 3. Questa comunque è un’approssimazione, visto che molti autori trovano Ktg = 3.065. La
discrepanza col caso del foro circolare si accentua al crescere di a/w; in particolare, per a/w = 1
5-5
Figura 5.6: Coefficiente teorico di intaglio Kt per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro
2a, sottoposta a trazione: caso di a/w > 0.4
si ha Ktn = 1, perché in questo caso mancano effetti di flessione. Per il resto si può guardare al
paragrafo seguente, particolarizzandone le formule al caso circolare.
Figura 5.7: Geometria degli intagli laterali semicircolari
5.6 Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione
Nel caso della piastra tesa con due intagli laterali simmetrici ad U o a V, si può usare approssimativamente la soluzione per il foro ellittico avente lo stesso rapporto a/r, quindi
r ´
³
a ´³
a
1+2
Ktn = 1 −
w
r
5-6
Questa formula vale comunque solo per piccoli valori di a/w. Per alti valori di questo rapporto vale
la soluzione di Neuber con lo stesso valore di r/t, dove t è la semilarghezza nella sezione ristretta.
Per valori intermedi del rapporto a/w si calcolano il Kth relativo al caso iperbolico con lo stesso
valore di r/d e il Kte relativo al caso ellittico con lo stesso valore di a/r e poi si ottiene un valore
approssimato di Kt con la formula di interpolazione (anch’essa dovuta a Neuber)
s
(Kth − 1)2 (Kte − 1)2
Kt = 1 +
(Kth − 1)2 + (Kte − 1)2
I dati risultanti dalla formula sono alquanto minori del vero; sono riportati nella tabella allegata
insieme ai valori di altre formule di interpolazione.
Un’altra formula è quella di Heywood
"
#n
t/r
Ktn = 1 +
1.55(w/d) − 1.3
dove
p
w/d − 1 + 0.5 a/r
p
n=
w/d − 1 + a/r
dove d = 2t è la larghezza della zona ristretta.
p
Nella presentazione dei dati conviene riportare Kt in ordinate e a/r in ascisse. Questa rappresentazione ha il vantaggio che per valori grandi delle ascisse le linee del diagramma tendono a
rette la cui pendenza è
dK
2KI
p t =
√
√ lim
σn πa
a/r→∞ d a/r
in cui KI è il fattore di intensità delle tensioni e σn è la tensione sulla sezione netta.
Questa preziosa formula consente di sfruttare per il calcolo della Kt le formule per il KI e
viceversa.
Per esempio, nel caso della piastra con intagli laterali, se questi sono acuti in modo da dare
luogo a due cricche contrapposte, si ha
√
d√
KI = F1 σg πa = F1 σn
πa
w
essendo F1 un fattore di forma che tiene conto della larghezza finita della piastra. Per la determinazione di F1 vi sono varie espressioni tra cui quella di Nisitani (1975)
³ 2a ´
F1 = 1.122 − 0.154
w
³ 2a ´2
+ 0.807
w
³ 2a ´3
− 1.894
w
³ 2a ´4
+ 2.494
w
valida per 2a/w ≤ 0.8 e quella di Benthem e Koiter (1972)
v
³
´
u
³ πα ´´u
³
tan
πα/2
u
´
t ³
F1 = 1 + 0.122 cos2
2
πα/2
in cui α = 2a/w. La formula di Nisitani fornisce valori sistematicamente più bassi di quelli di
Benthem e Koiter; una formula che dà valori intermedi è quella di Tada, Paris e Irwin (1973);
³
´
³
´2
³
´3
³
´4
1.122 − 1.122 a/w − 0.82 a/w + 3.768 a/w − 3.04 a/w
p
F1 =
1 − 2a/w
5-7
probabilmente la realtà è intermedia tra questa formula e quella di Nisitani.
A questi ragionamenti si riconduce la formula di interpolazione di Barrata e Neal
Ã
Ktn =
Ã !
Ã !2
Ã !3 #Ã
!
r !"
a
2a
2a
2a
2a
+ 1.710
0.780 + 2.243
0.993 + 0.180
− 1.060
1−
r
w
w
w
w
che si può anche scrivere
ossia
r ´
a d
Kt = 0.78 + 2.243
F2
r w
³
d
dK
p t = 2.243 F2
w
d
a/r
a/r→∞
√ lim
essendo
F2 = 0.993 + 0.180
³ 2a ´
+ ...
w
A conti fatti risulta 2.243F2 = 2F1 (nel campo di validità della formula si può adottare una
qualsiasi espressione di F1 ) e questo rafforza la validità della formula di Barrata e Neal, che va
bene per valori intermedi di d/w (per i valori più alti è preferibile la formula dell’ellisse).
Allo stessa linea di pensiero si riallaccia la formula di Shin
r
a
Kt = 1 + 2F1
r
dove come al solito è abbastanza arbitraria la scelta dell’una o dell’altra espressione per F1 .
La formula di Barrata e Neal dà, però, dei valori di Kt anche inferiori ad 1 per bassi valori di
2a/W . Per evitare questo inconveniente si può pensare ad una formula che abbia gli stessi pregi,
ma che tenda ad 1 al tendere di 2a/W a zero.
Una tale formula può essere la seguente (Giudice):
Ã
!
!Ã
r
√
a
F1
2a
−1.429 a/r
Kt =
1 + 2.243
+ 0.17 log(0.05 + 10
)
1−
1.122
r
w
in cui la parte logaritmica
serve appunto ad assicurare
il raccordo tra il comportamento di Kt
p
p
costante a basso a/r e quello proporzionale a a/r. Ad alti valori di 2a/w questa formula dà
valori troppo bassi di Kt , inferiori a quelli della formula di Neuber per intagli iperbolici, alla quale
conviene dunque passare.
5.7 Aste a sezione circolare
Nelle figure seguenti sono riportati i casi, importantissimi per le applicazioni, di aste a sezione
circolare con gola a sezione semicircolare o con spallamento, rispettivamente soggette a sforzo
normale (figura 5.8), momento flettente (figura 5.9) e momento torcente (figura 5.10).
5-8
Figura 5.8: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta a
sforzo normale
Figura 5.9: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta a
momento flettente
5-9
Figura 5.10: Coefficiente teorico di intaglio Kt per un’asta rettilinea a sezione circolare soggetta a
momento torcente
5-10
6. Instabilità dell’equilibrio elastico
6.1 Introduzione
6.1.1
Definizione di instabilità
La Resistenza dei Materiali e la Teoria dell’Elasticità studiano l’equilibrio tra forze esterne e forze
interne agenti su un corpo elastico. Tale equilibrio può però risultare instabile.
Esempi di possibili instabilità sono
• Pilastri soggetti a compressione (possibilità di inflessione laterale cioè sfiancamento, o di
avvitamento o di instabilità flesso-torsionale);
• Travi inflesse a sezione molto alta e stretta (possibilità di svergolamento laterale);
• Recipienti premuti dall’esterno (possibilità di imbozzamento verso l’interno); o anche, raccordi torici dei fondi dei recipienti premuti dall’interno;
• Lastre soggette a compressione nel proprio piano (possibilità di imbozzamenti).
Si richiamano le definizioni fondamentali:
• una configurazione di equilibrio di un sistema è stabile se un piccolo allontanamento da essa
genera delle forze tendenti a riportare il sistema verso l’equilibrio;
• una configurazione di equilibrio di un sistema è instabile se un piccolo allontanamento da
essa genera delle forze tendenti ad allontanare ulteriormente il sistema dall’equilibrio;
• una configurazione di equilibrio di un sistema è indifferente se un piccolo allontanamento da
essa non genera delle forze aggiuntive, per cui anche la nuova configurazione è di equilibrio.
Dal punto di vista energetico:
• una configurazione di equilibrio di un sistema è stabile se un piccolo allontanamento da essa
genera un aumento dell’energia totale del sistema;
• una configurazione di equilibrio di un sistema è instabile se un piccolo allontanamento da
essa genera una diminuzione dell’energia totale del sistema;
• una configurazione di equilibrio di un sistema è indifferente se un piccolo allontanamento da
essa non varia l’energia rispetto a quella iniziale.
Si sottolinea che tutte le considerazioni precedenti valgono per piccoli scostamenti da una
configurazione iniziale di equlibrio. Si noti inoltre che le configurazioni “contigue” a quella di
equilibrio indifferente risultano anch’esse di equilibrio, cosa che non avviene nel caso di equilibrio
stabile o instabile.
6.1.2
Un semplice esempio
Come esempio iniziale, si consideri il caso di una barretta rigida, di lunghezza l, incernierata al
piede e tenuta verticale dall’azione di una molla a spirale (fig. 6.1); in cima alla barretta, di massa
trascurabile, vi sia una forza peso F . La retta di azione della forza peso passa per la cerniera, per
cui la posizione verticale è di equilibrio.
6-1
Figura 6.1: Sistema ad un solo grado di libertà soggetto a carico di punta.
Se per azione di una forza esterna transitoria, di direzione orizzontale, la barretta viene mossa
dalla posizione iniziale di equilibrio fino alla posizione 1, spostata da quella iniziale di un angolo θ,
supposto piccolissimo, in direzione antioraria, nascono in generale dei nuovi momenti, per cui non
è assicurata la conservazione dell’equilibrio. I momenti agenti sono quello antiorario della molla,
tendente a riportare la barretta nella posizione iniziale, e quello antiorario della forza peso. Il
momento agente sarà quindi
M = −kθ + F l sin θ
per cui il segno del momento dipende dal valore di F ; se F è piccolissima, M è negativo per θ
positivo, per cui la tendenza del sistema è quella di ritornare alla posizione iniziale e quindi il
sistema è stabile; se F è grandissima il comportamento è opposto, per cui il sistema è instabile; il
caso limite tra i due è quello in cui
k
F = ≡ Fcrit .
l
La stessa cosa si può vedere con considerazioni energetiche; l’energia immagazzinata nella molla
è
1
U = kθ2 ,
2
mentre l’energia potenziale del peso è
W = −F l(1 − cos θ),
nella quale è stata presa come quota di riferimento la quota del peso nella posizione di partenza.
L’energia totale è quindi
1
E = kθ2 − F l(1 − cos θ)
2
che per angoli piccoli (1 − cos θ ≈ θ2 /2) diventa
E=
1 2
θ (k − F l)
2
6-2
per cui se F è piccola si ha una E positiva per ogni valore di θ, per cui l’equilibrio è stabile, se F
è grande si ha una E negativa per ogni valore di θ, per cui l’equilibrio è instabile, mentre il caso
limite (energia totale nulla) si ha per
F =
k
≡ Fcrit .
l
come nel caso precedente.
6.1.3
Postulato fondamentale
Lo studio del precedente esempio ci induce ad ammettere il seguente
Postulato
Se un sistema è soggetto a forze di compressione l’equilibrio risulta instabile per valori della forza di compressione al di sopra di quello a cui
corrisponde l’equilibrio indifferente.
6.2 Metodi per lo studio della stabilità
Sono a disposizione due metodi:
• metodo statico
• metodo energetico.
6.2.1
Metodo statico
1. Si sposta di pochissimo il corpo dalla condizione di equilibrio, purché la nuova configurazione
sia compatibile con i vincoli.
2. Si impone che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a dire che la configurazione di partenza era di equilibrio indifferente. L’equilibrio indifferente è il caso limite tra
equilibrio stabile e instabile, per cui la forza esterna che rende indifferente l’equilibrio è quella critica. Valori inferiori della forza conducono infatti all’equilibrio stabile, mentre valori
superiori portano all’equilibrio instabile.
3. Si scrive il bilancio dei momenti e si introduce nell’equazione differenziale della linea elastica.
4. Si risolve l’equazione differenziale e ci si accorge che le condizioni al contorno sono soddisfatte
per un ben determinato valore (autovalore) della forza esterna, per il quale il corpo risulta
in equilibrio indifferente; esso è il carico critico.
Primo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e libera alla sommità,
dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.3). Si dia alla trave una configurazione
deformata spostando lateralmente l’estremo libero.
Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la
configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella
critica Fcr .
Si adotta il sistema di riferimento e la convenzione di positività dei momenti schematizzata in
figura 6.2; come si vede, la convenzione classica che siano positivi i momenti che tendono le fibre
inferiori si traduce nel fatto che all’estremo sinistro del concio di trave (cioè dal lato dell’origine) sia
6-3
Figura 6.2: Sistema di riferimento adottato e convenzione positiva per i momenti.
positivo il momento orario. Inoltre, per il sistema di riferimento scelto, che vede l’asse y orientato
nel verso opposto a quello usuale della Scienza delle Costruzioni, l’equazione della linea elastica è
y 00 =
M
,
EI
(1)
in cui M è il momento flettente, e al secondo membro compare il segno + anziché l’usuale segno
−.
Figura 6.3: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso dell’estremo superiore libero.
Dalla figura 6.3 si vede che M = Fcr (f − y(x)), quindi
y 00 =
ossia
Fcr (f − y)
EI
E I y 00 + Fcr y = Fcr f
che si scrive
y 00 +
Fcr
Fcr
y=
f
EI
EI
e, ponendo
α2 =
si ha
Fcr
,
EI
y 00 + α2 y = α2 f.
6-4
(2)
Tale equazione differenziale, essendo lineare, ha per soluzione la somma di un integrale particolare della completa, p.e. y = f , e dell’integrale generale dell’omogenea associata1 che è
y0 = C1 sin α x + C2 cos α x.
Perciò
y = C1 sin α x + C2 cos α x + f.
Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 e y 0 = 0 per x = 0 e y = f e y 00 = 0 per x = l.
Dalle prime due, relative all’estremo incastrato, si deduce che C1 = 0 e C2 = −f . Dall’altra si
ottiene
cos αl = 0
π
α=
2l
per cui
π 2 EI
Fcr =
.
4l2
Questa espressione è detta carico critico euleriano (per la trave considerata).
Notare che in questo esempio e nei successivi l’equazione si scrive sempre
y 00 + α2 y = g(x)
in cui g(x) è spesso costante (come in questo caso). Si nota che il segno del termine in y è sempre
positivo, e questo vale come controllo.2
Secondo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incernierata al piede e appoggiata ad
un carrello alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.4). Si dia alla
trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave (tanto per
fissare le idee sia f la freccia massima al centro).
Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la
configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella
critica Fcr .
Dalla figura 6.4 si vede che M = −Fcr y(x), quindi
y 00 = −
ossia
y 00 +
e, con la posizione (2) si ha
Fcr y
EI
Fcr
y=0
EI
y 00 + α2 y = 0.
Tale equazione differenziale ha per soluzione
y = C1 sin α x + C2 cos α x.
Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y = f per x = l/2.
Dalla prima si deduce che C1 = 0, dalla seconda che αl = π e dall’ultima, si ottiene
C2 cos α
l
= f,
2
1 l’equazione y 00 + α2 y = 0 si integra con la posizione y = ekαx che fornisce l’equazione caratteristica k 2 + 1 = 0
ossia k = ±i
2 In altri termini, si può far ricorso al principio fondamentale della matematica: If you get the wrong sign, change
it.
6-5
Figura 6.4: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso delle due estremità
appoggiate.
da cui
C2 = f.
Dalla seconda condizione al contorno si ricava il valore di α e, sostituendo nella (2),
Fcr =
π 2 EI
,
l2
che è il carico critico euleriano in questo caso.
Terzo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad un
carrello alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.5). Si dia alla trave
una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave.
Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la
configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella
critica Fcr .
Dalla figura 6.5 a sinistra, anche se tracciata a sentimento, si vede che esiste un punto di flesso
in B; ivi il momento delle forze interne è nullo, per cui deve essere nullo anche il momento delle
forze esterne, per cui la retta AB è la retta d’azione delle forze esterne, date dalla Fcr e dalla
reazione Q del carrello A. Sostituendo il carrello con la sua reazione, si ottiene lo schema indicato
nella figura 6.5 al centro.
Osservando la figura 6.5 a destra, in cui è indicato convenzionalmente il momento positivo, si
vede che
−M − Fcr y + Q(l − x) = 0
ossia
M = −Fcr y + Q(l − x).
È chiaro che nel tratto AB prevele il primo addendo a secondo membro e nel tratto BC prevale
il secondo, ma l’equazione rimane la stessa.
6-6
Figura 6.5: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremità incastrata e
l’altra appoggiata.
Quindi, introducendo nella (1) si ha
y 00 = −
ovvero
y 00 +
Fcr
Q
y+
(l − x)
EI
EI
Q
Fcr
y=
(l − x)
EI
EI
e, con la solita posizione (2),
Q
(l − x).
Fcr
La soluzione è data dalla somma della soluzione generale dell’omogenea associata, ben nota, e
da un integrale particolare della completa; come integrale particolare si può scegliere ȳ = k(l − x),
con k costante da determinarsi, e non ci vuole molto per capire che è
y 00 + α2 y = α2
ȳ =
Q
(l − x).
Fcr
(Notare che questa è l’equazione della retta di azione del risultante tra Fcr e Q.)
La soluzione generale è perciò
y = C1 cos α x + C2 sin α x +
Q
(l − x).
Fcr
Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y 0 = 0 per x = 0. Dalla
prima si deduce che
Q
l,
C1 = −
Fcr
dalla seconda che
C1 cos α l + C2 sin α l = 0
(3)
e dalla terza che
αC2 =
6-7
Q
.
Fcr
Sostituendo i valori di C1 e C2 nella (3) si ha
−
1 Q
Q
l cos α l +
sin α l = 0
Fcr
α Fcr
cioè
αl cos α l − sin α l = 0
e infine
αl = tan αl
che si risolve per via numerica o grafica e la cui soluzione più piccola, a parte quella banale α = 0,
è αl = 4.493.
Sostituendo nell’espressione di α2 si ha:
Fcr =
4.4932 EI
l2
e, volendo, per uniformità con i casi precedenti, far comparire al numeratore il π 2 , si ottiene
Fcr =
4.4932 π 2 EI
π 2 EI
=
π 2 l2
l2 π 2 /4.4932
per cui il coefficiente di l che compare al denominatore è π/4.493 = 0.699
Questo esempio è stato introdotto al solo scopo di evidenziare che nel caso della trave appoggiataappoggiata (secondo esempio) i carrelli non reagiscono, e ciò si vede per il fatto che la retta che
congiunge i due punti di flesso è verticale (passa per i due appoggi) anziché inclinata.
Si noti tuttavia che questa trattazione non permette di trovare il valore della reazione del
carrello nel caso qui esposto.
Quarto esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad un
doppio pendolo alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.6). Si dia
alla trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave.
Il doppio pendolo reagisce in generale con un momento M0 , qui raffigurato positivo, ma non
c’è una forza vincolare in quanto la congiungente dei due punti di flesso è verticale.
Il momento M all’ascissa x (vedi la figura 6.6, a destra) si ricava dall’equilibrio
−M − Fcr y + M0 = 0
e quindi vale
M = −Fcr y + M0
e, sostituendo nella (1)
y 00 = −
cioè
y 00 +
M0
Fcr
y+
EI
EI
Fcr
M0
y=
EI
EI
e ancora, con la solita posizione (2),
y 00 + α2 y = α2
M0
Fcr
La soluzione è data dalla somma della soluzione generale dell’omogenea associata, ben nota, e da
un integrale particolare della completa; come integrale particolare si può scegliere
ȳ =
M0
.
Fcr
6-8
Figura 6.6: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremità incastrata e
l’altra vincolata con doppio pendolo.
(Notare che questa è l’equazione della congiungente i due punti di flesso della deformata.)
La soluzione generale è perciò
y = C1 cos α x + C2 sin α x +
M0
.
Fcr
Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y 0 = 0 per x = 0. Dalla
prima si deduce che
M0
C1 = −
,
Fcr
dalla terza che
C2 = 0,
e dalla seconda che
M0
= 0.
Fcr
C1 cos α l +
Sostituendo i valori di C1 e C2 nella (3’) si ha
−
M0
M0
cos α l +
=0
Fcr
Fcr
cioè
cos α l = 1
e ancora
αl = 2π
e infine
α2 l =
4π 2
l2
Sostituendo nell’espressione di α2 si ha:
Fcr =
4π 2 EI
.
l2
6-9
(30 )
6.2.2
Metodo energetico
Quando il corpo si sposta dalla condizione di equilibrio si verifica una variazione, che di solito è un
aumento, dell’energia di deformazione elastica e una variazione, che di solito è una diminuzione,
dell’energia potenziale di posizione delle forze esterne.
L’equilibrio risulta stabile, instabile o indifferente secondo che l’energia totale è aumentata,
diminuita o invariata.
Infatti se il sistema corpo deformato + forze esterne viene spostato di poco dalla configurazione
di equilibrio (per esempio per l’urto accidentale di un corpo esterno) e nella nuova configurazione
possiede un’energia maggiore, tende a liberarsi di questa energia tornando alla posizione iniziale,
per cui in essa l’equilibrio è stabile; se invece possiede nella nuova configurazione un’energia minore
tende ad allontanarsi ancora di più dalla configurazione di equilibrio per cui questa risulta instabile.
Per bassi valori delle forze esterne, la diminuzione della loro energia di posizione non basta a
compensare l’aumento di energia interna, dovuta alla deformazione imposta, per cui l’equilibrio
risulta stabile; Per alti valori delle forze esterne la diminuzione della loro energia potenziale è
più che sufficiente a compensare l’aumento dell’energia di deformazione, per cui l’energia totale
del sistema diminuisce e quindi vi è un “surplus” di energia liberata che può servire a deformare
ulteriormente il corpo, allontanandolo cosı̀ dall’equilibrio, che perciò risulta instabile.
Il caso dell’equilibrio indifferente è quello che costituisce il confine tra i due casi, per cui la
forza esterna corrispondente è proprio quella critica.
Riprendendo l’esempio della trave a mensola soggetta a carico di punta, si ha che l’energia
elastica dU immagazzinata in un concio di lunghezza dx, uguale al lavoro delle forze interne, vale
dU =
quindi, per l’intera trave,
1
U=
2
1
M
M
dx,
2 EI
Z
l
0
M2
dx.
EI
Questo integrale può essere riscritto in due modi. Ricordando che
M
= y 00
EI
esso vale
U=
1
EI
2
Z
l
(y 00 )2 dx
(1)
0
mentre, scrivendo
M = F (f − y)
vale
1 F2
U=
2 EI
Z
l
(f − y)2 dx.
(2)
0
Il lavoro della forza esterna F è dato dal prodotto della forza per dallo spostamento del suo
punto di applicazione nella direzione della forza. Lo spostamento detto è dovuto alla rotazione del
concio, che rimane non più verticale pur rimanendo della stessa lunghezza (essa è minore della
lunghezza a riposo dell’aliquota dovuta alla compressione, che è identica sia che la trave rimanga
verticale sia che si deformi). Per un concio dx (fig. 6.7), inclinato di θ rispetto alla condizione
indeformata (verticale), la variazione di altezza vale
dδ = (1 − cos θ)dx =
6-10
(y 0 )2
θ2
dx =
dx
2
2
e, per tutta la trave
Z
l
(y 0 )2
dx.
2
δ=
0
Figura 6.7: Rotazione di un concio nel pilastro soggetto a carico di punta
Il lavoro della forza esterna è perciò
Z
l
W =F
0
(y 0 )2
dx.
2
Se i due lavori sono uguali significa che siamo in condizioni di equilibrio indifferente e quindi
la forza esterna è quella critica.
Perciò, se l’energia interna è scritta nella forma (1) si ha
Fcr
Rl
EI 0 (y 00 )2 dx
= Rl
(y 0 )2 dx
0
(3)
ovvero, se l’energia interna è scritta nella forma (2)
Rl
Fcr = EI R l
0
(y 0 )2 dx
(f − y)2 dx
0
(4)
Queste formule sono esatte solo se la y(x) è la deformata effettiva. Tuttavia si dimostra che il
funzionale Fcr è minimo quando la y(x) è quella effettiva; per cui se si da ad y(x) una forma simile
a quella effettiva si ottiene una Fcr senz’altro maggiore di quella vera ma non molto discosta da
essa.
L’esperienza dimostra che in questo caso la (4) è più accurata della (3).
Per esempio, la trave-colonna incastrata alla base e libera in sommità, già vista nell’applicazione
del metodo statico, ha una deformata sinusoidale ossia
y = f (1 − cos
πx
)
2l
Sostituendo questa espressione nelle (3) e (4) si ottiene in entrambi i casi
Fcr =
π 2 EI
4l2
che è ovviamente lo stesso risultato ottenuto col metodo statico. Se invece si ipotizza una deformata
parabolica y = cx2 , che all’estremo libero diventa f = cl2 da cui si ricava c, per cui in definitiva
6-11
y=
f 2
x
l2
si ottiene, sostituendo nella (3)
EI
l2
con un errore del 21.6 per cento e, sostituendo nella (4)
Fcr = 3
Fcr = 2.5
EI
l2
con un errore di 1.32 per cento.
Se si ipotizza una deformata di terzo grado
y=
f
(3lx2 − x3 )
2l3
e si sostituisce nella (3) si ha
EI
l2
con un errore di 1.32 per cento. Per i tre casi precedenti si veda Belluzzi, vol 4 pag 36-37, mentre
il caso della deformata cubica sostituita nella (4) viene lasciata allo studioso lettore3 .
Fcr = 2.5
3 la
soluzione è
Fcr = 2.470588
con un errore di 0.129 per cento
6-12
EI
l2
6.3 Applicazioni
6.3.1
Travi snelle caricate di punta
Se la trave è sufficientemente lunga e sottile (questa nozione sarà chiarita nel paragrafo seguente)
il carico critico è
π2 E I
Fcr = C 2
l
dove I è il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse lungo il quale si prevede avvenga
l’inflessione (tranne casi particolari di vincolo si prende il valore minimo di I).
con

1/4 per trave incastrata a un estremo e libera all’altro


1
per trave incernierata - incernierata
C=
4
per trave incastrata - incastrata


≈ 2 per trave incernierata - incastrata
In caso di incertezza è bene prendere C il più piccolo possibile, e comunque di non salire al
disopra di C = 1.
In alternativa all’approccio precedente si può definire una lunghezza libera di inflessione l0 ,
cioè la distanza tra due punti di flesso della deformata, la quale, nella notazione precedente è
√
l0 = l/ C
e riscrivere la tabella precedente in questo modo:
Fcr =

2l



l
l0 = l/2



 l/2
≈ 0.7l
per
per
per
per
per
trave
trave
trave
trave
trave
π2 E I
l02
incastrata a un estremo e libera all’altro
incernierata - incernierata
incastrata da un lato e con doppio pendolo dall’altro
incastrata - incastrata
incernierata - incastrata.
Inoltre, se la trave è incernierata ad entrambe le estremità ed ha n appoggi intermedi equidistanti,
la lunghezza libera è l0 = l/n.
Secondo L. F. Donato, Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Cursi, Pisa, quinta edizione, 1968,
nei casi di trave incastrata - incernierata e incastrata - incastrata è opportuno non fidarsi troppo
della saldezza dei vincoli e prendere rispettivamente l0 = 0.8l (invece di l0 = 0.7l) e l0 = 0.75l
(invece di l0 = 0.5l).
6-13
6.3.2
Travi tozze caricate di punta
Per travi tozze, ossia travi che hanno bassa snellezza, il carico critico euleriano tende all’infinito;
tuttavia è evidente che in questo caso il collasso avviene per un meccanismo diverso, ossia per
schiacciamento, ossia per il raggiungimento del carico di rottura a compressione. Per travi tozze di
deve quindi porre un diverso valore della forza massima che provoca il collasso, ossia il prodotto
dell’area per la tensione di rottura a compressione σ−R .
Il valore della snellezza per i quali le due forze limite si eguagliano può essere presa come
confine fra travi tozze e snelle. Tale snellezza limite λlim si ottiene dall’equazione
π2 E A
= σ−R A
λ2lim
e quindi vale
s
λlim = π
E
σ−R
In realtà la schematizzazione adottata è troppo rozza, per cui nella zona di transizione fra
travi tozze e snelle il carico assiale limite è definito da formule empiriche, come la seguente di J.B.
Johnson:4
µ
¶
σy (l/ρ)2
Fcr = σy A 1 −
·
4 Cπ 2 E
con ρ raggio d’inerzia minimo della sezione. Questa formula è valida per valori di l/ρ minori di
s
2π 2 CE
(l/ρ)lim =
(5)
σy
Al di sopra si deve usare la formula di Eulero.
La parabola di Johnson può essere vista come un puro trucco matematico per interpolare tra l’iperbole
di Eulero e la tensione di snervamento. Si ponga:
l2
l02
=
≡Λ
Cπ 2 Eρ2
π 2 Eρ2
in modo da poter scrivere
Fcr
1
= ,
A
Λ
che, nel piano σ-Λ rappresenta una iperbole, e si trovi una retta tangente a tale iperbole e che passi per
il punto (0, σy ). Chiamando, per semplificare, x e y le coordinate, la retta è della forma
σcr =
y = σy − ax
con a da determinare, e la richiesta è che l’intersezione tra retta e iperbole sia un punto doppio, cioè che
sia nullo il discriminante dell’equazione
1
σy − ax = ,
x
che si riscrive
ax2 − σy x + 1 = 0
e il suo discriminante è
σy2 − 4a = 0,
da cui
a=
4 risalente
σy2
,
4
all’inizio del XX secolo.
6-14
σy2
Λ,
4
e, tornando alle unità fisiche, si ritrova l’equazione della parabola di Johnson.
La stessa parabola si ritrova, in base a considerazioni più fisiche, considerando che, a valori vicini
allo snervamento, la sezione, compressa e inflessa, comincia a snervarsi in corrispondenza delle fibre più
compresse, in modo che l’ulteriore deformazione avviene, nel piano σ-² secondo una direzione più vicina
all’orizzontale (il cosiddetto modulo tangente), per cui il punto rappresentativo sul piano σ-λ risulta più
basso di quanto previsto dalla iperbole di Eulero. Rendendo quantitative queste considerazioni si arriva
alla parabola di Johnson o anche, in base alle ipotesi concretamente fatte, ad altre curve che hanno tutte
lo stesso andamento qualitativo.5
σcr = σy −
Tanto per fissare le idee, vecchie norme (DIN 1050, edizione 1943) consideravano la tensione
limite pari a 235 MPa per acciaio ordinario (Fe 360) se la snellezza era minore di 60, e uguale
a quella di Eulero (σcr /MPa = (2.03 × 106 /λ2 )) per λ ≥ 100, mentre interpolavano linearmente
tra i due casi, con la formula σcr /MPa = 284 − 0.802λ per i casi intermedi. Ciò viene citato per
affermare che per snellezze minore di 50 conviene non tener conto in prima approssimazione della
instabilità.
6.3.3
Metodo omega
Per spiegare il metodo omega si può, con l’aiuto della fig. 6.8, definire il grado di sicurezza per
travi tozze e per travi snelle.
Per travi tozze sarà
O1 B1
s=
O1 P1
che corrisponde alla ben nota
σ−R
N/A
s=
in cui N è lo sforzo normale e A l’area della sezione resistente; per travi snelle, invece
s=
O2 B2
O2 P2
5 Un approccio diverso, desunto dagli appunti di Strutture Off-Shore, dalle lezioni di Antonio Campanile, prevede
che nell’asta vi siano delle tensioni residue di compressione, tali da provocare l’inizio dello snervamento ben prima
che la tensione nominale raggiunga la σy . Se infatti è presente una tensione di compressione residua pari a σr , la
plasicizzazione inizia quando la tensione nominale raggiunge quella che è chiamata la tensione di proporzionalità
strutturale
σps = σy − σr .
Da questo punto in poi la derivata della curva σ-² è minore di E ed è data dal cosiddetto modulo tangente Ets ,
dato sperimentalmente dalla formula di Oostenfeld-Bleich:
σs (σy − σs )
Ets
=
,
E
σps (σy − σps )
in cui σs = P/A. Corrispondentemente, nella formula del carico critico, occorre sostituire la E con la Ets , e la
formula diventa, scritta in termini di tensione
σcr
1 σs (σy − σs )
=
.
σy
Λ σps (σy − σps )
Ponendo in essa σs = σcr si ottiene un’equazione di primo grado in σcr che, risolta, porge
σcr
σps
=1−
σy
σy
µ
1−
σps
σy
¶
Λ,
che, per σps /σy = 1/2 restituisce la formula di Johnson (che, nel piano σcr -Λ è rappresentata da una retta) e, per
σps /σy = 1 restituisce la retta orizzontale passante per σy . Che poi 1/2 e 1 siano effettivamente i valori estremi per
σps /σy è chiaro dal fatto che σps non può superare σy , valore limite per tutte le tensioni, e che al di sotto del valore
1/2 la retta che rappresenta la σcr /σy non interseca più l’iperbole di Eulero, ma ne rimane sempre al di sotto.
6-15
Figura 6.8: Definizione del grado di sicurezza per travi tozze e travi snelle.
ossia
Fcr
π 2 EAρ2 /l02
π2 E
=
= 2
N
N
λ (N/A)
Si adottano ora due artifici semplicissimi, ma di non evidente utilità, e perciò difficili da
memorizzare, ossia si moltiplica numeratore e denominatore per σ−R , ottenendosi
s=
s=
σ−R
π2 E
· 2
N/A λ σ−R
e poi si indica la seconda delle due frazioni a secondo membro con la notazione 1/ω, per cui si ha
σ−R
s=
.
ωN/A
Il significato di questa espressione è che, nel caso più generale di carico di punta si scrive la
stessa espressione adottata nel caso di travi tozze, ma moltiplicando lo sforzo normale per un
coefficiente maggiorativo ω, che è funzione della snellezza e che viene posto uguale ad 1 per travi
tozze.
Naturalmente conviene riordinare la precedente espressione scrivendo
ωN
σ−R
=
= σamm
A
s
in cui si ritrova la classica formula di verifica per lo sforzo normale, in cui però lo sforzo effettivo
agente N deve essere moltiplicato per il coefficiente maggiorativo ω.
Poiché l’andamento della curva limite è più complesso di quanto mostrato in fig. 6.8, i valori
di ω si prendono da tabelle della normativa.
Ribadendo sempre che l’unica normativa giuridicamente valida è data dalla sua ultima edizione,
riporto un estratto da due tabelle, uno dal Santarella, Manuale del Cemento Armato (gli stessi dati
stanno sul Colombo. Manuale dell’Ingegnere, 80.a edizione), e l’altro dal Manuale dell’Ingegnere
Meccanico, solo per dare un’idea degli ordini di grandezza. La prima, per pilastri in C.A., fornisce:
λ
≤ 50
60
70
80
ω
1.00
1.04
1.08
1.24
λ
90
100
110
120
6-16
ω
1.42
1.62
1.91
2.28
La seconda è relative ad aste di grosso spessore (t ≥ 40 mm), per acciaio Fe 510:
λ
10
20
30
40
50
60
ω
1.00
1.04
1.16
1.29
1.45
1.64
λ
70
80
90
100
110
120
ω
1.86
2.11
2.38
2.68
3.01
3.38
λ
130
140
150
160
170
180
ω
3.78
4.22
4.70
5.21
5.76
6.34
λ
190
200
210
220
230
240
ω
6.95
7.59
8.27
8.97
9.74
10.56
Riporto qui di seguito in nota il testo di questo paragrafo nella precedente versione, sperando
che possa essere di qualche utilità.6
6 Nella
formula di Eulero si può mettere l’area A in evidenza scrivendo
Fcr = Cπ 2 EA
ρ2
l2
dove ρ è il raggio giratore ed l/ρ si chiama snellezza e si indica con λ. Dividendo per A si ottiene
Cπ 2 E
.
λ2
σcr =
Per la stabilità dell’equilibrio deve essere, tenuto conto di un coefficiente di sicurezza s,
σ=
N
σcr
≤
A
s
Moltiplicando per
ω=
risulta
ωσ = ω
σy
σcr
N
σy
≤
A
s
essendo σy /s = σamm , si può scrivere
N
≤ σamm
A
il che significa che, quando si teme l’instabilità il carico assiale di compressione N deve essere moltiplicato per un
coefficiente ω maggiore di 1. La verifica di sytabilità è identica a quella classica a sforzo normale, purché si tenga
conto di un carico assiale ‘maggiorato’.
Il valore di ω può essere ottenuto rielaborando le formule precedenti; per esempio la formula di Eulero fornisce
ω
ω=
λ2 σ y
Cπ 2 E
e la formula di Johnson
(6)
1
(60 )
λ2 σ y
1−
4Cπ 2 E
Il valore di λ per cui si passa dalla (6) alla (6’) è dato dalla (5). Però di solito il valore di ω in funzione di λ è dato
da tabelle della normativa.
ω=
6-17
6.3.4
Altre applicazioni
Cilindri compressi uniformemente dall’esterno
Si usa la seguente formula dovuta a Von Mises, 1914:
"
³ t ´3 ³
1
2n2 − 1 − ν ´
2
n
−
1
+
pcr (n) = E
+
12(1 − ν 2 ) r
( πn rl )2 + 1
t/r
h³ ´2
i2
(n2 − 1) πn rl + 1
#
in cui n è il numero di lobi della deformata t è lo spessore r è il raggio ed l la lunghezza.
Se l è notevolmente maggiore di r si pone (formula di Southwell):
"
#
³ t ´3
1
t/r
2
pcr (n) = E
(n − 1) +
³ ´4
12(1 − ν 2 ) r
(n2 − 1) πn rl
Per entrambe queste formule occorre trovare per tentativi il valore di n che rende minimo pcr . Se
il tubo è di lunghezza molto grande si può usare l’approssimazione per L = ∞, cioè
pcr =
Et3
.
4(1 − ν 2 )r3
In questo caso è n = 2.
Cilindri compressi in senso assiale
Deformata a soffietto
1
Et
Et
σcr = p
×
= 0.605
2
r
r
3(1 − ν )
Lastre rettangolari appoggiate lungo il bordo
Se a è l’altezza della lastra (dimensione parallela alla forza instabilizzante) e b è la larghezza
(dimensione perpendicolare alla forza instabilizzante), la tensione critica è
a ´2 π 2 E ³ t 3 ´
a
nb 12 1 − ν 2 b3
I bordi della piastra instabilizzata rimangono fermi, mentre la parte centrale presenta n imbozzamenti, alternativamente verso l’interno e verso l’esterno. Il numero n deve essere determinato
per tentativi con la condizione di prendere il valore di n che rende minimo σcr . Come valore di
orientamento si prende n circa uguale alla parte intera di a/b.
σcr =
³ nb
+
Tubi cilindrici di raggio r e spessore t soggetti a torsione
(Mt )cr = E
√
√
π 2
Et5/2 r1/2
2
t
rt
=
1.481
3(1 − ν 2 )3/4
(1 − ν 2 )3/4
Sfera di raggio r e spessore t premuta dall’esterno
pcr =
2Et2
p
r2 3(1 − ν 2 )
6-18
7. Plasticità
Deformazioni plastiche sono quelle che permangono anche dopo che è stata rimossa la forza che le
ha generate.
Il comportamento plastico è evidente e.g. nella prova di trazione di molti materiali metallici;
se la tensione supera un certo valore di soglia (snervamento) allo scarico rimane un allungamento
residuo.
I materiali che presentano un comportamento plastico più o meno accentuato sono detti materiali duttili; quelli che si rompono prima di subire apprezzabili deformazioni plastiche sono detti
materiali fragili.
7.1 Fenomenologia della plasticità
Nella prova di trazione di materiali duttili appare chiara la zona delle forte deformazioni (cammino
OAR della fig. 7.1)
Figura 7.1: Fenomenologia della plasticità
Se il provino viene scaricato si ha un parziale recupero, ma la maggior parte della deformazione
è permanente (o irreversibile che dir si voglia).
La fase di scarico (AB) è sostanzialmente rettilinea e la sua pendenza è praticamente uguale
a quella del tratto elastico iniziale (è alquanto minore solo per altissime deformazioni, quando si
è già avuto un sostanziale danneggiamento del materiale).
Se si ricarica il provino deformato plasticamente e scaricato esso ripercorre il cammino elastico
dello scarico e poi riprende la curva plastica, quasi come se la prova non fosse stata interrotta
(BA’R’).
