Dati e previsioni Il gioco interrotto e la divisione della posta Cecilia Magni Contesto Questa attività può essere svolte nel secondo biennio (per esempio nella classe quarta) per mettere alla provagli studenti con un problema “storico” del calcolo delle probabilità. Prerequisiti Conoscenza della probabilità totale e della probabilità composta di eventi indipendenti. Descrizione dell’attività L’insegnante pone ai gruppi di lavoro il seguente problema: “Due giocatori, A e B, hanno deciso di giocare una serie di partite ed hanno stabilito che vincerà tutto quello che vincerà per primo 3 partite. Hanno scommesso 18 euro ciascuno quindi la posta in gioco è di 36 euro. Ad un certo punto però, quando stanno 2 a 1 per A (cioè A ha vinto due partite e B solo una) devono interrompere il gioco: come è giusto che dividano la posta?” Osservazione iniziale Dalla discussione collettiva dovrà emergere che la posta andrà divisa in relazione alle probabilità che hanno di vincere ciascun giocatore al momento dell’interruzione del gioco. Non ha senso quindi per esempio dire che la posta va divisa in parti proporzionali al punteggio ,in questo caso 2 :1 , cioè 24 euro ad A e 12 euro a B. Infatti con questo schema di ragionamento se per esempio il gioco fosse stato interrotto quando stanno 1: 0 a B non spetterebbe niente mentre anche B, continuando il gioco, ha qualche probabilità di vincere. Il problema è quindi quello di calcolare la probabilità che hanno di vincere i due giocatori nel momento in cui il gioco viene interrotto. Qual è la probabilità che hanno i due giocatori di vincere? Si suppone che i due giocatori siano da considerarsi di pari abilità e che quindi ad ogni partita abbiamo la stessa probabilità di aggiudicarsi il punto. Supponiamo che il gioco continui: se nella prima partita vince A il gioco è finito ed ha vinto A, se invece vince B sono 2:2 e devono giocare un’altra partita. Se in questa seconda partita vince A il gioco finisce ed ha vinto A, mentre se vince B anche in questo caso il gioco finisce ed ha vinto B. Rappresentiamo la situazione con un grafo ad albero in cui se mi sposto a sinistra vince A , se mi sposto a destra vince B e in cui indico il punteggio che si è raggiunto dopo la partita. 1 1 1 1 di vincere alla prima partita oppure probabilità = ⋅ di vincere alla 2 4 2 2 seconda partita (avendo perso la prima) e quindi in totale la sua probabilità di vittoria è Quindi A ha probabilità p (vince − A) = 1 1 3 + = 2 4 4 Invece B per vincere deve vincere sia la prima che la seconda partita e quindi la sua probabilità di vittoria è p (vince − B ) = 1 1 1 ⋅ = 2 2 4 In conclusione i 36 euro della posta vanno suddivisi in rapporto di 3:1 (cioè nello stesso rapporto in 3 1 cui stanno le probabilità) cioè ⋅ 36 = 27 euro ad A e ⋅ 36 = 9 euro a B. 4 4 Generalizziamo il metodo risolutivo E se , al momento dell’interruzione del gioco, stessero 2 a 0 per A? In questo caso si dovrebbero giocare al massimo altre tre partite e lo schema sarebbe il seguente: Quindi abbiamo: p (vince − A) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 + ⋅ + ⋅ ⋅ = + + = 2 2 2 2 2 2 2 4 8 8 p (vince − B ) = 1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 2 2 2 8 E se fossero 1 a 0 per A? In questo caso si vede che al massimo occorre giocare altre quattro partite e che facendo il grafo abbiamo 1 1 1 1 1 1 11 + + + + + = 4 8 16 8 16 16 16 5 p (vince − B ) = 16 p (vince − A) = Approfondimento storico Il problema della suddivisione equa della posta nel caso di interruzione del gioco fu affrontato in un carteggio tra Pascal e Fermat : è stimolante, dopo aver discusso la soluzione, leggere parte della lettera in cui Pascal spiega a Fermat il suo metodo e in cui riporta anche il metodo di Fermat concludendo che le due strategie portano allo stesso risultato. Riportiamo il brano della lettera di Pascal a Fermat del 29 Luglio 1654. Lettera di Pascal a Fermat (29/7/1654) [Ecco pressappoco come faccio a sapere come deve essere suddivisa la posta quando due giocatori giocano, per esempio, in tre partite e ciascuno a messo 32 pistole in gioco: Supponiamo che il primo di essi abbia due (punti) e l'altro uno. Essi ora giocano una mano in cui le possibilità sono tali che, se il primo vincesse, vincerebbe la posta