Corso di Laurea Magistrale in
Scienza e Tecnologia dei Materiali
COMPLEMENTI DI MATEMATICA
E ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA
A.A. 2012/13
Prof. Lorenzo PISANI - Prof. Giulio PAIANO
MODULO A
Richiami su successioni e serie di funzioni
Convergenza puntuale ed uniforme di successioni.
Conservazione di proprietà nel passaggio al limite (continuità, derivabilità).
Passaggio al limite sotto derivata e integrale.
Derivazione ed integrazione per serie.
Separazione delle variabili per l'equazione della corda vibrante ad estremi fissati. Teoria classica
delle serie trigonometriche: condizioni sufficienti per la convergenza puntuale ed uniforme;
convergenza nel senso di Cesaro. Generalizzazione ad un intervallo di ampiezza arbitraria.
Misura ed integrazione secondo Lebesgue
Misura di plurintervalli. Misura esterna di un sottoinsieme. Insiemi misurabili. Proprietà della
misura.
Insiemi di misura nulla. Proprietà vere quasi ovunque. Caratterizzazione delle funzioni integrabili
secondo Riemann.
Integrale secondo Lebesgue: funzioni semplici, funzioni positive, funzioni sommabili. Proprietà
dell'integrale. Teoremi di passaggio al limite: convergenza dominata e convergenza monotona.
Confronto con l’integrale secondo Riemann e in senso improprio.
Funzione Si (seno integrale).
Richiami di algebra astratta
Definizione di spazio vettoriale. Sottospazio
Esempi: RN, CN, spazi di funzioni su un prefissato dominio (limitate, continue, derivabili, funzioni
test), spazi di successioni (limitate, convergenti, infinitesime, di prefissata potenza sommabile).
Combinazione lineare. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Insieme di generatori.
Dipendenza ed indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali di dimensione finita.
Somma e somma diretta di sottospazi.
Operatori lineari tra spazi vettoriali. Forme lineari.
Cenni di analisi funzionale
Nozione di distanza su un insieme: spazio metrico. Intorni sferici, insiemi aperti e chiusi.
Convergenza di successioni in uno spazio metrico. Caratterizzazione sequenziale della continuità.
Spazio metrico completo. Completamento.
Norma su uno spazio vettoriale: spazio normato.
Distanza dedotta dalla norma, convergenza in uno spazio normato, spazio di Banach.
Completamento di uno spazio normato.
Confronto ed equivalenza tra norme.
Operatori lineari tra spazi normati. Continuità e limitatezza. Isometrie.
Esempi
RN (e CN) con diverse norme (tra loro equivalenti).
Spazio delle funzioni limitate; relazione tra la convergenza uniforme e la convergenza rispetto alla
norma uniforme.
Spazio delle funzioni continue C([a,b]) con diverse norme; spazio Ck([a,b]).
Spazi Lp e Lp. Funzioni essenzialmente limitate. Disuguaglianza di Holder. Interpolazione e
inclusione tra spazi Lp. Densità delle funzioni continue in Lp. Confronto tra convergenza puntuale e
in L1.
Spazi di Hilbert
Prodotto scalare su uno spazio vettoriale (caso reale e caso complesso): spazio prehilbertiano.
Norma dedotta dal prodotto scalare, spazio di Hilbert. Completamento.
Esempi: RN e CN; C([a,b]); spazio delle successioni a quadrato sommabile ℓ2, spazio L2.
Identità del parallelogramma; caratterizzazione degli spazi con prodotto scalare.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz; angolo tra due vettori; teorema di Pitagora.
Complemento ortogonale.
Proiezione su un sottoinsieme convesso. Proiezione ortogonale su un sottospazio.
Basi ortonormali in spazi di dimensione finita.
Serie di Fourier
Successioni ortonormali e serie di Fourier.
Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parceval.
Sistemi ortonormali completi (basi hilbertiane). Isometria con ℓ2.
