Fondamenti della meccanica quantistica: uno studio storico–critico

Andrea Carati — Luigi Galgani
Fondamenti della meccanica quantistica:
uno studio storico–critico
Anno Accademico 2015–2016
2
Andrea Carati e Luigi Galgani
Indice
Parte Prima: Planck Einstein e Poincaré, Kubo e Fermi
1
1
Boltzmann e la termodinamica statistica: la crisi del principio di
equipartizione
5
1.1 Le teorie cinetiche e la scoperta di Clausius: l’interpretazione
meccanicistica della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Il procedimento statistico di Boltzmann e la distribuzione di Maxwell–
Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 La trattazione probabilistica di Boltzmann: gli stati macroscopici come successioni {nk } di numeri di occupazione nello spazio µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 La probabilità degli stati macroscopici . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Lo stato di Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann nel limite del continuo,
e il teorema di equipartizione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Il teorema di equipartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 Difficoltà del principio di equipartizione per le molecole
e per i solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Il principio di equipartizione nella teoria dei campi, in
particolare nel problema del corpo nero . . . . . . . . . . . . 36
2
Planck e il corpo nero: 19 ottobre e 14 dicembre 1900
2.1 Il corpo nero come sistema termodinamico . . . . . . . . . . . . . .
2.2 I lavori di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Relazione di Planck tra spettro del corpo nero ed energia
di un risonatore materiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Come Planck “deduce” la legge di Wien nel suo primo
lavoro del 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Come Planck deduce la legge di Wien nel secondo lavoro
2.2.4 La comunicazione del 19 ottobre 1900 . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 La comunicazione del 14 dicembre 1900 . . . . . . . . . . . .
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Andrea Carati e Luigi Galgani
Einstein e i quanti, e le fluttuazioni di energia
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Il lavoro del 1905, sui quanti del campo elettromagnetico . . . . . .
3.3 Il lavoro del 1907 sui calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Einstein e le fluttuazioni di energia, prima conferenza Solvay del
1911, La théorie du rayonnement et les quanta . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Il lavoro sulle probabilità di transizione del 1917. Nuova deduzione della legge di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 I lavori di Bose ed Einstein del 1924–1925 . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Poincaré 1912: sulla necessità della quantizzazione
91
4.1 Introduzione. La quantizzazione del singolo oscillatore . . . . . . . 91
4.1.1 Il lavoro di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Primi tentativi di superare la necessità della quantizzazione . . . . 100
5
I tempi di rilassamento in termodinamica e in meccanica statistica.
Da Boltzmann e Gibbs, a Kubo e Fermi
101
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Da Boltzmann a Gibbs. La formula di Einstein–Boltzmann per
il calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Il processo di misurazione del calore specifico . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Realizzazione matematica: il modello microscopico . . . . . . . . . 113
5.5 Deduzione del secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Calore specifico e dinamica. La formula “alla Kubo” e le correlazioni temporali. Generalizzazione della formula di Einstein–
Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Il teorema della risposta lineare: aspetti generali . . . . . . . . . . . . 122
5.8 Il problema FPU, e gli sviluppi recenti della teoria ergodica . . . . 123
Parte Seconda: Heisenberg e il circolo di Göttingen–Cambridge, Schrödinger
123
6 La teoria microscopica della dispersione della luce, prima di Rutherford
131
7
Dopo Rutherford: Bohr, la vecchia meccanica quantistica e il principio di corrispondenza
133
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Il modello planetario dell’atomo, il principio di Rydberg–Ritz ed
il modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 “The old quantum mechanics”: quantizzazione alla Bohr–Sommerfeld
ed il principio di corrispondenza di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.4 Il penultimo passo: The formal passage from classical mechanics
to a “quantum mechanics” (Born, 1924). . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Fondamenti della meccanica quantistica: Introduzione
8
Heisenberg, 29 luglio 1925
8.1 La nuova “cinematica” di Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 La “regola di somma” di Heisenberg come legge di quantizzazione per sistemi generici. Estensione di Born e Jordan alla familiare
regola di quantizzazione [ p, q] = −i ħh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 La scoperta della regola di quantizzzione . . . . . . . . . . .
5
151
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156
157
9 Primissime applicazioni alla cinematica e alla dinamica
167
9.1 Ruolo cinematico della legge di quantizzazione: determinazione degli autovalori delle osservabili, e delle loro rappresentazioni
matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2 Ruolo dinamico della legge di quantizzazione: compatibilità tra
evoluzione di Heisenberg ed evoluzione ”classica” . . . . . . . . . . 173
10 Interazione (classica) tra radiazione e materia, parte I. L’identità di
Wheeler e Feynman.
