Spaziotempo noncommutativo: connessione con le

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
LA SAPIENZA
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI
TESI DI LAUREA IN FISICA
Spaziotempo noncommutativo:
connessione con le teorie di stringa
e propagazione di particelle
Relatore:
Prof. Giovanni Amelino-Camelia
Anno Accademico 1999-2000
Laureanda:
Luisa Doplicher
Indice
1 Introduzione
1
I Motivazioni per la noncommutatività dello spaziotempo
7
2 Microscopio di Heisenberg e noncommutatività fondamentale
2.1 Microscopio di Heisenberg classico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Microscopio di Heisenberg con la gravità . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Argomenti di Bohr e Rosenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Lunghezza minima in stringhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Microscopio di Heisenberg con particelle massive neutre . . . . . .
2.6 Microscopio di Heisenberg con D-particles . . . . . . . . . . . . .
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3 Noncommutatività non fondamentale
33
3.1 Oscillatore in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Stringhe in campo esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II Teorie di gauge su spaziotempo noncommutativo con
struttura canonica
37
4 Aspetti generali delle teorie
39
4.1 Star prodotto e sue proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Diagrammi di Feynman
5.1 Caratteristiche dei diagrammi . . . . . . . . . . .
5.1.1 Struttura delle interazioni . . . . . . . . .
5.1.2 Un esempio semplice . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Caratteristiche topologiche dei diagrammi
5.1.4 Convergenza e connessione fra ultravioletto
5.2 Regole di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Propagatori . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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infrarosso
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67
Indice
ii
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Vertice a quattro scalari . . . . . . .
Vertici fotoni - scalari neutri . . . . .
Vertice fotone - due scalari . . . . . .
Vertice due fotoni - due scalari . . . .
Vertice fotone - fermione di Majorana
Vertici a più fotoni . . . . . . . . . .
Vertice a tre fotoni . . . . . . . . . .
Vertice a quattro fotoni . . . . . . . .
Vertice fotone - ghosts . . . . . . . .
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6 Diagrammi di self energia
6.1 Self energia del fotone . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Contributo dei fermioni di Majorana .
6.1.2 Contributo degli scalari neutri . . . . .
Primo diagramma . . . . . . . . . . . .
Secondo diagramma . . . . . . . . . .
6.1.3 Contributo del settore di gauge . . . .
Primo diagramma . . . . . . . . . . . .
Secondo diagramma . . . . . . . . . .
Terzo diagramma . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Self energia dello scalare neutro . . . . . . . .
6.2.1 Contributo dei fotoni . . . . . . . . . .
Primo diagramma . . . . . . . . . . . .
Secondo diagramma . . . . . . . . . .
6.2.2 Contributo degli scalari . . . . . . . . .
6.2.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Self energia del fermione di Majorana . . . . .
6.3.1 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Relazioni di dispersione . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Relazione di dispersione per il fotone .
6.4.2 Relazione di dispersione per il fermione
6.5 Implicazioni fenomenologiche . . . . . . . . . .
7 Conclusioni
A Formule utili
Bibliografia
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di Majorana .
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105
Capitolo 1
Introduzione
Non l’avrei giammai creduto
ma farò quel che potrò.
Lorenzo Da Ponte
Molti elementi portano a credere che la descrizione dello spaziotempo finora
adottata vada radicalmente rivista quando si ha a che fare con scale di lunghezza
dell’ordine della lunghezza di Planck LP , definita come:
r
~G
LP =
' 10−33 cm
(1.1)
c3
L’indizio principale in favore di tale ipotesi viene dall’incompatibilità fra relatività
generale e meccanica quantistica, entrambe necessarie trattando di spaziotempo e di
piccole distanze. Una delle indicazioni più comuni degli approcci a questo problema è
la possibilità di una nuova e più stringente limitazione alla misurabilità di grandezze
geometriche. Ad esempio nel caso di intervalli spaziali ci si aspetta [1, 2, 3]:
δx & LP
(1.2)
È interessante notare come (1.2) vada ad inserirsi in una gerarchia di limitazioni
sulla misurabilità, stabilite nel corso del tempo con il raffinarsi delle teorie che descrivono il mondo fisico. Nella fisica classica ogni grandezza può in linea di principio
essere misurata con precisione arbitraria; i soli ostacoli al raggiungimento di una
precisione assoluta nelle misure sperimentali provengono dall’imperfezione dei metodi e degli strumenti usati. Con l’avvento della meccanica quantistica viene persa
la possibilità di misurare simultaneamente con precisione assoluta alcune coppie di
osservabili; e questo avviene per motivi legati alla struttura della teoria, non per
impedimenti pratici. Tuttavia le relazioni di indeterminazione non vietano che una
delle due grandezze possa essere misurata con precisione assoluta, naturalmente al
1
2
1. Introduzione
prezzo di rinunciare a qualunque informazione sull’altra. Combinando la meccanica
quantistica e la relatività ristretta emerge l’impossibilità di localizzare una particella
massiva in una regione di dimensioni lineari minori della lunghezza d’onda Compton
della particella; le inconsistenze che ne derivano obbligano a passare ad una teoria
che tratti in primo luogo di campi, cosı̀ che il numero di particelle possa variare.
Infine, come illustrerò in un caso particolare nel capitolo 2, cercando di combinare
la meccanica quantistica e la relatività generale emerge naturalmente (1.2), che fissa
un limite inferiore assoluto alla misurabilità di una singola grandezza, un intervallo spaziale. Intuitivamente è facile rendersi conto di come una simile limitazione
possa derivare da considerazioni di meccanica quantistica e di relatività generale.
Da equazioni basilari della meccanica quantistica segue che per ottenere una buona risoluzione su piccole distanze è necessario impiegare particelle di prova di alta
frequenza e quindi alta energia per effettuare la misura (in genere si adoperano fotoni a questo scopo). Ma una particella molto energetica genera un intenso campo
gravitazionale, che a sua volta modifica la metrica e quindi introduce una nuova
fonte di incertezza nella misura. Cosı̀ aumentando l’energia delle particelle di prova
si riduce un contributo all’incertezza totale sulla misura, ma inevitabilmente se ne
aumenta un altro; in conclusione è facile capire come mai vi sia un minimo assoluto
non nullo a questa incertezza. Un altro modo di visualizzare il fenomeno è ricordare
che nessuna particella o, in generale, nessun oggetto può essere localizzato in una
regione di dimensioni lineari minori del proprio raggio di Schwarzschild, altrimenti si
formerebbe un orizzonte degli eventi entro cui la particella di prova sparirebbe, cosı̀
che non sarebbe più possibile effettuare la misura. Anche in questo modo si trova
che la precisione delle misurazioni di lunghezza ha un limite inferiore dell’ordine di
LP . Seguendo linee di ragionamento analoghe è possibile ricavare un limite inferiore
alla precisione di misure di intervalli temporali. Queste argomentazioni molto intuitive possono essere raffinate e rese rigorose, tramite argomenti di varia natura, ma
comunque sostanzialmente la conclusione non cambia, ed è sempre simile a (1.2). A
volte (1.2) viene portata come evidenza dell’esistenza di una scala fondamentale della natura. Tuttavia sebbene il legame fra i due concetti esista, non necessariamente
si tratta di un’implicazione diretta, poiché il contesto da cui emerge (1.2) potrebbe non permettere un’estrapolazione riguardo alle caratteristiche fondamentali dello
spaziotempo sottostante.
È possibile schematizzare queste limitazioni alla misurabilità di intervalli spaziali e temporali tramite una relazione di indeterminazione spaziotemporale, cioè
postulando che le coordinate siano oggetti noncommutanti; l’estensione di concetti geometrici a questo nuovo tipo di coordinate è stato chiamato geometria
noncommutativa.
La geometria tradizionalmente si occupa delle proprietà dell’insieme di punti che
costituiscono lo spazio. Tuttavia è stato osservato che è possibile studiare piuttosto
l’algebra di funzioni definite sullo spazio dato e ricavarne tutte le proprietà dello
spazio; in particolare è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra spazi
compatti e algebre delle funzioni continue. Nei casi in cui la descrizione dello spa-
1. Introduzione
3
zio è problematica questo procedimento è anche più vantaggioso, poiché l’algebra
di funzioni può comunque essere perfettamente definita. È proprio questo il punto
di partenza per la geometria noncommutativa: si considera l’algebra delle funzioni
differenziabili definite sull’usuale spazio commutativo e poi la si generalizza ad un’algebra noncommutativa; questa generalizzazione non è univoca, ad una stessa algebra
commutativa possono corrispondere più algebre noncommutative. Trattando algebre
noncommutative si trovano molte strutture e caratteristiche che non hanno analogo
nel caso commutativo, e viceversa si perdono alcune nozioni usuali, come quella di
punto [4, 5, 6, 7, 8, 9]. In alcuni casi, ad esempio se il commutatore degli operatori x̂
è costante [10] o lineare [11, 12] in x̂, è possibile riformulare ulteriormente la teoria in
termini di un’algebra di funzioni commutativa in cui il prodotto puntuale ordinario
sia sostituito da un opportuno “star prodotto”, la cui forma esplicita dipende dal
tipo di noncommutatività considerato.
In questa tesi ho esplorato vari contesti che mostrano indizi in favore di una qualche noncommutatività delle coordinate spaziotemporali, e ho studiato in particolare
alcuni aspetti delle teorie di gauge su un tipo di spaziotempo noncommutativo che
ha recentemente attratto attenzione, risultando utile in ambito di teorie di stringa.
Nella prima parte considero l’analisi della misurabilità di grandezze geometriche
fornita dal microscopio di Heisenberg e passo in rassegna alcuni aspetti delle teorie
di stringa che suggeriscono una relazione di indeterminazione spaziotemporale. Il
microscopio di Heisenberg (che descriverò in dettaglio nel capitolo 2) è uno storico procedimento per lo studio dei limiti sulla misurazione simultanea di grandezze,
originariamente ideato appunto da Heisenberg [13, 14]. Consiste nell’osservare un
elettrone tramite un microscopio; l’elettrone può essere localizzato con una precisione massima dell’ordine della lunghezza d’onda dei fotoni che lo illuminano. Il
fotone diffuso dall’elettrone e poi raccolto nel microscopio trasferisce all’elettrone
una parte del proprio impulso per effetto Compton. Ne seguono quindi le relazioni
di indeterminazione δxδp ≥ ~ per la posizione e l’impulso dell’elettrone. Tuttavia, come già accennato, questo risultato non pone limiti alla precisione con cui è
possibile misurare la posizione dell’elettrone, stabilisce solo che in proporzione l’incertezza sull’impulso aumenta finché la misura dell’impulso perde ogni contenuto
fisico. Idealmente, al limite è possibile ottenere una precisione assoluta sulla misura
della posizione dell’elettrone, semplicemente facendo crescere all’infinito la frequenza
dei fotoni incidenti.
Estendendo il ragionamento per includere gli effetti dell’interazione gravitazionale fra particella probe (fotone) e particella target (elettrone) [1, 2, 3] si è trovato
un limite alla misura della posizione della particella target del tipo (1.2), che rappresenta un’assunzione comune in gravità quantistica. È interessante allora chiedersi
che limitazioni alla localizzazione dell’evento di scattering emergano quando il probe
e il target siano tipi diversi di particelle. Questo perché, come esposto da Bohr e
Rosenfeld [15, 16], nel dedurre caratteristiche fondamentali di una teoria a partire
da esperimenti di scattering (eventualmente gedanken) si deve tener presente che i
risultati possono dipendere dal tipo di particella considerata. Generalmente il can-
1. Introduzione
4
didato naturale è il fotone, per le sue caratteristiche che lo rendono maneggevole
teoricamente e sperimentalmente; tuttavia non è detto che concettualmente sia questa la scelta migliore. In teorie di stringa questo tipo di analisi è reso ancora più
interessante dalla presenza di nuovi tipi di oggetti fondamentali, come le stringhe
stesse e le D-particles, di cui darò una definizione nella sezione 2.4. Una serie di
noti studi [17, 18, 19, 20] ha permesso di stabilire che tramite scattering di stringhe
chiuse è possibile ottenere una localizzazione spaziale dell’ordine della lunghezza di
(10)
stringa, maggiore di LP (lunghezza di Planck in dieci dimensioni). Recentemente
si è osservato [21, 22, 23] che tramite scattering di D-particles è possibile migliorare
(10)
notevolmente questo limite, ottenendo una localizzazione spaziale minore di LP , e
quindi potenzialmente in disaccordo con (1.2). Per verificare quest’ipotesi ho usato
D-particles nel microscopio di Heisenberg. Le D-particles sono schematizzabili come
particelle massive legate da un potenziale dipendente dalla velocità relativa (in particolare il potenziale si azzera quando questa è nulla). Quindi in preparazione per
l’analisi con D-particles nella sezione 2.5 ho considerato il microscopio di Heisenberg
in cui il probe e il target sono particelle massive neutre (ordinarie). Ho trovato che
la localizzazione dello scattering è meno precisa che nel caso in cui il probe sia un
fotone, e ho potuto cosı̀ stabilire che effettivamente il fotone rappresenta il miglior
probe, nell’ambito di particelle che interagiscano elettromagneticamente o gravitazionalmente. Nel caso di D-particles si deve però tenere conto della presenza del
potenziale che le lega, la cui forma dipende anche dalla supersimmetria. Svolgendo l’analisi del microscopio di Heisenberg per D-particles ho trovato che in effetti
(10)
la localizzazione spaziale raggiunge scale minori di LP , quindi c’è contrasto con
(1.2). Questa maggiore precisione nella definizione di intervalli spaziali è ottenibile
solo al prezzo di una localizzazione temporale piuttosto imprecisa. Questi risultati sembrano indicare che l’attenzione vada spostata dalla localizzazione spaziale del
target alla localizzazione dell’evento di scattering, generalizzando (1.2) per includere
la localizzazione temporale. Esaminati da questo punto di vista i classici risultati di
gravità quantistica portano a stabilire un limite del tipo [24]:
δxδt &
L2P
c
(1.3)
Considerando la localizzazione dell’evento di scattering fra D-particles nell’ambito
del microscopio di Heisenberg ho dimostrato che il limite fornito da (1.3) rimane
valido, e non viene nemmeno saturato.
Queste considerazioni suggeriscono che la geometria noncommutativa abbia un
ruolo nella caratterizzazione della struttura fondamentale dello spaziotempo. Ma la
noncommutatività può essere rilevante anche per la descrizione di aspetti specifici
del sistema studiato. Ad esempio è possibile schematizzare la presenza di un campo
esterno tramite una noncommutatività dello spazio sottostante; accennerò a questa descrizione nella sezione 3.1, nel caso semplice di un oscillatore immerso in un
campo magnetico [25, 26]. Inoltre, come illustrerò brevemente nella sezione 3.2, la
noncommutatività risulta utile anche nella costruzione di teorie di campo effettive
1. Introduzione
5
che descrivono la fisica delle stringhe in un campo esterno ad energie inferiori a L−1
s ,
dove Ls è la lunghezza di stringa [27, 28, 29, 30, 31].
Nella seconda parte della tesi esamino più in particolare il tipo di geometria
noncommutativa rilevante in ambito di teorie di stringa in presenza di campo esterno,
quella con struttura canonica, in cui la regola di commutazione tra gli operatori x̂ è
data da:
[x̂µ , x̂ν ] = iθµν
(1.4)
dove θµν è una matrice reale, antisimmetrica e costante nelle coordinate. In questo
caso è possibile definire uno star prodotto, che deriverò in dettaglio nella sezione
4.1.
La noncommutatività delle coordinate fa sı̀ che la moltiplicazione dei campi per
le coordinate stesse non sia un’operazione covariante. Nella costruzione di teorie di
gauge è utile introdurre delle coordinate covarianti, definite tramite l’aggiunta alle
coordinate originarie di un campo di gauge, analogamente al procedimento seguito
per ottenere la derivata covariante nelle teorie di campo usuali. Procedendo lungo
questa linea per ricavare le trasformazioni dei campi di gauge si trova che, anche
nel caso in cui il gruppo di gauge sia U (1), la situazione somiglia molto al caso
commutativo nonabeliano: le leggi di trasformazione sono analoghe, di conseguenza
l’unitarietà della teoria richiede la presenza dei ghosts, e il campo di gauge, cioè
il fotone, interagisce con sé stesso [10, 32]. Dalla nonlocalità della teoria segue
l’impossibilità di costruire operatori locali gauge invarianti; si ritrova l’invarianza
di gauge integrando su tutto lo spazio (cioè sull’azione e non sulla lagrangiana).
È comunque possibile costruire operatori gauge invarianti√quasi locali “spalmando”
(smearing) gli operatori locali su una scala dell’ordine di θ, dove θ è il più grande
autovalore di θµν [33, 27].
Dalle trasformazioni di gauge segue un’interessante caratteristica di queste teorie: il fotone interagisce anche con i campi neutri, dove questa dicitura indica i
campi che nel limite θµν → 0 diventano neutri (fornirò una caratterizzazione più
precisa trattando le trasformazioni di gauge). Per poter studiare quantitativamente
i diagrammi di Feynman relativi a questa ed altre interazioni ho ricavato le regole
di Feynman per scalari neutri, fermioni di Majorana, fotoni e ghost (sezione 5.2).
Da alcune proprietà dello star prodotto segue che i propagatori sono gli stessi del
caso commutativo; si modificano soltanto i vertici di interazione, che contengono
polinomi di funzioni trigonometriche di quantità come pµ θµν qν , dove pµ e q µ sono impulsi entranti nel vertice. Per poter comprendere la struttura dei diagrammi
di Feynman su spaziotempo noncommutativo è utile introdurre una distinzione fra
diagrammi cosiddetti planari e nonplanari, che definirò precisamente nella sezione
5.1.3. Quantitativamente si trova che i diagrammi planari sono uguali a quelli commutativi, a meno di un fattore di fase globale dipendente dagli impulsi esterni. I
diagrammi nonplanari invece hanno fattori di fase dipendenti anche dagli impulsi
interni, del tipo exp (ipµ θµν qν ) con pµ impulso del loop e q µ impulso esterno. Questi
fattori migliorano la convergenza ultravioletta dei diagrammi nonplanari; tuttavia se
q → 0 svaniscono e il diagramma diverge di nuovo, quindi in queste teorie le usuali
6
1. Introduzione
divergenze ultraviolette vengono sostituite da divergenze infrarosse [34, 35, 36, 37].
Queste divergenze infrarosse non trovano conferma nei dati sperimentali, quindi il
cutoff infrarosso che le regolarizza rappresenta di fatto la scala alla quale queste
teorie, se sono rilevanti per la descrizione del mondo fisico, perdono validità. Ho
studiato quantitativamente la dipendenza da θµν , ed in particolare la natura della
singolarità infrarossa, della self energia di alcune particelle. Dopo aver ripercorso il
calcolo a un loop della self energia del fotone [38] ho calcolato la self energia di uno
scalare neutro e di un fermione di Majorana; ho trovato che la correzione comprende
un cutoff effettivo che dipende dal parametro di noncommutatività θ e dall’impulso
esterno. Infine ho utilizzato i risultati per esaminare come vengono modificate le
usuali relazioni di dispersione. In particolare ho verificato che la relazione di dispersione del fotone dipende dalla sua polarizzazione [38], e ho trovato che la relazione
di dispersione del fermione di Majorana non è tale da modificare la sua massa a
riposo, quindi non è possibile dare massa al neutrino tramite questo meccanismo.
Notazioni e convenzioni
La segnatura dello spaziotempo è (1, −1, −1, −1).
Le componenti di un quadrivettore sono contraddistinte da indici greci, µ, ν ∈
[0, 3]; µ = 0 distingue la coordinata temporale. Le componenti di un trivettore sono
distinte dagli indici i, j ∈ [1, 3].
D’ora in poi uso le unità naturali, in cui c = ~ = 1.
L’incertezza sulla misura della grandezza A è indicata come δA, mentre ∆A
indica una variazione di A.
Le coordinate operatoriali noncommutanti sono indicate come x̂; in generale le
grandezze relative ad una geometria noncommutativa verranno contraddistinte da
un cappuccio.
Parte I
Motivazioni per la
noncommutatività dello
spaziotempo
7
Capitolo 2
Microscopio di Heisenberg e
noncommutatività fondamentale
Poliziotto:
Heisenberg:
Lei sa a che velocità
stava andando?
No, ma so dove sono.
Il microscopio di Heisenberg è un gedanken experiment introdotto da Heisenberg
[13] per verificare le relazioni di indeterminazione δxδp ≥ 1 (ricordo che sto usando
unità naturali, cioè ~ = c = 1). Un gedanken experiment è un esperimento la cui
realizzazione può essere difficoltosa per vari motivi, ad esempio di ordine pratico,
ma concettualmente possibile. In tal senso può essere sfruttato per dare una definizione operativa di concetti fisici [14]. Studiando le limitazioni alla misurabilità di
grandezze, questo modo di ragionare permette di fare astrazione da problemi pratici
e di considerare soltanto le limitazioni imposte dalla fisica del problema e dal procedimento adottato per la misura delle grandezze in questione. Questo significa che
le limitazioni ottenute costituiranno in genere un limite inferiore che potrebbe anche non essere raggiungibile in pratica. Naturalmente questo limite è da intendersi
valido nell’ambito del procedimento di misura scelto; in generale è possibile che un
procedimento diverso permetta di migliorare il risultato ottenuto.
In questo capitolo sfrutto lo schema concettuale del microscopio di Heisenberg
per verificare le limitazioni alla localizzazione di un evento recentemente ottenute
in ambito di teorie di stringa tramite scattering di oggetti presenti nelle teorie,
le D-particles [21, 22, 23]. In preparazione a quest’analisi nelle prossime sezioni
esamino alcune differenti formulazioni del microscopio di Heisenberg. Nella sezione
2.1 delineo la formulazione originale del microscopio di Heisenberg, in cui la particella
probe è un fotone e la particella target un elettrone, e lo scattering fra le due particelle
coinvolge solo l’interazione elettromagnetica. In seguito nella sezione 2.2 considero
la stessa situazione in cui però non si trascura l’interazione gravitazionale fra probe
e target. Siccome le D-particles sono schematizzabili come particelle massive legate
9
I. Motivazioni
10
da un potenziale dipendente dalla velocità relativa, ho voluto controllare i risultati
forniti dall’analisi del microscopio di Heisenberg in cui il probe e il target siano
particelle massive neutre (sezione 2.5). Infine nella sezione 2.6 applico l’analisi al
caso in cui il probe e il target siano D-particles. L’analisi della sezione 2.1 ripercorre
l’argomento originale [13, 14]; la sezione 2.2 è basata su quanto esposto in [1, 2, 3],
pur con alcuni ampliamenti e precisazioni; invece le analisi delle sezioni 2.5 e 2.6
non sono presenti in letteratura.
Il mio obiettivo nello studio dei limiti alla misurabilità di intervalli spaziali e
temporali è individuare la dipendenza funzionale di questi limiti da grandezze rilevanti nella particolare situazione fisica considerata. Quindi nelle analisi trascurerò
fattori numerici di ordine 1.
2.1
Microscopio di Heisenberg classico
Nel microscopio di Heisenberg classico si effettua la misura della posizione di un
elettrone osservandolo con un microscopio, che viene schematizzato come una scatola la cui parete di fondo rappresenta una lastra fotografica [13, 14]. Gli assi sono
disposti come in figura 2.1; si suppone che l’elettrone si trovi nel piano xy. Per
semplicità si analizza la determinazione della sola coordinata x della posizione dell’elettrone; a questo scopo l’apertura tramite cui la luce entra nel microscopio può
essere schematizzata come una fessura F di larghezza 2L, come in figura 2.1.
z
b
a
x
y
Figura 2.1: Microscopio di Heisenberg
L’elettrone viene illuminato da un fotone di lunghezza d’onda λ che viaggia approssimativamente nella direzione dell’asse x. Il fotone è diffuso per effetto Compton e viene poi raccolto dalla lastra fotografica del microscopio. Tramite la misura
della posizione di arrivo del fotone sulla lastra fotografica è possibile risalire alla
coordinata x dell’elettrone.
2.1 Microscopio di Heisenberg classico
11
Se l’elettrone restasse fermo in un punto P del piano xy, illuminandolo successivamente con vari fotoni si osserverebbe sulla lastra fotografica del microscopio una
figura di diffrazione dovuta alla fessura F . Sopprimendo la coordinata y, la situazione sarebbe quella schematizzata in figura 2.2. La figura di diffrazione sarebbe
P’
l’
Q’
z
b
C
a
P Q
x
l
Figura 2.2: Microscopio di Heisenberg in sezione
centrata in P 0 e il suo massimo avrebbe una larghezza l0 data da:
l0 '
λ0
λ0
λ0 b
'
=
sin β
tan β
L
(2.1)
dove λ0 è la lunghezza d’onda del fotone dopo lo scattering, mentre b e β sono definiti
in figura 2.2. Proiettando P 0 attraverso il centro C della fessura F sul piano xy si
otterrebbe la coordinata x del punto P in cui si trova l’elettrone. Tuttavia dopo
lo scattering l’elettrone si sposta, quindi illuminarlo con altri fotoni dopo il primo
non servirebbe ad ottenere informazioni sulla sua posizione al momento del primo
scattering. Quindi sarà possibile osservare sulla lastra fotografica un solo punto
della figura di diffrazione appena descritta, ad esempio Q0 , mentre P 0 non sarà
osservabile. Supponendo che Q0 appartenga al massimo della figura di diffrazione,
si può affermare che Q0 dista da P 0 meno di l0 . Quindi la proiezione di Q0 sul piano
xy, Q, dista da P meno di l, con l data da:
λ0 a
a
l = l0 '
b
L
(2.2)
I. Motivazioni
12
Siccome P corrisponde alla posizione dell’elettrone al momento dello scattering, l
rappresenta l’incertezza δx sulla misura della coordinata x dell’elettrone:
λ0 a
δx ∼ l '
(2.3)
L
Per effetto Compton parte dell’impulso iniziale del fotone viene trasferito all’elettrone. Dopo lo scattering la componente x dell’impulso dell’elettrone, px , è data
da:
1
(2.4)
px ' p0x + − p0x
λ
dove p0x è l’impulso iniziale dell’elettrone lungo x, eventualmente nullo, e p0x è la
componente x dell’impulso del fotone dopo lo scattering. La direzione del moto del
fotone dopo lo scattering è ignota, tuttavia deve essere tale che il fotone passi per
la fessura F del microscopio. Questa non è un’assunzione arbitraria sulle caratteristiche del fotone; equivale semplicemente all’osservazione che se il fotone non viene
raccolto nel microscopio la misurazione non è possibile. Tramite questa osservazione
è possibile individuare l’incertezza su p0x :
1
1L
1
sin α ' 0 tan α = 0
(2.5)
0
λ
λ
λ a
dove α è definito nella figura 2.2. Per l’incertezza δpx sulla componente x dell’impulso dell’elettrone dopo lo scattering si ha:
δp0x ∼
1L
(2.6)
λ0 a
Quindi per le componenti lungo x della posizione e dell’impulso dell’elettrone si
trova:
δxδpx ∼ 1
(2.7)
δpx ' δp0x ∼
la ben nota relazione di indeterminazione di Heisenberg. Una relazione analoga
vale per le componenti lungo y della posizione e dell’impulso dell’elettrone, fin qui
trascurate soltanto per semplicità, e immaginando di ruotare l’apparato si vede che
è possibile giungere alla stessa conclusione per quanto riguarda le componenti lungo
z.
