La meccanica quantistica:
un tentativo d’introduzione
prima parte
Treviso febbraio 2010
la meccanica quantistica è il quadro
concettuale per la conoscenza del
“microcosmo”
fissa le condizioni cui devono
necessariamente soddisfare le teorie dei
fenomeni e dei processi che coinvolgono
enti “microscopici”
materie
atomo
fasi di sviluppo:
- quanto d’azione [Planck, 1900]
- quanto d’energia [Einstein, 1905]
- ”vecchia” teoria dei quanti [1911]
- teoria atomica [Bohr, 1913]
- meccanica quantistica [1927]
- estensione relativistica [Dirac, 1928]
- teoria quantistica dei campi [1933-1946]
- estensione alla relatività generale [oggi]
Grandi successi scientifici:
- nasce per descrivere le proprietà
microscopiche della radiazione luminosa
- si estende agli atomi
- vale per l'universo nucleare
- regola le particelle, quark e leptoni,
nella sua estensione di teoria di campo,
fino ai livelli più minuti della materia che
siamo riusciti a raggiungere
atomo
nuclidi
protone
evento
particelle
eventolhc
Grandi successi scientifici:
vale non solo in domini sempre più
piccoli, ma anche per strutture più
complesse:
- processi chimici, molecole,
- macromolecole biologiche,
- cristalli, materia condensata,
- stelle di neutroni e buchi neri
- cosmologia quantistica
anche proprietà di strutture complesse e
fenomeni del meso-mondo e del macromondo possono dipendere dal
comportamento individuale dei
componenti microscopici della materia
e della radiazione
cristal
dna
stelle
universo
grandi successi tecnologici:
- radar e tubi elettronici a vuoto
- maser e laser
- elettronica a semiconduttori
- diffrazione a raggi-X e a neutroni
- SQUID
- interferometria
- analisi non distruttive
- bombe nucleari e reattori nucleari
- energia da fusione termonucleare
- microscopia elettronica e a protoni
- risonanza magnetica nucleare
- indagini mediche con spect e pet
- radiofarmaci
- radioterapia
- superconduttività
- ultracriogenia
- telecomunicazioni
- calcolatori digitali
- computazione quantistica
- CCD Charge-Coupled Device sensor
...
tecnologia
Le sette lontananze della meccanica
quantistica:
• dall’esperienza immediata
• dal senso comune
• dai concetti della fisica classica
• dal linguaggio della scienza classica
• dal metalinguaggio
• dalla visualizzazione
• dalla tradizione filosofica
Lontananza dall’esperienza immediata
• fenomeni su scale di lunghezza inferiori
a 10-10 m (atomi) o 10-15 m (nuclei)
• irraggiungibili dai microscopi ottici
• eventi mediati da strumenti che devono
percepire il processo microscopico e
produrre segnali macroscopici
[hic sunt leones]
lontananza
osser
Nernst diceva nel 1911:
“è una regola di calcolo ... con proprietà
estremamente curiose, perfino grottesche.
Tuttavia ... essa ha generato nelle mani di
Planck ed Einstein dei frutti così ricchi che
ora si è scientificamente obbligati a
prendere posizione riguardo a essa e
sottoporla a prove sperimentali”
le grandezzze fisiche acquistano nuove
proprietà ma il corredo semantico rimane
inalterato: spazio-tempo, energia, velocità,
accelerazione, massa, momento, momento
angolare, campo, potenziale, onde,
temperatura, entropia ...
- il linguaggio è un raffinamento del
metalinguaggio corrente
aula
Il trionfo della meccanica
• sistemi discontinui
• sistemi continui
• teoria cinetica dei gas
• termodinamica statistica
• luce = ondulazioni dell’etere
boltzmann
boltzmann
Cinetica gas
I limiti della meccanica
• campo elettromagnetico
• inconsistenza dell’etere
• invarianza di Lorentz
• isotropia del tempo
Origine di nuove teorie
• nuovi dati empirici
• analisi dei fondamenti di teorie
esistenti
• eliminazione di inconsistenze
• fusione di teorie valide in
domini diversi
Planj
Il programma di Planck
superare la contraddizione fra
- l’isotropia del tempo nella meccanica
e nell’elettromagnetismo
- e la “freccia del tempo” in
termodinamica
derivare il secondo principio della
termodinamica dalla meccanica
statistica, senza ipotesi probabilistiche
Il tempo è isotropo?