Se invece dopo lo scarico il provino viene assoggettato ad un carico di verso opposto (cioè di
compressione, se la prima sollecitazione era di trazione), esso segue ancora un cammino elastico
(BC’) sul prolungamento della retta di scarico, e poi devia (C’D’) plasticizzandosi in senso opposto
7-1
ma ad un valore della tensione minore di quello di snervamento in compressione del materiale
vergine (C’ invece di C). Questa ‘anticipazione’ dello snervamento va sotto il nome di effetto
Bauschinger.1
Lo stesso fenomeno di riscontra in senso opposto, se si inverte ancora il carico (D’E’). Al limite,
il materiale può percorrere il ciclo plastico ABD’E’A). Disgraziatamente esso, se percorso più e
pi‘v̆olte, non rimane stazionario, ma si deforma d iventando più “verticale” (incrudimento ciclico) o
più “orizzontale” (addolcimento ciclico). Questa fenomenologia si incontra nella fatica oligociclica.
7.2 Cause della plasticità
La plasticità è dovuta alla deformazione permanente del reticolo cristallino; per spiegarla si deve
perciò abbandonare la descrizione continua del materiale.
I metalli sono formati da un reticolo di ioni circondati da un gas di elettroni di conduzione. Gli
ioni sono di solito sistemati in un reticolo a massimo impaccamento, ossia cubico a facce centrate
o esagonale compatto; talvolta è presente il reticolo cubico a corpo centrato.
Nella deformazione permanente si può supporre che i piani atomici slittino l’uno rispetto
all’altro. Questo comunque è possibile solo per i piani a massima densità di atomi.
Una deformazione permanente è anche irreversibile, quindi si ha aumento dell’entropia del
metallo o dell’ambiente o di entrambi.
La forza necessaria per spostare un piano di atomi rispetto a quello adiacente è notevole.
E’ chiaro infatti che si ha bisogno di deformazioni tangenziali dell’ordine di 1, per cui la forza
tangenziale deve essere dell’ordine di G.
Figura 7.2: Determinazione teorica della tensione di plasticizzazione in un cristallo perfetto.
Più precisamente si consideri la situazione di fig. 7.2, nella quale vi sono due file di atomi
contrapposti. Se la fila superiore viene spostata verso destra di una quantità x, nasce una tensione
tangenziale τ esprimibile secondo una legge periodica di periodo b, che in prima approssimazione
si può considerare sinusoidale
τ = τm sin(2πx/b).
Questa, per piccoli valori di x diventa
τ = τm (2πx/b).
Poiché vale anche la legge di Hooke
τ = Gγ = Gx/a
1 Johann Bauschinger, ingegnere (Norimberga, 1834 - Monaco di Baviera 1893), ricordato per un monumentale
Trattato di statica grafica (trad. it. 1871).
7-2
risulta
τm =
G b
,
2π a
che, per a = b diventa
G
2π
Il valore cosı̀ ottenuto è circa cento volte maggiore di quello effettivo, per cui occorre trovare una
diversa spiegazione, che è data dalla presenza di difetti nel reticolo cristallino.
I difetti reticolari possono essere puntiformi (vacanze, atomi interstiziali e atomi sostituzionali),
lineari (dislocazioni), superficiali (bordi dei grani) o tridimensionali (inclusioni).
Le vacanze sono siti del reticolo non occupati da un atomo; gli atomi interstiziali sono atomi
presenti in posizioni che dovrebbero essere vuote, mentre gli atomi sostituzionali sono atomi di
specie estranea che prendono il posto di quelli che costituiscono il reticolo.
Nei metalli vi è sempre un certo numero di vacanze, in equilibrio termodinamico; gli interstiziali
sono senz’altro meno numerosi e gli atomi sostituzionali sono importanti soprattutto nelle leghe.
Le dislocazioni sono date da una distorsione del reticolo che si può caratterizzare nel seguente
modo: si descriva un cammino su un piano cristallino in modo da avanzare in una direzione di un
certo numero di passi, poi si gira a destra ad angolo retto e si avanza di altrettanti passi, poi ancora
a destra eccetera, per quattro volte; se il cammino è molto piccolo (pochi passi reticolari per lato)
e si chiude su se stesso, vuol dire che nell’areola percorsa non vi sono dislocazioni; altrimenti la
quantità necessaria a chiudere il circuito dà il vettore di Burgers2 della dislocazione concatenata
col circuito.
La dislocazione all’interno del cristallo è sempre una linea chiusa e il vettore di Burgers è costante su di essa; essa può terminare solo sulla faccia del cristallo o su una superficie di separazione
tra cristalli contigui.
Se il vettore di Burgers è parallelo alla dislocazione si ha la dislocazione a vite; se è perpendicolare si ha la dislocazione a spigolo; in quest’ultimo caso il piano formato dalla dislocazione e dal
vettore di Burgers è detto piano di scorrimento in quanto su di esso il moto della dislocazione è
favorito.
La plasticità è in gran parte causata dal moto delle dislocazioni a spigolo sul proprio piano di
scorrimento.
In un cristallo le dislocazioni provocano una tensione perché i legami cristallini sono distorti;
lo stato tensionale attorno ad una dislocazione è identico a quello intorno ad una distorsione di
Volterra.
In particolare, attorno alle dislocazioni a spigolo, vi è un semispazio teso e un semispazio compresso; in quest’ultimo tendono ad addensarsi le vacanze, mentre nel primo tendono ad addensarsi
gli eventuali interstiziali; gli atomi sostituzionali possono andare in questo o quel semispazio a
seconda che il loro diametro sia maggiore o minore di quello degli atomi costituenti il reticolo;
in questo modo le dislocazioni a spigolo sono circondate da una nube di difetti puntuali che non
possono abbandonare a meno che non venga fornita energia dall’esterno.
Se le forze esterne sono inferiori ad un certo valore le dislocazioni non si muovono e quindi si ha
comportamento elastico, al di sopra di un certo valore le dislocazioni diventano libere di muoversi,
e ciò spiega il fenomeno dello snervamento.
Al crescere della deformazione il numero di dislocazioni aumenta per l’azione delle sorgenti di
dislocazioni, la più celebre delle quali è quella di Frank-Read (fig. 7.3).
Le dislocazioni generate da una sorgente di Frank-Read si muovono lungo lo stesso piano di
scorrimento e terminano la loro corsa lungo un ostacolo che tipicamente è il bordo del grano,
L’affollarsi delle dislocazioni molto vicine tra loro genera una forza di repulsione che ostacola
l’ulteriore moto (fenomeno dell’incrudimento).
τm =
2 Johannes Martinus Burgers fisico olandese poi trasferitosi negli USA (n. Arnhem 1895, m. 1981). Ha svolto
ricerche di aerodinamica, di reologia e di fisica dei solidi.
7-3
Figura 7.3: Sorgente di Frank-Read
La stessa repulsione, in caso di cambiamento di segno dello sforzo, provoca un moto anticipato
delle dislocazioni e quindi uno snervamento ad una tensione più bassa in valore assoluto (effetto
Bauschinger).
7.3 Teorie matematiche della plasticità
La deformazione plastica dipende non solo dal valore degli sforzi attuali, ma anche dal cammino
percorso; ciò rende formidabilmente difficile una teoria matematica della plasticità. Le trattazioni
possono essere divise in due classi: Teorie di flusso che mettono in relazione lo sforzo con la
velocità di deformazione e teorie deformative che mettono in relazione la deformazione con la
tensione; queste ultime ovviamente possono funzionare solo se si ipotizza un particolare cammino,
per esempio che tutte le componenti della tensione si incrementano proporzionalmente.
Tutte le teorie della plasticità si basano sui seguenti postulati:
1. la parte sferica della deformazione plastica è nulla, quindi la deformazione plastica avviene
senza variazione di volume;
2. la deformazione (o l’incremento della deformazione, a seconda della teoria usata) dipende
solo dalla parte deviatorica dello sforzo;
3. gli assi principali della tensione e della deformazione plastica sono coincidenti (questo fatto
fu scoperto da de Saint Venant);
4. la deformazione plastica è irreversibile;
5. lo scarico avviene elasticamente.
Teoria di Levy-von Mises
Si basa sul postulato che le deformazioni plastiche sono trascurabili e che il materiale non
subisce incrudimento (materiale rigido-plastico).
Teoria di Prandtl-Reuss
Si basa sul postulato che il materiale è perfettamente elastico fino allo snervamento e non
subisce incrudimento (materiale elastico-perfettamente plastico).
7-4
Teorie deformative
Tra esse cito solo quella di Hencky, secondo la quale il deviatore degli sforzi è proporzionale al
deviatore delle deformazioni plastiche.
7.4 Tensioni residue
Trave rettangolare inflessa
Il classico esempio della trave rettangolare inflessa viene qui svolto con riferimento ad un materiale
con comportamento simmetrico a trazione e a compressione. Per la trattazione più generale si veda
il Timoshenko.
Nella deformazione plastica delle travi si fanno alcune assunzioni semplificative, cioè che le sezioni inizialmente piane rimangano piane e che non ci siano sforzi secondari dovuti alla congruenza
tra parte plasticizzata e parte elastica della trave.
Nel caso qui studiato si suppone che la sollecitazione esterna sia di puro momento flettente,
che corrisponde ad una deformazione dell’asse della trave ad arco di circonferenza.
Si suppone assegnata una relazione sforzo-deformazione σ = σ(²), simmetrica come si è detto,
e che il carico iniziale sia applicato in maniera monotona.
Si ragioni in termini di deformazione iniziale imposta, con una graduale crescita della curvatura
dell’asse della trave. Se la trave, inizialmente rettilinea, è deformata con un raggio di curvatura
Ri la deformazione è
y
²= .
R
Facendo intervenire la σ = σ(²) si trova la relazione σ = σ(²(y)) = σ(y) tra tensione e dimensione
trasversale della trave. Se la deformazione massima ²max = h/R > ²is = σy /E, dove h è la
semialtezza della trave e ²is è la deformazione che corrisponde all’inizio dello snervamento, una
parte della trave, cioè quella con |y| > hy , essendo hy la distanza dall’asse neutro della fibra in
snervamento, è plasticizzata.
In ogni caso il momento flettente, se b è la larghezza, è
Z h
M=
σbydy.
(1)
−h
Nel caso puramente elastico σ = E² = Ey/Ri , per cui
Z h
Ey
M=
bydy
−h Ri
cioè
EI
.
(2)
Ri
Nel caso plastico conviene elaborare la (1) sostituendo alla variabile muta y la ². Si trova allora
Z h/Ri
Z h/Ri
2
M=
σb · ²Ri · Ri d² = bRi
σ²d²
M=
−h/Ri
−h/Ri
che formalmente può essere posta in una forma identica alla (2), ossia
M=
con la posizione
E Ri =
3R3
2h3
E Ri I
.
Ri
Z
(20 )
h/Rpl
σ²d²
−h/Rpl
7-5
Non è difficile vedere che vale ERi ≤ E, valendo il segno di uguaglianza solo nel caso elastico.
Se si scarica la trave applicando un momento −M il comportamento allo scarico è elastico
(a meno che il momento non sia molto alto, nel qual caso interviene l’effetto Bauschinger). La
curvatura residua è data dalla somma di quella iniziale e quella della fase di scarico elastico
µ
¶
1
M
M
1
1
1
=
−
=
−
Rf
Ri
EI
I
E Ri
E
Per le tensioni conviene procedere per via grafica (fig. 7.4).
Figura 7.4: Determinazione grafica delle tensioni residue in una trave inflessa ad asse verticale
Lo studio della figura suggerisce la regola pratica che, nella fibra più sollecitata la tensione
residua è di segno opposto a quella della tensione iniziale che ne ha provocato lo snervamento.
Si noti che le tensioni residue non hanno in generale alcuna relazione con le deformazioni
residue, in quanto in generale le une e le altre dipendono dal percorso di carico e scarico.
7-6
8. Scorrimento viscoso
8.1 Definizioni
I materiali esposti ad alte temperature presentano deformazioni crescenti nel tempo anche se la tensione rimane costante. Questo fenomeno è detto scorrimento viscoso o creep. Per alta temperatura
si intende una temperatura
1
T > Tf
3
dove Tf è la temperatura di fusione; queste temperature sono temperature assolute e vanno espresse
in gradi Kelvin.
Reciprocamente, alle stesse temperature, se un elemento di macchina è soggetto ad una deformazione costante (si pensi al gambo di un bullone) la sua tensione diminuisce col tempo. Questo fenomeno si chiama rilassamento; nel caso del bullone esso conduce dopo un certo tempo
all’allentamento.
8.2 Prove di creep
Le prove di creep vengono fatte ponendo il provino, in una fornace a temperatura controllata e tirato da un peso. L’allungamento viene misurato con un comparatore. Dalla forza e dall’allungamento,
tenendo conto della sezione e dell’allungamento, si calcolano la tensione e la deformazione.
Le proporzioni del provino sono identiche a quelle delle prova di trazione, ma la sezione è più
piccola; è prescritto comunque dalla UNI 5111 che la sezione del provino circolare non sia minore
di 4 mm2 e che la sezione del provino rettangolare abbia rapporto tra i lati non più di 4:1 e con il
lato minore non più piccolo di 2 mm.
La prova può essere fatta a carico costante o a tensione (vera)1 costante; in quest’ultimo caso
il carico deve diminuire man mano che la sezione del provino diminuisce (come al solito nel caso
di grandi deformazioni si può ammettere che il suo volume resti costante).
La prova viene riassunta in un grafico della deformazione in funzione del tempo (fig. 8.1).
Nel grafico si distinguono tre fasi: inizialmente il creep primario (tratto AB), in cui la velocità
di deformazione diminuisce col tempo; poi il creep secondario (tratto BC), in cui la velocità di
deformazione è costante; poi il creep terziario (tratto CD), in cui la velocità di deformazione
aumenta fino a rottura. Nelle prove a tensione costante non compare il creep terziario, che quindi
è un artefatto dovuto alla strizione del provino in fase di rottura. Di fatto, uno dei modi per
misurare la strizione in fase di creep è quello di studiare la velocità di deformazione per creep
terziario. Nel creep peraltro la strizione non sempre si verifica, ma spesso compaiono delle cavità
interne che comunque riducono la sezione resistente effettiva.
Per ovvie ragioni di spazio si riportano sullo stesso grafico più curve relative alla stessa temperatura e a carichi (o tensioni) diverse (fig. 8.2); modi ancora più sintetici di riportare i dati sono
quelli delle figure 8.3 e 8.4.
La velocità di deformazione ²̇ = d²/dt è minima nella fase del creep secondario ed è ivi correlata
con la tensione dalla legge di Bayley:
²̇ = Bσ n
dove B ed n sono caratteristiche del materiale.
1 Si ricorda che la tensione vera si ottiene dividendo il carico per la sezione effettiva (nell’istante considerato)
mentre la tensione nominale, che di solito è la più usata, si ottiene dividendo il carico per la sezione iniziale.
8-1
Figura 8.1: Tipica curva di creep
Figura 8.2: Curve sperimentali di creep alla stessa temperatura e per diverse tensioni. Il materiale
qui studiato è il piombo a 17◦ C. Da Andrade, E. M. da C., 1914, “The Flow in Metals under
Large Constant Stresses Proc. Royal Soc., Series A, 90, 329-342
8-2
Figura 8.3: Velocità di deformazione stazionaria (ossia in fase di creep secondario) in funzione
della σ vera per un acciaio al carbonio usato per recipienti in pressione. Da Randall, P.N., 1957,
“Constant-Stress Creep Rupture Tests of a Killed Carbon Steel, Proc. of the Am. Soc. for Testing
and Materials, 57, 854-876.
Figura 8.4: Tempo di rottura in funzione della σ nominale per la lega resistente ad alte temperature
S-590. Da Dowling, 1993. Dati da Goldhoff, R. M., 1959, “Which Method for Extrapolating StressRupture Data?, Materials in Design Engineering, 49, 93-97.
8-3
Una caratteristica del fenomeno del creep è che esso in opera si produce in tempi lunghissimi
(anni o anche decine di anni), per cui le prove vengono condotte in tempi brevi rispetto al fenomeno
(settimane o mesi), ma pur sempre “lunghe dal punto di vista tecnico, e poi i risultati vengono
estrapolati.
Per questa ragione si hanno due tipi di prove: se si è interessati alla resistenza a rottura per
creep si effettuano prove a tensione molto alta, vicina a quella di rottura, per poter rompere il
provino in tempi ragionevoli; se invece si è interessati all’andamento delle deformazioni si effettuano
prove a tensione più bassa in modo da avere uno sviluppo più graduale del fenomeno.
Le prime sono dette prove di rottura a caldo, le seconde, prove di deformazione a caldo. Esse
permettono la determinazione dei seguenti parametri caratteristici dei materiali:
• tensione di rottura per scorrimento
σR/h/T
in cui h è la durata in ore e T è la temperatura di prova. Esempio: la tensione di rottura a
500 gradi centigradi dopo 100000 ore è indicata con σR/100000/500 .
• tensione limite di scorrimento
σA/h/T
in cui A è l’allungamento percentuale che si raggiunge dopo h ore e T è la temperatura di
prova. Esempio: la tensione che produce l’allungamento dello 0.2 per cento dopo 10000 ore
è indicata con σ0.2/10000/500 .
Si tenga ben presente che i tempi indicati non corrispondono alla durata della prova (infatti
10000 ore sono 14 mesi e 100000 ore sono 11 anni) ma ad una estrapolazione di risultati di prove
molto più brevi.
Per effettuare tali estrapolazioni, come anche nella pratica progettuale per ricavare i dati di
resistenza e allungamento per temperature diverse da quelle tabellate, si effettuano correlazioni di
dati con parametri empirici tra cui quello di Larson-Miller.
8.3 Meccanismi del creep
I meccanismi del creep sono vari a seconda dei materiali e delle condizioni di tensione e di temperatura. Grossolanamente si possono tutti considerare causati da moti di atomi, che provocano un
riassestamento del reticolo cristallino. La dipendenza del fenomeno dalla temperatura è data da
una legge ’tipo Arrhenius’, cioè da
¡ E ¢
²̇ = A exp −
(1)
RT
in cui A è un parametro la cui dipendenza funzionale varia a seconda del meccanismo, E è l’energia
di attivazione e R è la costante dei gas. Si interpreta questa dipendenza dicendo che gli atomi si
trovano in posizioni ben definite e che per far saltare un atomo da una posizione all’altra occorre
fornirgli dell’energia, cioè appunto l’energia di attivazione.
Per un solido amorfo si ha il creep viscoso, analogo alla viscosità dei liquidi, e la velocità di
deformazione è data da
¡ E ¢
²̇ = A1 σ exp −
RT
Per i solidi cristallini si hanno due meccanismi diversi: il flusso diffusionale e il creep da
dislocazioni. Il primo, che si presenta ad alte temperature e tensioni relativamente basse, è legato
al moto delle vacanze; il secondo, che si presenta a tensioni alte, è legato al moto delle dislocazioni.
La prevalenza dell’uno o dell’altro meccanismo è illustrato in coordinate adimensionali in grafici
simili a quello di fig. 8.5.
8-4
Figura 8.5: Mappa di deformazione per l’argento puro con dimensione del grano 32µm. Da Dowling,
1993. Adattato da Ashby, M.F., 1972,“A First Report on Deformation Mechanism Maps”, Acta
Metallurgica, 20, 887-897.
Nel flusso diffusionale, se le vacanze si muovono all’interno del reticolo si ha il creep di NabarroHerring
¡ Ev ¢
A2 σ
²̇ = 2 exp −
d T
RT
se le vacanze si muovono lungo il bordo dei grani si ha il creep di Coble
¡ Eb ¢
A02 σ
exp −
.
3
d T
RT
In queste espressioni d è il diametro medio dei grani.
Il moto delle dislocazioni può avvenire in due modi: moto di scivolamento (glide), ossia spostamento sul proprio piano di scorrimento, e moto di risalita (climb), ossia perdita o aggiunta di
una fila di atomi al semipiano soprannumerario.
Il moto di scivolamento presenta un’energia di attivazione assai bassa, per non dire nulla, è
determinato dalla sola tensione, purché sufficientemente alta, e conduce a deformazioni plastiche. Il
moto di risalita dà invece luogo al creep da dislocazioni, che si caratterizza per una forte dipendenza
dalla tensione
¡ E ¢
A0 σ n
²̇ = 2 exp −
.
T
RT
in cui n è dell’ordine di 5. Questo è il modo tecnicamente più importante e giustifica la legge di
Bayley, alla quale si riconduce per T costante.
²̇ =
8.4 Estrapolazione dei dati sperimentali
Vi sono due modi, in linea di principio, per estrapolare i dati sperimentali: o si estrapola a temperatura costante, prolungando le linee delle figg. 8.3 e 8.4 o si cerca una correlazione tra tempo
e temperatura, ossia i due fattori che influenzano il fenomeno.
8-5
Il primo modo è considerato inaffidabile, in quanto le linee di figg. 8.3 e 8.4 presentano cambi
di pendenza (ginocchi) se cambia il meccanismo di creep, quindi si procede sempre nel secondo
modo, con l’introduzione di opportuni parametri.
8.5 Parametro di Larson-Miller
Prendendo il logaritmo decimale delle (1) si ha
log ²̇ = log A − 0.43
E
RT
(2)
in cui 0.43 è il logaritmo decimale di e.
Dalla (2), considerando A costante ed E funzione solo della tensione, moltiplicando per T e
riordinando
E
T (C² − log ²̇) = 0.43
R
il primo membro è il parametro di Larson-Miller e il secondo è dipendente solo da σ e precisamente
decrescente con legge quasi lineare.
Un’altra relazione da tener presente è quella tra velocità media di deformazione (che tende a
regime alla velocità del creep secondario) e tempo di rottura. Infatti
²̇ =
²R
tR
Perciò
tR ²̇ = ²R = K
in cui tR è il tempo a rottura e K è una costante. Passando ai logaritmi:
log tR = log²R − log ²̇ ≈ − log ²̇
(3)
in cui l’ultimo passaggio si giustifica per la trascurabilità del termine omesso rispetto all’altro. Il
parametro di Larson-Miller può essere quindi definito in funzione del tempo di rottura facendo
uso della (3)
0
PLM
= T (Ct + log tR ).
I valori di Ct e di C² sono dipendenti solo dal materiale; in particolare per materiali metallici
Ct = 20 e per acciai C² = 18.5
Valori del parametro di Larson-Miller in funzione della tensione sono dati in figg. 8.6 e 8.7.
8.6 Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso
Si distiguono due casi: se la struttura è isostatica (per esempio una struttura reticolare) non vi sono
differenze rispetto al calcolo statico, in quanto la distribuzione delle tensioni non è influenzata dalla
deformazione; si calcolano quindi le tensioni punto per punto e poi le deformazioni, che risultano
ovviamente variabili nel tempo. Una applicazione notevole si ha nel caso delle palette per turbine,
che possono essere considerate mensole incastrate.
Se la struttura è iperstatica occorre calcolare la distribuzione delle tensioni tenendo conto
della presenza del creep. Si applica in questo caso la legge di Bayley i cui coefficienti per fortuna
non dipendono dal tempo. Calcolata quindi la tensione punto per punto si calcolano le relative
deformazioni che sono variabili nel tempo.
8-6
Figura 8.6: Parametro di Larson-Miller per diversi metalli. Da Dowling, 1993. Adattato da Larson,
F.R. and Miller, J., 1952, “A Time-Temperature Relationship for Rupture and Creep Stresses,
Trans. of the Am. Soc. of Mechanical Engineers, 74, 765-771
Esempio: sia data la semplice struttura della figura 8.8, a sinistra. Si fa l’ipotesi cruciale che
la deformazione da scorrimento viscoso sia prevalente rispetto a quelle elastiche e plastiche, che
quindi si trascurano. L’asta 1 è soggetta ad una tensione σ1 , per la quale si allunga della quantità
Z
²1 = ²̇dt = Bσ1n t
Allo stesso modo le aste 2 si allungano di
²2 = Bσ2n t.
Per la congruenza deve essere (vedi fig. 8.8, a destra)
∆l2 = ∆l1 cos θ
(1)
l2 = l1 / cos θ.
(2)
inoltre (vedi la fig. 8.8, a destra)
Dividendo la (1) e la (2) (si suppone che le deformazioni rimangano comunque piccole) si ha
²2 = ²1 cos2 θ.
Applicando la (3) si ha
σ2n = σ1n cos θ
σ2 = σ1 (cos θ)2/n
facendo uso della relazione di equilibrio
8-7
(3)
Figura 8.7: Tensione di rottura per creep in funzione del parametro di Larson-Miller per diversi
metalli
8-8
Figura 8.8: Esempio di struttura iperstatica soggetta a creep (a sinistra) e relazione di congruenza
per l’abbassamento della sua cerniera (a destra).
σ1 A1 + σ2 A2 cos θ = Q
in cui A2 indica la somma delle aree delle aste 2, si ha
σ1 =
Q
A1 1 +
1
A2
2/n
A1 (cos θ)
.
Per confronto si studiano i casi elastico e plastico. Nel caso elastico
σ1 = E²1
σ2 = E²2
da cui, facendo intervenire la relazione di congruenza (3)
σ2 = σ1 cos2 θ.
sostituendo nell’equazione di equilibrio
σ1 =
Q
A1 1 +
1
A2
3
A1 (cos θ)
.
In questo caso l’asta 1 è chiamata in causa più fortemente che nel caso del creep. Osservando che
nel caso elastico l’asta più sollecitata è la 1, non è difficile capire che in essa si avrà per prima
lo snervamento. Immaginando un comportamento idealmente plastico (σ = σs sempre, dopo lo
snervamneto) si ha
σ1 = σs
e, applicando la relazione di equilibrio
Q = σs A1 + σ2 A2 cos θ
si ha
σ2 =
Q − σs A1
a2 cosθ
purché risulti
σ2 ≤ σs .
8-9
8.7 Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali
Altri parametri per l’estrapolazione dei dati sperimentali sono i seguenti:
8.7.1
Tempo compensato
Il tempo compensato2 viene introdotto nel seguente modo: Integrando la (1) a temperatura costante e
trascurando la costante di integrazione, cioè la deformazione dovuta alla fase primaria del creep, si ha
¡
² = At exp −
E ¢
RT
Poichè E dipende solo debolmente, o addirittura niente affatto, da σ, si può scrivere
² = A(σ)θ
con
³
´
E
(4)
RT
detta tempo compensato. Come si vede in fig. 8.9, esso permette di eliminare o quasi l’influenza della
temperatura, ma non della σ (infatti in fig. 8.9 le prove sono state fatte alla stessa tensione). Viceversa è
possibile sperimentare ad una temperatura elevata in tempi brevi estrapolando i risultati a temperature
molto più basse.
θ = t exp −
Figura 8.9: Deformazione totale per creep in funzione del tempo compensato per varie leghe di
alluminio provate a σ = 27.6 MPa a varie temperature. Da Orr, R. L., Sherby, O. D., and Dorn, J.
E., 1954, “Correlations of Rupture Data for Metals at Elevated Temperature, Trans. of. the Am.
Soc. for Metals, 46, 113-128.
8.7.2
Parametri di Dorn
Particolarizzando la (4) per
2 Proposto
t = tr si ha
µ
¶
E
θr = tr exp −
RT
da Zener e Holloman ma fatto proprio da Dorn
8-10
(5)
il cui secondo membro si chiama parametro di Dorn ed è funzione della tensione e del materiale. Prendendo il logaritmo
decimale della (5) si ha
log θr = log tr − 0.43
E
RT
(6)
e il primo membro prende il nome di parametro di Sherby-Dorn. Una forma semplificata della (6) è la seguente:
log θr = log tr −
C
T
(6)
²̇ invece
0
quello relativo alla rottura e PSD quello relativo alla
PSD
che prende il nome di formula di Fisher-Dorn. Le stesse formule possono essere espresse facendo comparire la
del tr . Per esempio, per il parametro di Sherby-Dorn, detto
velocità di deformazione, si ha
PSD = − log ²̇ − 0.43
0
PSD
= log tR − 0.43
E
RT
E
.
RT
La relazione tra i due è
0
PSD
= PSD + log ²R .
²R vale in genere 0.2 ÷ 0.6, per cui log ²R = −0.7 ÷ −0.2 e quindi risulta abbastanza piccolo rispetto a PSD , che è
0
dell’ordine di −20 ÷ −12, quindi in definitiva PSD
≈ PSD .
8.7.3
Parametro di Manson-Haferd
Viene definito, solo in funzione del tempo di rottura, con la posizione
0
PM
H =
T − Ta
log tR − log ta
dove Ta e log ta sono caratteristiche del materiale.
Per i tre parametri sopra definiti, relativi alla rottura, si trovano alcuni dati in tab. 8.1.
Tabella 8.1: Alcuni valori di parametri di correlazione del creep
8-11
Tabella 8.2: Valori di alcune caratteristiche meccaniche per diversi materiali metallici a varie
temperature. Da dati di diversi autori, riportati in Odquist, Mathematical Theory of Creep and
Creep Rupture, Oxford Univ. Press, 1966
8-12
Tabella 8.3: Tensioni (in ksi) che provocano un dato scorrimento (creep rate) ad una data
temperatura (in ◦ F. Da “Creep Data”, ASME e ASTM; basata su prove di 1000 ore.
8-13
9. Meccanica della frattura
Vi sono dei casi in cui strutture anche di grandi dimensioni cedono istantaneamente dividendosi
in due parti per propagazione istantanea di una frattura preesistente.
Questo tipo di cedimento si evidenziò quando si diffusero le costruzioni saldate in campo navale
(anni 20-30). vedi le figg. 9.1 e 9.2
Figura 9.1: Rottura di schianto della petroliera Schenechtady (ma secondo altri era una nave da
trasporto), causata da una frattura innescatasi in corrispondenza della giunzione con il corso di
cinta di una piastra irrigidente a dritta il ponte di coperta. Portland, Oregon, 16 gennaio 1942.
Da F. Manna, Storia della saldatura.
Figura 9.2: Nave da carico spaccatasi in due appena rientrata in bacino. Da F. Manna, Storia della
saldatura.
L’aspetto delle due superfici di frattura è netto, di tipo fragile, senza traccia di grandi deformazioni nè di strizione.
Il difetto da cui simili catastrofi traggono origine è un difetto di saldatura o anche causato
dall’azione di un carico ripetuto (fatica) e si presenta come una lesione capillare, al cui apice il
raggio di curvatura è piccolissimo.
Tale difetto non si presta ad essere trattato con la teoria dell’elasticità; infatti questa predice
all’apice della cricca una tensione infinita, che quindi dovrebbe produrre la frattura in ogni caso;
9-1
invece si constata che una cricca può rimanere dormiente anche sotto sollecitazioni non trascurabili
per poi attivarsi improvvisamente.
9.1 Trattazione energetica
La propagazione di una cricca richiede energia per la creazione delle nuove superfici di frattura;
l’energia richiesta è proporzionale all’area delle nuove superfici e dipende dal materiale.
Durante la propagazione c’è però una liberazione di energia dovuta al fatto che le zone immediatamente a monte e a valle della cricca sono scariche; nella propagazione man mano che la cricca
avanza cresce la zona scarica per cui l’energia che in essa era immagazzinata si rende disponibile.
Figura 9.3: Geometria della propagazione di una cricca in una lastra infinita
Si guardi la fig. 9.3: nell’esempio di una fessura passante in una lastra di spessore t, sottoposta ad una tensione σ, per effetto di un’allungamento da da ciascuna delle due parti si ha un
assorbimento di energia
dU = 4Rtda,
in cui R è l’energia necessaria per creare una superficie di area unitaria, per effetto della creazione
di 4 nuove superfici, mentre si ha una liberazione di energia che si può grossolanamente stimare
ipotizzando che la parte scaricata sia una corona circolare di raggio interno a e spessore da e che
in essa ci fosse solo sforzo normale, quindi
dW =
1 2
1
σ²2πtada =
σ 2πtada.
2
2E
Se dW < dU un aumento istantaneo da della lunghezza della cricca, causato per esempio da
un’azione esterna, sarebbe sfavorito energeticamente, per cui si richiuderebbe istantaneamente.
Se invece dW > dU la crescita della frattura sarebbe favorita, per cui proseguirebbe fino alla
divisione del pezzo in due parti.
Quest’ultima condizione si scrive:
σ 2 a > cost.
La costante che qui compare dipende solo dal materiale.
9-2
Per ragioni storiche questa espressione viene scritta prendendo la radice quadrata di entrambi
i membri e facendo comparire un fattore numerico
√
σ πa > KIc
La quantità a primo membro si chiama fattore di intensità degli sforzi KI relativa all’organo
considerato; essa si presenta, a parte fattori numerici, come il prodotto di una tensione caratteristica della situazione considerata per la radice di un fattore geometrico che è una dimensione
caratteristica del pezzo.
Per il calcolo del fattore di intensità degli sforzi in vari casi si veda la figura 9.5.
Il fattore KIc a secondo membro si chiama tenacità alla frattura ed è caratteristico del materiale. Varie tenacità alla frattura sono riportate in tabella.
Il pedice I che compare nel simbolo del fattore di intensità degli sforzi e nella tenacità alla
frattura si riferisce al primo modo di frattura. Si distinguono il modo primo (quello dell’esempio)
in cui la forza agente sull’apice della frattura è normale sia al piano della frattura che all’apice, il
modo secondo in cui la forza agente sull’apice della frattura è parallela al piano della frattura ma
normale all’apice e il modo terzo in cui la forza agente sull’apice della frattura è parallela all’apice.
Vedasi la figura 9.4.
Figura 9.4: Modi di frattura
9-3
Figura 9.5: Formule di KI e KII in alcuni casi tipici
9-4
√
√
Tabella 9.1: Resistenza a frattura. Si ricorda che 1 ksi = 6.895 MPa e 1 ksi in = 1.099 MPa m.
Materiale
Tensione di rottura Tenacitá alla√frattura
σu /ksi
KIc /ksi in
A517 Steel (AM)
120
170
AISI 4130 Steel (AM)
170
100
AISI 4340 Steel (VAR)
300
40
AISI 4340 Steel (VAR)
280
40
AISI 4340 Steel (VAR)
260
45
AISI 4340 Steel (VAR)
240
60
AISI 4340 Steel (VAR)
220
75
300 M Steel (VAR)
300
40
300 M Steel (VAR)
280
40
300 M Steel (VAR)
260
45
300 M Steel (VAR)
240
60
300 M Steel (VAR)
220
75
B6AC Steel (VAR)
240
40-90
N-11 Steel (VAR)
320
30
N-11 Steel (VAR)
300
40
N-11 Steel (VAR)
280
45
12Ni - 5 Cr - 3M0 Steel (VAR)
190
220
18Ni (300) Maraging Steel (VAR)
290
50
18Ni (250) Maraging Steel (VAR)
260
85
18Ni (200) Maraging Steel (VAR)
210
120
18Ni (180) Maraging Steel (VAR)
195
160
9 Ni - 4Co - 0.3C Steel (VAR)
260
60
Al 2014 - T651
70
23
Al 2024 - T851
65
23
Al 2219 - T851
66
33
Al 2618 - T651
64
32
Al 7001 - T75
90
25
Al 7075 - T651
83
26
Al 2014 - T651
78
29
Al 2014 - T651
83
24
9-5
Figura 9.6: Valori di KIc a temperatura ambiente per alcuni materiali strutturali. Da “Rapid
Inexpensive Tests for Determining Fracture Toughness, National Academy of Sciences, Washington
D.C., 1976.
9-6
Figura 9.7: Provino di flessione
9.2 Prove di tenacità alla frattura
9.2.1
Tipi e proporzioni dei provini
Visto che i risultati della prova sono poco influenzati dalla forma del provino, le norme raccomandano due tipi di provino, molto diversi tra loro:
1. provini a flessione (a tre e quattro punti)
2. provini C. T. (compact tension)
Entrambi i tipi sono caratterizzati da un intaglio molto acuto, che funge da innesco per una
cricca di fatica, che viene fatta crescere in condizioni controllate di carico. Quando la lunghezza
della cricca è quella desiderata il provino può essere sottoposto alla prova.
I provini a flessione (vedi figg. 9.7 e 9.9) sono grossolanamente simili ai provini per prova di
resilienza; ma hanno due caratteristiche geometriche che li rendono inconfondibili: innanzitutto
la presenza dell’intaglio acuto (mentre nei provini di resilienza è arrotondato) e soprattutto la
presenza della cricca di fatica la cui profondità, rispetto alla faccia intagliata del provino, è indicata
con a.
I provini C. T. (vedi fig. 9.8 e 9.9) hanno forma di parallelepipedo. Richiede meno materiale
del provino di flessione, ma è più costoso per la necessità di lavorare i fori con precisione.
9.2.2
Appoggi e afferraggi
Per ridurre al minimo l’attrito, le prove di flessione sono eseguite usando come appoggi rulli con
o senza assi fissi. I diametri dei rulli e del punzone centrale dovrebbero essere compresi tra W/2 e
W.
Per le prove a trazione si usa un afferraggio a forcella chiudibile con un perno passante. Tra
perno e fori occorre accoppiamento libero preciso.
9.2.3
Dimensioni dei provini
Il risultato della prova di KIc è considerato valido solo se la zona plastica all’apice della cricca
sia molto piccola e se le condizioni sono prossime a quelle di deformazione piana. La mancanza di
9-7
tale condizione è denunciata dalla configurazione obliqua delle superfici di frattura; se però queste
si presentano ben piane eperpendicolari al carico, non è detto che la condizione di deformazione
piana sia soddisfatta.
Vari autori hanno cercato una condizione sufficiente per la validità della prova. I risultati
di queste ricerche sono stati condensati nelle prescrizioni delle norme ASTM E399 e BS 5447.
Entrambe prescrivono che la lunghezza della cricca deve essere
µ
¶2
KIc
a ≥ 2.5
σs
affinché vicino al vertice della cricca lo stato tensionale sia sufficientemente prossimo a quello che
si avrebbe in un materiale a comportamento lineare elestico. D’altronde sono sconsigliati valori
di a/W maggiori di 0.55, perché oltre questo valore piccoli errori nella misura di a si traducono
in forti errori di KIc . Il combinato disposto di queste due prescrizioni equivale a fissare un valore
minimo di W .
Anche lo spessore B del provino deve essere
µ
¶2
KIc
B ≥ 2.5
σs
per assicurare che lo stato di deformazione all’apice della cricca sia piano.
9.2.4
Formazione a fatica della cricca
La formazione a fatica della cricca iniziale, fase essenziale nella preparazione del provino, deve
seguire una ben precisa ricetta, per evitare che vi siano tensioni residue o plasticizzazioni all’apice
Figura 9.8: Provino C. T.
9-8
Figura 9.9: Particolari dell’intaglio nei provini di flessione e C.T.
della cricca.
1. la lunghezza della cricca per fatica non deve essere minore di 1.25 mm fermo restando il
valore di a/W ;
2. la cricca deve essere piana, parallela al piano dell’intaglio e deve avere fronte rettilineo e
parallelo al piano dell’intaglio (sono ammesse deviazioni non superiori a 5◦ ). Purtroppo
questa condizione può essere accertata solo dopo la rottura del provino.
3. il valore di ∆K durante la propagazione non deve essere minore di 0.9 Kmax . Ciò significa che
la sollecitazione di fatica deve essere molto vicina alla condizione ‘dallo zero’ o addirittura
alternata.
4. Il valore di Kmax durante ilprimo stadio della propagazione della cricca può porsi uguale a
0.75 KIc . Durante lo stadio finale, intendendo per questo gli ultimi 1.25 mm di crescita della
cricca, deve essere
Kmax ≤ 0.6KIc
(secondo la norma ASTM)
9-9
Tipicamente la formazione della cricca richiede almeno 50000 cicli di carico.
9.2.5
Strumentazione
La prova di frattura fragile è condotta in maniera molto simile alla prova di trazione. Per la misura
degli spostamenti si usa un trasduttore, che concettualmente è un estensometro, posto a cavallo
dell’intaglio (fig. 9.10)
Il carico viene fatto aumentare gradualmente in modo che KI cresca di 30 ÷ 150 MN m−3/2 al
minuto, che corrisponde ad una durata della prova tra 1 e 5 minuti.
