Formulario di Meccanica
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FORMULARIO DI MECCANICA
NOTA: le grandezze vettoriali sono indicate in neretto.
CINEMATICA
Vettore posizione del punto materiale r(t) = x i + y j + z k
∆r = r(t2) - r(t1) = r2 - r1
Vettore spostamento del punto materiale
vm =
Velocita' istantanea
v = lim
∆t→0
am =
v 2 − v 1 ∆v
=
∆t
∆t
∆t→0
v=
s − s0
t − t0
==>
(nel SI m sec )
∆r
dr
=
= v x i + v y j + vz k
∆t
dt
Accelerazione istantanea a = lim
Moto rettilineo uniforme
(nel SI metri )
∆r spazio ⋅ percorso
=
∆t tempo ⋅ impiegato
Velocita' media
Accelerazione media
(nel SI metri )
(nel SI m
∆v
dv
=
=
∆t
dt
v = cost
sec 2
)
d2r
= a x i + a y j +a zk
dt 2
(riferendoci all'istante iniziale t0 ):
s = s 0 + v (t − t0 )
Moto rettilineo uniformemente accelerato a = cost (scelto t0 = 0)
v = vo + a t
2
s = so + vo t + ½ a t
per ciascuna componente (riferendoci all'istante iniziale t0 ) :
vx = vox + ax (t - to)
x = xo + vox (t - to) + ½ ax (t - to)2
2
2
vx = vox + 2 ax (x - xo)
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ed eliminando il tempo tra queste due:
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MOTI PIANI
Moto di un proiettile
Si tratta di un moto rettilineo uniforme lungo l'asse x e rettilineo uniformemente
accelerato lungo l'asse y, pertanto in un sistema cartesiano come in figura ax = 0 e
ay =
-g
e le equazioni del moto e la traiettoria sono date da:
x = x0 + (v0 cosθ0) t
y = y0+ (v0 senθ0) t - ½ g t2
g
(x − x 0 )2
traiettoria y = y 0 + (tg ϑ0 )(x − x0 ) −
2
2
2v0 cos ϑ0
2
v0
sen 2ϑ 0
gittata R =
g
h max
( v 0 sen ϑ 0 ) 2
=
2g
assumendo l'origine nel punto di lancio del proiettile, si avrà x0 = 0 e y0 = 0
Moto circolare ( R = cost ) uniforme (v = cost)
• modulo della velocità angolare di rotazione attorno ad un asse fisso ω =
• periodo = tempo necessario per fare un giro completo
ω=
1
• frequenza = numero di giri fatti in un secondo
T
∆θ
∆t
2π
= 2π f
T
• relazioni tra grandezze lineari ed angolari:
s = Rθ
s = coordinata curvilinea sulla circonferenza
θ = posizione angolare di un punto materiale.
v = ωR
• accelerazione nel moto circolare: accelerazione centripeta = a C =
MOTI RELATIVI
composizione delle velocità:
v = v' + u
y
v2
= ω2 R
R
y'
u
x'
x
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DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
FORZE (da F = m a nel SI le forze si misurano in
Newton N = kg ⋅ m
• forza peso ( nel campo gravitazionale terrestre g = 9.8 m/sec 2)
sec 2
)
F=mg
• forza elastica F = - k r (assumendo posizione a riposo in x0 ⇒ F = - K (x - x0)
v2
• forza centripeta
Fc = m ac = m
= m ω2 R
diretta verso il centro
R
m1 m 2
F
=
G
forza
gravitazionale:
modulo
diretta lungo la congiungente m 1 e m 2
•
r2
alla superficie terrestre F = mg è g = G MT / R2T = 9.8 m/sec2
Moto di pianeti e satelliti: condizione di stabilita' dell'orbita F grav = F centrip
Per es. per un satellite intorno alla terra ad un'altezza h si avra'
mM T
v2
G 2 = ma C = m
dove
r = RT + h
r
r
• forze di attrito
- forza di attrito statico
- forza di attrito dinamico
- forza di attrito nei fluidi
resistenza aerodinamica
fs ≤ µ s N
fd = µ d N
ff = -K h v con K = 6 π R per sfere (Stokes)
D = 1/2 c ρ A v2
Momento meccanico di una forza M= r Λ F dove r e' il vettore posizione del punto
di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo
modulo di M = forza x braccio
Lavoro (nel SI si misura in Joule
J = N ⋅m)
r r
Se la forza F e' costante L A→ B = F • s = F s cosθ dove θ e' l'angolo fra la forza e lo
spostamento
B
In generale LA→ B = ∫ F • dr integrale di linea lungo la traiettoria seguita dal punto
A
materiale mentre si sposta da A a B (quindi il lavoro in generale dipende anche dalla
traiettoria seguita dal punto).
