Università degli Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennale in Fisica
Corso di
Meccanica Quantistica
Sparpagliamento del
pacchetto d’onde Gaussiano
1
Trasformata di Fourier
Si consideri un sistema fisico unidimensionale che, all’istante t = 0, sia descritto da un pacchetto
d’onde Gaussiano di minima indeterminazione
2
(x−hxi)
i
1
−
ψ(x, 0) = p √ e ~ hpix e 4(∆x)2 ,
∆x 2π
(1)
a cui corrisponde una densità di probabilità data da
|ψ(x, 0)|2 =
1
√
∆x 2π
−
e
(x−hxi)2
2(∆x)2
.
(2)
La funzione d’onda (1) può essere scritta in termini della sua trasformata di Fourier ϕ(p)
attraverso la
Z +∞
i
1
ψ(x, 0) = √
dp ϕ(p)e ~ px .
(3)
h −∞
La trasformata di Fourier può essere calcolata esplicitamente svolgendo l’ integrale
Z +∞
Z +∞
(x−hxi)2
i
i
1
1
−
px
~
dx e 4(∆x)2 e− ~ (p−hpi)x .
dx ψ(x, 0) e
=p
ϕ(p) = √
√
h −∞
h∆x 2π −∞
Introducendo la variabile ξ = x − hxi, si ha
i
e− ~ (p−hpi)hxi
ϕ(p) = p
√
h∆x 2π
Z
+∞
−
dξ e
ξ2
4(∆x)2
i
e− ~ (p−hpi)ξ .
−∞
Completando il quadrato, l’integrale diventa quello di una Gaussiana e si può calcolare direttamente
i
Z +∞
2
2
ξ
i
e− ~ (p−hpi)hxi − (p−hpi)
(∆x)2
2
~
dξ e−( 2∆x + ~ (p−hpi)∆x)
ϕ(p) = p
√ e
−∞
h∆x 2π
i
2
√
e− ~ (p−hpi)hxi − (p−hpi)
(∆x)2
~2
· 2∆x π .
(4)
= p
√ e
h∆x 2π
Sfruttando il fatto che il pacchetto d’onde (1) è di minima indeterminazione, e quindi il prodotto
degli scarti su (1) è proprio ~/2
~
∆x∆p = ,
2
la (4) si può riscrivere cosı̀
2
(p−hpi)
i
1
−
ϕ(p) = p √ e (4∆p)2 e− ~ (p−hpi)hxi ,
∆p 2π
e quindi la trasformata di Fourier di (1) è ancora di forma Gaussiana.
-1-
(5)
Meccanica Quantistica
2
Evoluzione temporale
Evoluzione temporale
Supponiamo ora che il pacchetto d’onde descriva una particella libera. L’evoluzione temporale
è allora data dall’operatore unitario
i
e− ~ Ĥt ,
dove
p̂2
,
2m
Ĥ =
che, applicato alla (3), dà
i
e− ~ Ĥt
ψ(x, t) = √
h
Z
+∞
dp ϕ(p)e
−∞
i
px
~
1
=√
h
Z
+∞
i
i p2
dp ϕ(p)e ~ px e− ~ 2m t ,
−∞
i
dato che le onde piane e ~ px sono autofunzioni dell’Hamiltoniana di particella libera con autop2
valori 2m
. Usando la (5) si ha allora
Z +∞
(p−hpi)2
p2
1
−
− ~i (p−hpi)hxi+ ~i px− ~i 2m
t
(4∆p)2
dp
e
ψ(x, t) = p
√
h∆p 2π −∞
Z +∞
1
2
≡p
dp e−αp +βp+γ ,
√
h∆p 2π −∞
dove sono state definite le quantità (costanti rispetto a p)
α≡
it
1
+
,
2
4(∆p)
2~m
β≡
hpi
i
+ (x − hxi) ,
2
2(∆p)
~
γ≡−
hpi2
i
+ hpihxi .
2
4(∆p)
~
Completando il quadrato, si può allora scrivere l’integrale in forma Gaussiana e calcolarlo
r
√
2
Z +∞
β
β2
β2
1
π
1
−
αp− 2√
+γ
+γ
α
ψ(x, t) = p
dp e
=p
√ e 4α
√ e 4α
α
−∞
h∆p 2π
h∆p 2π
β2
1
+γ
=p
.
√ e 4α
2~∆pα 2π
Si ha
2~∆pα = ∆x +
i∆p
i~
t = ∆x +
t,
m
2m∆x
e con un po’ di algebra si trova
2
|ψ(x, t)| =
1
√
∆xt 2π
e
−
(x−hxit )2
2(∆xt )2
,
(6)
dove sono state introdotte le quantità
hxit = hxi +
hpi
t,
m
(∆xt )2 = (∆x)2 +
(∆p)2 t2
~2 t2
2
=
(∆x)
+
.
m2
4m2 (∆x)2
(7)
Quindi, come si vede dalle (6) e (7), il pacchetto d’onda è rimasto di forma Gaussiana, si
sparpaglia nel tempo con legge quadratica ed il suo baricentro segue la legge classica. Dato che
p̂ e p̂2 commutano con l’Hamiltoniana, si ha invece che ∆pt = ∆p.
Si noti che ∆xt e ∆pt non soddisfano più alla relazione di minima indeterminazione,
∆xt ∆pt 6=
~
,
2
e quindi il pacchetto non è più di minima indeterminazione.
-2-