Questo risultato stabilisce un limite alla misurabilità simultanea di due grandezze, x e p. Tuttavia, come già sottolineato nell’introduzione, mirando a misurare x
con la migliore precisione possibile non si incontrano ostacoli concettuali che impediscano di far tendere δx a zero, sebbene in pratica questo non sarebbe realizzabile.
(2.7) implica soltanto che se δx tende a zero δpx cresce sempre più, finché di fatto
px non viene misurato. Si nota come per aumentare la precisione della misura di x
sia sufficiente aumentare la frequenza del fotone usato come probe, in accordo con
quanto noto a proposito della risoluzione dei microscopi.
Nella sezione successiva illustrerò come tenendo conto della gravità si trovi un
limite inferiore anche alla misurabilità di intervalli spaziali, considerata singolarmente.
2.2. Microscopio di Heisenberg con la gravità
2.2
13
Microscopio di Heisenberg con la gravità
In questa sezione ripercorro l’analisi del microscopio di Heisenberg includendo l’interazione gravitazionale tra particella probe (fotone) e particella target (elettrone)
[1, 2, 3]. In quanto segue adotto una descrizione semi-newtoniana della gravitazione. A rigore occorrerebbe piuttosto trattare l’interazione gravitazionale secondo le
equazioni della relatività generale, tuttavia è stato dimostrato che, dopo calcoli più
complessi, una tale descrizione porta a risultati coincidenti con quelli forniti dalla
schematizzazione semi-newtoniana [1].
Rispetto all’esempio svolto nella precedente sezione 2.1 ricavo l’espressione esplicita di alcune incertezze in base ad un ragionamento leggermente diverso. Inoltre
generalizzo la formulazione del problema, spostando l’attenzione dalla localizzazione
della posizione della particella target alla localizzazione dell’evento di scattering tra
probe e target, e considerando anche altre fonti di incertezza rilevanti per la misura.
Comunque non tengo conto di tutte le incertezze che influenzano la precisione della
misura, ma soltanto di quelle che descrivono gli aspetti cruciali del sistema fisico in
questione e del procedimento di misurazione adottato.
In questo modo è possibile che il limite inferiore all’incertezza sulla localizzazione dell’evento di scattering venga in realtà sottostimato. Mentre sarebbe senza
dubbio preferibile ottenere una stima precisa di tale limite, l’eventualità che venga sottostimato non è molto preoccupante, poiché verrebbe comunque determinata
un’inevitabile incertezza di natura fondamentale, anche se poi l’incertezza minima
effettivamente ottenibile dovesse essere sempre maggiore di questa. Comunque non
si tratta di un’eventualità molto probabile, poiché i contributi all’incertezza che ho
considerato sembrano essere i più significativi ai fini della determinazione di questo
limite inferiore.
D’altro canto si potrebbe immaginare che il limite inferiore venga sovrastimato
a causa di caratteristiche intrinseche del procedimento di misura impiegato. Questa
possibilità, che metterebbe in dubbio la bontà della scelta del metodo da seguire
per studiare la localizzazione di eventi, è fortunatamente remota, come risulta dalle
conclusioni della vasta letteratura dedicata al microscopio di Heisenberg [1, 2, 3],
e anche dal fatto che trascurando l’interazione gravitazionale tra probe e target il
microscopio di Heisenberg fornisce per la relazione di indeterminazione tra x e p il
corretto limite inferiore (v. (2.7) nella sezione 2.1).
In ogni caso nell’ambito del microscopio di Heisenberg stesso le conclusioni ottenute dipendono in modo essenziale dal tipo di particelle scelte come probe e target;
questo aspetto del problema sarà evidente nelle sezioni successive, in cui ripeterò
l’analisi con differenti tipi di probe e target.
In questa sezione la particella probe è un fotone e la particella target è un elettrone, tuttavia svolgo l’analisi in termini di probe e target genericamente per stabilire
un linguaggio che sarà utile negli esempi considerati nelle sezioni successive. Segnalerò comunque i punti in cui le proprietà specifiche del probe e del target impiegati
portano a conseguenze particolari.
I. Motivazioni
14
Continuando a tralasciare la direzione y cerco di individuare con che precisione
è possibile misurare X e T , coordinate dell’evento di collisione fra probe e target.
La coordinata X viene ottenuta a partire dalla misura della posizione di arrivo
della particella probe sulla lastra fotografica del microscopio; la coordinata T viene
ricavata dalla relazione:
T ' ti + X
(2.8)
dove ti è l’istante iniziale dell’esperimento, cioè quello in cui la particella probe viene
sparata verso il target, e dove si è sfruttato il fatto che in questo caso il probe è un
fotone, con velocità fissa e pari a 1 (in unità naturali).
Le incertezze sulla misura di X e T , rispettivamente δX e δT , possono essere
espresse cosı̀:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt
δT & δti + δX
(2.9)
(2.10)
dove:
δXc è l’errore di tipo classico dovuto alla larghezza finita della fenditura del
microscopio;
δx0 è l’errore dovuto alla larghezza del pacchetto d’onda del probe, di origine
quantistica;
dmin è la distanza minima a cui probe e target vengono a trovarsi, che può essere
anche minore di δx0 (se dmin è definito come la distanza fra i centri dei due pacchetti
d’onda);
δxp è l’errore dovuto all’incertezza di tipo quantistico nella determinazione della
posizione del probe all’istante di collisione, ricavabile dalla condizione che il probe
debba passare attraverso la fenditura;
δxt è l’errore dovuto all’incertezza nella determinazione della posizione del target
all’istante di collisione;
δti è l’errore sulla misura dell’istante di partenza del probe.
Volendo controllare se è possibile misurare X con una precisione δx∗ dell’ordine
della lunghezza di Planck LP si deve scegliere:
δx0 . δx∗ ∼ LP
dmin . δx∗ ∼ LP
(2.11)
Il probe ha quindi queste caratteristiche:
δx0 . LP
δp0p ∼
1
δx0
(2.12)
dove p0p è l’impulso iniziale del probe, la cui incertezza è δp0p . La determinazione di
una grandezza A può avere senso solo se A & δA. In questo caso, dalla richiesta
2.2. Microscopio di Heisenberg con la gravità
15
b
L
a
d Xc
Figura 2.3: Incertezza di tipo classico
p0p &δp0p segue che p0p è piuttosto grande: p0p &δp0p ∼ δx−1
& EP , dove EP indica
0
l’energia di Planck.
δXc è indicato nella figura 2.3, e vale:
δXc = L
a+b
b
(2.13)
Considero ora la determinazione di δxp . Questo contributo a δX è chiaramente legato all’incertezza del momento p0p del probe all’istante in cui il probe stesso raggiunge
la fenditura. Una buona stima di p0p è [1, 3]:
p0p ∼ pp
(2.14)
A rigore bisognerebbe considerare anche un altro contributo a p0p , dovuto al trasferimento di impulsi tra probe e target mediato dalla loro interazione gravitazionale.
Tuttavia ai fini della valutazione dell’incertezza su p0p questo secondo contributo è
trascurabile. Infatti l’impulso trasferito ad un dato istante tra probe e target può
essere stimato in questo modo:
∆pp (t) '
Gpp mt
d (t)
(2.15)
dove d (t) è la distanza fra probe e target all’istante t. Chiaramente vale:
∆pp (t) .
Gpp mt
dmin
(2.16)
e quindi ∆pp è trascurabile rispetto a pp , poiché:
pp &
Gpp mt
dmin
(2.17)
I. Motivazioni
16
La validità di (2.17) risulta ovvia osservando che la distanza minima fra probe e
target deve essere maggiore del raggio di Schwarzschild del target, cioè:
dmin & Gmt = L2P mt
(2.18)
(a meno di un irrilevante fattore 2).
Perché il probe possa essere rivelato dal microscopio deve valere:
L
(2.19)
a
dove α è definito in figura 2.2. Questo nel caso in cui la traiettoria seguita dal probe
dopo lo scattering sia perfettamente verticale, caso che consente il maggiore (δpp )x .
Tramite la relazione di indeterminazione di Heisenberg si trova infine:
(δpp )x ≈ pp sin α ' pp tan α = pp
δxp &
1
(2.20)
pp La
Il δxp appena calcolato si riferisce alla coordinata x del probe nell’istante in cui
quest’ultimo raggiunge la fenditura del microscopio. È facile convincersi che l’incertezza sulla coordinata x del probe all’istante della collisione sarà ben stimata da δxp .
Infatti è lecito assumere che a, e in generale ogni altra dimensione lineare dell’apparato di misura, sia estremamente piccola rispetto alle enormi distanze necessarie
per osservare un allargamento significativo di un pacchetto d’onda [39].
Infine occorre identificare δxt , ovvero l’errore dovuto all’incertezza nella determinazione della posizione del target all’istante di collisione. Come già osservato,
l’interazione gravitazionale causa un trasferimento d’impulso fra probe e target, significativo soprattutto quando le due particelle sono vicine. Perciò, per la conservazione dell’impulso, alla variazione dell’impulso del probe definita in (2.15), ∆pp (t),
corrisponde un’uguale variazione dell’impulso del target, ∆pt :
∆pt (t) ' ∆pp (t) '
Gpp mt
d (t)
(2.21)
Nello scattering al target sarà trasferita anche una frazione dell’impulso iniziale
del probe, che quantitativamente dipenderà dalla direzione presa dal probe dopo lo
scattering. Tuttavia nel valutare δxt non ne tengo conto, poiché l’errore dovuto al
fatto che non si conosce la direzione presa dal probe dopo lo scattering è stato già
preso in considerazione nel calcolo di δxp , il contributo che porterebbe nel calcolo
di δxt sarebbe dello stesso ordine, e nell’ottica di puntare soltanto a valutare gli
ordini di grandezza un fattore 2 non può essere rilevante. Inoltre a questo stadio
interessa individuare il contributo dovuto all’interazione gravitazionale fra probe e
target. Posso quindi stimare l’incertezza (δpt )x (t) sulla componente x dell’impulso
del target ad un dato istante a partire da (2.21), e poi ricavarne l’incertezza (δvt )x (t)
sulla componente x della velocità del target:
(δvt )x (t) =
(δpt )x (t)
∆pp (t) L
'
mt
mt a
(2.22)
2.2. Microscopio di Heisenberg con la gravità
17
δxt è dato dall’integrale di (δvt )x dall’istante iniziale dell’esperimento, ti , all’istante
T della collisione. Ma poiché (δvt )x (t) è proporzionale all’inverso di d (t), il maggior
contributo a δxt viene da un piccolo intervallo temporale precedente T . Ne segue
che si può stimare δxt in questo modo:
¯
¯
¯
Z T
Z T
¯ ∆pp (t) ¯ L
L
∆pp (t) ¯¯
¯
¯
|(δvt )x |dt '
dmin
δxt ≥
(2.23)
¯ mt ¯ a dt ∼ mt ¯
a
T −dmin
T −dmin
dmin
e quindi si trova che δxt può essere approssimato come:
¯
∆pp (t) ¯¯
L
Gpp
L
L
dmin '
dmin = Gpp
δxt ∼
¯
mt dmin
a
dmin
a
a
(2.24)
A questo punto posso dare una valutazione quantitativa per δX:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt & δXc + δx0 + dmin +
1
pp La
+ Gpp
L
a
(2.25)
δXc dipende dalla struttura del microscopio, δx0 e dmin dalle caratteristiche cinematiche del probe e del target, e vengono scelte appositamente nel tentativo di ottenere
il δx∗ prefissato. Quindi per verificare che il limite di precisione richiesto può essere
effettivamente raggiunto basta controllare il comportamento delle ultime due fonti
di incertezza, le sole ad avere un andamento opposto. Il minimo contributo che
queste due fonti di incertezza portano è:
s
1
L
min (δxp + δxt ) =
(2.26)
Gpp = LP
L
a
pp a
Quindi si vede che cercare di prendere δx0 e dmin minori di LP non ha molto significato, poiché comunque δxp e δxt portano un errore almeno dell’ordine della lunghezza
di Planck. In conclusione verifico che è possibile raggiungere la precisione richiesta
di LP , ma non ottenere di meglio:
δX & LP
(2.27)
Per quanto riguarda l’incertezza su T :
δT & δti + δX & LP
(2.28)
Il risultato sorprendente è che tenendo conto dell’interazione gravitazionale fra probe e target emerge un limite inferiore assoluto alla misurabilità di intervalli spaziali,
senza che venga specificato nulla sulla misurabilità simultanea di altre grandezze. In
quest’ottica si nota come, a differenza del caso della precedente sezione 2.1, aumentare la frequenza del fotone che fa da probe non migliora affatto la precisione della
misura di X. Come già osservato nell’introduzione, fisicamente questo fenomeno
si spiega osservando che un fotone di energia maggiore può risolvere distanze più
18
I. Motivazioni
piccole, però genera un campo gravitazionale più forte, che disturba maggiormente
il target e introduce un’altra fonte di incertezza.
Il risultato (2.27) è comunemente accettato nell’ambito delle teorie di gravità
quantistica; è supportato da argomentazioni di varia natura, anche al di fuori di
fenomeni di scattering [1, 2, 3]. Quindi in questo caso si può ragionevolmente supporre che il risultato ottenuto non dipenda in maniera essenziale dal procedimento
di misura impiegato. Benché non sempre all’analisi di δX vengano accompagnate
considerazioni su δT , anche (2.28) trova conferma nella letteratura [1, 2, 3].
2.3. Argomenti di Bohr e Rosenfeld
2.3
19
Argomenti di Bohr e Rosenfeld
Nella precedente sezione 2.2 ho studiato l’apparato concettuale del microscopio di
Heisenberg, adoperando un fotone come probe e un elettrone come target e tenendo conto della loro interazione gravitazionale, ed ho trovato una limitazione alla
localizzazione dell’evento di scattering del tipo [1, 2, 3]:
δX & LP
(2.29)
δT & LP
(2.30)
Come già osservato all’inizio della sezione 2.2, vi sono vari motivi per credere che un
differente procedimento di misura non permetterebbe di migliorare sostanzialmente
la stima di δX e δT . Tuttavia, nell’ambito del microscopio di Heisenberg varie scelte di probe e target potrebbero portare a risultati notevolmente diversi. Rispetto
a questo problema è interessante ripercorrere gli argomenti esposti in uno storico
articolo di Bohr e Rosenfeld [15, 16]. Studiando il problema della misurazione dell’intensità del campo elettromagnetico tramite una particella di prova nell’ambito
della meccanica quantistica, Bohr e Rosenfeld hanno concluso che a tale misura è
associata un’incertezza proporzionale a q/mi , dove q e mi sono rispettivamente la
carica elettrica e la massa (inerziale) della particella di prova. Questa incertezza sull’intensità del campo elettromagnetico non rientra nell’usuale apparato concettuale
della meccanica quantistica. Infatti, come già sottolineato, la meccanica quantistica
prevede limitazioni alla misurabilità di osservabili solo tramite le relazioni di indeterminazione, che impediscono di misurare con precisione assoluta coppie di osservabili
simultaneamente, ma non le stesse osservabili prese singolarmente. Dall’analisi di
Bohr e Rosenfeld risulta che il limite alla misurabilità del campo elettromagnetico
scompare soltanto se:
q
→0
(2.31)
mi
A rigore lo schema concettuale della meccanica quantistica, in cui le limitazioni sulla
misurabilità sono stabilite solo dalle relazioni di indeterminazione, ha piena validità
soltanto nel limite (2.31), che corrisponde al limite in cui l’apparato di misura (che
in questo caso coincide con la particella di prova) diventa classico. Questa osservazione sembra minare alla base la coerenza logica dell’elettrodinamica quantistica,
poiché non esistono in natura particelle che soddisfino (2.31), visto che una particella di prova che debba misurare l’intensità del campo elettromagnetico deve avere
necessariamente carica elettrica non nulla e quindi, secondo (2.31), dovrebbe avere
massa inerziale infinita. Tuttavia, come osservato da Bohr e Rosenfeld, questo problema non sminuisce in nessun modo la validità della meccanica quantistica come
teoria che descriva la natura. Infatti, poiché si tratta di una teoria che non predice
i propri costituenti fondamentali (si limita a descrivere correttamente il compor-
I. Motivazioni
20
tamento di quelli esistenti), l’elettrodinamica quantistica in linea di principio non
vieta l’esistenza di particelle che soddisfino il limite (2.31)1 .
Questo esempio chiarisce come per verificare la coerenza logica di una teoria che
non predica i propri costituenti sia importante considerare probes dalle caratteristiche più svariate e soprattutto non necessariamente esistenti in natura, mentre se una
teoria predice i propri costituenti è sufficiente controllarne la coerenza logica su quei
costituenti stessi. Attualmente fra le teorie che sembrano plausibili candidati per
una teoria della gravità quantistica ve ne sono alcune, come le teorie di stringa, che
predicono i propri costituenti fondamentali. Ma in generale non è chiaro se una buona teoria della gravità quantistica debba necessariamente predire i propri costituenti
o meno. In quest’ottica è necessario procedere lungo una linea più generale possibile, e studiare ad esempio quali informazioni provengono da costituenti elementari
predetti da alcune teorie ma ancora non osservati sperimentalmente. Esempi di
tali costituenti elementari, la cui esistenza viene predetta all’interno delle teorie di
stringa, sono le stringhe stesse e le D-particles. È interessante quindi studiare che
limitazioni alla misurabilità di eventi derivano dalle caratteristiche di questi nuovi
oggetti; i risultati potrebbero rivelarsi utili non solo per comprendere la struttura
delle teorie di stringa, ma anche per verificare la coerenza di teorie che non predicono i propri costituenti fondamentali. Nelle prossime sezioni, dopo aver passato
in rassegna alcuni argomenti che si basano su stringhe e D-particles per derivare
limitazioni alla misurabilità di eventi, svolgo l’analisi del microscopio di Heisenberg
in cui il probe e il target sono D-particles, trovando una limitazione alla localizzazione dell’evento di scattering in accordo con risultati precedenti ottenuti seguendo
un procedimento diverso.
1
È interessante notare come nel caso del campo gravitazionale il principio di equivalenza fissi ad
uno l’analogo della quantità q/mi , cioè mg /mi (dove mg e mi indicano rispettivamente la massa
gravitazionale e inerziale della particella di prova), che quindi non può mai tendere a zero [24, 12, 2].
Questo significa che il limite in cui lo strumento di misura diventa classico non è mai raggiungibile,
ed è una forte indicazione del fatto che costruendo una teoria della gravità quantistica non si possa
semplicemente cercare di fondere la meccanica quantistica e la relatività generale, procedendo sulla
falsariga di una delle due teorie, ma ci si debba aspettare l’apparire di strutture completamente
nuove [24, 12].
2.4. Lunghezza minima in stringhe
2.4
21
Lunghezza minima in stringhe
In questa sezione passo brevemente in rassegna alcuni argomenti presenti in letteratura a proposito del ruolo di una lunghezza minima nelle teorie di stringa. In
entrambi gli esempi che considero, la lunghezza minima di cui si tratta viene individuata nell’ambito delle dimensioni della regione di collisione di un processo di
scattering. Come già osservato nell’introduzione, non necessariamente una lunghezza minima determinata in questo modo si presta ad essere identificata con una
lunghezza fondamentale della natura.
Il primo esempio è lo scattering di stringhe chiuse, studiato in una serie di famosi
articoli [17, 18, 19, 20]. Nel limite di alta energia le dimensioni della regione di
collisione e l’impulso delle stringhe sono legati da questa relazione:
δx &
1
+ L2s δp
δp
(2.32)
dove Ls è la lunghezza di stringa. Ne segue:
min δx ∼ Ls
(2.33)
La conclusione è quindi che la minima dimensione lineare della regione di collisione
in uno scattering tra stringhe chiuse è dell’ordine della lunghezza di stringa Ls .
Uno degli elementi fondamentali che portano a questo risultato è una caratteristica
specifica delle stringhe: il fatto che per energie vicine a L−1
s le loro dimensioni lineari
crescono al crescere dell’impulso. Poiché le stringhe sono oggetti estesi, la scala delle
regioni di spazio che riescono a risolvere dipende non solo dalla loro energia, come
accadrebbe per una particella puntiforme, ma anche dalla loro estensione. È ora
immediato capire come mai ne risulti un minimo alla localizzazione di regioni di
spazio: per energie vicine a L−1
s , al crescere dell’impulso la migliore risoluzione sarà
compensata da un aumento delle dimensioni lineari della stringa.
Nella formulazione tradizionale delle teorie di stringa ci sono due tipi di componenti fondamentali: le stringhe chiuse e le stringhe aperte. Si è però recentemente
scoperto che gli estremi delle stringhe aperte sono fissati su dei difetti topologici
chiamati D-brane, dove la D sta per Dirichlet, per indicare che corrispondono a condizioni al bordo di Dirichlet per le stringhe aperte. Le D-brane hanno dimensioni
variabili da zero al numero di dimensioni dello spazio meno uno. Malgrado il loro
ruolo originario fosse soltanto quello di rappresentare le condizioni al bordo per le
stringhe aperte, si è trovato che le D-brane sono esse stesse oggetti dinamici. In
particolare, le D-brane di dimensione zero (D0 brane o D-particles) sono di tipo solitonico, quindi racchiudono informazioni sugli aspetti nonperturbativi della teoria,
e a grande distanza l’una dall’altra possono essere trattate come usuali particelle
[40, 41, 42].
In [21, 22] viene considerato uno scattering di D-particles nella teoria IIA in
dieci dimensioni, e studiata la dimensione minima della regione di collisione. Considerando gs ¿ 1, cioè il caso perturbativo, è possibile stabilire una gerarchia di
I. Motivazioni
22
scale:
(10)
LP
1
∼ gs4 Ls ¿ Ls
(2.34)
(10)
dove LP è la lunghezza di Planck in dieci dimensioni.
Al fine di studiare lo scattering di D-particles nel limite di piccola costante
di accoppiamento e bassa velocità relativa, è sufficiente adottare una descrizione
semplificata delle D-particles che ne includa soltanto alcune proprietà essenziali.
La massa delle D-particles è:
m=
1
gs Ls
(2.35)
La gravitazione si compensa con una corrispondente interazione dovuta alla supersimmetria, lasciando un’interazione residua del tipo:
µ 6 10 ¶
v4
v Ls
6
U ∼ −Ls
(2.36)
7 +O
(r (t))
(r (t))11
dove v è la velocità relativa delle due D-particles; ne segue che due D-particles
con velocità relativa nulla non interagiscono affatto. Questa approssimazione di U
omette contributi di ordine:
v 6 L10
s
(2.37)
(r (t))11
quindi è valida se:
v 2 L4s
.1
(r (t))4
cioè per distanze tali che:
r (t) &
√
vLs
(2.38)
(2.39)
Studiando lo scattering di due D-particles nell’ambito di queste approssimazioni si
trova [21, 22] che la dimensione minima della regione di collisione è data da:
1
δx∗ ∼ gs3 Ls
(2.40)
Nelle prossime sezioni studio il ruolo di questo risultato nella determinazione dei
limiti alla localizzazione di un evento spaziotemporale. A questo scopo nella sezione
2.6 analizzo una versione del microscopio di Heisenberg in cui il probe e il target
sono D-particles. In preparazione a questa analisi, nella prossima sezione studio il
microscopio di Heisenberg adoperando particelle massive neutre come probe e target.
2.5. Microscopio di Heisenberg con particelle massive neutre
2.5
23
Microscopio di Heisenberg con particelle massive neutre
In questa sezione applico lo schema concettuale del microscopio di Heisenberg al
caso in cui sia il probe che il target sono particelle massive neutre, con masse mp
e mt rispettivamente; per generalità scelgo mp 6= mt . Svolgo quest’analisi in preparazione a quella della prossima sezione 2.6, poiché le D-particles possono essere
schematizzate come particelle massive legate da un particolare potenziale. In questo caso l’unico potenziale in gioco è quello gravitazionale, quindi confrontando le
conclusioni ottenute in questa sezione con quelle della sezione 2.6 sarà possibile individuare qual è il ruolo del potenziale in questione nel determinare le limitazioni
alla misurabilità dell’evento di scattering.
Il ragionamento procede come nella sezione 2.2, con la differenza che in questo
caso la velocità del probe non è più fissa e pari a 1, e questo porterà a conseguenze
notevoli. La coordinata X dell’evento di scattering viene ricavata a partire dalla
posizione di arrivo del probe sulla lastra fotografica del microscopio, e la coordinata
T viene ottenuta tramite questa relazione:
T ' ti +
X
vp
(2.41)
dove vp è la velocità di partenza del probe. Le incertezze su X e T sono date da:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt
δT & δti +
δX X
+ 2 δvp
vp
vp
(2.42)
(2.43)
dove δXc , δx0 , dmin , δxp , δxt , δti sono stati definiti nella precedente sezione 2.2, a
pagina 14, e δvp è l’incertezza sulla velocità di partenza del probe.
Di nuovo punto ad ottenere δx∗ ∼ LP , quindi deve essere:
δx0 . δx∗ ∼ LP
dmin . δx∗ ∼ LP
(2.44)
Ne segue che le caratteristiche del probe sono:
δx0 . LP
vp < 1
δvp ∼
(2.45)
1
mp δx0
Si nota che l’incertezza sulla velocità del probe è molto grande: δvp ∼ (mp δx0 )−1 ∼
(mp LP )−1 = EP /mp , dove EP è l’energia di Planck. Poiché vp < 1 la richiesta di
consistenza vp & δvp può essere soddisfatta solo se mp & EP .
I. Motivazioni
24
L’incertezza classica δXc , dipendendo soltanto da caratteristiche strutturali del
microscopio, è ancora (v. (2.13)):
δXc = L
a+b
b
(2.46)
Per prima cosa determino δxp , cioè l’incertezza nella determinazione della posizione del probe all’istante di collisione. Ricordando il ragionamento svolto a questo
proposito nella sezione 2.2, se l’interazione gravitazionale con il target non disturba
troppo il moto del probe, cioè se:
pp & ∆pp (t)
(2.47)
dove ∆pp (t) è la variazione dell’impulso del probe dovuta all’interazione gravitazionale, si può stabilire che:
p0p ∼ pp
(2.48)
dove p0p è l’impulso del probe dopo lo scattering, e concludere (v. la sezione 2.2):
δxp &
1
pp La
(2.49)
Occorre quindi controllare se (2.47) rimane valida anche in questo caso. Prima di
tutto occorre stimare ∆pp (t). Indicando con Ep l’energia totale del probe e con U (t)
l’energia potenziale gravitazionale dovuta all’interazione con il target, si ha:
p2p
E p = mp +
+ U (t)
2mp
ne segue:
(2.50)
q
pp =
quindi:
2mp (Ep − U (t) − mp )
∂pp
mp
=−
∂U
pp
(2.51)
(2.52)
da cui si ricava ∆pp :
∆pp ' −
mp
mp Gmt mp
Gmt mp
∆U ∼
=
pp
pp dmin
vp dmin
(2.53)
in cui l’approssimazione ∆U ∼ Gmt mp /dmin descrive correttamente l’ordine di grandezza della variazione dell’energia potenziale gravitazionale in un piccolo intervallo
temporale precedente T .
