2^ Esercitazione

2a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected]) & Stefania
Migliavacca ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K & L-Z, a.a. 2009-2010
Questa esercitazione è suddivisa in 2 parti: esercizi da svolgere ad esercitazione ed
esercizi consigliati dal vostro libro di testo.
Parte I: esercizi da svolgere ad esercitazione
Esercizio 1. Federico spende tutto il suo reddito settimanale (M) per acquistare
CD (bene X) ed andare in discoteca (bene Y). Indicate con px e py i prezzi dei due
beni di consumo acquistati da Federico. Supponete che le preferenze di Federico siano
rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (X, Y ) = X a Y 1−a con a ∈ [0; 1].
1. Scrivete e rappresentate graficamente l’equazione del vincolo di bilancio di Federico indicando chiaramente il valore delle intercette e della pendenza (misurate
il bene Y sull’asse verticale).
2. Stante la forma delle preferenze di Federico, individuate (graficamente) il paniere
ottimo di consumo e discutete il risultato ottenuto.
3. Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra CD e ingressi in discoteca.
4. Verificate che è ottimale per Federico destinare all’acquisto del bene X una
quota "a" del suo reddito.
5. Supponete che px = 3, py = 1, M = 10 e a = (3/5). Calcolate il paniere ottimo
di Federico.
6. Se il reddito di Federico raddoppiasse, di quanto aumenterebbe il consumo
di bene X? (Non sono necessari calcoli) Fornite una rappresentazione grafica
delle due scelte ottime di Federico (la prima con M = 10, la seconda con
M 0 = 2M = 20)
1. Susanna ha preferenze simili a quelle di Federico. Supponete che la funzione
di utilità di Susanna sia del tipo U (X, Y ) = X b Y 1−b con b ∈ [0; 1] e b < a.
Supponendo che Susanna e Federico dispongano dello stesso reddito, fornite una
rappresentazione grafica dei panieri ottimi dei due consumatori. Argomentate.
1
Esercizio 1. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio di Federico è
px X + py Y = M da cui Y =
M
py
−
px
py X
e si caratterizza per
pendenza
− ppxy
intercetta orizzontale X = pMx ; Y = 0
intercetta verticale X = 0; Y = M
py
da cui la seguente rappresentazione grafica
Y
M/py
M/px
X
(2) Secondo la teoria della scelta razionale, Federico sceglierà tra le combinazioni
a lui accessibili quella che gli garantisce la massima soddisfazione. Preferenze di tipo
Cobb-Douglas indicano una predilezione da parte del consumatore per la varietà (i.e.
saggio marginale di sostituzione decrescente).Graficamente
Y
Paniere
ottimo
Y*
Funzione
di utilità
Vincolo di bilancio
X*
X
(3) Il saggio marginale di sostituzione tra bene X e bene Y è generalmente definito
come
¯ ∆Y ¯ MU
x
¯=
M RSxy = ¯ ∆X
MUy
Essendo
M Ux =
∂ (X a Y 1−a )
∂X
= aX a−1 Y 1−a e M Uy =
∂ (X a Y 1−a )
∂Y
= (1 − a) X a Y 1−a−1 = (1 − a) X a Y −a
e sostituendo si ottiene
M RSxy =
MUx
MUy
=
aX a−1 Y 1−a
(1−a)X a Y −a
=
2
a−1−a 1−a+a
a
Y
1−a X
=
a Y
1−a X
(4) Sappiamo che il paniere ottimo di Federico appartiene al suo vincolo di bilancio
px X + py Y = M
(1)
e verifica la condizione di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indifferenza
M RSxy =
px
py
→
a Y
1−a X
=
px
py
→ py Y =
1−a
a px X ;
(2)
quindi sostituendo il valore della spesa per bene Y (py Y ) ottenuto dalla (2) nella (1)
si ottiene
px X + 1−a
(3)
a px X = M → px X = aM
da cui effettivamente una spesa in per CD (px X) pari ad una quota "a" del reddito
a disposizione di Federico. Considerazione. Dividendo entrambi i membri della (3)
per px , si ricava la seguente domanda da parte del consumatore per il bene X
X = a pMx
Si noti che la domanda di cui sopra è decrescente nel prezzo del bene (più è caro
meno me ne posso permettere), crescente nel reddito (più sono ricco, maggiori sono
le unità di bene X che posso acquistare) ed indipendente dal prezzo del bene Y (se
anche py aumenta Federico non modifica la scelta per bene X).
