1.1

Scienza dei Materiali 1
Esercitazioni
2. Cristallografia dei materiali
ver. 1.1
Reticoli cristallini
Reticolo
M. Leoni - 2003
n
è una “griglia” tridimensionale di punti
n
possiamo individuare un insieme minimo di punti (cella ) che si ripete
nel reticolo
n
non tutti gli arrangiamenti sono possibili
n
le celle sono impacchettate per formare il reticolo: non vi sono spazi
vuoti tra le celle!
n
in ogni punto del reticolo posso porre una base costituita da uno o più
atomi
Reticoli di Bravais
Questo è un possibile reticolo bidimensionale. Sul reticolo è individuata
l’unità che si ripete!
Questo invece NON è un reticolo. Abbiamo i punti, ma essi non sono
ordinati e non possiamo individuare un’unità che si ripete!
M. Leoni - 2003
Reticoli di Bravais
Tutte le strutture qui mostrate hanno il medesimo reticolo di Bravais!
cella unitaria
M. Leoni - 2003
Reticoli di Bravais
14 RETICOLI possibili
Non vi sono altre possibilità di
individuare una cella che si
ripeta all’infinito nel reticolo
senza lasciare dei vuoti.
I punti rappresentati in figura
sono quelli del reticolo: NON
sono atomi!
E’ possibile raggruppare i
reticoli basandosi su regole di
simmetria: si hanno 7 possibili
sistemi cristallini.
M. Leoni - 2003
Sistemi cristallini
7 SISTEMI CRISTALLINI
origine convenzionale
0,0,0
c
α
β
a
M. Leoni - 2003
γ
b
Direzioni e piani atomici
E’ spesso necessario specificare o individuare talune direzioni e piani
all’interno di una cella cristallina.
direzione
piano
Molte proprietà dei materiali sono direzionali (ad esempio l’espansione
termica, le proprietà meccaniche) e molti processi sono legati a determinati
piani e direzioni cristallografiche all’interno del materiale.
DIREZIONI e PIANI vengono individuati utilizzando una terna di numeri,
gli INDICI DI MILLER
M. Leoni - 2003
Direzioni: indici di Miller
Ricordiamo alcune convenzioni per quanto riguarda gli indici di
Miller relativi alle direzioni:
n
n
n
Non ci sono virgole tra i numeri
Valori negativi sono indicati con una barra posta sopra al numero
(-2 è indicato come 2)
I tre numeri vengono racchiusi tra parentesi quadre []
Esempi di direzioni cristallografiche valide:
n [123]
n [100]
M. Leoni - 2003
Direzioni: indici di Miller
Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UNA DIREZIONE
cristallografica (la direzione è nota, ma non i suoi indici di Miller):
M. Leoni - 2003
1.
Prendere la differenza tra le coordinate della punta e quelle
della coda del vettore direzione (DATO). Le coordinate sono
tutte relative ai parametri di cella a,b,c e quindi variano tra 0
ed 1.
2.
Rimuovere le frazioni moltiplicando per il mcm (che è intero) ed
eventualmente ridurre ai minimi interi
3.
Racchiudere i tre numeri tra parentesi quadre
Direzioni: indici di Miller
Gli indici di Miller della direzione [???] di figura si trovano quindi così:
coda (origine)
x = 0, y = 0, z = 0
z
[???]
punta
x = 1/2, y = 0, z = 1
differenza
1/2-0 0-0 1-0
indici di Miller
[1/2 0 1] → [1 0 2]
M. Leoni - 2003
[111]
y
[100]
[110]
x
Famiglie di direzioni
Causa la simmetria del reticoli, esistono direzioni equivalenti (indistinguibili)
dal punto di vista cristallografico. Ad esempio le diagonali delle facce sono
tutte uguali in un cubo ma non in un parallelepipedo:
[101] = [110]
cubico
[101] ≠ [110]
tetragonale
Per indicare una FAMIGLIA DI DIREZIONI utilizziamo una notazione
particolare:
n
n
[123] direzione (una sola )
<123> famiglia di direzioni (ovvero [123], [213], [312], [132], [231]...)