• freccia del tempo
• invarianza leggi della meccanica
e dell’elettromagnetismo per
inversione temporale
• teorema H di Boltzmann
H boltzmannt
Diavolo maxwell
Il tempo è isotropo?
Il principio di conservazione dell’energia
richiede che tutti gli eventi naturali siano
conservativi. D’altra parte, il principio
dell’incremento di entropia insegna che
tutti i mutamenti in natura procedono in
una direzione.
Da questa contraddizione prende origine
il compito fondamentale della fisica
teorica, la riduzione di un mutamento
unidirezionale a effetti conservativi
Max Planck
Berna 1905
Il programma di Einstein
superare la contraddizione fra
- la struttura continua del campo
elettromagnetico
[da cui la natura ondulatoria della
radiazione luminosa]
- e la struttura discreta dei sistemi
materiali, composti da un numero
grande, ma finito, di atomi
Pieroequazioni maxwell
Esiste una profonda distinzione formale fra i concetti teorici che
i fisici hanno formato rispetto ai gas e gli altri corpi ponderabili
e la teoria di Maxwell per i processi elettromagnetici nel
cosiddetto spazio vuoto. Mentre consideriamo completamente
determinato lo stato di un corpo dalle posizioni e velocità di un
numero molto grande, ma finito, di atomi ed elettroni, facciamo
uso di funzioni spaziali continue per descrivere lo stato
elettromagnetico di un dato volume.
Secondo la teoria di Maxwell, l'energia deve essere considerata
una funzione continua dello spazio nel caso di tutti i fenomeni
elettromagnetici, inclusa la luce, mentre l'energia di un oggetto
ponderabile dovrebbe venir rappresentata come una somma
eseguita sugli atomi e gli elettroni. L'energia di un corpo
ponderabile non può venir suddivisa in parti arbitrariamente
piccole, mentre l'energia di un fascio luminoso emesso da una
sorgente puntiforme si distribuisce con continuità su un volume
sempre più grande.
Einstein
Sia il programma di Planck, che
il programma di Einstein
portano allo studio delle
proprietà della radiazione
termica emessa e assorbita da
un corpo perfettamente
assorbente a tutte le frequenze
- il “corpo nero”
blackbody
La legge di Kirchoff afferma che in una cavità vuota,
limitata da pareti totalmente riflettenti, e contenente
un numero qualunque di sostanze emittenti e
assorbenti, si raggiunge, col passar del tempo, uno
stato in cui tutti i corpi hanno la stessa temperatura;
e la radiazione con tutte le sue proprietà, compresa la
distribuzione spettrale d'energia, dipende non dalla
natura dei corpi, ma semplicemente e soltanto dalla
temperatura.
Planck
La via di Planck
Planck non accettava l'idea che la sola probabilità
potesse determinare lo sviluppo di un sistema.
“Credo di dover riconoscere come processo
unidirezionale costituito da effetti del tutto
conservativi l'influenza di un risonatore che vibri
senza attrito o resistenza sull'onda che lo eccita.
Il mio suggerimento che l'oscillatore fosse capace di
esercitare un effetto unilaterale, e irreversibile,
sull'energia del campo circostante, scatenò una
vigorosa protesta da parte di Boltzmann, il quale, con
la sua maggiore esperienza in questo campo, dimostrò
che, secondo le leggi della dinamica classica, ciascuno
dei processi che io consideravo poteva aver luogo
nella direzione opposta.”
Legge Wien
Questa distribuzione normale dell'energia spettrale
[del corpo nero] rappresenta qualcosa di assoluto; e
poiché io avevo sempre considerato la ricerca di
qualcosa di assoluto come lo scopo più elevato di tutte
le attività scientifiche, mi misi attivamente al lavoro.
Planck
Si trovò che la relazione fra entropia ed energia data
dalla funzione caratteristica R era proporzionale
all'energia nel caso della legge di Wien, risultava
proporzionale al quadrato dell'energia per alte
energie. Quindi il passo ovvio per il caso generale era
di porre R eguale alla somma di un termine
proporzionale all'energia e di un altro termine
proporzionale al quadrato dell'energia, in modo che il
primo termine diventasse decisivo per piccoli valori
dell'energia e il secondo per grandi valori.