(5) Il paniere ottimo di Federico è
X ∗ = a pMx = 2 e Y ∗ = (1 − a) pMy = 2
(6) Se il reddito di Federico raddoppiasse, il consumatore raddoppierebbe il consumo di bene X (per dati valori del parametro "a” e del prezzo del bene X, px ) e di
bene Y (per dati valori del parametro "a” e del prezzo del bene Y, py ). Graficamente
Y
Nuovo paniere ottimo
Y**
Vecchio paniere ottimo
Y*
Nuovo vincolo di bilancio
X*
X
X**
(7) Il consumo di bene X assicura a Susanna un grado di soddiefazione inferiore
a quello che lo stesso bene garantisce a Federico (b < a); quindi, nel confronto con
Federico, Susanna deciderà di destinare una minor quota del suo reddito al consumo
di bene X. Graficamente
3
Y
Paniere ottimo di Susanna
Paniere ottimo di Federico
Preferenze di Susanna
Preferenze di Federico
X
Vincolo di bilancio di
Susanna e Federico
Esercizio 2. Guido spende tutto il suo reddito settimanale (M) per acquistare i
beni X ed Y. Indicate con px e py i prezzi dei due beni di consumo di cui sopra.
Supponete che le preferenze di Giudo siano rappresentate dalla seguente funzione di
utilità: U (X, Y ) = X a Y b con a, b > 0.
1. Scrivete e rappresentate graficamente l’equazione del vincolo di bilancio di
Guido indicando chiaramente il valore delle intercette e della pendenza (misurate il bene Y sull’asse verticale).
2. Calcolate il saggio marginale di sostituzione tra bene X e bene Y.
3. Calcolate la quota di reddito che Guido decide di destinare al consumo del bene
Y. Discutete il risultato ottenuto.
4. Calcolate (e fornite una rappresentazione grafica) della "Curva di Engel" relativa al bene X.
5. Verificate quindi che il bene X è un bene normale. Discutete il risultato ottenuto.
6. Supponete che px = 2, py = 3, M = 10, a = 2 e b = 3. Calcolate il paniere
ottimo di Guido.
7. Condizioni di mercato favorevoli portano ad un aumento dell’offerta e dunque
ad una contrazione del prezzo del bene X. Discutete l’effetto di tale riduzione
sul consumo di bene X (e di bene Y) da parte di Guido (non sono necessarie
formalizzazioni).
Esercizio 2. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio di Guido è
px X + py Y = M da cui Y =
M
py
−
px
py X
e si caratterizza per
pendenza
− ppxy
intercetta orizzontale X = pMx ; Y = 0
intercetta verticale X = 0; Y = M
py
da cui la seguente rappresentazione grafica
4
Y
M/py
M/px
X
(2) Il saggio marginale di sostituzione tra bene X e bene Y è generalmente definito
come
¯ ∆Y ¯ MU
x
¯=
M RSxy = ¯ ∆X
MUy
Essendo
M Ux =
∂ (X a Y b )
∂X
= aX a−1 Y b e M Uy =
∂ (X a Y b )
∂Y
= bX a Y b−1
e sostituendo si ottiene
M RSxy =
MUx
MUy
=
aX a−1 Y b
bX a Y b−1
= ab X a−1−a Y b−b+1 =
aY
b X
(3) Ricordando che il paniere ottimo appartiene al vincolo di bilancio
px X + py Y = M da cui px X = M − py Y
e che, stanti le preferenze di Guido, in corrispondenza del livello di consumo ottimale
è verificata la condizione di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indifferenza
M RSxy =
px
py
→
aY
bX
=
px
py
→ px X = ab py Y
si ottiene
a
b py Y
= M − py Y → py Y =
b
a+b M
(4)
Dalla (4) si evince che la quota di reddito che Guido decide di destinare all’acquisto di
bene Y è [b/(a+b)]. Tale quota è crescente nel valore del parametro "b" e decrescente
nel valore del parametro "a". Ovvero, Guido è tanto più propenso ad acquistare unità
di bene Y (e quindi a destinare parte del suo reddito all’acquisto di Y):
• quanto maggiore è la soddisfazione che il consumo di Y gli assicura (e questa è
misurata dal parametro "b"), e
• quanto minore è la soddisfazione che il consumo di X gli garantisce (e questa è
misurata dal paramero "a").