In un reticolo CUBICO, direzioni aventi i medesimi indici (indipendentemente
da segno ed ordine), sono equivalenti (es. [123] e [312])
M. Leoni - 2003
Piani ed indici di Miller
Come per le direzioni cristallografiche, anche per i piani vengono impiegate
parentesi di tipo diverso per indicare piani singoli ed intere famiglie
n
n
n
M. Leoni - 2003
(hkl) piano cristallografico (UNO SOLO)
{hkl} famiglia di piani cristallografici
– esempio (hkl), (lhk), (hlk) etc.
– per i reticoli CUBICI, piani cristallografici aventi i medesimi indici
(indipendentemente da ordine e segno), sono equivalenti (es. (020),
(002), (200) appartengono tutti alla famiglia {002})
Talvolta per i cristalli esagonali viene utilizzata una notazione a 4 indici
(u v t w). Esistono regole per convertire tale notazione in quella a 3
indici.
Piani ed indici di Miller
Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UN PIANO
cristallografico:
M. Leoni - 2003
1.
Se il piano passa per l’origine, sceglierne uno
equivalente oppure spostare l’origine
2.
Determinare l’intersezione del piano con gli
assi (in termini dei parametri di cella a, b, c)
3.
Prendere il reciproco dei valori trovati
(ricordare di porre 1/8 = 0)
4.
Trovare mcm e ridurre i tre numeri agli interi
più piccoli possibile (opzionale)
5.
Racchiudere tra parentesi ()
z
(111)
y
x
Le regole per piani e direzioni sono quindi DIVERSE tra loro!!!!!
Notare che in una cella CUBICA (e SOLO in quella) la direzione [hkl]
è perpendicolare al piano (hkl)
Piani ed indici di Miller
Piani tra i più comuni per una cella cubica e relativa indicizzazione.
z
z
(001)
z
(111)
y
x
y
x
z
(201)
M. Leoni - 2003
x
z
y
x
y
z
(100)
(212)
y
x
(011)
x
y
Cella cubica semplice
Ho un atomo in ogni punto del reticolo
La cella contiene complessivamente 1 atomo
a0 = 2r
M. Leoni - 2003
Cella cubica bcc
Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente
2 atomi
3a0 = 4r
a
v3a
a
v2a
a
M. Leoni - 2003
v2a
Cella cubica fcc
Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente
4 atomi
2a0 = 4r
v2a
a
a
M. Leoni - 2003
Packing factor: fcc
All’interno di una cella cubica a facce centrate abbiamo 4 atomi. In genere,
gli atomi vengono considerati sferici (ho quindi 4 sfere)
“Volume totale di materia” Va
(occupato dalle sfere)
4r
a0
M. Leoni - 2003
4 3 16
Va = 4 × π r = π r 3
3
3
Packing factor: fcc
Le sfere, però non occupano tutto il volume della cella, ma solo una frazione
di esso
Volume totale cella Vc
Vc = a03 (lato cella al cubo)
Ricordando che a0 = 2rv 2
4r
a0
otteniamo:
(
Vc = 2r 2
M. Leoni - 2003
)
3
= 16r 3 2
Packing factor: fcc
Il fattore di impacchettamento (packing factor, PF) è il rapporto tra il
volume occupato dagli atomi in una cella cristallina ed il volume totale della
cella.
Il PF indica quindi come lo spazio è utilizzato (più alto è, migliore è
l’occupazione dello spazio nella cella)
Nel nostro caso (fcc):
PFfcc
M. Leoni - 2003
16 3
πr
Va
π
3
=
=
=
= 0.74
3
Vc 16 r 2
3 2
Densità di linea
Più definizioni per densità di linea e densità planare.
La densità di linea è la frazione della linea che, lungo una determinata
direzione, passa attraverso gli atomi.