Figura 9.10: Trasduttore di spostamento
9.2.6
Interpretazione della prova
Durante la conduzione della prova si registrano istante per istante i valori del carico Q e dello
spostamento s, fino alla rottura del provino.
L’andamento del diagramma carico - spostamento può presentare un punto di discontinuità
più o meno accentuato al momento della propagazione instabile; il caso più favorevole è quello del
quarto diagramma della fig. 9.11, mentre il più dubbio è quello del primo diagramma.
Per differenziare i vari casi si traccia una retta A sul prolungamento del primo tratto rettilineo
e successivamente una seconda retta il cui coefficiente angolare sia il 95% del precedente. Come
valore Qq da usare nel calcolo di KIc si usa l’intercetta con la seconda retta o il massimo (se c’è)
compreso tra le due rette.
La prova non è valida se lo scostamento del diagramma dalla prima retta è troppo ‘dolce’ come
nel primo diagramma di fig. 9.11, in cui il segmento qi , in corrispondenza dell’ordinata 0.8Qq , è
maggiore di 1/4 del segmento q, misurato in corrispondenza di Qq .
9.2.7
Calcolo di KIc
Per il calcolo di KIc , il valore di Qq si introduce nella formula
KIc =
QY
√
B W
in cui il valore della cedevolezza Y è dato da uno sviluppo in serie di potenze di a/W , ma più
comodamente dalle tabelle 9.2 e 9.3, rispettivamente per i provini a flessione e C.T.
9-10
Figura 9.11: Principali tipi di diagrammi carico-spostamento per prove di KIc
Tabella 9.2: Valori di Y al variare di a/W per provini di flessione a tre punti
Tabella 9.3: Valori di Y al variare di a/W per provini C.T.
9-11
9.3 Materiali per basse temperature
Premetto che c’è una notevole correlazione tra il comportamento di un materiale alla prova di
resilienza e alla prova di tenacità alla frattura.
Innanzitutto il tipo di frattura, duttile o fragile, dipende fortemente dallo spessore del provino; per conseguenza, se si usa un provino di sezione insufficiente, il risultato della prova risulta
anormalmente alto per effetto della deformazione plastica.
In secondo luogo, la tenacità alla frattura e la resilienza mostrano un comportamento analogo
al variare della temperatura, e in particolare, al decrescere della temperatura possono presentare
una marcata diminuzione.
In terzo luogo, i fattori che influenzano la resilienza influenzano allo stesso modo anche la tenacità alla frattura; per esempio alti spessori, forti velocità di applicazione del carico, bombardamento
neutronico, vanno tutti nel verso di un ‘infragilimento’ del materiale.
Non meraviglia allora che vi siano delle correlazioni tra resilienza e tenacità alla frattura, e
spesso si possono usare le prime, più comuni, per prevedere le altre, più difficili a reperirsi in
letteratura.
Riporto qui tre correlazioni, Reperibili in Sailor e Corten, 1972:
• Relazione di Rolfe e Novak (1970)
µ
¶
µ
√ ¶2
Cv /J
KIc /(MPa m)
= 0.646
− 0.0098
σy /MPa
σy /MPa
• Relazione di Barson e Rolfe (1970)
√
(KIc /(MPa m))2
3/2
= 2.218 × 10−4 (Cv /J)
E/MPa
• Relazione di Sailor e Corten (1972)
√
1/2
(KIc /(MPa m) = 14.63 (Cv /J)
L’andamento delle proprietà meccaniche per i materiali strutturali, al diminuire della temperatura, evidenzia generalmente un incremento del modulo di elasticità, del carico di rottura, del
limite di snervamento e del limite di fatica. La resilienza e la duttilità sono invece legate alla
struttura cristallina. Per materiali caratterizzati da reticolo cubico a corpo centrato queste due
proprietà tendono ad abbassarsi, presentando talvolta variazioni brusche con la temperatura; per
materiali con reticolo cubico a facce centrate o esagonale esse tendono invece a rimenere costanti,
o addirittura ad aumentare leggermente. Si vedano le figg. 9.12 e 9.13.
La caratteristica più limitante nell’impiego di materiali a bassa temperatura è la diminuzione
della resilienza, e la conseguente diminuzione della tenacità alla frattura. Una delle caratteristiche
alle quali occorre fare attenzione è la dimensione del grano cristallino, in quanto ad un ingrossamento del grano corrisponde un’andamento più sfavorevole della resilienza. Comunque in generale
tutti gli aspetti microstrutturali vanno presi in considerazione.
Tra i metalli utilizzati in applicazioni criogeniche rimangono il rame e alcune sue leghe, l’alluminio e alcune sue leghe, gli acciai al nichel e inossidabili, la lega monel, il nichel, il titanio.
I moderni metodi di saldatura in atmosfera inerte hanno molto favorito l’impiego delle leghe di
alluminio e ddell’acciaio inox 18/8. Le prime, contenenti magnesio e piccole quantità di cromo
e manganese, permettono una certa economia e una notevole leggerezza; esse perciò hanno una
discreta diffusione per apparecchiature a media e bassa pressione fino a -200◦ . L’acciaio inox, per
le sue caratteristiche meccaniche migliori, si impone invece per le condizioni di esercizio più severe,
ossia più alte pressioni e più basse temperature.
9-12
Figura 9.12: Andamento del carico di rottura di alcuni materiali alle basse temperature: a) alluminio; b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio al
nichel; h) teflon.
Figura 9.13: Andamento della resilienza di alcuni materiali alle basse temperature: a) alluminio;
b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio al nichel.
9-13
10. La rilevazione delle cricche
Una frattura o una cricca di solito non è visibile ad occhio nudo, e nemmeno con una lente, sia
perché può non aprirsi alla superficie sia perché può essere molto sottile, capillare, di spessore
anche inferiore ad un micromètro1 . I metodi per la rilevazione delle cricche e di altri difetti, quali
bolle o soffiature di fusione, difetti di saldatura, inclusioni di scaglie di ossido eccetera, vanno sotto
il nome di controlli non distruttivi.
essi si distringuono in:
• liquidi penetranti
• raggi X e gamma
• ultrasuoni
• metodi elettromagnetici.
Il confronto tra metodi è illustrato in fig. 10.1
Figura 10.1: Confronto di sensibilità tra metodi non distruttivi
10.1 Liquidi penetranti
I liquidi penetranti sono dei liquidi a viscosità alquanto bassa nei quali è sciolta una sostanza colorante e fluorescente. Anticamente i liquidi penetranti fluorescenti richiedevano l’uso della lampada
di Wood (luce ultravioletta), ma oggi la fluorescenza può essere benissimo eccitata anche dalla
luce visibile.
1 si ricorda che il micròmetro è uno strumento per misurare piccole lunghezze, mentre la parola micron, sinonima
di micromètro, non va più utilizzata.
10-1
L’applicazione dei liquidi penetranti avviene attraverso le seguenti fasi: 1) Pulizia e sgrassaggio
del pezzo 2) Immersione nel liquido o spruzzamento del medesimo 3) asportazione del liquido in
eccesso 4) Immersione del pezzo in polvere assorbente, detta sviluppatore o mezzo di contrasto.
Durante l’immersione il liquido penetra nelle fessure aperte sulla superficie e per effetto del potere assorbente del mezzo di contrasto viene richiamato fuori dalle fessure formando delle macchie
ben visibili.
Questo metodo ha il vantaggio di essere economico, abbastanza ecologico, rapido e di fornire
anche una valutazione quantitativa delle cricche, in quanto se ne può misurare la lunghezza. Lo
svantaggio sta nel fatto che non può rilevare cricche non aperte né soffiature o cavità varie.
10.2 Raggi X e gamma
I raggi X e gamma sono radiazioni elettromagnetiche di ben definita lunghezza d’onda. Tecnicamente i raggi X sono prodotti da apparecchi radiografici, affini a quelli usati in diagnostica medica,
mentre i raggi gamma sono prodotti da isotopi radioattivi naturali.
Il controllo radiografico e gammagrafico viene effettuato ponendo il pezzo sotto l’azione dei
raggi, i quali vanno ad annerire una lastra fotografica; l’annerimento è inversamente proporzionale
allo spessore attraversato, per cui si rendono visibili eventuali cavità chiuse, come ad esempio
porosità o soffiature prodotte durante la fusione o la saldatura.
Questi metodi sono quasi indispensabili per rilevare cavità chiuse, ma hanno lo svantaggio di
essere costosi e di richiedere tutta una serie di metodi di protezione per l’operatore.
10.3 Ultrasuoni
Gli ultrasuoni sono vibrazioni meccaniche di frequenza superiore a 20000 Hz e quindi non udibili
dall’orecchio umano.
Essi vengono generati per azione di un trasduttore piezoelettrico, che può fungere anche da
ricevitore.
La piezoelettricità è la proprietà di alcune sostanze, tra cui il quarzo, di deformarsi se vengono
polarizzate elettricamente, ossia se sono sottoposte ad un campo elettrico; viceversa, se queste
sostanze vengono deformate si polarizzano, ossia diventano sedi di cariche elettriche di segno
opposto su facce opposte.
Il trasduttore piezoelettrico è quindi un cristallo di quarzo posto tra le armature di un condensatore; se le armature vengono caricate il cristallo si deforma; se nel condensatore vi è un campo
elettrico oscillante il cristallo vibra; diviene cosı̀ una sorgente di ultrasuoni.
Se viceversa il cristallo vibra diventa sede di un campo elettrico oscillante che può essre rilevato
dal condensatore e poi amplificato; cosı̀ il cristallo funge da ricevitore.
Le onde ultrasonore si propagano nel solido da studiare e vengono riflesse dalla superficie
opporta al ricevitore; il ritardo del’eco di ritorno misura la dimensione del pezzo; eventuali altri
segnali di eco segnalano la presenza di discontinuità o di cavità.
Questo metodo è adatto alla rilevazione di cavità sia chiuse che affioranti purché di dimensioni
sufficienti; non richiede protezione dell’operatore ed è abbastanza economico, anche se, al contrario
dei liquidi penetranti richiede apparecchiature di costo non trascurabile.
10.4 Metodi elettromagnetici
Si dà un cenno del solo metodo magnetico, trascurando quello delle correnti parassite. Se un pezzo
di materiale ferromagnetico viene posto in un campo magnetico esso si magnetizza (ossia diviene
sede di un campo magnetico molto forte); le linee di flusso del campo sono parallele e regolari
entrando nel pezzo in corrispondenza del polo nord e uscendone al polo sud. Se il pezzo possiede
delle discontinuità superficiali perpendicolari al campo magnetico l’andamento delle linee di flusso
10-2
è perturbato e da’ luogo alla presenza di un’altra coppia di poli magnetici sulla superficie del pezzo
in corrispondenza della discontinuità.
Questi poli magnetici spuri possono essere rilevati cospargendo il pezzo con limatura di ferro.
Per evidenziare difetti comunque orientati l’esame va ripetuto almeno due volte a campi magnetici
perpendicolari; alla fine di ogni esame occorre smagnetizzare il pezzo per privarlo dell’eventuale
magnetismo residuo.
10-3
11. Fatica dei materiali
11.1 Generalità
Il fenomeno della fatica consiste nella rottura di pezzi sottoposti a sollecitazioni cicliche, anche se
in nessun momento del ciclo si è raggiunta la tensione di rottura.
11.1.1
Prove di fatica
Definizioni:
• Prove statiche sono quelle in cui il carico aumenta gradualmente con bassa velocità (circa
1 Mpa s−1 ) fino a rottura;
• Prove dinamiche sono quelle in cui l’aumento del carico è molto veloce (circa 105 Mpa
s−1 ), per esempio prove di resilienza;
• Prove di fatica sono quelle in cui il carico, variando con velocità medio-alta (circa 103 Mpa
s−1 ) ha un andamento oscillante tra un massimo e un minimo.
Per caratterizzare un carico di fatica importa indicare il carico massimo, quello minimo e il
numero di alternanze. Ragionando in termini di tensione1 , si possono assegnare due dei seguenti
cinque parametri:
1) e 2) σmax e σmin
3) e 4) Il valor medio σm e l’ampiezza σa 2 dell’onda di tensione
σm =
σmax + σmin
2
σa =
σmax − σmin
2
5) Il rapporto di tensione R
R=
σmin
σmax
In base ai valori dei precedenti parametri si distinguono prove:
• alterno simmetriche se σmin = −σmax e quindi σm = 0 ed R = −1;
• alterno asimmetriche se σmin 6= −σmax ; in questo caso si ha −1 < R < 0 se il carico
prevalente è di trazione e R < −1 se il carico prevalente è di compressione (tali ultime prove
sono però poco usate).
• dallo zero se σmin = 0 e quindi R = 0 (poco usato il caso a compressione σmax = 0,
R = ∞),
• pulsanti se σmin e σmax hanno lo stesso segno (quasi sempre si effettuano prove in trazione
per cui essi sono positivi); si ha 0 < R < 1 se sono di trazione e r > 1 se sono di compressione.
1 la tensione di cui qui si parla è quella nominale, ossia non si tiene conto dell’effetto di intaglio né tanto meno
della contrazione laterale.
2 L’ampiezza viene indicata in alcuni testi italiani (tra cui il Manna) con ∆σ. Tale uso non è raccomandabile
visto che di solito l’operatore ∆ indica una differenza e non una semidifferenza: se ne veda l’uso corretto più avanti
in questo capitolo.
11-1
Lo stesso dicasi mutatis mutandis3 se la tensione variabile è una tensione tangenziale.
La forma d’onda non ha importanza, per cui di solito essa viene scelta secondo l’opportunità
(sinusoidale o a onda trapezia o triangolare o altro); neppure la frequenza è importante per cui si
utilizza la frequenza più alta permessa dalla macchina.
In base al tipo di sollecitazione si distinguono prove a trazione-compressione, a flessione statica,
a flessione rotante e a torsione alternata.
Le macchine utilizzate sono delle normali macchine di prova universali (in questo caso la
frequenza delle alternanze è al massimo sui 10 Hz) o macchine speciali dette vibrofori, fondate sulla
risonanza di un sistema massa-molla (frequenza fino a 500 Hz). Per le prove di flessione rotante
basta un semplice asse in rotazione, mosso da un motore elettrico, facendo eventualmente uso di
un moltiplicatore di giri (tanto, la potenza assorbita è trascurabile).
11.1.2
Aspetto della rottura per fatica
La rottura per fatica si presenta suddivisa in due parti, l’una liscia, di forma semicircolare, quasi
sempre dotata di striature concentriche e l’altra irregolare come una rottura fragile. La prima corrisponde all’avanzamento stabile della cricca, la seconda alla rottura finale di schianto (avanzamento
instabile). Non vi sono mai segni evidenti di strizione, nemmeno nei materiali più duttili.
L’innesco è sempre sulla superficie libera; in genere quella esterna, ma anche sulla superficie di
porosità o soffiature interne, mai vi è innesco da un punto interno non precedentemente lesionato.
11.1.3
Studio del comportamento a fatica
Si riassume nel diagramma del Wöhler4 (fig. 11.1), che porta in ascisse il logaritmo del numero
dei cicli a rottura e in ordinate il logaritmo della σa . Ogni diagramma è tracciato per un valore
particolare di σm ma in pratica quello più usato è quello con σm = 0.
Ogni punto del diagramma rappresenta un provino. I punti si trovano sparpagliati su due fasce,
una decrescente e l’altra orizzontale posta sul proseguimento della prima per alti valori del numero
di cicli. La notevole dispersione è dovuta al fatto che la fase di nucleazione della cricca dipende
da molti fattori oltre che dal carico; la fase di propagazione è invece assai più deterministica ma
incide poco sulla durata totale.
Con metodi statistici si tracciano sul diagramma due linee, una inclinata e l’altra orizzontale,
corrispondenti alla mediana delle due fasce; la prima è relativa alla resistenza a fatica finita e la
seconda alla resistenza a fatica infinita (limite di fatica). Talvolta si traccia anche una terza retta
per bassi valori del numero di cicli, corrispondente alla fatica oligociclica, che non tratteremo.
L’ordinata della retta orizzontale viene detto limite di fatica indicato con σL (σm ). se σm = 0
il limite si indica con σLa .
Per alcuni materiali, in particolare per le leghe leggere (leghe di alluminio) il limite di fatica è
molto basso e viene raggiunto per valori altissimi di N , cioè di 108 − 109 .
Il diagramma di σL in funzione di σm si chiama diagramma di Haigh-Soderberg. Esso si presenta
con la concavità rivolta verso il basso. Nel primo quadrante si approssima con una retta passante
per i punti A(0, σLa ) ed R(σR , 0).
La costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg a partire da una serie di diagrammi di
Wöhler, ottenuti a diversi valori del precarico, è mostrata in fig. 11.2. Nella succesiva fig 11.3
si vede il passaggio dai punti sperimentali (ciascuno rappresentante il limite di fatica per un
diagramma di Wöhler) ad una serie di curve approssimanti. Quella da noi usata sarà la retta di
Goodman (linea 1 del diagramma)
3 absit
iniuria verbis
Wöhler (Soltau 1819 - Hannover 1914), della provincia di Hannover, ingegnere ferroviario, pioniere degli
studi sulla fatica.
4 A.
11-2
Figura 11.1: Diagramma del Wöhler per leghe Fe-Ni. A - Strutture cubiche a corpo centrato. B Strutture cubiche a facce centrate 1 - Fe-10% Ni, temprato 2 - Fe-3% Ni-0.5% Ti 3 - Ni 4 - Ni-15%
Fe. Da Ferro e Montalenti, 1954.
Lo stesso contenuto di informazione è presente nel diagramma di Goodman-Smith (fig. 11.4),
nel quale sono tracciate le linee di σmax limite = σm + σL (σm ) e σmin limite = σm − σL (σm ) in
funzione di σm . Questo diagramma è però più complesso per cui non sarà utilizzato in questo
corso.
Nel diagramma di Haigh-Soderberg si rappresenta un carico di fatica mediante un punto; se
questo cade al disotto della linea di resistenza a fatica vuol dire che l’organo sottoposto a quel
carico non si rompe per fatica. Nel seguito, lo studio della fatica sarà suddiviso in tre capitoli
che seguono l’evoluzione storica dell’argomento: dapprima considereremo il caso della resistenza a
limite di fatica, che ipotizza una durata infinita del pezzo; nel secondo il caso della resistenza a
fatica, che tollera una durata finita e se ne sforza di calcolare i parametri; nel terzo la propagazione
della cricca di fatica, che ammette che un pezzo possa essere originariamente difettato, ma che sia
ancora conservato in opera.
11-3
Figura 11.2: Costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg. Qui è mostrata la costruzione della
linea N = cost. = 105 , ma ovviamente il procedimento è lo stesso anche per la curva limite di
fatica.
Figura 11.3: Diagramma di Haigh-Soderberg semplificato secondo varie procedure: 1 - retta di
Goodman; 2 - retta di Soderberg; 3 - parabola di Gerber; 4 - curva di Smith, usata per materiali
fragili
11-4
Figura 11.4: Diagramma di Goodman-Smith
11-5
Figura 11.5: Esempio del metodo Staircase.
11.1.4
Metodo Staircase
Il metodo Staircase per la determinazione del limite di fatica prevede di avere a disposizione
un certo numero di provini (minimo 15), provenienti dallo stesso lotto (stesso materiale, stessa
lavorazione, eccetera), da provare uno dopo l’altro. Un provino si considera ‘sopravvissuto’ se
supera senza rompersi un certo numero di cicli previamente stabilito N∞ , diciamo N∞ = 106 .
L’intervallo di tensione5 in cui presumibilmente cade il limite di fatica viene suddiviso in un
certo numero di livelli; nella figura 11.5 il passo, o differenza tra i livelli ∆σ vale 23 MPa, per
cui i valori ai quali si effettuano le prove sono 617, 640, 663 e 686 MPa. Nella figura 11.5, che è
chiaramente un esempio, sono stati provati solo 10 provini. Il primo, provato a 286 MPa, si rompe
prima di N∞ , per cui la prova successiva scende di un passo; il secondo e il terzo pure si rompono
prima di N∞ , per cui sempre si scende di un passo; il quarto supera N∞ , per cui il successivo (il
quinto) sarà provato ad una tensione più alta di un passo, e cosı̀ via, con la regola generale:
Se il provino n-esimo, provato alla tensione σn sopravvive, il provino n + 1-esimo sarà provato
ad una tensione più alta di un passo, ossia a σn + ∆σ; se il provino n-esimo si rompe, il provino
n + 1-esimo sarà provato ad una tensione più bassa di un passo, ossia a σn − ∆σ.
Terminate le prove inizia l’elaborazione statistica dei risultati, che seguiremo in riferimento
all’esempio visto.
Si costruisce innanzitutto la tabella dei valori di tensione e per ciascuno di essi il numero di
provini rotti e sopravvissuti, e se ne fa la somma
tensione
686
663
640
617
Totale
rotti
2
3
1
0
6
sopravvissuti
0
1
2
1
4
Siccome il gruppo in minoranza è quello dei sopravvissuti, l’analisi viene effettuata con riferimento ad essi. Il loro totale è indicato con N , quindi in questo caso N = 4.
Si numerano i passi in ordine crescente, tramite la variabile i, che è posta obbligatoriamente
uguale a zero per il passo più basso, ad 1 per quello successivo, eccetera.
Si moltiplica il numero di provini per i (e, somamndo, si ottiene la variabile A) e per i2 (e,
sommando, si ottiene la variabile B), per cui si ottiene la tabella seguente:
5 trattandosi
di prove di fatica, si intende qui per tensione la σa , mentre la σm rimane la stessa per tutti i provini.
11-6
tensione
686
663
640
617
Totale
sopravvissuti
0
1
2
1
N =4
i
3
2
1
0
ni
0
2
2
0
A=4
ni2
0
4
2
0
B=6
Il valore del limite di fatica è:
µ
σL = σ0 + ∆σ
A
± 0.5
N
¶
in cui si sceglie il segno + se gli eventi meno frequenti sono le sopravvivenze, come in questo
esempio, e il segno − se gli eventi meno frequente sono le rotture.
Il valore numerico per questo esempio è
µ
¶
4
σL = 617 + 23 ×
+ 0.5 = 651.5;
4
la stima della deviazione standard è
µ
Dev Stand(σL ) = 1.62∆σ
¶
N B − A2
+ 0.029 ;
N2
l’inusuale notazione Dev Stand per indicare la deviazione standard, invece della consueta σ, è
dovuta al fatto che la lettera σ in queste dispense indica la tensione.
Il suo valore numerico per questo esempio è
¶
µ
4 × 6 − 42
+ 0.029 = 19.7.
Dev Stand(σL ) = 1.62 × 23 ×
42
per
L’incertezza
media (deviazione standard della media) dovrebbe essere il valore precedente diviso
√
N , ma Dixon e Mood, autori del metodo, assegnano la formula
Err(σL ) = G
Dev Stand(σL )
√
N0
in cui N0 è il numero totale dei provini ed il fattore correttivo G va preso da una figura del lavoro
originale, che qui non viene riportata, in quanto ci si accontenterà di porre G = 1.
Nel nostro esempio
19.7
Err(σL ) = √ = 6.2
10
Il valore del limite di fatica sarà quindi scritto:
σL = 652 ± 6
11-7
11.1.5
Fattori che influenzano la fatica
Sono l’effetto d’intaglio, l’effetto finitura superficiale e l’effetto grandezza.
L’effetto d’intaglio si riassume nel fatto che il comportamento a fatica di provini intagliati è
peggiore di quello dei corrispondenti provini non intagliati, ovviamente a parità di forze applicate
e di sezione minima. Si ha infatti un abbassamento del limite di fatica anche se il carico di rottura
non varia (per materiali duttili).
Il rapporto
σLa (non intagliato)
Kf =
σLa (intagliato)
prende il nome di fattore d’intaglio a fatica e si può ovviamente ricavare sperimentalmente, anche
se di solito si determina con la formula
(1 − Kf ) = q(1 − Kt )
in cui Kt è il fattore teorico d’intaglio, ed è un fattore solo geometrico, per il quale si veda l’apposito
capitolo, e q è la sensibilità all’intaglio, che è una caratteristica del materiale.
La sensibilità all’intaglio si trova nell’apposito abaco (fig. 11.6) in funzione della σR , o meglio
della durezza Brinell HB che ad essa è proporzionale, e del raggio ρ in gola all’intaglio.
Figura 11.6: Sensibilità all’intaglio q in funzione del raggio ρ di gola dell’intaglio per acciai con
varie durezze Brinell (HB), secondo il metodo di Neuber-Kuhn.
Questo abaco, che essenzialmente deve essere ritenuto sperimentale, può essere interpretato in
termini della teoria di Neuber dell’intaglio limite, secondo la quale
q=
1+
1
p
ρ0 /ρ
essendo ρ0 una proprietà del materiale a sua volta funzione del carico di rottura (fig 11.7).
Il significato fisico della teoria di Neuber è che un intaglio di raggio inferiore a ρ0 viene visto dal
materiale come uno spigolo ‘acuto’ (di raggio nullo), per cui per esso cade in difetto la consueta
11-8
Figura 11.7: Parametro di Neuber ρ0 in funzione della tensione di rottura di acciai.
trattazione della teoria elastica e occorre procedere a considerazioni energetiche, come si era fatto
per la meccanica della frattura.
Gli altri due effetti che influenzano la fatica, effetto grandezza ed effetto finitura superficiale,
sono espressi da appositi fattori, indicati rispettivamente con CD e CS , che si ricavano da appositi
abachi (figg 11.8 e 11.9. Questi ultimi sono solo sperimentali e non se ne conoscono formule
interpolanti.
L’effetto finitura superficiale è legato alla rugosità6 della superficie e si ritiene originato dai
microintagli che gli utensili lasciano alla superficie del pezzo.
L’effetto grandezza è invece probabilmente dovuto al fatto che ad un pezzo più grande corrisponde una maggiore superficie e questa ad una maggiore probabilità che vi sia già presente un
microintaglio o un difetto superficiale.
6 Dicesi rugosità (qualche volta scabrosità) l’insieme degli scostamenti tra superficie reale di un pezzo e la
superficie matematica definita dal suo disegno.
Dal punto di vista tecnico la rugosità si misura in base agli scostamenti tra superficie rilevata (ossia misurata
con un palpatore di raggio 0.025 mm) e superficie tecnica (misurata con un palpatore di raggio 25 mm).
I palpatori devono scorrere su una linea il più posibile perpendicolare alla direzione prevalente dei solchi e delle
creste della superficie reale.
Si definisce linea media la linea di compenso tra sporgenze e rientranze della superficie rilevata (misurata parallelamente alla superficie tecnica), mentre la rugosità è la media degli scostamenti in modulo rispetto alla linea
media:
Z L
1
|y|dx.
Ra =
L 0
11-9
Figura 11.8: Coefficiente CS di finitura superficiale
11-10
Figura 11.9: Coefficiente CD di effetto grandezza
11.1.6
Trattamenti di rullatura e di pallinatura
Sono due trattamenti superficiali volti a innalzare il limite di fatica, ma usati anche nel campo
della durata finita per migliorare la resistenza a fatica.
Il trattamento di rullatura consiste nel lisciare la superficie dei pezzi cilindrici tramite la forte
pressione esercitata da tre rulli disposti simmetricamente. L’effetto benefico è dovuto soprattutto
al fatto che si generano in superficie delle tensioni residue di compressione che tendono a chiudere
le eventuali cricche di fatica che si dovessero formare, o perlomeno ad ostacolarne la propagazione.
Il trattamento di pallinatura consiste nel colpire la superficie del pezzo, in questo caso di forma
qualsiasi, con una pioggia di palline di acciaio indurito, in genere trascinate da un getto di aria
compressa. Anche in questo caso si fa affidamento sulle tensioni residue generate nei microcrateri
di impatto; gli incrementi della resistenza a fatica possono essere anche del 100%, nel caso delle
molle. I pallini hanno diametro da 0.2 a 2 mm e sono di acciaio per i pezzi di acciaio e di ghisa per
quelli di lega leggera. A differenza della rullatura non è limitata a pezzi di forma cilindrica, per
cui, oltre che per le molle è molto usata per i denti degli ingranaggi e per i cordoni di saldatura.
11.2 Resistenza a limite di fatica
11.2.1
Determinazione del coefficiente di sicurezza
Il progetto e la verifica per una durata infinita del pezzo riguardano solo i materiali per i quali
esiste un chiaro limite di fatica.
Lo scopo è verificare che sotto il dato carico il pezzo non si rompa, e determinare un coefficiente
di sicurezza contro il raggiungimento del limite di fatica.
Tale determinazione si fa, per mezzo del diagramma di Haigh-Soderberg semplificato, in questo
modo (fig. 11.10): detto P il punto rappresentativo del carico, O l’origine e B l’intersezione tra la
11-11
Figura 11.10: Determinazione del coefficiente di sicurezza in un diagramma di Haigh-Soderberg
semplificato
retta OB e la linea del limite di fatica il coefficiente di sicurezza s è dato da
s=
OB
.
OP
Se poi la linea del limite di fatica è la retta AR si può scrivere la sua equazione segmentaria
prendendo per punto generico proprio il punto B che per la definizione data di coefficiente di
sicurezza ha per coordinate (sσm , sσa ), per cui
σm
σa
1
+
=
σR
σLa
s
(1)
Questa espressione, in cui l’incognita è s ed è perciò una formula di verifica, si scrive in forma più
generale tenendo conto dei fattori che influenzano la fatica nel seguente modo:
Ks σm
Kf σa
1
+
=
σR
CD CS σLa
s
(2)
In cui il coefficiente di intaglio a rottura statica Ks vale
• Ks = Kt per materiali fragili
• Ks = 1 per materiali duttili
Nel caso in cui a variare sia la tensione tangenziale τ invece della tensione normale σ vale l’analoga
della (2) ossia
Kf τa
1
Ks τ m
+
=
(3)
τR
CD CS τLa
s
Per la determinazione di τR e τLa spesso non si procede con apposite prove, ma si tiene conto del
fatto ampiamente sperimentato per cui
• per materiali fragili
τR =
σR
;
2
11-12
τLa =
σLa
2
• per materiali duttili
1
τR = √ σR ;
3
1
τLa = √ σLa
3
Il valore di Kt nel caso in cui si adopera la (3) (sollecitazione a taglio o a torsione) è in genare
diverso da quello che si adopera nella (2) (sollecitazione a sforzo normale o a flessione).
Nel caso vi siano variazioni sia di σ che di τ , ma senza precarico e senza effetti che influenzano
la fatica vale la formula di Gough e Pollard
µ
σa
σLa
µ
¶2
+
τa
τLa
¶2
µ ¶2
1
=
s
Nel caso in cui vi siano precarichi ed effetti che influenzano la fatica si estrapola la formula di
Gough e Pollard calcolando due coefficienti di sicurezza, sσ e sτ rispettivamente relativi alle sole
tensioni normali e alle sole tensioni tangenziali usando le (2) e le (3), e poi si ottiene il coefficiente
di sicurezza con la formula
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2
1
1
1
+
=
(4)
sσ
sτ
s
Quest’ultima espresione vale anche nel caso di sollecitazione statica con presenza di sforzi normali e tangenziali; se si trascura la presenza dell’intaglio si ha infatti nel caso statico
(particolarizzando le (2) e (3) e scrivendo σm = σ e τm = τ )
µ
σ
σR
¶2
µ
+
τ
τR
¶2
=
µ ¶2
1
.
s
√
Considerando che, applicando il criterio di Huber-Hencky-Mises si ha τR = σR / 3, mentre, applicando il criterio della massima tensione tangenziale si ha τR = σR /2, e ricordando che σc = σR /s,
si riottengono le note espressioni
p
σc = σ 2 + 3τ 2
per il criterio di Huber-Hencky-Mises e
σc =
p
σ 2 + 4τ 2
per il criterio della massima tensione tangenziale.
All’autore di queste righe pare incredibile che nei manuali di uso più corrente non venga
trattato in maniera esplicita uno dei casi più fondamentali, forse il più fondamentale in Ingeneria
Meccanica, quello di un albero soggetto a flessione rotante e con torsione costante per lunghi tratti
ma che ogni tanto si azzera; è il caso di un albero di riduttore, di una linea d’assi navale, di una
trasmissione con alberi lunghi, e insomma di tutti quei casi in cui la potenza trasmessa non è
dl tutto costante ma è soggetta a variazioni, per cui allo stesso modo si comporta il momento
torcente.
Il Peterson, comunque, nel suo Stress Concentration Factors (1973), riporta una formula (la
sua [38], pag. 18), diversa nella forma, ma in realtà sostanzialmente identica alla mia (4), con il
seguente commento, che traduco come mi riesce:
Ê necessario ulteriore lavoro sperimentale in questo campo delle combinazioni di carichi
particolari, specialmente nel caso in cui ci sia l’effetto aggiuntivo della concentrazione
di tensione. Nel frattempo, mentre appare che l’uso della [38] (che, ripeto, è la mia (4)),
può essere eccessivamente cautelativa in certi casi di flessione alternata più torsione
statica, si ritiene (it is believed) che la [38] fornisca una ragionevole regola generale di
progettazione.
11-13
La formula citata è
1
1
=p
n
[(σ0d /σy ) + (σ0b /Lb σy ) + (Ktf σa /σf )]2 + 3[(τ0 /Ls σy ) + (Ktf τa /σf )]2
in cui
• σ0d è il precarico o tensione media in trazione,
• σ0b è il precarico o tensione media in flessione,
• σa è la tensione alternata in trazione o in flessione (o la somma delle due),
• σy è la tensione di snervamento,
• σf è il limite di fatica alterna simmetrica,
• Lb è il rapporto tra il carico flessionale necessario per produrre il completo snervamento della
sezione rispetto a quello necessario per produrre uno snervamento incipiente,
• Lt è il fattore analogo per il carico torsionale,
• τ0 è il precarico o tensione media in torsione,
• τa è la tensione alternata in torsione,
• Ktf e Ktsf sono i fattori teorici di intaglio rispettivamente in trazione o flessione e in torsione
Come si vede, con varianti che risultano numericamente piccole c’è una perfetta rispondenza con la
nostra (4). In particolare, qui i rapporti Lb ed Lt non sono considerati, ma in compenso si assume
come limite la tensione di rottura invece che quella di snervamento.
11.2.2
Osservazioni critiche
La costruzione adottata nel paragrafo precedente (fig. 11.10) suppone che, dato un certo carico,
si esca dal dominio di sicurezza relativo alla durata infinita del pezzo grazie ad una variazione
della sollecitazione che faccia aumentare il precarico proporzionalmente al carico alternato. Questa
assunzione convenzionale è preferita da molti autori sia per la sua semplicità sia per il vasto numero
di possibili applicazioni. Il caso in cui questa assunzione è rigorosa è quello in cui sia la σm che la
σa dipendono da un’unica forza e sono pertanto ad essa proporzionali.
Ciò non toglie che sempre di una convenzione si tratta e che ogni volta che sia possibile indagare
più esattamente sulle possibili cause di aumento del carico ciò debba essere fatto. Ad esempio,
se ci sono tensioni residue, come nel caso di un recipiente autocerchiato (vedi appresso) solo
un’aliquota del carico medio risulta proporzionale alla forza esterna, nel nostro caso alla pressione
nel recipiente, mentre la tensione alternata è senz’altro proporzionale ad essa. Un altro caso è
quello in cui il precarico sia costante e solo l’ampiezza sia proporzionale ad una forza esterna;
questo caso è piuttosto comune nel caso di flessione rotante, in cui di solito il precarico è nullo.
È ovvio che il progettista deve considerare quale di questi casi effettivamente si verifica nell’organo che sta studiando, e modificare opportunamente il procedimento sopra esposto adattandolo
al caso che più da vicino rappresenta la realtà. Non ci si deve meravigliare se in alcuni casi occorra
adoperare concetti probabilistici.
Il grado di sicurezza calcolato con la (3) appare troppo pessimistico. Infatti, come affermato
da vari autori (il Manuale dell’Ingegnere, 80.a edizione, cita Smith, Univ. of Ill. Bull., 334,1942)
il limite di resistenza a fatica a torsione, in funzione della torsione media (precarico) non cambia
sensibilmente e risulta quindi sempre assai prossimo al limite di resistenza a fatica alternata a
11-14
torsione. Per questo motivo il grado di sicurezza si può ricavare per via grafica da una curva
bilatera, o. a vantaggio di sicurezza, dedurre per via analitica dalla parabola di Gerber.
In questo caso, la parabola di Gerber si scrive
"
µ ¶2 #
τm
τL = τLa 1 −
τR
le cui proprietà si studiano meglio scrivendola con lettere più usuali
"
µ
¶2 #
x
y = y0 1 − 1 −
;
xR
si vede subito che è una parabola il cui asse è verticale e coincide con l’asse delle ordinate, e le cui
intersezioni con gli assi sono xR ed y0 , mentre la sua derivata vale
y 0 = −2
y0 x
· ,
xR xr
per cui all’intersezione con l’asse x essa vale
y 0 = −2
y0
.
xR
Siccome y0 ≈ xR /2, ivi la derivata vale circa −1. La lieve differenza può essere trascurata, perché
cade in una zona del diagramma non utilizzata per fini tecnici.
Il grado di sicurezza viene qui definito come
s=
OB
,
OP
però adesso il punto B giace sulla parabola di Gerber. Se le coordinate di P sono (τm , τa ), quelle di
B sono (sτm , sτa ); imponendo l’appartenenza di questo punto alla parabola si ottiene l’equazione
in s
"
µ ¶2 #
τm
2
sτL = τLa 1 − s
τR
che, riordinata dà luogo ad un’equazione di secondo grado in s; risolvendola si ottiene
p
2 /τ 2
−τa + τa2 + 4τLa τm
R
s=
.
2
2
2τLa τm /τR
È da notare che τa è sempre positivo, per cui davanti alla radice si deve prendere solo il segno
positivo, perché il segno negativo darebbe luogo ad un grado di sicurezza negativo e quindi privo
di significato.
Se si adotta come linea di sicurezza la retta di Goodmann, si ottiene
τm
τa
1
+
=
τR
τLa
s
che fornisce un valore più piccolo del grado di sicurezza. Si vedrà ciò con un esempio. Sia τR = 600
MPa, τLa = 6300 MPa, τm = 100 MPa, τa = 150 MPa; se si adotta come linea di sicurella la retta
di Goodmann si ha
1 1
1
100 150
+
= + =
;
600 300
6 2
1.5
11-15
se invece si adotta la parabola di Gerber si ha
√
−150 + 1502 + 10000
s=
= 1.817.
2 × 300 × 1002 /6002
Pure valendo la regola generale che il grado di sicurezza da scegliere deve essere il più piccolo, pare
a chi scrive che l’adozione della retta di Goodmann sia troppo restrittiva, e che quindi la parabola
di Gerber, pur fornendo un valore più grande del grado di sicurezza, sia più vicina alla realtà.
11.3 Resistenza a fatica (vita finita)
11.3.1
Determinazione dl numero di cicli a rottura
Riguarda i carichi per i quali si prevede una vita finita; si tratta in effetti di prevedere la durata
attesa di un organo soggetto a carichi di fatica. Questa impostazione è obbligatoria per i materiali
che non presentano un limite di fatica.
La chiave di questo procedimento è il calcolo del numero di cicli che portano a rottura il pezzo
sotto l’azione di un certo carico, qualora questo sia superiore a quello corrispondente al limite di
fatica.
Si consideri innanzitutto il caso di mancanza di precarico (ciclo alterno simmetrico) e si
parta da un’approssimazione al diagramma di Wöhler, che si ottiene ammettendo che la durata
sia di 103 cicli per σa = 0.8σR e di 106 cicli per σa = σLa . Oltre i 106 cicli la curva del Wöhler
diventa una retta orizzontale. La prima parte di tale diagramma semplificato (N < 103 ) è quello
relativo alla fatica oligociclica che qui non sarà trattata, la seconda (103 < N < 106 ) è quella della
resistenza a durata e la terza (∆σ < ∆σa ) è quella della resistenza a fatica infinita.
La curva del Wöhler relativamente al tratto della resistenza a durata è espressa dalla formola
σ0 =
ovvero
Ã
N=
essendo
(0.8σR )2 b
N
σLa
σ0 σLa
(0.8σR )2
!1/b
(6)
1
0.8σR
b = − log
.
