Campo magnetico

13. Magnetismo
13.1 La forza di Lorentz.
Il magnetismo è un fenomeno noto da molti secoli, ma fino all’inizio
dell’ottocento la teoria trattava di calamite, aghi magnetici e delle loro
interazioni con il magnetismo terrestre. La peculiarità delle calamite era il loro
presentarsi sempre con due poli di segno opposto che non si riuscivano mai ad
isolare, spezzando una calamita si avevano due calamite ognuna con due poli. I
poli vengono chiamati nord e sud perché un ago magnetico libero si orienta
lungo una direzione prossima a quella nord-sud geografica. In quel periodo
viene fatta una prima scoperta fondamentale, una corrente elettrica interagisce
con un ago magnetico, da questa prima osservazione deriva lo sviluppo
sperimentale che portò fino ad una teoria unificata per elettricità e
magnetismo. La differenza fondamentale è che non sono mai state scoperte
cariche magnetiche isolate, monopoli magnetici. Nel capitolo 11 abbiamo
definito il campo elettrico tramite la forza esercitata su una carica, definiamo in
maniera analoga il campo magnetico tramite la forza esercitata su una carica
in movimento con velocità v in una zona di spazio dove è un campo magnetico
 .
B
13.1
 =q v × B

F
La forza è detta forza di Lorentz. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura
del campo magnetico è il Tesla (T), 1T = 1
N
N
=1
per avere una idea
C⋅m/s
A⋅m
dell’intensità del campo notiamo che il campo magnetico terrestre è circa
5 ⋅10-5 T.
Dalla definizione di prodotto vettore notiamo che la forza ha modulo qvB sin θ ,
 , direzione ortogonale al piano
dove θ è l’angolo tra le direzioni di v e di B
 e verso positivo se i tre vettori sono orientati
individuato dai due vettori v e B
secondo una terna cartesiana destrorsa. Questa definizione di forza di Lorentz,
 ha alcune conseguenze particolarmente
ovvero la forza è ortogonale a v e B
importanti:
•
la forza non compie lavoro
•
la forza non cambia il modulo di v
•
la forza non varia l’energia cinetica della carica
Per chiarirci le idee proviamo a scomporre la velocità nelle sue componenti
parallela e perpendicolare al campo magnetico. La componente di v
nella
 si mantiene costante, e la forza di Lorentz è zero; per quanto
direzione di B
riguarda la componente di v perpendicolare a 
B questa da origine ad una
forza che farà deviare il moto in direzione ortogonale a v ovvero alla tangente
alla traiettoria della carica, localmente cioè su una traiettoria circolare.
Consideriamo il caso semplice di una carica q che si muove in un campo
 sono perpendicolari la carica farà
magnetico costante. Se le direzioni di v e B
un moto circolare uniforme, la forza di Lorentz è la forza centripeta e vale per
l’accelerazione centripeta la relazione: ma c =qvB ⇒ m
trovare il raggio dell’orbita circolare r=
v2
=qvB , possiamo quindi
r
mv
. Naturalmente possiamo calcolare
qB
anche la frequenza angolare con cui si muove la carica ω=qB / m . Nel caso la
 avremo un moto
carica abbia anche una componente di v nella direzione di B
elicoidale, ovvero la carica si muoverà nella direzione di