(4) La curva di Engel esprime la relazione tra la quantità consumata di un bene
ed il reddito individuale. Dalla (4) abbiamo che la curva di Engel per il bene Y è
M=
a+b
b py Y
5
e similmente quella relativa al bene X sarà
M=
a+b
a px X
Graficamente
Curva di Engel
relativa al bene Y
M
Curva di Engel
relativa al bene X
(a+b)py/b
Il grafico è stato realizzato ipotizzando che
(a+b)py/b > (a+b)px/a
(a+b)px/a
X,Y
(5) Un bene è definito normale se la quantità domandata del bene cresce all’aumentare
del reddito. Vista la forma della curva di Engel, siamo in grado di dire che sia il bene
Y che il bene X sono beni normali.
(6) Il paniere ottimo di Guido contiene
Y∗ =
b M
a+b py
= 2 e X∗ =
a M
a+b px
=2
(7) A seguito della contrazione del prezzo del bene X, a parità di reddito destinato
all’acquisto del bene [a/(a + b)], Guido potrà acquistare un maggior numero di unità
di X. Non verrà invece in alcun modo a modificarsi il consumo di bene Y in quanto
tale consumo risulta indipendente dal prezzo del bene X. Graficamente la contrazione
di px comporta
Y
Vecchio paniere ottimo
Nuovo paniere ottimo
X
Vecchio vincolo di
bilancio
Nuovo vincolo di
bilancio
Esercizio 3. Gustavo spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare caramelle
(bene X) e cioccolatini (bene Y). Il suo reddito settimanale è pari a M = 80 euro
ed i prezzi dei due beni sono rispettivamente pari a px = 24 euro e py = 8 euro. La
funzione di utilità di Gustavo è: U (X, Y ) = XY .
1. Scrivete e rappresentate graficamente l’equazione del vincolo di bilancio di Gustavo indicando chiaramente il valore delle intercette e della pendenza.
6
2. Calcolate la quantità di caramelle e di cioccolatini che Gustavo decide di consumare (paniere ottimo) e mostratela nel grafico precedente.
1. Per un generico valore del reddito (M) e dei prezzi dei due beni ( px e py ),
scrivete la curva di domanda di Gustavo per il bene X.
4. Definite il concetto di elasticità della domanda di un bene rispetto al prezzo e
fornite una rappresentazione grafica di un curva di domanda che abbia la carateristica di essere in diversi tratti elastica, ad elasticità unitaria ed anelastica.
5. Calcolate l’elasticità della domanda di caramelle rispetto al proprio prezzo e
rispetto al prezzo del bene Y. Discutete i risultati ottenuti.
Si risponda alle seguenti domande sulla base dei risultati al punto 5.
6. Se il prezzo del bene X aumentasse di un euro, di quanto varierebbe il consumo
di caramelle? Se il prezzo dei cioccolatini aumentasse di un euro, di quanto
varierebbe il consumo di caramelle? Argomentate le risposte.
Esercizio 3. Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio di Gustavo è
px X + py Y = M da cui Y =
M
py
−
px
py X
→ Y = 10 − 3X
e si caratterizza per
pendenza
− ppxy = −3
intercetta orizzontale X = 10
3 ;Y = 0
intercetta verticale X = 0; Y = 10
da cui la seguente rappresentazione grafica
Y
10
Vincolo di bilancio
10/3
X
(2) Il paniere ottimo di Gustavo si ottiene risolvendo il seguente sistema
½
½
½
Y = 10 − 3X
Y = 10 − 3X
vincolo di bilancio
⇒
⇒
px
Y
M RS = py
condizione di tangenza
X =3
½
Y = 10 − 3X
⇒
Y = 3X
e graficamente
7
½
X ∗ = 53
Y∗ =5
Y
10
Paniere ottimo
5
5/3 10/3
X
(3) La curva di domanda di Gustavo si ottiene risolvendo il sistema di cui sopra
per generici valori di reddito e prezzo dei beni
½
½
½
py Y = M − px X
py Y = M − px X
generico vincolo di bilancio
⇒
⇒
px
Y
M RS = ppxy
generica condizione di tangenza
X = py
½
py Y = M − px X
⇒X =
py Y = px X
M
2px
(4) L’elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo è definita come la
variazione percentuale della quantità domandata del bene rispetto ad una variazione