intera che è in gioco, vale a dire 64 pistole. Se vincesse l’altro, sarebbero 2-2 e, di conseguenza, se vogliono separarsi, ne consegue che ognuno riprenderà la sua posta, vale a dire 32 pistole. Considerate allora, signore, che se il primo vincesse, 64 pistole apparterrebbero a lui. Se perdesse, ne avrebbe 32. Quindi se a questo punto non desiderano giocare, e vogliono separarsi senza farlo, il primo dovrebbe dire: "Sono certo di 32 pistole, perché le avrei anche se perdessi. Per quanto riguarda le altre 32, forse li avrò io e forse li avrai tu, le possibilità sono uguali. Quindi dividiamo le 32 pistole a metà, e dammi le 32 di cui sono certo. Egli allora avrà 48 pistole e l’altro ne avrà 16.] [Ora supponiamo che il primo abbia due punti e l'altro nessuno, e che stiano per cominciare una nuova mano. Le possibilità sono tali che, se il primo vincesse, vincerebbe l’intera posta di 64 pistole. Se vincesse l’altro, ecco, essi tornerebbero al caso precedente in cui il primo ha due punti e l'altro uno. Ma abbiamo già dimostrato che in questo caso 48 pistole apparterrebbero a colui che ha due punti. Pertanto, se non desiderano giocare a questo punto, egli dovrebbe dire: "Se vincessi, guadagnerei tutto, cioè 64 [pistole]. Se perdessi, 48 [pistole] sarebbero legittimamente mie. Pertanto dammi le 48 che sono mie di certo, anche se perdessi, e dividiamoci le altre 16 a metà perché vi sono le stesse probabilità che le guadagni tu o io." Così egli avrà 48 più 8, che sono 56 pistole. Supponiamo ora che il primo abbia un solo punto e l'altro nessuno. Vedete, Monsieur, che se si giocasse una nuova mano, le possibilità sono tali che, in caso di vittoria del primo, egli sarebbe sul due a zero, e dividendo come nel caso precedente, 56 [pistole] apparterrebbero a lui. In caso di sconfitta, essi sarebbero sull’1 a 1, ed egli avrebbe diritto a 32 pistole. Pertanto, dovrebbe dire: "Se non vuoi giocare, dammi le 32 pistole di cui sono certo, e dividiamo quello che resta dalle 56 a metà. Da 56 sottraiamo 32, e ne restano 24: dividete dunque 24 in due parti uguali, prendetene 12 voi e io 12, che con 32 fanno 44”.] Quindi nel caso in cui i due giocatori A e B siano 1 a 0 per A secondo il metodo di Pascal al giocatore A spetterebbero 44 pistole e solo 20 al secondo. Fermat aveva invece proposto a Pascal una soluzione di tipo “combinatorio” considerando tutti i possibili esiti delle successive partite con un metodo quindi più simile al nostro. Traduzione della parte della lettera in cui Pascal spiega la soluzione proposta da Fermat . Se, in una partita di più mani, due giocatori si ritrovano in una situazione tale che, per vincere la posta, al primo di loro mancano due punti e al secondo tre, voi dite che occorre vedere dopo quante mani l’esito del gioco verrà definitivamente deciso. Per convenienza possiamo supporre che ciò accadrà dopo quattro mani, cosa da cui concludete che è necessario vedere in quanti modi questi quattro punti possono essere distribuiti fra i due giocatori, calcolare quante combinazioni portano alla vincita del primo e quante a quella del secondo e, quindi, dividere la posta in accordo con questa proporzione. [In ogni partita Fermat indica con a la vittoria del giocatore A e con b la vittoria del giocatore B e Pascal riporta la tabella di tutti i possibili esiti delle successive quattro partite] a a a a 1 a a a b 1 a a b a 1 a a b b 1 a b a a 1 a b a b 1 a b b a 1 a b b b 2 b a a a 1 b a a b 1 b a b a 1 b a b b 2 b b a a 1 b b a b 2 b b b a 2 b b b b 2 E, poiché al primo giocatore mancano due punti, tutte le combinazioni che contengono almeno due a – ce ne sono complessivamente 11 – lo portano alla vittoria; e dato che al secondo giocatore mancano tre punti, tutte le combinazioni che contengono tre b – ce ne sono complessivamente 5 – lo fanno vincere. Pertanto, essi dovranno spartirsi la somma in un rapporto di 11 a 5. Pascal allora conclude scrivendo: “Je vois bien que la vérité est la mȇme à Toulouse et à Paris. » [Vedo quindi che la verità è la stessa a Tolosa e a Parigi] Infatti secondo il metodo di Fermat , dovendo spartire la posta in un rapporto di 11 a 5 , al giocatore 11 5 A spettano ⋅ 64 = 44 pistole e al giocatore B ⋅ 64 = 20 pistole come aveva concluso anche 16 16 Pascal.