Esercizi 09/12/2016

Esercizi 09/12/2016
Esercizio 1
Un ciclotrone è costituito da una cavità cilindrica con area di base A formata da due sezioni metalliche
S1 e S2 , separate da una piccola distanza. La cavità è posta in un campo di induzione magnetica uniforme
e parallelo al suo asse. Delle particelle con carica q e massa m possono essere accelerate (su traiettorie
semicircolari di raggio crescente) per mezzo di una ddp alternata V (t) applicata tra S1 e S2 in modo che,
ad ogni passaggio da S1 a S2 e da S2 a S1 , esse trovino una ddp VM accelerante. Supponendo che le
particelle partano in prossimità dell’asse, si calcoli il tempo che esse impiegano per acquistare la massima
energia cinetica compatibile con le dimensioni del ciclotrone. Si tratti il problema in modo non relativistico.
(A = 2 m2 ; VM = 104 V ; B = 1.5 T )
[150 µs]
Esercizio 2
Un filo rettilineo cilindrico di lunghezza molto maggiore del suo raggio è percorso da una corrente continua
la cui densità è funzione lineare della distanza r dall’asse del cilindro: J = kr. Si determini l’espressione
dell’intensità del campo di induzione magnetica in funzione di r.
Esercizio 3
Un condensatore cilindrico nel vuoto è collegato ad un resistore di resistenza R = 50 Ω e ad un generatore
f . Se il raggio a dell’armatura interna del condensatore è la metà del raggio b dell’armatura esterna, calcolare
il rapporto tra l’energia elettrostatica e l’energia magnetica immagazzinata nella zona vuota compresa tra
le armature. (Trascurare la resistenza elettrica delle armature del condensatore).
[144]
Esercizio 4
Un filo conduttore, sottile e flessibile, è avvolto in modo da formare un’elica cilindrica verticale di lunghezza grande rispetto al raggio delle spire r. Il numero totale di spire per unità di lunghezza è n. L’elica
ha un estremo fisso, mentre l’altro è attaccato ad un peso P di massa m che viene sorretto da un appoggio.
Se si suppone che il peso dell’elica sia trascurabile rispetto a P , trovare il valore della corrente i che deve
circolare nell’elica affinché P sia sollevato dall’appoggio, supponendo che l’elica si deformi con continuità in
tutta la sua lunghezza. Dare il valore numerico per r = 5 cm; n = 1200 m−1 ; m = 10 g.
[3.71 A]
Esercizio 5
Una elettrocalamita a ferro di cavallo è costituita da un materiale magnetico su cui è avvolto un certo
numero di spire in modo da realizzare una forza megnetomotrice F . Essa attira una sbarretta dello stesso
materiale e della stessa sezione S in modo da chiudere perfettamente il circuito magnetico la cui lunghezza
complessiva è l. Determinare la forza necessaria per staccare la sbarretta. Dare il valore numerico per
F = 500 Aspira; S = 4 cm2 ; µr = 1000; l = 40 cm.
[−785 N ]
Esercizio 6
Su un toro di materiale ferromagnetico sono avvolte N = 103 spire percorse da un corrente continua di
intensità I = 1 A. Sapendo che la riluttanza del toro in tali condizioni vale R = 105 Aspira/W b, si calcoli
l’energia magnetica immagazzinata nel toro.
[5 J]
Esercizio 7
Un toro (raggio medio R = 20 cm) di materiale ferromagnetico (µr = 900), provvisto di traferro (spessore
a = 5 mm), è magnetizzato da un avvolgimento di 500 spire percorse da una corrente continua I = 10 A. Si
~ eB
~ nel nucleo e nel traferro.
chiedono i valori di H
Esercizio 8
Un circuito magnetico di forma toroidale ha una lunghezza complessiva l con un traferro di spessore l0
ed è alimentato da una fmm N i. Conoscendo il valore dell’intensità di magnetizzazione M in tali condizioni,
si calcoli la permeabilità magnetica relativa del ferro che costituisce il circuito magnetico.