In questo modo ottenni una nuova formula per la
radiazione, e la presentai all'esame della Società di
Fisica di Berlino, alla riunione del 19 ottobre 1900.
Planck
Corpo nero class
Leggi corpo nero
lo stesso giorno in cui formulai questa legge mi
dedicai al compito di conferirle un vero significato
fisico. Questo problema mi condusse allo studio delle
relazioni fra entropia e probabilità; postulai
semplicemente che S = k log W, con k una costante
universale, la costante assoluta dei gas riferita alle
vere molecole...
Per quel che riguarda la grandezza di W, trovai che,
per interpretarla come una probabilità, era necessario
introdurre una costante universale, che chiamai h.
Poiché aveva le dimensioni di un'azione (energia X
tempo), le diedi il nome di “quanto elementare di
azione”
Planck
Mentre il significato del quanto di azione nella
correlazione fra entropia e probabilità era stabilito
definitivamente, il ruolo di questa nuova costante
nell'evoluzione dei processi fisici rimaneva ancora una
questione aperta. Tentai di collocare il quanto
elementare di azione h in qualche modo entro lo
schema della teoria classica. Ma di fronte a ognuno di
questi tentativi, questa costante si dimostrò
irriducibile. Finchè si poteva considerarla
infinitamente piccola, come nel caso di alte energie e
di intervalli di tempo piuttosto lunghi, tutto andava
perfettamente; ma nel caso generale sorgevano
difficoltà in un punto o in un altro, difficoltà che
diventavano vieppiù notevoli col crescere delle
frequenze considerate.
Il fallimento di ogni tentativo volto a superare
questo ostacolo rese subito evidente che il
quanto elementare di azione aveva una parte
fondamentale nella fisica atomica, e che la sua
introduzione apriva una nuova era nella
scienza.
Essa annunciava l'avvento di qualcosa senza
precedenti, ed era destinata a rimodellare
sostanzialmente le concezioni fisiche e il
pensiero dell'uomo, che, da quando Leibniz e
Newton posero le basi del calcolo
infinitesimale, erano fondati sull'ipotesi che
tutte le interazioni causali erano continue.
corpo nero
legge di Planck del corpo nero
I(ν)=2 h ν/
2
{c
[exp(hν/kT)-1]}
h = 6,626 0693 (11) 10-34 J s
BBexpt
La via di Einstein
Il mio scopo precipuo era di trovare fatti che
confermassero, per quanto era possibile, l'esistenza di
atomi di determinate dimensioni finite.
Nel corso di questa ricerca scoprii che, in base alla
teoria atomica, doveva esserci un movimento di
particelle microscopiche sospese (moti browniani)
dovuti a fluttuazioni dell'energia, che sono previste
dalla meccanica statistica per ogni sistema e che la
termodinamica classica ritiene trascurabili in
condizioni di equilibrio.
Ogni particella browniana avrebbe un'energia cinetica
media per i moti traslazionali uguale a 3/2kT, proprio
come se fosse una molecola di un gas.
Einstein
art1
brownmot
brownian1
brownian2
La via di Einstein
Ho trovato un'equazione per le fluttuazioni
energetiche che consentirebbe un'esatta
determinazione della costante universale k se
fosse possibile determinare la fluttuazione di
energia di un sistema.
In base all'esperienza possiamo supporre che si
verifichi una fluttuazione di energia soltanto per
un tipo di sistema fisico. Questo sistema è uno
spazio vuoto riempito di radiazione termica.
Einstein
Einstein vuole dare un senso fisico preciso
alla quantizzazione dell’interazione fra
radiazione luminosa e corpo nero:
- parte dai dati sperimentali
(legge di Wien)
- si basa sulla termodinamica statistica
di Boltzmann
- ignora 300 anni di tradizione
Dobbiamo riconoscere come
fondamentale per la teoria della
radiazione di Planck la seguente
posizione:
l’energia di un risonatore elementare può
assumere soltanto valori multipli interi di
(R/N) βν.
Durante l’assorbimento e l’emissione
l’energia di un risonatore varia in modo
discontinuo per un multiplo intero di
(R/N) βν.
