regola di Ruffini

La Regola di Ruffini
È un algoritmo che consente di determinare il quoziente tra due polinomi
nel caso in cui il divisore è del tipo 𝒙 − 𝒂
Esercizio 1
Dividere il polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 per il binomio 𝑥 + 2.
Analisi dell’esercizio
Bisogna predisporre il foglio di lavoro in modo tale da riprodurre la tabella che si utilizza per effettuare
la regola di Ruffini.
Indicazioni operative
1. Avvia il programma Excel cliccando su START  PROGRAMMI
2. Nella cella A1 inserisci il test: “Divisione del polinomio 𝑷 𝒙 per il binomio 𝒙 − 𝒂 tramite la
regola di Ruffini”
3. Posizionati nella cella A4 e digita il testo: “Termini di 𝑷 𝒙 ”
4. Posizionati nella cella A6 e digita il testo: “Coefficienti di 𝑷 𝒙 ”
5. Posizionati nella cella C4 e digita l’espressione “x^6” che indica la potenza sesta del polinomio
𝑃 𝑥
6. Posizionati nella cella D4 e digita l’espressione “x^5” che indica la potenza quinta del polinomio
𝑃 𝑥
7. Continua, posizionandoti sempre nella cella a destra rispetto a quella considerata, fino ad inserire,
nella cella I4, la potenza x^0.
8. Posizionati nella cella C6 e inserisci il coefficiente del polinomio 𝑃 𝑥 relativo alla sesta potenza (in
questo caso 0)
9. Prosegui in questo modo fino ad inserire tutti i coefficienti del polinomio 𝑃 𝑥 .
10. Posizionati nella casella B9 e digita l’opposto del termine noto del polinomio divisore: “-2”
11. Posizionati nella cella A11 e inserisci il testo “Coefficienti del polinomio 𝑸 𝒙 ”
12. Posizionati nella cella J11 e digita il testo “Resto”
Erasmo
www.matematica.blogscuola.it
1
13. Abbassa il primo coefficiente non nullo a partire da sinistra, posizionandolo nella cella E11
14. Nella cella F9 digita la seguente formula: “ = E11*B9 “ e clicca su INVIO
15.
16.
17.
18.
Nella cella F11 inserisci la formula: “ = F6+F9 “ e clicca su INVIO
Nella cella G9 inserisci la seguente formula: “ = F11*B9 “ e clicca su INVIO
Nella cella G11 inserisci la formula: “ = G6+G9 “ e clicca su INVIO
Completa il procedimento fino ad arrivare al resto.
N. B. Si ricordi che la divisione di un polinomio 𝐴 𝑥 per un polinomio 𝐵 𝑥 ci fornisce sempre un
quoziente 𝑄 𝑥 ed un resto 𝑅 𝑥 , dove il grado del resto è sempre minore del grado del divisore:
𝐴 𝑥 =𝐵 𝑥 ∙𝑄 𝑥 +𝑅 𝑥
𝜕𝑅 𝑥 < 𝜕𝐵 𝑥
1
Nel caso della regola di Ruffini, il polinomio 𝑅 𝑥 è una costante in quanto, dovendo essere il suo
grado minore del grado di 𝐵 𝑥 = 𝑥 − 𝑘 che è pari a 1, il suo grado sarà pari a 0:
𝐴 𝑥 = 𝑥−𝑘 ∙𝑄 𝑥 +𝑅 𝑥
𝑅 𝑥 =𝑐∈ℝ
Esercizio 2
Verifichiamo mediante Excel la validità del seguente:
Teorema: Il resto della divisione di un polinomio A  x  per un binomio del tipo x  k è uguale al
valore che A  x  assume quando al posto della variabile x si sostituisce il valore k:
R  Ak 
1
Con il simbolo 𝜕𝑅 𝑥 si intende il grado del polinomio 𝑅 𝑥 .
Erasmo
www.matematica.blogscuola.it
2
A tal fine si consideri il polinomio dell’esercizio precedente 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 e
calcoliamo il resto della sua divisione per il binomio 𝑥 + 2.
Indicazioni operative
1. Apri il foglio di lavoro utilizzato per effettuare la divisione dell’esercizio 1.
2. Posizionati nella cella A14 e inserisci il testo: “Grado dei termini di 𝑷 𝒙 ”
3. A partire dalla cella C14 fino ad arrivare alla cella I14, inserisci i gradi, in ordine decrescente, a
partire da 6 fino a 0.
4. Posizionati nella cella A16 e inserisci il testo: “Coefficiente * k^grado”
5. Poiché il valore 𝑘 = −2 non varia, utilizzeremo per esso il cosiddetto “riferimento assoluto”,
ovvero quando ci riferiremo ad esso inseriremo nella cella la scrittura: “ $B$9 “
6. Nella cella C16 inserisci il comando: “ = C6*$B$9^C14 “ e clicca su INVIO
7. Copiate il valore ottenuto nelle celle D16:I16
8. Nella cella H18 inserite il testo “Resto”, mentre nella cella I18 inserite la formula: “ =
SOMMA(C16:I16) “ e premete su INVIO
9. Che valore compare nella cella I18? Confrontatelo col valore che compare nella cella I11.
Erasmo
www.matematica.blogscuola.it
3
Osservazioni: Abbiamo potuto osservare che il resto della divisione di un polinomio 𝐴 𝑥 per un
polinomio del tipo 𝑥 − 𝑘 si può ottenere immediatamente, senza dover svolgere la divisione con la
regola di Ruffini. Basta sostituire al posto della variabile x il valore di k ed eseguire i calcoli.
Dimostriamo adesso il teorema del resto:
Dalla divisione di A  x  per x  k otteniamo la seguente scrittura:
A x   x  k   Q  x  R 2
Essendo tale relazione valida per qualsiasi valore che si attribuisce alla variabile x, sostituiamo al suo
posto il valore k e otteniamo:
Ak   k  k   Q k   R  R

0
Ciò vuol dire che il valore che il polinomio A  x  assume quando x  k è proprio uguale al resto della
divisione.
□
Dimostriamo infine il Teorema di Ruffini.
Teorema di Ruffini: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio A  x  sia divisibile per un binomio
del tipo x  k è che risulti A  k   0 .
Dimostrazione:
Prima implicazione: A  x  divisibile per x  k  A  k   0
Poiché A  x  è divisibile per x  k , per definizione di divisibilità deve essere R  0 . Ma, per il teorema
del resto, A  k   R  0 , quindi, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, A  k   0 .
Seconda implicazione: A  k   0  A  x  divisibile per x  k
Poiché per il teorema del resto il resto della divisione del polinomio A  x  per il binomio x  k è
R  A  k  e per ipotesi A  k   0 , ne segue che R  0 . Per definizione di divisibilità, essendo il resto
della divisione pari a zero, segue che A  x  è divisibile per x  k .
□
Esercizi Proposti


1. Trova, senza eseguire la divisione, il resto di 4 x6  2 x5  x 4  12 x3  42 x 2  20 x  69 :  x  1
2. Calcola il quoziente e il resto delle seguenti divisioni applicando la regola di Ruffini:
3x6  7 x5  6 x 4  x3  8x 2  14 x  8 :  x  3

2

Si è preferito scrivere R anziché R(x) perché avevamo già osservato che R(x) è una costante.
Erasmo
www.matematica.blogscuola.it
4