Andrea Carati — Luigi Galgani
Fondamenti della meccanica quantistica:
uno studio storico–critico
Anno Accademico 2015–2016
2
Andrea Carati e Luigi Galgani
Indice
Parte Prima: Planck Einstein e Poincaré, Kubo e Fermi
Prefazione alla prima parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
Fermi, Pasta ed Ulam (FPU), 1954: critica su basi dinamiche del
principio di equipartizione
5
1.1 Il lavoro FPU come lavoro di ricerca sulle relazioni tra MQ e
fisica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2 Il modello FPU, e i corrispondenti modi normali di oscillazione .
8
1.3 La scoperta di FPU: nonequipartizione dell’energia a basse energie secondo la fisica classica, e il problema della caoticità dei moti
11
1.4 Il contributo di Chirikov: la congettura sulla soglia di caoticità al
limite termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
Boltzmann e la termodinamica statistica: la crisi del principio di
equipartizione
19
2.1 Le teorie cinetiche e la scoperta di Clausius: l’interpretazione
meccanicistica della pressione e della temperatura . . . . . . . . . . . 19
2.2 Il procedimento statistico di Boltzmann e la distribuzione di Maxwell–
Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 La distribuzione di Maxwell–Boltzmann nel limite del continuo,
e il teorema di equipartizione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
Planck e il corpo nero: 19 ottobre e 14 dicembre 1900
3.1 Il corpo nero come sistema termodinamico . . . .
3.2 I lavori di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Deduzione di Planck della lagge di Wien . . . . . . .
3.4 La comunicazione del 19 ottobre 1900 . . . . . . . .
3.5 La comunicazione del 14 dicembre 1900 . . . . . . .
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79
4 Einstein e i quanti, e le fluttuazioni di energia
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Il lavoro del 1905, sui quanti del campo elettromagnetico . . . . . .
4.3 Il lavoro del 1907 sui calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
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3
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4
Andrea Carati e Luigi Galgani
4.4
4.5
4.6
5
Einstein e le fluttuazioni di energia, prima conferenza Solvay del
1911, La théorie du rayonnement et les quanta . . . . . . . . . . . . . . 96
Il lavoro sulle probabilità di transizione del 1917. Nuova deduzione della legge di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
I lavori di Bose ed Einstein del 1924–1925 . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Poincaré 1912: sulla necessità della quantizzazione
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 L’argomentazione semplificata: la quantizzazione del singolo oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Il lavoro di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Osservazioni sulla necessità della quantizzazione . . . . . . . . . . .
5.5 Energia di punto zero e moti ordinati vs quantizzazione: Planck
1911, Einstein–Stern 1913, Nernst 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
112
113
115
125
129
6 I tempi di rilassamento in termodinamica e in meccanica statistica.
Da Boltzmann e Gibbs a Kubo
137
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Da Boltzmann a Gibbs. La formula di Einstein–Boltzmann per
il calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 Il processo di misurazione del calore specifico . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Realizzazione matematica: il modello microscopico . . . . . . . . . 150
6.5 Deduzione del secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6 Calore specifico e dinamica. La formula “alla Kubo” e le correlazioni temporali. Generalizzazione della formula di Einstein–
Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Parte Seconda: Heisenberg, Born, Dirac e Schrödinger, Kubo e Wheeler–
Feynman
163
8
La teoria microscopica della dispersione della luce, prima di Rutherford
171
9 Dopo Rutherford: Bohr, la vecchia meccanica quantistica e il principio di corrispondenza
173
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.2 Il modello planetario dell’atomo, il principio di Rydberg–Ritz ed
il modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.3 “The old quantum mechanics”: quantizzazione alla Bohr–Sommerfeld
ed il principio di corrispondenza di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4 Il penultimo passo: The formal passage from classical mechanics
to a “quantum mechanics” (Born, 1924). . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Fondamenti della meccanica quantistica: Introduzione
10 Heisenberg, 29 luglio 1925
10.1 La nuova “cinematica” di Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 La “regola di somma” di Heisenberg come legge di quantizzazione per sistemi generici. Estensione di Born e Jordan alla familiare
regola di quantizzazione [ p, q] = −i ħh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Ruolo cinematico della legge di quantizzazione: determinazione degli autovalori delle osservabili, e delle loro rappresentazioni
matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Ruolo dinamico della legge di quantizzazione: compatibilità tra
evoluzione di Heisenberg ed evoluzione ”classica” . . . . . . . . . .