Densità di linea lungo la direzione (100) in un cristallo fcc
LD = LC/LL
LC = 2r
LL = a
densità di linea
frazione di linea che
attraversa gli atomi
lunghezza totale linea
in un fcc
a0 = 2rv2
LD = 2r/(2rv2) = 0.71
M. Leoni - 2003
Densità planare
La densità di planare è la frazione di area di un determinato piano
cristallografico occupata dagli atomi (il piano deve passare per il centro degli
atomi)
Densità nel piano (110) in un cristallo fcc
C
A
B C
D
E
B
A
F
F
E
D
M. Leoni - 2003
Calcolare l’area del piano
Calcolare area dei “cerchi” nel piano
Densità planare
A
D
B C
E
F
Area totale del piano, Ap:
AC = 4 r
AD = 2 r v 2
Ap = AC AD = (4r)(2rv 2) = 8r2v 2
M. Leoni - 2003
Area occupata da atomi, Ac:
¼ cerchio per gli atomi A,C,D,F
½ cerchio per gli atomi B, E
Ac = 2 cerchi = 2πr2
Densità planare risultante
Ac
2π r 2
PD =
= 2
= 0.56
Ap 8r 2
ESERCIZI
Ex 2.1. Indici di Miller
Indicare le direzioni [112], [111] e [222]
Svolgimento
1/2
1/2
M. Leoni - 2003
Ex 2.1. Indici di Miller
Viene qui fornita una cella cubica sulla quale poter testare le nozioni acquisite
M. Leoni - 2003
Ex 2.2. Dimensione cella
Calcolare dimensione della cella, fattore di impaccamento e densità per il
ferro bcc (ferrite) ed fcc (austenite). Il raggio atomico del ferro è di 124 pm
ed il suo peso atomico 55.8 g/mol.
Svolgimento
Dati:
rFe= 124 pm
AWFe = 55.8 g/mol
Unità di misura molto usata in cristallografia è
Å (Ångström) pari a 10-10 m
La diffusione è abbastanza evidente se si pensa che parametri di cella e
raggi atomici sono di questo ordine di grandezza. Ricordare però che
questa unità di misura è solo TOLLERATA: è più corretto usare multipli o
sottomultipli del sistema SI (di solito: nm = 10-9 m, pm = 10-12 m).
M. Leoni - 2003
Ex 2.2. Dimensione cella
Il ferro assume strutture cristalline diverse in intervalli di temperatura
diversi. In particolare la sua struttura è bcc a temperatura ambiente ed fcc
a temperature al di sopra dei 1000°C circa
Parametro di cella nel caso bcc (atomi si “toccano” lungo la diagonale
principale del cubo):
4r = 3a
⇒
a=
4
r
3
abcc = 286 pm
Parametro di cella nel caso fcc (atomi si “toccano” lungo la diagonale della
faccia del cubo):
4r = 2a
⇒
a=
4
r
2
afcc = 351 pm
La cella cristalline del ferro fcc è più grande di quella del ferro bcc.
Non sono stati considerati effetti di espansione termica
M. Leoni - 2003
Ex 2.2. Dimensione cella
Nei due casi valutiamo ora il fattore di impaccamento. Sappiamo già in
anticipo che la struttura fcc (assieme ad hcp) sono quelle ad impaccamento
maggiore
PFbcc
4 3
4 3
2
π
r
2
πr
volume atomi
π 3
3
3
=
=
=
=
= 0.68
3
3
volu me cella
abcc
8
 4r 


 3
PFfcc
4
16 3
4 π r3
πr
volu me atomi
π 2
=
= 33
= 3
=
= 0.74
3
volu me cella
a fcc
6
 4r 


 2
Ricordiamo che i due valori sono indipendenti dalla dimensione della cella.
Nella cella fcc lo spazio è meglio utilizzato!
M. Leoni - 2003
Ex 2.2. Dimensione cella
Calcoliamo ora la densità del ferro bcc ed fcc.
La densità è calcolata come massa rispetto al volume.
ρ=
w
V
Conosciamo già il volume di una cella cristallina, dobbiamo solo valutare
quanto essa pesi.