di prezzo dell’1%:
∆X
X
∆px
px
ε=
=
∆X px
∆px X
dove (∆X/∆px ) è la pendenza della curva di domanda. Per analizzare i casi di
domanda elastica, ad elasticità unitaria ed anelastica consideriamo
Q = a − bp
la cui elasticità al prezzo è, applicando la definizione sopra
ε=
∆Q p
∆p Q
p
= −b Q
la suddetta domanda è
• elastica quando ε < −1 e quindi quando Q < bp → a − bp < bp → p > a/(2b)
• ad elasticità unitaria quando ε = −1 e quindi quando Q = bp → a − bp = bp →
p = a/(2b)
• anelastica quando ε > −1 e quindi quando Q > bp → a − bp > bp → p < a/(2b)
Graficamente
8
Curva di domanda inversa di Q
p
a/b
Tratto elastico
Punto ad elasticità
unitaria
a/2b
Tratto anelastico
a/2
a
Q
(5) L’elasticità della domanda di caramelle rispetto al proprio prezzo è, applicando la formula di cui sopra
ε=
∆X
X
∆px
px
=
∆X px
∆px X
M
= − 2p
2
x
px
X
M 1
= − 2p
x X
sostituendo ad X la quantità domandata
M
ε = − 2p
x
1
M
2px
= −1
In seguito ad una variazione di un punto percentuale del prezzo del bene X si verifica
una contrazione di un punto percentuale della quantità di bene X domandata: la
spesa totale per X resta invariata. Il risultato conferma che in presenza di preferenze
di tipo Cobb-Douglas il consumatore destina una quota costante di reddito (vedi
esercizi 1 e 2) alla spesa per ciascun bene.
Dal momento che la domanda di bene X non dipende dal prezzo del bene Y,
l’elasticità incrociata (che misura la variazione percentuale della quantità domandata
del bene rispetto ad una variazione dell’1% del prezzo di un altro bene) sarà pari a
zero.
(6) Se il prezzo del bene X aumentasse di un euro, il consumo di caramelle si
ridurrebbe di un euro in modo da mantenere invariata la spesa totale in caramelle
(grafico a sinistra). Se il prezzo dei cioccolatini aumentasse di un euro, il consumo
di caramelle non subirebbe variazioni (grafico a destra). Graficamente
9
Y
px aumenta
Y
py aumenta
Nuovo paniere ottimo
Vecchio paniere ottimo
Vecchio paniere ottimo
Nuovo paniere ottimo
X
Nuovo vincolo di
bilancio
X
Vecchio vincolo di
bilancio
Nuovo vincolo di
bilancio
Vecchio vincolo di
bilancio
...
Esercizio 4. Le vacanze estive si avvicinano e Marcella deve decidere come ripartire
il suo reddito tra costumi da bagno (bene X) e riviste di enigmistica (bene Y). La
funzione di utilità di Marcella è U (X, Y ) = min {aX; bY }.
1. Rappresentate graficamente la mappa delle curve di indifferenza di Marcella
e specificate che tipo di reazione sussiste tra costumi e riviste di enigmistica
(misurate sull’asse verticale il bene Y).
2. Scrivete e rappresentate graficamente l’equazione di un generico vincolo di bilancio (usate M per indicare il reddito detenuto da Marcella, px per il prezzo
del bene X e py per il prezzo del bene Y) indicando chiaramente il valore della
pendenza e delle intercette.
3. Derivate analiticamente le curve di domanda di Marcella per entrambi i beni
(anche in questo caso usate M per indicare il reddito detenuto da Marcella, px
per il prezzo del bene X e py per il prezzo del bene Y).
4. Calcolate l’elasticità della domanda di costumi da bagno rispetto al proprio
prezzo e rispetto al prezzo delle riviste di enigmistica. Discutete i risultati
ottenuti.
5. Sulla base di quanto ottenuto al punto 4, una riduzione del prezzo delle riviste
di enigmistica comporterebbe un aumento, una contrazione o non avrebbe effetto sul numero di costumi da bagno acquistati da Marcella? Argomentate la
risposta.
6. Supponete che Marcella disponga di un reddito pari a 120 euro, il prezzo dei
costumi da bagno sia pari a 20 euro, il prezzo delle riviste di enigmistica sia di
10 euro e a = b = 1. Calcolate il paniere ottimo per la consumatrice.