3
σLa
Se il materiale non presenta limite di fatica si può per esempio prendere le ampiezze di carico
corrispondenti a 103 e 106 cicli e scrivere
σ0 =
ovvero
Ã
N=
essendo
2
σ10
3
Nb
σ106
σ0 σ106
2
σ10
3
!1/b
(60 )
1
σ 3
b = − log 10 .
3
σ106
Se il pezzo è sottoposto a precarico la σ0 si calcola in funzione del precarico e dell’ampiezza
usando il diagramma di Haigh Soderberg. In esso (fig 11.10), nella zona superiore a quella della
11-16
Figura 11.11: Diagramma di Haigh Soderberg per acciai 2024-T3, 2024-T4 e 2014-T6, provini non
intagliati. σR = 75 ksi, σs = 52 ksi per il 2024 e 63 ksi per il 2014. Carico assiale.
retta relativa al limite di fatica si tracciano tante curve, che nella consueta approssimazione diventano rette, che passano per il punto R di coordinate (σR , 0) . Quindi per ogni condizione di carico
che è rappresentata dal punto Q di coordinate (σm , σa ), si traccia la retta QR e si prolunga fino
all’asse verticale nel punto N di ordinata σ0 . Questa rappresenta il carico alterno simmetrico che
equivale al carico dato nel senso che dà luogo alla medesima durata.
Scrivendo l’equazione segmentaria della retta RQN si ha
σm
σa
+
= 1,
σR
σ0
che, in presenza dei fattori che influenzano la fatica diventa
Ks σm
Kf σa
+
=1
σR
CD CS σ0
(7)
Si ricorda che in tutte queste espressioni l’incognita è la σ0 che poi va introdotta nella (6) per
trovare N.
La procedura precedente risulta grandemente semplificata se si hanno diagrammi sperimentali
del tipo di quelli di figg. 11.11 e 11.12.
Esempio
Sia dato un organo di macchine realizzato in materiale duttile con
σR = 600 MPa
σLa = 300 MPa
Kf = 1.8
CD = CS = 0.9
sottoposto a carico di fatica con
σm = 200 MPa
11-17
Figura 11.12: Diagramma di Haigh Soderberg per acciaio 7075-T6, provini non intagliati. σR =
82 ksi, σs = 70 ksi
σa = 100 MPa
Allora, dalla (7)
σ0 =
Kf σa
1
= 333MPa
CD CS 1 − σm /σR
ed, essendo, b = −0.068, si ha N = 217000.
11.3.2
Esercizio: albero in flessione rotante
Risulta :
"
32Mf Kf σLa b
D=
N
π(0.8σR )2
#1/3
Se la progettazione è fatta a limite di fatica basta porre N = 106 .
11.3.3
Fatica cumulativa
Nello studio della resistenza a fatica finita si tiene spesso conto della presenza di cicli con caratteristiche diverse, per esempio con diverso σa e σm . Se un pezzo è sottoposto a n1 cicli con σm1 e
σa1 ai quali corrisponde una vita totale N1 , poi a n2 cicli con σm2 e σa2 ai quali corrisponde una
vita totale N2 eccetera, il pezzo si rompe o no a seconda che la somma
n2
nm
n1
+
+ ··· +
N1
N2
Nm
sia maggiore o minore di 1. Questa regola è detta di Palmgren-Miner o dell’accumulo lineare del
danno di fatica.
La regola di Palmgren-Miner viene scritta anche in termini di carico equivalente; se la (6) si
scrive facendo comparire l’ampiezza di carico si ha:
11-18
X ni
X −1/b
X
−1/b
∝
σ0i ni = σeq
ni
Ni
σeq è quell’ampiezza di tensione che procura lo stesso danno dei blocchi di carico effettivi. Sia ha
in definitiva
sP
σm
m
P 0i
σeq =
ni
con m = −1/b. Nel caso di precarico non nullo la σ0 si calcola con la (6) o la (7).
11.4 Propagazione delle cricche di fatica
La formazione delle cricche di fatica è ancora argomento non del tutto compreso; si ritiene che
alcuni grani posti sulla superficie del pezzo possano essere in condizioni più sfavorevoli di altri, a
causa della particolare orientazione del loro reticolo cristallino, sicché diventano sede di numerosi
movimenti di dislocazioni che portano allo slittamento di interi piani cristallini rispetto ai piani
vicini.
Questi movimenti provocano delle irregolarità superficiali con formazione di sporgenze e rientranze, nelle quali ultime si origina la cricca per effetto d’intaglio.
Comunque, la durata della fase iniziale, detta di nucleazione non può essere prevista e da
questo nasce la forte dispersione delle durate delle prove a fatica; invece la fase seguente, detta di
propagazione, è del tutto deterministica (fig 11.13).
Figura 11.13: Crescita della cricca di fatica per due provini di acciaio 18/8 austenitico in lastre,
testati a 124 ± 62 MPa. Da Frost, 1959. La figura evidenzia il carattere deterministico della cresita
della cricca di fatica, a contrasto col carattere aleatorio della fase di nucleazione.
La propagazione della cricca di fatica è una propagazione stabile, detta cosı̀ per differenziarla
dalla propagazione instabile studiata in meccanica della frattura. La crescita della cricca è energeticamente sfavorita e può avvenire solo per la presenza delle forze esterne variabili, dal lavoro
delle quali viene prelevata l’energia necessaria.
11-19
La cricca in assenza di forze è chiusa; quando le forze sono di trazione si allarga e si arrotonda
all’apice senza allungarsi; quando la forza diventa di compressione si richiude allungandosi.
Tra le varie leggi proposte per prevedere la crescita della cricca di fatica, la più semplice è la
legge di Paris
∆a
= C∆K m
∆N
in cui
∆a è la crescita della cricca dopo ∆N cicli
∆K è la variazione del fattore di intensità degli sforzi a causa della sollecitazione di fatica,
∆K = Kmax − Kmin
C e m sono costanti che dipendono solo dal materiale.
La crescita stabile della cricca prosegue fino al raggiungimento della condizione di instabilità
predetta dalla meccanica della frattura, dopo di che si ha la rottura di schianto.
La forma più comoda della legge di Paris è
Ã
!m
∆a
∆K
=A
∆N
∆K0
Dove ∆K0 è il valore di ∆K per cui si raggiunge la velocità di propagazione A. Nella tabella sono
dati i valori di ∆K0 per A = 10−6 mm ciclo−1 . Secondo Tanaka e Matsuoka (1977) per tutti i
materiali ferrosi si possono utilizzare i valori A = 2.35 × 10−4 mm ciclo−1 e ∆K0 = 36 MPa m1/2 ;
resterebbe cosı̀ da conoscere il solo valore di m. Si veda la tab. 11.1.
La legge di Paris può essere trattata come una ordinaria equazione differenziale se si vuole la
legge di crescita della cricca col numero di cicli. Si ha
(σmax − σmin )m m m/2
da
∆K m
=A
f a
=A
m
dN
∆K0
∆K0m
√
dove f è un fattore numerico (vale ad esempio π per la lastra piana con fessura passante).
Separando le variabili e integrando tra a0 e a, cui corrisponde N = 0 e N
m
N=
− m +1
a− 2 +1 − a0 2
¡ m
¢
−2 +1
∆K0m
A(σmax − σmin )m f m
questa formula è valida per m 6= 2; nel caso fosse m = 2 non è difficile arrivare a
N=
∆K02
a
ln
2
2
A(σmax − σmin ) f
a0
Se le curve di propagazione sono riportate in funzione di ∆K/E esse risultano molto vicine
(fig 11.14; tale correlazione è importante per supplire alla cronica mancanza di dati sperimentali.
La legge di Paris non è rigorosamente valida. Infatti per valori di ∆K minori di un valore di
soglia ∆Kth la propagazione non avviene. Valori di ∆Kth per vari materiali sono riportati in tab.
11.2.
Invece, per valori molto grandi di ∆K può accadere che il Kmax sia maggiore del KIc e in questo
caso si ha ovviamente l’inizio della propagazione instabile con conseguente rottura istantanea del
pezzo. La condizione di sicurezza
Kmax < KIc
implica naturalmente che
Kmin < RKIc
11-20
Tabella 11.1: Coefficienti della legge di Paris. Da Pook, 1975.
Figura 11.14: Correlazione di curve di propagazione sulla base di ∆K/E. Da Frost, Pook and
Denton, 1971.
11-21
Tabella 11.2: Valori di ∆Kth . Da Pook, 1975.
quindi
∆K = Kmax − Kmin < (1 − R)KIc
Il valore (1 − R)KIc è perciò un limite per ∆K.
Per tenere conto dei due limiti, inferiore e superiore, della legge di Paris, sono state proposte leggi più
complete, tra le quali sono utilizzate le seguenti:
• legge di Forman
da
C∆K n
=
dN
(1 − R)KIc − ∆K
che tiene conto solo del limite superiore della propagazione,
• Legge di Collipriest-Walker
da
log
= C1 + C2 arctan
dN
µ
log(KIc Kth /(Kmax (1 − R)m )2 )
log(KIc /Kth )
¶
che tiene conto di entrambi i limiti ma che è, come si vede, piuttosto complessa.
Nelle leggi precedenti i parametri C, n, C1 , C2 e m devono essere determinati sperimentalmente.
11-22
12. Recipienti a parete sottile
Studiando gli organi destinati a contenere fluidi (di solito pressurizzati), si parla di recipente se
il diametro è grande rispetto alla lunghezza, di tubazione se la lunghezza è molto maggiore del
diametro; inoltre nelle tubazioni il diametro è ‘ragionevolmente’ piccolo. Tuttavia in questo corso
non si farà questa distinzione, visto che dal punto di vista della resistenza meccanica i due tipi di
organi sono retti dalle stesse leggi.
12.1 L’elemento di membrana
I recipienti a parete sottile sono quelli il cui spessore è ‘sufficientemente’ più piccolo del diametro
(per esempio un decimo o meno). Sono studiati nell’approssimazione membranale, che consiste nel
trascurare la componente radiale della tensione (che nei recipienti a grosso spessore risulta sempre
di compressione), nonché gli sforzi flessionali. La teoria delle membrane si fonda dunque su questi
due postulati:
1. Non vi sono sforzi normali σ su elementini di superficie paralleli al piano medio della
membrana. (Ciò esclude la componente radiale della tensione);
2. Non vi sono sforzi tangenziali diretti normalmente alla superficie media, su elementini di superficie normali al piano medio della membrana, ovvero sulle sezioni radiali. Ciò esclude il taglio e quindi anche la flessione. Sono consentiti invece sforzi tangenziali diretti parallelamente
al piano medio della membrana.
In questo modo una membrana diventa l’analogo bidimensionale di quello che in Fisica è il filo
flessibile e inestensibile; la membrana può essere considerata come un ‘tessuto’ di fili flessibili e
inestensibili posti perpendicolarmente gli uni agli altri (si pensi agli involucri delle mongolfiere,
che un tempo erano proprio di stoffa, magari impermeabilizzata). Ovviamente la direzione delle
due famiglie di fili, che per definizione non si scambiano sforzi tangenziali, risulta da determinare.
Per il postulato 1, una membrana non può resistere a forze perpendicolari al proprio piano se
non in virtù della sua forma; in altri termini una membrana piana non può resistere a tali sforzi,
ma può farlo solo una membrana curva.
Una delle conseguenze di quanto detto è che lo stato di tensione in una membrana è bidimensionale e che uno degli assi principali è la normale alla superficie. Infatti un cubetto, tagliato nello
spessore della membrana, tale che due sue facce siano parallele al piano medio della membrana
non ha:
• Né sforzo normale, perché tale componente sarebbe radiale, e quindi si trascura per il
postulato 1,
• Né sforzi tangenziali, perché questi si ritroverebbero, per la proprietà di simmetria delle
tensioni tangenzionali, sulle sezioni radiali della membrana in direzione radiale, dove non ci
possono essere, per il postulato 2.
La stessa cosa può essere vista direttamente dai due postulati: infatti questi escludono ogni componente della tensione perpendicolare al piano medio, e quindi affermano che tutte le componenti
delle tensioni devono giacere nel piano medio; questo diventa quindi il piano delle tensioni e quindi
(per definizione) lo stato tensionale è piano.
Nel seguito ci si limiterà alle sole membrane di rivoluzione, senza perdita di generalità, visto
che i recipienti usuali sono sempre riconducibili almeno a un insieme di membrane di rivoluzione;
per esempio una tubatura con dei gomiti si può ricondurre ad un insieme di tratti cilindrici e a un
insieme di tratti torici.
12-1
12.2 Geometria dei recipienti di rivoluzione
Una superficie di rivoluzione1 si ottiene facendo ruotare una curva qualsiasi, detta generatrice,
intorno ad una retta detta asse. La sezione della superficie con un piano contenente l’asse è detto
curva meridiana o semplicemente meridiano. Ovviamente nella pratica il meridiano coincide con
la generatrice, ma vi sono dei casi in cui ciò non è vero, per esempio nel caso del’iperbolide ad
una falda, in cui la generatrice è una retta sghemba rispetto all’asse e il meridiano è ovviamente
un’iperbole.
Poiché il meridiano può fungere benissimo da generatrice, si intuisce che l’intera superficie è
determinata dalla forma del meridiano e che quindi dallo studio di questo si possono dedurre tutte
le proprietà di quella. In particolare il meridiano è di solito una curva ben nota (una retta o una
circonferenza, o simile), e se ciò non è, può sempre essere dato in coordinate cartesiane, in base
ad un’ascissa lungo l’asse e un’ordinata perpendicolare all’asse.
Nei recipienti di rivoluzione, in quanto membranali, lo stato di tensione è piano e uno delle
direzioni principali è la perpendicolare alla superficie. Un’altra direzione principale, in base a
considerazioni di simmetria è quella meridiana, mentre la terza, perpendicolare ad entrambe, è
detta direzione normale.
Di grande importanza sono i seguenti tre raggi di curvatura:
1. Raggio di curvatura del parallelo rp , che è appunto la distanza tra il punto considerato e
l’asse,
2. Raggio di curvatura del meridiano rm , che si ottiene al solito modo, come raggio del cerchio
osculatore al meridiano in quel punto,
3. Raggio di curvatura della normale rn che si ottiene prolungando la normale alla superficie
fino ad incontrare l’asse, e vale
rp
rn =
sin θ
L’ultima relazione scritta va sotto il nome di teorema di Meusnier de La Place 2
L’angolo θ, detto colatitudine, è quello tra la normale alla superficie e l’asse di simmetria.
12.3 Equazioni di equilibrio
12.3.1
Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale)
Per scrivere l’equazione, costruiamo un opportuno elementino estratto dal mantello (parte metallica) del recipiente.
Poniamoci anzitutto sulla superficie media del recipiente, e stacchiamo su essa un trapezoide
tagliandola con due semipiani meridiani assai vicini (distanti dλ) e due piani paralleli molto vicini.
Si ottiene cosı̀ l’elementino 1234 (fig. 12.1). Consideriamo anche un semipiano maridiano centrale
(o di simmetria, o baricentrico), cioè che divide in due l’angolo dλ, e un piano parallelo equidistante
dai due appena considerati. L’intersezione tra questi ultimi due definisce un punto P che farà da
riferimento.
Per meglio definire la posizione dei due piani paralleli si potrebbe usare la loro distanza lungo
l’asse, ma invece si preferisce introdurre la colatitudine θ; si veda in proposito la fig. 12.2. Dal
punto P si consideri la perpendicolare alla superficie media, orientata verso l’esterno (asse z); essa
ovviamente giace sul piano meridiano, e quindi interseca l’asse di simmetria, formando con esso un
1o
di rotazione, o semplicemente rotonda
Meusnier de La Place, matematico, chimico e ingegnere (Tours, 1754 - Magonza, 1793). Fu allievo
di Monge, collaborò con Lavoisier nell’esperimento sulla decomposizione dell’acqua, progettò la macchina per la
stampa degli assegnati e il primo dirigibile, fu generale dell’esercito rivoluzionario e morı̀ all’assedio di Cassel.
2 Jean-Baptiste
12-2
Figura 12.1: Costruzione dell’elementino sulla superficie media del recipiente.
Figura 12.2: Costruzioni sul semipiano meridiano di simmetria dell’elementino.
12-3
angolo θ (si può prendere l’uno o l’altro dei due angoli, perché di esso importa solo il seno), detto
colatitudine. Tirando le analoghe perpendicolari anche da A e B, possiamo senza errore ipotizzare
che le tre perpendicolari si incontrino nel punto Cm , centro di cuvatura del meridiano, e che le
due estreme formino un angolo dθ.
Per definire l’elementino tenendo conto anche del suo spessore, consideriamo i due coni di
direttrici Cn1 A e Cn2 B; essi taglieranno il mantello formando le due faccette superiore e inferiore.
L’altezza dell’elementino, data da uno qualsiasi dei tre archi AB, 14 o 23, è rm dθ, mentre come
larghezza sarà considerata quella staccata sul parallelo medio, ossia l’arco CD, ossia rp dλ.
Le forze agenti sull’elementino sono:
1. forze di pressione;
2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano;
3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo;
tutte devono essere proiettate sull’asse z e la somma eguagliata a zero.
Esaminiamo ora in dettaglio il valore delle singole forze
1. forze di pressione
Sono dovute alla pi rivolta verso l’esterno (quindi positiva, perché concorde con l’orientamento scelto di z) e alla pe rivolta verso l’interno, entrambe moltiplicate per l’area dell’elementino, quindi questo termine vale
(pi − pe )rm dφ · rp dλ.
2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano
Sulle due faccette coniche ci sono le due tensioni σm , ciascuna delle quali forma con l’asse
z un angolo dθ/2, per cui il valore efficace delle due tensioni è −2σm (sin dθ/2) e il termine,
ottenuto moltiplicando la precedente per l’area vale:
¶
µ
dθ
−2σm sin
srp dλ
2
3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo
Ciascuno vale σn srm dθ (ossia tensione per spessore per lunghezza dell’archetto) e giace sul
piano CP D ivi formando col semipiano meridiano di simmetria un angolo dλ/2, per cui la
loro risultante su di essa vale in modulo
µ
¶
dθ
2σn sin
srm dθ,
2
ed è diretto sulla retta P Cp , per cui deve essere ulteriormente proiettato sull’asse z moltiplicando (vedi fig. 12.2) per il fattore di proiezione − sin θ, in cui il segno meno indica che la
risultante è diretta verso l’interno, per cui il terzo termine vale
¶
µ
dθ
sin θsrm dθ.
−2σn sin
2
12-4
Sommando i tre contributi, sostituendo al seno degli angoli piccoli il valore dell’argomento, e
dividendo per i fattori comuni dλdθ si ha:
(pi − pe )rp rm − σm rp s − σn rm s sin θ = 0
da cui, dividendo tutto per rp rm s e ricordando che, per il teorema di Meusnier sin θ/rp = 1/rn , si
ottiene:
σm
(pi − pe ),
σn
+
=
(1)
rn
rm
s
detta equazione di Laplace.
12.3.2
Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale)
Figura 12.3: Equilibrio globale in un caso particolare
La seconda equazione si ottiene come equilibrio di una porzione di superficie contenente un
polo, come in fig. 12.3, per cui
σm sin θ 2π rp s = Q + (pi − pe ) π rp2
in cui Q è la forza peso del recipiente e del fluido contenuto nel volume di controllo. Di solito
peraltro il peso del recipiente si trascura e si considera solo quello del liquido. Semplificando
opportunamente e ricordando che rn = rp / sin θ si ha:
σm =
(pi − pe ) rn
Q
+
2s
2π rp s sin θ
(2)
Se il fluido è un gas si può trascurare il secondo addendo del secondo membro. Se la pressione
esterna è quella atmosferica si pone pe = 0 misurando la pi come pressione relativa.
Questa equazione ha validità limitata a elementi della stessa topologia di quello della fig. 12.3;
per esempio non vale per un elemento torico, come si vedrà a suo luogo.
12-5
12.4 Applicazioni
12.4.1
Recipienti per gas
Per essi si trascurano il peso del fluido e quello del recipiente, per cui
σm =
12.4.2
(pi − pe ) rn
2s
Sfera di raggio R
In essa rn = rm = R per cui dalla (2)
σm =
pR
2s
e, sostituendo nella (1)
per cui σm
pR
2s
= σn cosa che del resto si poteva prevedere anche per considerazioni di simmetria.
12.4.3
Cilindro di raggio R con fondi di pezzo
σn =
Ci si limita al solo studio della porzione cilindrica. Per essa rm = ∞, rn = R. In questo caso le
due equazioni (1) e(2) sono disaccoppiate e posono essere risolte separatamente.
dalla (1)
pR
σn =
(formula delle caldaie)
s
dalla (2)
pR
σn
σm =
=
.
2s
2
Figura 12.4: Equilibrio del recipiente torico: a) notazioni geometriche; b - equilibrio di un
elementino.
12-6
12.4.4
Recipente torico
Sia dato il recipiente di fig. 12.4a, e se ne prelevi un elemento di rotazione come in fig. 12.4b. Si
imponga l’equilibrio alla traslazione verticale
pπ(rp2 − R2 ) = σm sin θ 2πrp s
da cui
σm =
p r(rp + R)
p rp2 − R2
=
.
2 rp s sin θ
2
rp s
Facendo intervenire la (1)
σn = rn
³p
s
−
σm ´
p rp + R ´
pr
rp ³ p
rp p ³
rp + R ´
rp p 2rp − rp − R
=
−
=
1−
=
=
rm
sin θ s 2s rp
sin θ s
2rp
sin θ s
2rp
2s
Siccome questa coincide con la tensione meridiana dei tubi cilindrici si può adoperare questa
soluzione per lo studio dei gomiti.
12.4.5
Serbatoio conico per liquidi
Definizioni figura 12.5:
• α è l’angolo di semiapertura del cono.
• la colatitudine è: θ = 90◦ − α
• H è l’altezza del liquido rispetto al vertice del cono.
• h è l’altezza della sezione studiata rispetto al vertice del cono.
• ρ è la densità del liquido.
• rm = ∞
• rn = h tan α/ cos α
Essendo 1/rm = 0, le due equazioni, di equilibrio locale e di equilibrio globale, sono disaccoppiate.
La σm si calcola mediante l’equilibrio (globale) della parte di recipiente al di sotto dell’altezza
h. La σn mediante l’equazione di equilibrio locale.
1) per punti posti al di sotto del pelo libero
Nell’equazione di equilibrio globale, prendendo positive le forze verso l’alto si ha:
(−pi + pe )πrp2 + σm · 2πrp · s · cos α − Q = 0
in cui
pi − pe = ρg(H − h)
Q=
per cui
σm =
Per l’equilibrio locale:
σn =
1 2
πr hρg
3 p
ρgh(H − 23 h) tan α
2s cos α
ρgh(H − h) tan α
s cos α
12-7
Figura 12.5: Recipiente conico per liquidi
2) per punti posti al di sopra del pelo libero L’equazione di equilibrio globale è:
σm · 2πrp s cos α − Q = 0
in cui
1 2
πr
Hρg
3 p,max
è il raggio del parallelo corrispondente al livello del liquido. Il risultato è:
Q=
in cui rp,max
3
σm
ρg H3 tan α
=
2hs cos α
Dall’equazione di equilibrio locale:
σn = 0
Uguagliando a zero le derivate rispetto ad h, si trova che σn è massimo per h = H/2 e vale ivi:
σn (H/2) =
1
tan α
ρgH 2
4
s cos α
Invece σm è massimo per h = 3H/4 e vale ivi:
tan α
3
ρgH 2
16
s cos α
e σn con h è mostrato in fig. 12.6
σm (3H/4) =
L’andamento di σm
12-8
Figura 12.6: Tensioni nel recipiente conico per liquidi
12-9
13. Recipienti a parete spessa
13.1 Equazioni di Lamé
Si pone che lo stato tensionale sia funzione solo di r e inoltre che
• dσz /dr = 0
• d²z /dr = 0
(1)
Le equazioni che occorrono sono:
• Equazione di equilibrio
• Equazione di congruenza. Saranno richiamete in seguito, ma di esse non si farà uso in quanto
saranno sostituite dalla (1) scritta sopra.
• Legame tensione-deformazione (legge di Hooke, tradotta formalmente dalle equazioni di
Navier)
13.1.1
Equazione di equilibrio
Si consideri un elementino come in fig. 13.1 e di altezza unitaria lungo z. Si dimostra che le
direzioni r, θ e z sono direzioni principali, per cui sulle facce dell’elementino non vi sono tensioni
tangenziali. Se ne faccia l’equilibrio alla traslazione lungo r (tutte le altre equazioni di equilibrio
si riducono ad identità). Tale equazione si scrive:
µ
¶
dσr
dθ
−σr rdθ + σr +
dr (r + dr) dθ − 2σt dr sin
=0
dr
2
Innanzitutto si può identificare il seno col suo argomento; ciò comporta la comparsa di un dθ a
fattor comune, che quindi si semplifica. Sviluppando il prodotto delle due parentesi si ottiene un
termine finito σr rche si semplifica col preesistente −σr r e un termine in dr2 che si trascura in
quanto infinitesimo di ordine superiore. Raccogliendo i termini in dr, eliminando il fattor comune
dr e raccogliendo si ha:1
dσr
σt − σr
=
dr
r
13.1.2
Equazioni di congruenza
Vedi fig. 13.2
Si considera diversa da zero una sola componente dello spostamento, ossia la u (le altre sono
nulle per ragioni di simmetria). Risulta:
du
dr
u
²t =
r
²r =
1 Raccomando allo studioso lettore di fare effettivamente i passaggi e non accontentarsi di questa sintetica
descrizione
13-1
13.1.3
Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione)
Si noti che rimangono formalmente identiche a quelle in coordinate cartesiane.
E²t = σt − ν(σr + σz )
E²r = σr − ν(σt + σz )
E²z = σz − ν(σt + σr )
Queste relazioni, che esprimono in sostanza la legge di Hooke, sono, secondo Franciosi, dovute
al Navier (1821).
13.1.4
Equazione differenziale della tensione
Derivando rispetto ad r l’ultima equazione di Navier si ha
d
(σt + σr ) = 0
dr
da cui
σt + σr = 2C1
(1)
Dalla equazione dell’equilibrio si ricava subito
r
Eliminando σt dalle (1) e (2) si ha
r
dσr
= σt − σr .
dr
dσr
+ 2σr = 2C1 .
dr
Il primo membro di questa espressione è
1 d(σr r2 )
r dr
cosicché separando le variabili
d(σr r2 ) = 2C1 rdr
Figura 13.1: Costruzione per l’equazione di equilibrio.
13-2
(2)
Figura 13.2: Equazioni di congruenza per recipienti cilindrici di grosso spessore
e integrando
σr r2 = C1 r2 − C2 ,
e ancora
C2
r2
C2
σt = C1 + 2
r
Le due costanti C1 e C2 si ottengono imponendo le condizioni al contorno
σr = C1 −
σr = −pi per r = ri
σr = −pe per r = re
In definitiva si ha
C1 =
pi ri2 − pe re2
re2 − ri2
C2 = (pi − pe )
ri2 re2
.
re2 − ri2
Le espressioni di σt e σr sono dette equazioni di Lamé, che si scrivono per esteso:
σt =
pi ri2 − pe re2
ri2 re2 1
+
(p
−
p
)
i
e
re2 − ri2
re2 − ri2 r2
σr =
pi ri2 − pe re2
ri2 re2 1
−
(p
−
p
)
i
e
2
re2 − ri
re2 − ri2 r2
13-3
Per quanto riguarda σz la procedura precedente non ci illumina; ragionando in termini di
equilibrio globale si ottengono i due valori
σz =
pi ri2 − pe re2
re2 − ri2
valida per fondi di pezzo o flangiati sul mantello e
σz = 0
per fondi con tiranti. In quest’ultimo caso però, poiché i tiranti sono pre-tesi mentre la spinta sui
fondi dipende dalla pressione, la tensione del mantello può anche essere negativa. Anzi, un piccolo
valore negativo della tensione è necessario per il corretto funzionamento delle guarnizioni.
Un esempio dell’andamento delle tensioni è dato nella fig. 13.3
2
cost
st(r)
sr(r)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura 13.3: Diagramma delle tensioni in un recipiente di grosso spessore. In ascisse c’è r/re , in
ordinata σ/pi ; la pressione esterna è nulla e ri /re = 0.5.
13.2 Formule di progetto e di verifica
Si studia il caso più comune pe = 0; in questo caso la pressione interna pi sarà indicata con p. Le
tensioni nel punto più sollecitato, cioè a r = ri valgono
σt = p
ri2 + re2
re2 − ri2
13-4
(
σz =
σr = −p
0
ri2
p r2 −r
2
e
per fondi con tiranti
per fondi di pezzo
i
La più grande delle tensioni è quella tangenziale, seguita da quella assiale e la più piccola è
quella radiale (l’unica negativa). Si ottengono varie formule di progetto e di verifica applicando
vari criteri di resistenza. Nelle formule precedenti si porrà k = re /ri .
1) Criterio della massima tensione
σt ≤ σamm
si scrive
p
che diventa
1 + k2
≤ σamm
k2 − 1
(σamm − p)k 2 − (σamm + p) ≥ 0.
Siccome k può essere solo positivo la disequazione avrà soluzione solo se
σamm − p > 0.
L’unico zero positivo del primo membro è la radice del rapporto cambiato di segno tra terzo e
primo coefficiente; poiché il primo coefficiente è positivo la disequazione è soddisfatta solo per
valori di k maggiori del suddetto zero. Per questo la soluzione è
r
σamm + p
k≥
.
σamm − p
2) criterio della massima deformazione
σt − ν(σr + σa ) ≤ σamm .
A vantaggio di sicurezza si sceglie σa nullo. Perciò il criterio si scrive
p
che diventa
1 + k2
+ νp ≤ σamm
k2 − 1
p(1 + k 2 − ν + νk 2 ≤ σamm (k 2 − 1)
k 2 (σamm − (1 + ν)p) − σamm − (1 − ν)p ≥ 0.
Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se
σamm > (1 + ν)p
e vale
s
k≥
σamm + (1 − ν)p
.
σamm − (1 + ν)p
3) criterio della massima tensione tangenziale2
σt − σr ≤ σamm .
2 Questo
criterio unisce la massima semplicità con un discreto accordo con i dati sperimentali.
13-5
diventa
k 2 (σamm − 2p) − σamm ≥ 0
Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se
(σamm > 2p)
e vale
r
k≥
σamm
.
σamm − 2p
4) criterio di Hencky-von Mises3
q
σt2 + σz2 + σr2 − σt σz − σz σr − σt σr ≤ σamm
A vantaggio di sicurezza si tratta il caso dei fondi di pezzo (σz = p/(k 2 − 1)). Dopo calcoli un po’
noiosi4 , si ha
√ 2
3k
p 2
≤ σamm
k −1
√
k 2 (σamm − 3p) − σamm ≥ 0
La soluzione esiste solo se
σamm >
e vale
r
k≥
√
3p
σamm
√ .
σamm − 3p
3 è
il criterio in maggior accordo con l’esperimento, per materiali duttili.
per voi dalla collega Paola Ammendola:
Elevando al quadrato ambo i membri e sostituendo le espressioni delle tre tensioni la disequazione diventa:
4 svolti
p2
(k2 + 1)2
1
k2 + 1
k2 + 1
1
2
+ p2 + p2 2
+ p2 2
− p2 2
+ p2 2
≤ σamm
2
2
2
(k − 1)
(k − 1)
k −1
(k − 1)2
k −1
Mettendo in evidenza al primo membro p2 /(k2 − 1)2 :
£ 2
¤
p2
2
(k + 1)2 + (k2 − 1)2 + 1 + (k2 + 1)(k2 − 1) − (k2 + 1) + (k2 − 1) ≤ σamm
(k2 − 1)2
13-6
13.3 Appendice al capitolo
Equazione differenziale dello spostamento e sua integrazione
Si ricorda che le equazioni inverse di Navier sono:
¡
σt = 2G ²t +
eccetera, essendo
¢
ν
e
1 − 2ν
E
2(1 + ν)
e = ²t + ²r + ²z
G=
Derivando la prima eq. inv. di Navier
¡ d²r
dσr
ν de ¢
= 2G
+
dr
dr
1 − 2ν dr
Sottraendo la prima eq. inv. di Navier dalla seconda e dividendo per r,
¡ ²t − ²r ¢
σt − σr
= 2G
r
r
Nelle due ultime espressioni i primi membri sono uguali per l’equazione di equilibrio; sono dunque uguali
anche i secondi membri, cioè
d²r
ν de
²t − ²r
+
=
(1)
dr
1 − 2ν dr
r
Derivando ora le espressioni di ²t ed ²r prese dalle eq. di congruenza e ricordando che ²z è uniforme su
tutta la sezione ossia non varia con r, si ha:
d²r
d²t
d²z
d²r
²t − ²r
de
=
+
+
=
−
+0
dr
dr
dr
dr
dr
r
confrontando con la (1) si ha
de
=0
dr
che è l’espressione cercata. Sapendo che
(2)
d²z
=0
dr
si ricava dalla (2)
d(²t + ²r )
=0
dr
che si trova più spesso scritta in termini di spostamento
1 du
u
d2 u
− 2 + 2 =0
r dr
r
dr
Per l’integrazione poniamo
da cui
u = rα
du
= αr α−1
dr
d2 u
= α(α − 1)rα−2
dr2
quindi
1 α−1
1
αr
− 2 rα = 0
r
r
che, dividendo per rα−2 dà luogo ad un’equazione algebrica in α la cui soluzione è α = ±1.
La soluzione generale è quindi
B
u = Ar − .
r
α(α − 1)rα−2 +
13-7
(3)
Più facilmente, tornando alla (3) si integri una prima volta
²t + ²r = 2A
e si passi allo spostamento
ossia
u
du
+
= 2A
r
dr
1 d(ur)
= 2A
r dr
quindi
d(ur)
= 2Ar
dr
e integrando ancora
ur = Ar2 − B
ossia
u = Ar −
B
.
r
²t = A +
B
r2
²r = A −
B
r2
Sostituendo nelle eq. di congruenza si ha
e poi
C2
r2
C2
σr = C1 − 2
r
σt = C 1 +
e quindi le equazioni di Lamè.
13-8
14. Recipienti per altissime pressioni
I risultati del capitolo precedente dicono che la massima pressione a cui i recipienti a parete spessa
possono lavorare è una certa frazione della tensione ammissibile (il 100 per cento secondo il criterio
della massima tensione, il 50 per cento secondo il criterio della massima tensione tangenziale). Se è
necessario superare queste pressioni occorre servirsi di recipenti di tipo particolare, cioè i recipienti
cerchiati, autocerchiati e nastrati.
14.1 Recipienti cerchiati
Sono costituiti da due cilindri forzati l’uno dentro l’altro. Il cilindro più interno funge da contenitore
del fluido e quello più esterno serve da rinforzo.1
Il calettamento deve essere tale da generare una pressione pc che agisce come pressione interna
sul cilindro esterno e come pressione esterna sul recipiente esterno. Per effetto di questa si ha
una redistribuzione delle tensioni che porta in conclusione ad uno scarico della parte interna e
ad un sovraccarico del recipiente esterno. Il valore di pc deve essere determinato a priori in base
alla pressione di esercizio e alla tensione ammissibile nel materiale, tenendo conto della detta
redistribuzione. Il calcolo è facilissimo in quanto non si esce dalla fase elastica e quindi sono
pienamente valide le formule di Lamé.
Sia ri il raggio interno del cilindro interno, re il raggio esterno del cilindro esterno e rc (raggio
di calettamento) il valore nominale del raggio esterno del recipiente interno e del raggio interno
del recipiente esterno. In realtà i due ultimi raggi sono diversi tra loro in quanto devono essere tali
da costituire un montaggio con interferenza, ma la loro differenza rispetto al valore nominale, che
sarà ora determinata, è percentualmente trascurabile (meno di un millesimo).
In fase di esercizio il cilindro interno è soggetto alla pressione interna di esercizio pi e alla
pressione esterna di calettamento pc ; il recipiente esterno è invece soggetto alla pressione interna
di calettamento pc .
Se si applica il criterio della massima tensione tangenziale occorre calcolare il valore σeq =
σt − σr , che è massimo in corrispondenza dei due rispettivi raggi interni, ossia ri per il recipiente
interno e rc per quello esterno. Per il primo vale (applicando le formule di Lamé)
σeq = 2(pi − pc )
e per il secondo
σeq = 2pc
re2
c2
c2 − ri2
re2
− c2
Si deve verificare preliminarmente che nessuno di questi due valori ecceda quello ammissibile σamm .
Volendo si può ottenere un uguale grado di sicurezza per entrambi i cilindri eguagliando i due valori
e cosı̀ ottenendo
pi
pc =
.
re2 c2 −ri2
1 + c2 r2 −c2
e
Una volta conosciuta la pressione di calettamento occorrente si determini il valore dell’interferenza
necessaria per generarla.
1 Eventualmente il recipiente più interno può essere costituito da materiale diverso da quello esterno, per esempio
da materiale resistente alla corrosione, se necessario.
14-1
Per effetto della pressione di calettamento pc si ha un restringimento del cilindro interno, in
corrispondenza del raggio c, pari a
ui = ²t c =
c
(σt − νσr )
E
Le due tensioni si calcolano con le formule di Lamé con pi = 0 (perché siamo in fase di calettamento).
c2 + ri2
σt = −pc 2
c − ri2
σr = −pc
Quindi
ui =
pc c
E
¶
µ 2
c + ri2
+
ν
− 2
c − ri2
Ovviamente ui risulta negativo perchè il cilindro interno si restringe. Per il cilindro esterno,
ragionando analogamente
µ
¶
pc c c2 + re2
+
ν
ue =
E re2 − c2
Ciò corrisponde ad una allargamento del diametro. Affinchè si abbia il giusto calettamento l’interferenza deve perciò essere
¶
µ
c2 + re2
pc c c2 + ri2
+
δ = |ui | + ue =
E c2 − ri2
re2 − c2
Quando si ha la messa in esercizio del recipiente, il cilindro interno è sollecitato dalla pressione
interna di esercizio pi e dalla pressione di calettamento pc .
14.2 Recipienti nastrati
Il recipiente nastrato funziona con lo stesso principio del recipiente cerchiato ma viene realizzato
in maniera diversa. La pressione esterna sul cilindro destinato a contenere il fluido viene data dalla
tensione di un nastro avvolto ad elica di piccolo passo.
I recipienti realizzati secondo questo metodo constano di un’anima cilindrica relativamente
sottile sulla quale viene avvolto, con tensione prefissata, un nastro riscaldato. Quando esso si
raffredda si contrae e sottopone a pressione esterna gli strati ad esso sottostanti ed in definitiva
l’anima metallica. L’avvolgimento viene effettuato facendo ruotare l’anima nel modo illustrato dalla
figura 14.1. La velocità di avvolgimento è di 4 ÷ 5 metri al minuto. La temperatura del nastro prima
dell’avvolgimento è di 500 ÷ 800 gradi centigradi e dopo cinque o sei giri di avvolgimento viene
bruscamente raffreddato, dapprima con un getto d’aria e poi con un getto d’acqua, in modo da
ottenere la prescritta compressione sugli strati sottostanti. Prima del raffreddamento il mnastro è
mantenuto aderente alla superficie del recipiente mediante rulli di pressione. La tensione del nastro
è di circa 50 MPa.
Non appena terminato l’avvolgimento di un intero strato si procede alla saldatura dell’estremità
e si passa all’avvolgimento dello strato successivo. Il recipente finito, ma ancora senza fondi, si
presenta come in figura 14.2.
14-2
Figura 14.1: Costruzione di recipienti nastrati. 1 - Rulli di compressione; 2 - Rulli di rotolamento;
3 - nastro di acciaio; 4 - Fornetto elettrico di riscaldo; 5 - Raffreddamento ad aria o ad acqua.
14.3 Recipienti autocerchiati
I recipienti autocerchiati vengono preparati sottoponendoli a plasticizzazione nella zona più interna, poi scaricandoli in modo da creare in essi delle tensioni residue, e infine ponendoli in esercizio
con la pressione di lavoro. Questa può giungere fino al valore della tensione di precarico senza che
si abbia ulteriore plasticizzazione.