Einstein
artein
La radiazione monocromatica di bassa
densità si comporta rispetto ai fenomeni
termici come se fosse composta da quanti
di energia indipendenti di energia
E=(R/N) βν.
Albert Einstein 1905
La luce in questi processi si comporta non
come un’onda ma come un gas di
corpuscoli, i quanti di luce.
Ipotesi così rivoluzionaria da suscitare
incertezze sulla stessa idea dei quanti
anche da parte dei teorici che l’avevano
presa sul serio.
Nel raccomandare l'ammissione di Einstein
all'accademia prussiana Planck, Nerst, Rubens e
Warburg nel 1913 concludevano:
“In breve, si può dire che difficilmente si possa
trovare uno fra i grandi problemi di cui la fisica
moderna è così ricca, cui Einstein non abbia
contribuito in modo significativo. Al fatto che egli
abbia alcune volte sbagliato il bersaglio nelle sue
speculazioni, come per esempio nella sua
ipotesi dei quanti di luce, non si può in realtà
dare troppo peso contro di lui, in quanto non è
possibile introdurre idee realmente nuove nelle
scienze più esatte senza correre a volte dei
rischi”
Utilizzando i quanti di luce Einstein
affronta problemi che erano in giro da
molto tempo:
- l’effetto fotoelettrico
- la fotoluminescenza
- l’effetto fotoelettrico inverso
- la fotoionizzazione dei gas
(allora marginali)
- i calori specifici (allora molto importante)
Se la radiazione monocromatica si
comporta rispetto alla dipendenza
dell'entropia dal volume come un mezzo
granulato consistente in quanti di energia,
ciò allora suggerisce di esaminare se anche
le leggi che regolano la produzione e la
trasformazione della luce siano strutturate
come se la luce consistesse in quanti
d'energia di questo tipo.
Einstein
fotoelettrico
Effetto fotoelettrico
Se non possiamo spiegare i processi elementari di
scambio di energia fra la radiazione e la materia
sulla base della corrente teoria cinetico-molecolare,
non dovremmo modificare analogamente le nostre
idee riguardo ai fenomeni periodici trattati dalla
teoria molecolare del calore? Io penso non ci possa
essere alcun dubbio riguardo alla risposta. Se la
teoria della radiazione di Planck colpisce il
nocciolo della questione, allora dobbiamo
aspettarci di trovare contraddizioni anche fra
l'attuale teoria cinetico-molecolare e l'esperienza in
altre aree della teoria del calore, contraddizioni che
possano venir risolte dalla via già indicata
Einstein
Calore specifico
chiave
i quanti di luce si comportano come
particelle senza massa, con una loro
energia e momento
i fenomeni di diffrazione della luce la
presentano come un fenomeno
ondulatorio
compare il dualismo onda-particella
compton
Effetto Compton
onde
Foton art
Foton ident
il quanto di azione (grandezza fisica
formale) di Planck genera una
discontinuità nello spazio astratto delle
fasi
il quanto d’energia (grandezza fisica
concreta) di Einstein genera una
discontinuità in ogni fenomeno naturale
Rottura con la tradizione scientifica e
filosofica
Natura non facit saltus
principio filosofico e scientifico di
continuità
- Eudosso di Cnido, Archimede
(metodo di esaustione)
- Aristotele, Plotino e Porfirio
- emanazione della Qabbalah
- Alberto Magno “nisi per medium”
- Gottfried Leibnitz e Isaak Newton
(calcolo infinitesimale)
- Charles Darwin e Carl Linnaeus
nuovi fenomeni e nuovi protagonisti
- l’introduzione dei quanti d’azione e di
energia erano venuti da problematiche
teoriche
- scoperte empiriche generano nuove
scosse all’impalcatura della fisica classica
* la radioattività
* gli spettri atomici
* l’interazione di elettroni con gli atomi
curie
radiotivitat
Radioattivita
rutherford
Scattering 1
Scattering 2
franhover
spettro
soreli
soreli1
solvay11
Bohr 1913
pensieri3
labirinto
Postulati di Bohr:
1. In un sistema atomico esiste un certo