Osservando che la distanza minima fra probe e target deve essere maggiore del
raggio di Schwarzschild del target, cioè:
dmin & Gmt = L2P mt
(2.54)
2.5. Microscopio di Heisenberg con particelle massive neutre
ottengo:
∆pp ≈
Gmt mp
mp
.
vp dmin
vp
25
(2.55)
Poiché vp < 1, non si trova (2.47) ma:
pp ∼ ∆pp (t)
(2.56)
Nell’ottica di valutare soltanto gli ordini di grandezza questo implica comunque:
p0p ∼ pp
(2.57)
In tal caso è possibile ripetere i passaggi svolti nella sezione 2.2, ottenendo:
δxp &
1
(2.58)
pp La
Rimane comunque da notare che nel caso in cui il probe non sia un fotone ma una
particella massiva neutra generica l’interazione gravitazionale con il target disturba
molto di più il suo moto. Le relazioni precedenti indicano che questo disturbo diventa
sempre più trascurabile al crescere di vp , com’è ragionevole aspettarsi.
Infine stimo δxt , che rappresenta l’incertezza nella determinazione della posizione
del target all’istante di collisione. Ragionando come nella sezione 2.2 si trova:
¯
∆pp (t) ¯¯
Gmp dmin L
Gpp L
dmin L
δxt ∼
'
= 3
(2.59)
¯
mt dmin vp a
vp dmin vp a
vp a
In totale, l’incertezza sulla coordinata X dell’evento di collisione è:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt & δXc + δx0 + dmin +
1
pp La
+
Gpp L
vp3 a
(2.60)
Poiché δXc , δx0 e dmin dipendono dalle condizioni sperimentali fissate, il minimo δX
va cercato minimizzando il contributo di δxp e δxt :
s
LP
1 Gpp L
= 3 > LP
min (δxp + δxt ) =
(2.61)
L
3
pp a vp a
v2
p
Siccome vp < 1 non è possibile ottenere che δX sia dell’ordine del δx∗ ∼ LP
prefissato.
−3
Mirando allora ad ottenere δx∗ ∼ LP vp 2 :
− 32
δx0 ∼ LP vp
− 32
dmin ∼ LP vp
(2.62)
I. Motivazioni
26
L’incertezza sulla velocità iniziale del probe diventa:
δvp ∼
1
EP 32
∼
vp
mp δx0
mp
(2.63)
in questo caso è possibile ottenere vp > δvp anche se mp < EP .
δXc , δxp e δxt rimangono inalterate, quindi si ha:
− 32
δX & LP vp
(2.64)
Per quanto riguarda δT :
δT & δti +
δX X
δX
−1
−1
+ 2 δvp ∼ δti +
+ Xvp 2 & Xvp 2
vp
vp
vp
(2.65)
Si vede che δT può essere enorme, poiché X è dell’ordine almeno del centimetro
e vp < 1. La precisione delle misure in X e in T aumenta al crescere di vp , ma
comunque δT resta piuttosto grande. Nel caso in cui il probe è un fotone, invece,
il limite inferiore su δX è meno forte poiché vp = 1, e δT è dell’ordine di δX
soprattutto grazie a δvp = 0.
Si nota quindi che non c’è alcun miglioramento rispetto al caso in cui il probe
è un fotone. Ne segue che in generale, nell’ambito di particelle puntiformi che
interagiscono elettromagneticamente o gravitazionalmente, il fotone è senza dubbio
il miglior candidato per il ruolo di probe. Tuttavia questo non garantisce che il
fotone sia la scelta migliore anche quando l’interazione fra probe e target sia di tipo
diverso.
I risultati (2.64) e (2.65) trovano poco riscontro nella letteratura, poiché raramente vengono impiegate particelle massive neutre per esaminare le limitazioni alla
localizzazione di eventi, a causa dell’assunzione (tacita, ma confermata da (2.64))
che il fotone sia una scelta migliore. Un’importante eccezione è costituita dagli
studi sull’esperimento (gedanken) di Salecker-Wigner [24, 43]. La limitazione alla
localizzazione di eventi ottenuta in [24] utilizzando particelle massive neutre nello
schema di Salecker-Wigner concorda qualitativamente con (2.64) e (2.65). Infatti,
sebbene l’espressione esplicita di δX e δT sia leggermente diversa, viene confermata
la conclusione che particelle neutre che interagiscano solo gravitazionalmente non
sono probes migliori del fotone.
2.6. Microscopio di Heisenberg con D-particles
2.6
27
Microscopio di Heisenberg con D-particles
In questa sezione applico l’analisi del microscopio di Heisenberg al caso in cui il probe
e il target sono D-particles, per stabilire se nell’ambito di quest’apparato concettuale
è possibile confermare le conclusioni ottenute in [21, 22, 23], illustrate nella sezione
2.4.
Considero il regime perturbativo:
gs ¿ 1
in cui vale:
(10)
LP
(2.66)
1
∼ gs4 Ls ¿ Ls
(2.67)
Come già osservato nella sezione 2.4, è possibile adottare una schematizzazione
semplificata delle D-particles, in cui la loro massa è data da:
m=
1
gs Ls
(2.68)
quindi in questo caso mp = mt = m. Inoltre, finché la distanza r (t) fra le due
D-particles è maggiore di un dmin cosı̀ definito:
√
r (t) > dmin ' vp Ls
(2.69)
è possibile schematizzare il potenziale fra due D-particles che si muovono con velocità
relativa vp nel modo seguente:
U ∼ −L6s
vp4
(r (t))7
(2.70)
Come nelle sezioni precedenti, la coordinata X dell’evento di scattering viene ricostruita a partire dalla posizione di arrivo del probe sulla lastra fotografica del
microscopio, e la coordinata T viene ricavata da:
T ' ti +
X
vp
(2.71)
Per quanto riguarda le incertezze sulla misura di X e T si ha:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt
δT & δti +
δX X
+ 2 δvp
vp
vp
(2.72)
(2.73)
dove i vari simboli sono stati definiti a pagina 14 e 23.
La conclusione di [21, 22, 23] è che le D-particles permettono di ottenere una
1
(10)
localizzazione spaziale dell’ordine di gs3 Ls ¿ LP . Per verificare questo risultato
miro ad ottenere:
1
(2.74)
δx∗ ∼ gs3 Ls
I. Motivazioni
28
Deve comunque essere:
δx∗ & dmin '
√
vp Ls
(2.75)
perché la descrizione del potenziale fra D-particles qui adottata richiede [21, 22] la
condizione (2.69).
Il probe ha le caratteristiche:
1
δx0 ' δx∗ ∼ gs3 Ls
δvp '
2
1
∼ gs3
mδx0
(2.76)
Dalla richiesta vp & δvp e dalla condizione (2.75) segue una condizione per vp :
2
vp ∼ gs3
(2.77)
Avendo cosı̀ determinato δx0 , dmin e ricordando che vale sempre:
δXc = L
a+b
b
(2.78)
si può passare ad stimare δxp e δxt , che rappresentano rispettivamente le incertezze
sulla posizione del probe e del target all’istante di collisione.
Per poter determinare δxp la prima cosa da verificare è se in questo caso vale la
condizione:
pp & ∆pp (t)
(2.79)
Per determinare ∆pp procedo come nella precedente sezione 2.5. Indicando con U
l’energia potenziale gravitazionale e con Ep l’energia totale del probe, si ha:
Ep = m +
p2p
+U
2m
(2.80)
e ∆pp può essere valutato cosı̀:
∆pp = −
vp3
m
∆U ≈ L6s 7
pp
dmin
(2.81)
Utilizzando le condizioni (2.69) e (2.77) su dmin e vp si può notare che:
vp3
6
Ls 7
dmin
1
∼
1
3
(2.82)
gs Ls
d’altronde:
1
(2.83)
gs Ls
Quindi, come già succedeva nel caso delle particelle massive neutre, non si trova
(2.79) ma pp ∼ ∆pp , poiché l’interazione gravitazionale con il target modifica la
pp = mvp ∼
1
3
2.6. Microscopio di Heisenberg con D-particles
29
traiettoria del probe in modo rilevante. In ogni caso, con un ragionamento analogo
a quello esposto nella sezione 2.5, si può concludere anche stavolta:
δxp &
1
(2.84)
pp La
Per determinare δxt procedo come nei casi precedenti, poiché il ragionamento non
si basa in modo essenziale sul tipo specifico di probe e target considerati. Ottengo
cosı̀:
¯
L6s vp2 L
dmin L
∆pp (t) ¯¯
L6s vp4 dmin L
1 L
δxt ∼
'
=
'
(2.85)
7
6
¯
m dmin vp a
pp dmin vp a
mdmin a
mvp a
In conclusione, la precisione sulla misura della coordinata X è:
δX & δXc + δx0 + dmin + δxp + δxt & δXc + δx0 + dmin +
1
1 L
+
(2.86)
L
mvp a
mvp a
Per valutare il limite inferiore di δX stimo il minimo contributo delle due ultime
fonti di incertezza, le sole che non dipendano dalla struttura del microscopio né da
caratteristiche cinematiche delle particelle considerate:
s
1
1
1 L
1
min (δxp + δxt ) =
=
∼ gs3 Ls
(2.87)
L
mvp
mvp a mvp a
quindi:
1
δX & gs3 Ls
(2.88)
1
3
È possibile soddisfare la richiesta iniziale δx∗ ∼ gs Ls . Tuttavia osservando che
forma hanno δxp e δxt è facile capire che non sarebbe possibile raggiungere un δx∗
più basso.
Per quanto riguarda l’incertezza sulla misura della coordinata T, ricordando:
δT & δti +
δX Xδvp
+ 2
vp
vp
(2.89)
e osservando:
δti ∼
1
1
−1
∼
∼ gs 3 Ls
δEp
mvp δvp
δX
−1
∼ gs 3 Ls
vp
si può stabilire sicuramente:
−1
δT & gs 3 Ls
(2.90)
(2.91)
I. Motivazioni
30
Il risultato (2.88) coincide esattamente con quello stabilito in [21, 22, 23] e anche
con quello ottenuto nell’ambito dell’esperimento di Salecker-Wigner [24]. Sembra
quindi un risultato su cui si possa fare affidamento. Viene cosı̀ confermata l’ipotesi
che tramite D-particles sia possibile ottenere una localizzazione spaziale su scale
minori della lunghezza di Planck in dieci dimensioni, poiché:
1
1
(10)
min δX ∼ gs3 Ls ¿ gs4 Ls ∼ LP
(2.92)
dato che gs ¿ 1. Tuttavia (2.92) è in forte contrasto con l’opinione diffusa nella
letteratura di gravità quantistica, in cui si assume:
min δX ∼ LP
(2.93)
e generalmente non si controlla la forma di δT . Ma negli esempi delle sezioni 2.2,
2.5 e 2.6 l’analisi è stata svolta considerando la localizzazione di un evento nello
spaziotempo. Per semplicità ho tenuto conto di una sola coordinata spaziale, ma
questo non toglie nulla alla sostanza dell’argomento, che suggerisce di non trattare
separatamente la misurabilità di intervalli spaziali e temporali. A questo punto
appare arbitrario definire la localizzazione soltanto sulla base della misurabilità della
coordinata spaziale, come in (2.93). Introducendo invece una condizione del tipo:
δXδT & L̄2
(2.94)
l’apparente contraddizione fra (2.93) e (2.88) scompare. Infatti una condizione di
questo genere viene soddisfatta in tutti i casi da me considerati; nel caso del fotone
L̄ = LP , per particelle massive neutre si trova invece L̄ À LP , L̄ potrebbe addirittura
essere macroscopico. Da scattering di stringhe chiuse, come brevemente menzionato
(10)
nella sezione 2.4, risulta L̄ = Ls À LP .
Nel caso delle D-particles vale sicuramente min L̄ = Ls À LP , come risulta
da (2.88) e (2.91). Tuttavia prima di stabilire qualcosa di più preciso è necessario
prendere in considerazione il terzo contributo a δT in (2.89):
Xδvp
−2
∼ gs 3 X
2
vp
(2.95)
X & δX
(2.96)
Xδvp
δX
− 32
− 13
∼
g
X
&
g
Ls ∼ δti ∼
s
s
2
vp
vp
(2.97)
Dalla richiesta di consistenza:
deriva:
Quindi questo contributo è sempre dominante rispetto agli altri, e fa sı̀ che δT
diventi enorme. Si nota quindi come la notevole precisione nella localizzazione della coordinata spaziale di un evento di scattering consentita dalle D-particles sia
controbilanciata da una precisione scarsissima nella localizzazione della coordinata
2.6. Microscopio di Heisenberg con D-particles
31
temporale. Quindi le D-particles rappresentano un utile strumento qualora interessasse determinare X isolatamente, e con la maggior precisione possibile. Ma non si
può dire altrettanto dal punto di vista qui adottato della localizzazione di un evento
(un punto nello spaziotempo). Infatti tenendo conto di tutti i contributi a δT si
nota come il limite (2.94) con L̄ = Ls non venga affatto saturato, al contrario di
quanto accade con le stringhe chiuse (v. la sezione 2.4).
È interessante osservare che i risultati ottenuti nella sezione 2.5 per le particelle
massive neutre sono in parte simili a questi. Infatti anche in quel caso la localizzazione della coordinata temporale dell’evento portava un’incertezza dell’ordine della
coordinata spaziale (v. la sezione 2.5). Questa è una conseguenza del fatto che la
massa del probe è non nulla, infatti veniva evitata solo nel caso del fotone (v. la
sezione 2.2). I risultati ottenuti in questa sezione presentano però anche una notevole differenza rispetto al caso della sezione 2.5: mentre in quel caso nemmeno la
localizzazione spaziale era troppo buona, il limite inferiore a δX ricavato in questa
sezione è eccezionalmente basso. Confrontando gli elementi che entrano in gioco nel
determinare δX in questa sezione e nella sezione 2.5 non si può che concludere che
la maggiore localizzazione in X ottenuta in questo caso sia dovuta al particolare
potenziale che lega le D-particles.
32
I. Motivazioni
Capitolo 3
Noncommutatività non
fondamentale
3.1
Oscillatore in un campo magnetico
Le analisi svolte nelle sezioni precedenti, nell’ambito dello schema concettuale del
microscopio di Heisenberg, portano a limitazioni sulla misurabilità di un evento
spaziotemporale che, combinate come in (2.94), sembrano suggerire una relazione
di indeterminazione per le coordinate spaziali e temporali e portare ad una qualche
forma di noncommutatività fondamentale nella struttura dello spaziotempo. Tuttavia in alcuni casi la noncommutatività ha anche un ruolo in descrizioni effettive
di alcune proprietà del sistema fisico. Questo si verifica ad esempio nel caso di una
particella a massa nulla confinata su un piano immerso in un campo magnetico costante. Come ora illustrerò, è possibile adottare una descrizione equivalente in cui
le coordinare del piano non commutano e in assenza di campo magnetico [25].
Adoperando la forma del potenziale vettore:
Ai = xj ²ji
B
2
(3.1)
e trascurando il termine cinetico, nel caso di un potenziale scalare armonico la
lagrangiana del sistema può essere scritta come:
L=
k
B i ij dxj
x²
− x2
2
dt
2
(3.2)
B
pi = − ²ij xj
2
(3.3)
Ricavando i momenti canonici:
si nota che sono vincolati alle coordinate trasverse, non sono quindi dinamici. (3.3)
equivale a due vincoli di seconda classe, perciò non è possibile adoperare le parentesi
33
I. Motivazioni
34
di Poisson:
{xi , pj } =δ ij
{xi , xj } =0
(3.4)
{pi , pj } =0
ma per consistenza occorre fare ricorso alle parentesi di Dirac:
¯
¯
B
²mk m B mn n j
²ij
{¯xi , xj ¯} ={xi , xj } − {xi , pk + ²kl xl }
{p + ² x , x } = −
2
B
2
B
¯
¯
δ ij
{¯xi , pj ¯} =
2
¯
¯
B
{¯pi , pj ¯} = − ²ij
4
(3.5)
dove si è sfruttato il fatto che B è costante.
lagrangiana (3.2) è:
k
H = x2
2
e le corrispondenti equazioni del moto sono:
L’hamiltoniana che deriva dalla
¯
¯
dxi
k
= {¯xi , H¯} = − ²ij xj
dt
B
(3.6)
(3.7)
Si nota quindi come le due direzioni x e y non commutano, poiché:
{|x, y|} = −
1
B
(3.8)
anzi si trova che le direzioni perpendicolari formano una coppia di operatori coniugati.
In questo caso la noncommutatività fra le coordinate non ha un ruolo fondamentale: rappresenta soltanto una possibile descrizione del campo magnetico esterno.
Nella prossima sezione 3.2 illustro questo stesso meccanismo in un contesto in cui
permette di ottenere molte informazioni sulla natura del sistema fisico descritto.
3.2. Stringhe in campo esterno
3.2
35
Stringhe in campo esterno
Le teorie di stringhe immerse in un campo esterno sono strettamente collegate alle
teorie di campo su uno spaziotempo noncommutativo con struttura canonica, in cui
il commutatore delle coordinate operatoriali x̂ è:
[x̂µ , x̂ν ] = iθµν
(3.9)
dove θµν è una matrice reale, antisimmetrica e costante nelle coordinate. Questo
legame può essere visto come un esempio del fenomeno descritto in un caso semplice
nella precedente sezione 3.1: la presenza di un campo esterno apparentemente riduce
la simmetria del problema e può essere schematizzata tramite una noncommutatività
delle coordinate (di origine non fondamentale). In questo caso però l’utilità di una
simile schematizzazione va al di là di una semplice riformulazione del problema,
permettendo di ricavare informazioni non banali sulla struttura delle due classi di
teorie messe in corrispondenza.
Si trova che teorie di stringa immerse in un campo magnetico esterno per energie
inferiori a L−1
s possono essere descritte come teorie di campo noncommutative delle
stringhe aperte prive di massa, poiché sia le stringhe aperte massive che le stringhe
chiuse si disaccoppiano. Queste teorie di campo sono noncommutative soltanto
rispetto alle coordinate spaziali, cioè hanno θ0i = 0. Come spiegherò nella seconda
parte della tesi, questa condizione ha l’immediata conseguenza che la teoria sia
nonlocale nello spazio ma locale nel tempo. Questa osservazione fa supporre che si
possa costruire una hamiltoniana che dà origine ad un’evoluzione temporale unitaria;
in effetti si trova che è proprio cosı̀, ed è possibile convincersene pensando anche che
la teoria noncommutativa è stata ottenuta troncando in modo consistente la teoria
di stringhe completa, unitaria.
Per analogia si potrebbe pensare che le teorie di stringa immerse in un campo
elettrico esterno per energie inferiori a L−1
possano essere descritte da teorie di
s
campo noncommutative con noncommutatività anche temporale, cioè con θ0i 6= 0.
Tuttavia si trova che questa semplice estensione del meccanismo descritto poco sopra
non è valida. Infatti le teorie con noncommutatività spaziotemporale hanno un infinito numero di derivate temporali dei campi nella lagrangiana e sono nonlocali nel
tempo, perciò non sono unitarie e nemmeno causali. Al contrario le teorie di stringa
immerse in un campo elettrico esterno sono ben definite, quindi evidentemente non
è possibile troncare in modo consistente la teoria di stringa (unitaria) per ottenere
una teoria che può essere descritta come una teoria di campo noncommutativa (nonunitaria). Questa difficoltà si riflette nel fatto che a differenza del caso del campo
magnetico esterno non è possibile trovare un limite in cui oltre alle stringhe chiuse
si disaccoppino anche le stringhe aperte massive, ed inoltre c’è un valore critico del
campo elettrico oltre il quale la teoria non ha più senso. È proprio la presenza di
questo valore critico ad impedire di trovare un limite in cui la teoria di stringhe
diventa una teoria di campo su spaziotempo noncommutativo [27, 29, 28, 31, 30].
36
I. Motivazioni
Esiste tuttavia un caso particolare in cui è possibile considerare una noncommutatività che coinvolga anche la coordinata temporale senza perdere unitarietà. Si
tratta delle teorie con noncommutatività “di tipo luce”, in cui θ0i = −θ1i . Si ritrova
allora il fatto che la teoria di campo noncommutativa descrive la teoria di stringa in
campo esterno per energie inferiori a L−1
s [44, 45].
Nella seconda parte della tesi prenderò in considerazione il tipo di spaziotempo
noncommutativo considerato in questa sezione, cioè quello a struttura canonica, in
cui il commutatore delle coordinate è dato da (3.9). Esaminerò le caratteristiche delle
teorie di gauge su un tale spaziotempo noncommutativo, osservando le differenze
rispetto al caso commutativo, ed esplorando le conseguenze sulla propagazione di
particelle.
Parte II
Teorie di gauge su spaziotempo
noncommutativo con struttura
canonica
37
Capitolo 4
Aspetti generali delle teorie
È come un bufalo d’acqua che passi attraverso una finestra.
La sua testa, le corna, le quattro zampe passano tutte.
Perché non riesce a passare anche la coda?
Koan Zen
In questa seconda parte della tesi esploro alcune caratteristiche delle teorie di
gauge su spaziotempo noncommutativo con struttura canonica. In questo tipo di
spaziotempo noncommutativo la regola di commutazione degli operatori x̂ è:
[x̂µ , x̂ν ] = iθµν
(4.1)
dove θµν è una matrice reale, antisimmetrica e con dimensioni [L]2 . Come anticipato
nell’introduzione, poiché θµν è costante nelle coordinate è possibile introdurre uno
star prodotto e riformulare la teoria in termini di un’algebra di funzioni commutativa
con il prodotto dato dallo star prodotto, che adesso passo a costruire.
4.1
Star prodotto e sue proprietà
Anche in meccanica quantistica l’algebra delle funzioni degli operatori q̂ e p̂, coordinate noncommutanti dello spazio delle fasi, può essere sostituita da un’algebra
commutativa dotata di uno specifico star prodotto. Lo spaziotempo noncommutativo ha una stretta analogia con lo spazio delle fasi noncommutativo della meccanica
quantistica; quindi per ottenere la forma esplicita dello star prodotto relativo allo
spaziotempo noncommutativo definito da (4.1) è sufficiente ricalcare il procedimento
seguito in meccanica quantistica [10, 7].
In meccanica quantistica una mappa W tra funzioni classiche nelle variabili q, p
dello spazio delle fasi e funzioni degli operatori q̂, p̂ è specificata dalla quantizzazione
39
II. Teorie di gauge
40
di Weyl:
1
W : A (q, p) 7→ W (A (q, p)) =
(2π)4
Z
d4 αd4 β exp i (αq̂ + β p̂) Ã (α, β)
(4.2)
dove Ã (α, β) è la trasformata di Fourier di A (q, p). Questa prescrizione rappresenta
il modo più simmetrico di sostituire gli operatori q̂, p̂ alle variabili q, p. Considerando
il prodotto W (A) W (B):
1
W (A) W (B) =
(2π)8
Z
d4 α1 d4 α2 d4 β1 d4 β2 Ã (α1 , β1 ) B̃ (α2 , β2 ) ·
(4.3)
· exp i (α1 q̂ + β1 p̂) exp i (α2 q̂ + β2 p̂)
Il prodotto dei due esponenziali di q̂ e p̂ può essere scritto in forma più semplice
grazie all’identità:
1
eA eB = eA+B e 2 [A,B]
(4.4)
(4.4) non è che la formula di Baker-Campbell-Hausdorff in cui si sia posto [A, [A, B]] =
0 = [B, [A, B]], condizione ovviamente valida in questo caso in cui [q̂, p̂] = i. Il
prodotto dei due esponenziali di q̂, p̂ è proporzionale ad un esponenziale di una
combinazione lineare di q̂, p̂:
exp i (α1 q̂ + β1 p̂) exp i (α2 q̂ + β2 p̂) =
µ
¶
i
= exp i ((α1 + α2 ) q̂ + (β1 + β2 ) p̂) exp − (α1 β2 − α2 β1 )
2
(4.5)
Si può riscrivere W (A) W (B) in questo modo:
1
W (A) W (B) =
(2π)8
Z
d4 α1 d4 α2 d4 β1 d4 β2 Ã (α1 , β1 ) B̃ (α2 , β2 ) ·
¶
i
· exp i ((α1 + α2 ) q̂ + (β1 + β2 ) p̂) exp − (α1 β2 − α2 β1 ) =
2
(4.6)
Z
1
=
d4 αd4 α2 d4 βd4 β2 Ã (α − α2 , β − β2 ) B̃ (α2 , β2 ) ·
(2π)8
µ
¶
i
· exp i (αq̂ + β p̂) exp − (αβ2 − α2 β)
2
µ
In totale si trova che l’immagine W −1 del prodotto di due operatori W (A) W (B) è
una funzione classica:
W −1 (W (A) W (B)) = A ∗ B
(4.7)
4.1. Star prodotto e sue proprietà
tale che:
41
Z
1
^
d4 α2 d4 β2 Ã (α − α2 , β − β2 ) B̃ (α2 , β2 ) ·
(A ∗ B) (α, β) =
4
(2π)
µ
¶
i
· exp − (αβ2 − α2 β)
2
(4.8)
A ∗ B è detto prodotto di Moyal, e nel caso della meccanica quantistica è dato da:
µ
¶
i
A ∗ B = A (q, p) exp
4 B (q, p)
(4.9)
2
dove 4 è l’operatore bidifferenziale che definisce le parentesi di Poisson:
Ã←
−→
−
←
−−
→!
∂ ∂
∂ ∂
A4B = {A, B}P = A (q, p)
−
B (q, p)
∂q ∂p ∂p ∂q
(4.10)
Il prodotto di Moyal è associativo e noncommutativo (a meno che W (A) e W (B)
commutino).
In questo modo è possibile studiare la meccanica quantistica considerando uno
spazio delle fasi classico le cui variabili commutano ma in cui il prodotto ordinario
delle funzioni è sostituito dal prodotto di Moyal. Questo schema è chiamato formalismo di Moyal o anche deformation quantization, poiché permette di ottenere
le informazioni essenziali sul sistema quantistico tramite una formale deformazione
dell’algebra commutativa delle variabili classiche.