Esercizio 4. Soluzione. (1) Costumi da bagno e riviste di enigmistica sono per
Marcella complementi perfetti. Le preferenze di Marcella hanno la caratteristica
forma ad "L" ed il vertice è collocato lungo la retta
bY = aX da cui Y = ab X
10
quindi
Y
Retta dei vertici: Y=(a/b)X
U3
U1
U2
X
(2) Il vincolo di bilancio di Marcella è
px X + py Y = M da cui Y =
M
py
−
px
py X
e si caratterizza per
pendenza
− ppxy
intercetta orizzontale X = pMx ; Y = 0
intercetta verticale X = 0; Y = M
py
da cui la seguente rappresentazione grafica
Y
M/py
M/px
X
(3) La curva di domanda per il bene X si ottiene risolvendo il sistema sottostante
per generici valori del reddito e dei prezzi dei beni
½
½
Y = pMy − ppxy X
vincolo di bilancio
⇒
retta dei vertici
Y = ab X
sostituendo il valore di Y della prima equazione nella seconda otteniamo la domanda
di Marcella per costumi da bagno
a
bX
=
M
py
−
px
py X
e per sostituzione si ottiene
Y =
→X =
a
apy +bpx M
11
b
apy +bpx M
(5)
Si noti che, a differenza del caso di preferenze di tipo Cobb-Douglas, la domanda di
bene X dipende, oltre che dal suo prezzo e dal reddito, anche dal prezzo del bene Y.
(4) L’elasticità della domanda di costumi da bagno rispetto al proprio prezzo è
ε=
∆X
X
∆px
px
=
∆X px
∆px X
= − (ap
b2
2
y +bpx )
M pXx
da cui, sostituendo il valore di X trovato alla (5)
x
ε = − apybp+bp
x
che segnala come ad una variazione in aumento del prezzo del bene X, segua una
contrazione della domanda di bene X meno che proporzionale; infatti
x
> −1
ε = − apybp+bp
x
Essendo X ed Y beni perfetti complementi, a seguito dell’aumento di px , il consumatore aumenta la quota di reddito destinata ad X (riduce quella destinata ad Y) in
modo da non dover diminuire troppo il consumo di X.
L’elasticità della domanda di costumi da bagno rispetto al prezzo delle riviste di
enigmistica è
ε=
∆X
X
∆py
py
=
∆X py
∆py X
= − (ap
ab
2
y +bpx )
p
M Xy
da cui, sostituendo il valore di X trovato alla (5)
ap
y
> −1
ε = − apy +bp
x
che segnala come ad una variazione in aumento del prezzo del bene Y, segua una
contrazione della domanda di bene X meno che proporzionale. Tale contrazione, come
già evidenziato, è dovuta alla necessità di aumentare la quota di reddito destinata al
bene il cui prezzo è aumentato (in questo caso Y).
(5) Una riduzione del prezzo delle riviste di enigmistica comporterebbe un aumento dei costumi da bagno acquisati da Marcella in quanto comporterebbe una
riallocazione del reddito di Marcella a favore dei costumi da bagno (essendo necessario un minor reddito per l’acquisto delle riviste di enigmistica). Graficamente
Y
M/p’y
Retta dei vertici: Y=(a/b)X
Paniere ottimo finale
M/py
Paniere ottimo iniziale
Vincolo di bilancio finale
M/px
Vincolo di
bilancio iniziale
X
(6) Il paniere ottimo della consumatrice è
X∗ =
b
apy +bpx M
=4 e Y∗ =
12
a
apy +bpx M
=4
Esercizio 5. Andrea ed Emanuele sono i soli consumatori presenti sul mercato delle
fascine di faggio, in una piccola cittadina delle Alpi. Le loro curve di domanda sono
QA = 10 − (P/3) e QE = 15 − (P/2), dove QA e QE sono le quantità domandate
rispettivamente da Andrea ed Emanuele.
1. Rappresentate graficamente le curve di domanda inversa individuali indicando
chiaramente pendenza ed intercette.
2. Calcolate l’elasticità delle due domande al prezzo. Discutete i risultati ottenuti.
3. Trovate la curva di domanda inversa di mercato e rappresentatela nello stesso
grafico trovato sopra.
4. Se il prezzo delle fascine di faggio fosse di 12 euro, quante fascine sarebbero
acquistate?
5. Si definisca il concetto di surplus del consumatore. In corrispondenza di un
prezzo del bene pari a 12 euro, a quanto ammonta il surplus dei consumatori
all’interno dell’economia considerata?
6. Vi aspettate che un (seppur lieve) aumento del prezzo delle fascine di faggio
porti ad un aumento del surplus dei consumatori? Argomentate la risposta.