Ml
µr = 1 +
N i − M l0
Esercizio 9
Una spira circolare di filo metallico di raggio R ruota con velocità angolare ω intorno ad un suo diametro
che è normale alla direzione di un campo magnetico uniforme di induzione B. Determinare l’angolo fra il
piano della spira e la direzione del campo per il quale la fem istantanea indotta è uguale alla fem media in
un emiciclo.
[50.5◦ ]
Esercizio 10
Una spira metallica circolare di raggio a, costruita con filo rigido sottile di sezione di area S e resistività
ρ, ruota con velocità angolare ω costante intorno ad un suo diametro verticale, in una zona di spazio in
cui è presente un campo di induzione magnetica uniforme e costante nel tempo diretto orizzontalmente.
Trascurando attriti meccanici e fenomeni di autoinduzione ricavare l’espressione della potenza meccanica
media necessaria a mantenere la spira nello stato di rotazione descritto.
3 2 2 πa B ω S
4ρ
Esercizio 11
Una spira quadrata di lato a = 10 cm è in moto traslatorio con velocità costante |~v | = 20 m/s (il vettore
velocità forma un angolo θ = 60◦ con il lato superiore della spira) nel campo magnetico di un filo rettilineo
indefinito percorso da una corrente I = 100 A e distante dalla spira r(t = 0) = 10 cm al tempo iniziale.
Determinare la forza elettromotrice indotta nella spira.
[10−4 V ]
Esercizio 12
Un disco di rame (resistività ρ = 1.72 · 10−8 Ωm) di raggio R = 10 cm e spessore δ = 5 mm è disposto
con il suo asse parallelo alle linee di forza di un vettore induzione magnetica uniforme e variabile nel tempo
con la legge B(t) = At con A = 1 W b/(m2 s). Quanto calore occorrerebbe sottrarre al disco ogni secondo
per mantenere la sua temperatura invariata?
[11.4 W ]
Esercizio 13
Una spira metallica quadrata di lato a = 1 cm e resistenza R = 0.1 Ω giace nello stesso piano ed a distanza
a da un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente i(t) = i0 + αt (α = 10 A/s) verso l’alto. Si calcoli
l’intensità ed il verso della corrente indotta che circola nella spira.
[−1.39 · 10−7 A]
Esercizio 14
Un filo rettilineo conduttore ed una spira conduttrice a forma di triangolo rettangolo sono complanari:
la spira è distante a dal filo; la base e l’altezza della spira sono b e c rispettivamente (il prolungamento della
base è ortogonale al filo e l’ipotenusa del triangolo forma un angolo acuto con tale prolungamento). Il filo
è percorso da una corrente I(t) = kt. Determinare, in funzione delle grandezze date, l’espressione della fem
indotta nella spira.
a
µ0 k
c 1 − ln(1 + b/a)
−
2π
b
Esercizio 15
Un circuito magnetico di forma quadrata (lato a = 10 cm), di sezione retta S = 3 cm2 e di lunghezza
complessiva 4a ha un piccolo traferro di spessore a0 = 0.5 cm. Si calcoli il coefficiente di mutua induzione
M tra due avvolgimenti disposti ai due lati opposti del circuito non contenenti il traferro e costituiti da
N1 = 300 e N2 = 100 spire. Il materiale ferromagnetico ha permeabilità relativa µr = 100.
[1.26 mH]
Esercizio 16
Dare l’espressione e il valore dell’induttanza L/l per unità di lunghezza di un cavo coassiale nel vuoto,
con raggi interno R1 = 1 mm ed esterno R2 = 1 cm.
[4.61 · 10−7 H/m]
Esercizio 17
Una bobina toroidale di raggio mediano R = 10 cm è composta da N = 3000 spire di raggio r = 0.5 cm.
La bobina è avvolta per metà in aria e per metà su un materiale di permeabilità magnetica relativa µr = 3.
Calcolare il coefficiente di autoinduzione.
[2.12 µH]