È possibile procedere esattamente allo stesso modo in geometria noncommutativa:
Z
1
µ
W : f (x) 7→ W (f ) (x̂) =
d4 keikµ x̂ f˜ (k)
(4.11)
4
(2π)
dove f˜ (k) è la trasformata di Fourier di f (x). In tutto quello che segue non
si considerano più operatori nello spazio delle fasi, dunque kµ è un semplice parametro di Fourier, non un operatore. Le x̂ nell’esponenziale sono le coordinate
noncommutative. Ora:
Z
1
µ
ν
d4 kd4 leikµ x̂ eilν x̂ f˜ (k) g̃ (l)
(4.12)
W (f ) W (g) =
8
(2π)
Anche in questo caso è lecito applicare (4.4), poiché [xµ , xν ] = iθµν è costante nelle
coordinate. Si ottiene cosı̀:
µ
ν
eikµ x̂ eilν x̂ = ei(kµ +lµ )x̂
µ − i k l θ µν
2 µ ν
Ne segue la forma della funzione f ∗ g tale che W (f ) W (g) = W (f ∗ g):
¯
¶
µ
¯
i µν y z
θ ∂µ ∂ν f (y) g (z)¯¯
f (x) ∗ g (x) = exp
2
y=z=x
(4.13)
(4.14)
II. Teorie di gauge
42
(4.14) è lo star prodotto di Moyal - Weyl; è associativo e noncommutativo, e per
θµν = 0 si riduce all’usuale prodotto puntuale di funzioni. In questo modo l’algebra
di funzioni su Rd noncommutativo può essere vista come un’algebra di funzioni
ordinarie su Rd usuale con il prodotto puntuale deformato da questo star prodotto.
I commutatori vengono sostituiti da commutatori di Moyal:
[f, g]∗ = f ∗ g − g ∗ f
(4.15)
Si può verificare che (4.14) fornisce la giusta regola di commutazione per le
coordinate; calcolando il commutatore di Moyal di xµ e xν si trova:
[xµ , xν ]∗ = xµ ∗ xν − xν ∗ xµ = [xµ , xν ] + iθµν = iθµν
(4.16)
dove xµ e xν ora sono le usuali coordinate, non operatori, perciò il loro commutatore
[xµ , xν ] = xµ xν − xν xµ è nullo.
A partire dalla definizione (4.14) è facile dimostrare alcune proprietà dello star
prodotto, che riporto qui perché saranno utili in seguito.
1. Coniugazione complessa di uno star prodotto:
(f (x) ∗ g (x)) = g (x) ∗ f (x)
(4.17)
2. Il commutatore di Moyal fra le coordinate ed una funzione equivale ad una
derivata della funzione:
[xµ , f (x)]∗ = iθµν ∂ν f (x)
(4.18)
questo è un esempio di come con l’introduzione dello star prodotto vengano
descritte correttamente le caratteristiche della teoria originaria su spaziotempo
noncommutativo; infatti in termini di coordinate noncommutanti vale:
[x̂µ , f (x̂)] = iθµν ∂ν f (x̂)
(4.19)
dove ∂ν si comporta come un’usuale derivata rispetto alle x̂. (4.19) si verifica facilmente nei casi in cui f (x̂) può essere espressa come somma, magari
infinita, di monomi del tipo x̂m .
3. Star prodotto di esponenziali:
i
eikx ∗ eilx = ei(k+l)x e− 2 k×l
(4.20)
dove si è introdotta la notazione:
k×l = θµν kµ lν
(4.21)
(in particolare k×k = 0 per l’antisimmetria di θµν ). In generale:
e
ik1 x
ikn x
∗ ··· ∗ e
ix
=e
n
P
i=1
i
ki − 2
e
P
1≤i<j≤n
ki ×kj
(4.22)
4.1. Star prodotto e sue proprietà
43
4. Operatore di traslazione. Esprimendo una funzione tramite la sua trasformata
di Fourier e adoperando (4.22) si può verificare che in geometria noncommutativa eikx è un operatore di traslazione:
eikx ∗ f (xµ ) ∗ e−ikx = f (xµ + θµν kν )
(4.23)
questo si ritrova anche nella forma infinitesima con (4.18):
(1 + ikµ xµ ) ∗ f (x) ∗ (1 − ikµ xµ ) ' f (x) + kν θρν ∂ρ f (x)
(4.24)
Relazioni analoghe valgono in termini di coordinate noncommutanti. È da
notare la differenza con la meccanica quantistica ordinaria, dove eipx è un
operatore di traslazione a causa dell’azione dell’operatore p̂ dello spazio delle
fasi; in questo caso k è un semplice parametro, la traslazione viene dall’azione
dell’operatore x̂, o dalla noncommutatività dello star prodotto, a seconda del
punto di vista adottato.
Rappresentando le funzioni tramite le loro trasformate di Fourier e utilizzando
ripetutamente (4.22) è possibile verificare alcune proprietà dello star prodotto di
funzioni sotto integrale:
5. Integrale dello star prodotto di due funzioni:
Z
Z
4
f (x) ∗ g (x) d x = f (x) g (x) d4 x
(4.25)
6. Ciclicità sotto integrale:
Z
Z
4
f1 (x) ∗ · · · ∗ fn (x) d x = fn (x) ∗ f1 (x) ∗ · · · ∗ fn−1 (x) d4 x
(4.26)
7. Integrale dello star prodotto di più funzioni:
Z
f1 (x) ∗ · · · ∗ fn (x) d4 x =
Z
n
P
i
P
ki ×kj
−ix
ki − 2
d4 k1 · · · d4 kn d4 x ˜
1≤i<j≤n
˜
i=1
f
(k
)
·
·
·
f
(k
)
e
=
=
e
1
n
(2π)4n
Ã n !
(4.27)
P
Z 4
X
ki ×kj
− 2i
d k1 · · · d4 kn ˜
(4)
1≤i<j≤n
˜
=
=
f (k1 ) · · · f (kn ) δ
ki e
(2π)4(n−1)
i=1
Ã n−1 !
P
Z 4
X
− 2i
ki ×kj
d k1 · · · d4 kn−1 ˜
1≤i<j≤n−1
˜
˜
=
f
(k
)
·
·
·
f
(k
)
f
−
k
e
1
n−1
i
(2π)4(n−1)
i=1
II. Teorie di gauge
44
4.2
Invarianza di gauge
In questa sezione discuto la costruzione di teorie invarianti di gauge su uno spaziotempo noncommutativo con struttura canonica, nel caso più semplice in cui il gruppo
di gauge è U (1) [10, 46]. Il mio obiettivo non è tanto quello di raggiungere un livello
di perfetto rigore matematico, quanto di dare un’idea dello strano comportamento
delle teorie di gauge su spaziotempo noncommutativo e delle notevoli differenze che
si hanno rispetto al caso commutativo. La formulazione di una teoria di gauge su
uno spaziotempo noncommutativo incontra immediatamente un ostacolo che non
si presenta nel caso commutativo: in geometria noncommutativa la moltiplicazione
di un campo covariante per una coordinata non è un’operazione covariante, poiché
le coordinate (operatoriali) x̂ non commutano con la trasformazione di gauge. In
termini di star prodotto, il problema deriva dalla noncommutatività di quest’ultimo.
Una possibile soluzione è rendere le coordinate x̂ covarianti aggiungendovi un potenziale di gauge, esattamente come l’aggiunta del potenziale di gauge rende covariante
la derivata parziale nel caso commutativo. In effetti si ritrova qui un’altra traccia
dell’analogia fra spaziotempo noncommutativo e spazio delle fasi noncommutativo
della meccanica quantistica: l’idea di coordinata covariante è l’analogo del momento
covariante che si definisce usualmente.
Si considera un campo generico ψ̂ (x̂) e le sue trasformazioni di gauge, parametrizzate dai campi α̂ (x̂). Sia ψ̂ (x̂) che α̂ (x̂) appartengono all’algebra noncommutativa Ax delle funzioni definite sullo spaziotempo noncommutativo considerato;
ovviamente vi appartiene anche δα̂ ψ̂, forma infinitesima della trasformazione di gauge di ψ̂. Si richiede che sia valida la condizione (molto naturale) che l’algebra del
gruppo di gauge si chiuda sui campi, cioè che i campi si trasformino secondo una
rappresentazione lineare del gruppo di gauge:
³
´
δα̂ δβ̂ − δβ̂ δα̂ ψ̂ = iδ[α̂,β̂ ] ψ̂
(4.28)
da (4.28) segue che δα̂ ψ̂ può assumere solo una di queste tre forme:
δα̂ ψ̂ = iα̂ψ̂
(4.29)
δα̂ ψ̂ = −iψ̂ α̂
h
i
δα̂ ψ̂ = i α̂, ψ̂
(4.30)
(4.31)
in forma finita le tre trasformazioni sono:
ψ̂ 0 = U ψ̂,
U = exp iα̂
(4.32)
ψ̂ 0 = ψ̂ Ū ,
Ū = exp (−iα̂)
(4.33)
ψ̂ 0 = U ψ̂ Ū
(4.34)
4.2. Invarianza di gauge
45
Come sarà più chiaro passando al formalismo dello star prodotto, (4.30) è la complessa coniugata di (4.29) e (4.33) la complessa coniugata di (4.32). Quindi identificando
(4.32) con la rappresentazione fondamentale si vede che (4.33) corrisponde alla rappresentazione coniugata, e (4.34) alla rappresentazione aggiunta poiché deriva dal
prodotto diretto delle prime due. Sono tutte rappresentazioni non banali malgrado
il gruppo di gauge sia U (1); in particolare (4.34) descrive come si trasformano i
campi neutri (cioè quelli che sono neutri nel limite θµν → 0), poiché se θµν = 0 il
secondo membro di (4.31) si annulla e la corrispondente rappresentazione ridiventa
banale.
Una richiesta essenziale è che le coordinate siano invarianti per trasformazioni di
gauge. Allora la moltiplicazione di una coordinata per un campo non è un’operazione
covariante: infatti per coordinate operatoriali che soddisfano (4.1) vale [x̂, α̂ (x̂)] 6= 0,
e quindi
´
³
(4.35)
δα̂ x̂µ ψ̂ (x̂) = ix̂µ α̂ψ̂ (x̂) 6= iα̂x̂µ ψ̂ (x̂)
³
´
δα̂ ψ̂ (x̂) x̂µ = −iψ̂ (x̂) α̂x̂µ 6= −iψ̂ (x̂) x̂µ α̂
(4.36)
considerando la moltiplicazione a destra o a sinistra, che corrisponde rispettivamente a (4.32) e (4.33), cioè a (4.29) e (4.30); poi (4.31) si ottiene come combinazione
lineare delle prime due. Come già anticipato, è possibile risolvere questo problema
introducendo delle coordinate covarianti, utili per capire il meccanismo dell’invarianza di gauge ma cui spesso nei calcoli pratici vengono preferite le coordinate ordinarie.
Con l’introduzione delle coordinate covarianti X̂ µ (4.35) e (4.36) diventano:
´
³
µ
(4.37)
δα̂ X̂ ψ̂ (x̂) = iα̂X̂ µ ψ̂ (x̂)
³
δα̂ ψ̂ (x̂) X̂
in entrambi i casi si ottiene:
µ
´
= −iψ̂ (x̂) X̂ µ α̂
³ ´
h
i
δα̂ X̂ µ = i α̂, X̂ µ
(4.38)
(4.39)
Quindi le coordinate covarianti si trasformano secondo la rappresentazione aggiunta.
Introducendo un campo Âµ (x̂) ∈ Ax si possono scrivere le derivate covarianti delle
tre rappresentazioni:
Dµ ψ̂ = ∂ µ ψ̂ − iÂµ ψ̂
(4.40)
Dµ ψ̂ = ∂ µ ψ̂ + iψ̂ Âµ
h
i
Dµ ψ̂ = ∂ µ ψ̂ − i Âµ , ψ̂
(4.41)
(4.42)
Âµ non è altro che il potenziale di gauge. Richiedendo che volta per volta Dµ ψ̂ si
trasformi come ψ̂ e usando (4.29), (4.30), (4.31), e (4.19) si trova:
h
i
(4.43)
δα̂ Âµ = ∂ µ α̂ − i Âµ , α̂
II. Teorie di gauge
46
Usando (4.39), (4.43), (4.19) e ricordando che è stato imposto δα̂ x̂ = 0 è facile
verificare che X̂ µ e Âµ sono legati dalla relazione:
X̂ µ = x̂µ + θµν Âν (x̂)
A questo punto si può introdurre un tensore F̂ µν :
h
i
F̂ µν = ∂ µ Âν − ∂ ν Âµ − i Âµ , Âν
(4.44)
(4.45)
da (4.43), usando l’identità di Jacobi e osservando che [α̂, [x̂µ , x̂ν ]] = 0 segue:
h
i
µν
µν
δα̂ F̂ = i α̂, F̂
(4.46)
Quindi F̂ µν è un tensore controvariante, ed è un candidato valido per la curvatura.
Per verificare che ruolo ha F̂ µν si può procedere nel modo seguente. Si considerano
campi ψ̂ che si trasformano con la rappresentazione aggiunta, e il caso semplice in
cui θ23 = b = −θ32 e θµν = 0 per ogni altra coppia di indici; vale:
h
i
2
3
X̂ , X̂ = ib + ib2 F̂ 23
(4.47)
a causa di (4.19), (4.44) e (4.45). Usando (4.19), (4.42) e (4.44) si ha inoltre:
h
i
i
1h
D2 ψ̂ = ∂ 2 ψ̂ + i ψ̂, Â2 =
ψ̂, X̂ 3
(4.48)
ib
i
1 h
D3 ψ̂ =
ψ̂, X̂ 2
(4.49)
−ib
ne segue:
³
´
£ 2 3¤
23
32
D , D ψ̂ = −i F̂ ψ̂ − ψ̂ F̂
(4.50)
Nel caso commutativo non abeliano si costruisce la curvatura esattamente in questo
modo, calcolando il commutatore di derivate covarianti; quindi anche in questo caso
si può identificare F̂ µν con la curvatura. È notevole come oltre a questa formula
molti aspetti ricordino il caso commutativo non abeliano. Infatti, sebbene il gruppo
di gauge sia U (1), la rappresentazione aggiunta non è banale, e la quantizzazione
delle teorie di gauge richiede l’introduzione di campi ghost, come descriverò nella
sezione 5.2.
Come visto nella sezione 4.1, con l’introduzione dello star prodotto un campo
ψ̂ (x̂) è rappresentato da una funzione classica ψ (x), e i commutatori sono commutatori di Moyal; tutte le formule si traducono di conseguenza. Ad esempio, riscalando i potenziali e i parametri di gauge in modo da introdurre una costante di
accoppiamento (4.29), (4.30) e (4.31) diventano:
δα ψ = igα ∗ ψ
(4.51)
δα ψ = −igψ ∗ α
(4.52)
δα ψ = ig [α, ψ]∗
(4.53)
4.2. Invarianza di gauge
47
e (4.40), (4.41) e (4.42) si riscrivono come:
Dµ ψ = ∂ µ ψ − igAµ ∗ ψ
(4.54)
Dµ ψ = ∂ µ ψ + igψ ∗ Aµ
(4.55)
Dµ ψ = ∂ µ ψ − ig [Aµ , ψ]∗
(4.56)
adoperando (4.17) si può verificare che (4.30) è proprio la complessa coniugata di
(4.29) e (4.55) la complessa coniugata di (4.54).
Con queste derivate covarianti è possibile definire l’azione per varie particelle:
• Fotone:
1
S =−
4
Z
d4 xFµν ∗ F µν
F µν =∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − i [Aµ , Aν ]∗
(4.57)
δα F µν =i [α, F µν ]∗
• Fermioni di Dirac:
Z
d4 xiψ̄ ∗ (γ µ Dµ − m) ψ
S=
Dµ ψ =∂µ ψ − igAµ ∗ ψ
δα Aµ =∂µ α − ig [Aµ , α]∗
(4.58)
δα ψ =igα ∗ ψ
δα ψ̄ = − ig ψ̄ ∗ α
• Fermioni di Majorana:
Z
S=
d4 xiψ̄ ∗ (γ µ Dµ − m) ψ
Dµ ψ =∂µ ψ − ig [Aµ , ψ]∗
δα Aµ =∂µ α − ig [Aµ , α]∗
δα ψ = − ig [ψ, α]∗
£
¤
δα ψ̄ = − ig ψ̄, α ∗
(4.59)
II. Teorie di gauge
48
• Scalari carichi:
Z
S=
d4 x(Dµ φ) ∗ Dµ φ
Dµ φ =∂µ φ − igAµ ∗ φ
(Dµ φ) =∂µ φ̄ + ig φ̄ ∗ Aµ
(4.60)
δα Aµ =∂µ α − ig [Aµ , α]∗
δα φ =igα ∗ φ
δα φ̄ = − ig φ̄ ∗ α
• Scalari neutri:
Z
S=
1
d4 x Dµ φ ∗ Dµ φ
2
Dµ φ =∂µ φ − ig [Aµ , φ]∗
(4.61)
δα Aµ =∂µ α − ig [Aµ , α]∗
δα φ =ig [α, φ]∗
Avendo stabilito in (4.43), (4.46) le proprietà di trasformazione dei campi Aµ ed
F è possibile verificare che le azioni introdotte in (4.57)-(4.61) sono invarianti di
gauge. Si trova tuttavia che le lagrangiane non lo sono. Ad esempio, nel caso del
settore di gauge:
1
Lgauge = − Fµν ∗ F µν
(4.62)
4
Sfruttando δα F µν = i [α, F µν ] si ottiene:
µν
1
δα Lgauge = − (δFµν ∗ F µν + Fµν ∗ δF µν ) =
4
i
= − (α ∗ Fµν ∗ F µν − Fµν ∗ α ∗ F µν + Fµν ∗ α ∗ F µν − Fµν ∗ F µν ∗ α) =
4
i
= − (α ∗ Fµν ∗ F µν − Fµν ∗ F µν ∗ α) 6= 0
4
(4.63)
Tuttavia si nota subito che δα Sgauge = 0, a causa di (4.26) (ciclicità dello star
prodotto sotto integrale). Effettuando il controllo dell’invarianza di gauge sulle altre
lagrangiane si incontra lo stesso problema, δα L 6= 0 ma δα S = 0; i calcoli espliciti
sono semplici benché lunghi e richiedono soltanto l’uso delle definizioni e di (4.26).
Il fatto che non esistano lagrangiane invarianti di gauge riflette una caratteristica
fondamentale delle teorie di gauge su spaziotempo noncommutativo: l’impossibilità
4.2. Invarianza di gauge
49
di costruire operatori locali invarianti di gauge. Si può intuire come emerga questo
problema osservando che una traslazione di un campo corrisponde ad una trasformazione di gauge. Se il campo appartiene alla rappresentazione aggiunta c’è perfetta
equivalenza, altrimenti questa identificazione è valida a meno di una traslazione costante del campo di gauge [33, 47]. Quantitativamente, considerando un campo che
si trasforma secondo la rappresentazione aggiunta:
δα ψ = ig [α, ψ]∗
(4.64)
α può essere della forma cµ xµ ; allora, adoperando (4.18):
δα ψ = ig [α, ψ]∗ = igcµ [xµ , ψ]∗ = −gcµ θµν ∂ν ψ = gcν θµν ∂µ ψ
(4.65)
confrontando con (4.24) si nota che questa è proprio una traslazione:
eikx ∗ f (x) ∗ e−ikx ' f (x) + kν θµν ∂µ f (x)
(4.66)
A questo punto diventa chiaro come mai non esistano operatori locali gauge invarianti nello spazio delle coordinate, poiché traslare i campi equivale ad applicare
una particolare trasformazione di gauge. È una situazione analoga a quella che si
presenta in relatività generale, dove le traslazioni sono equivalenti a trasformazioni
di gauge, che non sono altro che trasformazioni generali di coordinate.
È comunque possibile costruire operatori quasi locali invarianti di gauge. Esistono vari procedimenti, che in genere richiedono di ridefinire gli operatori come
convoluzioni con distribuzioni a supporto finito [46, 35, 27]. È interessante notare
come una procedura simile si renda necessaria anche nelle teorie di campo commutative. Infatti la località delle interazioni porta a moltiplicazioni di campi nello stesso
punto, ma poiché i campi sono distribuzioni (come si nota osservando ad esempio
che i loro commutatori danno delta di Dirac) questa è un’operazione singolare che
porta a divergenze ultraviolette. Per rimuovere le divergenze si regolarizza la teoria;
questo equivale a delocalizzare gli operatori locali su una regione la cui dimensione è
determinata dal regolatore, cioè a riscriverli come convoluzioni con una distribuzione f il cui supporto è dell’ordine della scala fissata dal regolatore. In questo modo
gli operatori diventano insensibili all’ultravioletto oltre la scala di regolarizzazione.
Rimuovere il regolatore equivale a far tendere f ad una delta di Dirac.
Un modo per costruire operatori quasi locali in una teoria noncommutativa consiste nello sfruttare la mappa di Seiberg - Witten, che mette in relazione i potenziali
di gauge Anc e i parametri di gauge αnc della teoria noncommutativa con i corrispondenti commutativi, Ac e αc . I gruppi di gauge delle due teorie non sono isomorfi,
dato che l’U (1) di gauge della teoria noncommutativa mostra molte caratteristiche
di un gruppo nonabeliano, quindi non si può costruire una corrispondenza biunivoca,
tale che Anc dipenda solo da Ac e αnc dipenda solo da αc . Tuttavia è sufficiente una
richiesta più debole, cioè che a potenziali gauge equivalenti della teoria commutativa
corrispondano potenziali gauge equivalenti della teoria noncommutativa:
Anc (Ac ) + δαnc Anc (Ac ) = Anc (Ac + δαc Ac )
(4.67)
50
II. Teorie di gauge
a partire da questa condizione è possibile costruire relazioni Anc (Ac ) e αnc (αc , Ac )
come serie di potenze in θµν . A questo punto si può adoperare la mappa per trasportare nella teoria noncommutativa operatori locali commutativi invarianti di gauge,
come ad esempio Fµν F µν , costruiti a partire da Ac . Gli operatori noncommutativi che ne risultano sono invarianti di gauge ma non locali; essendo costruiti come
una√serie di potenze in θµν saranno di fatto delocalizzati su una scala dell’ordine
di θ, dove θ è il più grande autovalore di θµν e fissa in qualche modo la scala di
noncommutatività.
Capitolo 5
Diagrammi di Feynman
5.1
Caratteristiche dei diagrammi
In questo capitolo descrivo le proprietà dei diagrammi di Feynman di una teoria noncommutativa, e in particolare stabilisco qual è la dipendenza da θµν di un generico
diagramma di Feynman.
5.1.1
Struttura delle interazioni
Gli integrali di prodotti di due campi non vengono modificati dallo star prodotto,
come risulta da (4.25). Quindi l’azione di una teoria noncommutativa libera è uguale
a quella della corrispondente teoria commutativa, e i propagatori della teoria noncommutativa sono gli stessi del caso commutativo. Ne segue che la dipendenza da
θµν può trovarsi soltanto nei fattori da associare ai vertici. Considerando un termine
d’interazione:
Z
d4 xφ1 (x) ∗ · · · ∗ φn (x) =
Z
=
dove:
d4 k1 · · · d4 kn
(2π)4(n−1)
(5.1)
φ̃1 (k1 ) · · · φ̃n (kn ) V (k1 , . . . , kn )
Ã
i X
V (k1 , . . . , kn ) = δ (4) (k1 + · · · + kn ) exp −
ki ×kj
2 1≤i<j≤n
!
(5.2)
Questa non è che una riscrittura di (4.27). Ad ogni vertice va associato un fattore
V . In totale la dipendenza da θµν del diagramma si raccoglie in fattori di fase o
trigonometrici di quantità come p×q = pµ θµν qν , dove pµ e q µ sono impulsi entranti
in un vertice del diagramma in questione.
Si nota che il fattore V non è simmetrico sotto qualsiasi scambio degli argomenti
ki , ma soltanto per permutazioni cicliche. Se ad ogni vertice va associato un fattore
51
II. Teorie di gauge
52
V dipendente dagli impulsi e dal loro ordinamento potrebbe non essere più possibile
scrivere delle regole di Feynman come nel caso commutativo, cioè stabilire in generale
dei fattori da associare ad ogni elemento di un diagramma, indipendentemente dallo
specifico diagramma considerato. Nel seguito controllo se questa possibilità sussiste
ancora, considerando il caso semplice di una teoria λφ4 .
La noncommutatività delle coordinate, o equivalentemente dello star prodotto,
rende difficoltoso definire l’ordinamento normale. Per evitare questo problema uso il
formalismo funzionale. Procedo formalmente nel minkowskiano, senza effettuare il
passaggio all’euclideo. Data la forma del fattore V da associare a ogni vertice, che dipende dagli impulsi entranti nel vertice, conviene lavorare nello spazio degli impulsi.
L’integrale d’azione nello spazio degli impulsi si ottiene semplicemente esprimendo
le grandezze dipendenti dalle coordinate come trasformate di Fourier. Di seguito
ripercorro brevemente la formulazione funzionale nello spazio degli impulsi per una
teoria scalare libera su spaziotempo commutativo [48]. Il funzionale generatore delle
funzioni di Green è:
³ ´
R d4 p
R
˜ φ̃(−p)
J(p)
iS (φ̃)+i
³ ´
Z J˜
(2π)4
D
φ̃e
˜
Z̄ J
=
=
R
Z (0)
Dφ̃eiS (φ̃)
Z
³ ´
S φ̃ =
d4 p p2 − m2
φ̃ (p) φ̃ (−p)
2
(2π)4
(5.3)
(5.4)
dove le grandezze con tilde sono le trasformate di Fourier delle grandezze espresse nello spazio delle coordinate, e dove J˜ (−p) è la sorgente associata al campo
φ̃ (p).
la normalizzazione
³ ´D’ora in poi sottintendo
³ ´
³ ´del funzionale generatore, e scrivo
Z J˜ per indicare Z̄ J˜ . Nel caso libero Z J˜ è gaussiano, e può essere risolto
esattamente:
¶
µ
Z
³ ´
4
d
p
1
J˜ (p) G̃ (p) J˜ (−p)
Z J˜ = exp −
2
(2π)4
G̃ (p) =
p2
i
− m2
(5.5)
(5.6)
G̃ (p) è proprio il propagatore nello spazio degli impulsi.
³ ´In presenza di un termine
−iλ 4
d’interazione, ad esempio del tipo 4! φ , si sviluppa Z J˜ in una serie perturbativa,
e poi si esprimono i campi come derivate dell’integrale funzionale libero rispetto alle
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
53
sorgenti:
³
³ ´´n
∞ Z
R
³ ´ X
iSint φ̃
iS (φ̃)+i
Z J˜ =
Dφ̃
e
n!
n=0
=
∞ Z
X
n=0
1
Dφ̃
n!
µ
−iλ
4!
Z
d4 p ˜
J(−p)φ̃(p)
(2π)4
¶n
R
iS (φ̃)+i
d xφ (x) e
4
4
=
d4 p ˜
J(−p)φ̃(p)
(2π)4
=
µ
¶n Z Y
∞
n
n
X
Y
1 −iλ
4
4
4
=
d xi d pi,1 · · · d pi,4
e−ixi (pi,1 +···+pi,4 ) ·
n!
4!
n=0
i=1
i=1
·
n
1 Y
i4n
i=1
4
δ
−1
e 2
δ J˜ (−pi,1 ) · · · δ J˜ (−pi,4 )
R
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
(5.7)
=
µ
¶n Z Y
n
n
∞
Y
X
1 −iλ
4
4
d pi,1 · · · d pi,4
(2π)4 δ (4) (pi,1 + · · · + pi,4 ) ·
=
n!