Esercizio 5. Soluzione. (1) Le curve di domanda inversa dei due consumatori
sono
(6)
QA = 10 − P3 → P A = 30 − 3Q e QE = 15 − P2 → P E = 30 − 2Q
e si caratterizzano per
ANDREA
EMANUELE
pendenza
−3
pendenza
−2
intercetta orizzontale Q = 10; P = 0 intercetta orizzontale Q = 15; Y = 0
intercetta verticale Q = 0; P = 30 intercetta verticale Q = 0; P = 30
Graficamente
P
30
P
30
Domanda inversa di Andrea
0
10
Q
Domanda inversa di Emanuele
0
13
15
Q
(2) L’elasticità della domanda al prezzo è definita come la variazione percentuale
della quantità domandata rispetto ad una variazione di prezzo dell’1%:
ε=
∆Q
Q
∆P
P
=
∆Q P
∆P Q
Stante la forma delle curve di domanda dei due consumatori
εA =
∆Q P
∆P Q
P
= − 13 Q
e εE =
∆Q P
∆P Q
P
= − 12 Q
sostituendo alla quantità domandata QA e QE nella (6) si ottiene
P
P
P
P
E
εA = − 13 10−
= − 12 15−
P = − 30−P e ε
P = − 30−P
3
2
sebbene le due curve di domanda si caratterizzino per una diversa pendenza, l’elasticità
della domanda al prezzo è la stessa per ambedue i consumatori ovvero a seguito di una
variazione dell’1% del prezzo, entrambi reagiranno contraendo la quantità domandata
di un medesimo ammontare (differirà invece la quantità complessiva domandata).
(3) La curva di domanda di mercato (indicata per comodità con Qd ) si ottiene
come somma delle curve di domanda dei singoli individui
Qd = QA + QE = 10 −
P
3
+ 15 −
P
2
= 25 − 56 P
da cui la seguente curva di domanda inversa di mercato
P d = 30 − 65 Qd
Domanda inversa di Andrea
P
30
Domanda inversa di Emanuele
P
30
(1)
0
Domanda inversa di mercato
P
30
(2)
10
Q
(1) + (2)
0
15
Q
0
25
(4) Se il prezzo fosse pari a 12, la quantità complessivamente domandata sarebbe
Qd = 25 − 56 (12) = 15,
Andrea acquisterebbe 6 unità e Emanuele 9:
QA = 10 −
12
3
= 6 e QE = 15 −
12
2
=9
(5) Il surplus del consumatore è la misura monetaria del beneficio che un consumatore deriva da una transazione ed è pari alla differenza tra disponibilità a pagare
(ovvero quanto il consumatore sarebbe disposto ad esborsare pur di avere il bene in
questione) e esborso (ovvero quanto effettivamente gli è costato l’acquisto). Nel caso
in esame, il surplus di Andrea, quello di Emanuele e quello aggregato (ottenuto come
somma dei precedenti) è
14
Q
Domanda inversa di Andrea
Domanda inversa di Emanuele
P
30
P
30
Domanda inversa di mercato
P
30
Surplus di Andrea
Surplus dei consumatori
Surplus di Emanuele
12
0
6
10
Q
0
9
15
Q
0
15
25
Formalmente, indicando con SCA il surplus di Andrea, con SCE quello di Emanuele,
con SC quello aggregato
SC A = 12 (30 − 12) × 6 = 54 ; SC E = 12 (30 − 12) × 9 = 81 e SC = SC A + SC E = 135
(6) Un aumento del prezzo delle fascine comporta una contrazione degli scambi
che si verificano all’interno del mercato considerato (in corrispondenza di un prezzo
superiore a 12, Andrea acquisterà meno di 6 unità e Emanuele meno di 9) e una
riduzione del beneficio che i consumatori traggono da ogni scambio; quindi il surplus
dei consumatori si contrarrà. Indichiamo con 12+e (dove e è un numero piccolo e
positivo) il nuovo prezzo delle fascine. In corrispondenza del nuovo prezzo il surplus
dei consumatori sarà
Domanda inversa di Andrea
P
30
Domanda inversa di Emanuele
P
30
Domanda inversa di mercato
P
30
Nuovo surplus di Andrea
Nuovo surplus dei consumatori
Nuovo surplus di Emanuele
12+e
12
0
6
10
Q
0
9
15
Q
0
15
con una contrazione rispetto al caso iniziale (P = 12) data da
Esercizio 6. Supponete che un mercato sia costituito da 60 consumatori, ognuno
dei quali caratterizzato dalla medesima curva di domanda inversa. In particolare,
la curva di domanda inversa dell’i-esimo consumatore è P = 120 − 60Qi , dove P
è il prezzo unitario in euro e Qi è la quantità domandata dall’i-esimo consumatore
(i = 1, 2, 3, 4, ...60).