Completezza in C([-π, π]) e in L1(-π, π) del sistema trigonometrico.
Base hilbertiana di L2(-π, π); convergenza della serie trigonometrica in L2(-π, π).
Prodotto di convoluzione
Funzioni localmente sommabili in un intervallo. Convergenza in L1loc.
Prodotto di convoluzione: coppie di classi di funzioni per cui ha senso.
Sommabilità della convoluzione: Teorema di Young.
Regolarità della convoluzione.
Approssimanti della Delta di Dirac; successione regolarizzante (mollificatori) e regolarizzazione per
convoluzione.
Teoria delle distribuzioni
Convergenza negli spazi delle funzioni test C0 e D.
Prodotto di una funzione localmente sommabile per una funzione test.
Distribuzioni, regolari e singolari; la Delta di Dirac; valor principale di 1/x.
Riscalamento e traslazione di una distribuzione; proprietà di simmetria e di periodicità.
Prodotto di una distribuzione per una funzione.
Derivata delle distribuzioni. Esempi di derivate di distribuzioni regolari: funzioni continue con
derivata continua a tratti; funzione di Heaviside; funzioni C1 a tratti; log|x|. Derivata della Delta
(dipolo). Regole di derivazione.
Convergenza di distribuzioni; teorema sulle successioni approssimanti della Delta di Dirac; densità
delle funzioni test in D'.
Completezza di D'; treno di impulsi.
Confronto tra le diverse nozioni di derivata per le funzioni: classica, debole, classica quasi
ovunque, derivata della distribuzione associata. Generalizzazione alle diverse nozioni di soluzione
per equazioni differenziali (lineari, a coefficienti costanti). Problematica dei dati iniziali in presenza
di termini noti impulsivi.
Sottospazi notevoli di distribuzioni
Misure (di Radon); prolungamento di una misura allo spazio C0.
Supporto di una distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto; prolungamento di una
distribuzione a supporto compatto allo spazio E. Cenni sulle distribuzioni temperate.
Convoluzione tra una distribuzione e una funzione. Convoluzione tra due distribuzioni. Coerenza
delle definizioni.
Soluzione fondamentale di un operatore differenziale lineare a coefficienti costanti:
determinazione e applicazione alle equazioni differenziali complete.
Trasformata di Laplace
Punti in cui una funzione (di variabile reale, nulla sul semiasse negativo, a valori in C) è
trasformabile secondo Laplace. Trasformata di Laplace. Ascissa di convergenza.
Linearità della trasformata di Laplace.
Limitatezza all’interno del semipiano di trasformabilità e comportamento asintotico della
trasformata di Laplace.
Analiticità della trasformata di Laplace e regole di derivazione.
Regole di trasformazione. Trasformata di Laplace di funzioni periodiche.
Trasformata di Laplace della derivata. Teorema del valor finale.
Trasformata di Laplace del prodotto di convoluzione. Trasformata di Laplace della primitiva.
Teorema di Riemann-Fourier e formula di inversione. Condizione sufficiente per l’esistenza
dell’antitrasformata. Caso delle funzioni razionali.
Trasformata di Laplace di distribuzioni nulle sul semiasse negativo.
Trasformata della derivata distribuzionale. Antitrasformazione di un polinomio.
Applicazione della trasformata di Laplace a problemi di Cauchy per equazioni differenziali
ordinarie lineari a coefficienti costanti (duplice formulazione: senza e con distribuzioni).
TESTI CONSIGLIATI PER IL MODULO A
• G. C. Barozzi. Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione. Zanichelli
• F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli. Introduzione all’Analisi Complessa e Teoria delle distribuzioni.
http://calvino.polito.it/~tabacco/complessa/complessa.html
• G. Di Fazio, M. Frasca. Metodi matematici per l'ingegneria. Monduzzi Editore
• G. Cicogna. Metodi matematici della Fisica. Springer
MODULO B
Introduzione
Gli aggregati macroscopici di materia si possono trattare da un punto di vista microscopico
(meccanica statistica) o da un punto di vista macroscopico (termodinamica): discussione ed
esempi.