4!
n=0
i=1
i=1
·
n
1 Y
i4n
i=1
R
δ4
−1
e 2
δ J˜ (−pi,1 ) · · · δ J˜ (−pi,4 )
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
dove pi,j è il j-esimo impulso dell’i-esimo vertice. Per ottenere funzioni di Green
a n punti all’ordine m è sufficiente poi prendere i termini della serie perturbativa
all’ordine m e derivare n volte:
¯
¯
1
δ n Z (J)
¯
h0| T (φ (x1 ) · · · φ (xn )) |0i = n
=
i δJ (x1 ) · · · δJ (xn ) ¯J=0
³ ´
¯
(5.8)
¯
n
Z
˜
δ
Z
J
¯
1
¯
= d4 p1 · · · d4 pn e−ip1 x1 · · · e−ipn xn n
i δ J˜ (−p1 ) · · · δ J˜ (−pn ) ¯¯
˜
J=0
Calcolando la funzione a due punti all’ordine zero si ritrova il propagatore libero, e
al primo ordine:
Z
−iλ 1
d4 x1 d4 p1 · · · d4 p4 d4 l1 d4 l2 ·
h0| T (φ (y1 ) φ (y2 )) |0i =
4! i6
·e−ix1 (p1 +···+p4 ) e−il1 y1 e−il2 y2 ·
R
δ6
− 12
·
e
δ J˜ (−p1 ) · · · δ J˜ (−p4 ) δ J˜ (−l1 ) δ J˜ (−l2 )
(5.9)
¯
d4 p ˜
¯
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
4
¯
(2π)
¯
˜
J=0
si trova il contributo di una inserzione di self energia nel propagatore libero tramite
un diagramma di tipo “tadpole”.
II. Teorie di gauge
54
Per trovare i fattori associati ai vertici non
fare tanti calcoli. Da (5.7)
³ occorre
´
risulta che per ogni vertice c’è un fattore iSint φ̃ , i cui campi vengono poi espressi
come derivate del funzionale generatore libero rispetto³ alle
´ sorgenti per dar luogo
ai propagatori. I fattori numerici provenienti da iSint φ̃ sono quelli da associare
ai vertici secondo le regole di Feynman. Nel caso appena illustrato il fattore da
.
associare a ogni vertice è semplicemente −iλ
4!
Passando al caso noncommutativo, la proprietà (4.25) dello star prodotto assicura
che (5.3)-(5.6) restano invariate; la teoria noncommutativa libera è uguale a quella
commutativa. Introducendo un termine d’interazione si ha:
iSint
−iλ
=
4!
−iλ
=
4!
−iλ
=
4!
Z
d4 xφ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x) =
Z
Z
d4 pd4 qd4 kd4 h 4
d xφ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) e−ipx ∗ e−iqx ∗ e−ikx ∗ e−ihx =
16
(2π)
d4 pd4 qd4 kd4 h 4
d xφ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) ·
(2π)16
i
·e−ix(p+q+k+h) e− 2 (p×q+p×k+p×h+q×k+q×h+k×h) =
Z 4 4 4 4
−iλ
d pd qd kd h
=
(2π)4 δ (4) (p + q + k + h) ·
16
4!
(2π)
i
·φ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) e− 2 (p×q+p×k+p×h+q×k+q×h+k×h)
(5.10)
dove ho usato (4.22). Ne segue:
³
³ ´´n
∞ Z
R
³ ´ X
iSint φ̃
iS (φ̃)+i
e
Z J˜ =
Dφ̃
n!
n=0
d4 p ˜
J(−p)φ̃(p)
(2π)4
=
µ
¶n Z Y
µ ¶4n
∞
n
X
1 −iλ
2π
4
4
·
=
d pi,1 · · · d pi,4
n!
4!
i
n=0
i=1
·
n
Y
i=1
·
n
Y
i=1
δ (4)
Ã 4
X
j=1
!
pi,j
n
Y
i=1
Ã
exp −
i X
pi,j ×pi,k
2 1≤j<k≤4
R
δ4
−1
e 2
δ J˜ (−pi,1 ) · · · δ J˜ (−pi,4 )
(5.11)
!
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
·
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
55
al primo ordine:
P
µ ¶4
³ ´ −iλ Z
− 2i
pi ×pj
2π
4
4
(4)
1≤i<j≤4
˜
Z J =
d p1 · · · d p4
δ (p1 + · · · + p4 ) e
·
4!
i
R
δ4
−1
·
e 2
δ J˜ (−p1 ) · · · δ J˜ (−p4 )
(5.12)
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
La funzione a due punti al primo ordine è:
Z
−iλ (2π)4
h0| T (φ (y1 ) φ (y2 )) |0i =
d4 p1 · · · d4 p4 d4 l1 d4 l2 ·
4! i6
·e
− 2i
P
1≤i<j≤4
pi ×pj
(5.13)
e−il1 y1 e−il2 y2 δ (4) (p1 + · · · + p4 ) ·
R
δ6
−1
e 2
·
δ J˜ (−p1 ) · · · δ J˜ (−p4 ) δ J˜ (−l1 ) δ J˜ (−l2 )
Osservando che:
R
δ2
− 12
e
δ J˜ (−q1 ) δ J˜ (−q2 )
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
¯
¯
¯
¯
˜
J=0
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
¯
¯
¯
¯
˜
J=0
µ
¶
1 (4)
= −
δ (q1 + q2 ) G̃ (q2 )
(2π)4
(5.14)
si trova:
R
(2π)4
δ6
− 12
e
i6 δ J˜ (−p1 ) · · · δ J˜ (−p4 ) δ J˜ (−l1 ) δ J˜ (−l2 )
=
1
F ({q1 , . . . , q6 })
(2π)8
d4 p ˜
˜
J(p)G̃(p)J(−p)
(2π)4
¯
¯
¯
¯
=
˜
J=0
(5.15)
dove {q1 , . . . , q6 } rappresenta una permutazione
degli impulsi {p1 , . . . , p4 , l1 , l2 }.
¡¢
F ({q1 , . . . , q6 }) è una somma di 62 = 15 termini del tipo:
³
´³
´³
´
(4)
(4)
(4)
δ (q1 + q2 ) G̃ (q2 ) δ (q3 + q4 ) G̃ (q4 ) δ (q5 + q6 ) G̃ (q6 )
(5.16)
F ({q1 , . . . , q6 }) è completamente simmetrico nei qi , quindi in (5.13) il fattore
F ({q1 , . . . , q6 }) δ (4) (p1 + · · · + p4 ) è completamente simmetrico nei quattro impulsi pi . Il fattore:
!
Ã
i X
(5.17)
exp −
pi ×pj
2 1≤i<j≤4
non ha una simmetria definita nei pi , ma quando lo si moltiplica per F ({q1 , . . . , q6 }) ·
·δ (4) (p1 + · · · + p4 ) ne sopravvive solo la parte simmetrica.
Questa osservazione suggerisce una strategia per evitare di calcolare separatamente tutti e 15 i termini di F ({q1 , . . . , q6 }). Nel caso commutativo si conserva
II. Teorie di gauge
56
un solo termine di F ({q1 , . . . , q6 }), poi si considerano tutti i modi di contrarre gli
impulsi esterni con quelli del vertice. Molti di questi modi daranno luogo ad uno
stesso diagramma. Si definisce il fattore di simmetria del diagramma come il numero
di modi equivalenti di contrarre gli impulsi, considerando identiche le configurazioni
che differiscono soltanto per permutazioni dei vertici, poiché all’ordine n queste sono
n! e si semplificano con il fattore n!−1 proveniente dalla serie perturbativa. Infine
si considerano tutti i diagrammi distinti, ma con le stesse linee esterne e allo stesso
ordine, con i propri fattori di simmetria, e in questo modo si ricostruiscono tutti i
15 contributi.
Nel caso noncommutativo si simmetrizza il fattore (5.17) rispetto a tutti gli
scambi degli impulsi pi , dopodiché è possibile definire in generale delle regole di
Feynman e seguire lo stesso procedimento. Un fattore del tipo di (5.17) simmetrizzato è proprio il fattore da associare al vertice in questione secondo le regole di
Feynman. In questo modo tutta l’informazione rilevante sull’ordine degli impulsi
entranti nel vertice è raccolta nel fattore associato al vertice, cosı̀ che è possibile
trattare un diagramma di Feynman noncommutativo come se fosse un diagramma
commutativo con un fattore di vertice modificato. In particolare le regole di Feynman comprendono tutti i contributi di un singolo diagramma, riunendo i contributi
dovuti a differenti configurazioni topologiche delle linee che lo costituiscono, cioè
alla parte planare e a quella nonplanare che verranno definite nella sezione 5.1.3.
5.1.2
Un esempio semplice
Per illustrare in un esempio semplice l’utilizzo delle regole di Feynman nel caso
noncommutativo, ripercorro qui il calcolo ad un loop della funzione a due punti
irriducibile a una particella nella teoria λφ4 [35]. Emergono naturalmente la distinzione fra diagrammi planari e nonplanari, che saranno definiti nella sezione 5.1.3, e
il fenomeno della connessione tra ultravioletto e infrarosso, che sarà illustrato nella
sezione 5.1.4.
Considerando soltanto l’interazione del campo φ con sé stesso, e ridefinendo la
costante di accoppiamento, l’azione euclidea è:
µ
¶
Z
1
1 2 2 λ2
2
4
S= dx
(∂µ φ) + m φ + φ ∗ φ ∗ φ ∗ φ
(5.18)
2
2
4!
Come notato in precedenza, il propagatore della teoria noncommutativa è lo stesso
del caso commutativo, quindi la funzione a due punti irriducibile a una particella
all’ordine più basso, che non è altro che l’inverso del propagatore, è semplicemente
p2 + m2 . Il contributo a un loop, cioè il primo termine della self energia Σ (p), è
dato dal diagramma in figura 5.1 (“tadpole”).
Le regole di Feynman per i vertici verranno derivate in dettaglio nella sezione
5.2. Nel caso di questo diagramma si semplificano molto, il fattore da associare al
vertice è:
¢
λ2 ¡
2 + Re eik×p
(5.19)
3·4!
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
57
k
p
p
Figura 5.1: Contributo a un loop alla self energia
dove p e k sono rispettivamente l’impulso esterno e quello del loop, come indicato in
figura 5.1. Occorre poi moltiplicare per il fattore di simmetria del diagramma, che
in questo caso vale 12. In totale la self energia a un loop, Σ(1) (p), è data da:
¡
¢
Z
λ2
d4 k 2 + Re eik×p
(1)
Σ (p) =
(5.20)
6
k 2 + m2
(2π)4
sfruttando la simmetria dell’integrando questo può essere riscritto come:
Z
Z
d4 k
d4 k eik×p
λ2
1
λ2
(1)
(1)
(1)
Σ (p) =
+
= Σpl + Σnpl (p)
4 2
4 2
2
2
3
k
+
m
6
k
+
m
(2π)
(2π)
(5.21)
I due termini possono essere identificati rispettivamente come i contributi del diagramma planare e di quello nonplanare, di cui darò la definizione esatta nella prossima sezione 5.1.3. Per ora è sufficiente notare come il termine planare sia proporzionale al risultato che si trova nel caso commutativo, e quello nonplanare raccolga
tutta la dipendenza da θµν . Per poter ricondurre il secondo integrale al primo è utile
riscriverli entrambi adoperando la parametrizzazione di Schwinger:
Z ∞
1
2
2
dαe−α(k +m )
(5.22)
=
2
2
k +m
0
Con questa sostituzione gli integrali in d4 k diventano gaussiani, e la divergenza
quadratica per grandi k si ritrova in una divergenza per piccoli α degli integrali in
dα. Risolvendo gli integrali in d4 k si trova:
Z ∞
λ2
dα −αm2
(1)
Σpl =
e
(5.23)
2
48π 0 α2
Z ∞
λ2
dα −αm2 − p̃2
(1)
4α
Σnpl (p) =
e
(5.24)
96π 2 0 α2
dove si è posto:
p̃µ = θµν pν ,
[p̃] = [L]
2 ν
p̃
p̃2 = θµν p̃ν θµρ p̃ρ = −p̃µ θµν
(5.25)
(5.26)
II. Teorie di gauge
58
−1
Per regolarizzare gli integrali in dα si può ad esempio moltiplicarli per exp (−Λ2 α) ,
ottenendo:
Z ∞
dα −αm2 − 21
λ2
(1)
Λ α
Σpl =
e
(5.27)
2
48π 0 α2
(1)
Σnpl
λ2
(p) =
96π 2
Z
∞
dα −αm2 −
e
α2
0
p̃2
1
4 + Λ2
α
(5.28)
È ora evidente che, a meno di fattori, il contributo che ho chiamato nonplanare è
identico a quello planare in cui si sia sostituito a Λ2 un cutoff efficace cosı̀ definito:
Λ2ef f =
1
1
Λ2
+
(5.29)
p̃2
4
(1)
La dipendenza da p di Σnpl (p) si raccoglie in Λ2ef f . Quindi è sufficiente risolvere
l’integrale del termine planare:
Z ∞
¡ √ ¢
λ2
dα −αm2 − 21
λ2 2m2
m2
(1)
Λ α =
√
Σpl =
e
K
2
x
,
x
=
(5.30)
1
48π 2 0 α2
48π 2 x
Λ2
dove K1 (t) è la funzione di Bessel modificata di secondo tipo di ordine uno. Per
piccoli valori dell’argomento, K1 (t) può essere approssimata come:
K1 (t) −→
t→0
1 t t
+ ln
t 2 2
(5.31)
quindi:
(1)
Σpl
(1)
Σnpl
λ2
'
48π 2
λ2
(p) '
96π 2
µ
¶
Λ2
Λ − m ln 2 + O (1)
m
2
µ
Λ2ef f
2
Λ2ef f
− m ln 2 + O (1)
m
2
(5.32)
¶
(5.33)
dove Λ2ef f è definito in (5.29).
È interessante osservare la dipendenza di Λ2ef f da p̃2 . Se il cutoff Λ va all’infinito,
2
Λef f ∼ p̃−2 , e quindi diverge se p̃ → 0 (limite infrarosso). Ne segue che la self energia
ha una singolarità nell’infrarosso. Questo significa che le teorie su spaziotempo
noncommutativo possono essere valide come teorie effettive solo fino alla scala fissata
da un opportuno cutoff infrarosso, analogamente a quanto succede nelle teorie usuali
la cui validità è limitata da un cutoff ultravioletto.
Questo è un aspetto di un fenomeno più generale, la connessione fra ultravioletto
ed infrarosso, da cui segue che la singolarità infrarossa della teoria noncommutativa
corrisponde alla divergenza ultravioletta della stessa teoria nel caso commutativo.
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
59
Nel caso dell’esempio considerato in questa sezione si può avere un’idea di questi
meccanismi osservando la forma dell’azione effettiva, la cui parte quadratica è:

Z
λ2
³
´+
Γ(2) [φ] = d4 p p2 + M 2 +
2
96π 2 Λ12 + p̃4
(5.34)



¡ ¢
λ2 M 2 
1
³
´  + O λ4  φ̃ (p) φ̃ (−p)
−
ln
2
2
96π
M 2 1 + p̃
Λ2
4
dove si è definita la massa rinormalizzata M 2 :
M 2 ' m2 +
λ2 Λ2 λ2 m2 Λ2
−
ln 2
48π 2
48π 2
m
(5.35)
A questo punto si considerano due limiti:
1. p̃ → 0: in questo caso Λef f ≈ Λ, e in particolare si ritrova l’azione effettiva del
caso commutativo:
·
Z
λ2 Λ2
(2)
4
Γ [φ] = d p p2 + M 2 +
+
96π 2
(5.36)
¸
¡ 4¢
λ2 M 2
Λ2
−
ln 2 + O λ
φ̃ (p) φ̃ (−p)
96π 2
M
Γ(2) [φ] diverge se Λ → ∞ seguendo lo stesso comportamento che ha nel caso
commutativo.
2. Λ → ∞: in questo caso Λ2ef f =
e l’azione è:
"
Z
Γ(2) [φ] =
4
,
p̃2
d4 p p2 + M 2 +
2
−
2
λM
ln
96π 2
Ã
1
2
M 2 p̃4
λ2
2
96π 2 p̃4
!
+
#
¡ 4¢
φ̃ (p) φ̃ (−p)
+O λ
(5.37)
Γ(2) [φ] rimane finita tranne che per particolari valori di p̃; in particolare diverge
soltanto se p̃ → 0.
Questo caso semplice mostra il fenomeno della mescolanza fra ultravioletto e
infrarosso caratteristico delle teorie noncommutative. Prendere i limiti Λ → ∞ e
p̃ → 0 porta comunque ad una divergenza, però a seconda dell’ordine in cui sono
stati effettuati la divergenza che ne risulta ha un significato diverso. Ad esempio
si vede come nel limite ultravioletto (Λ → ∞) l’azione effettiva non diverge più a
II. Teorie di gauge
60
causa della presenza di p̃−2 che fa da regolatore [49]. La divergenza ricompare se
si rimuove questo regolatore, cioè prendendo il limite p̃−2 → ∞, che corrisponde a
p̃2 → 0, quindi si tratta di una divergenza infrarossa, legata ad un particolare valore
degli impulsi esterni. In totale prendendo prima il limite ultravioletto si ottiene una
quantità divergente nell’infrarosso e viceversa; in un certo senso i due limiti non
commutano [35].
5.1.3
Caratteristiche topologiche dei diagrammi
Considerando di nuovo il fattore V definito in (5.2):
Ã
i X
V (k1 , . . . , kn ) = δ (4) (k1 + · · · + kn ) exp −
ki ×kj
2 1≤i<j≤n
!
(5.2)
Il fatto che V non sia invariante per scambi qualsiasi dei suoi argomenti, ma soltanto
per permutazioni cicliche, implica che l’ordine delle linee uscenti o entranti in un
vertice non è irrilevante, e più in generale che un diagramma in cui due linee si
sovrappongono senza creare un vertice, come in figura 5.2, non è equivalente allo
stesso diagramma in cui le due linee non si sovrappongono.
Figura 5.2: Sovrapposizione senza incrocio
Questa caratteristica delle teorie noncommutative permette di introdurre la distinzione tra diagrammi planari e nonplanari. Diagrammi nonplanari sono quelli in
cui alcune linee si sovrappongono senza incrociarsi, come in figura 5.2. Il diagramma planare e quello nonplanare che contribuiscono al calcolo della self energia ad
un loop nella teoria λφ4 , svolto nella sezione 5.1.2, sono quelli schematizzati nelle
figure 5.3 e 5.4 rispettivamente. Questi due diagrammi si ottengono unendo il vertice ai propagatori esterni come indicato rispettivamente nelle figure 5.5 e 5.6. Nel
caso commutativo i diagrammi ottenuti nei due modi sarebbero identici, se θµν 6= 0
sono distinguibili perché differiscono nell’ordinamento delle linee che si chiudono a
formare il loop.
È utile osservare che i fattori V associati ai vari vertici di un diagramma possono
essere raccolti in un unico fattore Γ, come dimostro in seguito derivando esplicitamente Γ, nel caso semplice di un termine di interazione del tipo (5.1), dato dal
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
61
k
p
p
Figura 5.3: Contributo planare alla self energia a un loop
k
p
p
Figura 5.4: Contributo nonplanare alla self energia a un loop
prodotto di n campi uguali [34]. Γ comprende tutta la dipendenza da θµν del diagramma. In questo caso naturalmente si sta distinguendo fra diagrammi planari
e nonplanari, poiché a diversi modi di unire vertici e propagatori per formare il
diagramma corrisponde un diverso ordinamento degli impulsi nei vari fattori V che
vengono moltiplicati, e quindi, come si vedrà, un diverso Γ.
Si comincia adoperando due proprietà di V per osservare quali impulsi, esterni o
interni, contribuiscono al fattore Γ del diagramma in questione. Tenendo presente la
ciclicità di V e l’antisimmetria di θµν è facile dimostrare che V soddisfa le seguenti
relazioni:
1.
V (k1 , . . . , kn1 , p) V (−p, kn1 +1 , . . . , kn2 ) =
= V (k1 , . . . , kn2 ) δ (k1 + · · · + kn1 + p)
(5.38)
2.
V (k1 , . . . , kn1 , p, kn1 +1 , . . . , kn2 , −p) =
=V (k1 , . . . , kn1 , kn1 +1 , . . . , kn2 )
se
n2
X
(5.39)
ki = 0
i=n1 +1
La prima relazione, (5.38), stabilisce che, ai fini del calcolo dei fattori V , un
diagramma con un propagatore interno di impulso p porta allo stesso risultato di
un diagramma identico al primo ma in cui i due vertici uniti dal propagatore siano
II. Teorie di gauge
62
Figura 5.5: Collegamento fra linee esterne e vertice che porta ad un diagramma
planare
Figura 5.6: Collegamento fra linee esterne e vertice che porta ad un diagramma
nonplanare
riuniti in un unico vertice. Infatti p scompare dal fattore di fase e il fatto che rimanga
nella δ non modifica la dipendenza da θµν . In altri termini ai due diagrammi in figura
5.7 corrisponde lo stesso fattore di fase Γ. La seconda relazione, (5.39), stabilisce
che anche un loop che non si sovrappone con nessuna linea non modifica Γ, e quindi
ai due diagrammi in figura 5.8 corrisponde lo stesso fattore Γ. I vincoli aggiuntivi
sugli impulsi non costituiscono un problema perché sono in accordo con i vincoli
sugli impulsi interni ed esterni per ciascun diagramma.
k n2
k n1
k n2
k n1
p
k1
k n1+1
k1
k n1+1
Figura 5.7: Diagrammi cui corrisponde lo stesso fattore di fase, secondo la formula
(5.38)
Per quanto riguarda il calcolo del fattore Γ, tramite le due proprietà (5.38) e
(5.39) è possibile associare ad ogni diagramma di Feynman un diagramma semplificato ottenuto dal diagramma originario eliminando gli elementi che non contribuiscono a Γ. Quindi per definizione ai due diagrammi corrisponde lo stesso fattore
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
63
p
Figura 5.8: Diagrammi cui corrisponde lo stesso fattore di fase, secondo la formula
(5.39)
Γ. Si vede che grazie a (5.38) il diagramma semplificato conterrà un solo vertice, e
che per (5.39) non conterrà nessun loop che non si sovrapponga con qualche linea.
Con questa procedura ad ogni diagramma possono essere associati più diagrammi
semplificati distinti, ma il fattore Γ risultante sarà invariato, a causa della simmetria
di V per permutazioni cicliche. La figura 5.9 illustra un esempio di un diagramma
cui viene associato un diagramma semplificato.
Figura 5.9: Diagramma generico cui viene associato un diagramma semplificato
Se il diagramma originario è planare il diagramma semplificato risultante non
conterrà loop. Quindi il fattore Γ associato ad entrambi dipende soltanto dagli
impulsi esterni, è proprio il fattore V definito in (5.2) scritto per gli impulsi esterni;
è quindi uguale per tutti i diagrammi planari con le stesse linee esterne.
Se invece il diagramma originario è nonplanare il diagramma semplificato risultante contiene loop che si sovrappongono con altri loop o con linee esterne. Il
fattore Γ associato ad entrambi comprende quello che si avrebbe se il diagramma
originario fosse planare, cioè un esponenziale ed una δ di conservazione dipendenti dagli impulsi esterni, e un ulteriore esponenziale dipendente anche dagli impulsi
interni. Assegnando alle linee esterne o interne un indice (in modo arbitrario) e
un’orientazione (+k e −k corrispondono rispettivamente ad un impulso uscente e
entrante in un vertice) si può definire una matrice di intersezione per un diagramma
II. Teorie di gauge
64
di Feynman:


se la linea j interseca la linea i da destra
1
Iij = −1 se la linea j interseca la linea i da sinistra


0
se le linee j e i non si intersecano
(5.40)
Con questa definizione si può scrivere la forma del fattore Γ per un diagramma
nonplanare:
Ã
!
iX
Γ = V (impulsi esterni) exp −
Iij ki ×kj
(5.41)
2 ij
dove V (k1 , . . . , kn ) è definito in (5.2). Iij può essere equivalentemente la matrice di
intersezione del diagramma di Feynman originario o di quello semplificato. Ridefinizioni di Iij o degli indici associati alle linee non modificano (5.41) a causa della
simmetria per permutazioni cicliche degli impulsi. (5.41) è valido anche nel caso di
diagrammi planari: Iij è identicamente nulla e si ritrova il risultato precedente.
A questo punto si può ritrovare per questa strada la regola di Feynman (5.19)
enunciata nella sezione 5.1.2. Al diagramma planare di figura 5.3 compete soltanto
un fattore
di¢ fase dipendente dagli impulsi esterni, che in questo caso è del tipo
¡
exp − 2i p×p = 1. Il diagramma nonplanare, in figura 5.4, ha anche un fattore di
fase dipendente dagli impulsi interni, che in questo caso si riduce a eik×p . I fattori
di simmetria dei diagrammi planare e nonplanare sono rispettivamente 8 e 4 perché
bisogna aggiungere la richiesta addizionale che ci sia o meno sovrapposizione tra le
linee. Sommando i due contributi si ritrova proprio (5.19).
5.1.4
Convergenza e connessione fra ultravioletto e infrarosso
Come già notato la teoria noncommutativa libera è uguale a quella commutativa,
invece per quanto riguarda la teoria interagente l’introduzione dello star prodotto fa
sı̀ che i termini di interazione contengano infinite derivate dei campi, di ordine via
via più alto. Questo si vede facilmente sviluppando (4.14) in serie di potenze di θµν :
¯
µ
¶
¯
i µν y z
=
θ ∂µ ∂ν φ1 (y) φ2 (z)¯¯
φ1 (x) ∗ φ2 (x) = exp
2
y=z=x
µ µν
¶n
(5.42)
iθ
y z
∂
∂
∞
ν
µ
X
2
=
φ1 (y) φ2 (z)|y=z=x
n!
n=0
Ne segue che nelle teorie noncommutative le interazioni sono non locali. Si potrebbe
allora pensare che l’effettiva regolarizzazione causata dalla nonlocalità sia sufficiente
ad eliminare le divergenze a livello di espansione perturbativa. Al contrario, tutte
5.1. Caratteristiche dei diagrammi
65
le divergenze della teoria commutativa si ritrovano nella teoria noncommutativa.
Questo perché in presenza di θµν 6= 0 diagrammi di Feynman con una certa topologia possono acquisire nuove divergenze [34]. Inoltre (5.42) potrebbe portare a
supporre che ad energie molto minori della scala di noncommutatività, k 2 ¿ θ−1 ,
i termini con derivate di ordine più alto siano termini irrilevanti. Ci si aspetterebbe quindi che nell’infrarosso sia lecito trascurarli. Questo significherebbe che il
comportamento della teoria noncommutativa nell’infrarosso è identico a quello della
teoria commutativa corrispondente. Si trova che a livello classico questo è vero, ma
quantisticamente questa ipotesi è invalidata dalla mescolanza fra limite infrarosso e
ultravioletto nell’espansione perturbativa della teoria noncommutativa [37].