Se la forza e' conservativa: il lavoro non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi
⇒ esiste la funzione energia potenziale U( x,y,z), che si puo' ricavare conoscendo la
forza (v. avanti) e si puo' dimostrare che
LA→B = (UA - UB ) = - ∆U
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Energia potenziale della forza peso
U = m g h + cost
2
2
Energia potenziale della forza elastica U = ½ K x + cost
½ K (x - x0) + cost
Energia potenziale gravitazionale
U = - G m1 m 2 / r + cost
P=
Potenza
dL
ds
= F• = F• v
dt
dt
(nel SI si misura in Watt W = Joule sec )
K=
Energia cinetica del punto materiale
1
mv 2 (nel SI si misura in
2
Joule )
Teorema lavoro - energia cinetica ( o delle forze vive ) :
2
2
LA→B = ½ m ( vB - vA ) = KB - KA = ∆K
LA→B e' il lavoro fatto da tutte le forze che agiscono sul corpo nello spostamento A→B
Teorema della conservazione dell'energia meccanica:
se il campo di forze e' conservativo KB - KA = UA - UB ==> KB + UB = KA + UA
cioè l'energia meccanica totale deve conservarsi: E = K + U = cost
==> Se esistono forze non conservative: Lfnc = ∆E = (Kf +Uf) - (Ki+Ui)
Quantità di moto
p=mv
dp
dt
p = cost ⇒ conservazione della quantita' di moto
per la risultante delle forze agenti sul punto
se F tot = 0 ⇒
Ftot =
Impulso medio di una forza J = Fmedia ∆t
Teorema dell'impulso J = p2 - p1 = m v2 - m v1
SISTEMI DI PARTICELLE E CORPO RIGIDO
Centro di massa
rCM =
∑m r
∑m
i i
per due punti su una retta x CM =
i
Similmente avremo v CM =
a CM =
m 1v1 + m 2 v 2
m1 + m2
m1 x 1 + m 2 x 2
m1 + m 2
==> quantità di moto p = ∑ mi v i = M totv CM
m 1 a 1 + m 2 a 2 ΣF1 + ΣF2
=
m1 + m 2
M tot
==>
∑F
est
= Ma CM
se ∑ Fest = 0 ⇒ aCM = 0 e quindi p = cost ⇒ conservazione della
quantita' di moto del sistema
CONDIZIONI DI EQUILIBRIO :
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a) ∑ Festi = 0
b) ∑ Μ i est
=0
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STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI
Fnormale
S
m
Densita': ρ =
V
Pressione: p =
peso specifico ps = ρg =
Legge di Stevino: p2 = p1 + ρ g ( h1 - h2 )
P
V
se la densita' ρ e' costante
Spinta di Archimede = peso del fluido spostato dal corpo = m fluido g = ρ fluido Vimmersog
FLUIDO IDEALE
Equazione di continuità: la portata in un condotto e' costante
ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 = costante (portata in massa kg
sec )
3
se il fluido e' incomprimibile A 1 v 1 = A 2 v 2 = costante (portata volumetrica m sec )
per fluidi in moto stazionario
Equazione di Bernoulli
p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v22 + ρ g h2 = costante
L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incomprimibili,
non viscosi e irrotazionali. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di
flusso diverse, la costante e' diversa.
