1.Il gioco è equo

Dati e previsioni
Il gioco è equo?
Cecilia Magni
Contesto
Queste due attività possono essere svolte nel primo biennio (per esempio nella classe seconda) dopo
aver introdotto (o ripreso) la definizione classica e frequentista della probabilità di un evento.
Prerequisiti
Conoscenza della definizione classica e frequentista della probabilità di un evento.
1)
Il gioco è equo?
Descrizione dell’attività
Si comincia con il porre agli studenti la seguente domanda:
“Supponiamo che due giocatori A e B scommettano sull’uscita (o sulla non-uscita) del 6 nel lancio
di un dado: A scommette sull’uscita del 6 (evento E) e punta 1 euro (quindi rischia 1 euro) mentre B
scommette sulla non-uscita del 6 (evento contrario E ) e punta 5 euro (rischia 5 euro).
Se esce il 6 , A prende tutto (6 euro) e quindi guadagna 5 euro; se non esce il 6 , B prende tutto e
quindi guadagna 1 euro. Questo gioco è equo?”
Gli studenti discutono, divisi in gruppi di lavoro, e devono motivare la propria risposta.
Nella discussione collettiva deve emergere che è importante confrontare la probabilità di vittoria del
giocatore A con quella del giocatore B.
In seguito l’insegnante guiderà gli studenti nel calcolo del “guadagno medio”.
La probabilità di vittoria di A è p(E) = p( esce il 6) =
risulta p( E ) = p(non esce il 6)=
1
6
mentre la probabilità di vittoria di B
5
.
6
Poiché la probabilità di vincere di B è cinque volte la probabilità di vincere di A è intuitivamente
giusto che il guadagno di A sia 5 volte il guadagno di B.
In questo modo infatti se A e B giocano n partite e A vince m volte il guadagno medio di A (cioè
il guadagno in una giocata) sarà
guadagno − medio =
5 ⋅ m − 1 ⋅ ( n − m)
m
( n − m)
= 5 ⋅ −1⋅
n
n
n
m
m
può essere considerato vicino a p(E) e 1 −
può essere considerato
n
n
vicino a p( E ) e quindi il guadagno medio risulta
Quando n è molto grande
5 ⋅ p( E ) − 1 ⋅ p( E ) = 5 ⋅
1
5
− 1⋅ = 0
6
6
Naturalmente anche il guadagno medio di B risulta
− 5 ⋅ p ( E ) + 1 ⋅ p ( E ) = −5 ⋅
1
5
+ 1⋅ = 0
6
6
Quindi indicando in generale con r (rischio) la somma rischiata da A e con g (guadagno) la somma
che A guadagna se E si verifica, il guadagno medio di A può essere scritto così:
guadagno − medio − A = g ⋅ p ( E ) − r ⋅ p ( E )
In conclusione abbiamo un gioco equo quando
p( E ) r
= ⇒ g ⋅ p( E ) − r ⋅ p( E ) = 0
p( E ) g
cioè quando il guadagno medio dei due giocatori è ZERO!
Se invece il guadagno medio di A è positivo cioè g ⋅ p ( E ) − r ⋅ p ( E ) > 0
per A (e naturalmente svantaggioso per B).
il gioco è vantaggioso
Se invece il guadagno medio di A è negativo cioè g ⋅ p ( E ) − r ⋅ p ( E ) < 0 il gioco è svantaggioso
per A (e naturalmente vantaggioso per B).
Osservazione
Si può far osservare agli studenti che la maggior parte delle volte non ci sono due giocatori effettivi
ma solo un giocatore che scommette su un evento E contro un “banco” perdendo una certa somma r
(il rischio ) se l’evento E non si verifica e guadagnando una somma g (il guadagno ) se l’ evento E
si verifica.
Per esempio nelle scommesse sui cavalli, se un cavallo è dato 5 a 1 vuol dire che se rischio 1 euro
su quel cavallo, quindi r = 1 , se il cavallo vince guadagno 5 euro cioè g = 5 (mi viene restituita la
posta e quindi mi danno 6 euro).
Se quindi un evento è dato x contro y vuol dire che guadagno x rischiando y e quindi se il gioco
è equo
y
x ⋅ P ( E ) = y ⋅ P( E ) ⇒ x ⋅ P( E ) = y ⋅ (1 − P( E )) ⇒ ( x + y ) ⋅ P( E ) = y ⇒ P( E ) =
x+ y
In genere un evento è dato g contro 1 ( g : 1) cioè se scommetto 1 euro in caso di vittoria ne
guadagno g (vinco cioè g+1 euro).
2) Rien ne va plus!
Descrizione dell’attività
Si comincia con il porre agli studenti la seguente domanda: “Il gioco della roulette francese è un
gioco equo?”
Naturalmente è necessario spiegare in cosa consiste il gioco, come possono essere fatte le varie
“puntate”(uscita di un dato numero,uscita di un numero pari ecc. ) e a quanto vengono “date”.
Gli studenti, divisi in gruppi di lavoro, dovranno verificare se i vari tipi di scommesse sono eque.
Nel gioco della roulette francese ci sono 36 numeri rossi e neri alternati da 1 a 36 e lo zero (verde).
Si può puntare su:
• sull’uscita di un dato numero;
• su un “cavallo” cioè si mette la fiche a “cavallo” su due numeri e si vince se esce uno dei
due;
• sull’uscita di un numero compreso in una data dozzina (1-12; 13-24; 25-36);
• sull’uscita di un numero tra 18 numeri (1-18; 19-36);
• sull’uscita di un numero pari;
• sull’uscita di un numero dispari;
• sull’uscita di un rosso o di un nero.
Naturalmente si possono fare più puntate insieme: per esempio si può puntare su due cavalli ecc.…
Cominciamo con l’uscita di un dato numero: la puntata su un dato numero viene data 35 a 1 cioè se
il rischio è r abbiamo un guadagno g = 35 ⋅ r .
1
36 p ( E ) 1
Ma se indichiamo con E = “esce un dato numero” poiché p(E) =
e p( E ) =
=
e
37
37 p ( E ) 36
quindi ,se il gioco fosse equo, l’uscita di un dato numero dovrebbe essere data 36 a 1.
Questa scommessa è quindi svantaggiosa per noi!
Vediamo le varie “puntate”:
•
•
•
•
•
l’uscita di un numero pari (dispari) viene data 1 a 1 come se si considerasse che
1
18
p ( pari ) = , mentre in realtà p ( pari ) =
perché lo zero non è considerato pari e i numeri
2
37
sono 37 e quindi la scommessa non è equa;
18
l’uscita di un numero rosso (nero) viene data 1 a 1 mentre in realtà p (rosso) =
(lo zero
37
non è né rosso né nero) e quindi la scommessa non è equa ;
l’uscita di un numero compreso tra 18 numeri (1-18;19-36) viene data 1 a 1 mentre la sua
18
e quindi la scommessa non è equa;
probabilità è
37
l’uscita di un numero compreso in una dozzina viene data 2 a 1 come se la sua probabilità
1
12
fosse mentre p (dozzina ) =
e quindi la scommessa non è equa;
3
37
l’uscita di un numero a cavallo tra due viene data 17 a 1 (come se avesse probabilità
2
1
2
= ) mentre p (cavallo) =
quindi la scommessa non è equa.
36 18
37
Quindi le vincite relative alle varie puntate sono calcolate come se lo zero non ci fosse: si dice
infatti che lo zero è “a favore del banco” ( si chiama anche tassa sullo zero).