1. Rappresentate graficamente la curva di domanda inversa dell’i-esimo consumatore indicando chiaramente pendenza ed intercette.
2. Trovate la curva di domanda inversa di mercato e rappresentatela nello stesso
grafico trovato sopra.
3. Con riferimento alla curva di domanda di mercato, si discuta (analiticamente e
graficamente) la relazione tra spesa totale ed elasticità della domanda al prezzo.
15
25
Q
Q
Domanda inversa di Andrea
Domanda inversa di Emanuele
P
30
P
30
Domanda inversa di mercato
P
30
Perdita di surplus dei
consumatori
Perdita di surplus di
Emanuele
Perdita di surplus di
Andrea
12+e
12
0
6
10
0
Q
9
15
Q
0
15
Figure 1:
4. In corrispondenza di quale prezzo la spesa totale è massima?
Esercizio 6. Soluzione. (1) La curva di domanda inversa dell’i-esimo consumatore si caratterizza per
pendenza
−60
intercetta orizzontale Q = 2; P = 0
intercetta verticale Q = 0; P = 120
quindi
P
120
Domanda inversa
dell’i-esimo
consumatore
0
2
Q
(2) La curva di domanda di mercato (Qd ) è ottenuta come somma delle curve di
domanda dei singoli consumatori quindi
¡
¢
P
Qd = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Q0 ovvero Qd = 60 × 2 − 60
= 120 − P
e l’inversa è
Qd = 120 − P → P d = 120 − Q
da cui la seguente rappresentazione grafica
16
25
Q
P
120
Domanda inversa di
mercato
P
120
Domanda inversa
dell’i-esimo
consumatore
60 volte (1)
(1)
0
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2
Q
……
0
120 Q
(3) La spesa totale (ST) per il bene Q è pari al prodotto tra quantità vendute e
prezzo di mercato del bene:
ST = Q × P
(7)
Domandiamoci cosa accade alla spesa totale per il bene Q, se si verifica un (lieve)
aumento di prezzo. Se P aumenta, la spesa totale per il bene Q cresce in quanto ogni
unità scambiata è venduta ad un maggior prezzo (effetto diretto). Ma l’aumento
di prezzo comporta una contrazione della quantità domandata. Man mano che il
prezzo aumenta, i consumatori saranno disposti ad acquistare un numero inferiore di
unità di bene Q. Se Q si riduce, la spesa totale per il bene Q diminuisce in quanto si
realizzano un numero inferiore di scambi (effetto indiretto). Quindi
½
effetto diretto
↑ ST
↑P ⇒
effetto indiretto ↓ Q e ↓ ST
Se prevale l’effetto diretto su quello indiretto (ovvero la variazione un aumento del
prezzo è superiore alla variazione in diminuzione della quantità), si verificherà un
aumento della spesa totale. Se prevale l’effetto indiretto su quello diretto (ovvero la
variazione in diminuzione della quantità è superiore alla variazione in aumento del
prezzo), si verificherà una riduzione della spesa totale. Formalmente
¯
¯
¯ ∆Q ¯
¯ Q ¯
¯ ∆P ¯ ¯¯ ∆Q ¯¯
¯
¯>¯
1 > ¯ ∆P ¯
⇒ ↑ ST
P
Q ¯ da cui
¯ ¯
P
| {z }
domanda inelastica
mentre se
¯ ∆P ¯ ¯¯ ∆Q ¯¯
¯ ¯<¯
P
Q ¯ da cui
Graficamente
¯
¯
¯ ∆Q ¯
¯ Q ¯
1 < ¯ ∆P ¯
¯ ¯
| {z P }
domanda elastica
17
⇒ ↓ ST
P
120
P
120
Domanda inversa di
mercato
Domanda inversa di
mercato
Spesa totale iniziale
Spesa totale finale
P+ P
P
P
0
Q
120 Q
0
Q
Q- Q
Q
120
Solo se l’area A nel grafico sottostante è maggiore del’area B allora si verifica un
aumento della spesa totale
P
120
Domanda inversa di
mercato
P+ P
Area A
P
Area B
0
Q
Q- Q
Q
120
(5) Dal momento che la spesa totale è crescente nei tratti anelastici della curva
di domanda ed è decrescente nei tratti elastici ella curva di domanda, sarà massima
quando la domanda ha elasticità unitaria. Nel nostro caso la spesa totale è massima
quando
P
P
ε = −1 ⇔ ∆Q
∆P Q = −1 ⇔ 120−P = 1 quindi P = 60; Q = 60
Esercizio 7. Supponete che la curva di domanda di mercato del bene X sia X =
20 − p e che il prezzo di mercato del bene sia p = 15.
