Formulario di Meccanica Pagina 1 di 8 FORMULARIO DI MECCANICA NOTA: le grandezze vettoriali sono indicate in neretto. CINEMATICA Vettore posizione del punto materiale r(t) = x i + y j + z k ∆r = r(t2) - r(t1) = r2 - r1 Vettore spostamento del punto materiale vm = Velocita' istantanea v = lim ∆t→0 am = v 2 − v 1 ∆v = ∆t ∆t (nel SI m ∆t→0 v= s − s0 t − t0 ==> (nel SI m sec ) ∆r dr = = vx i + vy j + vz k ∆t dt ∆v dv Accelerazione istantanea a = lim = = ∆t dt Moto rettilineo uniforme (nel SI metri ) ∆r spazio ⋅ percorso = ∆t tempo ⋅ impiegato Velocita' media Accelerazione media (nel SI metri ) v = cost sec 2 ) d2r = ax i + ay j +azk dt 2 (riferendoci all'istante iniziale t0 ): s = s 0 + v (t − t 0 ) Moto rettilineo uniformemente accelerato a = cost (scelto t0 = 0) v = vo + a t 2 s = so + vo t + ½ a t per ciascuna componente (riferendoci all'istante iniziale t0 ) : vx = vox + ax (t - to) x = xo + vox (t - to) + ½ ax (t - to)2 2 2 vx = vox + 2 ax (x - xo) Data ultima revisione 06/10/05 ed eliminando il tempo tra queste due: 1 Formulario di Meccanica Pagina 2 di 8 MOTI PIANI Moto di un proiettile Si tratta di un moto rettilineo uniforme lungo l'asse x e rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y, pertanto in un sistema cartesiano come in figura: ax=0 e ay= - g di conseguenza vx= v0 cosθ0 = cost e vy= v0 senθ0 - g t equazioni del moto x = x0 + (v0 cosθ0) t y = y0+ (v0 senθ0) t - ½ g t2 g (x − x0 )2 traiettoria y = y0 + ( tgϑ0 )( x − x0 ) − 2 2 2 v 0 cos ϑ0 2 gittata h max R= v0 sen 2ϑ 0 g Assumendo l'origine nel punto di lancio del proiettile, come in figura, si avrà x0 = 0 e y0 = 0 ( v 0 sen ϑ 0 ) 2 = 2g Moto circolare ( R = cost ) uniforme (v = cost) • modulo della velocità angolare di rotazione attorno ad un asse fisso ω = • periodo = tempo necessario per fare un giro completo ω= 1 • frequenza = numero di giri fatti in un secondo T ∆θ ∆t 2π = 2π f T • relazioni tra grandezze lineari ed angolari: s = Rθ s = coordinata curvilinea sulla circonferenza θ = posizione angolare di un punto materiale. v = ωR • accelerazione nel moto circolare: accelerazione centripeta = a C = MOTI RELATIVI composizione delle velocità: v = v' + u y v2 = ω2 R R y' u x' x Data ultima revisione 06/10/05 2 Formulario di Meccanica Pagina 3 di 8 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE FORZE (da F = m a nel SI le forze si misurano in Newton N = kg ⋅ m • forza peso ( nel campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/sec2) sec 2 ) F=mg • forza elastica F = - k r (assumendo posizione a riposo in x0 ⇒ F = - K (x - x0) v2 • forza centripeta Fc = m ac = m = m ω2 R diretta verso il centro R m1 m 2 forza gravitazionale: modulo F = G diretta lungo la congiungente m1 e m2 • r2 alla superficie terrestre F = mg è g = G MT / R2T = 9.8 m/sec2 Moto di pianeti e satelliti: condizione di stabilita' dell'orbita Fgrav = F centrip Per es. per un satellite intorno alla terra ad un'altezza h si avra' mM T v2 = = G 2 ma C m dove r r • forze di attrito - forza di attrito statico - forza di attrito dinamico - forza di attrito nei fluidi resistenza aerodinamica r = RT + h fs ≤ µ s N fd = µ d N ff = -K h v con K = 6 π R per sfere (Stokes) D = 1/2 c ρ A v2 Momento meccanico di una forza M= r Λ F dove r e' il vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo modulo di M = forza x braccio Lavoro (nel SI si misura in Joule J = N ⋅m) r r Se la forza F e' costante L A→ B = F • s = F s cosθ dove θ e' l'angolo fra la forza e lo spostamento B In generale L A→B = ∫ F • dr integrale di linea lungo la traiettoria seguita dal punto A materiale mentre si sposta da A a B (quindi il lavoro in generale dipende anche dalla traiettoria seguita dal