Formulario di Meccanica
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FORMULARIO DI MECCANICA
NOTA: le grandezze vettoriali sono indicate in neretto.
CINEMATICA
Vettore posizione del punto materiale r(t) = x i + y j + z k
∆r = r(t2) - r(t1) = r2 - r1
Vettore spostamento del punto materiale
vm =
Velocita' istantanea
v = lim
∆t→0
am =
v 2 − v 1 ∆v
=
∆t
∆t
(nel SI m
∆t→0
v=
s − s0
t − t0
==>
(nel SI m
sec
)
∆r
dr
=
= vx i + vy j + vz k
∆t
dt
∆v
dv
Accelerazione istantanea a = lim
=
=
∆t
dt
Moto rettilineo uniforme
(nel SI metri )
∆r spazio ⋅ percorso
=
∆t tempo ⋅ impiegato
Velocita' media
Accelerazione media
(nel SI metri )
v = cost
sec 2
)
d2r
= ax i + ay j +azk
dt 2
(riferendoci all'istante iniziale t0 ):
s = s 0 + v (t − t 0 )
Moto rettilineo uniformemente accelerato a = cost (scelto t0 = 0)
v = vo + a t
2
s = so + vo t + ½ a t
per ciascuna componente (riferendoci all'istante iniziale t0 ) :
vx = vox + ax (t - to)
x = xo + vox (t - to) + ½ ax (t - to)2
2
2
vx = vox + 2 ax (x - xo)
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ed eliminando il tempo tra queste due:
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MOTI PIANI
Moto di un proiettile
Si tratta di un moto rettilineo uniforme lungo l'asse x e rettilineo uniformemente
accelerato lungo l'asse y, pertanto in un sistema cartesiano come in figura:
ax=0 e ay= - g di conseguenza vx= v0 cosθ0 = cost e vy= v0 senθ0 - g t
equazioni del moto
x = x0 + (v0 cosθ0) t
y = y0+ (v0 senθ0) t - ½ g t2
g
(x − x0 )2
traiettoria y = y0 + ( tgϑ0 )( x − x0 ) −
2
2
2 v 0 cos ϑ0
2
gittata
h max
R=
v0
sen 2ϑ 0
g
Assumendo l'origine nel punto di
lancio del proiettile, come in
figura, si avrà x0 = 0 e y0 = 0
( v 0 sen ϑ 0 ) 2
=
2g
Moto circolare ( R = cost ) uniforme (v = cost)
• modulo della velocità angolare di rotazione attorno ad un asse fisso ω =
• periodo = tempo necessario per fare un giro completo
ω=
1
• frequenza = numero di giri fatti in un secondo
T
∆θ
∆t
2π
= 2π f
T
• relazioni tra grandezze lineari ed angolari:
s = Rθ
s = coordinata curvilinea sulla circonferenza
θ = posizione angolare di un punto materiale.
v = ωR
• accelerazione nel moto circolare: accelerazione centripeta = a C =
MOTI RELATIVI
composizione delle velocità:
v = v' + u
y
v2
= ω2 R
R
y'
u
x'
x
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DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
FORZE (da F = m a nel SI le forze si misurano in
Newton N = kg ⋅ m
• forza peso ( nel campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/sec2)
sec 2
)
F=mg
• forza elastica F = - k r (assumendo posizione a riposo in x0 ⇒ F = - K (x - x0)
v2
• forza centripeta
Fc = m ac = m
= m ω2 R
diretta verso il centro
R
m1 m 2
forza gravitazionale: modulo F = G
diretta lungo la congiungente m1 e m2
•
r2
alla superficie terrestre F = mg è g = G MT / R2T = 9.8 m/sec2
Moto di pianeti e satelliti: condizione di stabilita' dell'orbita Fgrav = F centrip
Per es. per un satellite intorno alla terra ad un'altezza h si avra'
mM T
v2
=
=
G 2
ma C m
dove
r
r
• forze di attrito
- forza di attrito statico
- forza di attrito dinamico
- forza di attrito nei fluidi
resistenza aerodinamica
r = RT + h
fs ≤ µ s N
fd = µ d N
ff = -K h v con K = 6 π R per sfere (Stokes)
D = 1/2 c ρ A v2
Momento meccanico di una forza M= r Λ F dove r e' il vettore posizione del punto
di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo
modulo di M = forza x braccio
Lavoro (nel SI si misura in Joule
J = N ⋅m)
r r
Se la forza F e' costante L A→ B = F • s = F s cosθ dove θ e' l'angolo fra la forza e lo
spostamento
B
In generale L A→B = ∫ F • dr integrale di linea lungo la traiettoria seguita dal punto
A
materiale mentre si sposta da A a B (quindi il lavoro in generale dipende anche dalla
traiettoria seguita dal punto).