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FLUIDO REALE
MOTO LAMINARE
Forza frenante : F = ηS
dv
dy
dove η e' il coefficiente di viscosità del fluido
Flusso laminare in un condotto cilindrico di raggio R e lunghezza L (ponendo v ( R ) = 0):
r2
v( r ) = v MAX 1 − 2
R
dove
vM A X =
( p1 − p2 ) R 2
e' la velocità sull'asse del condotto
4ηL
Legge di Poiseuille:
Portata volumetrica Q =
( p1 − p 2 )πR 4
8ηL
si noti che come nei fluidi ideali si puo'
definire la portata volumetrica come Q = v media S dove si assume
v medio =
oppure
1
v M A X e S = πR 2
2
dm ρ(p1 − p 2 )πR 4
=
Flusso di massa o portata in massa
dt
8ηL
( p1 − p2 ) 8 ηQ
=
L
πR 4
(p − p 2 ) 8 ηL
• resistenza idrodinamica di un condotto R = 1
=
Q
πR 4
•
perdita di carico in un condotto
Per stabilire se un fluido reale in movimento in un condotto cilindrico di raggio R
possa essere considerato in regime laminare occorre calcolare il
NUMERO DI REYNOLDS
Re =
2ρ v medio R
Q
e verificare che sia Re < 1000
dove v medio =
η
πR 2
MOTO DEI CORPI NEI FLUIDI REALI
Legge di Stokes: forza di attrito per una sfera di raggio r che si muove a velocità v
all'interno di un fluido di viscosità η in regime laminare
F = −6πη rv
2 (ρsfera − ρ fluido) r 2g
⇒ v s edimentazione =
9η
(caso gravitazionale)
Per stabilire se la sferetta avanza nel fluido in regime laminare senza creare turbolenze
occorre calcolare il NUMERO DI REYNOLDS in modo leggermente diverso Re =
ρvr
η
Se Re > 1000 - 1200 si passa da regime laminare a regime turbolento e la forza di
attrito non e' più proporzionale alla velocità v ma diventa FS ∝ v2
(da Re si può calcolare il valore della vcritica per cui il moto diventa turbolento)
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FENOMENI DI SUPERFICIE
Tensione superficiale:
F
= forza per unita' di lunghezza che agisce lungo il bordo
L
Energia
J 2
τ=
m
superficie
τ=
•
N
m
Legge di Laplace: se la superficie di un liquido e' curva, esiste una pressione di
contrattilità p c = p int − p est > 0
- superficie di separaz. sferica p int − p est =
2τ
R
- superficie di separaz. cilindrica p int − p est =
4τ
R
1
1
p int − p e s t = τ
+
R
R
1
2
τ
R
- per una bolla p int − p est =
- in generale
•
Legge di Jurin - Borelli : innalzamento (abbassamento) di un liquido (ρ,τ) in un
capillare di raggio r :
h=
2 τ cos α
dove α = angolo di raccordo fra la superficie del liquido e il capillare
ρ gr
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PRINCIPALI COSTANTI FISICHE DI INTERESSE PER LA MECCANICA
velocita' della luce nel vuoto c = 2.9979 10 8 m/s ≈ 3.0 108 m/s
massa a riposo dell'elettrone me = 9.1091 10-31 Kg
massa a riposo del protone
mp = 1.6725 10-27 Kg
massa a riposo del neutrone mn = 1.6748 10-27 Kg
raggio di Bohr
ao = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å
costante gravitazionale
G = 6.67 10 -11 N m2 Kg-2
accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore g = 9.7805 ms -2 ≈ 9.8 ms -2
distanza media Terra-Sole
1.49 108 Km
distanza media Terra-Luna 3.8 10 5 Km
raggio medio della Terra
6.37 103 Km
raggio del Sole
6.96 105 Km
massa della Terra
5.98 1024 Kg
massa del Sole
1.99 1030 Kg
velocita' media orbitale Terra 29770 m/s
velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione )
densita' aria ( a 0°C ed 1 atm) 1.29 Kg/m3
densita' acqua ( a 20°C )
1.00 103 Kg/m3
densita' sangue
1.04 103 Kg/m3
densita' osso
1.6 103 Kg/m3
densita' mercurio ( a 0°C )
13.5 103 Kg/m3
densita' media terrestre
5.52 103 Kg/m3
FATTORI DI CONVERSIONE
lunghezza
tempo
velocita'
forza
1 Å = 10-10 m
1µ (micron) = 10-6 m
1 anno-luce = 9.46 10 12 Km
1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 10 5 min = 3.156 10 7 s
1 giorno = 86400 sec
1 m/s = 3.6 Km/h
1 dyne = 10 -5 N
1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kgp
pressione 1 atm = 1.013 106 dyne/cm2 = 76.0 cm Hg = 1.013 10 5 N/m2= 760 Torr
1 dyne/cm2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m2 = 10-6 bars
1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m2
1 N/m2(Pa:pascal)=9.869 10-6 atm=10 dyne/cm2=7.501 10 -4 cm Hg=7.501 10-3 Torr
1 Torr = 1 mm Hg = 10-1cm Hg = 1.32 10-3 atm = 133.3 Pa = 1333 dyne/cm2
energia, lavoro, calore, potenza
1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 1011 eV
1 Joule ( J ) = 107 erg = 0.2389 cal = 6.242 1018 eV
1 caloria (cal) = 4.186 107 erg = 4.186 J = 2.613 1019 eV
1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J
1 unita' massa atomica (amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 10 8 eV
1 HP = 746 W
viscosita'
1Poise = 10-1 Pa sec
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