punto). Se la forza e' conservativa: il lavoro non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi ⇒ esiste la funzione energia potenziale U(x,y,z), che si puo' ricavare conoscendo la forza (v. avanti) e si puo' dimostrare che LA→B = (UA - UB ) = - ∆U Data ultima revisione 06/10/05 3 Formulario di Meccanica Pagina 4 di 8 Energia potenziale della forza peso U = m g h + cost 2 2 Energia potenziale della forza elastica U = ½ K x + cost ½ K (x - x0) + cost Energia potenziale gravitazionale U = - G m1 m2 / r + cost P= Potenza dL ds = F• = F• v dt dt (nel SI si misura in Watt W = Joule sec ) 1 2 2 Energia cinetica del punto materiale K = mv (nel SI si misura in Joule ) Teorema lavoro - energia cinetica ( o delle forze vive ) : 2 2 LA→B = ½ m ( vB - vA ) = KB - KA = ∆K LA→B e' il lavoro fatto da tutte le forze che agiscono sul corpo nello spostamento A→B Teorema della conservazione dell'energia meccanica: se il campo di forze e' conservativo KB - KA = UA - UB ==> KB + UB = KA + UA cioè l'energia meccanica totale deve conservarsi: E = K + U = cost ==> Se esistono forze non conservative: Lfnc = ∆E = (Kf+Uf) - (Ki+Ui) Quantità di moto p=mv dp dt p = cost ⇒ conservazione della quantita' di moto per la risultante delle forze agenti sul punto se Ftot = 0 ⇒ Ftot = Impulso medio di una forza J = Fmedia ∆t Teorema dell'impulso J = p2 - p1 = m v2 - m v1 SISTEMI DI PARTICELLE E CORPO RIGIDO Centro di massa rCM = ∑m r ∑m i i per due punti su una retta x CM = i Similmente avremo v CM = a CM = m1 v 1 + m 2 v 2 m1 + m 2 m1x 1 + m 2 x 2 m1 + m 2 ==> quantità di moto p = ∑ mi v i = M tot v CM m 1 a1 + m 2 a 2 ΣF1 + ΣF2 = m1 + m 2 M tot ==> ∑F est = Ma CM se ∑ Fest = 0 ⇒ aCM = 0 e quindi p = cost ⇒ conservazione della quantita' di moto del sistema pi = pf CONDIZIONI DI EQUILIBRIO : Data ultima revisione 06/10/05 a) ∑ Festi = 0 b) ∑ Μi est =0 4 Formulario di Meccanica Pagina 5 di 8 STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI Fnormale S m Densita': ρ = V Pressione: p = peso specifico p s = ρg = Legge di Stevino: p2 = p1 + ρ g ( h1 - h2 ) P V se la densita' ρ e' costante Spinta di Archimede = peso del fluido spostato dal corpo = m fluido g = ρ fluido Vimmerso g FLUIDO IDEALE Equazione di continuità: la portata in un condotto e' costante per fluidi in moto stazionario ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 = costante (portata in massa kg sec ) 3 se il fluido e' incomprimibile A 1 v 1 = A 2 v 2 = costante (portata volumetrica m sec ) Equazione di Bernoulli p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v22 + ρ g h2 = costante L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incomprimibili, non viscosi e irrotazionali. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di flusso diverse, la costante e' diversa. Data ultima revisione 06/10/05 5 Formulario di Meccanica Pagina 6 di 8 FLUIDO REALE MOTO LAMINARE Forza frenante: F = ηS dv dy dove η e' il coefficiente di viscosità del fluido Flusso laminare in un condotto cilindrico di raggio R e lunghezza L (ponendo v ( R ) = 0): r2 v( r ) = v MAX 1 − 2 R v MAX = dove ( p1 − p 2 ) R 2 e' la velocità sull'asse del condotto 4ηL Legge di Poiseuille: Portata volumetrica ( p1 − p 2 )πR 4 Q= 8ηL si noti che come nei fluidi ideali si puo' definire la portata volumetrica come Q = v media S dove si assume v medio = oppure 1 v MAX e S = πR 2 2 dm ρ(p 1 − p 2 )πR 4 = Flusso di massa o portata in massa dt 8ηL ( p1 − p2 ) 8 ηQ = L πR 4 (p − p 2 ) 8 ηL • resistenza idrodinamica di un condotto R= 1 = Q πR 4 • perdita di carico in un condotto Per stabilire se un fluido reale in movimento in un condotto cilindrico di raggio R possa essere considerato in regime laminare occorre