Se la forza e' conservativa: il lavoro non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi
⇒ esiste la funzione energia potenziale U(x,y,z), che si puo' ricavare conoscendo la
forza (v. avanti) e si puo' dimostrare che
LA→B = (UA - UB ) = - ∆U
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Energia potenziale della forza peso
U = m g h + cost
2
2
Energia potenziale della forza elastica U = ½ K x + cost
½ K (x - x0) + cost
Energia potenziale gravitazionale
U = - G m1 m2 / r + cost
P=
Potenza
dL
ds
= F• = F• v
dt
dt
(nel SI si misura in Watt
W = Joule sec )
1
2
2
Energia cinetica del punto materiale K = mv (nel SI si misura in Joule )
Teorema lavoro - energia cinetica ( o delle forze vive ) :
2
2
LA→B = ½ m ( vB - vA ) = KB - KA = ∆K
LA→B e' il lavoro fatto da tutte le forze che agiscono sul corpo nello spostamento A→B
Teorema della conservazione dell'energia meccanica:
se il campo di forze e' conservativo KB - KA = UA - UB ==> KB + UB = KA + UA
cioè l'energia meccanica totale deve conservarsi: E = K + U = cost
==> Se esistono forze non conservative: Lfnc = ∆E = (Kf+Uf) - (Ki+Ui)
Quantità di moto
p=mv
dp
dt
p = cost ⇒ conservazione della quantita' di moto
per la risultante delle forze agenti sul punto
se Ftot = 0 ⇒
Ftot =
Impulso medio di una forza J = Fmedia ∆t
Teorema dell'impulso J = p2 - p1 = m v2 - m v1
SISTEMI DI PARTICELLE E CORPO RIGIDO
Centro di massa
rCM =
∑m r
∑m
i i
per due punti su una retta x CM =
i
Similmente avremo v CM =
a CM =
m1 v 1 + m 2 v 2
m1 + m 2
m1x 1 + m 2 x 2
m1 + m 2
==> quantità di moto p = ∑ mi v i = M tot v CM
m 1 a1 + m 2 a 2 ΣF1 + ΣF2
=
m1 + m 2
M tot
==>
∑F
est
= Ma CM
se ∑ Fest = 0 ⇒ aCM = 0 e quindi p = cost ⇒ conservazione della
quantita' di moto del sistema pi = pf
CONDIZIONI DI EQUILIBRIO :
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a) ∑ Festi = 0
b) ∑ Μi est
=0
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STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI
Fnormale
S
m
Densita': ρ =
V
Pressione: p =
peso specifico p s = ρg =
Legge di Stevino: p2 = p1 + ρ g ( h1 - h2 )
P
V
se la densita' ρ e' costante
Spinta di Archimede = peso del fluido spostato dal corpo = m fluido g = ρ fluido Vimmerso g
FLUIDO IDEALE
Equazione di continuità: la portata in un condotto e' costante
per fluidi in moto stazionario ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 = costante (portata in massa kg sec )
3
se il fluido e' incomprimibile A 1 v 1 = A 2 v 2 = costante (portata volumetrica m sec )
Equazione di Bernoulli
p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v22 + ρ g h2 = costante
L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incomprimibili,
non viscosi e irrotazionali. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di
flusso diverse, la costante e' diversa.
