compitino 2, 22/1/2016

CANALE 2 (Prof Baiesi)
Fisica Generale 2 – A.A. 2015-2106
Seconda Prova di Accertamento – 22-1-2016
Matricola _____________ Nome________________ Cognome____________________
Consegnare solo la bella copia con tutti i passaggi, possibilmente commentati
1. Una bobina quadrata di lato a=6 cm composta da N =200 spire ha un lato collocato a distanza
d=15 cm e il lato opposto a distanza d +a (figura a) da un filo indefinito attraversato da corrente
variabile nel tempo, i=i0 sen (ω t) con i0=7 A e ω=10 4 rad /s . Ognuna delle spire ha resistenza
R=3 Ω e la bobina forma un circuito chiuso. Trascurando gli effetti di autoinduzione della bobina,
determinare
1.1) la corrente massima che attraversa la bobina (i max )
1.2) la potenza media dissipata nella bobina
( Pmed )
1.3) il coefficiente di mutua induzione tra il filo e la bobina se le spire che la compongono sono
triangoli corrispondenti alla metà dei quadrati di lato a (figura b) ( M (b)
12 )
2. Luce solare di intensità I =1000 W /m 2 incide su una finestra di superficie Σ=2 m 2 , il cui vetro ha
uno spessore di qualche millimetro ed indice di rifrazione n=1.6 . Trascurando riflessioni multiple, se la
luce incide normalmente sul vetro, determinare
casa
(W t )
2.1) la potenza trasmessa nell'abitazione dalla finestra
2.2) la potenza riflessa dalla prima superficie del vetro (W r )
2.3) L'ampiezza del campo elettrico e magnetico della luce trasmessa, all'interno del vetro (non
considerare la riflessione interna)
( Et , B t )
Il sole gira e cambia l'angolo di incidenza della luce sulla finestra. Determinare
2.4) la potenza trasmessa nell'abitazione se la luce incide sul vetro all'angolo di Brewster, trascurando
,B
)
effetti di bordo (W casa
t
Soluzione 1.
1.1) Il flusso del campo magnetico di Biot-Savart generato dal filo, nella bobina, a distanza r dal filo e
in un intervallo infinitesimo è
d Φ B (r)=N a
μ0 i
dr
2πr
da cui risulta un flusso totale
μ 0 i d +a 1
μ
d+a
dr=M 12 i con M 12=N 0 a ln
=808 nH
∫
d
2π
d
2π
r
Quindi la f.e.m. indotta è εi=−M 12 di /dt =−M 12 i0 ω cos(ωt )
La resistenza totale della bobina è N R e la corrente ib al suo interno, dalla legge di Ohm, è pure
alternata ib (t)=imax [−cos (ω t )] , con un massimo
M i ω
i max = 12 0 =94.2 μ A
NR
d +a
Φ B =∫d d Φ B (r)=N a
1.2) La potenza media dissipata per una corrente alternata è
1
2
P med = ( N R)i max =2.66 μW
2
1.3) L'area interna al triangolo, tra r ed r +dr , è lunga h(r)=a+(d−r) , quindi il flusso compreso in
questa area è
μ0 i
h(r)dr
2π r
Integrando si ottiene Φ B =M (b)
12 i , con
μ
d +a
(b )
0
M 12 =N
(a+d )ln
−a =426.4 nH
2π
d
d Φ B (r)=N
[
]
minore di quello della bobina quadrata, ma non esattamente la metà.
Soluzione 2.
2.1) Il problema si risolve con le leggi della rifrazione e coinvolge i mezzi “aria”
(n2=n). La potenza incidente è
(n1=1) e “vetro”
W i=I Σ=2000 W
Il coefficiente di Fresnel per la trasmissione, sia aria-vetro sia vetro aria, è
T=
4n
=0.947
(1+n)2
La potenza trasmessa al di là del vetro risulta da due trasmissioni, aria-vetro e vetro-aria, e quindi è
casa
2
W t =W i T =1793 W
2.2) Il coefficiente di Fresnel per la riflessione è R=1−T =0.053 e la potenza riflessa dalla prima
superficie del vetro è
W r =R W i =106.5W
1
1 2
2
I = ϵ0 c E i =
E dal sole arriva radiazione con campo elettrico di ampiezza
2
2 Z0 i
2.3) Data la relazione
E i =√ 2 Z 0 I =868V / m
che nel vetro diventa
E t =t Ei =
2
E =668 V /m
1+n i
Il campo magnetico, data una velocità
Bt =Et n /c=3.56μ T
v=c /n nel vetro, ha ampiezza
2.4) Data l'inclinazione all'angolo di Brewster
θ B=arctan n=1.01rad =58
o
la superficie effettiva di finestra esposta al sole (in figura) è
Σi =Σcos(θB )=1.06 m
2
e la potenza incidente risulta
W i=Σi I=1060 W
Trattandosi di luce ordinaria, metà della potenza è data dalla
polarizzazione π e metà dalla σ .
Inoltre, i coefficienti R e T sono gli stessi per i passaggi
aria-vetro e vetro-aria.
All'angolo di Brewster R π =0 e quindi la polarizzazione
π trasmette tutta la potenza dall'altra parte del vetro. Il
coefficiente T σ all'angolo θ B è
( )
T σ=
2n1 n2
2
2
n1 +n2
2
2
=
4n
=0.808
2 2
(1+n )
quindi la potenza trasmessa totale è
casa ,B
Wt
1
2
= W i (1+T σ )=876 W
2
Nella soluzione si è trascurato un effetto di bordo, dove la luce
nei millimetri vicini al bordo della finestra viene rifratta sul
bordo interno.