Corso di Laurea Magistrale in
Scienza e Tecnologia dei Materiali
(indirizzo tecnologico)
COMPLEMENTI DI MATEMATICA
A.A. 2015/16
Prof. Lorenzo PISANI
Richiami su successioni e serie di funzioni
Convergenza puntuale ed uniforme di successioni.
Conservazione di proprietà nel passaggio al limite (continuità, derivabilità).
Passaggio al limite sotto derivata e integrale.
Derivazione ed integrazione per serie.
Separazione delle variabili per l'equazione della corda vibrante ad estremi fissati. Teoria classica
delle serie trigonometriche: condizioni sufficienti per la convergenza puntuale ed uniforme;
convergenza nel senso di Cesaro.
Misura ed integrazione secondo Lebesgue
Richiami sull’integrale di Riemann ed in senso improprio (in dimensione 1 e in dimensione
maggiore di 1). Funzione Si (seno integrale).
Misura di plurintervalli. Misura esterna di un sottoinsieme. Insiemi misurabili. Insiemi di misura
nulla. Proprietà della misura.
Integrale secondo Lebesgue: funzioni semplici, funzioni positive, funzioni per cui esiste l’integrale,
funzioni sommabili. Esempi.
Proprietà vere quasi ovunque. Funzioni q.o. uguali; funzioni definite q.o..
Teorema di passaggio al limite: convergenza dominata.
Spazi funzionali e richiami di algebra astratta
Definizione di spazio vettoriale. Sottospazio
Combinazione lineare. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Insieme di generatori.
Dipendenza ed indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale.
Operatori lineari tra spazi vettoriali. Forme lineari.
Spazi vettoriali di dimensione finita.
Somma e somma diretta di sottospazi.
Esempi.
RN, CN; spazi classici di funzioni su un prefissato dominio (limitate, continue, derivabili) con relative
inclusioni; spazi di funzioni test (C0,E,D,S), spazi di successioni (limitate, convergenti, infinitesime,
di prefissata potenza sommabile) con relative inclusioni.
Spazi di funzioni sommabili L1 ed Lp; funzioni essenzialmente limitate. Disuguaglianza di Holder.
Interpolazione e inclusione. Funzioni localmente sommabili in un intervallo. Prodotto di una
funzione test per una funzione localmente sommabile.
Cenni di analisi funzionale
Nozione di distanza su un insieme: spazio metrico. Intorni sferici, insiemi aperti e chiusi.
Convergenza di successioni in uno spazio metrico.
Successioni di Cauchy. Spazio metrico completo. Completamento.
Funzioni continue e caratterizzazione sequenziale della continuità.
Norma su uno spazio vettoriale: spazio normato.
Distanza dedotta dalla norma, convergenza in uno spazio normato, spazio di Banach.
Completamento di uno spazio normato.
Confronto ed equivalenza tra norme.
Convergenza di serie in spazi normati.
Operatori lineari tra spazi normati. Continuità e limitatezza. Isometrie.
Esempi
RN (e CN) con diverse norme (tra loro equivalenti).
Spazio delle funzioni limitate; relazione tra la convergenza uniforme e la convergenza rispetto alla
norma uniforme.
Spazio delle funzioni continue C([a,b]) con diverse norme; spazio Ck([a,b]).
Spazi Lp. Confronto tra convergenza puntuale e in L1.
Spazi di Hilbert
Prodotto scalare su uno spazio vettoriale (caso reale e caso complesso): spazio prehilbertiano.
Norma dedotta dal prodotto scalare, spazio di Hilbert. Completamento.
Esempi: RN e CN; C([a,b]); spazio delle successioni a quadrato sommabile ℓ2, spazio L2.
Identità del parallelogramma; caratterizzazione degli spazi con prodotto scalare.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz; angolo tra due vettori; teorema di Pitagora.
Complemento ortogonale.
Proiezione su un sottoinsieme convesso. Proiezione ortogonale su un sottospazio.
Basi ortonormali in spazi di dimensione finita.
Serie di Fourier
Successioni ortonormali e serie di Fourier.
Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parceval.
Sistemi ortonormali completi (basi hilbertiane). Esempio: il sistema trigonometrico in L2(-π, π).