Si supponga che si voglia plasticizzare la zona cilindrica compresa tra il raggio interno ri e un
raggio c e che il materiale sia del tipo elastico - idealmente plastico (ossia che dopo lo snervamento si
abbia sempre σ = σs ) e che valga il criterio di plasticizzazione della massima tensione tangenziale,
ossia che nella zona plastica si abbia σt − σr = σs .
La zona elastica è caratterizzata da un tensione radiale che al raggio c assume il valore −pc ,
essendo pc il valore della pressione esercitata dalla parte elastica sulla parte plasticizzata. Ivi deve
Figura 14.2: Recipiente nastrato
14-3
essere σt − σr = σs (condizione di incipiente plasticizzazione) e quindi
σt + pc = σs .
(1)
Supponendo che la pressione esterna sia nulla, la tensione tangenziale si calcola con le equazioni
di Lamé
c2 + re2
σt = pc 2
re − c2
dalla quale, sostituendo nella (1) si ricava pc ,
pc = σc
re2 − c2
2re2
Il valore massimo di c è re e il corrispondente valore di pc è zero. Queste condizioni corrispondono,
in caso di materiale non incrudente, allo scoppio del recipiente, e saranno sfruttate in seguito per
ottenere il valore minimo dello spessore.
Nella zona plastica vale l’equazione
σt − σr = σs
e quella di equilibrio
σt − σr
σs
dσr
=
=
dr
r
r
che, essendo a variabili separabili si integra immediatamente
σr
r
= ln
σs
r0
(2)
Particolarizzando per r = c, dove σr = −pc ,
−pc
c
= ln ,
σs
r0
da cui
r0 = cepc /σs ,
(3)
per cui, visto che epc /σs > 1, r0 risulta esterno a c.
La pressione di plasticizzazione, ancora incognita, pp esercitata sulla parete interna del recipiente si ottiene dalla (2) per r = r1 ricordando che −pp = σr (r = ri ):
−pp = σs ln
ri
.
r0
(4)
Allo scarico si producono delle tensioni uguali e opposte a quelle che si avrebbero se la pressione pp fosse applicata ad un recipiente con le stesse caratteristiche geometriche ma avente un
comportamento puramente elastico. Per conseguenza si hanno, in direzione tengenziale, tensioni
residue di compressione all’interno e di trazione all’esterno. Esse migliorano lo stato tensionale in
fase di esercizio.
Calcoliamo ora lo spessore minimo, ponendoci nelle condizioni limite: identifichiamo la pressione di esercizio pi con quella di plasticizzazione pp (mentre deve essere pi ≤ pp ), e poniamo
c ≈ re (la condizione c = re corrisponde allo scoppio). Ricordiamo inoltre che a c = re corrisponde
pc = 0. Sostituendo nella (3) si ottiene r0 = c = re e dalla (4)
−pp = σs ln
14-4
ri
re
e completando le sostituzioni e riordinando
re
= epp /σs
ri
cioè
s
= −1 + epp /σs
ri
Gli spessori minimi ottenuti con l’applicazione dei vari criteri di resistenza in fase elastica sono
riportati nella tabella 14.1, assieme con gli spessori minimi per recipienti autocerchiati.
Tabella 14.1: Spessori s minimi per vari criteri di resistenza e per recipienti autocerchiati
p/σamm
max tens.
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
0.051
0.106
0.163
0.225
0.291
0.363
0.441
0.528
0.624
0.732
0.856
1.000
1.171
1.380
1.646
2.000
2.512
3.359
5.245
s/ri
max deformazione
max tau
senza fondi con fondi
0.052
0.044
0.054
0.109
0.093
0.118
0.172
0.148
0.195
0.241
0.208
0.291
0.319
0.277
0.414
0.408
0.355
0.581
0.511
0.446
0.826
0.633
0.555
1.236
0.780
0.686
2.162
0.964
0.852
1.204
1.069
1.541
1.374
2.064
1.851
3.069
2.771
6.810
6.211
HHvM
0.046
0.100
0.162
0.237
0.328
0.443
0.594
0.804
1.129
1.732
3.595
autocer.
(max tau)
0.051
0.105
0.162
0.221
0.284
0.350
0.419
0.492
0.568
0.649
0.733
0.822
0.916
1.014
1.117
1.226
1.340
1.460
1.586
1.718
1.858
2.004
Si ripeta ora il ragionamento adottando il criterio di plasticizzazione della massima tensione normale:
per essa, nella zona plastica si ha σt = σs . In quasto caso, al raggio interno c della zona che rimane elastica
si ha
c2 + re2
σt = σs = −pc 2
r e − c2
dalla quale si ricava subito pc che ovviamente, a parità di c, re e σs , risulta diversa da quella calcolata col
criterio della massima tensione tangenziale.
Nella zona plastica si ha σt = σs , quindi l’equazione di equilibrio si scrive
dσr
σs − σr
=
dr
r
14-5
che si integra immediatamente cosı̀:
d(σs − σr )
dr
=
σs − σr
r
σs − σr
r
− ln
=
(σs − σr )0
r0
σs − σr
r0
=
(σs − σr )0
r
−
k
r
k
σr = σs − .
r
Il valore di k si trova particolarizzando l’equazione per r = c dove σr = −pc . Si trova
σs − σr =
k = c(σs + pc ).
Quindi
c
σr = σs − (σs + pc ).
r
e la pressione interna di plasticizzazione vale
pp = −σs +
c
(σs + pc ).
ri
In questo caso la condizione di spessore minimo, che si ottiene ponendo c = re , pi = pp e pc = 0 si scrive:
³
pi = σs −1 +
e quindi ovviamente
s
pi
=
ri
σs
ritrovando paradossalmente la formula delle caldaie.
14-6
re
ri
´
15. La costruzione dei recipienti
In questo capitolo saranno presentate soluzioni costruttive per alcune classi di recipienti, e sarà
fatto cenno ad alcuni aspetti normativi.
15.1 Spessori minimi delle pareti
Salvo diverse disposizioni contenute in norme particolari, gli spessori minimi previsti dalla norma
vigente in Italia, VSR.1.C dell’ANCC, sono i seguenti:
• Per pareti ricavate da lamiera oppure da tubo per fasciami cilindrici:
Acciai al carbonio
Acciai debolmente legati e legati
3 mm
2 mm
• Per pareti ricavate per fusione:
Acciai al carbonio
Acciai debolmente legati e legati
6 mm
5 mm
Per i recipienti sferici lo spessore in millimetri non deve essere inferiore a quanto dato dalle
formule:
• per lamiere di acciaio al carbonio:
2.5 +
De
3000
• per lamiere di acciaio legato o debolmente legato:
1.5 +
De
3000
In ogni caso lo spessore non deve essere inferiore ai 6 mm.
Norme particolari valgono per i generatori di acetilene e per i vasi di espansione.
15.2 Recipienti sferici
La teoria membranale conduce alla formula
s
Dm
=
.
p
4σamm
Applicando la vecchia, cara regola dello scomporre si ha
s
Dm − s
Di
=
=
p
4σamm − p
4σamm − p
(1)
La normativa ricava la σamm dividendo la tensione di snervamento (vera o convenzionale) per 1.5;
si prende inoltre in considerazione un coefficiente z datto modulo di efficienza del giunto per tenere
conto della presenza di chiodature, saldature, eccetera.
Per potere usare la (1) anche per recipienti a parete spessa, lo spessore viene alquanto maggiorato scrivendo
pDi
s=
4σamm z − 1.2p
15-1
che vale comunque solo per p/(σamm z) ≤ 0.59.
Sfere di diametro limitato, fino a 1500 mm, possono essere costruite con soli due elementi,
saldando lungo la circonferenza massima due comuni fondi emisferici. Per diametri maggiori la
sfera è ottenuta dall’unione saldata di più elementi preventivamente formati secondo una doppia
curvatura e disposti come indicato in fig. 15.1.
I serbatoi sferici sono sostenuti da un certo numero di colonne cilindriche che vengono saldate
tangenzialmente a partire dalla linea equatoriale direttamente sulla lamiera. Se l’attacco delle
colonne si estende per una sufficiente superficie non è necessario l’impiego di piastre di rinforzo.
Figura 15.1: Costruzione di un serbatoio sferico
15.3 Cilindri soggetti a pressione interna
La formula delle caldaie, scritta sotto forma di proporzione è
s
Dm
=
.
p
2σamm
Applicando ad essa la regola del comporre, facendo comparire il modulo di efficienza e riordinando
si ha
pDi
s=
2σamm z − p
s=
pDe
.
2σamm z + p
Queste formule vanno applicate per recipienti a parete sottile; la norma stabilisce la pressione
limite di applicabilità (Vedi tab. 15.1).
Oltre questa vanno usate le formule per i recipienti a parete spessa, la cui espressione è:
µ
¶
r
Di
σamm z
s=
−1 +
2
σamm z − 1.333p
Questa è in effetti una variante delle formule di progetto della massima tensione tangenziale (che
prevede al denominatore il coefficiente 2 per la p) e di Huber-Hencky-von Mises (che prevede il
15-2
Tabella 15.1: Pressione massima di validità della formula delle caldaie
√
coefficiente 3 per la p). Tutavia la formula della normativa appare ottimistica, sia rispetto a
queste, sia rispetto alla formula del criterio della massima deformazione.
Nel caso in cui la pressione di esercizio sia parzialmente bilanciata da una contropressione
esterna inferiore, il dimensionamento dello spessore del mantello si esegue di solito assumendo
cautelativamente la seconda come nulla.
Se la pressione non si mantiene costante lungo l’asse del cilindro si può pensare ad uno spessore
variabile. Però per recipienti di piccola o media capacità motivi di praticità costruttiva consigliano
generalmente l’adozione di uno spessore costante pari a quello calcolato per la pressione massima.
Solo in casi particolari, come per esempio nei grandi serbatoi verticali per lo stoccaggio atmosferico
di prodotti liquidi o nelle colonne molto alte la notevole economia di materiale che si può realizzare a causa dell’elevato sviluppo superficiale del mantello può giustificare l’adozione di spessori
gradualmente decrescenti verso l’alto.
Per diametri fino a 1000 mm i mantelli cilindrici posono essere costruiti a partire da tubi
senza saldatura commerciali, che sono disponibili in una discreta varietà di spessori. Per diametri
maggiori i mantelli sono invece realizzati saldando diversi elementi di lamiera preventivamente
sagomati per calandratura a caldo o a freddo, disposti in corsi orizzontali con giunzioni sfalsate
come indicato in figura.
Se il recipiente non è molto grande, e se il proporzionamento è imposto rigidamente da esigenze
di processo, occorre ben ottimizzare i tagli delle lamiere (disponibili ovviamente solo in formati
15-3
unificati) per minimizzare gli sfridi e la lunghezza delle saldature.
Recipienti verticali di notevole altezza, come le colonne, possono talvolta essere realizzati per
convenienza di trasporto e di montaggio in più tronconi da unire mediante flange.
La presenza di aperture corrispondenti a bocchelli, passi d’uomo, attacchi per strumenti di
misura, finestre di ispezione, determina un indebolimento del mantello. Per forature di diametro
superiore a 50 mm è spesso necessario irrigidire la parete circostante saldando su di essa, esternamente, una piastra di rinforzo dei tipi indicati in figura. Il criterio di dimensionamento delle
piastre di rinforzo è quello di aggiungere una sezione resistente minima uguale a quella sottratta
con la foratura. Con le notazioni indicate in figura 15.2 si ha:
(A − db )s0 = df s
Figura 15.2: Piastre di rinforzo di aperture
La costruzione dei recipienti per alta pressione è assai complessa e delicata. Oltre alla necessità
di avere pareti di grosso spessore occorre limitare le giunzioni e adottare particolari accorgimenti
per l’attacco dei fondi e per la tenuta. Si ha pertanto a che fare con pezzi molto pesanti che
richiedono speciali tecniche di lavorazione e speciali attrezzature di manipolazione. La forma è quasi
senza eccezioni cilindrica con rapporti lunghezza/diametro crescenti al crescere della pressione in
modo da contenere gli spessori.
Cilindri monoblocco vengono ottenuti per forgiatura e fucinatura a partire da billette piene.
Nel caso di elevate lunghezze la costruzione può essere realizzata in due pezzi identici, uniti per
flangiatura. La figura 15.3 mostra lo schema di un reattore di sintesi ad alta pressione di costruzione
monoblocco.
15.4 Cilindri soggetti a pressione esterna
La formula di verifica adottata dalla normativa per i recipienti cilindrici sottoposti a pressione
esterna è quella di von Mises. La pressione ammissibile all’esterno del recipiente è 1/3 di quella
cosı̀ determinata. è chiaro che problemi di instabilità si possono avere solo con cilindri a parete
sottile.
15-4
Figura 15.3: Recipiente per alte pressioni
Nel caso che questa pressione risulti troppo bassa si posono prevedere cerchiature da disporre
all’esterno o all’interno del recipiente. Tali cerchiature sono ottenute da profilati commerciali,
curvati a caldo. La disposizione è quella di figura 15.4, e l’unione avviene per saldatura. Inutile
dire che le operazioni di saldatura, sia del profilato col recipiente che delle due estremità del
profilato, sono assai più critiche per il rinforzo esterno; in compenso esse risultano ovviamente più
agevoli.
La formula per il momento d’inerzia Ix rispetto all’asse neutro parallelo all’asse del fasciame è
Ix ≥
0.2pLDa2 De
ET
in cui Da è il diametro del rinforzo in corrispondenza dell’asse neutro e ET è il modulo di Young
in corrispondenza della temperatura di esercizio, dato dalla tabella 15.2.
15.5 Cilindri verticali snelli
La verifica dei recipienti sviluppati prevalentemente in verticale, quali per esempio le colonne di
distillazione, non deve considerere la sola pressione, ma anche il peso proprio, il peso del fluido,
le spinte orizzontali del vento e del sisma, combinando queste azioni nel modo più sfavorevole, in
modo da ottenere la massima sicurezza.
15-5
Figura 15.4: Cerchiature interne (a) ed esterne (b) di un recipiente.
Tabella 15.2: Variazione del modulo elastico con la temperatura
15.5.1
Pressione
Le tensioni indotte dalla pressione si calcolano con la consueta teoria dei recipienti a parete sottile.
15.5.2
Carichi statici
I carichi da considerare sono:
• Peso proprio del mantello, compresi passi d’uomo, bocchelli e rinforzi
• Peso delle strutture interne, come piatti e strati di riempimento
• Peso delle strutture esterne, come scale, ballatoi, passerelle
• Peso dell’isolamento termico e delle tubazioni sopportate dal mantello
• Peso dei fluidi contenuti sui piatti.
15-6
• Sovraccarichi accidentali, soprattutto in caso di montaggio e di manutenzione.
Tutti questi carichi inducono nel mantello una tensione assiale di compressione variabile lungo
l’altezza, che nel caso di carichi centrati risulta uniforme e pari a
σaw = −
w(L − x)
πDs
in cui w è il peso delle strutture per unità di altezza, L l’altezza totale della colonna, x la quota
da terra, D il diametro della colonna ed s lo spessore. Si faccia attenzione, come al solito, ad usare
unità coerenti. Il massimo valore di questa tensione è alla base della colonna.
15.5.3
Spinta del vento
La spinta del vento sulle costruzioni si riconduce a una forza orizzontale distribuita sulla superficie
esposta. Essa è dovuta sia alla pressione di ristagno sulla superficie sopravvento, sia al distacco di
vortici, sia ad una depressione sulla superficie sottovento.
L’attuale normativa consiste essenzialmente nel D.M. 16-1-1996 “Norme tecniche relative ai
criteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”, e nella relativa circolare
esplicativa 4-7-1996 n.156/AA.GG. “Istruzioni per l’applicazione delle norme tecniche relative
ai criteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”1 Tale normativa
stabilisce una pressione cinetica qref dovuta al vento, variabile in funzione della posizione geografica
e dell’altitudine, che viene poi maggiorata con opportuni coefficienti, per ottenere la pressione p.
Uno dei coefficienti, quello di esposizione, varia anche con la quota fuori terra della costruzione, e
quindi la pressione agente è in generale crescente con la quota.
La formula è:
p = qref × ce × cp × cd
in cui
• qref è la pressione cinetica di riferimento, calcolata in funzione della posizione geografica e
dell’altitudine dell’impianto;
• ce è il coefficiente di esposizione, variabile in funzione della posizione topografica (per esempio, impianto posto in una valle, o in cima ad una collina) e dell’altezza fuori terra della
costruzione.
• cp è il coefficiente di forma, o aerodinamico, dipendente dalla tipologia della costruzione (p.e.
edifici, coperture di vario tipo, travature reticolari, corpi cilindrici, sfere)
• cd è il coefficiente dinamico.
Per quanti riguarda i corpi cilindrici, il coefficiente aerodinamico cp è

√
per d q ≤ 2.2
 1.2
√
√
cp = 1.783 − 0.263d q per 2.2 < d q < 4.2
√
 0.7
per d q ≥ 4.2
in cui d è espresso in metri e q = Qref ce è espresso in N m−2 .
1 Questi
e altri riferimenti normativi sono reperibili al sito www.pittini.it/ferriere/leggidecreti.htm
15-7
15.5.4
Carico sismico
Il terremoto consiste in una vibrazione del terreno, che induce una sollecitazione nelle strutture. Tale
sollecitazione può essere studiata sia con metodi dinamici, quindi essenzialmente con l’analisi modale, sia
con metodi statici, applicando sulla struttura dei carichi statici che simulano l’azione dei carichi dinamici.
Il metodo statico è adatta solo a quelle strutture di tipo a massa concentrata, quali gli edifici civili; per
sistemi a massa distribuita, come appunto un recipiente alto, è preferibile il metodo dinamico.
La normativa in vigore consiste nel D.M. 16-1-1996 “Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica” e nella circolare 10-4-1997 n. 65/AA.GG. “Istruzioni per l’applicazione delle norme tecniche per le
costruzioni in zona sismica”.2
Un recipiente alto e snallo può essere schematizzato come una mensola incastrata alla base e libera
alla sommità. Un metodo di analisi modale può essere quello di determinare le frequenze di vibrazione e le
relative deformate per i primi n modi di vibrare; dato il tipo di schema si considerano solo modi flessionali.
Sono ben note le espressioni che danno i modi di vibrare (autovettori) e i periodi (correlati con gli
autovalori) di una trave a mensola; il periodo del modo più basso è:
r
ml4
EI
2π
T1 =
3.5160
in cui m è la massa per unità di lunghezza, l la lunghezza, E il modulo di Young e I il momento d’inerzia
della sezione trasversale, e due successivi sono:
T2 = T1 /6.2669
T3 = T1 /17.5475
Conoscendo la deformate normalizzate φi corrispondenti a ciascun modo di vibrare si determina la massa
modale
Z
l
φ2i (x)m(x)dx
Mi =
0
Il fattore di normalizzazione per ogni modo si determina con l’espressione:
Yi =
Qi ai
Mi ωi2
In cui ai l’accelerazione in corrispondenza del periodo Ti , ωi = 2π/Ti e Qi è il carico modale,
Z
Qi =
l
φi (x)m(x)dx
0
Una volta trovato Yi la deformata effettiva per il modo i-esimo è:
fi (x) = Yi φi
dalla conoscenza della deformata tramite la teoria delle travi si giunge a trovare il diagramma del momento.
Per il diagramma del momento complessivo la normativa prescrive:
M (x) =
sX
Mi2 .
i
15.6 Cilindri orizzontali snelli
Il caso dei cilindri orizontali snelli riguarda i serbatoi di stoccaggio e gli scambiatori di calore, per
i quali si possono avere rapporti tra lunghezza e diametro fino a 10. Questi apparecchi sono in
genere sostenuti da due selle concave che abbracciano inferiormente il mantello per un angolo di
120◦ . In questo caso le sollecitazioni del vento e del sisma risultano trascurabili, mantre hanno
importanza la pressione interna, il peso proprio, quello delle strutture di servizio e delle tubazioni
sostenute dal recipiente, il peso dei fluidi contenuti, i sovraccarichi accidentali ed eventualmente
15-8
Figura 15.5: Serbatoio cilindrico ad asse orizzontale.
la neve. Non bisogna dimenticare, per gli scambiatori, il peso del fascio tubiero e delle relative
piastre.
Il serbatoio orizzontale può essere schematizzato come una trave su due appoggi con estremità
aggettanti, sollecitata da un carico uniformemente distrubuito. I due fondi vengono approssimati
da una lunghezza equivalente l di cilindro; con le notazioni di fig. 15.5, si pone l = 2h/3. Il carico
unitario è quindi
g(Mc + Mf )
q=
L + 2l
in cui Mc è la massa del recipiente e delle strutture e Mf la massa del fluido. Il diagramma del
momento è quello schematizzato in figura e si vede che le sezioni critiche sono quelle di appoggio
e di mezzeria, dove i momenti sono rispettivamente
µ
¶
qA2
qB 2
qA2
q B2
2
Ma = −
Mm =
−
=
−A
2
8
2
2
4
Una progettazione
ottimale prevede che i due momenti siano uguali in valore assoluto, per cui
√
A/B = 2/4 = 0.354 e A/(2A + B) = 0.207; in questo caso
|Ma | = Mm =
qB 2
16
Questa sollecitazione produce una tensione assiale il cui valore massimo è
σa = ±
qB 2
4πD2 s
che si somma a quella dovuta alla pressione interna.
In pratica i carichi statici, e in particolare la distribuzione triangolare delle pressioni dovute al
battente liquido, tendono a deformare la sezione circolare, schiacciandola verticalmente; l’effetto
2 Anche
queste norme sono reperibili al sito www.pittini.it/ferriere/leggidecreti.htm
15-9
è più sentito nei mantelli più sottili. Una prima conseguenza è la diminuzione del momento d’inerzia della sezione per cui le tensioni da momento flettente crescono; inoltre, in corrispondenza
delle selle di supporto, il cui profilo è rigorosamente circolare, lo schiacciamento della sezione è
localmente impedito e ciò determina una concentrazione di tensione per ragioni di congruenza, in
particolare in corrispondenza dei vertici superiori di ciascuna sella, al di sopra dei quali il mantello
ritorna bruscamente libero di deformarsi. Per queste ragioni è necessario rinforzare il mantello in
corrispondenza dei supporti saldandovi esternamente delle piastre per un arco maggiore di quello
abbracciato dalle selle. È anche possibile introdurre delle cerchiature, o appoggiare il recipiente su
tre selle anziché su due.
15-10
15.7 Fondi
Si parla ovviamente di fondi solo in recipienti cilindrici, visto che il cilindro è una figura geometricamente indefinita. Inoltre faremo riferimento solo a recipienti per gas (Q = 0).
Considerazioni generali
In un punto qualsiasi di un recipiente per gas vale la relazione
σm =
prn
2s
in cui p = pi − pe o, se si preferisce si può porre per semplicità pe = 0 quindi p = p)i.
Dall’equazione di Laplace
σn
p
prn
p
rn
= −
= (1 −
)
rn
s 2srm
s
2rm
(1)
Ora, nel cilindro rm = ∞ mentre nel fondo rm ha valore finito. Nascono perciò due problemi:
1. All’attacco tra cilindro e fondo rn rimane pressocché costante, mentre rm per quanto detto
varia bruscamente, per cui la σn presenta certamente una discontinuità.
2. Il valore della σn al di là della discontinuità, cioè all’inizio del fondo, può essere negativo,
cosa che si verifica se nella (1) risulta rn /(2rm ) > 1.
Poiché fisicamente non ci possono essere discontinuità nelle tensioni, il primo risultato qui illustrato non è vero, ma indica solo che la soluzione membranale non vale, e a rigore occorre tener
conto degli sforzi di flessione. Tale trattazione più approssimata non verrà qui svolta; basti dire
che la trattazione membranale rimane qualitativamente valida, e anche quantitativamente molto
approssimata.
Per quanto riguarda l’insorgere di sforzi di compressione, va detto che questi possono avere per
conseguenza la presenza di instabilità.
Dal punto di vista costruttivo conviene che i fondi siano quanto più appiattiti possibile, per
ragioni di ingombro. A tal proposito si definisce il rapporto H/R, con H altezza del fondo ed
R raggio del recipiente, come grado di appiattimento, mentre il suo reciproco è detto grado di
profondità.
15.7.1
Fondi sferici
Si calcolano come ordinari recipienti sferici. Per il caso di pressione interna le tensioni principali
risultano di trazione in ogni punto; esiste il problema della discontinuità di σn in corrispondenza
dell’attacco al mantello cilindrico, e questo può essere visto come caso particolare dello stesso
problema nel fondo ellittico, ma non esiste il problema dell’insorgere di sforzi di compressione.
Come facile esercizio lo studioso lettore può tracciare l’andamento della σn in funzione dell’ascissa curvilinea lungo il recipiente.
15.7.2
Fondi ellittici
Il fondo ellittico è sempre un semisferoide oblato, in quanto deve avere un ingombro minore del
fondo sferico. I raggi di curvatura principali sono:
rm =
a2 b2
z3
15-11
rn =
a2
z
con
z=
p
a2 sin2 θ + b2 cos2 θ
essendo θ la colatitudine. Quindi
σm =
σn =
pa2
2sz
pa2 2b2 − z 2
·
2sb2
z
(2)
i cui andamenti sono riportati in fig 15.6.
Figura 15.6: Tensioni nel fondo ellittico (k = a/b)
√
Come si vede dalla (2), la σn diventa negativa quando z > 2b. Siccome all’equatore dello
sferoide, ossia all’attacco
col mantello cilindrico si ha z = a, nell’intorno di tale zona σn sarà
√
negativa se a/b < 2, caso quasi sempre verificato in pratica, sempre per ragioni di ingombro del
fondo. La presenza di tensioni negative (di compressione) può portare all’instabilità.
Un altro problema che si presenta in questi fondi, ma anche in quelli sferici, è la discontinuità
della σn nel passare dal fondo al mantello. Infatti, all’equatore dello sferoide
µ
¶
a2
pa
2− 2
σn =
2s
b
mentre nel cilindro
pR
s
e nella maggior parte dei casi questi valori sono diversi e non riconciliabili (in particolare quando
uno è positivo e l’altro negativo). Questa discontinuità degli sforzi di membrana viene superata
dall’insorgere di sforzi di flessione. Un esempio è data dalla fig. 15.7
σn =
15-12
Figura 15.7: Tensioni nel fondo ellittico con a/b = 2 e nel mantello cilindrico, tenendo conto degli
sforzi di flessione.
15.7.3
Fondi torosferici
Qualitativamente si comportano come i fondi ellittici. Si può applicare la formula generale (1) per
trovare un limite al raggio r del raccordo torico. Infatti, imponendo che σn > 0, risulta rn > 2rm ;
questa condizione, scritta per il punto di raccordo tra toro e cilindro, nel quale rn ≈ R e rm = r
restituisce r > R/2, ma tale condizione darebbe luogo ad un fondo troppo ‘bombato’ per cui si
tollera che r sia più picvcolo, e quindi che σn diventi negativa, purché siano rispettate opportune
regole di proporzionamento, come spiegato in seguito.
15.7.4
Costruzioni grafiche per fondi torosferici
Detti: D il diametro del cilindro, r il raggio del raccordo torico, R il raggio della calotta sferica,
H l’altezza del fondo, A il punto limite della parte rettilinea del meridiano, si propongono tre
costruzioni:
1. Dati D, H, r.
Dal vertice A’ si stacca un segmento di lunghezza r fino ad arrivare al punro O’. Si congiunge
O’ e O1 , centro del raccordo torico. L’asse del segmento O’O1 interseca l’asse nel punto O,
centro della calotta sferica. Vedi figura 15.8
2. Dati D, H, R.
15-13
Figura 15.8: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, r
Dal vertice A’ si stacca un segmento di lunghezza R fino ad arrivare al punro O. Si traccia
un arco di centro O e raggio R fino ad intersecare il piano parallelo per O nel punto B. Si
congiunge B con A e si prolunga fino a intersecare l’arco A’B nel punto O”. Congiungendo
O” con O si trova O1 , centro del raccordo torico. Infatti il triangolo O1 AO” è isoscele sulla
base AO” in quanto simile al triangolo OBO”. Vedi figura 15.9
Figura 15.9: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, R
3. Dati D e H, con l’ulteriore condizione che r/R sia massimizzato.
Si congiunge A e A’ e si tracciano le bisettrici dei due angoli A’AB e AA’B. Esse si incontrano
nel punto O”, che è il punto di raccordo tra toro e sfera. Da O” si traccia la normale ad AA’
fino ad incontrare l’asse nel centro O della calotta sferica. La costruzione si basa sul fatto
che i due triangoli AO1 O” e OO”A’ sono isosceli, come si dimostra facilmente in base ai loro
angoli. Vedi figura 15.10
15-14
Figura 15.10: Costruzione di un fondo torosferico dati D e H, con l’ulteriore condizione che r/R
sia massimizzato.
15.7.5
Aspetti normativi
A parte complicazioni dovuto all’uso di unità non coerenti, i fondi in un sol pezzo3 , secondo la
normativa ANCC, vanno proporzionati con la formula
s=C
pDe /2
σamm
in cui il coefficiente C è dato dal diagramma di fig. 15.11, in funzione dal rapporto H/De
I fondi sferici devono avere s ≤ 0.16De ; i fondi ellittici H ≤ 0.2De e i fondi torosferici: (vedi
figura 15.12)
s ≤ 0.08De
r ≥ 0.1De
r ≥ 3s
R ≤ De
H ≥ 0.18De
Inoltre i fondi
√ ellittici e torosferici devono avere un colletto cilindrico di pezzo, avente altezza
minima di 0.3 De s.
3e
con esclusione quindi dei fondi ottenuti per saldatura
15-15
Figura 15.11: Coefficiente C per il proporzionamento di fondi sferici, ellittici e torosferici, con o
senza aperture; d è il diametro massimo dell’eventuale apertura ed s è lo spessore del fondo.
Figura 15.12: Fondo torosferico
15-16
15.8 Serbatoi di stoccaggio
Si premette che i serbatoi si dividono in serbatoi di processo e serbatoi di stoccaggio. I primi sono
normalmente di dimensioni ridotte e si interpongono tra le apparecchiature di processo al fine di
rendere relativamente indipendenti parti diverse dell’impianto. Esempi sono i serbatoi di svincolo
tra sezioni funzionanti in modo discontinuo e in modo continuo, i serbatoi di mescolamento di
diverse correnti e i polmoni per l’assorbimento di variazioni di composizione o di temperature. I
serbatoi di stoccaggio invece sono di dimensioni molto maggiori e si trovano di norma all’inizio e
alla fine di ogni ciclo di lavorazione per far fronte all’esigenza di conservare le materie prime e i
prodotti finiti nell’intervallo tra due rifornimenti o spedizioni. Essi vengono situati generalmente
in un parco serbatoi esterno al recinto delle apparecchiature dell’impianto e ciò in base a esigenze
di manutenzione, facilità di carico e scarico e sicurezza.
I serbatoi si distinguono in aperti e chiusi; questi ultimi possono essere a pressione atmosferica
o a pressione maggiore; a seconda del fluido si distinguono inoltre serbatoi per liquidi e per gas.
15.8.1
Serbatoi per liquidi
Tra i serbatoi aperti vi sono le piscine, di calcestruzzo o di acciaio, in genere interrate; in questo
modo si elimina il problema dell’ingombro e quello della resistenza delle pareti, sostenute dalla
spinta del terreno, e in parte anche quello delle fondazioni, visto che scavando si raggiungono
comunque strati di terreno più resistenti.
Per depositi a pressione atmosferica di grandi volumi la soluzione più economica è quella dei
serbatoi cilindrici ad asse verticale a fondo piano.
I fondi piani poggiano direttamente sulla fondazione e quindi sono soggetti alla sola compressione dovuta al carico idrostatico, che è sempre trascurabile, e alla flessione in corrispondenza della
saldatura col mantello, anch’essa trascurabile. Per tale motivo non si effettuano calcoli e si pone
lo spessore uguale a 5 – 10 mm.
I tetti possono essere fissi o galleggianti.
I tetti fissi hanno generalmente forma conica molto svasata o raramente curvilinea e sono
in lamiera. Per piccoli diametri, fino a 10 m, sono sostenuti solo perimetralmente dal mantello.
Il calcolo di stabilità si effettua tenendo conto del peso proprio, del sovraccarico accidentale e
dell’eventuale depressione ammessa dalla valvola di respirazione. Eventualmente sono da prevedere
nervature radiali irrigidenti, collegate da un nodo centrale. Le nervature si dimensionano a due a
due considerandole come arco a tre cerniere soggetto ad un carico triangolare dovuto allo scarico
del tetto. Sono perciò soggette a flessione e carico di punta. Il tetto autoportante produce anche
una spinta radiale sul mantello, crescente al diminuire dell’inclinazione, per assorbire la quale
occorre prevedere un anello di rinforzo sul bordo.
è chiaro che per diametri maggiori di 10 m il tetto deve essere sostenuto in maniera autonoma
tramite una serie di pilastri, che nei casi migliori si riducono ad uno solo centrale, e nei casi
peggiori costituiscono una o più corone circonferenziali. In questo caso le nervature si considerano
puramente appoggiate e quindi soggette a sola flessione e quindi scompare il carico di punta,
al quale sono invece soggetti i pilastri. Alla base del pilastro si deve prevedere una piastra di
ripartizione di spessore 10 mm.
Sia i pilastri che le nervature sono costituiti da profilati saldati.
I tetti galleggianti sono assai più semplici perché sostenuti direttamente dal liquido. Sono
costituiti da una struttura cava in modo da assicurare il galleggiamento e irrigiditi internamente
da setti radiali e circonferenziali. La lamiera superiore e inferiore può essere quindi suddivisa in
trapezoidi, ciascuno dei quali si calcola come piastra appoggiata lungo il bordo. Alla periferia si
deve prevedere un’apposita tenuta.
Per pressioni superiori a quella atmosferica è necessario ricorrere a serbatoi a fondi torosferici,
ellittici o sferici. La bombatura del fondo aumenta con la pressione. L’asse può essere orizzontale
15-17
o verticale; nel primo caso il diametro è raramente maggiore di 4 m e la lunghezza di 20 m. Per
volumi elevati è necessario usare più serbatoi in batteria o ricorrere a serbatoi ellissoidali o sferici,
questi ultimi, di norma, riservati ai gas.
Va detto infine che, per evitare pericolose sovratensioni dovute alla dilatazione termica, i
serbatoi per liquidi non vengono mai riempiti interamente, ma fino ad un massimo del 90 %.
15.8.2
Serbatoi per gas
I serbatoi per gas possono essere a volume o a pressione costante. Nel primo caso le forme costruttive sono quelle già note (cilindriche o sferiche) e il calcolo si effettua come per i recipienti per
liquidi. Le pressioni sono superiori a quelle degli analoghi serbatoi per liquidi, onde immagazzinare
una maggiore massa per unità di volume. Inoltre, essendo trascurabile il carico idrostatico, spesso
si ricorre a serbatoi cilidrici ad asse verticale, anche molto alti.
I serbatoi a pressione costante sono i gasometri, che ovviamente sono a volume variabile e
quindi dotati di sistemi telescopici.
Si noti che spesso i gas sono immagazzinati in condizione di liquefazione.
15.9 Strutture di sostegno
15.9.1
Fondazioni
Plinti
Il tipo di fondazione più conveniente ed economico per strutture a sviluppo verticale di limitata sezione è il plinto, costituito da un blocco di calcestruzzo armato prismatico o piramidale, appoggiato
sul terreno con l’interposizione di uno strato di calcestruzzo magro.
La forma più economica è la pianta quadrata, anche se la più efficiente dal punto di vista
del contrasto dei momenti ribaltanti è quella circolare; spesso come soluzione di compromesso si
adotta una pianta esagonale o ottagonale.
Dal punto di vista del dimensionamento, ci interessiamo qui solo del calcolo delle dimensioni
della base di appoggio, notando comunque che il calcolo del cemento armato è in questo caso molto
facile.
I carichi gravanti sul plinto sono verticali o orizzontali. Quando vengono ricondotti al baricentro
della base di appoggio danno luogo ad una forza orizzontale, una verticale F e un momento M ,
detto momento ribaltante. La componente orizzontale è assorbita senza difficoltà dall’attrito sulla
base e quindi non entra nei calcoli; la forza verticale dà luogo ad una compressione uniforme
σP =
F
A
e il momento ad una distribuzione di tensioni a farfalla di valore massimo
σF =
M
Wf
In cui Wf è il modulo di resistenza a flessione della base.
Noto il valore del carico ammissibile σT sul terreno, deve essere:
σF + σP ≤ σT ;
Inoltre, per assicurare che la tensione sia di compressione in ogni punto deve essere:
σF ≤ σP .
15-18
Platee
Vengono utilizzate in caso di bassa resistenza del terreno e di notevole vicinanza tra loro delle
apparecchiature. Sono costituite da una soletta di cemento armato, talvolta irrigidita da travi
rovesce. Data la notevole rigidezza dell’insieme, perdono di importanza i momenti ribaltanti agenti
sulle varie strutture.
Pali
Vengono utilizzati in terreni a scarsa resistenza, per raggiungere strati più profondi. Un palo agisce
in due modi: da un lato viene sostenuto dall’attrito lungo la sua superficie laterale, dall’altro va a
scaricare il carico su strati più profondi e quindi più resistenti. Alla testa dei pali viene fissata la
fondazione ordinaria, in genere a plinto.
Basamenti
Si dicono basamenti quei blocchi di fondazione particolarmente pesanti e robusti destinati a supportare aparecchiature che generano intensi carichi dinamici e vibrazioni, come vagli, mulini, pompe,
compressori, turbine.
Superficialmente simile al plinto, il basamento richiede un dimensionamento del tutto diverso.
Inannzitutto la pressione ammissibile sul terreno, in caso di carichi dinamici, deve essere limitata
ad 1/2 – 1/3 di quella statica; poi occorre che il basamento assorba il più possibile le vibrazioni.
A tale ultimo scopo esso deve avere una frequenza propria molto elevata, che si ottiene dandogli
una massa molto elevata rispetto a quella dell’apparecchiatura che supporta. Se il volume del
basamento diventa molto elevato, risulta opportuno abbassarne il piano di posa rispettoa quello
di altre fondazioni.
15.9.2
Sostegni
Generalità
Mentre i macchinari come pompe, compressori, turbine, sono normalmente collocati a livello del
suolo, le apparecchiature di processo per varie esigenze operative e di manutenzione devono essere
assai spesso sistemate in posizione sopraelevata. Ciò comporta la predisposizione di adeguate
strutture di sostegnno.
Colonne, grandi reattori, scambiatori di calore, serbatoi, dispongono di solito di sostegni individuali. Condensatori, autoclavi, recipienti di accumulo e apparecchiature minori come vagli, filtri,
separatori, vengono invece sistemate alle rispettive quote entro strutture reticolari comuni
Sostegni per apparecchiature singole
La gonna costituisce il sistema di sostegno più diffuso per le colonne e in generale per le apparecchiature cilindriche a sviluppo verticale. Come mostrato in fig. 15.13, si tratta di un tronco
cilindrico in lamiera che in pratica prosegue il mantello dell’apparecchiatura, fino alla fondazione. Lateralmente è presente un’apertura per l’ispezione. L’ancoraggio alla fondazione avviene per
mezzo di apposite scatole saldate alla gonna, in cui vengono serrate le teste di tiranti filettati
previamente annegati nel calcestruzzo, come mostrato in fig. 15.14.
Le sollecitazioni a cui la gonna è sottoposta sono le stesse che agiscono sul mantello dell’apparecchiatura che essa sostiene, ad eccezione, ovviamente, della pressione interna. Inoltre, se la
temperatura di esercizio è diversa da quella ambiente, nella gonna si instaura un gradiente di
temperatura. La gonna è sempre realizzata in acciaio al carbonio. Il numero di tiranti alla base
dipende dal diametro dell’apparecchiatura e dal momento flettente da contrastare.
15-19
Figura 15.13: Sostegno a gonna.
Figura 15.14: Forme costruttive di tiranti.