numero di stati stazionari che possiedono
una stabilità incompatibile con la meccanica
classica; l’unico possibile cambiamento del
sistema consiste in una transizione completa
da uno stato in un altro
2. Non vi è radiazione negli stati stazionari;
nella transizione fra stati viene emessa
radiazione monocromatica di frequenza data
da h ν = E’-E”
Niels Bohr 1913
Atomo bohr
sistema solare
alpha
alfa quantistico
Principio di corrispondenza:
per sistemi periodici
- partire dalle relazioni classiche nella
formulazione di Hamilton-Jacobi
- imporre le condizioni di quantizzazione
∫p dq = n h/2π
per ogni coppia di variabili canoniche
Numeri quantici:
in pratica gli stati di un sistema sono
caratterizzati dai valori assunti in ogni
stato delle grandezze fisiche espressi come
multipli del valore fondamentale
per gli elettroni in un atomo
n numero quantico principale
l numero quantico orbitale
m numero quantico magnetico
Numeri quantici:
n misura l’energia n=1,2,…
l misura il momento angolare
0 ≤ l ≤ (n-1)
m misura la proiezione del momento
angolare su un asse di riferimento
-l ≤ m ≤ l
Sistemi di molti micro-oggetti
Gli enti microscopici, elettroni, nuclei,
atomi e fotoni sono assolutamente
identici e indistinguibili e per il loro
trattamento collettivo occorre ricorrere a
metodi statistici
- due classi di comportamento
* statistica di Fermi-Dirac (fermioni)
* statistica di Bose-Einstein (bosoni)
-statistica di Fermi-Dirac (fermioni)
fermioni identici non possono coesistere
nello stesso stato - principio di Pauli
- statistica di Bose-Einstein (bosoni)
uno stesso stato può venir occupato da
infiniti bosoni identici
boseeinstein
Statistiche classica e
quantistiche:
Simuliano gli stati con bicchieri e le
particelle con palline, e prendiamo
due stati e due particelle, mettendo a
caso le palline nei due bicchieri.
Statistica di Boltzmann
(particelle distinguibili):
ci sono quattro possibilità:
· due palline nel bicchiere 1 e nessuna nel bicchiere 2;
· due palline nel bicchiere 2 e nessuna nel bicchiere 1;
· la pallina A nel bicchiere 1 e la pallina B nel
bicchiere 2;
· la pallina A nel bicchiere 2 e la pallina A nel
bicchiere 1;
per cui, detta P(k1,k2) la probabilità che ci siano k1
palline nel bicchiere 1 e k2 nel bicchiere 2, si ha
P(2,0)=1/4; P(0,2)=1/4; P(1,1)=1/2.
Statistica di Bose-Einstein
(bosoni):
abbiamo tre sole possibilità:
· due palline nel bicchiere 1 e 0 nel bicchiere 2;
· due palline nel bicchiere 2 e 0 nel bicchiere 1;
· una pallina nel bicchiere 1 e 1 nel bicchiere 2;
con probabilità
P(2,0)= 1/3;
P(0,2)= 1/3;
P(1,1)=1/3.
Statistica di Fermi-Dirac
(fermioni):
una sola possibilità
· una pallina nel bicchiere 1 e 1 nel bicchiere 2;
con probabilità:
P(2,0)=0; P(0,2)=0; P(1,1)=1.
Successi:
- struttura atomica
- tavola periodica degli elementi
- legami chimici
- molecole
- spettroscopia
- raggi X
- assorbimento ed emissione della
radiazione
- legge dello spostamento radioattivo
- radioattività alfa
mendeleev
gamow
tunnel alfa
problemi insoluti:
- strutture spettrali fine e iperfine
- effetti del campo magnetico
effetto Zeeman, Stern-Gerlach
- radioattività beta
- proprietà dei nuclei atomici
- i gradi di libertà non classici
- processi di diffusione
- status ontologico della radiazione:
campo elettromagnetico/quanti di luce
insoddisfazione dei giovani leoni:
- sono regole ad hoc
- non estendibili a sistemi non periodici
- legame stretto con la meccanica classica
- non si vede come incorporare la relatività
- modelli nucleari insoddisfacenti
- non si estende alle forze nucleari
- non formula la radioattività beta
- immagini contradditorie della radiazione
onde/particelle
- manca un principio fondamentale
- teoria “brutta”
supereroi
mistero
candelat
Mondo strano
Pierot
Pierot
Pierot
Pierot
test