B
con velocità
costante mentre percorre una circonferenza nel piano ortogonale.
13.2 Forza su un conduttore percorso da corrente.
Consideriamo un conduttore elettrico, ad esempio un filo di rame, al cui
interno stia scorrendo della corrente, nel paragrafo precedente abbiamo visto
che una carica che si muove in un campo magnetico risente della forza di
Lorentz, ci aspettiamo allora che le cariche in moto risentano di una forza, e
poiché sono confinate all’interno del conduttore ci aspettiamo di avere una
forza sul conduttore, effettivamente se proviamo a realizzare l’esperimento
vediamo che il filo viene spostato. Proviamo a calcolare questa forza.
Consideriamo un tratto di filo rettilineo di lunghezza l percorso da una corrente
i sul
piano
orizzontale
ed
immerso
in
un
campo
magnetico
diretto
perpendicolarmente al piano stesso verso il basso. Il fatto che nel filo circola
una corrente equivale a dire che le cariche si muovono nel filo con una velocità
di deriva vd . Il modulo della forza agente sulla singola carica è F =qv d B , la
corrente costante che circola nel filo si può scrivere come i=q/ l / v d  , ovvero la
carica che passa nel filo diviso il tempo che ci mette ad attraversare il filo.
Possiamo dunque mettere insieme queste due relazioni ed otteniamo che:
F = il / v d ⋅v d B=ilB . Il filo risente dunque di una forza che tenderà verso la
sinistra di un osservatore che si muove con la corrente. Se il campo magnetico
non fosse stato ortogonale alla corrente, ma avesse formato un angolo θ con la
sua direzione avremmo dovuto tenerne conto naturalmente e sarebbe risultato
F =qv d B sin θ . Possiamo allora scrivere questa relazione in forma vettoriale, se
abbiamo un filo rettilineo di lunghezza l percorso da una corrente i immerso in
un campo magnetico costante esso risente di una forza:
13.2
 =i l × B

F
Poiché non sempre saremo così fortunati da avere un filo rettilineo che
mantiene fisso il suo orientamento rispetto al campo magnetico, possiamo
 agente su un pezzetto
generalizzare la formula 13.2, consideriamo la forza d F
 =id l × B
 , possiamo allora scrivere che
infinitesimo d l di conduttore sarà d F
la forza su di un generico conduttore, che si estende da un punto A ad un
punto B, percorso da corrente ed immerso in un campo magnetico vale:
B
13.3
 =∫ id l × B

F
A
13.3 Momento di una spira conduttrice percorsa da corrente.
Nel paragrafo precedente abbiamo parlato della forza su un conduttore
percorso da corrente, vogliamo ora preoccuparci ora del caso in cui la forza di
Lorentz abbia un momento diverso da zero. Consideriamo una spira
conduttrice, ovvero un filo chiuso su se stesso, ad esempio una spira
rettangolare percorsa da una corrente i ed orientata in modo tale che la
 e che
normale al piano in cui giace formino un angolo θ con la direzione di B
 .
due lati siano perpendicolari al campo B
Le forze sui lati L΄ hanno stesso modulo e verso opposto, esse tendono a
deformare il circuito, ma non danno un momento, le forze sui due lati L danno
invece un momento il cui modulo è
13.4
iBL  L 'sin θ 
il prodotto LL ' è l’area della spira, se indichiamo con A il vettore avente
modulo l’area della spira e perpendicolare alla spira stessa possiamo scrivere
che il campo esercita un momento:
13.5

τ =i A× B
La quantità μ =i A viene detta momento magnetico della spira, abbiamo quindi
che il momento della forza sulla spira vale:
13.6