Apparecchiature verticali di piccola altezza come autoclavi, piccoli serbatoi, scambiatori di
calore, sono preferibilmente sostenute da zampe metalliche equidistanziate lungo la circonferenza e
realizzate con profilati commerciali. Le zampe sono saldate all’apparecchiatura e alla base ciascuna
di esse è saldata ad una piastra che realizza l’unione con la fondazione a mezzo dei soliti tiranti
filettati. La sollecitazione agente sulle zampe è di sola compressione, e quindi di carico di punta,
in quanto in ciascuna di esse il momento flettente agente sulla struttura si traduce in un’aliquota
di carico assiale di trazione o di compressione che si somma alla sollecitazione dovuta ai carichi
verticali.
Analoga soluzione vale per i recipienti sferici.
I recipienti cilindrici orizzontali sono, come si è visto, sostenute da selle in calcestruzzo o in
lamiera metallica.
15-20
Strutture reticolari
Quando occorre sistemare una singola apparecchiatura a quota elevata o più aparecchiature di
limitate dimensione in elevazione, conviene ricorrere a strutture di sostegno comuni, che possono
essre aperte o chiuse. Le prime sono caratteristiche degli impianti che eseguono lavorazioni di base
e sono più economiche; le seconde, che sono richieste quando si voglia offrire alle apparecchiature
una maggiore protezione, sono caratteristiche di impianti più piccoli.
Nel primo caso si ricorre a strutture reticolari costruite con solai, travi e pilastri. Possono essere
in cemento armato o in struttura metallica, quest’ultima molto più diffusa in quanto, sia pure più
costosa, presenta il vantaggio di un rapido montaggio e di un valore residuo elevato in caso si
dovesse rottamarla.
Le strutture chiuse sono invece i capannoni, o di un vero e proprio fabbricato, realizzato in
cemento armato o in acciaio o con struttura prefabbricata.
15.10 Tecnologie per la costruzione dei recipienti
L’elemento fondamentale di un impianto chimico si può ricondurre alla tipologia del tubo, sia
di piccolo che di grosso spessore, di piccola o grande lunghezza, in metallo ordinario o speciale
eccetera.
Consideriamo innanzitutto i tubi di acciaio, che sono i più comuni.
Dal punto di vita tecnologico essi si distinguono tubi saldati e senza saldatura; questi ultimi
ulteriormente suddivisi in tubi laminati (Mannesmann) o estrusi.
I tubi saldati si ottengono piegando un foglio di lamiera, fino a ridurlo ad un cilindro, e saldando
poi i due lembi accostati; poiché la saldatura potenzialmente è fonte di indebolimento, e richiede
quindi sia un’accurata esecuzione sia controlli di integrità, anche questa lavorazione è riservata
a ditte specializzate e a produzioni fortemente industrializzate, quindi ripetitive, con macchine
dedicate e con forti volumi di produzione.
Affini alla tipologia dei tubi saldati sono i recipienti conici (tramogge).
I tubi senza saldatura Mannesmann sono fabbricati con un processo particolare che impiega in
successione due laminatoi, quello foratore (o Mannesmann) e quello finitore (a passo del pellegrino).
Il lingotto, di diametro superiore a quello del tubo da ottenere, viene forato al centro nel
laminatoio Mannesmann; successivamente il diametro esterno viene ridotto (e con esso lo spessore)
nel laminatoio a passo del pellegrino.
I tubi trafilati si ottengono facendo passare un tubo senza saldatura (semilavorato) attraverso
un foro calibrato; se l’interno del tubo è libero (trafilatura senza mandrino) si ottiene una diminuzione del diametro a spessore pressocché costante; se all’interno del tubo è posto un albero (che
definisce il diametro interno del tubo) si ha la trafilatura con mandrino.
I tubi di grandissimo diametro possono essere anche forgiati; ossia si fora un lingotto piuttosto
corto e poi se ne lavora l’interno tra due cilindri laminatori in modo da portarne diametro e
spessore alle dimensioni desiderate.
I tubi di ghisa sono ottenuti per fusione o per centrifugazione; nel primo caso si adottano forme
verticali; nel secondo il metallo viene colato in una forma rotante ad asse orizzontale, in modo da
uniformare lo spessore grazie alla forza centrifuga. I tubi di ghisa, per la loro elevata resistenza
alla corrosione, sono utilizzate per condotte interrate.
In alcuni casi (per esempio condotte forzate di impianti idroelettrici) i tubi devono essere
rinforzati tramite anelli disposti esternamente; questi sono sempre ottenuti per fucinatura al maglio
o per laminazione a partire da dischi forati.
Tubi in cemento o in materie plastiche sono di uso limitato in un impianto chimico, per lo più
in impieghi di carattere civile: pluviali, fognature eccetera.
La raccorderia (gomiti, raccordi a T e a croce, adattatori di diametro) viene ottenuta per
fusione, in forme metalliche (fusione in conchiglia) per garantire elevata ripetibilità dimensionale
15-21
e grande durata degli stampi. I raccordi possono essere più semplicemente ottenuti per piegatura
di spezzoni corti di tubo.
Le valvole sono costituite di due parti, una fissa (corpo valvola) e una mobile (disco o sfera
di chiusura e stelo di manovra). Il corpo valvola, che è di forma complessa, si ottiene per fusione;
dischi e steli per stampaggio (alla pressa o al maglio).
I fondi dei recipienti a piccolo spessore sono ottenuti per imbutitura a freddo; si parte da una
lamiera piana circolare e si pone tra due stampi, uno convesso e uno concavo, uno fisso e l’altro
azionato da una pressa. I due stampi riproducono in negativo la superficie del fondo; man mano
che si avvicinano deformano la lamiera che da piana diventa bombata e si adatta alla cavità tra
i due stampi. I fori necessari possono essere ottenuti in questa fase per punzonatura; i successivi
particolari costruttivi (rinforzi, attacchi) vengono collegati per saldatura. Ancora per saldatura
viene collegato il fondo al recipiente.
I fondi dei recipienti di grosso spessore vengono ottenuti per fucinatura o stampaggio, con successiva finitura alle macchine utensili, per creare le superficie di accoppiamento con la guarnizione
e il mantello.
La bulloneria (viti e dadi di varie forme e dimensioni) è costruita in acciaio speciale da bulloneria
(appunto. . . ) e viene ottenuta per lavorazione a macchine utensili speciali (derivazioni del classico
tornio) oppure per rullatura (viti rullate), a partire da semilavorati speciali (p. e. barre esagone
per i dadi). La testa delle viti viene ricavata per ricalcatura.
Con i sostegni (per tubazioni e per ausiliari) si entra nel capitolo della carpenteria metallica. Gli
elementi che la caratterizzano sono lamiere, travi a L, a T e a doppio T, ancora tubi. Tutti questi
elementi sono ottenuti per laminazione. Profilati di piccola sezione, specie se di leghe leggere, sono
ottenute anche per estrusione (trafilatura).
Con questi elementi si costruiscono sostegni più o meno grandi, che talvolta prendono la forma
di vere e proprie strutture a telaio, a uno o più piani. Le giunzioni sono ottenute quasi sempre
per bullonatura, che garantisce la possibilità di un eventuale smontaggio; qualche volta usata la
saldatura, specialmente per costruire pezzi complessi a partire da pezzi semplici, per esempio travi
a cassone a partire da lamiere piane. In disuso ormai è la chiodatura.
I grandissimi serbatoi, p.e. per derivati del petrolio, sono costituiti, come già detto, di lamiere
saldate; i tetti (sia fissi che flottanti) possono essere ricondotti alla classe delle carpenterie, perché
costituiti di travature di sostegno e di lamiere di copertura.
Le fondazioni, realizzate in cemento armato, sono state trattate sopra. Accenno al fatto che
i tondini per cemento armato sia lisci (in acciaio dolce) sia ad aderenza migliorata (in acciaio al
carbonio) sono prodotti per laminazione.
I capannoni per deposito di materiali, mezzi di trasporto, bombole e quant’altro rispondono
alla tipologia degli analoghi edifici industriali: sono costituiti da struttura metallica o in cemento
armato e copertura in carpenteria metallica; in genere sono ad un solo piano. Più vicini al genere
delle costruzioni civili (anch’esse in struttura metallica o in cemento armato) sono le palazzine per
uffici, portineria, e quant’altro. Queste sono in genere a più piani.
15-22
16. Collegamenti filettati, flange e
guarnizioni
16.1 Chiusura dei coperchi
Nel contesto dei recipienti in pressione i collegamenti filettati sono impiegati per collegare il coperchio al corpo dei recipienti, o per collegare due tratti di tubazione ecc. Comunque il discorso
fatto vale anche per altri casi.
Sulle due estremità del tubo da collegare sono saldate due flange tra le quali si interpone una
guarnizione di materiale più cedevole che serve ad assicurare la tenuta (vedi fig. 16.1).
Figura 16.1: Collegamento con flangia tra mantello e coperchio
In un primo momento i bulloni1 vengono serrati per assicurare la tenuta; poi il recipiente viene
pressurizzato. Per effetto della pressione le viti si tendono ulteriormente, mentre la guarnizione si
scarica. Comunque un certo carico deve rimanere su di essa per evitare perdite.
Nella fase di pretensionamento i bulloni sono tesi da una forza complessiva W1 e corrispondentemente la guarnizione è compressa da una forza −W1 .
Nella fase di pressurizzazione la pressione interna p provoca l’insorgere della forza W2 = πG2 p/4
in cui G è il diametro medio della guarnizione2 ; questa provoca uno spostamento δ2 verso l’alto
del coperchio rispetto al mantello. Corrispondentemente le viti si allungano di δ2 e la gurnizione
aumenta il suo spessore di δ2 .
Siano Kb la forza che provoca un allungamento unitario delle viti (rigidezza delle viti) e
1 dicesi
bullone l’insieme di una vite e del relativo dado
è il diametro medio della superficie di contatto della guarnizione, purchè la larghezza di quest’ultima sia
minore o uguale a 6.25 mm.
2G
16-1
−Kg la forza che provoca una diminuzione unitaria di spessore della guarnizione (rigidezza della
guarnizione).
Allora l’allungamento δ2 corrisponde ad una forza aggiuntiva di Kb δ2 nelle viti e di Kg δ2 nella
guarnizione. Siccome la loro somma deve fare W2 , risulta che alle viti va un’aliquota
W2b = W2
Kb
Kg + Kb
W2g = W2
Kg
Kg + Kb
mentre alla guarnizione va un’aliquota
Entrambe le aliquote sono positive per cui le viti si caricano ulteriormente mentre la guarnizione
si decomprime3 .
Si deve quindi imporre la condizione che il carico totale sulla guarnizione sia negativo; la normativa impone che esso sia proporzionale alla pressione del fluido e ad un coefficiente m dipendente
dal tipo di guarnizione, ossia
−W1 + W2
Kg
= −2πbGmp,
Kg + Kb
(1)
in cui e b la larghezza convenzionale della guarnizione; da dove venga il fattore 2, proprio non lo
so. In base a questa formula si può determinare W1 .
Nasce tuttavia una difficoltà: il carico W1 non può essere troppo maggiore di quello che provoca
lo snervamento della guarnizione, che in buona approssimazione si raggiunge con la pressione y ‘di
assestamento’ data dalla normativa,4 ossia
W1 = πGby
(2)
Il fatto di avere una stessa quantità (W1 ) determinata da due equazioni , la (1) e la (2), permette
di porre un vincolo sulla dimensione della guarnizione o sulla pressione raggiungibile nel recipiente.
Poniamoci infatti nelle condizioni peggiori supponendo che sia W2g ≈ W2 (cosa che avviene se Kb
è trascurabile rispetto a Kg ). Allora
W1 = W2 + 2πGbmp
(3)
Facendo sistema tra (2) e (3) si trova
W2 =
πG2 p
= πGby − 2πGbmp
4
da cui
b=
Gp
4(y − 2mp
da cui risulta che b non può essere troppo piccolo rispetto a G, a meno che non ci si limiti a bassi
valori di p. Si trova innanzitutto 2mp < y, quindi, posto m ≈ 4,
p<
y
y
≈
2m
8
3 abbiamo ottenuto un caso particolare della regola molto generale per cui la forza si ripartisce tra elementi in
parallelo in misura proporzionale alle rispettive rigidezze. ; una regola che l’ingegnere è chiamato ad applicare non
solo in senso ‘passivo’, per prevedere la distribuzione delle forze, ma anche in senso ‘attivo’, modificando le rigidezze
in modo da avere una predeterminata distribuzione di forze.
4 La lettera y etimologicamente è l’iniziale di ‘yield’.
16-2
e che, se y/lly, b/G ≈ p/(4y), per cui se p ≈ y/25, ossia se la pressione è dell’ordine di grandezza
di 10 bar, si ha G/b ≈ 100.
Le costanti m e y per varie guarnizioni sono date in tab. 16.1. Questa tabella, contempla il caso
di guarnizioni con amianto, oggi fuorilegge perché cancerogeno. Come succedaneo si usa la grafite,
oppure fibre ceramiche; purtroppo anche queste sono sospette di cancerogenicità. La successiva
tabella 16.2 riguarda i particolari costruttivi delle sedi per guarnizioni.
16-3
Tabella 16.1: Guarnizioni: Materiali e tipi (tab. 1.U.3.2 della raccolta VSG dell’ANCC). La
corrisponente tab. 1.U.3.3 è riportata in tab. 16.2.
16-4
Tabella 16.2: Guarnizioni: Larghezza di assetto (tab. 1.U.3.3 della raccolta VSG dell’ANCC).
16-5
16.2 Formule per le rigidezze
Rigidezza dei bulloni
Kb = N
An Eb
L
dove
N numero bulloni
L lunghezza libera della vite uguale allo spessore delle due flange più la parte libera della
guarnizione.
Eb modulo elastico delle viti
An area di nocciolo di una vite.
Rigidezza della guarnizione
Kg =
Ag Eg
sg
dove
Eg modulo elastico della guarnizione
Ag area della guarnizione,
Ag = 2πDg bg
sg spessore della guarnizione.
Se la guarnizione è molto rigida conviene impiegare al posto della rigidezza della sola guarnizione Kg la rigidezza equivalente delle flange più la guarnizione Kf g , calcolata con la formula delle
rigidezze in serie
1
1
1
1
=
+
+
Kf g
Kf 1
Kg
Kf 2
dove la rigidezza di una flangia è calcolata tenendo conto che la parte reagente è un tronco di
cono avente per base minore la superficie di appoggio del dado o della testa della vite e angolo
di semiapertura 45 gradi. Per semplicità si sostituisce ad esso un cilindro equivalente di area Af .
Quindi
Af Ef
Kf = N
sf
dove
N numero bulloni
sf spessore di una flangia
Ef modulo elastico della flangia
Af area equivalente della parte reagente della flangia
"µ
#
¶2
π
2
Af =
D m + sf
−d
4
Dm diametro medio del dado (media tra larghezza in chiave e diametro nominale)
d diametro del foro.
16-6
16.3 Collegamento a flangia per attrito
Sia da trasmettere un momento torcente Mt e il contatto tra le due flange sia limitato ad una
corona circolare compresa tra i reggi Ri ed Re ; questa limitazione rende più realistica l’ipotesi che
verrà fatta cioè che la pressione p tra le due flange sia uniformemente distribuita.
Un’area elementare posta a distanza r dall’asse trasmette un momento elementare
dMt = f prdA
in cui f è il coefficiente di attrito tra le facce (per sicurezza conviene prendere il coefficiente di
attrito dinamico che è più piccolo di quello statico).
Per facilitare l’integrazione si può supporre che l’elementino di area sia una corona circolare di
larghezza dr, la cui lunghezza è ovviamente 2πr. Quindi
dMt = f p2πr2 dr
e
Z
Re
Mt = 2πf p
r2 dr = 2πf p
Ri
Re3 − Ri3
.
3
Da questa formula si ricava la pressione p, per cui la forza di chiusura totale, data dalla pressione
per l’area di contatto, è
W1 = πp(Re2 − Ri2 );
questa quantità è anche lo sforzo totale di trazione su tutte le viti. Si è usato il pedice 1 , di fatto qui
inutile, per analogia con quanto svolto nei paragrafi precedenti nel caso delle flange per coperchi.
16.4 Momento di serraggio
Per creare sulle viti il carico assiale W1 calcolato nelle sezioni precedenti (cioè un carico di W1 /N
su ciascuna vite) occorre stringere i dadi con il dovuto momento di serraggio (popolarmente detto
coppia di serraggio).
Per calcolarlo osserviamo che la coppia vite-madrevite è dinamicamente equivalente ad un
piano inclinato
Per camprendere questo fatto si faccia riferimento alla figura 16.2; qui si immagina che la vite
sia costituita sostanzialmente di una molla (che schematizza l’elasticità del gambo) che tira verso
il basso un elementino trapezoidale (che schematizza una porzione del filetto della vite), a sua
volta appoggiato su un cuneo, che rappresenta una porzione del filetto del dado.
Lo scopo dell’avvitamento è insinuare il cuneo (filetto del dado) sotto l’elementino trapezoidale
(filetto della vite) vincendo la forza della molla e quindi esercitando una forza T .
Evidentemente tra i due elementi a contatto c’è una forza di chiusura Q e una forza di attrito
µQ in cui µ è il coefficiente di attrito tra i due filetti.
Si considerino ora le forze agenti sul filetto del dado (figura 16.3, in basso): sono la T (orizzontale), la Q (inclinata di α rispetto alla verticale verso il basso) e la µQ (inclinata di α rispetto
all’orizzontale e diretta verso destra). Vi è anche un’altra forza verticale diretta dal basso verso l’alto, e che rappresenta la reazione della superficie su cui il dado è appoggiato, ma essa non
influisce sul nostro ragionamento, che sarà basato su un equilibrio alla traslazione orizzontale.
Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione orizzontale si ha
T − Q sin α − µQ cos α
da cui
T = Q(sin α + µ cos α)
16-7
(1)
Figura 16.2: Meccanismo ideale equivalente ad una coppia vite-dado.
Figura 16.3: Forze agenti sul filetto della vite (in altro) e su quello del dado (in basso); le forze
indicate come distribuite sono ininfluenti rispetto al ragionamento che qui interessa.
Le forze agenti sul filetto della vite (figura 16.3, in alto) sono: la W1 /N , diretta dall’alto verso
il basso, la Q, e la µQ, dirette nel verso opposto al caso precedente in quanto forze di reazione. Qui
non prendiamo in considerazione le forze orizzontali, in quanto procederemo ad un equilibrio in
direzione verticale; basterà accennare al fatto che l’equilibrio orizzontale è assicurato dalla rigidezza
torsionale del gambo.
16-8
Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione verticale si ha
W1
− Q cos α + µQ sin α
N
da cui
W1
Q(cos α − µ sin α)
N
Ricavando Q dalla (1) e sostituendo nella (2) si ha
T =
T =
(2)
W1 sin α + µ cos α
N cos α − µ sin α
e, introducendo l’angolo di attrito φ, definito in modo che sia µ = tan φ,
W1
sin α + tan φ cos α
=
N
cos α − tan φ sin α
Ricordando la formula di addizione della tangente, si ha
W1
tan(α + φ)
N
in cui α angolo d’elica del filetto (α = arctan p/(πdm )) per una vite di passo p e φ angolo di attrito.
Da essa
dm W1
Mt =
tan(α + φ)
2 N
in cui dm è il diametro medio tra quello esterno D (nominale) della vite e quello interno D1 della
madrevite (vedi figura nella tab. 16.4). Questo è il momento torcente indotto sulla vite e che
potrebbe chiamarsi momento di serraggio netto.
Occorre considerare anche l’attrito tra dado e superficie di appoggio, che dà un momento
T =
Md =
Dm W1
tan φ0
2 N
in cui φ0 angolo di attrito tra dado e superficie di appoggio e Dm è il diametro medio del dado
(media tra larghezza in chiave e diametro nominale)
Il momento di serraggio totale (o lordo, se si vuole) è dato dalla somma di questi due momenti
parziali di cui il secondo è completamente perduto, mentre il primo rimane immagazzinato nella
vite come momento torcente.
16.5 Verifica della vite
La vite è soggetta ad uno sforzo normale
Q=
W1
W2
Kb
+
N
N Kg + Kb
e ad un momento torcente
d m W1
tan(α + φ).
2 N
Infatti il momento Md rimane confinato al dado e non interessa la vite. La verifica si fa come in
un normale solido del de Saint Venant.
Mt =
16-9
Lo sforzo di trazione dà luogo, sulla sezione perpendicolare all’asse, ad una distribuzione
uniforme di tensioni normali
4Q
σ=
.
πd2n
Il momento torcente dà luogo, sulla sezione perpendicolare all’asse, ad una distribuzione di tensioni
tangenziali ‘a farfalla’
32Mt
τ (r) =
r
πd4n
Per la verifica si osserva che i cubetti più sollecitati sono sul contorno, per essi
τ = τmax =
16Mt
πd3n
Per la determinazione delle tensioni principali, da introdurre in un criterio di resistenza, si sfrutterà
la costruzione di Mohr. Consideriamo il cubetto definito nella figura 16.4. Le facce 1 sono sezioni
normali della vite, le facce 2 sono sezioni radiali, le facce 3 sono parallele alla superficie laterale.
Figura 16.4: Cubetto in stato piano di tensione estratto dal solido di de Saint Venant
Risultando scarica la superficie laterale (è una delle condizioni poste al problema di de Saint
Venant), le facce 3 sono scariche; per conseguenza la normale n3 ad esse è una direzione principale
(autovettore del tensore degli sforzi) e la relativa tensione principale (autovalore) è nulla.
Per la determinazione degli altri due autovalori, seguiamo il teorema di Mohr, che dice che al
ruotare del cubetto intorno alla normale n3 i punti le cui coordinate sono la σ e la τ percorrono
sul piano di Mohr una circonferenza, mantenendosi su di essa diametralmente opposti.
Disegnando la situazione sul piano di Mohr (fig. 16.5) si vede che il punto 1 ha coordinale
(σ, −τ ) e il punto 2 ha coordinate (0, τ ) coerentemente con la regola dei segni di Mohr che prende
positive le rotazioni orarie. Siccome i due punti sono diametralmente opposti il cerchio ha centro
16-10
C di coordinate (σ/2, 0) e raggio
C2 = C1 =
r³ ´
σ 2
2
+ τ2
quindi le tensioni principali sono:
σ
σ1 = +
2
σ
σ3 = −
2
r³ ´
σ 2
2
r³ ´
σ 2
2
+ τ2
+ τ2
mentre σ2 = 0 (come detto gli indici delle tensioni principali si scelgono in modo che sia σ1 >
σ2 > σ3 ).
Figura 16.5: Verifica sul piano di Mohr
Una formula di progetto è

2/3
152 W
As
=  σsN 
mm2
MPa
in cui As è l’area resistente, W la forza assiale agente e σs la tensione di snervamento del materiale
di cui la vite è fatta.
16.6 Distanze tra i bulloni
La pressione è uniformemente distribuita sulla guarnizione se i bulloni distano meno di 10 volte il
loro diametro.
La distanza minima tra i bulloni è data dalla necessità di agire con la chiave.
16-11
16.7 Tabelle dell’unificazione
Tabella 16.3: Filettature metriche ISO a profilo triangolare: Coordinamento diametro-passo (UNI
4535)
16-12
Tabella 16.4: Dimensioni delle filettature metriche ISO a profilo triangolare a passo grosso
16-13
Tabella 16.5: Dimensioni dei dadi esagonali con filettatura metrica ISO e delle rosette piane.
16-14
Tabella 16.6: Spazio necessario per la manovra con chiavi a forchetta (dimensioni in millimetri).
16-15
Tabella 16.7: Spazio necessario per la manovra con chiavi a tubo (dimensioni in millimetri).
16.8 Guarnizioni
Si distinguono in guarnizioni tra superfici fisse, come quelle usate per assicurare la tenuta tra
coperchio e recipiente, e guarnizioni tra superfici mobili, per esempio i premistoppa, le tenute a
labbro e le tenute meccaniche.
16.8.1
Guarnizioni tra superfici fisse
Sono costituite da rondelle di materiali deformabili, che vengono schiacciate tra le due flange
durante la fase di tensionamento dei bulloni e che quindi come spiegato sopra assicurano la tenuta.
Caratteristiche delle più comuni guarnizioni sono date in tab. 16.8.
16.8.2
Guarnizioni tra superfici mobili
Sono utilizzate quando le due superfici sono in moto relativo, esempio classico è il caso degli alberi.
Per esigenze lievi di tenuta, per esempio se si tratta solo di impedire l’entrata di polvere o
la fuoriuscita di grasso da un cuscinetto a rotolamento, si usano le tenute a labbro (fig. 16.6)
costituite da un dispositivoin gomma con o senza una molla interna per migliorare la tenuta. Ben
nota è anche la variante per alberi in cui la guarnizione presenta un’armatura metallica in modo
da formare un pezzo unico per il montaggio.
Nel caso di alberi in moto alternativo, p. e. per steli di pistoni, la tenuta usata è l’O-ring,
piccolo toro in gomma, originariamente a sezione circolare, la cui tenuta è assicurata da una
leggera deformazione.
16-16
Figura 16.6: Tenute a labbro
Nel caso di alberi in moto lento o saltuario la tenuta clasica è quella a baderna, costituita da
una serie di anelli di materiale molto deformabile, quali canapa impregnata o teflon, sistemate
in un alloggiamento e premute da un dispositivo detto pressatrecce. Il numero di anelli in genere
varia da quattro a dieci. Per evitare che l’eccessivo schiacciamento degli anelli ostacoli il moto
dell’albero, e per assicurare una tenuta supplementare, talvolta si interpone un anello metallico
forato che alimenta dell’olio lubrificante a bassa pressione. (fig. 16.7). Questa soluzione è comunemente adottata per gli alberidi pompe centrifughe, al fine di evitare ingressi d’aria nella zona di
aspirazione, e per gli alberi degli agitatori di reattori e autoclavi per evitare fuoriuscite di vapori
o di gas.
Nei casi più gravosi si usano le tenute meccaniche, che realizzano la tenuta attraverso il contato
strisciante tra un anello fisso solidale con il mozzo e un anello rotante solidale con l’albero e
premuto contro il primo dalla pressione di una molla elicoidale. Esse, sebbene più costose delle
tenute a baderna, offrono prestazioni nettamente superiori.
Nel caso di alberi molto veloci, quali quelli dei turbocompressori, difficoltà di lubrificazione e
raffredamento sconsigliano l’uso della tenuta a contatto, come quelle dei tipi precedenti, e si realizza
quindi una tenuta senza contatto o tenuta a labirinto, costituita da una serie di allargamenti e
contrazioni di sezione che impongono al gas che vuole sfuggire forti perdite di carico. Ovviamente
la tenuta non è perfetta, nel senso che un’aliquota di gas comunque sfugge, per cui, se ci sono
esigenze di evitare perdite occorre iniettare nella sezione centrale del labirinto un gas inerte che
assicuri la tenuta.
Figura 16.7: Guarnizioni a baderna
16-17
Tabella 16.8: Caratteristiche delle guarnizioni
16-18
16.9 Flange
Costituiscono delle espansioni a corona circolare all’estremità di un recipiente o di un tratto di
tubo, in modo ad assicurare la connessione con un elemento contiguo per mezzo di bulloni.
Si dividono in flange con superficie di contatto parziale, se la guarnizione non si estende oltr la
circonferenza dei bulloni, oppure con superficie di contatto integrale, se la guarnizione supera la
circonferenza dei bulloni. Le prime si dividono a loro volta in flange integrali, quelle che formano
un tutto unico col mantello, e quindi sono soggette alla pressione del fluido, e flange libere, che
non sono soggette alla pressione del fluido.
Un’ulteriore classificazione è quella della figura 16.8.
per il dimensionamento delle flange si fa solo l’esempio delle flange integrali, rimandando per
le altre alla normativa. Esse vengono proporzionate con le formule seguenti:
σa = f 0
MX
s22
"
#
MX
t/s1
σr = 2
1 + 1.33F p
t
2r1 /s1
MY
− Zσr
t2
i cui parametri sono dati nella tab. 16.9 e nella figura 16.10.
σt =
Figura 16.8: Tipi di flange: a, saldata di testa; b, saldata a sovrapposizione; c, filettata; d, mandrinata; e, libera; f, slip-on. Finiture della faccia: g, piana; h, con risalto; i, con risalto per guarnizione
tipo “ring-joint”; l, a incameratura semplice; m, a incameratura doppia.
16-19
Figura 16.9: Formule per flange integrali
16-20
Figura 16.10: Figure per flange integrali
16-21
17. Trasmissioni
17.1 Generalità
Vediamo quale forma devono avere due corpi rotolanti l’uno sull’altro per trasmettere moto tra due
assi comunque disposti nelllo spazio e con legge qualsiasi. Naturalmente data l’enorme generalità
del problema ci limiteremo a dare qualche principio generale e a discutere alcuni casi particolari
interessanti.
Dati due assi a e b, ci proponiamo di determinare la forma che devono avere i due corpi Ca e Cb ,
rotanti rispettivamente intorno a tali assi, affinché il loro moto avvenga per continuo contatto di
sviluppo, cioè affinché due punti coincidenti delle loro superfici si spostino nella medesima direzione
e con la stessa velocità assoluta.
Siano ωa e ωb le velocità angolari intorno ai due assi a e b e sia AB la minima distanza tra i
detti assi (fig. 17.1)
Figura 17.1: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio.
Ci proponiamo di dimostrare che: Il moto relativo dei due corpi Ca e Cb si può in generale
ridurre in ciascun istante ad una rotazione intorno ad un asse c e ad uno scorrimento parallelo
allo stesso asse.
Premettiamo che le rotazioni si compongono tra loro come vettori, per cui se due assi sono
concorrenti la rotazione somma delle due è diretta secondo un asse concorrente con gli altri due e
la cui direzione è data dalla diagonale della regola del parallelogrammo.
Attribuiamo a tutto il sistema la velocità angolare −ωb intorno all’asse b: ciò equivale a guardare
il moto da un sistema di riferimento solidale al corpo Cb , che ora appare immobile.
17-1
Lo stesso risultato si ottiene dando al sistema una rotazione −ωb intorno all’asse x parallelo a
b e passante per A ed una traslazione in direzione normale ad x di velocità
v = ωb AB
Componiamo le due rotazioni ωa e −ωb intorno agli assi concorrenti a e x nella rotazione
risultante di velocità angolare Ω intorno all’asse c0 la cui direzione è definita dalla relazione
sin β
ωa
=
ωb
sin α
(1)
Decomponiamo la velocità v di traslazione in due componenti s e V secondo la direzione di c,
ossia di Ω e la sua normale
s = v sin β
V = v cos β
Componiamola rotazione Ω e la traslazione V in un’unica rotazione di uguale velocià angolare
intorno all’asse c parallelo a c0 e passante per un punto C di AB tale che sia
V = ΩAC
con ciò avremo ridotto il movimento del sistema ad una rotazione Ω intorno a c a ad una traslazione
s lungo c, ossia ad un movimento elicoidale relativo all’asse c con velocità Ω e con velocità di
scorrimento s.
La direzione e la posizione dell’asse c dipendono dalla posizione degli assi a e b e dalla grandezza,
e soprattutto dal verso, delle due velocità angolari ωa e ωb . Possiamo infatti scrivere
AC =
V
v cos β
ωb AB cos β
=
=
Ω
Ω
Ω
Con analogo procedimento si potrenne ottenere:
BC =
V
v cos β
ωa AB cos α
=
=
Ω
Ω
Ω
per cui
AC
ωb cos β
(2)
=
ωa cos α
BC
Se i valori di ωa e ωb sono variabili col tempo, varia col tempo la posizione dell’asse elicoidale
c e ciascuna delle sue posizioni rappresenterà un asse elicoidale istantaneo. Considerando tale
asse c solidale all’asse a (o all’asse b) avremo, per effetto della rotazione ωa (o ωb ), che il luogo
dei successivi assi c verrà a costituire due superficie rigate1 assoidi2 che possiamo assumere a
rappresentare la forma dei due corpi Ca e Cb rotanti attorno ad a e b.
In tal caso il moto relativo dei due corpi Ca e Cb si riduce ad una rotazione e contemporaneo
scorrimento intorno all’asse elicoidale istantaneo lungo il quale si toccano le due superfici assoidi.
Se in particolare il rapporto tra le velocià angolari (rapporto di trasmissione) è costante, le due
superfici assoidi diventano due iperboloidi di rivoluzione (fig. 17.2) generati dalla rotazione della
retta c intorno all’asse a e intorno all’asse b.
Si possono distinguere due casi:
1 superficie
2 cioè
formate da una semplice infinità di rette.
luoghi di assi istantanei
17-2
Figura 17.2: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio. Caso del
rapporto di trasmissione costante.
1. Se
α=β=0
cioè se gli assi a e b sono paralleli l’asse c risulta parallelo agli altri due: cioè i due iperboloidi
di rivoluzione diventano due cilindri a sezione circolare.
In tal caso la (2) diventa:
AC
ωb
=
(20 )
ωa
BC
il che significa che i raggi dei cilindri stanno tra loro nel rapporto inverso delle velocità
angolari.
Dalle precedenti relazioni risulta anche
s=0
cioè il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione.
2. Se
AB = 0
3
cioè se gli assi a e b sono incidenti , i due iperboloidi diventano due coni a sezione circolare
definiti dalla condizione (1). Dalle precedenti relazioni, essendo v = 0, risulta anche
s=0
cioè anche in questo caso il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione senza
strisciamento.
La presenza dello strisciamento comporta ovviamente una dissipazione di energia; per questa ragione la trasmissione tra assi sghembi non viene impiegata se non quando la potenza da
trasmettere è piuttosto piccola e quindi si può tollerare un piccolo valore del rendimento.
3o
concorrenti, come si dice in gergo.
17-3
17.2 Ruote di frizione
Se ai corpi rotolanti si dà la forma delle superfici assoidi sopra determinate si hanno le ruote di
frizione cosiddette perché affinché si abbia effettiva trasmissione di potenza occorre l’intervento
della forza di attrito.
Le due ruote vengono pressate fortemente l’una contro l’altra e se l’una è posta in moto riesce a
trascinare anche l’altra. Il caso più comune è quello ruota-rotaia (o ruota-strada) in cui ovviamente
una delle due ruote ha in realtà un raggio infinito. È chiaro che in questo caso il ‘trascinamentò
della rotaia è presente nel sistema di riferimento in cui il veicolo è fermo.
L’inconveniente principale delle ruote di frizione è la necessità di avere una notevole forza di
chiusura per generare una sufficiente forza di attrito. Ciò causa ben presto un sovraccarico degli
alberi e addirittura deformazione plastica o comunque usura dei corpi rotolanti; perciò le ruote di
frizione sono adatte solo per trasmissione di piccole potenze.
Per superare l’inconveniente si può:
• aumentare il coefficiente di attrito (anticamente si interponeva il cuoio), come per esempio
nelle trasmissioni Stevans ed Evans,
• creare dispositivi particolari, per aumentare la forza di chiusura senza sovraccaricare gli assi
(sistema Garrad (fig. 17.3))
• disporre sulla superficie delle ruote delle scanalature circonferenziali (soluzione possibile solo
con le ruote cilindriche)
però il sistema migliore è di disporre scanalature in senso assiale (più precisamente nel senso
dello scorrimento s ricavato nel paragrafo precedente) ottenendo cosı̀ le ruote dentate.
Figura 17.3: Trasmissioni Garrad. La ruota A trasmette il moto a quella B; il rullo C, essendo
libero di spostarsi nella direzione normale al piano contenete gli assi di Ae B, viene trascinato
dall’anello D e si incunea tra B e D aumentando moltissimo la forza di chiusura, la quale viene
contrastata dall’anello D senza creare sovraccarichi sugli alberi.
Si noti che il passaggio ruote di frizione lisce → ruote di frizione scanalate → ruote dentate,
corrisponde a quello che nelle trasmissioni flessibili è il passaggio cinghie lisce → cinghie trapezoidali
→ cinghie dentate (o catene).
17-4
18. Ruote dentate
18.1 Generalità
Per ovviare all’inconveniente caratteristico delle ruote di frizione di non poter trasmettere grandi
valori della forza periferica (e quindi grandi potenze), basta munire la periferia delle ruote di
denti che ingranino gli uni con gli altri. Si hanno cosı̀ le ruote dentate. I profili dei denti di due
ruote dentate accoppiate essendo necessariamente estesi nel senso radiale per una certa quantità
all’infuori e all’indentro delle due primitive, si trasmettono il moto per contatto di rotolamento e di
strisciamento, anziché per semplice contatto di rotolamento, come le ruote di frizione. Durante tale
contatto di rotolamento e di strisciamento i denti si spingono l’un l’altro con una forza normale N la
cui componente nella direzione normale ad AB eguaglia (se si trascurano in prima approssimazione
gli attriti) la forza periferica F da trasmettere (fig. 18.1).
Figura 18.1: Forze scambiate tra due ruote dentate
Premettiamo alcune definizioni e nozioni fondamentali.
Superficie primitive sono le superficie assoidi cui corrisponde la legge di trasmissione che si vuol
realizzare tra i due assi e che costituirebbero le superficie di due ruote di frizione cinematicamente
equivalenti. Si potrebbero anche definire, in modo forse impreciso, ma efficace, come le superficie
medie di contatto; in quanto superficie assoidi sono superficie rigate, e quindi possono essete
cilindri, o coni, o iperboloidi a una falda (questi ultimi ammettono il cilindro e il cono come casi
particolari).
Linee primitive o primitive sono le intersezioni delle superficie primitive con una superficie
contemporaneamente normale ad esse e agli assi di rotazione. Nel caso di assi paralleli le primitive
sono le intersezioni dei cilindri assoidi con un piano normale ai due assi; nel caso di assi concorrenti
sono le intersezioni dei con assoidi con una sfera avente il centro nel loro vertice comune; nel caso
di assi sghembi sono le intersezioni degli iperbolidi con due ellissoidi di rivoluzione generati da due
ellissi omofocali con le iperboli che generano gli iperboloidi.
Testa e base del dente sono la parte del dente che sporge e rientra nella superficie primitiva,
costa e fianco del dente le parti dei profili dei denti corrispondenti alla testa e alla base. General18-1
mente le altezze della testa e della base (misurate nella direzione del raggio) si fanno uguali a m
e 4/5m (essendo m il modulo, che verrà definito tra breve).
Passo è la distanza tra due denti consecutivi, misurata lungo la primitiva. Il passo è uguale allo
spessore del dente più il vano che è un poco maggiore dello spessore del dente (fig. 18.2) per dare
spazio ai denti della ruota compagna e permettergli di ingranare. Se indichiamo con z il numero
dei denti di una ruota di cui sia r il raggio della primitiva sarà
p=
2πr
z
Essendo z ed r espressi in numeri interi, il passo risulta irrazionale. Si preferisce perciò nella pratica
considerare, al posto del passo, il modulo.
Figura 18.2: Alcune definizioni
Modulo (o passo diametrale) è il rapporto tra il diametro e il numero di denti
m=
2r
.
z
Il modulo dunque non è altro che il passo misurato, invece che in millimetri, in unità di π millimetri
e tra il modulo e il passo sussiste la relazione
m = pπ.
Arco d’azione è la parte di primitiva che si svolge durante il tempo in cui un singolo dente
rimane impegnato col dente coniugato. Esso è composto dall’arco di accesso e dall’arco di recesso,
che corrispondono rispettivamente al tempo per il quale il contatto avviene lungo il fianco o lungo
la costa del dente della ruota motrice. Per assicurare la continuità della trasmissione è necessario
che l’arco di azione sia maggiore del passo, il che equivale a dire che prima che due denti siano
abbandonati è necessario che altri due abbiano già incominciato a ingranare.
Linea d’imbocco è il luogo dei punti dello spazio fisso in cui avviene successivamente il contatto
dei punti corrispondenti di due profili compagni. Evidentemente la linea d’imbocco MN (fig. 18.3)
non può prolungarsi oltre i due cerchi di testa delle due ruote.
La linea d’imbocco fornisce immediatamente la direzione della reazione mutua tra i denti.