Tenendo presente il fattore di fase Γ e la distinzione fra diagrammi planari o nonplanari, introdotti nella sezione precedente, è possibile cominciare a delineare il problema della convergenza dei diagrammi di Feynman di una teoria noncommutativa
[50, 35].
La situazione è profondamente diversa per diagrammi planari o nonplanari. Nel
primo caso il fattore di fase Γ dipende solo dagli impulsi esterni, quindi il diagramma dà lo stesso risultato già noto dalla teoria commutativa, a meno di Γ e di
eventuali fattori di molteplicità. In particolare le divergenze sono le stesse del caso
commutativo.
Nel caso di diagrammi nonplanari invece la presenza di un fattore di fase Γ
dipendente anche dagli impulsi interni cambia radicalmente la situazione. Questa
fase migliora il comportamento ultravioletto del diagramma e si potrebbe quindi
pensare che lo renda finito. Più in generale, si potrebbe pensare che i diagrammi
nonplanari non abbiano divergenze oltre a quelle dovute ad eventuali sottodiagrammi
planari divergenti, e che quindi basti rinormalizzare questi ultimi.
Si è trovato che questo non è sempre vero. È opportuno distinguere ulteriormente
la situazione fra nonplanarità dovuta a sovrapposizioni fra linee interne (cioè al
carattere nonplanare del diagramma amputato) o a sovrapposizioni fra linee esterne
ed interne.
Si trova che diagrammi con nonplanarità che coinvolge solo le linee interne, e i cui
sottodiagrammi nonplanari sono dello stesso tipo, sono convergenti. Si può definire
un cutoff efficace che svolge il ruolo che ha il cutoff Λef f introdotto nella sezione
1
5.1.2. Si trova che la dipendenza da θµν del cutoff efficace è della forma θ− 2 [36],
dove θ è uno degli autovalori di θµν (supponendo che siano tutti dello stesso ordine
di grandezza). Per diagrammi con nonplanarità che riguarda anche le linee esterne
la situazione è più complicata. Se i sottodiagrammi nonplanari non sono dello stesso
tipo il diagramma è finito o meno a seconda dei valori degli impulsi esterni, poiché il
cutoff efficace è della forma p̃−1 (dove p̃ è definito in (5.25)). L’esempio della sezione
5.1.2 rientra in questo caso, infatti il diagramma nonplanare corrispondente (figura
5.4) ha una sovrapposizione fra una linea interna e una esterna, e il cutoff efficace,
derivato esplicitamente, è proprio della forma p̃−1 (v. (5.29)).
È in quest’ultimo caso che si ritrova la connessione fra ultravioletto e infrarosso,
come già anticipato nella sezione 5.1.2. Infatti Γ rende il diagramma convergente
66
II. Teorie di gauge
nell’ultravioletto, ma vale 1 se gli impulsi esterni si annullano e il diagramma diverge
di nuovo. Poiché emerge nel limite in cui gli impulsi esterni tendono a zero, la
divergenza cosı̀ trovata è una divergenza infrarossa. Dato il particolare meccanismo
specifico a questo tipo di teorie, contrariamente al solito questa divergenza infrarossa
non segnala la presenza di una particella di massa nulla.
Il fenomeno della connessione fra ultravioletto e infrarosso rende problematico il
limite commutativo di una teoria noncommutativa. Infatti nel limite θµν → 0 ci si
aspetterebbe di ritrovare la teoria commutativa, ma se θµν → 0 anche p̃ → 0 e quindi
un’intera classe di diagrammi di Feynman diverge in modo particolare. Quindi se
alcune grandezze della teoria noncommutativa nel limite θµν → 0 riacquistano la
forma che hanno nel caso commutativo lo stesso non vale per l’intera teoria.
Intuitivamente la connessione fra infrarosso e ultravioletto può essere giustificata
nel modo seguente. La noncommutatività delle coordinate implica relazioni come
δxδy ≥ 1 (in unità opportune); quindi il limite δx → 0 (limite ultravioletto per la
coordinata x) equivale al limite δy → ∞ (limite infrarosso per la coordinata y) [51].
5.2. Regole di Feynman
5.2
67
Regole di Feynman
In questa sezione derivo le regole di Feynman su spaziotempo noncommutativo relative all’interazione del campo scalare con sé stesso, e alle interazioni di varie particelle
neutre con il campo di gauge, tramite le azioni definite nella sezione 4.2. I propagatori sono gli stessi del caso commutativo, li riporto per completezza. Il vertice
a quattro scalari è l’unico che esiste anche nel caso commutativo, quindi ha una
dipendenza da θµν leggermente diversa dagli altri, e in particolare non si annulla nel
limite θµν → 0. Tutti gli altri vertici che considero presentano una dipendenza da
fattori come sin p×q che si annullano se θµν = 0.
Le regole di Feynman relative ai vertici sono presentate anche in [38]; tuttavia io
ho voluto derivarle indipendentemente, e si può notare che non tutti i fattori da me
ottenuti concordano con quelli presenti in [38]. Ciononostante adoperando i vertici
da me ricavati per ripercorrere il calcolo della self energia del fotone presentato in
[38] ho ottenuto gli stessi risultati di [38]. Attribuisco quindi le discrepanze tra i
vertici di Feynman presenti in [38] e quelli derivati da me ad un errore tipografico
in [38].
In seguito ho adoperato i vertici calcolati da me anche per calcolare la self energia dello scalare neutro e del fermione di Majorana, che non sono presenti nella
letteratura.
5.2.1
Propagatori
Come già osservato nella sezione 5.1.1 la teoria noncommutativa libera è uguale a
quella commutativa, quindi i propagatori sono uguali a quelli del caso commutativo;
li riporto per completezza. Per il propagatore del fotone scelgo la gauge di Feynman.
• fotone:
igµν
p2
(5.43)
i
− m2
(5.44)
−
• scalare:
p2
• fermione:
i
γ µ pµ − m
=
i (γ µ pµ + m)
p2 − m2
(5.45)
• ghost:
i
p2
(5.46)
II. Teorie di gauge
68
5.2.2
Vertice a quattro scalari
Definendo la costante d’accoppiamento come è d’uso nella letteratura [35], il termine
dell’azione che genera l’interazione a quattro scalari è:
−λ2
Sint (φ) =
4!
Z
d4 xφ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x)
(5.47)
poi, passando nello spazio degli impulsi e usando (4.22):
iSint
−iλ2
=
4!
−iλ2
=
4!
−iλ2
=
4!
Z
d4 xφ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x) ∗ φ (x) =
Z
Z
d4 pd4 qd4 kd4 h 4
d xφ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) e−ipx ∗ e−iqx ∗ e−ikx ∗ e−ihx =
16
(2π)
d4 pd4 qd4 kd4 h 4
d xφ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) ·
(2π)16
i
·e−ix(p+q+k+h) e− 2 (p×q+p×h+q×k+q×h+k×h) =
Z 4 4 4 4
d pd qd kd h (4)
−iλ2
δ (p + q + k + h) ·
=
4!
(2π)12
i
·φ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) e− 2 (p×q+p×k+p×h+q×k+q×h+k×h)
(5.48)
Come osservato nella sezione 5.1.1, per fare i calcoli è conveniente usare un fattore di
vertice simmetrico negli impulsi. Per ottenerlo si riscrive (5.48) nel modo seguente,
sfruttando la possibilità di rinominare le variabili mute:
³ ´ −iλ2 Z d4 pd4 qd4 kd4 h
δ (4) (p + q + k + h) ·
iSint φ̃ =
2
12
(4!)
(2π)
h i
·φ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (h) e− 2 (p×q+p×k+p×h+q×k+q×h+k×h) +
+ tutte le permutazioni di p, q, k, h]
(5.49)
5.2. Regole di Feynman
69
Ricordando che p×q = −q×p e adoperando la δ per eliminare un impulso, ad esempio
h, si ottiene:
³ ´ −iλ2 Z d4 pd4 qd4 k
iSint φ̃ =
φ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (−p − q − k) ·
6·4!
(2π)12
i
i
i
·(e− 2 (p×q+p×k+q×k) + e− 2 (p×q+p×k−q×k) + e− 2 (−p×q+p×k+q×k) +
i
i
i
+ e− 2 (p×q−p×k−q×k) + e− 2 (−p×q−p×k+q×k) + e− 2 (−p×q−p×k−q×k) ) =
Z 4 4 4
−iλ2
d pd qd k
=
φ̃ (p) φ̃ (q) φ̃ (k) φ̃ (−p − q − k) ·
3·4!
(2π)12
µ
¶
p×q + p×k
q×k
p×q − p×k − q×k
· 2 cos
cos
+ cos
2
2
2
(5.50)
ne segue che il fattore da associare al vertice secondo le regole di Feynman è:
−iλ2
3·4!
µ
¶
p×q + p×k
q×k
p×q − p×k − q×k
2 cos
cos
+ cos
2
2
2
(5.51)
dove p, q e k sono gli impulsi di tre dei quattro scalari, orientati tutti allo stesso
modo (tutti entranti o tutti uscenti). Usando le formule di trigonometria riportate
in appendice è possibile riscrivere questo fattore in una forma più simmetrica negli
impulsi:
µ
¶
−iλ2
p×q + p×k + q×k
p×q + p×k − q×k
p×q − p×k − q×k
cos
+ cos
+ cos
3·4!
2
2
2
(5.52)
in questo modo è possibile verificare che il fattore è invariante sotto qualsiasi scambio
degli impulsi.
Se θµν = 0 (5.52) si riduce a:
−iλ2
−iλ2
·3 =
3·4!
4!
(5.53)
che è proprio il fattore da associare ad un vertice di quattro scalari nel caso commutativo.
Nella sezione 5.1.2 ho utilizzato questo vertice in un caso particolare. Per ritrovare esplicitamente (5.19) occorre assegnare agli impulsi i nomi indicati in figura
5.1. Ad esempio si può rinominare p → p, q → −k, k → k, ottenendo:
¢
−iλ2 ¡
2 + Re eik×p
3·4!
(5.54)
II. Teorie di gauge
70
che è proprio (5.19) scritta nel minkowskiano. Si vede quindi che dividere il contributo di un diagramma in planare e nonplanare e valutarne separatamente i fattori
esponenziali e di simmetria porta allo stesso risultato che si ottiene adoperando le
regole di Feynman e valutando il fattore di simmetria del diagramma come se fosse
commutativo.
Per derivare gli altri vertici si procede esattamente nello stesso modo, quindi mi
limito ad illustrare brevemente alcuni passi dei calcoli e il risultato finale.
5.2.3
Vertici fotoni - scalari neutri
L’azione per scalari che si trasformano secondo l’aggiunta del gruppo di gauge è (v.
(4.61)):
Z
1
S (φ) = d4 x Dµ φ ∗ Dµ φ =
2
Z
1
(5.55)
= d4 x (∂µ φ ∗ ∂ µ φ − ig (∂µ φ ∗ [Aµ , φ]∗ + [Aµ , φ]∗ ∗ ∂µ φ) +
2
¢
−g 2 [Aµ , φ]∗ ∗ [Aµ , φ]∗
Vertice fotone - due scalari
Considerando il termine della lagrangiana d’interazione che genera il vertice a un
fotone e due scalari, e sfruttando la ciclicità dello star prodotto sotto integrale (4.26)
si ottiene:
Z
g
iSint =
d4 x (∂µ φ ∗ [Aµ , φ]∗ + [Aµ , φ]∗ ∗ ∂µ φ) =
2
(5.56)
Z
=g d4 x (Aµ ∗ φ ∗ ∂µ φ − Aµ ∗ ∂µ φ ∗ φ)
Passando nello spazio degli impulsi e usando (4.22):
³
iSint
Z
´
d4 pd4 qd4 k µ
φ̃, Ã =g d4 x
Ã (p) φ̃ (q) φ̃ (k) (−ikµ ) ·
(2π)12
³ i
´
−ix(p+q+k)
− 2 (p×q+p×k+q×k)
− 2i (p×q+p×k−q×k)
·e
e
−e
(5.57)
Ripetendo in questo caso il calcolo svolto nella sezione (5.1.1) per l’interazione a
quattro scalari, si troverebbe che l’analogo del fattore F definito in (5.15) non è
simmetrico per qualunque scambio degli impulsi ma soltanto per scambi fra impulsi
dei fotoni o degli scalari. Il vertice, contenendo un solo fotone, può essere reso
simmetrico soltanto rispetto a permutazioni degli impulsi degli scalari. Quindi in
5.2. Regole di Feynman
questo caso è sufficiente riscrivere (5.57) nel modo seguente:
³
´ gZ
d4 pd4 qd4 k µ
iSint φ̃, Ã =
d4 x
Ã (p) φ̃ (q) φ̃ (k) e−ix(p+q+k) ·
2
(2π)12
h
³ i
´
i
· (−ikµ ) e− 2 (p×q+p×k+q×k) − e− 2 (p×q+p×k−q×k) +
71
(5.58)
³ i
´i
i
+ (−iqµ ) e− 2 (p×q+p×k−q×k) − e− 2 (p×q+p×k+q×k)
Di fatto ci si limita ad eliminare l’asimmetria proveniente dal fatto che uno dei
campi φ è derivato e l’altro no. Infine estraendo la δ di conservazione ed usandola
per eliminare l’impulso del fotone si ottiene:
³
´ Z d4 qd4 k
q×k
µ
iSint φ̃, Ã =
(5.59)
8 Ã (−q − k) φ̃ (q) φ̃ (k) g (qµ − kµ ) sin
2
(2π)
che consente di identificare il fattore da associare al vertice secondo le regole di
Feynman:
q×k
g (qµ − kµ ) sin
(5.60)
2
dove q e k sono gli impulsi degli scalari, entrambi entranti, poiché la presenza di
una derivata definisce un verso per gli impulsi. Per come è stato costruito il fattore
(5.60) è invariante sotto lo scambio q ↔ k, come è facile verificare.
Vertice due fotoni - due scalari
Il termine della lagrangiana d’interazione che genera il vertice a due fotoni e due
scalari è:
Z
¡
¢
1 2 µν
Sint = − g g
d4 x [Aν , φ]∗ ∗ [Aµ , φ]∗ =
2
(5.61)
Z
= − g 2 g µν d4 x (φ ∗ Aµ ∗ φ ∗ Aν − Aµ ∗ Aν ∗ φ ∗ φ)
Passando allo spazio degli impulsi:
Z
³
´
d4 pd4 qd4 kd4 h −ix(p+q+k+h)
2 µν
iSint φ̃, Ã = −ig g
d4 x
e
φ̃ (p) Ãµ (q) φ̃ (k) Ãν (h) ·
(2π)16
³ i
´
i
· e− 2 (p×q+p×k+p×h+q×k+q×h+k×h) − e− 2 (q×h+q×p+q×k+h×p+h×k+p×k)
(5.62)
Si procede esattamente come già visto nei due casi precedenti. Stavolta la massima simmetria che il fattore di vertice può avere corrisponde a scambi fra impulsi
II. Teorie di gauge
72
dei fotoni o degli scalari. Quindi nel riscrivere (5.62) è sufficiente considerare le 4
permutazioni (p, q, k, h), (k, q, p, h), (p, h, k, q), (k, h, p, q) (l’ultima sarà identica alla
prima per la ciclicità dello star prodotto sotto integrale). Nel caso dei fotoni si può
considerare che la simmetrizzazione si riferisca agli impulsi o alle polarizzazioni; è
la stessa cosa poiché a ciascun impulso viene fatta corrispondere sempre la stessa
polarizzazione. Con passaggi analoghi a quelli descritti in precedenza si trova:
Z 4 4 4
³
´
d pd qd k
2 µν
iSint φ̃, Ã =ig g
φ̃ (p) Ãµ (q) φ̃ (k) Ãν (−p − q − k) ·
(2π)12
(5.63)
µ
¶
p×q
p×k + q×k
q×k
p×q + p×k
· sin
sin
+ sin
sin
2
2
2
2
Quindi il fattore da associare al vertice secondo le regole di Feynman è:
µ
¶
p×q
p×k + q×k
q×k
p×q + p×k
2 µν
ig g
sin
sin
+ sin
sin
2
2
2
2
(5.64)
dove p e k sono gli impulsi degli scalari, q è l’impulso di un fotone e l’impulso
dell’altro fotone è stato eliminato con la conservazione dell’impulso. Gli impulsi
sono tutti orientati allo stesso modo, tutti entranti o tutti uscenti. È facile verificare
che in effetti il fattore è invariante sotto lo scambio p ↔ k.
5.2.4
Vertice fotone - fermione di Majorana
L’azione per un fermione di Majorana che interagisce con il fotone è (v. (4.59)):
Z
¡
¢
¡
¢
S ψ, ψ̄, Aµ = d4 x iψ̄ ∗ (γ µ ∂µ − m) ψ + g ψ̄ ∗ [γ µ Aµ , ψ]∗
(5.65)
Ad ogni vertice corrisponde un termine:
Z
d4 pd4 qd4 k
ψ̄ (p) γ µ Aµ (q) ψ (k) ·
iSint =ig d4 x
(2π)12
¡
¢
· e−ipx ∗ e−iqx ∗ e−ikx − e−ipx ∗ e−ikx ∗ e−iqx =
Z 4 4
´
³ i
d pd k
− 2i (p×k)
µ
− 2 (−p×k)
−
e
=
=ig
ψ̄
(p)
γ
A
(−p
−
k)
ψ
(k)
e
µ
(2π)8
Z 4 4
d pd k
p×k
µ
= − 2gγ
8 ψ̄ (p) Aµ (−p − k) ψ (k) sin
2
(2π)
(5.66)
In questo caso non ci sono simmetrizzazioni dell’integrando da fare perché ogni
fattore corrisponde ad un campo distinguibile dagli altri tramite qualche numero
quantico. Il fattore da associare al vertice è:
2gγ µ sin
k×p
2
(5.67)
5.2. Regole di Feynman
73
dove p e k sono gli impulsi del fermione e dell’antifermione rispettivamente, se considerati entrambi uscenti, o dell’antifermione e del fermione rispettivamente, se considerati entrambi entranti. Questo consegue dal tipo di operatori di creazione e
distruzione contenuto nei campi ψ o ψ̄. In termini del fermione il vertice è:
2gγ µ sin
p×k
2
(5.68)
dove p è l’impulso del fermione uscente e k l’impulso del fermione entrante.
5.2.5
Vertici a più fotoni
L’azione è (v. (4.57)):
1
S=−
4
Z
d4 xFµν ∗ F µν
(5.69)
dove:
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig [Aµ , Aν ]∗
(5.70)
perciò:
Z
Sint =
£
¡
¢
d4 x ig∂α Aβ (x) ∗ Aγ (x) ∗ Aδ (x) g αγ g βδ − g αδ g βγ +
¡
¢
g2
+ Aα (x) ∗ Aβ (x) ∗ Aγ (x) ∗ Aδ (x) g αγ g βδ − g αδ g βγ
2
¸
(5.71)
Vertice a tre fotoni
Il termine dell’azione che genera il vertice a tre fotoni è:
Z
¡
¢
Sint = ig d4 x∂α Aβ (x) ∗ Aγ (x) ∗ Aδ (x) g αγ g βδ − g αδ g βγ
(5.72)
La massima simmetria del fattore di vertice corrisponde a scambi di tutti gli impulsi; per ottenere il fattore di vertice con questa simmetria occorre simmetrizzare
(5.72) rispetto alle 4! permutazioni degli indici muti α, β, γ, δ. Questo equivale a
considerare tutte le permutazioni degli impulsi perché, come osservato calcolando il
vertice a due fotoni e due scalari, ad ogni polarizzazione viene fatto corrispondere
sempre lo stesso impulso. Alla fine dei calcoli, dopo aver eliminato un impulso con
la δ di conservazione resta:
Z 4 4
d pd q
p×q
−g
·
iSint =
8 Ãα (p) Ãβ (q) Ãγ (−p − q) sin
3
2
(2π)
(5.73)
¢
¡
·(g αβ (pγ − q γ ) + g αγ −2pβ − q β + g βγ (2q α + pα ))
II. Teorie di gauge
74
e quindi il fattore da associare al vertice è:
¢
¡
¢
−g ¡ αβ γ
p×q
g (p − q γ ) + g αγ −2pβ − q β + g βγ (2q α + pα ) sin
3
2
(5.74)
dove p e q sono gli impulsi di due dei tre fotoni, tutti entranti poiché la derivata fissa
il verso degli impulsi in questo modo. All’impulso p corrisponde la polarizzazione
α, all’impulso q la polarizzazione β, all’impulso k = −p − q la polarizzazione γ. Il
fattore è simmetrico per lo scambio (p, α) ↔ (q, β).
Vertice a quattro fotoni
Il vertice a quattro fotoni è generato dal termine:
Z
¡
¢
g2
d4 xAα (x) ∗ Aβ (x) ∗ Aγ (x) ∗ Aδ (x) g αγ g βδ − g αδ g βγ
Sint =
2
(5.75)
Per ottenere un fattore di vertice simmetrico rispetto a tutti gli scambi degli impulsi
si riscrive (5.75) simmetrizzando sulle 24 possibili permutazioni degli indici muti.
Dopo aver eseguito i calcoli come nei casi precedenti ed aver eliminato un impulso
con la δ di conservazione si trova:
Z 4 4 4
ig 2
d pd qd k
Ãα (p) Ãβ (q) Ãγ (k) Ãδ (−p − q − k) ·
iSint = −
6
(2π)12
·
¡
¢
p×k + q×k
p×q
· g αγ g βδ − g αδ g βγ sin
sin
+
2
2
(5.76)
¡ αβ δγ
¢
p×q + p×k
q×k
− g g − g αγ g δβ sin
sin
+
2
2
¸
¡ αδ γβ
¢
p×k
p×q − q×k
αβ γδ
− g g − g g sin
sin
2
2
Il fattore da associare al vertice è:
¢
2 £¡
αγ βδ
− ig
− g αδ¢g βγ sin p×k+q×k
sin p×q
+
2
2
¡6 αβ gδγ g αγ
p×q+p×k
q×k
δβ
− ¡g g − g g ¢ sin
sin 2 +
2
¤
p×q−q×k
p×k
αδ γβ
αβ γδ
sin
− g g − g g sin
2
2
(5.77)
simmetrico per scambi delle coppie di indici (p, α), (q, β), (k, γ). Gli impulsi sono
orientati tutti allo stesso modo, sono tutti entranti o tutti uscenti.
5.2.6
Vertice fotone - ghosts
Calcolando valori di aspettazione di operatori O (A) invarianti di gauge:
R
DAeiS(A) O (A)
R
hO (A)i =
DAeiS(A)
(5.78)
5.2. Regole di Feynman
75
si trovano risultati privi di significato, poiché si integra sia su potenziali che corrispondono a configurazioni fisiche differenti che su tutte le loro repliche di gauge, e
siccome l’azione è invariante di gauge l’integrazione sulle (infinite) repliche di gauge
non è soppressa. Per risolvere questo problema si riscrive l’integrazione funzionale su
tutti i potenziali come integrazione sull’orbita di gauge di ogni potenziale, costituita
da tutte le sue repliche di gauge, e poi sui potenziali che corrispondono a situazioni
fisiche differenti. L’integrazione sull’orbita di gauge può essere espressa come integrazione sul gruppo; non dipendendo da A si semplifica nella normalizzazione del
funzionale generatore. Quindi l’integrazione funzionale è limitata ai potenziali che
corrispondono a situazioni fisiche differenti, o più in generale ad un’ipersuperficie che
intersechi ogni orbita di gauge un numero finito di volte. Nel procedimento di Faddeev e Popov questa restrizione viene realizzata inserendo nell’integrale funzionale
il fattore:
¡ ¡ ¢¢
∆f (A) δ f AΩ
(5.79)
µ
¡
¡
¢¢
dove AΩ
AΩ restringe l’integrazione
µ indica la trasformata di gauge di Aµ . δ f
¡ Ω ¢µ
¡ ¢
funzionale all’ipersuperficie scelta, identificata da f Aµ = 0; ad esempio f AΩ
µ =
µ Ω
∂ Aµ . Il determinante di Faddeev e Popov ∆f (A) viene introdotto per mantenere
l’invarianza di gauge. È cosı̀ definito:
∆f (A) = R
1
¡ ¡ ¢¢
δΩδ f AΩ
µ
(5.80)
R
dove δΩ rappresenta l’integrazione sull’orbita di gauge scritta come integrazione
sul gruppo. Supponendo che l’ipersuperficie intersechi ogni orbita di gauge una sola
volta si può limitare l’integrazione sull’orbita di gauge ad un intorno centrato sui
potenziali¡ Aµ¢ appartenenti all’ipersuperficie, cioè tali che f (Aµ ) = 0. Si ¡riscrive
¢
Ω
quindi f AΩ
=
µ per trasformazioni di gauge infinitesime. Se ad esempio f Aµ
µ Ω
µ Ω
µ
µ
µ
∂ Aµ , si ha ∂ Aµ = ∂ Aµ + ∂ δΩ Aµ = ∂ δΩ Aµ .
λ
Nel caso commutativo abeliano si ha AΩ
µ = Aµ = Aµ + ∂µ λ; δΩ Aµ = ∂µ λ
non dipende da Aµ , neanche ∆f (A) dipende da Aµ e quindi si semplifica nella
normalizzazione del funzionale generatore.
Nel caso commutativo nonabeliano vale Ω ' 1 − ig a (x) λa con λa ∈ SU (N )
a
abc b c
a
Aµ g e ∂ µ δΩ Aaµ =
con costanti di struttura f abc . Si ha AaΩ
µ = Aµ − ∂µ g − f
c
ac
µ ac
∂ Dµ (A) g , dove Dµ (A) è la derivata covariante della rappresentazione aggiunta
scritta in componenti. Si può calcolare ∆f (A) esplicitamente:
¡
¢
δ ∂ µ Dµac (A) g c =
det
¡
1
∂ µ Dµac
¢ δ (g c )
(A)
(5.81)
¢
¡
¢
¡ µ ac
det ∂ µ Dµac (A)
1
R
¢=
¡
∆f (A) = R
(A)
(5.82)
=
det
∂
D
µ
δΩδ (g c )
δΩδ ∂ µ AΩ
µ
R
perché il fattore δΩδ (g c ) si semplifica nella normalizzazione del funzionale generatore. Si scrive questo determinante come il risultato di un integrale gaussiano
II. Teorie di gauge
76
fermionico nell’euclideo:
¡
det ∂
Z
=
µ
Dµac
¢
(A) =
µZ
Z
DcDc̄ exp
¶
4
a µ
d xc̄ ∂
Dµac
c
(A) c
=
µ Z
¶
¡ µ a a
¢
4
µ a abc b c
DcDc̄ exp − d x ∂ c̄ ∂µ c + ∂ c̄ f Aµ c
(5.83)
c sono i ghosts: campi fittizi, fermionici, scalari (non hanno indici vettoriali o spinoriali), che compaiono
¡ µ ac solo
¢ nei loop. Sono solo una rappresentazione matematica del
fattore det ∂ Dµ (A) che serve a mantenere l’invarianza di gauge; tuttavia trattandoli come particelle che compaiono nei loop è più facile vedere che contribuiscono
alla cancellazione dei gradi di libertà non fisici della teoria.