τ =μ × B
La relazione che abbiamo trovato per una spira rettangolare può essere
generalizzata e risulta vera per spire di qualunque forma. Se abbiamo un
sistema formato da N spire avvolte insieme, una bobina, attraversate dalla
stessa corrente, il momento sarà N volte quello appena calcolato.
13.4 Legge di Biot e Savart
Nell’introduzione del capitolo abbiamo accennato al fatto che aghi magnetici e
correnti interagiscono, questo significa che una conduttore percorso da
corrente esercita una forza su un magnete. Possiamo dire dunque che un filo
percorso da corrente genera un campo magnetico. Se consideriamo un
elemento piccolo, al limite infinitesimo, di filo d l percorso da una corrente i,
 generato in un punto P a distanza r
sperimentalmente risulta per il campo B
dall’elemento di filo stesso:
•
 è perpendicolare a d l ed ad r
B
•
il modulo di 
B varia come r−2
•
il modulo di 
B è proporzionale a i ed alla lunghezza di d l
•
 è proporzionale a sin θ dove θ è l’angolo tra d l ed
il modulo di B
r
Quanto detto si può riassumere nella seguente forma vettoriale che esprime la
legge di Biot e Savart:
13.7
=
dB
μ 0 i d l ×r
4π
r3
la costante μ 0 vale 4 π⋅10−7 N/A, ed è detta permeabilità magnetica del vuoto.
Il modulo del campo magnetico può essere scritto come dB=
μ 0 i dl
sin θ .
4 π r2
La legge di Biot e Savart dà il campo magnetico generato da un elemento
 dobbiamo integrare su tutti
infinitesimo di conduttore, se vogliamo il campo B
gli elementi d l in cui è suddiviso il conduttore. Si può notare che questa legge
ha notevoli analogie con la legge di Coulomb per l’elettrostatica: una carica
elettrica puntiforme produce un campo elettrico la cui intensità varia come r−2
, un elemento di corrente produce un campo magnetico la cui intensità varia di
nuovo come r−2 , bisogna per fare attenzione che le direzione dei due campi
sono completamente diverse.
Vediamo ad esempio il campo magnetico generato da un filo, di lunghezza
indefinita e percorso da corrente i, ad una distanza r dalla stesso.
Nel punto P per ogni elemento d l il campo è ortogonale al piano determinato
da P e dalla corrente quindi è tangente al cerchio che passa per P ha centro sul
filo e giace sul piano perpendicolare alla corrente. Quando integriamo tutti gli
elementi d l contribuisco nella stessa direzione, possiamo quindi passare al
solo modulo del campo che risulta B=
μ 0 ∞ sin θ
i∫
dl , svolgendo i calcoli ed
4 π −∞ r 2
indicando con R la distanza tra il punto P ed il filo:
13.8
B=
μ0 i
2 πR
Vediamo ora il campo magnetico generato sull’asse di una spira circolare di
raggio R percorsa da una corrente i:
Dato un punto P sull’asse della spira a distanza x dalla stessa, tutti gli elementi
d l sono perpendicolari ad r e si trovano alla stessa distanza r dal punto P:
r 2=x 2R 2 . Il modulo del campo vale inoltre dB=
μ0 i
dl
. Possiamo anche
4 π  x R 2 
2
vedere che il campo ha una componente lungo l’asse della spira ed una nella
direzione ortogonale. Per ragioni di simmetria l’integrale su tutta la spira della
componente ortogonale fa zero, possiamo quindi interessarci alla sola
componente lungo l’asse dB cos θ ed integrarla su tutta la spira tenendo conto
che cos θ=
B=∮
R
x
2
1/2
r 2 
μ 0 i cos θ dl
4 π  x 2R 2 
=
si ottiene il seguente integrale:
μ0 i
R
4 π  x 2R 2 3/2
∮ dl=
μ 0 iR 2
3/ 2
2  x 2R 2 
Nel centro della spira questo campo diventa:
μ0 i
13.9
2R
13.5 Forza tra due conduttori paralleli percorsi da corrente
Abbiamo detto nei paragrafi precedenti che un conduttore percorso da corrente
risente della forza di un campo magnetico e che un conduttore percorso da
corrente è una sorgente di campo magnetico. Da ciò deduciamo che se abbiamo
due conduttori percorsi da corrente ciascuno eserciterà sull’altro una forza
mediata dal campo magnetico. Questa proprietà è di particolare interesse
perché è usata per definire l’Ampere.
Consideriamo due fili paralleli di lunghezza indefinita percorsi da corrente:
Il filo 1 produce ad una distanza d un campo magnetico B 1=
μ0 i 1
2π d
,
la corrente