Infatti tale reazione (a pare l’effetto dell’atttrito) è diretta secondo la normale ai profili nel punto
di contatto e, per definizione di profilo coniugato, tale normale passa sempre per il centro di
istantanea rotazione (punto di tangenza delle due primitive). Le varie rette che vanno dal centro
di istantanea rotazione ai punti della linea di imbocco rappresentano perciò le successive direzioni
della reazione tra i denti alla cui componente normale alla linea congiungente i centri è dovuta la
trasmissione del moto. La linea d’imbocco MN permette di determinare l’arco d’azione proiettando
gli estremi M ed N sulle due primitive dai centri delle due ruote; l’arco d’azione risulta cosı̀ dalla
somma dei due archi di accesso e di recesso QO e OR.
18-2
Figura 18.3: Linea d’imbocco
18.2 Classificazione
Le ruote dentate si classificano a seconda della diposizione degli assi e in seguito a seconda della
disposizione dei denti.
Si hanno perciò
• ruote cilindriche per trasmissione tra assi paralleli, a loro volta divise in
– ruote cilindriche a denti diritti
– ruote cilindriche a denti elicoidali
• ruote coniche per trasmissione tra assi concorrenti
• ruote iperbolidiche per trasmissione tra assi sghembi, di cui i tipi più usati sono:
– copiia vite senza fine - ruota elicoidale
– ruote ipoidi
(per maggiori dettagli vedi appresso).
Nel seguito si tratterà quasi esclusivamente delle ruote cilindriche a denti diritti, concettualmente le più semplici, benché le più usate siano quelle a denti elicoidali.
18.3 Profili dei denti
I profili dei denti sono coniugati, cioè:
• le tangenti ai profili nel punto di contatto devono coincidere; per conseguenza coincidono
anche le normali;
• la comune normale deve passare per il centro di istantanea rotazione.
18-3
In questo modo la velocità relativa dei profili risulta puramente tangenziale (strisciamento), e non
ha componente normale (tendenza al distacco o all’urto). Lo strisciamento risulta proporzionale
alla distanza tra punto di contatto e centro di istantanea rotazione; non può essere del tutto
annullato, ma può essere ridotto al minimo facendo in modo che il contatto avvenga sempre nei
pressi del centro di istantanea rotazione. In pratica ciò si ottiene riducendo l’altezza dei denti, e
quindi aumentandone il numero, compatibilmente con la loro resistenza.
Le due forme usuali dei profili sono:
• profilo cicloidale
• profilo ad evolvente.
Una coppia di profili coniugati si ottiene geometricamente facendo rotolare senza strisciamento
una curva ausiliaria detta rulletta una volta su una superficie primitiva (all’esterno) e una volta
sull’altra (all’interno). Si hanno cosı̀ le sporgenze della prima ruota e le rientranze della seconda;
lo stesso procedimento, con posizioni invertite della rulletta si userà per determinare le rientranze
della prima ruota e le sporgenze della seconda.
Nel profilo cicloidale la rulletta è una circonferenza; nel profilo ad evolvente la rulletta è una
retta; in quest’ultimo caso la rulletta rotola non sulla primitiva ma su una retta ausiliaria, interna
alla primitiva, detta circonferenza di base.
18.3.1
Profilo cicloidale
Determinazione dei profili
Siano m1 ed m2 le due primitive: assumiamo una circonferenza e come curva rotolante, cioè come
ipociclo (per la m1 ) e come epiciclo (per la m2 ) (fig. 18.4).
Figura 18.4: Profili cicloidali: determinazione dei profili
Per quanto è stato dimostrato le due rullette s e s (ipocicloide ed epicicloide ) di un suo punto
(per es. Del punto O) quando questa circonferenza e rotola rispettivamente sulla m e sulla m
18-4
costituiscono due profili coniugati dei quali potremo utilizzare due archi per profilare due denti coniugati. Ma cosı̀ facendo non potremmo ottenere che denti tutti sporgenti dalla superficie primitiva
per la ruota m2 , e tutti incavati dentro la superficie primitiva per la ruota m1 , mentre conviene
che i denti siano in parte sporgenti ed in parte incavati perchè si discostino il meno possibile dalla
superficie primitiva essendo lo strisciamento dei profili tanto minore quanto meno essi si allontanano dalla primitiva. Per completare i denti assumeremo perciò un’altra circonferenza i (fig. 18.5)
simmetrica della precedente rispetto ad O come epiciclo (per la m ) e come ipociclo (per la m):
le traiettorie s ed s di un suo punto (per es. del punto O ) quando questa circonferenza i rotola
rispettivamente sulla m1 e sulla m2 costituiscono due profili coniugati ed anche di essi potremo
utilizzare due archi per completare i profili dei denti che quindi risultano completi di costa e di
fianco.
Figura 18.5: Profili cicloidali: determinazione dei profili
Gli archi di ipo- ed epicicloide che utilizzeremo per il profilo dei denti saranno per ciascuna
ruota limitati dal cerchio di base e dal cerchio di testa (fig. 18.6). I profili dei denti cosı̀ ottenuti
presentano in corrispondenza della primitiva un punto di flesso che costituisce una caratteristica
del profilo cicloidale dal quale generalmente esso si può riconoscere sulle ruote già costruite.
La linea d’imbocco
Nei denti a profilo cicloidale La linea d’imbocco è un arco dell’epiciclo. Infatti sia m1 la primitiva
ed e l’ epiciclo (fig. 18.7): consideriamo una posizione successiva è dell’epiciclo cui corrisponde l’arco
OM’ di epicicloide descritta dal punto O ed il punto O’ di tangenza con la primitiva. La normale in M’
all’epicicloide è (per la proprietà dell’epicicloide) la M’O’. Durante la rotazione della ruota m2 il punto M’
descrive la circonferenza punteggiata: esso verrà a contatto col punto corrispondente del profilo coniugato
dell’altra ruota quando (per proprietà di profilo coniugato) la normale condotta per esso al profilo passerà
per il centro O di istantanea rotazione. Ma la normale condotta per M al profilo epicicloidale è, come si è
detto, la M’O’ ed il punto O’ verrà - durante la rotazione della ruota m - a coincidere con O quando M’
verrà a coincidere col punto M dell’epiciclo tangente in O alla primitiva.
18-5
Figura 18.6: Profili cicloidali
Figura 18.7: Generazione dei profili cicloidali
18-6
18.3.2
Profilo ad evolvente
Figura 18.8: Generazione dei profili ad evolvente
Determinazione dei profili Siano (fig. 18.8) m1 ed m2 le due primitive: assumiamo una retta t
tangente a due circonferenze ausiliarie interne alle primitive: tale retta t si chiama retta d’azione.
Le traiettorie s1 ed s2 descritte da un punto (per es. O) della retta t quando essa si svolge
rispettivamente sulle circonferenze ausiliarie a1 ed a2 costituiscono due profili coniugati. Ciò risulta
evidente se si considera il moto relativo delle primitive m1 ed m2 e se si suppone avvolto sulle
ausiliarie un filo inestensibile SR.
Si supponga che sia fissa la m2 e che la m1 rotoli su di essa: il punto O del filo mentre questo
si svolge sulla a2 descrive l’evolvente s2 . Considerando invece fissa la m1 e mobile la m2 il punto
O descrive l’evolvente s1 . Ora, queste due evolventi hanno un punto in comune in tutte le loro
posizioni perchè sono descritte entrambe dallo stesso punto O ed hanno inoltre la normale comune
che è la retta t passante per il centro di istantanea rotazione O. In conseguenza le due evolventi
costituiscono due curve coniugate il cui punto di contatto si sposta sulla retta t.
Possiamo quindi scegliere (figura 18.9) due archi di tali evolventi limitati dal cerchio di base
e dal cerchio di testa per profilare i denti delle ruote compagne: tali profili avranno per linea di
imbocco il segmento MN della retta d’azione limitato dai due cerchi di testa. Ciò significa che la
direzione della spinta tra i denti (a parte gli attriti) è diretta per tutta la durata dell’ingranamento
secondo la direzione della retta d’azione.
Caratteristica dei profili ad evolvente Una proprietà dei profili ad evolvente che nella pratica
ha importanza notevole è costituita dal fatto che se la distanza fra gli assi di due ruote compagne
è lievemente maggiore della somma dei raggi delle due primitive (per es. per una imperfezione
di montaggio o per usura dei cuscinetti), i due profili seguitano ad essere coniugati. Infatti la
normale ai profili nei punti di contatto rimarrà sempre diretta secondo la tangente comune alle
due circonferenze ausiliarie le quali non si modificano per il fatto che gli assi delle ruote cambiano
la loro posizione relativa , trattandosi di elementi geometrici direttamente coniugati alle sagome
dei denti. Ciò significa che i profili rimengono coniugati.
18-7
Oltre a ciò la legge di trasmissione del moto non risulta per l’allontanamento degli assi modoficata, potendosi scrivere (figura 18.10), se r1 = AO, r2 = OB, ed essendo il nuovo centro di
istantanea rotazione Ò, intersezione fra la congiungente i centri e la tangente comune alle ausiliarie:
ω1
BO0
BM 0
ρ2
r2 sin φ0
r2
= 0 0 = 0 0 =
=
=
ω2
AO
AN
ρ1
r1 sin φ0
r1
Tutto si riduce quindi soltanto ad una piccola variazione dell’angolo di spinta che viene ridotto da
φ a φ0 .
Per tale preziosa proprietà, oltre che per la maggiore facilità di lavorazione (essendo a semplice
curvatura) il profilo ad evolvente è certamente il più usato.
18.4 La forma della dentatura
I denti delle ruote dentate, secondo uno dei profili indicati nel precedente paragrafo, possono essere
a generatrice rettilinea o a generatrice elicoidale.
18.4.1
Ruote a denti diritti
I denti sono intagliati sulle superfici assoidi primitive e le loro generatrici sono rettilinee e parallele
all’asse di istantanea rotazione.
Le ruote a dentatura diritta si usano per la trasmissione del moto rotatorio tra assi paralleli
(ruote cilindriche) e tra assi concorrenti (ruote coniche).
Assi paralleli Si usano le ruote cilindriche, che sono limitate da una superficie cilindrica avente
per generatrice una retta parallela all’asse di istantanea rotazione e per direttrice i profili dei denti
tracciati con uno dei metodi indicati precedentemente (profili cicloidali o ad evolvente) su un piano
normale all’asse.
Figura 18.9: Denti a profilo elicoidale
18-8
Figura 18.10: Ruote ad evolvente nel caso di aumentato interasse
Assi concorrenti Si usano le ruote coniche (fig. 18.11) che sono limitate da una superficie conica
avente per generatrice una retta concorrente nel punto O e per direttrice il profilo dei denti tracciati
con uno dei due metodi precedentemente indicati. Poichè è poco comodo disegnare i profili dei
denti sopra due calotte sferiche si usa sostituire ad esse i due coni tangenti DV1 E e CV2 E che si
dicono coni complementari sviluppando tali coni su un piano (fig. 18.12), disegnando i profili dei
denti con uno dei due metodi noti sui due settori circolari che se ne ottengono e riavvolgendo i
due settori cosı̀ profilati sui coni complementari. Ne risulta che i profili dei due denti sono costruiti
come se appartenessero a ruote di raggio R1 ed R2 .
18.4.2
Ruote a denti elicoidali
Tornando al caso più generale, consideriamo la trasmissione tra due assi sghembi, in cui le ruote
di frizione che realizzano la trasmissione del moto sono costutuite da due tronchi di iperbolidi.
Il moto relativo istantaneo si riduce, come abbiamo visto, ad un moto elicoidale attorno all’asse
d’istantanea rotazione lungo il quale i due iperboloidi si toccano, cioè ad un moto di rotazione
intorno a detto asse con velocità Ω e di strisciamento lungo lo stesso con velocità s.
Se pratichiamo su ciascuna delle due ruote dei denti (elicoidali) potremo ottenere la trsmissione
del moto. Poichè il moto relativo ha una componente di stisciamento s, l’asse dei denti dovrà essere
orientato secondo l’asse istantaneo del moto elicoidale. I denti delle due ruote si svolgeranno l’uno
sull’altro realizzando un contatto di rotolamento e di strisciamento dei due profili in direzione
normale all’asse dei denti, come ogni coppia di profili coniugati, mentre strisceranno con velocità
s anche lungo il loro asse.
18-9
Figura 18.11: Ruote coniche
Figura 18.12: Coni complementari sviluppati
Dato il limitato spessore che ordinariamente viene assegnato alle ruote, potremo sostituire per
ragioni costruttive ai due tronchi di iperboloidi di rivoluzione due tronchi di cilindri (o di coni).
In conseguenza di tale sostituzione i denti delle due ruote non si toccheranno più per tutta la loro
lunghezza ma soltanto in un punto.
Le due ruote considerate non potranno perciò servire per trasmettere elevati valori della forza
periferica (e quindi della potenza); e in ogni caso per effetto dello strisciamento lungo l’asse del
dente con velocità s tale trasmissione non potrà avvenire senza notevole dissipazione di energia.
Ruote siffatte sono infatti impiegate soltanto in casi speciali per piccole potenze e quando non
interessi il rendimento della trasmissione.
Esse invece acquistano notevole importanza e sono correntemente usate in due casi particolari:
quando gli assi sono paralleli o quando gli assi sono sghembi a 90 gradi ed il rapporto di trasmissione
è molto piccolo (o molto grande).
Assi paralleli Si hanno le ruote Hooke, cosı̀ dette perchè proposte per la prima volta (nel 1647)
da Hooke, ed oggi adoperate nei casi più importanti di trasmissione di potenza tra assi paralleli
per le particolari proprietà che verranno messe in evidenza.
18-10
Essendo gli assi a e b paralleli, gli iperboloidi si riducono a cilindri e perciò le ruote cilindriche
non rappresentano, come nel caso generale della pagina precedente, una soluzione approssimata,
ma sono cinematicamente corrette.
Si ha inoltre, per quanto già visto
ωb
ra
=
ωa
rb
s=0
Come per le ruote a denti diritti, il rapporto di trasmissione del moto rotatorio è uguale al rapporto
inverso dei raggi ed è nullo lo scorrimento dei denti in direzione parallela al loro asse.
Possiamo infatti immaginare le ruote a denti elicoidali con assi paralleli derivate dalle ruote
a denti diritti per successive rotazioni infinitesime di elementi di ruote, senza che tali successive
rotazioni alterino la legge della trasmissione del moto o introducano alcuno scorrimento dei denti
in direzione parallela al loro asse.
Immaginiamo che una coppia di ruote cilindriche a denti diritti venga intersecata da una serie
di piani paralleli equidistanti e normali agli assi a e b, e cosı̀ scomposta in tante coppie di ruote
elementari di spessore ∆x. Tenendo ferma la prima coppia di ruote elementari di cui siano s’1 ed s’2
i profili coniugati combacianti nel punto 1, si faccia rotare ciascuna successiva coppia (fig. 18.13)
di un angolo ∆θ rispetto alla precedente: il punto di contatto dei corrispondenti profili coniugati si
troverà nelle successive posizioni 1,2,3... della linea d’imbocco ed avremo cosı̀ due ruote a gradini,
e al limite, per ∆x infinitamente piccolo (fig. 18.14) due ruote a denti elicoidali.
Figura 18.13: Ruote a denti elicoidali
Durante il funzionamento quando due delle ruote elementari si abbandonano le due successive
seguitano ad ingranare per il tempo corrispondente alla rotazione dell’arco di cui ogni coppia di
ruote elementari è spostata rispetto alla precedente. Indichiamo con θ la somma di questi angoli
∆θ, cioè l’angolo tra la prima e l’ultima coppia di elementi: l’arco di azione corrispondente ai profili
delle ruote a denti diritti da cui siamo partiti risulta cosı̀ in queste ruote virtualmente aumentato
di θ, e tale proprietà è una delle caratteristiche delle ruote di Hooke.
18-11
Figura 18.14: Ruote a denti elicoidali
Le conseguenze più interessanti di tale virtuale aumento dell’arco di azione sono:
1) Non essendo più necessario che l’arco d’azione α sia maggiore del passo, perchè è sufficiente
che α + θ sia maggiore del passo, si possono fare i denti più bassi e si hanno quindi minori
strisciamenti tra i profili e conseguentemente maggiore rendimento.
2) Essendo il numero dei denti contemporaneamente in presa maggiore che nel caso delle ruote
a denti diritti, si ha una maggiore dolcezza di trasmissione ed anche per questa circostanza un
maggiore rendimento.
Adottando, come generalmente, il profilo ad evolvente, il contatto tra due denti coniugati
avviene secondo una linea che si proietta su un piano normale all’asse in una tangente tt alla
circonferenza ausiliaria a2 (fig. 18.15); solo nell’istante in cui due denti cominciano ad ingranare
il contatto si riduce ad un punto situato ad una estremità del dente in prossimità della base in S
o all’altra estremità sul vertice T.
Figura 18.15: Linee di contatto tra i denti nelle ruote a denti elicoidali
18-12
In generale, quindi, non è realizzata la condizione che si era proposto Hooke, di costruire delle
ruote cosı̀ dette senza attrito, nelle quali cioè il contatto di due denti coniugati fosse limitato ad un
punto della primitiva e fosse perciò eliminato lo strisciamento relativo dei due profili. Il contatto
tra i denti avviene invece lungo tratti di linee elicoidali la cui somma è più lunga del segmento di
generatrice a cui si ridurrebbe il contatto se si trattasse di ruote a denti diritti, e su tale aumentata
lunghezza si distribuisce la pressione tra i denti.
Nelle ruote a denti elicoidali la pressione tra i denti da origine ad una componente lungo l’asse
della ruota che tenderebbe a spostare assialmente la ruota stessa. Per evitare tale inconveniente,
che renderebbe necessaria la sistemazione di un cuscinetto di spinta sull’asse, si usano le ruote
“a freccia” (à chevron) costituite (fig. 18.16) da due semi ruote eguali accoppiate aventi i denti
inclinati simmetricamente rispetto al piano mediano. Le due semi ruote possono essere sfasate l’una
rispetto all’altra di mezzo passo periferico (fig. 18.17) in modo che ai denti dell’una corrispondano
i vani dell’altra: si hanno cosı̀ le ruote Wüst che realizzano una trasmissione più dolce perchè i due
semidenti non iniziano contemporaneamente l’imbocco.
Figura 18.16: Ruote a freccia
Figura 18.17: Ruote Wüst
Le dentature elicoidali permettono di trasmettere grandi potenze e si usano nei riduttori per
18-13
motori marini che oggi si costruiscono correntemente fino a parecchie decine di migliaia di kW. La
possibilità di trasmettere sı̀ grandi potenze deriva dall’elevato rendimento che, per quanto detto,
caratterizza le ruote a denti elicoidali. Con ruote a denti diritti ciò non sarebbe infatti possibile
per l’eccessivo aumento di temperatura dei denti (dovuto alla dissipazione per attrito) e quindi del
lubrificante interposto, il quale diminuirebbe tanto la sua viscosità da perdere le sue caratteristiche
lubrificanti e non poter rimanere tra le superfici dei denti.
Per l’aumento virtuale dell’arco d’azioen si riduce l’altezza del dente in confronto ai denti diritti
assumendo l’altezza di costa pari a (5/6)m e l’altezza del fianco pari a m.
L’angolo di apertura della freccia 2γ (fig. 18.18) si assume pari a 110◦ ÷ 135◦ per modo che
l’arco θ corrispondente all’aumento di arco d’azione
θ = AD =
b 1
2 tan γ
(con la larghezza della ruota b = (4 ÷ 5)p) risulti uguale o maggiore del passo.
Figura 18.18: Ruote a freccia
18-14
18.5 Angolo di spinta
L’angolo di spinta è l’angolo tra la tangente alle due circonferenze primitive nel centro di istantanea
rotazione e la congiungente questo centro con il punto di contatto tra i denti.
In generale varia con la posizione del punto di contatto; nelle dentature ad evolvente risulta
invece costante ed è quindi una caratteristica dell’ingranaggio; in particolare il suo valore nominale
è una caratteristica costruttiva delle ruote ed è in genere di 20◦ .
Condizione necessaria affinché due ruote ad evolvente ingranino tra loro è che abbiano lo stesso
angolo di spinta nominale.
18.6 La costruzione delle ruote dentate ad evolvente
Si definisce dentiera una ruota dentata ad evolvente di raggio infinito; in essa la linea primitiva è
una retta e i fianchi dei denti sono rettilinei e perpendicolari alla retta di spinta.
Tutte le ruote che ingranano con la dentiera ingranano anche tra loro; perciò si usa la dentiera
come utensile per la costruzione delle ruote.
Vi sono due tipi di dentatrici che sfruttano questo principio: la dentatrice Maag ad utensiledentiera e la dentatrice a fresa-vite o a creatore.
La dentatrice Maag possiede una dentiera i cui denti sono affilati e resi quindi taglienti; il moto
di taglio è perpendicolare all’asse della ruota da costruire, perciò ha un andamento a va-e-vieni.
Inoltre la ruota e la dentiera hanno due moti relativi: uno corrispondente a quello che avrebbero
se ingranassero tra loro (cosa che sarà realizzata solo al termine del processo costruttivo) (vedi la
fig. 18.19) e uno di graduale avvicinamento, necessario in quanto l’utensile deve tagliare la ruota
a profondità via via crescenti (questo moto non è mostrato nella fig. 18.19).
Figura 18.19: Generazione dei denti con un utensile dentiera.
18-15
Nella dentatrice a creatore l’utensile è una fresa ottenuta facendo ruotare il profilo della dentiera
di moto elicoidale attorno ad un asse.
Sia il moto di taglio che il moto di traslazione del profilo a dentiera sono ottenuti facendo
ruotare la fresa intorno al proprio asse.
Quando si costruisce una ruota con dentatrice Maag o a creatore, si deve evitare il fenomeno
del sottotaglio, ovvero indebolimento della base resistente del dente; perciò si è limitati da un
numero minino di denti pari a:
zmin =
2
sin2 α
essendo α l’angolo di spinta.
18.7 Verifica delle ruote dentate
La verifica di resistenza degli ingranaggi deve essere eseguita per le due condizioni:
• di usura del dente per lo strisciamento col dente compagno,
• di rottura del dente per carico di fatica.
Per quanto riguarda il calcolo l’usura, questa più precisamente è riferito alla resistenza ad un
particolare tipo di usura per fatica, detta pitting, dovuta alla ripetizione della pressione di contatto.
Per il calcolo della resistenza al pitting si valuta la pressione massima sul fianco dei denti,
applicando la legge di Hertz sul contatto di due superfici tenendo conto di tutte le cause di
sovraccarico. Questo risultato viene poi confrontato con la resistenza la pitting, opportunemente
corretta per l’ingranaggio in esame.
Per il calcolo a fatica, si noti che il dente non è sempre in presa, per cui risulta soggetto a
carichi ripetuti dallo zero. Il carico agente sul dente è essenzialmente flessionale e si deve tener
conto dell’effetto d’intaglio.
I metodi di calcolo degli ingranaggi sono pressocché infiniti.
A parte i metodi più primitivi e del tutto superati, tra gli autori che negli ultimi cinquant’anni si
sono occupati dell’argomento vanno citati Elley e Pedersen, Almen e Straub, Niemann ed Henriot.
Il più attivo tra gli italiani è stato il Castellani.
A seguito di questi e di innumerevoli altri studi sono state emanate la norme AGMA e ISO;
queste ultime prospettano tre metodi di calcolo, di semplicità crescente e precisione decrescente,
denominati A, B e C. La norma UNI 8862 ricalca essenzialmente la norma ISO C.
Qui nel seguito seguirò essenzialmente il percorso concettuale che sta dietro alla UNI 8862,
quindi con grosse ulteriori semplificazioni, finalizzate comunque a rendere meno impervio l’arduo
argomento.
18-16
18.7.1
Simboli
Simbolo
a
a0
b
d
d0
mn
u
z
αn
αt
αt0
β
βb
18.7.2
Denominazione e formula
unità di misura
Interasse di riferimento
Interasse di funzionamento
Larghezza di fascia
Diametro primitivo di riferimento
d = zmn
cos β
Diametro primitivo di funzionamento
0
0
0
d01 = u2a
± 1 ; d2 = ud1
Modulo normale di riferimento
Rapporto di ingranaggio
u = zz22 ≥ 1
Numero di denti
Angolo di pressione normale di riferimento
Angolo di pressione trasversale di riferimento
tan αt = tan αn
cos β
Angolo di pressione trasversale di funzionamento
cos αt0 = d cos0 αt
d
Angolo d’elica di riferimento
Angolo d’elica di base
sin βb = sin β cos αn
mm
mm
mm
mm
mm
mm
◦
◦
◦
◦
◦
Condizione di resistenza al pitting
Il dente è soggetto a strisciamento sotto l’azione di una forza concentrata, in quanto i due denti a
contatto si premono fortemente l’uno con l’altro.
Si parte dalla teoria di Hertz sui contatti localizzati, che predice il valore della pressione massima di contatto per caso di sfere ed i cilindri. In generale la distribuzione della pressione nella
zona di contatto è un semiellissoide. Nel caso delle ruote dentate il contatto tra denti è schematizzabile come contatto tra due cilindri. In questo caso la zona di contatto diventa un rettangolo
e la distribuzione delle pressioni un cilindro a sezione ellittica. Se P è la forza di chiusura e b la
lunghezza del contatto tra i due cilindri, pari alla larghezza delle ruote, la pressione massima q0
vale
2P
q0 =
π ab
in cui a è la larghezza della zona di contatto, data da
r
R1 R2
P
a = 4 (k1 + k2 )
b
R1 + R2
in cui
1 − ν22
1 − ν12
k2 =
πE1
πE2
riferiti al materiale dei due cilindri, e quindi della ruota 1 e della ruota 2, R1 e R2 sono i raggi di
curvatura dei due cilindri, presi con il proprio segno (+ se cilindri convessi, - se cilindri concavi).
Nel caso delle ruote dentate il caso di denti a fianchi concavi si ha per le ruote a dentatura
esterna; inoltre del raggio si prende sempre il valore assoluto, facendo comparire un segno ±
davanti al raggio di curvatura del dente della ruota più grande (infatti, se una delle due ruote è a
dentatura interna, sarà necessariamente la più grande).
k1 =
18-17
quindi, sostituendo nell’espressione della pressione massima, con queste avvertenze, si ha
r s
µ
¶
1 P
1
1
1
σH =
±
π b k1 + k2 R1
R2
La forza di chiusura P si correla in modo ovvio con la forza tangenziale Ft
P =
Ft
cos α
essendo α l’angolo di spinta.
R1 è il raggio di curvatura del dente della ruota più piccola e R2 è il raggio di curvatura del
dente della ruota più grande (il segno + si riferisce a dentature esterne, il segno - a dentature
interne)
Il raggio di curvatura dei denti è variabile lungo il suo contorno; il calcolo si fa in corrispondenza
delle primitive; tale procedura è stata raccomandata da Earle Buckingham visto che il massimo
pericolo di pitting si ha proprio in quella zona, nella quale lo strisciamento è nullo e quindi si ha
rottura del velo di lubrificante.
Dalla figura 18.20 si vede che
di
Ri =
sin α
2
Figura 18.20: Curvatura del fianco del dente
Quindi
µ
¶
µ
¶
1
2
1
1
2
d1
1
±
=
±
=
1±
=
R1
R2
sin α d1
d2
d1 sin α
d2
µ
¶
2
u±1
=
d1 sin α
u
in cui u è il rapporto di ingranaggio1
u=
z2
z2
=
≥1
z1
z1
1 da non confondere col rapporto di trasmissione, che dipende evidentemente da quale delle due ruote è motrice
e quale è mossa.
18-18
essendo i zi i numeri di denti.
Sostituendo il tutto nell’espressione di σH e riordinando, in modo da far comparire i gruppi di
variabili contemplati dalla normativa, si ha
s
r
r
Ft u ± 1
1
2
σH =
·
(1)
d1 b
u
π 2 (k1 + k2 ) sin α cos α
La seconda radice è il fattore di elasticità ZE , che esplicitamente si scrive
µ
ZE =
π
1
¶
1 − ν12
1 − ν22
+
E1
E1
La terza radice nella (1) è una forma semplificata del fattore di zona ZH , che in tutto il suo
splendore è
s
2 cos βb cos αt0
ZH =
cos2 αt sin αt0
Per decifrare questa espressione, si vedano i simboli riportati sopra.
Per dentature elicoidali il secondo membro della (1) deve essere moltiplicato per l’ulteriore
fattore dell’angolo d’elica Zβ
p
Zβ = cos β
Per tener conto della distribuzione del carico tra più denti in presa il secondo membro della
(1) si moltiplica ulteriormante per il fattore del rapporto di condotta Z² , per la cui espressione si
veda la UNI 8862/2.
Nella (1) la Ft deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttivi
che tengono conto dei sovraccarichi:
• KA , fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi,
• Kv , fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocità critiche,
• KHβ , fattore di distribuzione longitudinale del carico
• KHα , fattore di distribuzione trasversale del carico
La determinazione di questi fattori è abbastanza laboriosa, non per la presenza di difficoltà
concettuali, ma per una certa lunghezza dei calcoli. Si rimanda alla citata norma UNI.
La (1) diventa finalmente
r
Ft u ± 1 p
σH = ZH ZE Z² Zβ
·
KA Kv KHβ KHα
(2)
d1 b
u
La condizione di resistenza al pitting si scrive allora
σH ≤ σHP
in cui la pressione di contatto ammissibile σHP si ricava dalla pressione limite base di fatica
superficiale σHlim con l’impiego di tutta una serie di fattori correttivi:
σHP =
σHlim ZN
ZL ZR Zv ZW ZX
SHlim
in cui
18-19
• ZN è il fattore di durata
• ZL è il fattore di lubrificazione
• ZR è il fattore di rugosità
• Zv è il fattore di velocità
• ZW è il fattore del rapporto tra le durezze
• ZX è il fattore di dimensione
Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI; sottolineo solo che il fattore di durata tiene
conto che per durate limitate è consentito uno sforzo superiore a quello del limite di fatica, mentre
il fattore di dimensione, concettualmente analogo al fattore di effetto grandezza, viene dalla norma
posto sempre uguale ad 1.
18.7.3
Condizione di resistenza alla fatica
Il dente della ruota si comporta essenzialmente come una mensola incastrata alla base e sollecitata
all’estremità da una forza concentrata. Si destano quindi in esso sforzi di flessione e di compressione.
Nel calcolo a rottura si trascura innanzitutto l’aliquota compressiva, dovuta alla componente
assiale della forza, in quanto, come ogni compressione, essa tende a chiudere le eventuali cricche
di fatica che si destassero, per cui trascurarla va a vantaggio di sicurezza.
Nel calcolare gli sforzi da momento flettente si schematizza il dente come una mensola a sezione
triangolare con angolo al vertice di 60◦ e tangente internamente all’effettivo profilo, come in fig.
18.21.
Figura 18.21: Calcolo del dente a flessione
Si considera inoltre, sempre a vantaggio di sicurezza, che vi sia una sola coppia di denti in presa
e che la forza agisca proprio all’estremità del dente. Tale forza vale ovviamente Ft / cos α, ma la sua
inclinazione rispetto alla normale all’asse del dente vale αan in quanto il contatto critico avviene
quando i denti si toccano lontano dalle primitive. Tale angolo αan risulta maggiore dell’angolo
di spinta αa della quantità γ di fig, 18.22, che è lo spostamento angolare dell’asse del dente in
condizione di incipiente ingranamento rispetto alla posizione del punto di contatto tra le primitive.
18-20
Figura 18.22: L’inclinazione tra forza trasmessa ed asse del dente risulta maggiore in condizione
di incipiente ingranamento che in condizione di contatto centrale, e precisamente maggiore di un
angolo γ, che costrituisce anche la differenza αan − αn .
La forza viene trasportata lungo la sua retta d’azione fino a incidere sull’asse del dente; con
ciò l’altezza della mensola vale hF a . Il momento agente sulla sezione d’incastro è dato da questa
altezza moltiplicata per la componente tangenziale della forza, e per ottenere il massimo valore
della tensione occorre ulteriormente dividere per il modulo di resistenza. Si ha allora:
σ F = hF a ×
Ft
6
cos αan ×
cos αn
bSF n
Adimensionalizzando rispetto al modulo normale mn si ha
σF =
Ft
6(hF a /mn ) cos αan
×
bmn
(SF n /mn )2 cos αn
(3)
La seconda frazione della (3) è il fattore di forma del dente YF a , che dipende dal tipo di dentatura
(normale o corretta) e dal numero dei denti. Come al solito il calcolo è lungo ed è facilitato da
appositi abachi.
Per il calcolo della σF occorre tenere conto di altri tre fattori moltiplicativi:
• YSa , fattore di correzione della tensione, che non è altro che il fattore teorico d’intaglio,
• Y² , fattore del rapporto di condotta, che tiene conto che possono esser in presa più denti
contemporaneamente,
• Yβ , fattore dell’angolo d’elica, usato per dentature elicoidali.
Nella (3) la Ft deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttivi
che tengono conto dei sovraccarichi:
• KA , fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi
18-21
• Kv , fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocità critiche, (questi primi due fattori
sono identici a quelli già definiti per la resistenza al pitting),
• KF β , fattore di distribuzione longitudinale del carico per la tensione al piede,
• KF α , fattore di distribuzione trasversale del carico per la tensione al piede.
Anche per questi fattori si rimanda alla normativa.
La (3) diventa finalmente
σF =
Ft
YF a YSa Y² Yβ (KA Kv KF β KF α )
bmn
(4)
La condizione di resistenza a rottura del dente per flessione si scrive allora
σF ≤ σF P
(5)
in cui la resistenza a fatica ammissibile σF P si ricava dal limite base di fatica σF lim con l’impiego
di tutta una serie di fattori correttivi:
σF P =
σF lim YST YN T
YδrelT YRrelT YX
SF lim
(4)
in cui
• YN T è il fattore di durata
• YST è il fattore assoluto di correzione della tensione riferito alle dentature di prova e posto
sempre uguale a 2,
• YδrelT è il fattore relativo di sensibilità all’intaglio
• YRrelT è il fattore relativo allo stato della superficie del raccordo al piede del dente relativo
a quello delle dentature di prova,
• YX è il fattore di dimensione per la tensione al piede.
Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI.
Materiali per ruote dentate
Mi limito a riportare la seguente tab. 18.1 tratta dalla UNI 8862.
18.7.4
Progetto a flessione del dente
Innanzitutto si riscrive la (5) usando la (4) e la (6),
Ft
σF lim YST YN T
YδrelT YRrelT YX ≥
YF a YSa Y² Yβ (KA Kv KF β KF α )
SF lim
bmn
(7)
In sede di progetto si iper-semplifica questa espressione dando ai vari termini dei valori ‘plausibilı̀
senza scendere in dettaglio. Si ha allora:
• YST = 2;
• YN T = 1 per vita infinita, mentre sale fino a 2.5 per vita molto limitata;
18-22
Tabella 18.1: Materiali per ruote dentate
• SF lim = 1.5 perché non è necessario avere una sicurezza eccessiva;
• YδrelT ≈ 1 per geometrie usuali dell’intaglio;
• YRrelT ≈ 1 per rugosità usuali;
• YX = 1 per valori piccoli del modulo (m < 5);
• Y² al più vale 1;
• Yβ al più vale 1;
• KA = 1.5 per ingranaggi non troppo sovraccaricati;
•
½
Kv =
1.2 per denti elicoidali
1.4 per denti diritti
visto che non è il caso di far funzionare ad alte velocità ingranaggi poco precisi;
• KF β ≈ 1.5 per non essere troppo pessimisti;
•
½
KF α ≈
1.5 per denti elicoidali
1.1 per denti diritti
almeno attenendosi ai valori dati dal Manuale dell’ingegnere meccanico.
18-23
Cosı̀ la (7) diventa, per il caso di denti diritti (mn = m):
σF lim
Ft
≥
YF a YSa
2.6
bm
Si può far comparire il momento torcente ponendo
Ft =
2Mt
zm
in cui è chiaro che il rapporto Mt /z è uguale per le due ruote (z è il numero di denti); inoltre si
adimensionalizza la larghezza b ponendo
b = λm
facendo in modo che λ assuma valori di 5 per dentature grossolane, 10 per dentature ordinarie, 20
per dentature precise, fino a 80 per dentature pressocché perfette. Sostituendo ed evidenziando il
modulo m si ha
s
p
2Mt
3
m≥ 3
YF a YSa
λz(σF lim /2.6)
Il termine sotto l’ultima radice, YF a YSa , prende il posto di alcuni ben noti fattori dei calcoli di
progetto del passato, cioè il fattore di Lewis 1/Y o quello che nell’ottantesima edizione del Colombo
(risalente agli anni cinquanta) era chiamato q, ma con maggiore precisione, visto che si tiene conto
dell’intaglio (e infatti i valori sono più alti). Più precisamente, il q di Colombo va identificato con
YF a
Da calcoli fatti tenendo presente le norme si vede che il detto fattore varia col numero di denti,
col proporzionamento (normale o corretto), con l’angolo di spinta e col raggio di raccordo al piede
del dente; i valori vanno da 5.05 a 4.21 e quindi, una volta estratta la radice, tutto il termine vale
da 1.72 a 1.62, il che significa che un valore medio di 1.67 va bene sempre.
C’è da osservare che la radice cubica che compare nella formula di progetto potrebbe divenire
una radice quadrata se la larghezza della dentatura non varia col modulo, ma è fissa, in dipendenza
per esempio da necessità tecnologiche.
18-24
19. Cuscinetti a strisciamento
19.1 Generalità
Cuscinetti sono quelle parti di macchina che servono per sostenere i perni e gli alberi, permettendone la rotazione col minimo attrito possibile.
Nei cuscinetti a rotolamento (a sfere o a rulli) ciò viene ottenuto con l’interposizione tra perno
e supporto di una corona di corpi rotolanti;
Nei cuscinetti a strisciamento la riduzione dell’attrito viene affidata ad un velo di lubrificante,
la cui pressione permette di sostenere il carico radiale. Questi ultimi si distinguono in due categorie:
• cuscinetti idrostatici, in cui la pressione dell’olio è fornita da un dispositivo esterno;
• cuscinetti idrodinamici, in cui l’olio è messo in pressione dallo stesso moto relativo tra
perno e cuscinetto.
In questo corso ci occuperemo solo dei cuscinetti idrodinamici.
Dal punto di vista dinamico, il cuscinetto è proprio il velo d’olio che sostiene il perno; ma dal
punto di vista costruttivo si chiama cuscinetto quell’elemento cilindrico che è inserito nel foro del
supporto e sostiene il velo d’olio. Esso può essere in un sol pezzo, e in tal caso si chiama boccola,
o in due metà, che si chiamano bronzine, o gusci se relativamente sottili. Le boccole sono usate
per movimenti di rotazione lenta o di oscillazione, per rotazione a piccola velocità e sotto carichi
leggeri; nei casi più impegnativi si usano le bronzine. Pe esempio, in un motore alternativo lo
spinotto è collegato al piede di biella mediante una boccola, mentre i cuscinetti posti tra testa di
biella e albero a gomito sono bronzione; ugualmente bronzine sono usate nei cuscinetti di banco,
tra albero a gomito e supporti fissi.
Il comportamento dei diversi tipi di cuscinetto è rilevabile qualitativamente dal diagramma
di fig. 19.1; da esso si nota che la capacità di carico nei cuscinetti a rotolamento decresce con la
velocità (curva A), che nei cuscinetti idrostatici essa riamane costante (curva D), e che nei cuscinetti
idrodinamici aumenta con la velocità (curva C). La curva B si riferisce al caso di cuscinetti con
lubrificazione imperfetta.
Figura 19.1: Capacità di carico dei cuscinetti
L’uso dei cuscinetti a strisciamento, rispetto a quelli a rotolamento, è consigliabile nei casi di
elevate velocità o carichi molto forti e variabili.
19-1
Per quanto riguarda l’attrito, i cuscinetti a rotolamento presentano valori inferiori dell’attrito di
primo distacco rispetto ai cuscinetti idrodinamici, e presentano perciò un vantaggio in caso di frequenti avviamenti sotto carico. Nei cuscinetti idrostatici l’attrito di primo distacco è praticamente
nullo.