1. Disegnate la curva di domanda, specificando le intercette e la pendenza
2. Calcolate la quantità acquista del bene X al prezzo di mercato
3. Definite, rappresentate (nel grafico al punto 1) e calcolate il surplus del consumatore
Reputando il prezzo di mercato per il bene X eccessivamente elevato, lo Stato
valuta la possibilità di introdurre un prezzo massimo vincolato (ovvero un prezzo
al quale il bene X può essere venduto inferiore a quello che si forma nel mercato
competitivo). Supponete che anche in corrispondenza del prezzo minimo vincolato i
produttori soddisfino tutta la domanda.
4. Ritenete che tale misura, se adottata, porterà ad un aumento e/o ad una
riduzione del surplus dei consumatori? Argomentate la risposta.
18
Esercizio 8. Supponete che la domanda di attraversamenti del tunnel sotto la
Manica sia Q = 1000 − 100P .
1. Se il pedaggio è P = 6 euro, qual è la spesa totale in attraversamenti? Se ne
fornisca una rappresentazione grafica.
2. Si calcoli l’elasticità della domanda al prezzo in corrispondenza dell’equilibrio
individuato al punto 1.
3. E’ possibile ridurre la spesa totale per attraversamenti aumentando il prezzo
del pedaggio? Perchè? Si risponda con l’ausilio di un grafico.
La compagnia di traghetti R&W lines sta valutando se investire in una nuova
flotta di traghetti. L’introduzione di questi nuovi traghetti porterebbe ad una notevole riduzione del costo (e quindi del prezzo) dell’attraversamento via mare.
4. Supponendo che la compagnia R&W lines e l’impresa gestrice del tunnel sotto la
manica operino in regime di concorrenza, che effetto potrebbe avere la strategia
di R&D sulla domanda di attraversamenti del tunnel sotto la manica? Argomentate la risposta.
Esercizio 9. Valerio è uno studente di dottorato. Il venerdì sera spende tutto il
suo reddito tra pane e salame. Valerio consuma congiuntamente un panino (P) con
due unità di salame (S) e le sue preferenze sono riassumibili nella seguente funzione
di utilità: U (P, S) = min {2P, S}. Il prezzo di una forma di pane è di 2 euro, mentre
quello di una unità di salame è di 4 euro.
1. Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Valerio? Argomentate la risposta e fornite una rappresentazione grafica della mappa di curve di
indiferenza di Valerio.
2. Scrivete e rappresentate il vincolo di bilancio di Valerio sapendo che il reddito
di cui dispone è di 40 euro alla settimana. Indicate chiaramente le intercette e
l’inclinazione.
3. Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornitene
una rappresentazione nel grafico precedente.
4. Scrivete la curva di domanda di Valerio per il bene P (usate M per indicare il
reddito detenuto da Valerio, pp per il prezzo del bene P e ps per il prezzo del
bene S).
5. Calcolate l’elasticità incrociata della domanda di pane. Discutete i risultati
ottenuti.
Supponete che a Valerio, in quanto cliente abituale, venga proposto uno sconto
del 50% sui salmi acquistati.
6. Sulla base di quanto ottenuto al punto 5, tale offerta comporterebbe un aumento, una contrazione o non avrebbe effetto sulla domanda di panini da parte
di Valerio? Argomentate la risposta.
19
Parte II: esercizi consigliati dal libro di testo
Frank, R.H. (2010) Microeconomia, McGraw-Hill, Milano, 2010 - Capitolo
4, pp. 135, 136, 137.
1. Domande di ripasso: Tutte.
2. Problemi: Tutti con i seguenti accorgimenti:
(a) con riferimento al problema 17, si escluda il punto c);
(b) con riferimento al problema 18, si supponga che la funzione di utilità
che descrive le preferenze di Alberto sia U (X, Y ) = X 0,25 + Y 0,75 dove X
ed Y sono i due beni presenti nell’economia;
(c) con riferimento al problema 19, si escluda il punto d);
(d) con riferimento al problema 20, si supponga che la funzione di utilità che
descrive le preferenze di Marcella sia U (X, Y ) = XY dove X ed Y sono i
due beni presenti nell’economia.
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