Nel caso noncommutativo, come osservato nella sezione 4.2, sebbene il gruppo di
gauge sia U (1) la situazione è analoga a quella del caso commutativo nonabeliano.
Ad esempio la trasformazione di gauge del potenziale Aµ dipende da Aµ stesso:
δα Aµ = ∂µ α − ig [Aµ , α]∗
(5.84)
quindi l’unitarietà della teoria richiede l’esistenza di un vertice a un fotone e due
ghosts. Si può verificare che il fattore da associare a questo vertice è [38, 52]:
2gpµ sin
p×k
2
dove p è l’impulso del ghost uscente e k è l’impulso del ghost entrante.
(5.85)
Capitolo 6
Diagrammi di self energia
In questo capitolo calcolo i diagrammi di self energia del fotone, dello scalare neutro
e del fermione di Majorana. Nel calcolare la self energia del fotone ho ripercorso
quanto esposto in [38], mentre la self energia dello scalare neutro e del fermione di
Majorana non sono presenti nella letteratura.
Il calcolo dei diagrammi di self energia è interessante perché la self energia descrive la correzione alla propagazione libera delle particelle. Tenendo conto di questa
correzione è possibile ottenere le relazioni di dispersione, che caratterizzando le proprietà di propagazione delle particelle offrono un’opportunità di verifica sperimentale
dei risultati.
6.1
Self energia del fotone
In questa sezione ripercorro il calcolo della self energia del fotone [38], adoperando
i vertici ricavati nella sezione 5.2. Considero in particolare i contributi specifici
del caso noncommutativo, cioè quelli che coinvolgono particelle neutre: fermioni di
Majorana, scalari neutri, fotoni stessi e ghosts. Seguendo il procedimento esposto in
[38] non calcolo esattamente i vari contributi ma mi limito ad individuare la parte
divergente e ad isolarne la dipendenza da θµν .
6.1.1
Contributo dei fermioni di Majorana
Il diagramma che descrive il contributo alla self energia del fotone dato dall’inserzione
di un loop di fermioni è riportato in figura 6.1. Il fattore di simmetria è stato definito
nella sezione 5.1.1 come il numero di modi possibili in cui unire le linee per formare
il diagramma, in cui però non si considerano come differenti i modi che differiscono
solo per permutazioni dei vertici, perché portano un n! che si semplifica con il fattore
n!−1 proveniente dalla serie perturbativa. In questo caso il fattore di simmetria vale
1.
77
II. Teorie di gauge
78
l
p
p
l-p
Figura 6.1: Contributo dei fermioni di Majorana
Usando il vertice (5.68) e gli impulsi definiti come in figura:
Z
d4 l
i
i
µν
2
iΠf (p) = − 4g
tr (γ µ γ ρ γ ν γ σ ) ·
4 2
2
2
2
(2π) l − m (l − p) − m
· (lρ + m) (lσ − pσ + m) sin
Z
= − 4g
l× (l − p)
(l − p) ×l
sin
=
2
2
(6.1)
d4 l tr (γ µ γ ρ γ ν γ σ ) (lρ + m) (lσ − pσ + m) 2 p̃l
¡
¢
sin
2
(2π)4
(l2 − m2 ) (l − p)2 − m2
2
dove p̃µ , definito in (5.25), è θµν pν ; quindi p̃l = l×p. Considerando il caso di grandi
impulsi del loop, cioè conservando solo la parte divergente:
Z
p̃l
d4 l tr (γ µ γ ρ γ ν γ σ ) lρ lσ
µν
µν0
2
sin2
(6.2)
iΠf (p) → iΠf (p) = −4g
4
4
l
2
(2π)
Con un’identità trigonometrica:
sin2
¢
1 − cos p̃l
1¡
p̃l
=
=
1 − Re eip̃l
2
2
2
(6.3)
e un’identità sulle tracce di matrici γ µ :
¡
¢
tr (γ µ γ ρ γ ν γ σ ) lρ lσ = 4 (g µρ g νσ − g µν g ρσ + g µσ g νρ ) lρ lσ = 4 2lµ lν − g µν l2
si ottiene:
Z
iΠµν0
f
(p) = −8g
2
¢
d4 l 2lµ lν − g µν l2 ¡
1 − Re eip̃l
4
4
l
(2π)
(6.4)
(6.5)
Usando le proprietà di simmetria dell’integrando si può scrivere la parte dipendente
da θµν come:
Z
d4 l 2lµ lν − g µν l2 ip̃l
µν0
µν
2
iΠf (p, θ ) = 8g
e
(6.6)
l4
(2π)4
Infine:
Z
iΠµν0
f
µν
(p, θ ) = 16g
2
d4 l lµ lν ip̃l
e − 8g 2 g µν
(2π)4 l4
Z
d4 l eip̃l
(2π)4 l2
(6.7)
6.1. Self energia del fotone
79
Questi integrali possono essere risolti con gli integrali notevoli riportati in appendice,
(A.12) e (A.13), ottenendo:
µν
iΠµν0
f (p, θ ) = −
6.1.2
4ig 2 p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
(6.8)
Contributo degli scalari neutri
Gli scalari neutri contribuiscono alla self energia del fotone con due differenti diagrammi. Per calcolarli si procede esattamente come già fatto nel caso del fermione
di Majorana.
Primo diagramma
Fra i due contributi degli scalari neutri alla self energia del fotone considero per
primo quello in figura 6.2, che coinvolge il vertice a un fotone e due scalari. Il
fattore di simmetria del diagramma è 2.
l
p
p
l-p
Figura 6.2: Contributo degli scalari: primo diagramma
Usando il vertice (5.60) si ha:
Z
d4 l
(2l − p)µ (2l − p)ν
µν
2
¡
¢·
iΠs1 (p) = − 2g
(2π)4 (l2 − m2 ) (l − p)2 − m2
µ
¶
µ
¶
l× (l − p)
(l − p) ×l
· sin
sin
=
2
2
Z
d4 l
p̃l
(2l − p)µ (2l − p)ν
2
¢ sin2
¡
=2g
4 2
2
2
(2π) (l − m2 ) (l − p) − m2
Per grandi impulsi del loop si può approssimare iΠµν
s1 (p) cosı̀:
Z
d4 l lµ lν
µν
µν0
2 p̃l
2
=
iΠs1 (p) → iΠs1 (p) =8g
4 4 sin
2
(2π) l
Z
¢
d4 l lµ lν ¡
2
1 − Re eip̃l
=4g
4 4
(2π) l
(6.9)
(6.10)
II. Teorie di gauge
80
L’unico contributo dipendente da θµν è:
Z
iΠµν0
s1
µν
(p, θ ) = −4g
2
d4 l lµ lν ip̃l
e
(2π)4 l4
ed usando l’integrale (A.12) riportato in appendice si ottiene:
µ
¶
ig 2
p̃µ p̃ν
g µν
µν0
µν
iΠs1 (p, θ ) = − 2 −2 4 + 2
2π
|p̃|
|p̃|
(6.11)
(6.12)
Secondo diagramma
Il diagramma che rappresenta il secondo contributo degli scalari neutri alla self
energia del fotone coinvolge il vertice a due scalari e due fotoni; è rappresentato in
figura (6.3). Il fattore di simmetria del diagramma è pari a 2.
l
p
p
Figura 6.3: Contributo degli scalari: secondo diagramma
Adoperando il vertice (5.64) si trova che questo contributo ha la forma:
Z
d4 l
i
µν
2 µν
iΠs2 (p) = 2ig g
·
4 2
(2π) l − m2
µ µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶¶
−p× (−l)
p×l
p× (−l)
−p×l
· sin
sin
+ sin
sin
=
2
2
2
2
Z
i
p̃l
d4 l
2 µν
sin2
(6.13)
= 4ig g
4 2
2
2
(2π) l − m
Per grandi impulsi del loop il contributo si riduce a:
Z
d4 l 1
µν
µν0
2 p̃l
2 µν
iΠs2 (p) → iΠs2 (p) = −4g g
4 2 sin
2
(2π) l
Considerando soltanto la parte dipendente da θµν si trova, usando (A.13):
Z
ig 2 g µν
d4 l eip̃l
µν0
µν
2 µν
=
iΠs2 (p, θ ) = 2g g
(2π)4 l2
2π 2 |p̃|2
(6.14)
(6.15)
6.1. Self energia del fotone
81
In totale, combinando (6.12) e (6.15), si trova che il contributo degli scalari è:
µν0
µν0
µν
µν
µν
iΠµν0
s (p, θ ) =iΠs1 (p, θ ) + iΠs2 (p, θ ) =
µ
¶
ig 2
p̃µ p̃ν
g µν
ig 2 g µν
= − 2 −2 4 + 2 +
=
2π
|p̃|
|p̃|
2π 2 |p̃|2
=
6.1.3
(6.16)
ig 2 p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
Contributo del settore di gauge
Il contributo del settore di gauge alla self energia del fotone è costituito dai diagrammi con inserzioni di loop di fotoni e di ghosts.
Primo diagramma
Il primo diagramma coinvolge il vertice a tre fotoni; è riportato in figura 6.4. Il
fattore di simmetria del diagramma vale 18.
l
p
p
l-p
Figura 6.4: Contributo dei fotoni: primo diagramma
II. Teorie di gauge
82
Usando il vertice (5.74) e le polarizzazioni e gli impulsi definiti come in figura:
Z
iΠµν
g1
(p) =2g
2
d4 l
sin
(2π)4
µ
(l − p) ×p
2
¶
·
·((−p − p + l)α g µρ + (p − l − l)µ g ρα + (l + p)ρ g µα )·
¶
µ
−igαβ
(l − p) × (−l)
·
· 2 sin
l
2
´ −ig
³
(6.17)
ρσ
· (−l − l + p)ν g βσ + (l − p − p)β g σν + (p + l)σ g νβ
=
(l − p)2
Z
d4 l
α µρ
2
=2g
+ (p − 2l)µ g ρα + (l + p)ρ g µα ) ·
4 ((l − 2p) g
(2π)
´
1³
1
2 p̃l
· 2 (p − 2l)ν gαρ + (l − 2p)α δρν + (p + l)ρ δαν
2 sin
l
2
(l − p)
Per grandi impulsi del loop l’espressione da calcolare si semplifica molto:
Z
iΠµν
g1
iΠµν0
g1
(p) →
(p) =2g
2
d4 l α µρ
− 2lµ g ρα + lρ g µα ) ·
4 (l g
(2π)
¢
1¡
p̃l
−2lν gαρ + lα δρν + lρ δαν sin2 =
4
l
2
Z
d4 l l2 g µν + 5lµ lν
2 p̃l
=4g 2
sin
4
l4
2
(2π)
·
(6.18)
La parte dipendente da θµν è:
Z
iΠµν0
g1
µν
(p, θ ) = −2g
2
d4 l ip̃l
e
(2π)4
µ
g µν
lµ lν
+
5
l2
l4
¶
(6.19)
Usando gli integrali (A.12) e (A.13) riportati in appendice si ottiene infine il risultato:
iΠµν0
g1
−g 2 i
(p, θ ) =
4π 2
µν
µ
g µν
p̃µ p̃ν
7 2 − 10 4
|p̃|
|p̃|
¶
(6.20)
Secondo diagramma
Il secondo diagramma con cui il settore di gauge contribuisce alla self energia del
fotone coinvolge il vertice a quattro fotoni; è riportato in figura (6.5). Il fattore di
simmetria del diagramma è pari a 12.
6.1. Self energia del fotone
83
l
p
p
Figura 6.5: Contributo dei fotoni: secondo diagramma
Usando il vertice (5.77) si trova:
· µ
¶
µ
¶
Z
¢
d4 l
p× (−l)
l× (−p) ¡ αν µβ
µν
2
g g − g αβ g µν +
iΠg2 (p) = − 2ig
sin
4 sin
2
2
(2π)
µ
¶
µ
¶
¢
l×p
l×p ¡ αβ µν
+ sin
sin
g g − g αµ g βν +
2
2
µ
¶
µ
¶
¸
¢ −igαβ
l× (−l)
p× (−p) ¡ αµ βν
αν µβ
+ sin
sin
g g −g g
=
2
2
l2
Z
d4 l 1
2 µν
2 p̃l
= − 12g g
4 2 sin
2
(2π) l
(6.21)
La parte dipendente da θµν risulta essere, usando (A.13):
Z
d4 l eip̃l
3ig 2 g µν
µν
µν
2 µν
iΠg2 (p, θ ) = 6g g
=
(2π)4 l2
2π 2 |p̃|2
(6.22)
In questo caso il risultato è esatto, non deriva da un’approssimazione per grandi
impulsi del loop.
Terzo diagramma
Il terzo diagramma con cui il settore di gauge contribuisce alla self energia del fotone
coinvolge il vertice a un fotone e due ghosts; è riportato in figura (6.6). Il fattore di
simmetria del diagramma è semplicemente 1. Usando il vertice (5.85) si trova che
questo contributo vale:
µ
¶
µ
¶
Z
l× (l − p)
(l − p) ×l
d4 l 2 lµ (l − p)ν
µν
2
i
sin
iΠg3 (p) = −4g
sin
=
2
2
(2π)4 l2 (l − p)2
Z
d4 l lµ (l − p)ν
2 p̃l
2
(6.23)
= −4g
4 2
2 sin
2
(2π) l (l − p)
II. Teorie di gauge
84
l
p
p
l-p
Figura 6.6: Contributo dei ghost
in corrispondenza a grandi impulsi del loop si ha:
Z
iΠµν
g3
(p) →
iΠµν0
g3
(p) = −4g
2
d4 l lµ lν
2 p̃l
4 4 sin
2
(2π) l
(6.24)
Considerando soltanto la parte dipendente da θµν e adoperando (A.12) si trova:
Z
iΠµν0
g3
µν
(p, θ ) = 2g
2
ig 2
d4 l lµ lν ip̃l
e
=
4π 2
(2π)4 l4
µ
p̃µ p̃ν
g µν
−2 4 + 2
|p̃|
|p̃|
¶
(6.25)
In totale, combinando (6.20), (6.22) e (6.25), si trova che il contributo del settore
di gauge è:
µν0
µν
µν0
µν
µν
µν
µν
iΠµν0
g (p, θ ) =iΠg1 (p, θ ) + iΠg2 (p, θ ) + iΠg3 (p, θ ) =
µ µν
¶
−g 2 i
g
p̃µ p̃ν
3ig 2 g µν
= 2 7 2 − 10 4 +
+
4π
|p̃|
|p̃|
2π 2 |p̃|2
µ
¶
ig 2
p̃µ p̃ν
g µν
+ 2 −2 4 + 2 =
4π
|p̃|
|p̃|
=2
6.1.4
(6.26)
g 2 i p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
Conclusioni
In questa sezione ho calcolato i contributi del fermione di Majorana, degli scalari e
del settore di gauge alla self energia del fotone in una geometria noncommutativa,
6.1. Self energia del fotone
85
seguendo il metodo esposto in [38]. I tre contributi sono rispettivamente:
µν
iΠµν0
f (p, θ ) = −
4ig 2 p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
fermioni di Majorana
µν
iΠµν0
s (p, θ ) =
ig 2 p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
scalari neutri
µν
iΠµν0
g (p, θ ) =
2ig 2 p̃µ p̃ν
π 2 |p̃|4
settore di gauge
dove p̃, definito in (5.25), è:
p̃µ = θµν pν
(6.27)
Questi tre contributi sono stati ottenuti isolando la parte divergente nell’ultravioletto (considerando il limite di grandi impulsi del loop) dei diagrammi nonplanari.
Tuttavia si nota che non divergono poiché p̃−1 svolge il ruolo di un cutoff efficace.
Questo è un esempio di come la noncommutatività possa migliorare il comportamento nell’ultravioletto dei diagrammi. Se si manda all’infinito il cutoff efficace,
cioè si considera il limite p̃ → 0, ricompare una divergenza quadratica. È lo stesso
tipo di divergenza che si trova per la self energia del fotone nelle teorie commutative
tramite argomenti di power counting, sebbene poi il grado di divergenza possa essere
ridotto grazie all’invarianza di gauge.
In questo caso la divergenza che compare rimuovendo il cutoff efficace, essendo
legata al limite degli impulsi esterni che tendono a zero, è una divergenza infrarossa.
Questo effetto è già stato descritto in generale nella sezione 5.1.4.
II. Teorie di gauge
86
6.2
Self energia dello scalare neutro
In questa sezione calcolo la self energia di uno scalare neutro in uno spaziotempo
noncommutativo. Considero sia il contributo dovuto all’interazione con i fotoni,
descritta dall’azione (4.61), che quello dovuto all’interazione tra scalari del tipo λφ4 .
Analogamente a quanto è stato fatto nel caso del fotone mi limito ad individuare la
parte divergente di ogni diagramma e ad isolarne la parte dipendente da θµν .
6.2.1
Contributo dei fotoni
I fotoni contribuiscono alla self energia dello scalare tramite due differenti diagrammi, dovuti ai vertici (5.60) e (5.64).
Primo diagramma
Il primo diagramma con cui i fotoni contribuiscono alla self energia di uno scalare
neutro è riportato in figura 6.7. Il fattore di simmetria del diagramma è 4.
l
p
p
p-l
Figura 6.7: Contributo dei fotoni: primo diagramma
Utilizzando il vertice (5.60), e con gli impulsi definiti come in figura 6.7, si trova:
Z
d4 l
µ
ν
2
Σg1 (p) =4g
4 (p + p − l) (p − l + p) ·
(2π)
· sin
(p − l) × (−p)
p× (l − p) −i
i
sin
gµν
=
2
2
2
l
(p − l)2 − m2
Z
= − 4g
2
(6.28)
p̃l
d4 l
(2p − l)2
¢ sin2
¡
2
4 2
2
(2π) l (p − l) − m2
Per grandi impulsi del loop vale:
Σg1 (p) →
Σ0g1
Z
(p) = −4g
2
d4 l 1
2 p̃l
4 2 sin
2
(2π) l
(6.29)
Considerando soltanto la parte dipendente da θµν ed adoperando (A.13) si trova
infine il risultato:
Z
d4 l eip̃l
g2i
µν
2
0
=
Σg1 (p, θ ) = 2g
(6.30)
(2π)4 l2
2π 2 |p̃|2
6.2. Self energia dello scalare neutro
87
Secondo diagramma
Il secondo diagramma con cui i fotoni contribuiscono alla self energia di uno scalare
neutro è riportato in figura 6.8; ha un fattore di simmetria pari a 2.
l
p
p
Figura 6.8: Contributo dei fotoni: secondo diagramma
Adoperando il vertice (5.64) si trova che questo contributo vale:
·
Z
d4 l −igµν
p× (−p) + l× (−p)
p×l
2 µν
Σg2 (p) =2ig g
sin
+
sin
4
2
2
(2π) l2
¸
l× (−p)
p×l + p× (−p)
+ sin
sin
=
2
2
Z
d4 l 1
2
2 p̃l
=16g
4 2 sin
2
(2π) l
(6.31)
Isolando la parte dipendente da θµν e usando (A.13) si trova direttamente il risultato:
Z
d4 l eip̃l
2ig 2
µν
2
Σg2 (p, θ ) = −8g
=
−
(6.32)
(2π)4 l2
π 2 |p̃|2
In questo caso il risultato è esatto, non deriva da un’approssimazione per grandi
impulsi del loop.
Combinando (6.30) e (6.32) si trova che in totale, considerando soltanto la parte
divergente e dipendente da θµν , il contributo dei fotoni è:
Σ0g (p, θµν ) =Σ0g1 (p, θµν ) + Σg2 (p, θµν ) =
=−
6.2.2
3ig 2
2π 2 |p̃|2
(6.33)
Contributo degli scalari
Il diagramma che descrive il contributo di un loop di scalari alla self energia dello
scalare è di nuovo il tadpole, ed è riportato in figura (6.9). Ha un fattore di simmetria
pari a 12.
II. Teorie di gauge
88
l
p
p
Figura 6.9: Contributo degli scalari
Ripeto in modo leggermente diverso il calcolo già svolto nell’euclideo nella sezione
5.1.2, usando il vertice (5.52):
·
Z
iλ2
−p×l + p×l − l×l
d4 l
i
Σs (p) = −
cos
+
4 2
2
6
2
(2π) l − m
¸
−p×l + p×l + l×l
−p×l − p×l + l×l
+ cos
+ cos
=
(6.34)
2
2
Z
d4 l
i
iλ2
=−
(2 + cos p×l)
4 2
6
(2π) l − m2
Per grandi impulsi del loop si può approssimare Σs (p) cosı̀:
Z
λ2
d4 l 1
0
Σs (p) → Σs (p) =
(2 + cos p×l)
6
(2π)4 l2
(6.35)
Considerando solo la parte dipendente da θµν e usando (A.13) si trova infine:
Z
λ2
d4 l eip̃l
iλ2
0
µν
Σs (p, θ ) =
=
(6.36)
6
(2π)4 l2
24π 2 |p̃|2
6.2.3
Conclusioni
In questa sezione ho calcolato la self energia di uno scalare neutro in una teoria
noncommutativa, considerando l’interazione del campo scalare con il campo di gauge
e con sé stesso. I contributi sono (v. (6.33) e (6.36)):
Σ0g (p, θµν ) = −
Σ0s
3ig 2
2π 2 |p̃|2
iλ2
(p, θ ) =
24π 2 |p̃|2
µν
fotoni
scalari neutri
Come già visto nella sezione 6.1 nel caso della self energia del fotone, questi termini,
che rappresentano la parte divergente nell’ultravioletto dei diagrammi nonplanari,
sono regolarizzati dal termine p̃−2 dovuto alla noncommutatività. La divergenza
ricompare se p̃ → 0, cioè nel limite infrarosso; questo è un altro esempio della
connessione tra infrarosso e ultravioletto che si manifesta in queste teorie.
6.3. Self energia del fermione di Majorana
6.3
89
Self energia del fermione di Majorana
In questa sezione calcolo la self energia ad un loop di un fermione di Majorana, considerando soltanto l’interazione del fermione con il campo di gauge. Diversamente
dalle sezioni precedenti in questo calcolo non mi limito ad individuare la parte divergente e dipendente da θµν ma calcolo esattamente il risultato, senza tralasciare
nessun contributo.
È interessante notare che lo stesso calcolo nel caso di un fermione di Dirac porta
ad un risultato identico a quello del caso commutativo [52], poiché i due fattori
associati ai vertici si combinano per dare un fattore di fase uguale ad 1. Per un
fermione di Majorana invece la presenza della noncommutatività è rilevante.
Il diagramma che descrive la self energia del fermione è quello in figura 6.10.
Figura 6.10: Self energia del fermione di Majorana
Adoperando il vertice (5.68) si trova:
Z
d4 k α −igαβ i (γ µ pµ − γ µ kµ + m) β
(2)
2
−iΣ =4g
γ
γ ·
(2π)4 k 2 + iε (p − k)2 − m2 + iε
(p − k) ×p
p× (p − k)
sin
=
2
2
Z
¢
d4 k
1 γ µ pµ − γ µ kµ − 2m ¡
2
ip×k
=4g
1
−
Re
e
(2π)4 k 2 + iε (p − k)2 − m2 + iε
· sin
(6.37)
Per dare senso agli integrali è necessario passare all’euclideo con una rotazione di
Wick:
ip0M =p0E
(6.38)
(pµ kµ )M = − (p·k)E
Per rotazione di Wick il termine ip×k diventa:
ip×k =ip0M θ0i ki + ipi θi0 k0M + ipi θij kj =
0i
i0
ij
(6.39)
= − p0E θ ki − pi θ k0E + ipi θ kj
Però questa espressione, oltre ad essere poco maneggevole nei calcoli, rompe esplicitamente l’invarianza di Lorentz. Mi limito quindi al caso particolare in cui:
θ0i = 0
(6.40)
II. Teorie di gauge
90
D’altronde, come già notato nella sezione 3.2, le teorie in cui θ0i non è nullo hanno
vari problemi di unitarietà e causalità, quindi la condizione (6.40) è abbastanza
naturale. D’ora in poi continuo a scrivere ipi θij kj = ip×k sottintendendo questa
condizione. Effettuando la rotazione di Wick si ottiene:
Z
¢
(γ µ pµ )M − (γ µ kµ )M − 2m ¡
(d4 k)M
1
(2)
2
ip×k
¡
¢
−iΣ
= 4g
1
−
Re
e
=
(2π)4 (k 2 )M + iε (p − k)2 M − m2 + iε
Z
¢
(d4 k)E 1 (γ µ pµ )E − (γ µ kµ )E + 2m ¡
ip×k
2
¡
¢
1
−
Re
e
(6.41)
= 4ig
4
2
(2π) (k 2 )E
(p − k) E + m2
cioè:
Z
(2)
Σ
= 4g
2
¢
(d4 k)E 1 − (γ µ pµ )E + (γ µ kµ )E − 2m ¡
ip×k
¡
¢
1
−
Re
e
(2π)4 (k 2 )E
(p − k)2 E + m2
(6.42)
D’ora in poi il pedice E che contraddistingue le grandezze euclidee viene omesso.