nel filo 2 interagisce con il campo B1 e la forza su una porzione L del filo 2 è
quindi F 1−2=i 2 L B1=
μ0 i 1 i 2 L
2π
d
. In maniera simmetrica, il filo 2 produce ad una
distanza d un campo magnetico B 2=
μ0 i 2
2π d
, la corrente nel filo 1 interagisce con
il campo B 2 e la forza su una porzione L del filo 1 è quindi uguale alla
precedente in modulo F 2−1=i 2 L B 1=
μ0 i 1 i 2 L
2π
d
. La forza è attrattiva se le due
correnti sono concordi, repulsiva se sono discordi.
DEFINIZIONE DELL’AMPÈRE: 1 ampère è l’intensità di corrente costante, che,
mantenuta in due conduttori paralleli, di lunghezza infinita e di sezione
trascurabile, posti ad una distanza di 1 m uno dall’altro nel vuoto, produce tra
tali conduttori la forza di 2⋅10−7 N per metro di lunghezza.
13.5 Teorema di Ampere
La legge di Biot e Savart ci mette in grado di calcolare il campo magnetico
generato da un sistema di correnti, ma spesso i calcoli non sono semplici.
Sarebbe
utile
una
qualche
formulazione
che
semplifichi
il
problema
sfruttandone le eventuali simmetrie, in maniera analoga a quanto succede per
il calcolo del campo elettrico di una distribuzione di cariche tramite il teorema
di Gauss. Torniamo al caso del filo di lunghezza indefinita percorso da
corrente, abbiamo visto che il campo in un punto P è tangente alla
circonferenza che giace nel piano perpendicolare al filo, passa per P ed ha il
centro sul filo. Inoltre sappiamo che l’intensità del campo è la stessa su tutta la
⋅d l sulla circonferenza
circonferenza. Se andiamo a considerare la quantità B
passante per P notiamo che i due vettori sono sempre paralleli quindi per la
 l è costante su tutti i punti di una traiettoria circolare attorno al
quantità B⋅d
filo percorso da corrente e risulta:
μ i
 l =B ∮ dl = 0 2 π r= μ 0 i
∮ B⋅d
2π r
Abbiamo calcolato questo risultato nel caso specifico del filo indefinito percorso
da corrente, in realtà esso ha validità generale e viene indicato con il nome di
⋅d l lungo un qualunque percorso
teorema di Ampere: l’integrale di linea di B
chiuso, detto anche circuitazione di B, è uguale al prodotto di μ 0 per la
corrente continua totale concatenata con il percorso.
∮ B⋅d l = μ0 i c
13.10
Il teorema di Ampere svolge effettivamente per il campo magnetico il ruolo che
il teorema di Gauss svolge per il campo elettrico, è utile soprattutto nel caso di
distribuzioni di correnti con elevata simmetria. Bisogna prestare attenzione che
esso è valido solo per correnti continue e che le correnti sono tutte e sole quelle
concatenate al percorso. Nel disegno sottostante ad esempio la corrente i 4 non
è concatenata al percorso.
Il teorema di Ampere può essere utilizzato per calcolare il campo del filo
indefinito percorso da corrente, o visto che questo calcolo lo abbiamo già fatto
per calcolare il campo di un solenoide ideale di lunghezza indefinita percorso
da una corrente i. Il solenoide è un insieme di spire avvolte su un cilindro tutte
percorse dalla stessa corrente, un solenoide reale avrà chiaramente una
lunghezza finita ed il campo magnetico da esso generato somiglierà a quello del
solenoide ideale nella regione lontana dai bordi.
Nel solenoide ideale il campo magnetico è parallelo all’asse del solenoide ed è
costante all’interno e zero all’esterno, come può essere facilmente verificato
sfruttando la sua simmetria. Se consideriamo il percorso rettangolare indicato
in figura
∮ B⋅d l
si può dividere in 4 parti:
13.11
b
c
d
a
a
b
c
d
 l =∫ B⋅d
 l ∫ B⋅d
 l ∫ B⋅d
 l ∫ B⋅d
 l
∮ B⋅d
solo il primo termine è diverso da zero, infatti il campo magnetico è sempre
nullo nel terzo integrale ed è ortogonale a d l nel secondo e nel quarto. Risulta
quindi
b
13.12
 l =∫ B⋅d
 l = Bh
∮ B⋅d
a
dal teorema di Ampere sappiamo che questo integrale deve essere anche uguale
a μ0 per la corrente concatenata al percorso, se N è il numero delle spire
concatenate
∮ B⋅d l =Bh= μ0 i c = μ0 iN
e se introduciamo il numero di spire per
unità di lunghezza n= N / h il campo magnetico del nostro solenoide risulta:
13.13
B= μ 0 in