181
10.1 La soluzione di Hertz delle equazioni di Maxwell, per un dipolo
elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 L’equazione di Abraham–Lorentz–Dirac per l’elettrone irraggiante. 194
10.3 Modello unidimensionale di dielettrico: modi normali non irraggianti. Orbite atomiche stabili. L’identità di Wheeler e Feynman. 194
11 Interazione (classica) tra radiazione e materia, parte II. La teoria
microscopica dello spettro tramite il Teorema di Green–Kubo
205
11.1 Il passaggio dall’elettromagnetismo microscopico all’elettromagnetismo macroscopico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.2 Il teorema di Green–Kubo per la polarizzazione . . . . . . . . . . . . 211
11.3 Le relazioni di Kramers–Kronig, e la “ f –sum rule” . . . . . . . . . . 214
11.4 Lo spettro discreto nel caso classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12 Schrödinger, 27 gennaio 1926
225
12.1 Il colpo d’ala di Schrödinger: la “meccanica ondulatoria e il ruolo
degli “stati” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.2 La “deduzione” dell’equazione di Schrödinger, e la necessità di
ambientarla in ambito complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2.1 Che cos’è l’equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2.2 Le due idee su cui si basa la “deduzione” dell’equazione
di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2.3 “Deduzione” dell’equazione di Schrödinger agli stati stazionari e dell’equazione temporale di Schrodeinger . . . . 235
12.2.4 Necessità dell’ambientazione complessa del problema. “Spiegazione” della regola di Bohr per la frequenze emesse. La
densità di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6
Andrea Carati e Luigi Galgani
12.3 Ritorno alla idee centrale di de Broglie, come “contaminazione”
della formula E = hν di Planck e della relazione massa–energia di
Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Ritorno alla idea centrale di Schrödinger. L’idea della “meccanica
ondulatoria”, e deduzione della formula per la velocità di fase . . .
12.4.1 L’idea della “meccanica ondulatoria” come analoga dell’
ottica ondulatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Realizzazione (o implementazione) dell’idea originale di
Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Altri argomenti: NOTA PER GLI AUTORI . . . . . . . . . . . . .
13 EPR 1935, Bell 1964
13.1 Esistono le cose anche se non le guardiamo? Da EPR alle disuguaglianze di Bell, e ritorno alla elettrodinamica microscopica
classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 La “formulazione ortodossa” della meccanica quantistica, e il problema dei parametri nascosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Einstein, Podolski e Rosen (EPR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 La risposta di Bohr. I commenti di Einstein e la sua “profonda
solitudine” a Princeton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Il contributo di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.1 La disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Il punto di vista di Accardi. Urne e camaleonti. Il problema delle
due fenditure e la legge di Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Un modello a parametri nascosti, nell’elettrodinamica classica di
Dirac, che viola la disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Un “divertissement”. L’analogo delle disuguaglianza di Bell in un
gioco del tipo gratta e vinci
289
B Il problema delle due fenditure come discusso da Feynman, e la critica
di Koopman
293
Fondamenti della meccanica quantistica: Introduzione
i
Le presenti note raccolgono gli argomenti trattati nelle lezioni sui fondamenti della meccanica quantistica, tenute da diversi anni per il corso di laurea in fisica
nell’Universitá degli Studi di Milano.
Lo scopo é duplice. Anzitutto, si intende familiarizzare il lettore con i lavori originali che hanno condotto all’introduzione della Meccanica Quantistica,
nelle sue due fasi principali: quella iniziata nel 1900, legata alla termodinamica
statistica (corpo nero, calori specifici, . . . ), e quella degli anni 1925–1930, legata
principalmete al problema delle righe spettrali.
D’altra parte si intende illustrare come i due problemi fisici sopra ricordati
che hanno dato inizio alla MQ possono essere concretamente trattati in ambito classico. A tal fine si fa uso in maniera essenziale dei risultati moderni della
teoria dei sistami dinamici (stimolati particolarmente dal lavoro di Fermi, Pasta ed Ulam del 1954), che mostrano come in modelli microscopici di sistemi
macroscopici si abbia coesistenza di moti ordinati e moti caotici.
Si cercherá di mostrare come questa attenzione ai risultati moderni della teoria dei sistemi dinamici induca a guardare con un occhio critico particolare ai
lavori che hanno dato inizio alla MQ. In particolare per quanto riguarda l’atteggiamento che Einstein tenne per tutta la vita (dopo il 1905) e per quanto riguarda
il lavoro di Poincarè del 1912 sulla necessitá della quantizzazione.
La prima e la seconda parte delle note sono dedicate alle due fasi sopra ricordate, con cui ebbe inizio la MQ, ovvero termodinamica statistica e righe spettrali.
Una terza parte é invece dedicata ai problemi di tipo EPR e Bell.