11 Schrödinger, 27 gennaio 1926
11.1 Il colpo d’ala di Schrödinger: la “meccanica ondulatoria e il ruolo
degli “stati” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 La “deduzione” dell’equazione di Schrödinger, e la necessità di
ambientarla in ambito complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Ritorno alla idee centrale di de Broglie, come “contaminazione”
della formula E = hν di Planck e della relazione massa–energia di
Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Ritorno alla idea centrale di Schrödinger. L’idea della “meccanica
ondulatoria”, e deduzione della formula per la velocità di fase . . .
11.5 Altri argomenti: NOTA PER GLI AUTORI . . . . . . . . . . . . .
5
191
191
196
205
211
221
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225
236
238
244
12 Interazione (classica) tra radiazione e materia, parte I. L’identità di
Wheeler e Feynman.
247
12.1 La soluzione di Hertz delle equazioni di Maxwell, per un dipolo
elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.2 L’equazione di Abraham–Lorentz–Dirac per l’elettrone irraggiante.260
12.3 Modello unidimensionale di dielettrico: modi normali non irraggianti. Orbite atomiche stabili. L’identità di Wheeler e Feynman. 260
13 Interazione (classica) tra radiazione e materia, parte II. La teoria
microscopica dello spettro tramite il Teorema di Green–Kubo
271
13.1 Il passaggio dall’elettromagnetismo microscopico all’elettromagnetismo macroscopico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.2 Il teorema di Green–Kubo per la polarizzazione . . . . . . . . . . . . 277
13.3 Le relazioni di Kramers–Kronig, e la “ f –sum rule” . . . . . . . . . . 280
13.4 Lo spettro discreto nel caso classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Parte Terza: Einstein, Podolsky, Rosen e Bell
291
14 EPR 1935, Bell 1964
293
6
Andrea Carati e Luigi Galgani
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
Esistono le cose anche se non le guardiamo? Da EPR alle disuguaglianze di Bell, e ritorno alla elettrodinamica microscopica
classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La “formulazione ortodossa” della meccanica quantistica, e il problema dei parametri nascosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einstein, Podolski e Rosen (EPR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La risposta di Bohr. I commenti di Einstein e la sua “profonda
solitudine” a Princeton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il contributo di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il punto di vista di Accardi. Urne e camaleonti. Il problema delle
due fenditure e la legge di Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un modello a parametri nascosti, nell’elettrodinamica classica di
Dirac, che viola la disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
298
301
305
308
315
322
A Un “divertissement”. L’analogo delle disuguaglianza di Bell in un
gioco del tipo gratta e vinci
331
B Il problema delle due fenditure come discusso da Feynman, e la critica
di Koopman
335
Fondamenti della meccanica quantistica: Introduzione
i
Le presenti note raccolgono gli argomenti trattati nelle lezioni sui fondamenti della meccanica quantistica, tenute da diversi anni per il corso di laurea in fisica
nell’Universitá degli Studi di Milano.
Lo scopo é duplice. Anzitutto, si intende familiarizzare il lettore con i lavori originali che hanno condotto all’introduzione della Meccanica Quantistica,
nelle sue due fasi principali: quella iniziata nel 1900, legata alla termodinamica
statistica (corpo nero, calori specifici, . . . ), e quella degli anni 1925–1930, legata
principalmete al problema delle righe spettrali.
D’altra parte si intende illustrare come i due problemi fisici sopra ricordati
che hanno dato inizio alla MQ possono essere concretamente trattati in ambito classico. A tal fine si fa uso in maniera essenziale dei risultati moderni della
teoria dei sistami dinamici (stimolati particolarmente dal lavoro di Fermi, Pasta ed Ulam del 1954), che mostrano come in modelli microscopici di sistemi
macroscopici si abbia coesistenza di moti ordinati e moti caotici.
Si cercherá di mostrare come questa attenzione ai risultati moderni della teoria dei sistemi dinamici induca a guardare con un occhio critico particolare ai
lavori che hanno dato inizio alla MQ. In particolare per quanto riguarda l’atteggiamento che Einstein tenne per tutta la vita (dopo il 1905) e per quanto riguarda
il lavoro di Poincarè del 1912 sulla necessitá della quantizzazione.
La prima e la seconda parte delle note sono dedicate alle due fasi sopra ricordate, con cui ebbe inizio la MQ, ovvero termodinamica statistica e righe spettrali.
Una terza parte é invece dedicata ai problemi di tipo EPR e Bell.