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FLUIDO REALE
MOTO LAMINARE
Forza frenante: F = ηS
dv
dy
dove η e' il coefficiente di viscosità del fluido
Flusso laminare in un condotto cilindrico di raggio R e lunghezza L (ponendo v ( R ) = 0):
r2
v( r ) = v MAX 1 − 2
R
v MAX =
dove
( p1 − p 2 ) R 2
e' la velocità sull'asse del condotto
4ηL
Legge di Poiseuille:
Portata volumetrica
( p1 − p 2 )πR 4
Q=
8ηL
si noti che come nei fluidi ideali si puo'
definire la portata volumetrica come Q = v media S dove si assume
v medio =
oppure
1
v MAX e S = πR 2
2
dm ρ(p 1 − p 2 )πR 4
=
Flusso di massa o portata in massa
dt
8ηL
( p1 − p2 ) 8 ηQ
=
L
πR 4
(p − p 2 ) 8 ηL
• resistenza idrodinamica di un condotto R= 1
=
Q
πR 4
•
perdita di carico in un condotto
Per stabilire se un fluido reale in movimento in un condotto cilindrico di raggio R
possa essere considerato in regime laminare occorre calcolare il
NUMERO DI REYNOLDS
Re =
2ρ v medio R
Q
dove v medio =
e verificare che sia Re < 1000
η
πR 2
MOTO DEI CORPI NEI FLUIDI REALI
Legge di Stokes: forza di attrito per una sfera di raggio r che si muove a velocità v
all'interno di un fluido di viscosità η in regime laminare
F = −6πη rv
⇒ v se dim entazione
2 (ρsfera − ρfluido ) r 2 g
=
9η
(caso gravitazionale)
Per stabilire se la sferetta avanza nel fluido in regime laminare senza creare turbolenze
occorre calcolare il NUMERO DI REYNOLDS in modo leggermente diverso Re =
ρvr
η
Se Re > 1000 - 1200 si passa da regime laminare a regime turbolento e la forza di
attrito non e' più proporzionale alla velocità v ma diventa FS ∝ v2
(da Re si può calcolare il valore della vcritica per cui il moto diventa turbolento)
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FENOMENI DI SUPERFICIE
Tensione superficiale:
F
τ = = forza per unita' di lunghezza che agisce lungo il bordo
L
Energia
τ=
superficie
•
J
N
m
m2
Legge di Laplace: se la superficie di un liquido e' curva, esiste una pressione di
contrattilità p c = p int − p est > 0
- superficie di separaz. sferica p int − p est =
2τ
R
- superficie di separaz. cilindrica p int − p est =
4τ
R
1
1
= τ
+
R1 R 2
τ
R
- per una bolla p int − p est =
- in generale p int − p est
•
Legge di Jurin - Borelli : innalzamento (abbassamento) di un liquido (ρ,τ) in un
capillare di raggio r :
h=
2 τ cos α
dove α = angolo di raccordo fra la superficie del liquido e il capillare
ρ gr
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PRINCIPALI COSTANTI FISICHE DI INTERESSE PER LA MECCANICA
velocita' della luce nel vuoto c = 2.9979 108 m/s ≈ 3.0 108 m/s
massa a riposo dell'elettrone me = 9.1091 10-31 Kg
massa a riposo del protone
mp = 1.6725 10-27 Kg
massa a riposo del neutrone mn = 1.6748 10-27 Kg
raggio di Bohr
ao = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å
costante gravitazionale
G = 6.67 10-11 N m2 Kg-2
accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore g = 9.7805 ms -2 ≈ 9.8 ms-2
distanza media Terra-Sole
1.49 108 Km
distanza media Terra-Luna
3.8 105 Km
raggio medio della Terra
6.37 103 Km
raggio del Sole
6.96 105 Km
massa della Terra
5.98 1024 Kg
massa del Sole
1.99 1030 Kg
velocita' media orbitale Terra 29770 m/s
velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione )
densita' aria ( a 0°C ed 1 atm) 1.29 Kg/m3
densita' acqua ( a 20°C )
1.00 103 Kg/m3
densita' sangue
1.04 103 Kg/m3
densita' osso
1.6 103 Kg/m3
densita' mercurio ( a 0°C )
13.5 103 Kg/m3
densita' media terrestre
5.52 103 Kg/m3
FATTORI DI CONVERSIONE
lunghezza
1 Å = 10-10 m
1µ (micron) = 10-6 m
tempo
1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 105 min = 3.156 107 s
1 giorno = 86400 sec
velocita'
1 m/s = 3.6 Km/h
forza
1 dyne = 10-5 N
1 anno-luce = 9.46 1012 Km
1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kgp
pressione 1 atm = 1.013 106 dyne/cm2 = 76.0 cm Hg = 1.013 105 N/m2= 760 Torr
1 dyne/cm2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m2 = 10-6 bars
1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m2
1 N/m2(Pa:pascal)=9.869 10-6 atm=10 dyne/cm2=7.501 10-4 cm Hg=7.501 10-3 Torr
1 Torr = 1 mm Hg = 10-1cm Hg = 1.32 10-3 atm = 133.3 Pa = 1333 dyne/cm2
energia, lavoro, calore, potenza
1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 1011 eV
1 Joule ( J ) = 107 erg = 0.2389 cal = 6.242 1018 eV
1 caloria (cal) = 4.186 107 erg = 4.186 J = 2.613 1019 eV
1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J
1 unita' massa atomica (amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 108 eV
1 HP = 746 W
viscosita'
1Poise = 10-1 Pa sec
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