Procedura di ortonormalizzazione di una successione linearmente indipendente. Esempio:
polinomi di Legendre.
Problemi di Sturm-Liouville regolari: successioni degli autovalori ed autofunzioni. Ortogonalità e
completezza della successione delle autofunzioni. Esempio di problema di Sturm-Liouville
singolare.
Esempio di applicazione: equazione di Laplace su una sfera con dato di Dirichlet sulla superficie.
Prodotto di convoluzione
Prodotto di convoluzione: coppie di classi di funzioni per cui ha senso.
Sommabilità della convoluzione: Teorema di Young.
Regolarità della convoluzione.
Approssimanti della Delta di Dirac; successione regolarizzante (mollificatori) e regolarizzazione per
convoluzione.
Cenni sulla convoluzione discreta.
Teoria delle distribuzioni
Convergenza negli spazi delle funzioni test C0,E,D,S. Convergenza in L1loc.
Distribuzioni, regolari e singolari; la Delta di Dirac; valor principale di 1/x.
Riscalamento e traslazione di una distribuzione; proprietà di simmetria e di periodicità.
Prodotto di una distribuzione per una funzione.
Derivata delle distribuzioni. Esempi: funzioni continue con derivata continua a tratti; funzione di
Heaviside; funzioni C1 a tratti; log|x|; dipolo (derivata della Delta). Regole di derivazione.
Convergenza di distribuzioni e convergenza debole di funzioni. Teorema sulle successioni
approssimanti della Delta di Dirac; densità delle funzioni test in D’.
Completezza di D’; treno di impulsi.
Confronto tra le diverse nozioni di derivata per le funzioni: classica, debole, classica quasi
ovunque, derivata della distribuzione associata.
Generalizzazione alle diverse nozioni di soluzione per equazioni differenziali (lineari a coefficienti
costanti). Problematica dei dati iniziali in presenza di termini noti impulsivi.
Sottospazi notevoli di distribuzioni
Misure (di Radon); prolungamento di una misura allo spazio C0.
Supporto di una distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto; prolungamento di una
distribuzione a supporto compatto allo spazio E.
Distribuzioni temperate. Cenni sulla trasformata di Fourier delle distribuzioni.
Convoluzione tra una distribuzione e una funzione. Convoluzione tra due distribuzioni.
Soluzione fondamentale di un operatore differenziale lineare a coefficienti costanti:
determinazione e applicazione alle equazioni differenziali complete.
Trasformata di Laplace
Punti in cui una funzione (di variabile reale, nulla sul semiasse negativo, a valori in C) è
trasformabile secondo Laplace. Trasformata di Laplace. Ascissa di convergenza.
Linearità della trasformata di Laplace.
Limitatezza all’interno del semipiano di trasformabilità e comportamento asintotico della
trasformata di Laplace.
Analiticità della trasformata di Laplace e regole di derivazione.
Regole di trasformazione. Trasformata di Laplace di funzioni periodiche.
Trasformata di Laplace della derivata. Teorema del valor finale.
Trasformata di Laplace del prodotto di convoluzione. Trasformata di Laplace della primitiva.
Teorema di Riemann-Fourier e formula di inversione. Condizione sufficiente per l’esistenza
dell’antitrasformata. Caso delle funzioni razionali.
Trasformata di Laplace di distribuzioni nulle sul semiasse negativo.
Trasformata della derivata distribuzionale. Antitrasformazione di un polinomio.
Applicazione della trasformata di Laplace a problemi di Cauchy per equazioni differenziali
ordinarie lineari a coefficienti costanti (con dati regolari e non).
TESTI CONSIGLIATI
• G. C. Barozzi. Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione. Zanichelli
• F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli. Introduzione all’Analisi Complessa e Teoria delle distribuzioni.
http://calvino.polito.it/~tabacco/complessa/complessa.html
• M. Bramanti, Appunti per il corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria,
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/metodi_2016.htm#Materiale
• G. Di Fazio, M. Frasca. Metodi matematici per l'ingegneria. Monduzzi Editore
• G. Cicogna. Metodi matematici della Fisica. Springer