In condizione di regime i coefficienti di attrito sono paragonabili per tutti i cuscinetti.
L’andamento qualitativo del coefficiente d’attrito per cuscinetti a strisciamento in funzione
della velocità è data dalla fig. 19.2.
Figura 19.2: Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito in un cuscinetto a strisciamento in
funzione della velocità.
Quando il perno è fermo (punto A) non c’è praticamente lubrificante fra esso e il cuscinetto,
sicché il valore dell’attrito è molto elevato (p. e. f = 0.14 per perno in acciaio e cuscinetto di
bronzo); tale valore prende il nome di attrito di primo distacco.
All’aumentare della velocità il perno diventa sempre più in grado di trascinare del lubrificante
sotto di sé, per cui l’attrito diminuisce rapidamente (condizione di lubrificazione imperfetta).
Quando si raggiungono le condizioni di progetto si ha il valore minimo del coefficiente d’attrito
(punto B = lubrificazione perfetta).
Seguitando a crescere la velocità il coefficiente d’attrito aumenta in maniera quasi lineare con
la velocità per effetto della legge di Newton (vedi sotto), ma oltre un certo punto (D in fig. 19.2)
comincia a diminuire l’attrito per effetto dell’aumento di temperatura del lubrificante (qui supposto
liquido, come è di solito).
L’andamento del coefficiente d’attrito con la velocità e col carico per cuscinetti a rotolamento
è dato nella fig. 19.3. Si noti che al crescere della velocità il coefficiente d’attrito cresce in maniera
monotona.
Le dimensioni d’ingombro, a parità di capacità di carico, sono maggiori in senso assiale per i
cuscinetti radenti, e maggiori in senso radiale per quelli volventi.
I cuscinetti a rotolamento sono più rumorosi, anche se il rumore può rivestire carattere diagnostico di eventuali rotture; però le rotture dei cuscinetti a strisciamento sono di solito meno gravose
per gli alberi e i supporti.
Per quanto riguarda il costo, i cuscinetti radenti sono più economici per produzione di grande
serie, mentre per piccolissime serie, o per pezzi singoli, il rapporto si inverte, in quanto il cuscinetto
a rotolamento si trova in commercio a prezzo contenuto, mentre quello a strisciemento deve essere
costruito “in casa”.
Nella lavorazione delle sedi, risulta più costoso il cuscinetto volvente, mentre minore ne è il
costo operativo.
19-2
Figura 19.3: Andamento del coefficiente d’attrito in un cuscinetto a rotolamento in funzione del
carico (in ascissa) e della velocià (parametro delle curve).
19.2 Lubrificanti e viscosità
I lubrificanti possono essere solidi, liquidi, gassosi o semisolidi. I più diffusi sono quelli liquidi,
in particolare l’olio, ma si usano anche i siliconi, l’acqua (o emulsioni acqua-olio) e altre fluidi.
Il principale lubrificante semisolido è il grasso. Tra i lubrificanti solidi si annoverano: la grafite,
il bisolfuro di molibdeno, la steatite, l’ossido di piombo, il sapone, la mica, la polvere di vetro e
alcune materie plastiche. Tra i gas sono usati l’aria, l’idrogeno e l’azoto.
Varie sono le caratteristiche che un buon lubrificante deve presentare, ma tra esse la più importante è la viscosità. La definizione di viscosità η risale alla legge di Newton relativa alla tensione di
taglio τ trasmessa tra due lastre piane e parallele a distanza y, per effetto della velocità v relativa
e della presenza di un fluido interposto.
τ
η=
v/y
L’unità di misura della viscosità nel Sistema Internazionale disgraziatamente non ha nome
ed è il Pa · s; universalmente usati sono invece il Poise (P), vecchia unità CGS, e soprattutto il
centipoise (cP): 1 cP = 10−3 Pa · s.
Unità anglosassone è il reyn (in onore di Osborne Reynolds) pari a 1 lbf s /in2 e a 6894.757
Pa·s.
Si definisce viscosità cinematica il rapporto tra la viscosità e la densità; nel SI si misura in m2
−1
· s . Unità usuali sono lo Stokes (St) e più ancora il centistokes (cSt): 1 cP = 10−6 m2 · s−1 .
Sono molto in uso delle scale pratiche di viscosità, derivate dalle misure effettuabili con i
viscosimetri, ossia i gradi Engler, usati in Europa, i secondi Saybolt, usati nei paesi anglosassoni e
i secondi Redwood. Si tratta sempre di misure della viscosità cinematica e la conversione in unità
assolute (cSt) si effettua con abachi, tabelle (es. la tab. 19.1) e formule empiriche. Altri due abachi
di conversione sono quelli delle figg. 19.4 e 19.5.
La variazione della viscosità con la temperatura è abbastanza ben conosciuta per i fluidi usuali,
per esempio la viscosità dei gas aumenta con la temperatura e quella dei liquidi diminuisce con la
legge di de Guzman-Andrade
¶
µ
E
η = η∞ exp
kT
Per gli oli lubrificanti, si usa la seguente legge, utilizzata dall’ASTM:
ln ln(η + γ) = k − c ln T.
19-3
(1)
Tabella 19.1: Correlazione tra scale di viscosità cinematica
Figura 19.4: Correlazione tra scale di viscosità cinematica
19-4
Figura 19.5: Correlazione tra scale di viscosità cinematica
Tale legge non è estremamente diversa da quella di Andrade, visto che si scrive
µ k¶
e
η + γ = exp
.
Tc
non troppo diversa da quella di Andrade. Sulla legge (1) è basata la celebre fig. 19.6 che si riferisce
agli oli SAE; da un esame di questo diagramma ho trovato γ ≈ 0.74 cP.
L’influenza della pressione sulla viscosità può essere invece quasi sempre trascurata.
Informazioni sulle viscosità di alcuni fluidi sono contenute nelle figure 19.7 e 19.8.
Anche se non c’entra troppo con l’argomento dei lubrificanti, non resisto alla tentazione di
inserire la figura 19.9, che riporta un’applicazione alla viscosità di vari fluidi della legge degli
stati corrispondenti. Come al solito, questa legge non è rigorosa, ma dà un’idea molto precisa
dell’andamento delle proprietà dei fluidi con la pressione e la temperatura. Per quanto riguarda la
viscosità la citata figura 19.9 mostra molto bene la diminuzione della viscosità della temperatura
per i liquidi e l’aumento per gas e vapori. Inoltre, per questi ultimi, viene posta in evidenza la quasi
indipendenza della viscosità dalla pressione, come affermato dalla legge di Maxwell, una delle più
conosciute conseguenze della teoria cinetica dei gas.
19.3 Teoria della lubrificazione perfetta
Facciamo le seguenti ipotesi:
• che le due superfici, l’una mobile e l’altra fissa costituenti il cuscinetto, siano separate da
uno spessore di lubrificante,
• che sia trascurabile l’effetto della perdita di lubrificante lungo i bordi del cuscinetto;
19-5
Figura 19.6: Variazione della viscosità dinamica con la temperatura per oli SAE
• che la velocità della superficie mobile sia tale da realizzare il moto laminare del lubrificante,
che cioè sia sufficientemente basso il numero di Reynolds e che quindi valga la legge di
Newton.
Consideriamo il lubrificante compreso tra due superfici piane delle quali la superiore sia fissa e
l’inferiore sia mobile von velocità costante V .
Siano fissati due assi ortogonali, Ox orizzontale coincidente con la traccia della superficie fissa
e Oy verticale, positivo verso il basso, ossia in direzione della superficie mobile.
Ciascuno degli strati elementari di altezza dy in cui potremo immaginare diviso il lubrificante
si muove con velocità u funzione di y.
Consideriamo un elementino di liquido contiguo al punto M (fig. 19.10) e di volume dxdy (la
lunghezza secondo z si intende uguale ad 1).
A regime esso si muove di moto uniforme con velocità u.
Le forze che agiscono sull’elemento considerato sono dovute alla pressione del fluido e all’attrito
interno che, per quanto già detto, è espresso dalla legge di Newton. Si ha perciò, indicando come
al solito con i e j i versori degli assi x e y:
• sulla faccia 1
+pdy i
• sulla faccia 2
µ
¶
∂p
− p+
dx dy i
∂x
• sulla faccia 3
+pdx j − µ
19-6
dv
dx i
dy
Figura 19.7:
Viscosità
¡
¢ 1lb sdinamica in funzione della temperatura per vari fluidi. Per la conversione:
T
5 T
=
−
32
; ft2 = 47.88 Pa s
◦C
9 ◦F
19-7
Figura 19.8: Viscosità cinematica in funzione della temperatura per vari fluidi
19-8
Figura 19.9: Viscosità dinamica in coordinate adimensionali. Da Codegone, C., Atti Acc. Scienze,
Torino, 86, 1951–52, citato in Enciclopedia dell’Ingegneria, vol I, p. 2-260.
• sulla faccia 4
µ
¶
µ
¶
∂p
dv
d2 v
− p+
dy dx j + µ
+ 2 dy dx i
∂y
dy dy
Le condizioni di equilibrio si scrivono imponendo che siano uguali a zero le somme delle
componenti delle forze lungo i due assi, ossia:
µ
∂p
d2 v
−
=0
2
dy
∂x
∂p
=0
∂y
dalla quale ultima si ricava che p non è funzione di y, per cui nella prima si scrive il segno di
derivata totale al posto di quello di derivata parziale, ottenendo:
1 dp
d2 u
=
dy 2
µ dx
19-9
(1)
Figura 19.10: Elemento di fluido per la deduzione dell’equazione di Reynolds
che, secondo il Ferretti (1966), rappresenta l’equazione fondamentale della lubrificazione.
Integrando la (1), e tenendo presente che dp/dx è indipendente da y, si ha successivamente
1 dp
du
=
y + C1
dy
µ dx
u=
1 dp 2
y + C1 y + C2
2µ dx
Imponendo le condizioni al contorno (u = 0 per y = 0 e u = V per y = h) si ha
C2 = 0
C1 = −
1 dp
V
h+
2µ dx
h
e quindi
1 dp 2
V
(y − hy) + y
(2)
2µ dx
h
La velocità ha dunque andamento quadratico e consta di due termini: uno lineare, l’altro parabolico. Questo può essere sia positivo che negativo, quindi si può aggiugere o sottrarre al termine
lineare e ciò in dipendenza da dp/dx. In tulle le sezioni esso si annulla a y = 0 e a y = h; e si
annulla identicamente nella sezione dove p è massima.
Consideriamo ora la portata volumetrica di fluido Q lungo il meato. Tenendo conto della (2)
sarà:
Z h
1 dp 3
h
Q=
udy = −
h +V
12µ
dx
2
0
u=
Per continuità, avendo supposte nulle le fughe laterali, Q dovrà essere costante lungo x, quindi
µ 3
¶
dQ
d
h dp
V dh
=−
+
=0
dx
dx 12µ dx
2 dx
ovvero
d
dx
µ
h3 dp
µ dx
¶
= 6V
dh
dx
che è la classica equazione di Reynolds1 per il flusso unidimensionale. Quando si consideri anche il
flusso in direzione z, ossia le perdite laterali, uno sviluppo simile porta all’equazione di Reynolds
1 Osborne Reynolds (Belfast 1842-Watchett, Somersetshire, 1912) Ingegnere, studioso di idrodinamica e di
macchine a fluido rotative. Introdusse il numero adimensionale che da lui prende nome.
19-10
per il flusso bidimensionale:
∂
∂x
µ
h3 ∂p
µ ∂x
¶
∂
+
∂z
µ
h3 ∂p
µ ∂z
¶
= 6V
∂h
∂x
Per i cuscinetti molto corti, entrati da poco nell’uso comune, Ocvirk ha proposto di trascurare
nell’equazione precedente il termine x, per cui si ha:
µ
¶
∂ h3 ∂p
∂h
= 6V
∂z µ ∂z
∂x
Questa equazione, a quanto pare, si integra molto facilmente. Tale metodo è chiamato approssimazione del cuscinetto corto di Ocvirk.
19.4 Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento
Nella comune pratica costruttiva si verifica solamente che la pressione specifica media (per area
proiettata) sia minore di valori pratici (dipendenti dalle applicazioni e dai materiali accoppiati),
in corrispondenza dei quali è assicurata l’azione portante del lubrificante. La pressione media pm
Q
bd
essendo Q il carico radiale, d il diametro e b la lunghezza del cuscinetto, deve essere minore di
quella di tabella 19.2.
Per quanto riguarda la verifica termica si verifica che sia il prodotto pm v, essendo v la velocità
lineare del perno, minore o uguale al valore ottimale dato dalla tab 19.2. Superamenti del valore
suggerito significano solo che occorre una verifica accurata delle condizioni termiche.
Per quanto riguarda il rapporto L/D, si usano oggi rapporti di 0.25 ÷ 0.75, mentre nel passato
erano più vicini all’unità. Cuscinetti più lunghi hanno meno perdite di estremità, quindi richiedono
un flusso d’olio minore, ma si riscaldano di più.
Gioco relativo. Per cuscinetti di diametro 25-150 mm, il rapporto c/R, essendo c il gioco radiale
e R il raggio, assume valori tra 0.001, per costruzioni molto precise, di 0.002 per costruzioni
ordinarie e di 0.004 per macchine grossolane. Si ricorda che il gioco dato dalle tabelle di tolleranze
è il gioco diametrale, pari a 2c; ovviamente però nulla cambia, passando a considerare il rapporto
2c/D = c/R.
pm =
19.5 Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento
Per la verifica e la progettazione accurata dei cuscinetti a strisciamento occorre partire dalle
soluzioni dell’equazione di Reynolds.
Esse sono date in un celebre lavoro di Raimondi e Boyd (1958). La geometria del perno e del
cuscinetto è data in fig 19.11.
I valori delle variabili di progetto sono date, in funzione del numero di Sommerfeld, nelle figg.
19.12, 19.13, 19.14, 19.15, 19.16. In esse vi sono solo quattro curve per L/D, per cui sarà necessaria
la seguente formula di interpolazione:
"
µ
¶µ
¶µ
¶
1
L
2L
4L
1
−
1
−
1
−
1
−
y∞ +
y =
(L/D)3
8
D
D
D
µ
¶µ
¶
µ
¶µ
¶
2L
4L
1
L
4L
1
1−
1−
y1 −
1−
1−
y1/2 +
+
3
D
D
4
D
D
#
µ
¶µ
¶
1
L
2L
+
1−
1−
y1/4
24
D
D
19-11
Tabella 19.2: Valori di carico per cuscinetti a strisciamento
dove y è il parametro desiderato per qualsiasi valore di L/D maggiore di 1/4 e y∞ , y1 , y1/2 , y1/4
sono i valori di quello stesso parametro per L/D = ∞, 1, 1/2 e 1/4 rispettivamente.
I grafici sono stati pensati soprattutto per la verifica; per entrare in essi occorrono le seguenti
grandezze:
• viscosità η
• Carico radiale sul cuscinetto W ,
• velocità di rotazione n in giri al secondo
• diametro del cuscinetto (usare il diametro del perno o del foro è assolutamente indifferente),
• il gioco radiale ψ = c/R.
In fase di progetto alcune di queste grandezze devono essere date a priori tramite la progettazione speditiva del paragrafo precedente. Essa deve fornire diametro, lunghezza e gioco radiale
c.
19-12
Figura 19.11: Complessivo perno-cuscinetto: notazioni usate e diagramma polare dell’andamento
della pressione
Di poi si assegna una temperatura di esercizio (primo tentativo (60 ÷ 80)◦ C), e si calcola la
viscosità dell’olio, determinando cosı̀ finalmente il numero di Sommerfeld
µ
S=
R
c
¶2
ηn
p
Dall’apposito abaco si ricava l’altezza del meato e in base ad essa si assegni la rugosità delle
superfici. Si fa uso in questo caso del criterio di Kreisle che stabilisce che la condizione di lubrificazione perfetta cessa, e inizia quella in velo sottile, quando le creste delle asperità superficiali si
toccano. Deve perciò essere, se le due superfici hanno la stessa rugosità Ra ,
Ra ≤
hm
2
Si trova la portata dell’olio in uscita Qs e la potenza dissipata per attrito, da cui si ricava la
temperatura dell’olio in uscita.
19-13
Figura 19.12: Altezza minima del meato
19-14
Figura 19.13: Parametro d’attrito
Figura 19.14: Pressione massima nel meato
19-15
Figura 19.15: Parametro di portata
Figura 19.16: Rapporto di portata
19-16
19.6 Un esempio
Un cuscinetto a strisciamento, su un rotore di turbina a vapore da 1500 giri al minuto sopporta
un acrico costante di 17 kN. Il diametro del perno è di 150 mm. Il cuscinetto è alimentato tramite
lubrificazione forzata con un olio SAE 10, con temperatura di ingresso di 50◦ C. Determinare una
combinazione idonea di lunghezza e gioco radiale del cuscinetto. Come conclusione determinare i
valori di Coefficiente d’attrito, potenza dissipata, portata d’olio entrante (e uscente) nel cuscinetto
e incremento della temperatura dell’olio.
Soluzione La lunghezza viene trovata in modo speditivo in base alla pressione specifica adatta
per l’applicazione. Assunta una pressione specifica di 1.6 MPa, risulta una lunghezza di 70.83 mm,
che si può arrotondare a 75 per avere un rapporto L/D = 1/2, più facile da trovare nei diagrammi
di Raimondi-Boyd. Ovviamente in tal caso p = 1.511 MPa.
Dalla figura 19.12 si vede che l’intervallo ottimale è compreso tra S = 0.032 e S = 0.35, mentre
la viscosità dinamica si ricava dalla fig. 19.7, con le formule di conversione riportate in didascalia.
Ovviamente per l’uso di questo abaco occorre conoscere la temperatura media, che qui non è data;
se ne ipotizza perciò un valore ‘ragionevole’, salvo correggere i risultati in una ulteriore iterazione.
Nel caso in studio è opportuno prendere una temperatura media di 90 ◦ C pari a 194 ◦ F, cui
corrisponde, per un olio SAE 10, una viscosità di 5.3 × 10−3 Pa s.
Dalla definizione del numero di Sommerfeld, si trova l’ampiezza c del meato:
r
µn
c=R
PS
che, nel caso del più piccolo dei due valori di S, dà:
r
5.3 × 10−3 Pa s × 25 s−1
c = 75 mm ×
= 0.1242 mm
1.511 × 106 Pa × 0.032
e per il valore più grande
c = 0.0375 mm
A questo punto, per vari valori del gioco radiale si calcolano vari gruppi adimensionali e le relative
variabili. Tutto ciò è riportato nella tabella 19.3, con l’avvertenza che non è assolutamente necessaria una tale massa di calcoli, che qui sono stati fatti solo per scopo didattico. Dall’andamento
delle variabili di progetto in funzione di c si vede che basta fare i calcoli al massimo per quattro o
cinque valori di c.
Comunque, dall’innalzamento della temperatura calcolato si vede che la temperatura media
ipotizzata di 90◦ C è esagerata, quindi i calcoli vanno ripetuti per una temperatura media più
bassa e forse differenziata per i singoli valori di c.
Come conclusione appare chiaro che, dovendo scegliere i valori di S nell’intervallo ottimale,
conviene mantenersi più vicino al valore che dà il minimo valore di f , per avere temperature più
basse senza che la capacità di carico venga penalizzata troppo.
Tolleranze Una volta trovato l’intervallo ottimale per il gioco radiale — e in linea di massima
conviene rinunciare un poco alla capacità di carico per ottenere un minore attrito — si devono
determinare le tolleranze costruttive sul cuscinetto.
Nel nostro esempio il gioco radiale deve essere tra 0.05 e 0.13 mm, mentre ricordiamo che le
tabelle delle tolleranze permettono di ricavare il gioco diametrale, cioè il doppio del gioco radiale.
Innanzitutto scegliamo il metodo ‘albero base’, per cui la posizione di tolleranza sul foro è H,
mentre quella sull’albero varia; per quanto riguarda la qualità di tolleranza si sceglie la IT8 sul foro
e la IT7 sull’albero, oppure, volendo una maggiore precisione, la IT7 sul foro e la IT6 sull’albero.
19-17
Tabella 19.3: Calcoli di verifica di un cuscinetto
c/mm
0.01
0.02
0.03
0.0375
0.04
0.05
0.06
0.08
0.10
0.11
0.12
0.1242
0.13
0.14
0.16
0.18
S
4.93
1.23
0.55
0.35
0.31
0.20
0.137
0.077
0.049
0.041
0.034
0.032
0.029
0.025
0.019
0.015
h0 /c
0.92
0.70
0.52
0.42
0.40
0.32
0.25
0.18
0.14
0.12
0.11
0.10
0.10
0.09
0.07
0.06
h0 /mm
0.0092
0.014
0.016
0.016
0.016
0.016
0.015
0.014
0.014
0.013
0.013
0.012
0.013
0.013
0.011
0.011
f R/c
100
25
13
8.7
8.0
5.7
4.5
3.2
2.1
1.8
1.7
1.6
1.6
1.4
1.2
1.0
f
0.019
0.0067
0.0052
0.0044
0.0043
0.0038
0.0036
0.0034
0.0028
0.0026
0.0027
0.0027
0.0028
0.0026
0.0026
0.0024
Q
RcnL
3.4
4.0
4.5
4.8
4.85
5.1
5.3
5.45
5.6
5.6
5.7
5.7
5.7
5.7
5.75
5.8
Q/mm3 s−1
3
9.6 × 10
2.3 × 104
3.8 × 104
4.7 × 104
5.5 × 104
7.2 × 104
8.9 × 104
1.2 × 105
1.6 × 105
1.7 × 105
1.9 × 105
2.0 × 105
2.1 × 105
2.2 × 105
2.6 × 105
2.9 × 105
Qs /Q
0.15
0.44
0.64
0.71
0.74
0.80
0.84
0.88
0.92
0.92
0.94
0.94
0.94
0.95
0.96
0.96
Qs /mm3 s−1
3
1.44 × 10
1.0 × 104
2.4 × 104
3.3 × 104
4.1 × 104
5.8 × 104
7.5 × 104
1.1 × 105
1.5 × 105
1.6 × 105
1.8 × 105
1.9 × 105
2.0 × 105
2.1 × 105
2.5 × 105
2.8 × 105
4π[f ]
[Q][Qs ]
2.46 × 103
1.8 × 102
57
32
28
17.6
12.7
8.4
5.1
4.4
4.0
3.8
3.8
3.2
2.7
2.3
∆T /K
2.8 × 103
2.1 × 103
65
36
32
20
14
9.5
5.8
5.0
4.6
4.3
4.3
3.6
3.0
2.6
L’ampiezza del campo di tolleranza per un diametro nominale di 150 mm è di 63 µm per la
IT7, 40 µm per la IT7 e 25 µm per la IT7 (notare il ricorrere di numeri di Renard della serie R10).
Lo scostamento fondamentale
¡
¢ per la posizione H è quello inferiore e vale zero, quindi per il foro
H8 la tolleranza è H8 0.063
. Per quanto riguarda l’albero, facciamo l’esempio della posizione c7.
0
Per essa lo scostamento fondamentale è quello superiore che vale -200 µm. Sottraendo ¡l’ampiezza
¢
del campo di tolleranza si determina lo scostamento inferiore; quindi la tolleranza è c7 −0.200
−0.240 .
Per questo accoppiamento il gioco diametrale minimo è 0.200 mm e il gioco massimo è 0.303
mm, quindi il gioco medio è 0.1515 mm. Dividendo per due si ottengono i corrispondenti giochi
radiali.
Altri casi sono contemplati nella tab. 19.4, dal cui esame appaiono consigliabili gli accoppiamenti H8/d7, H8/c7, H7/c6, H7/d6 e H7/e6. Forse lo studioso lettore potrà trovare delle soluzioni
ancora migliori.
Tabella 19.4: Accoppiamenti possibili per il cuscinetto dell’esempio.
Foro
6 ◦ 150 H8
6 ◦ 150 H7
Albero
¡+0.063¢
0
¡+0.040¢
0
¡
¢
6 ◦ 150 c7 −0.200
−0.240
¡
¢
6 ◦ 150 d7 −0.145
−0.185
¡
¢
6 ◦ 150 e7 −0.085
−0.125
¡
¢
6 ◦ 150 f7 −0.043
−0.083
¡
¢
6 ◦ 150 c6 −0.200
−0.225
¡
¢
6 ◦ 150 d6 −0.145
−0.170
¡
¢
6 ◦ 150 e6 −0.085
−0.110
¡
¢
6 ◦ 150 f6 −0.043
−0.068
19-18
Gioco radiale
max medio
min
0.152
0.127
0.100
0.124
0.098
0.072
0.094
0.068
0.042
0.073
0.047
0.021
0.133
0.117
0.100
0.105
0.088
0.072
0.075
0.058
0.042
0.054
0.038
0.021
19.7 Materiali per cuscinetti a strisciamento
Nel caso di lubrificazione perfetta, qualsiasi materiale con sufficiente resistenza a compressione
e una superficie liscia potrebbe fungere da materiale per cuscinetti, ma per superare le fasi di
avviamento e di arresto (con lubrificazione imperfetta) si devono usare materiali particolari, dotati
delle seguenti proprietà:
• Alta deformabilità, il che significa basso modulo elastico e alta deformabilità plastica, per
scaricare picchi di pressione dovuti a disassamento e inflessione dell’albero.
• penetrabilità, per incorporare particelle estranee seza danno, salvaguardando cosı̀ l’albaero,
• bassa resistenza a taglio, per una facile levigatura delle asperità superficiali,
• resistenza a compressione e a fatica, per sopportare il carico e resistere alla flessione ripetuta.
• alta conducibilità termica per asportare calore dai punti di contatto tra metalli durante
l’avviamento e dal meato di lubrificante durante le normali condizioni di lavoro
• coefficienti di dilatazione termica non troppo diverso da quello dei materiali del supporto e
del perno
• compatibilità con il materiale del perno, per resistere a usura, saldatura e grippaggio,
• resistenza alla corrosione di acidi che possono formarsi per l’ossidazione del lubrificante e di
contaminanti esterni.
I materiali usati sono:
1. bronzo al solo stagno (B), UNI 1698-1701
2. bronzo allo stagno con zinco (BZN)
3. bronzo al piombo con più o meno stagno (BPB, BSPB): (metallo rosa)
4. bronzo di alluminio (Cu Al): vedi UNI 2111S,
5. metalli bianchi: al piombo senza stagno (MB0), al piombo con stagno (MB10), e allo stagno
(MB 80, MB 80 F): vedi UNI 2184. I metalli bianchi non hanno rivali per quanto riguarda
deformabilità elastica e penetrabilità, ma hanno resistenza a compressione e a fatica piuttosto
bassa, specie sopra i 75◦ C.
6. metalli sinterizzati
7. resine sintetiche
19-19
A. Bibliografia
A.1 Manuali ed enciclopedie
AISC, Manual of steel construction - Allowable Stress Design, IX , AISC, Chicago, 1989.
Baldassini L., Vademecum per disegnatori e tecnici, 14.a edizione, Hoepli,1993
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Enciclopedia dell’ingegneria (8 voll.), 1.a ed., ISEDI, Milano, 1972
Manuale dell’ingegnere “Nuovo Colombo, 83.a edizione, Hoepli, Milano, 1997.
Manuale dell’ingegnere meccanico, Hoepli, Milano, 1994.
Manuale degli organi di comando (a cura della SEW Eurodrive), Tecniche nuove, 1985.
A.2 Opere generali
Atzori B., Moderni metodi e procedimenti di calcolo nella progettazione meccanica, Laterza, 1979.
Belingardi G., Calderale P.M., Genta G., Garro A. et al., Principi e metodologie della progettazione
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A.3 Articoli
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Frost, N.E., Pook, L.P. and Denton, K., Eng. Fract. Mech, 3, 109, 1971.
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Villaggio, P., Elasticità, Teoria dell’ in Enciclopedia delle Scienze Fisiche, Treccani, Milano, 1996.
A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali
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American Society for Metals (Unterweiser P.M., Penzenik M., coord.), Worlwide Guide to Equivalent Irons and Steels, ASM, Metals Park, Ohio, 1979.
Centro di Informazione del Nichel, Assider, Manuale per 1’uso degli acciai legati da cementazione
a da bonifica tipizzati - 31, edizione, Centro di Informazione del Nichel, 1969.
[M4] Cibaldi C., I criteri di scelta e di trattamento degli acciai da costruzione e da utensili, Analisi
di Cibaldi C. & C. Snc. e Studio associato Biasi A. & C, Brescia, 1990.
A-2
Cigada A. (a cura di), Struttura e proprietà dei materiali metallici, Citta Studi, Milano, 1993.
Conserva M., Donzelli G., Trippodo R., Alluminio - Manuale degli impieghi, Edimet, Brescia, 1990.
Lazzarino L., Manfredi E. (coord.), Meccanica dei materiali, ETS, 1987
American Society for Metals (Brinson T.H. et al. coord.), Engineered Materials Handbooks - Composites, Engineering Plastics, Adhesives and Sealants, Ceramics and Glasses (4 voll), ASM,
Metals Park, Ohio, 1987-91.
A.5 Periodici
ATA - Ingegneria automotoristica
Engineering
Il Progettista industriale
Konstruktion
Machine Design
Meccanica
Mechanical Engineering
Oleodinamica e pneumatica
Organi di trasmissione
Progettare
Rivista di Meccanica
A.6 Norme
Si premette the in Europa la normativa tecnica, emessa dai vari Enti nazionali, viene attualmente
armonizzata, con to scopo di promuovere l’uso delle norme ISO e creare un riferimento omogeneo (norme CEN). Qui si riportano i riferimenti ad alcune norme dell’ente Nazionale Italiano di
Unificazione (UNI) affini a quelle statunitensi citate nel testo ed altre informazioni essenziali.
A.6.1
Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture
Le norme CNR UNI possono avere valore legale; le altre sono da ritenere come autorevoli consigli
a meno che non abbiano valore contrattuale.
CNR UNI 10011 - Costruzioni in acciaio. Istruzioni per il calcolo, l’esecuzione, il collaudo a la
manutenzione (1988)
CNR UNI - Calcolo, costruzione e controllo degli alberi (in corso di emissione)
UNI 2215 - Viti per flange di tubazioni. Metodi di calcolo. (1943)
UNI 2231 - Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange fisse. (1943)
UNI 2232 - Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange libere. (1943)
UNI 7670 - Meccanismi per apparecchi di sollevamento. Istruzioni per il calcolo. (1988)
UNI 7900/2 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a compressione. (1978)
UNI 7900/5 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a trazione.
(1980)
UNI 8209 - Giunti saldati di alluminio a leghe di alluminio sollecitati staticamente. Istruzioni per
il calcolo. (1981)
UNI 8350 (parti: 2 e 3) - Metropolitane. Calcolo di verifica del dimensionamento delle sale delle
carrozze. (1982)
A-3
UNI 8634 - Strutture in leghe di alluminio. Istruzioni per il calcolo a 1’esecuzione. (1985)
UNI 8736 - Molle a tazza. Tipi, calcolo a collaudo. (1985)
UNI 8862 (parti 1, 2 e 3, sperimentale) - Calcolo della capacita degli ingranaggi ad assi paralleli.
(Differisce dalla norma ISO 6336) (pp. l a 2: 1987; p.3: 1991)
UNI 8980 - Trasmissioni industriali a cinghia trapezoidale. Calcolo della potenza trasmissibile.
(Coincide con la norma ISO 5292-80)(1987)
UNI 8991 - Cinghie sincrone. Calcolo della potenza trasmissibile a dell’interasse. (Coincide con la
norma ISO 5295-80)(1987)
UNI 9062 - Barre di torsione a sezione circolare Calcolo e progettazione. (1987)
UNI 9309 - Apparecchi di sollevamento. Criteri di progetto per i carichi a le combinazioni di
carichi. (Coincide con la norma ISO/DIS 8686/1)(1988)
UNI ISO 286 - Sistema ISO di tolleranze ed accoppiamenti. (1990)
UNI EN 292 (parti I e 2) - Sicurezza del macchinario. Concetti fondamentali, principi generali
di progettazione (Conforme con la Direttiva Macchine n. 89/392 emessa dal Consiglio delle
Communita’ Europee) (1991)
A.6.2
Principali norme circa le prove sui materiali metallici
UNI 560 - Prove meccaniche sui materiali. Prova di durezza Brinell. (Coincide con la norma ISO
6506-81)(1990)
UNI 762 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di durezza Rockwell. (Coincide con le
norme ISO 80 ed ISO 1024)(1975)
UNI 3150 - Prova di temprabilità dell’acciaio su provetta raffreddata ad un’estremita (prova
Jominy). (Coincide con la norma ISO 642)(1974)
UNI 3964 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Prova di fatica a temperatura ambiente.
Principi generali. (1985)
UNI 4714 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di resilienza per 1’acciaio a temperature
minori di quella ambiente. (1969)
UNI 5111 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di scorrimento a temperature elevate per
l’acciaio. (Coincide con le norme ISO 203, ISO 204 a ISO 205)(1969)
UNI 7227 - Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova d’urto per caduta per la determinazione
della temperatura di transizione a duttilità nulla su lamiere e profilati di acciaio. (1982)
UNI 7969 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione della tenacità alla frattura
in condizioni di deformazione piana. (1979)
UNI 9159 - Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione dello spostamento all’apice
di una cricca (COD).(1987)
UNI EN 10002/1 - Materiali metallici. Prova di trazione. Metodo di prova (a temperatura ambiente). (1992)
UNI EN 10045 - Materiali metallici. Prova di resilienza su provetta Charpy. Metodo di prova, 1992
(questa norma deriva dalle ISO 83 e ISO 148 e sostituisce le UNI 4431 e UNI 4713).
UNI ISO 7148 - Cuscinetti radenti. Prove di comportamento tribologico dei materiali antifrizione.
La pane: Prova di comportamento all’attrito ed all’usura in condizioni di lubrificazione limite
(1988)
A.6.3
Principali norme circa le prove sui materiali non metallici
UNI 4270 - Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della fattore di riduzione
di volume.(1959) (Corrisponde alla norma ASTM D955).
A-4
UNI 4278 - Materie plastiche. Determinazione della durezza Rockwell su materiali rigidi. (Coincide
con la norma ISO 2039/2-87)(1989)
UNI 4281 - Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della temperatura di
deformazione sotto carico di plastici rigidi (grado Martens).(1959) (Corrisponde alla norma
ASTM D648).
UNI 5635 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione del modulo apparente di elasticita
tangenziale in funzione della temperatura. (Coincide con la norma ISO 458)(1974)
UNI 5641 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di inflessione sotto
carico. (Coincide con la norma ISO 75 - 1a ed.)(1965) (Corrisponde alla norma ASTM D648)
UNI 5642 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di rammollimento
Vicat dei materiali termoplastici. (1965)
UNI 5812- Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di fragility per urto.
(1966)
UNI 6061 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione del coefficiente di dilatazione termica
lineare. (1967) (Corrisponde alla norma ASTM D696)
UNI 6062 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Charpy di materiali
plastici rigidi.(Coincide con la norma ISO 179)(1967)
UNI 6065 - Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Prova di trazione su provini normali e ridotti.
(Coincide con la norma ISO 37)(1981)
UNI 6323 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Izod dei materiali plastici
rigidi.(Coincide con la norma ISO 180-1.a ed.) (1968) (Corrisponde alla norma ASTM D256)
UNI 7092 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione della massa volumica delle materie
plastiche non alveolari. (Coincide con la norma ISO 1183-1.a ed.)(1972). (Corrisponde alla
norma ASTM D792).
UNI 7219 - Prove sulle materie plastiche. Determinazione delle caratteristiche a flessione delle
materie plastiche rigide.(Coincide con la norma ISO 178-72)(1973) (Corrisponde alla norma
ASTM D790).
UNI 7318 - Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Determinazione della durezza in gradi internazionali
con durometro a microdurometro. (Coincide con le norme ISO 48, ISO 1818 e ISO 1400) (1974).
UNI 8653 - Materie plastiche. Determinazione della resistenza alla trazione per urto. (1984)
UNI 8748 - Materie plastiche. Resine poliesteri ed epossidiche. Determinazione del ritiro volumetrico globale. (Corrisponde ally norma ASTM D955).
UNI EN 61- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a
trazione. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638).
UNI EN 63- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a
flessione. Metodo dei tre punti. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638).
UNI ISO 62- Materie plastiche. Determinazione dell’assorbimento d’acqua. (1986). (Corrisponde
alla norma ASTM D570).
UNI NOM 20028 - Prodotti petroliferi a lubrificanti. Determinazione con viscosimetro Brookfield
della viscosity degli oli lubrificanti per autotrazione. (1992)
A.6.4
Raccolte di norme tecniche europee
Sebbene per un’informazione completa occorra riferirsi ai cataloghi dei vari corpi di normative,
la consultazione delle norme tecniche, specie da parte degli studenti, a facilitata dai manuali the
raccolgono organicamente le piu importanti tabelle. Questi sono pubblicati sia dall’UNI, sia dally
International Organization for Standardization (ISO) sia da vari Enti di unificazione europei, try
cui si citano il Deutsches Institut für Normung (DIN), la British Standards Institution (BSI) a la
Association Française de Normalisation (AFNOR).
A-5
A.6.5
Manuali UNI
Manuale M 1 - Norme per il disegno tecnico
- Volume I, Norme generali (1990)
- Volume II, Meccanica a settori correlati (1990)
Manuale M5 Norme per i prodotti siderurgici (6 Voll.; 1988-1990)
Manuale M6 - Norme per la bulloneria
- Volume I, Filettature. Tolleranze e prescrizioni, 1989
- Volume II, Norme di prodotto, 1989
A.6.6
ISO Standards Handbooks
3 - Statistical Methods
11 - Road Vehicles
12 - Technical Drawings
18 - Fasteners and Screw Threads
19 - Welding
20 - Metallic and Other Non-organic Coatings
21 - Plastics (3 Voll.)
24 - Paint and Varnishes
27 - Bearings
28 - Pipes and Fittings (2 Voll.)
29 - Steel (3 Voll.)
30 - Non-ferrous Metals
31 - Mechanical Testing of Metallic Materials
32 - Mechanical Trasmissions
33 - Applied Metrology
A.6.7
Altre pubblicazioni
Si ricordano sia i DIN Handbooks, editi dalla Beuth Verlag, che raccolgono le traduzioni in inglese di parte della normativa tedesca, sia gli analoghi BS Handbooks. Un corpo molto ampio
ed autorevole di linee guida, anche di progettazione, (VDI Richtlinien), è curato dal Verein Deutscher Ingenieure (VDI) ed è pubblicato dalla Beuth Verlag. Di queste linee guida solo alcune sono
tradotte in inglese.
A-6
B. Alfabeto greco
minuscola
α
β
γ
δ
², ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
maiuscola
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
nome
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta, teta
iota
kappa
lambda
mi
minuscola
ν
ξ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
maiuscola
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ, Y
Φ
X
Ψ
Ω
nome
ni
xi
òmicron
pi
ro
sigma
tau
üpsilon
fi
chi
psi
omèga
Non confondere:
1. l’omega minuscola ω con la w corsiva
2. la epsilon ² col segno insiemistico di appartenenza ∈ (per quanto questo derivi da quella)
3. la üpsilon minuscola υ con la ni minuscola ν e con la v minuscola corsiva. Bisogna però dire
che per distinguere questi tre segni occorre una vista piuttosto buona.
4. la ρ con la p minuscola corsiva.
Notare che la iota ι si scrive senza puntino.
Il segno $ si usa solo in astronomia per indicare l’argomento del perielio. Qualcuno, poco
familiare con questa scrittura, per la verità troppo arcaica, la prende per una omega sovrasegnata!
Il segno ς non si usa mai nella letteratura tecnica, ma solo nella scrittura di parole greche, e
sostituisce obbligatoriamente la σ normale in finale di parola.
Nella tabella precedente con il segno ü si è voluto rappresentare la u lombarda o francese. Lo
stesso suono andrebbe usato per la µ e la ν (da leggere quindi rispettivamente mü e nü), ma di
solito in italiano si leggono mi e ni.
È invece assolutamente sbagliato pronunciare òmega invece di omèga.
B-1