A questo punto l’operazione di parte reale può uscire dall’integrale:
Z
d4 k 1 −γ µ pµ + γ µ kµ − 2m
(2)
2
Σ =4g
+
(2π)4 k 2
(p − k)2 + m2
(6.43)
Z
4
µ
µ
d
k
1
−γ
p
+
γ
k
−
2m
µ
µ
− 4g 2 Re
eip×k
(2π)4 k 2
(p − k)2 + m2
Per risolvere (6.43) lo spezzo in quattro integrali:
Z
d4 k 1
1
A =
4 2
(2π) k (p − k)2 + m2
Z
d4 k 1
kµ
Bµ =
4 2
(2π) k (p − k)2 + m2
Z
d4 k 1
1
eip×k
C =
4 2
2
2
k
(2π)
(p − k) + m
Z
d4 k 1
kµ
Dµ =
eip×k
4 2
2
2
(2π) k (p − k) + m
(6.44)
(6.45)
(6.46)
(6.47)
cosı̀ che:
Σ(2) = 4g 2 ((−γ µ pµ − 2m) (A − Re C) + γ µ (Bµ − Re Dµ ))
(6.48)
Comincio quindi a risolvere il primo integrale, A. Come nell’esempio svolto nella
sezione 5.1.2, conviene usare la parametrizzazione di Schwinger:
Z ∞
1
2
2
=
dαe−α(k +m )
(6.49)
2
2
k +m
0
6.3. Self energia del fermione di Majorana
91
Risolvendo gli integrali gaussiani che ne derivano ottengo:
Z
d4 k 1
1
A=
=
4 2
(2π) k (p − k)2 + m2
Z ∞
Z ∞ Z
d4 k −αk2 −β ((p−k)2 +m2 )
=
dα
dβ
e
e
=
(2π)4
0
0
Z ∞
Z ∞
2
2 αβp
1
=
dα
dβe−βm − α+β
2
16π (α + β)2
0
0
(6.50)
È possibile procedere analogamente per calcolare gli altri tre integrali:
Z
d4 k 1
kµ
=
Bµ =
4 2
(2π) k (p − k)2 + m2
Z ∞
Z ∞
Z
d4 k
−β (p2 +m2 )
−(k2 (α+β)−2pβk)
=
dα
dβe
=
4 kµ e
(2π)
0
0
Z ∞
Z ∞
2
2 αβp
pµ β
=
dα
dβe−βm − α+β
16π 2 (α + β)3
0
0
(6.51)
Z
d4 k 1
1
eip×k =
4 2
2
2
k
(2π)
(p − k) + m
Z ∞
Z ∞
2
p̃2
2 αβp
dβe−βm − α+β e− 4(α+β)
dα
=
C=
0
0
(6.52)
1
16π 2 (α + β)2
Z
d4 k 1
kµ
eip×k =
4 2
2
2
k
(2π)
(p − k) + m
Z ∞
Z ∞
2
p̃2
2 αβp
=
dα
dβe−βm − α+β e− 4(α+β)
Dµ =
0
Z
0
Z
∞
Re Dµ =
∞
dα
0
dβe−βm
0
2
2 − αβp
α+β
1
2
16π (α + β)3
p̃2
e− 4(α+β)
16π 2
µ
ip̃µ
pµ β +
2
¶
(6.53)
pµ β
(α + β)3
Riunendo i quattro integrali:
Σ(2) =4g 2 ((−γ µ pµ − 2m) (A − Re C) + γ µ (Bµ − Re Dµ )) =
Z ∞
Z ∞
2
2 αβp
g2
=
dα
dβe−βm − α+β
·
4π 2 (α + β)2
0
0
µ
¶µ
¶
p̃2
αγ µ pµ
− 4(α+β)
· −
− 2m
1−e
α+β
(6.54)
II. Teorie di gauge
92
A questo punto riporto gli impulsi esterni nel minkowskiano; p̃ non cambia a causa
di (6.40):
µ
¶µ
¶
Z ∞
Z ∞
αβp2
p̃2
α (γ µ pµ )E
g2
− 4(α+β)
−βm2 − α+βE
(2)
Σ =
dα
dβe
−
− 2m
1−e
α+β
4π 2 (α + β)2
0
0
Z ∞
Z ∞
2
2 αβpM
g2
=
dα
·
dβe−βm + α+β
4π 2 (α + β)2
0
0
µ
¶µ
¶
p̃2
α (γ µ pµ )M
− 4(α+β)
·
− 2m
1−e
α+β
(6.55)
D’ora in poi tralascio il pedice M intendendo che le grandezze sono minkowskiane.
(2)
È possibile distinguere in Σ(2) una parte planare, Σpl , e una parte nonplanare,
(2)
Σnpl :
(2)
(2)
Σ(2) = Σpl − Σnpl
Z ∞
Z ∞
2
2 αβp
(2)
Σpl =
dα
dβe−βm + α+β
(2)
Σnpl
(6.56)
¶
αγ µ pµ
− 2m
(6.57)
α+β
0
0
¶
µ µ
Z ∞
Z ∞
2
2
p̃2
g
αγ
p
µ
−βm2 + αβp
−
α+β
4(α+β)
=
dα
dβe
− 2m (6.58)
4π 2 (α + β)2 α + β
0
0
g2
4π 2 (α + β)2
µ
La parte planare è proporzionale al risultato che si trova nel caso commutativo per
la self energia dell’elettrone. Si nota ancora una volta come le regole di Feynman
comprendano correttamente entrambi i contributi, planare e nonplanare, che poi
possono essere facilmente separati isolando la dipendenza da θµν .
Regolarizzo Σ(2) come già fatto nella sezione 5.1.2, cioè moltiplicandolo per
−1
exp − (Λ2 (α + β)) :
¶µ
µ µ
¶
Z ∞
Z ∞
2
2
p̃2
g
αγ
p
− 2 1
µ
−
−βm2 + αβp
(2)
α+β e Λ (α+β)
Σ (Λ) =
− 2m
1 − e 4(α+β)
dα
dβe
4π 2 (α + β)2 α + β
0
0
(6.59)
Si nota che:
(2)
(2)
Σnpl (Λ) = Σpl (Λef f )
(6.60)
dove:
1
Λ2ef f
=
p̃2
1
+
Λ2
4
(6.61)
Esattamente come nel caso della sezione 5.1.2, si osserva che la parte nonplanare
è uguale alla parte planare in cui il cutoff è sostituito dal cutoff efficafe definito in
(6.61). Anche la definizione del cutoff efficace è uguale a quella della sezione 5.1.2.
6.3. Self energia del fermione di Majorana
93
(2)
Per calcolare l’integrale planare non regolarizzato Σpl faccio riferimento al procedimento seguito da [53] nel caso commutativo. Il punto di partenza è quindi:
µ µ
¶
Z ∞
Z ∞
2
2
g
αγ
p
µ
(2)
−βm2 + αβp
α+β
Σpl =
− 2m
(6.62)
dα
dβe
4π 2 (α + β)2 α + β
0
0
(2)
Per ricondurre Σpl all’integrale calcolato in [53] pongo α → iα, β → iβ ottenendo:
µ µ
¶
Z ∞
Z ∞
2
2
g
αγ
p
µ
(2)
−iβm2 + iαβp
α+β
Σpl =
dα
dβe
− 2m
(6.63)
4π 2 (α + β)2 α + β
0
0
(2)
Introduco nell’integrale Σpl un fattore di scala comune per α e β:
Z ∞
1=
dρδ (α + β − ρ)
(6.64)
0
ottenendo:
Z ∞ Z
(2)
Σpl =
dρ
0
Z
∞
∞
dα
0
2
dβe
0
−iβm2 + iαβp
α+β
g2
δ (α + β − ρ)
4π 2 (α + β)2
µ
¶
αγ µ pµ
− 2m
α+β
(6.65)
Cambio variabile ponendo α = ρa, β = ρb:
Z ∞ Z ∞
Z ∞
g2
dρ iρ(abp2 −bm2 )
(2)
µ
Σpl =
da
dbδ (a + b − 1) 2 (aγ pµ − 2m)
e
(6.66)
4π
ρ
0
0
0
dove ho sfruttato il fatto che la δ forza a + b = 1. A questo punto regolarizzo
l’integrale:
Z ∞ Z ∞
Z ∞
´
g2
dρ ³ iρ(abp2 −bm2 )
(2)
−iρaΛ2
µ
Σpl (Λ) =
da
dbδ (a + b − 1) 2 (aγ pµ − 2m)
e
−e
4π
ρ
0
0
0
(6.67)
Poi uso l’identità:
Z ∞
dρ
z2
(exp iρ (z1 + iε) − exp iρ (z2 + iε)) = ln
(6.68)
ρ
z1
0
ottenendo:
Z ∞ Z ∞
g2
−aΛ2
(2)
Σpl (Λ) =
da
dbδ (a + b − 1) 2 (aγ µ pµ − 2m) ln
=
4π
abp2 − bm2
0
0
Z 1
g2
aΛ2
=
da 2 (aγ µ pµ − 2m) ln
=
4π
(1 − a) (m2 − ap2 )
0
µ
µ
¶¶
Z 1
Λ2
ap2
g2
µ
=
=
da 2 (aγ pµ − 2m) ln a + ln 2 − ln (1 − a) − ln 1 − 2
4π
m
m
0
µ
µ µ
¶µ
¶
¶
g2
Λ2
γ µ pµ Λ2
p2
m2
=
−2m ln 2 +
ln 2 + 2m ln 1 − 2
1− 2 −1 +
4π 2
m
2
m
m
p
µ
¶µ
¶
¶¶
µ
γ µ pµ
p2
m4
m2
3
−
1− 4 − 2
(6.69)
− + ln 1 − 2
2
2
m
p
p
II. Teorie di gauge
94
Infine:
(2)
(2)
Σ(2) (Λ) = Σpl (Λ) − Σpl (Λef f ) =
µ
¶
Λ2ef f
g2
Λ2
γ µ pµ Λ2
γ µ pµ Λ2ef f
=
−2m ln 2 +
ln 2 −
ln 2 + 2m ln 2 =
4π 2
m
2
m
2
m
m
=
6.3.1
g2
Λ2
µ
(−4m
+
γ
p
)
ln
µ
8π 2
Λ2ef f
(6.70)
Conclusioni
In questa sezione ho calcolato esplicitamente la self energia di un fermione di Majorana, trovando conferma a molte osservazioni generali della sezione 5.1.4. Si trova
di nuovo un cutoff efficace che va come p̃−1 (v. (6.61)), in analogia a quanto trovato
nella sezione 5.1.2. Di conseguenza la self energia mostra la divergenza infrarossa già
trovata nella sezione 5.1.2 calcolando la self energia dello scalare senza approssimazioni. Tuttavia il grado di divergenza è diverso: nel caso dello scalare si trattava di
una divergenza quadratica, in questo caso la divergenza infrarossa viene dal termine
ln p̃2 e quindi è logaritmica.
Anche in questo caso calcolando esplicitamente l’azione effettiva si troverebbe
una manifestazione della connessione fra ultravioletto e infrarosso.
6.4. Relazioni di dispersione
6.4
95
Relazioni di dispersione
In questa sezione esploro le conseguenze fisiche dei calcoli dei diagrammi di self
energia ricavando le corrispondenti relazioni di dispersione.
6.4.1
Relazione di dispersione per il fotone
Il risultato della sezione 6.1 è che la parte divergente dei diagrammi nonplanari che
contribuiscono alla self energia del fotone è:
iΠµν0 (p, θµν ) = ikg 2
p̃µ p̃ν
|p̃|4
(6.71)
dove k è una costante che dipende dal numero di fermioni di Majorana e scalari
neutri presenti nella teoria. Si considera il caso in cui l’unica componente di θµν non
nulla è θ12 = −θ21 . L’inverso del propagatore libero è:
igµν 2
p
4
quindi al secondo ordine l’inverso del propagatore corretto è:
µ
¶
µ ν
¡ 2
¢
i
µν
2
2
2 p̃ p̃
g
p0 − p3 − P − 4kg
4
|p̃|4
(6.72)
(6.73)
dove P µ è la proiezione dell’impulso spaziale sul piano (1, 2). Per identificare il
contenuto fisico della relazione (6.73) è sufficiente esaminare un caso semplice, ad
esempio si considera che la componente di P µ lungo la direzione 1 sia nulla, cosı̀
che p̃µ = P̃ µ è orientato lungo la direzione 1. Per un fotone con vettore di polarizzazione perpendicolare a P̃ si trova una relazione di dispersione identica al caso
commutativo:
p20 = p23 + P 2
(6.74)
Per un fotone con vettore di polarizzazione parallelo a P̃ , si trova una relazione di
dispersione modificata:
1
(6.75)
p20 = p23 + P 2 + 4kg 2
P̃ 2
La noncommutatività fa sı̀ che la relazione di dispersione dipenda dalla direzione
di polarizzazione. Si usa quindi concludere (v. ad esempio [38]) che l’invarianza
di Lorentz è completamente persa. Infatti generalmente non viene data sufficiente
rilevanza alla seguente osservazione: a livello fondamentale la teoria è ancora invariante di Lorentz per costruzione. Un esempio di una simile situazione è fornito dal
caso descritto nella sezione 3.1, dedicata alla meccanica quantistica di un oscillatore
immerso in un campo magnetico. La presenza del campo esterno riduce la simmetria
per traslazioni del contesto fisico considerato, permettendo cosı̀ di individuare un
II. Teorie di gauge
96
sistema di riferimento privilegiato, ma non implica affatto che la teoria fondamentale abbia perso qualche simmetria. D’altronde l’apparente rottura della simmetria
caratterizza solo la teoria effettiva, che non coinvolge esplicitamente il campo esterno. A livello della teoria fondamentale l’invarianza di Lorentz è manifesta se si tiene
conto delle leggi di trasformazione del campo esterno.
6.4.2
Relazione di dispersione per il fermione di Majorana
Nella sezione 6.3 ho trovato (v. (6.70)):
Σ(2) (p) =
g2
Λ2
µ
(γ
p
−
4m
)
ln
µ
0
8π 2
Λ2ef f
(6.76)
dove m0 è la massa nuda che appare nella lagrangiana, e Λ2ef f è definito come (v.
(6.61)):
1
1
p̃2
= 2+
(6.77)
Λ2ef f
Λ
4
Il propagatore è:
i
γ µ pµ − m0 − Σ (p)
al secondo ordine:
i
γ µ pµ
− m0 − Σ(2) (p)
(6.78)
(6.79)
La relazione di dispersione è quella che fornisce il polo del propagatore. Al secondo
ordine:
γ µ pµ − m0 − Σ(2) (p) = 0
(6.80)
cioè:
g2
Λ2
µ
γ pµ − m0 − 2 (γ pµ − 4m0 ) ln 2 = 0
8π
Λef f
µ
(6.81)
Ricordando la definizione di Λ2ef f :
¶
µ
Λ2
p̃2 Λ2
ln 2 = ln 1 +
Λef f
4
(6.82)
γ µ pµ (1 − A) − m0 (1 − 4A) = 0
(6.83)
µ
¶
p̃2 Λ2
g2
A = 2 ln 1 +
8π
4
(6.84)
si ha:
dove:
Una conveniente caratterizzazione del polo del propagatore, cioè dello zero di (6.83),
si ottiene tramite la relazione:
(γ µ pµ (1 − A) + m0 (1 − 4A)) (γ µ pµ (1 − A) − m0 (1 − 4A)) = 0
(6.85)
6.4. Relazioni di dispersione
che equivale a:
p2 (1 − A)2 − m20 (1 − 4A)2 = 0
e ricordando la definizione di A:
µ
µ
¶¶2
¶¶2
µ
µ
g2
g2
p̃2 Λ2
p̃2 Λ2
2
2
p 1 − 2 ln 1 +
− m0 1 − 2 ln 1 +
=0
8π
4
2π
4
97
(6.86)
(6.87)
Si nota che se la massa m0 è nulla la relazione di dispersione è del tipo p2 = 0.
Quindi se inizialmente m0 = 0 le inserzioni di self energia non danno luogo ad una
massa fisica non nulla per il fermione di Majorana.
II. Teorie di gauge
98
6.5
Implicazioni fenomenologiche
Dopo aver valutato quantitativamente alcune grandezze derivanti dalla geometria
noncommutativa di tipo canonico, è interessante cercare di identificare predizioni
che si prestino a verifica sperimentale. Infatti, eventuali risultati sperimentali riconducibili a parametri di noncommutatività θµν non nulli non solo testimonierebbero
della rilevanza di queste teorie, ma fornirebbero anche un’indiretta evidenza sperimentale in favore delle teorie di stringa, e quindi avrebbero ripercussioni profonde
nell’identificazione di una teoria che descriva correttamente le leggi fondamentali
della Natura. Evidenze di questo tipo avrebbero ugualmente molto peso nello stabilire la rilevanza o meno di queste teorie se, anziché determinare i θµν , individuassero
solo dei limiti superiori al valore di questi parametri, poiché ne risulterebbero dei
vincoli sperimentali alla costruzione di teorie di stringa. Questo è particolarmente
significativo visto che sono estremamente rare [54] le opportunità di ottenere informazioni sperimentali sulle teorie che tentano di unificare la meccanica quantistica e
la relatività generale.
Di fatto c’è già stato un impegno notevole nell’identificazione di limiti sperimentali sui θµν , che nella maggior parte dei casi (si vedano, ad esempio, gli studi in
[55, 56, 57]) è stato incentrato su analisi di dati ottenuti in regimi di bassissime
energie, cioè studiando le interazioni di particelle con impulsi quasi nulli. Tuttavia i limiti sui θµν cosı̀ ottenuti potrebbero essere scarsamente significativi, come
si può capire osservando che, come ho enfatizzato in parte di questo lavoro di tesi,
nell’infrarosso le teorie noncommutative presentano caratteristiche nuove, che riflettono la connessione fra ultravioletto ed infrarosso, e che in ultima analisi segnalano
un’inconsistenza di queste teorie nell’infrarosso. Questa inconsistenza fa sı̀ che la
descrizione effettiva delle teorie di stringa in un campo esterno come teorie di campo
noncommutative non sia più valida nel regime infrarosso [58].
I miei risultati sulla self-energia di alcune particelle neutre, e l’associata deformazione della relazione di dispersione, suggeriscono un metodo alternativo per
determinare di limiti sperimentali sui θµν , evitando di basarsi su dati di basse energie. Infatti, è stato recentemente rilevato che l’analisi di alcuni tipi di osservazioni
astrofisiche consente di mettere limiti molto significativi sull’ipotesi di una deformazione della relazione di dispersione nel vuoto. Nel caso dei fotoni la deformazione
della relazione di dispersione può essere verificata tramite osservazioni di “gammaray bursts” e di fotoni di alte energie prodotti dalle galassie attive Mk421 ed Mk501
[54, 59, 60, 61]. Analogamente, limiti significativi sulle deformazioni della relazione
di dispersione dei fermioni di Majorana possono essere ottenuti da osservazioni dei
neutrini di alte energie emessi da alcune supernova (del tipo della supernova 1987a)
[54].
Da un confronto tra le relazioni di dispersione ottenute in questa tesi ed i relativi
dati sperimentali sarà quindi possibile ottenere limiti significativi sui parametri θµν ,
e questi limiti non saranno invalidati dalle inconsistenze delle teorie noncommutative
nel regime infrarosso. Questa analisi fenomenologica è rinviata a studi futuri.
Capitolo 7
Conclusioni
In questa tesi ho esaminato due questioni rilevanti per individuare l’eventuale ruolo
della geometria noncommutativa all’interno delle teorie di stringhe. Nella prima
parte ho studiato le limitazioni sulla localizzazione di eventi (capitolo 2), connesse
con la possibilità che un qualche tipo di geometria noncommutativa possa essere
usato per la riformulazione esatta della teoria di stringa a livello fondamentale.
Nella seconda parte (capitoli 5 e 6), ho studiato alcune proprietà delle teorie di
campo su uno spaziotempo noncommutativo canonico, rilevanti per la possibilità
che le geometrie noncommutative di tipo canonico possano essere utili come teorie
effettive delle teorie di stringa, cioè che ne descrivano bene le caratteristiche in un
certo limite.
Il punto di partenza per il lavoro di ricerca da me riportato nel capitolo 2 sono alcuni recenti studi [21, 22, 23] svolti in ambito di teoria di stringa a proposito
delle proprietà di nuovi costituenti della teoria, le D-particles. In [21, 22, 23] è stato suggerito che le collisioni tra D-particles potrebbero identificare una regione di
collisione molto piccola, di dimensioni lineari addirittura minori della lunghezza di
stringa. I miei studi hanno chiarito quali sono le implicazioni di questi risultati per
la determinazione di un limite assoluto alla localizzazione di un evento in teorie di
stringa. I limiti di localizzazione sono ritenuti una importante e generale caratteristica delle teorie che unificano la meccanica quantistica e la relatività generale, e
vengono spesso usati per motivare una descrizione fondamentale dello spaziotempo
in termini di una geometria noncommutativa. Infatti una geometria commutativa non consente l’introduzione di limiti assoluti sulla misurabilità delle coordinate
spaziotemporali. Tramite l’analisi di un gedanken experiment con la struttura del
microscopio di Heisenberg, in cui il ruolo di probe e target era svolto da D-particles,
ho ottenuto un nuovo limite assoluto sulla localizzazione di un evento. La parte
spaziale di questo limite riflette il contenuto dei precedenti studi [21, 22, 23], ovvero
descrive una localizzazione spaziale che è più accurata del limite che ci si aspetterebbe sulla base di una analisi dimensionale basata sulla lunghezza di stringa. I
miei studi hanno però evidenziato che una cosı̀ elevata localizzazione spaziale può
essere ottenuta solo al prezzo di rinunciare ad una buona localizzazione tempora99
100
7. Conclusioni
le dell’evento. Questi risultati contribuiscono ad una caratterizzazione fisica della
natura dello spaziotempo che emerge in teorie di stringa, e potrebbero fornire utili
spunti per la ricerca di una geometria noncommutativa che possa essere usata per
una riformulazione esatta delle teorie di stringa.
Il mio lavoro di ricerca riportato nei capitoli 5 e 6 ha preso l’avvio da alcuni
recenti studi [10, 32, 62, 63, 64, 27, 38, 35] sulla costruzione di teorie di gauge in
una geometria noncommutativa di tipo canonico, che fornisce una descrizione effettiva delle teorie di stringa in presenza di campi esterni di un certo tipo. Questi
studi precedenti avevano evidenziato alcune proprietà del regime infrarosso, enfatizzandone le implicazioni per la struttura della relazione di dispersione dei fotoni.
Dalla mia analisi è emerso che caratteristiche analoghe hanno validità più generale:
in questo tipo di geometria noncommutativa tutte le particelle neutre hanno una
relazione dispersione deformata, ed il termine aggiuntivo introdotto dalla noncommutatività della geometria non è ben definito nell’infrarosso. Per ciascun tipo di
particella neutra si trova una diversa relazione di dispersione, in particolare per i
neutrini la deformazione della relazione di dispersione ha una dipendenza dal quadrimpulso molto caratteristica, mentre per i fotoni c’è una forte dipendenza dalla
polarizzazione, ma gli aspetti qualitativi del regime infrarosso sono comuni. Sfruttando i miei risultati sulle relazioni di dispersione delle particelle neutre si possono
individuare nuove strategie sperimentali per cercare evidenze di questo tipo di geometria noncommutativa; tali evidenze rappresenterebbero anche un indizio indiretto
in favore della rilevanza delle teorie di stringa nella descrizione della Natura. Come
ho sottolineato nella sezione 6.5, finora la fenomenologia di queste teorie è stata
studiata basandosi su esperimenti a basse energie, che tuttavia non possono fornire
risultati significativi, poiché nel regime infrarosso le teorie noncommutative hanno
vari problemi di consistenza, tanto che la connessione con le teorie di stringa viene
persa. Nella sezione 6.5 propongo un approccio radicalmente diverso alla fenomenologia di queste teorie, basato su osservazioni astrofisiche che coinvolgono particelle
di alte energie, in grado di fornire affidabili limiti sperimentali sui parametri che
caratterizzano la geometria noncommutativa.
Appendice A
Formule utili
Formule trigonometriche
Riporto qui alcune semplici formule trigonometriche, utili per manipolare i fattori
da associare ai vertici della teoria noncommutativa secondo le regole di Feynman.
Dalle espressioni del coseno e del seno della somma di angoli segue:
1
sin a cos b = (sin (a + b) + sin (a − b))
2
1
cos a sin b = (sin (a + b) − sin (a − b))
2
1
cos a cos b = (cos (a + b) + cos (a − b))
2
(A.1)
1
sin a sin b = (− cos (a + b) + cos (a − b))
2
ovvero:
p−q
p+q
cos
2
2
p+q
p−q
sin p − sin q =2 cos
sin
2
2
sin p + sin q =2 sin
p+q
p−q
cos p + cos q =2 cos
cos
2
2
cos p − cos q = − 2 sin
ed anche:
sin2
p−q
p+q
sin
2
2
¢
α
1 − cos α
1¡
=
=
1 − Re eiα
2
2
2
101
(A.2)
(A.3)
Appendice
102
Integrali utili
Riporto qui alcuni integrali utili nello svolgere i calcoli relativi ai diagrammi di self
energia della teoria noncommmutativa.
I notissimi integrali gaussiani:
√
Z +∞
π
−(ax+b)2
dx =
e
(A.4)
a
−∞
√
Z +∞
b π
−(ax+b)2
(A.5)
xe
dx = −
a a
−∞
possono essere estesi al caso di variabili euclidee quadridimensionali, ottenendo:
µ√ ¶4
π
e
dx =
a
µ√ ¶4
Z
π
b
−(ax+b)2 4
xe
dx = −
a
a
Z
−(ax+b)2 4
(A.6)
(A.7)
dove ogni variabile è integrata da −∞ a +∞.
Tramite prolungamento analitico dell’integrale gaussiano si trova l’integrale di
Fresnel:
√
Z +∞
iπ
π
i(ax+b)2
e
dx = e 4
(A.8)
a
−∞
L’integrale di Fresnel permette di calcolare i seguenti integrali su variabili minkowskiane:
µ√ ¶4
Z
π
i(ax+b)2 4
e
d x = −i
(A.9)
a
µ√ ¶4
Z
π
b
i(ax+b)2 4
xe
dx = i
(A.10)
a
a
Studiando diagrammi a un loop
perare i seguenti risultati:
Z
d4 l eip̃l
(2π)4 l4
Z
d4 l lµ lν ip̃l
e
(2π)4 l4
Z
d4 l eip̃l
(2π)4 l2
della teoria noncommutativa è necessario adoi
(ln Λ − ln |p̃|)
8π 2
µ
¶
i
p̃µ p̃ν
g µν
=
−2 4 + 2
8π 2
|p̃|
|p̃|
=
=
i
4π 2 |p̃|2
(A.11)
(A.12)
(A.13)
Formule utili
103
dove p̃l = p̃µ lµ = lµ θµν pν = l×p. Per verificare questi tre risultati occorre ricordare
la parametrizzazione di Schwinger per propagatori nel minkowskiano:
Z ∞
i
iα(k2 −m2 )
=
dαe
(A.14)
k 2 − m2
0
Ad esempio, per calcolare (A.11) si comincia sfruttando (A.9) e (A.14):
Z
Z ∞
(p̃)2
d4 l eip̃l
i
dαdβ −i 4(α+β)
e
=
16π 2 0 (α + β)2
(2π)4 l4
(A.15)
A questo punto si procede analogamente a quanto fatto per risolvere l’integrale della
self energia del fermione di Majorana, nella sezione 6.3. Si introduce un fattore di
scala comune per α e β:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
(p̃)2
(p̃)2
i
i
dαdβ −i 4(α+β)
dαdβ −i 4(α+β)
=
dρδ (ρ − α − β) =
e
e
16π 2 0 (α + β)2
16π 2 0 (α + β)2
0
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
dρ −i (p̃)
i
dy −i(p̃)2 y
i
4ρ
=
dαdβ
e
δ (α + β − 1) =
e
(A.16)
2
2
16π 0
ρ
16π 0 y
0
2
Si regolarizza l’integrando moltiplicandolo per e−iΛ y e lo si risolve grazie all’identità
(6.68):
Z ∞
Z ∞
´
i
dy −i(p̃)2 y
i
dy ³ −i(p̃)2 y
i
Λ2
−iΛ2 y
e
→
e
−
e
=
ln
(A.17)
16π 2 0 y
16π 2 0 y
16π 2 (p̃)2
(A.12) può essere ottenuto facilmente da (A.11):
Z
Z
d4 l lµ lν ip̃l
∂ ∂
d4 l eip̃l
e =−
∂ p̃µ ∂ p̃ν
(2π)4 l4
(2π)4 l4
Infine (A.13) si ottiene come (A.11), sfruttando (A.9) e (A.14).
(A.18)
104
Appendice
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