calcolare il NUMERO DI REYNOLDS Re = 2ρ v medio R Q dove v medio = e verificare che sia Re < 1000 η πR 2 MOTO DEI CORPI NEI FLUIDI REALI Legge di Stokes: forza di attrito per una sfera di raggio r che si muove a velocità v all'interno di un fluido di viscosità η in regime laminare F = −6πη rv ⇒ v se dim entazione 2 (ρsfera − ρfluido ) r 2 g = 9η (caso gravitazionale) Per stabilire se la sferetta avanza nel fluido in regime laminare senza creare turbolenze occorre calcolare il NUMERO DI REYNOLDS in modo leggermente diverso Re = ρvr η Se Re > 1000 - 1200 si passa da regime laminare a regime turbolento e la forza di attrito non e' più proporzionale alla velocità v ma diventa FS ∝ v2 (da Re si può calcolare il valore della vcritica per cui il moto diventa turbolento) Data ultima revisione 06/10/05 6 Formulario di Meccanica Pagina 7 di 8 FENOMENI DI SUPERFICIE Tensione superficiale: F τ = = forza per unita' di lunghezza che agisce lungo il bordo L Energia τ= superficie • J N m m2 Legge di Laplace: se la superficie di un liquido e' curva, esiste una pressione di contrattilità p c = p int − p est > 0 - superficie di separaz. sferica p int − p est = 2τ R - superficie di separaz. cilindrica p int − p est = 4τ R 1 1 = τ + R1 R 2 τ R - per una bolla p int − p est = - in generale p int − p est • Legge di Jurin - Borelli : innalzamento (abbassamento) di un liquido (ρ,τ) in un capillare di raggio r : h= 2 τ cos α dove α = angolo di raccordo fra la superficie del liquido e il capillare ρ gr Data ultima revisione 06/10/05 7 Formulario di Meccanica Pagina 8 di 8 PRINCIPALI COSTANTI FISICHE DI INTERESSE PER LA MECCANICA velocita' della luce nel vuoto c = 2.9979 108 m/s ≈ 3.0 108 m/s massa a riposo dell'elettrone me = 9.1091 10-31 Kg massa a riposo del protone mp = 1.6725 10-27 Kg massa a riposo del neutrone mn = 1.6748 10-27 Kg raggio di Bohr ao = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å costante gravitazionale G = 6.67 10-11 N m2 Kg-2 accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore g = 9.7805 ms -2 ≈ 9.8 ms-2 distanza media Terra-Sole 1.49 108 Km distanza media Terra-Luna 3.8 105 Km raggio medio della Terra 6.37 103 Km raggio del Sole 6.96 105 Km massa della Terra 5.98 1024 Kg massa del Sole 1.99 1030 Kg velocita' media orbitale Terra 29770 m/s velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione ) densita' aria ( a 0°C ed 1 atm) 1.29 Kg/m3 densita' acqua ( a 20°C ) 1.00 103 Kg/m3 densita' sangue 1.04 103 Kg/m3 densita' osso 1.6 103 Kg/m3 densita' mercurio ( a 0°C ) 13.5 103 Kg/m3 densita' media terrestre 5.52 103 Kg/m3 FATTORI DI CONVERSIONE lunghezza 1 Å = 10-10 m 1µ (micron) = 10-6 m tempo 1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 105 min = 3.156 107 s 1 giorno = 86400 sec velocita' 1 m/s = 3.6 Km/h forza 1 dyne = 10-5 N 1 anno-luce = 9.46 1012 Km 1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kgp pressione 1 atm = 1.013 106 dyne/cm2 = 76.0 cm Hg = 1.013 105 N/m2= 760 Torr 1 dyne/cm2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m2 = 10-6 bars 1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m2 1 N/m2(Pa:pascal)=9.869 10-6 atm=10 dyne/cm2=7.501 10-4 cm Hg=7.501 10-3 Torr 1 Torr = 1 mm Hg = 10-1cm Hg = 1.32 10-3 atm = 133.3 Pa = 1333 dyne/cm2 energia, lavoro, calore, potenza 1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 1011 eV 1 Joule ( J ) = 107 erg = 0.2389 cal = 6.242 1018 eV 1 caloria (cal) = 4.186 107 erg = 4.186 J = 2.613 1019 eV 1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J 1 unita' massa atomica (amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 108 eV 1 HP = 746 W viscosita' 1Poise = 10-1 Pa sec Data ultima revisione 06/10/05 8