Sappiamo quanto pesa una mole di atomi di ferro (peso atomico), quindi
possiamo calcolare quanto pesa un singolo atomo:
watomo , Fe =
AWFe
N
[ g / at ] =
[ g / mol ]
[at / mol ]
Il peso della cella è determinato da quanti atomi essa contiene:
wcella ,bcc = 2watomo, Fe
wcella , fcc = 4 watomo , Fe
La cella fcc pesa più di quella bcc (occupo meglio lo spazio…)!
M. Leoni - 2003
Ex 2.2. Dimensione cella
La densità nei due casi è quindi calcolabile come:
ρbcc =
wcellabcc
,
3
bcc
a
ρ fcc =
wcella , fcc
a 3fcc
Ovviamente, il volume di cella può essere valutato anche conoscendo il
volume di un atomo e sfruttando il concetto di packing factor.
Notare che, pur avendo una cella più grande, il ferro fcc è più denso!
Risultato:
M. Leoni - 2003
ρbcc = 7.89 kg/dm3
ρfcc = 8.57 kg/dm3
Ex 2.3. Raggio atomico
Determinare parametro di cella e raggio atomico del piombo (fcc)
conoscendone la densità (11.4g/cm3) ed il peso atomico (207 g/mol)
Svolgimento
Dati:
ρPb= 11.4 g/cm3
AWPb = 207 g/mol
Parliamo di un metallo e la cella è fcc quindi ci aspettiamo 4 at/cella.
Dalla definizione di densità, invertendo il ragionamento fatto nel problema
precedente, possiamo ricavare il volume di cella.
Una cella infatti pesa:
wcella , Pb = 4watomo , Pb = 4
AWPb
N
[ g / cella] = [at / cella]
Utilizziamo ora la definizione di densità per calcolare il volume
M. Leoni - 2003
[ g / mol ]
[ at / mol ]
Ex 2.3. Raggio atomico
ρ Pb =
wcella , Pb
Vcella , Pb
⇒
Vcella ,Pb =
wcella , Pb
ρPb
Noto il volume di cella (cubo), lo spigolo (parametro di cella) è
immediatamente calcolato:
Vcella , Pb = a3Pb
⇒
aPb = 3 Vcella , Pb
Siccome il Pb è un metallo e la cella è fcc, gli atomi si toccano lungo la
diagonale delle facce del cubo e quindi il raggio atomico è:
4rPb = 2aPb
Risultato:
M. Leoni - 2003
aPb = 494 pm
rPb = 175 pm
⇒
rPb =
2
aPb
4
Ex 2.4. Tipo di cella
Un materiale a struttura cubica con densità di 0.855 g/cm3, ha massa
atomica di 39.09 g/mol e parametro di cella di 534.4 pm. Se vi è un solo
atomo per punto del reticolo, quale struttura ha il materiale?
Svolgimento
Dati:
ρ= 0.855 g/cm3
AWPb = 39.09 g/mol
a0 = 534.4 pm
1 atomo per punto di reticolo
Guardando nella tavola periodica otteniamo immediatamente la soluzione
(parliamo di K che in genere cristallizza con cella bcc). Cerchiamo però una
via alternativa che ci dia sicurezza di questo.
Utilizziamo ancora la definizione di densità per valutare il peso di una cella
ρ=
M. Leoni - 2003
wcella
Vcella
⇒
wcella = ρ ⋅ a03
Ex 2.4. Tipo di cella
Sfruttiamo ora il fatto che abbiamo una sola specie atomica presente (1
punto di reticolo per atomo!). Valutiamo il peso di un atomo:
watomo =
AW
N
e calcoliamo quindi il numero di atomi presenti in una cella, dividendo il
peso di una cella per il peso di un atomo!
wcella ρ ⋅ a03 ⋅ N
N at =
=
watomo
AW
Dai dati forniti otteniamo Nat = 2 e perciò la cella è bcc
Risultato:
M. Leoni - 2003
Nat = 2 cella bcc
FINE