Il metodo statistico-combinatoriale di Boltzmann
Sistemi chiusi e loro descrizione. Stato microscopico di un sistema chiuso e sua probabilità
secondo Boltzmann. Stato di equilibrio statistico, funzione partizione. Calcolo di quantità medie
dalla funzione partizione. Fluttuazioni.
Il gas ideale: spazio delle fasi di una molecola. Calcolo esplicito dello stato di equilibrio statistico e
della funzione partizione.
A.F., Capitolo 10, esclusi Esempi 10.5, 10.8. + appunti distribuiti. Inoltre:
A.F., Capitolo 2, Esempi 2.3, 2.4.
Interpretazione statistica delle leggi della termodinamica
Identificazione in termini statistici dei contributi di calore e lavoro nel 1° principio della
termodinamica. Definizione statistica di entropia e sua identificazione con l’entropia
termodinamica. Formulazione statistica del 2° principio. Calcolo esplicito dell’entropia di un gas
perfetto monoatomico: riproduzione della dipendenza dalle variabili termodinamiche,
identificazione della costante additiva (equazione di Sackur -Tetrode).Significato statistico
dell’esperienza di Joule senza lavoro esterno. Ciclo di Carnot in termini di entropia e temperatura,
equazione dell’adiabatica reversibile in termini di entropia e volume. Potenziali termodinamici.
A.F., Capitolo 11, in particolare paragrafi 11.8, 11.9, 11.10, esempi inclusi. Appunti distribuiti.
Statistiche quantistiche
Conseguenze della indistinguibilità microscopica nella descrizione quantistica di particelle
identiche. Sistema chiuso di particelle identiche non interagenti: statistiche di Bose-Einstein e di
Fermi-Dirac. Il gas elettronico in genere: energia di Fermi. Il gas elettronico nei metalli: legge di
Richardson–Dushman, differenza di potenziale di contatto fra due metalli. Gas fotonico in una
cavità: legge di Planck.
A.F., Capitolo 13, Paragrafi 13.1 – 13.6, escluso Esempi 13.3, 13.5, 13.6
Proprietà termiche dei gas
Calore molare di un gas ideale monoatomico. Calore molare di un gas ideale biatomico a molecola
rigida: contributi rotazionali. Estensione alla molecola poliatomica rigida. Gradi di libertà
vibrazionali. Principio di equipartizione dell’energia. Onde vibrazionali nei solidi, il fonone. Calore
molare nei solidi: statistica di Bose dei fononi, legge di Debye e suo limite ad alta temperatura
A.F., Capitolo 12, Paragrafi 12.4, 12.5, 12.6., 13.7. + appunti distribuiti.
Il metodo cinetico-statistico di Boltzmann
Funzione di distribuzione nello spazio delle fasi di una molecola. Gas perfetto, deduzione della
“formula barometrica” per via meccanica. Equazione del trasporto. La condizione di equilibrio in
genere. Deduzione della distribuzione delle velocità di Maxwell per un gas perfetto all’equilibrio.
Generalizzazione a gas perfetto in campi esterni, di nuovo la formula barometrica. Teorema H di
Boltzmann. Connessione fra la quantità H, l’entropia statistica e l’entropia termodinamica.
Teorema del viriale, calcolo del viriale esterno per un gas perfetto, equazione di stato per un gas
perfetto. Modello di gas reale rarefatto: calcolo del viriale interno ed equazione di Van der Waals.
Condensazione del gas reale.
Huang, Capitolo 3 + appunti distribuiti.
TESTI CONSIGLIATI PER IL MODULO B
• Alonso, Finn. Quantum and statistical Physics. Ed. Addison- Wesley
• Huang. Statistical mechanics. Ed. John Wiley.
• Appunti distribuiti rielaborati da: Sommerfeld. Thermodynamics and Statistical Mechanics. Ed.
Academic Press.
