Fisica Generale II
con Laboratorio
Lezione 0
Gravitazione e leggi di Kepler
Leggi di Kepler:
Fenomenologiche, dedotte dalle osservazioni e misure accurate di
Brahe e Kepler stesso raccolte in molti anni
i)Le orbite dei pianeti sono ellissi, di cui il Sole occupa uno dei fuochi
ii)Il raggio vettore che misura la posizione di un pianeta rispetto al
Sole spazza aree uguali in tempi uguali
iii)Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta e’ proporzionale
al cubo del semiasse maggiore della sua orbita
Ben verificate dai dati osservativi
2
E.Menichetti - 2010
Problema dei due corpi
Moto di un pianeta intorno al Sole: determinato dalla legge fondamentale
della dinamica, e dalla legge di gravitazione universale
Realta’:
Problema a molti corpi (influenza anche degli altri pianeti, satelliti, …)
→Separazione del moto del centro di massa del Sistema Solare (con
ottima approssimazione: moto uniforme, visto che il S.S. e’ pressoche’
isolato) e del moto relativo di ogni parte rispetto al centro di massa
→ Effetto del Sole dominante su quello degli altri pianeti
Approssimazioni:
Il centro di massa coincide con il Sole
L’effetto degli altri pianeti viene trascurato
3
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - I
Eq. fondamentale della dinamica:
dv
F
=
m
a
=
m
d 2r
mM
dt
→m
= G 2 rˆ Equazioni del moto
mM
dt
r
F = −G 2 uˆ
r
Due leggi di conservazione all’opera (sistema isolato):
Momento angolare:
L = r ×p = costante, r posizione, p quantita' di moto del pianeta
Energia totale:
1 2
mM
= costante = E
mv − G
2
r
4
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - II
L = costante → Moto in un piano
Infatti:
L = r ×p → L ⊥ r , p
→ Piano individuato da r,p ad ogni istante: sempre la stessa normale
→ Orbita piana
L = r ×p = r × mv = mr × v r + vϕ = mr × vϕ
vr r
dϕ
→ L = mrvϕ = mr
= costante = L
dt
2
Moto analizzato in coordinate polari meglio che in coordinate cartesiane
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E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - III
r = ruˆ , uˆ versore radiale
v
Componenti polari della velocita':
dr d
dr
duˆ
= (ruˆ ) = uˆ + r
dt dt
dt
dt
dr dr
dϕ ˆ
= uˆ + r
t
dt
dt
dt
uˆ = cos ϕˆi + sin ϕˆj
r
^t
^
u
φ
duˆ d (cos ϕ ) ˆ d (sin ϕ ) ˆ d (cos ϕ ) dϕ ˆ d (sin ϕ ) dϕ ˆ
→
=
i+
j=
i+
j
dt
dt
dt
dϕ
dt
dϕ
dt
duˆ
dϕ ˆ
dϕ ˆ
dϕ ˆ dϕ
i + cos ϕ
→
= − sin ϕ
j = − sin ϕˆi + cos ϕˆj
=t
dt
dt
dt
dt
dt
(
)
tˆ
→ tˆ ⊥ uˆ
dr dr
dϕ ˆ
→v=
= rˆ + r
t
dt
dt
dt
6
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - IV
Componenti polari dell' accelerazione:
dr dr
dϕ ˆ
v=
t
= rˆ + r
dt
dt
dt
dv d 2 r
dr drˆ dr d ϕ ˆ
d 2ϕ ˆ
d ϕ dtˆ
a=
t+r 2 t+r
= 2 rˆ +
+
dt
dt
dt dt dt dt
dt
dt dt
d 2r
dr d ϕ ˆ
d 2ϕ ˆ
d ϕ dtˆ
a = 2 rˆ + 2
t+r 2 t+r
dt
dt dt
dt
dt dt
ˆ
ˆt = − sin ϕˆi + cos ϕˆj → dt = (− cos ϕˆi − sin ϕˆj) d ϕ = −rˆ d ϕ
dt
dt
dt
2
d ϕ
d 2r
dr d ϕ ˆ
d 2ϕ ˆ
→ a = 2 rˆ + 2
t + r 2 t − r rˆ
dt
dt
dt dt
dt
2
2
d 2r
dr d ϕ
d
d
ϕ
ϕ
→ a = 2 − r rˆ + 2
+ r 2 tˆ
dt dt
dt
dt
dt
ar
7
aϕ
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - V
2
2
d
r
d
ϕ
a =
Accelerazione radiale
−
r
r
2
dt
dt
→
dr d ϕ
d 2ϕ
d 2 d ϕ
aϕ = 2
+ r 2 = r r
Accelerazione tangenziale
dt dt
dt
dt dt
Forza gravitazionale: solo radiale
→Accelerazione tangenziale = 0
Equazioni del moto in coordinate polari:
2
2
d
r
d
ϕ
mM
a
=
−
r
=
−
G
r
2
dt
dt
r2
→
d 2 d ϕ
d 2 d ϕ
L
2 dϕ
= costante =
aϕ = r r
= 0 → r
= 0 → r
dt
dt
dt
dt
dt
m
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E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - VI
Eq. radiale:
2
d ϕ
d r
= −G mM
r
−
dt
dt 2
r2
2
2
2
2
2
d ϕ
d ϕ
L
dϕ
L
L
L
2 dϕ
r
= →
= 2 → = 2 4 → r = 2 3
dt
dt
dt
m
dt
mr
mr
mr
d 2r
L2
mM
→ 2 − 2 3 = −G 2
dt
mr
r
Cambiamento di variabile:
1
dr dr du
1 du
du
du d ϕ
L du
u= → =
=− 2
= −r 2
= −r 2
=−
r
dt du dt
u dt
dt
d ϕ dt
m dϕ
dr
L du
→ =−
dt
m dϕ
9
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - VII
Cerchiamo l'eq. differenziale dell' orbita:
d 2r
L d 2u d ϕ
L d 2u L
L2 2 d 2u
→ 2 =−
=−
=− 2 u
2
2
2
dt
m d ϕ dt
m dϕ mr
m
dϕ 2
L2 2 d 2u
L2
mM
L2 2 d 2u L2 3
2
→− 2 u
−
=
−
G
→
−
u
−
u
=
−
GmMu
m
dϕ 2 m2 r 3
r2
m2 dϕ 2 m2
L2 d 2u L2
→ 2
+ 2 u = GmM
2
m dϕ
m
d 2u
Gm3 M
→
+u =
2
dϕ
L2
Eq. diff. lineare, del II ordine, non omogenea per la funzione incognita u (ϕ )
Soluzione generale:
Int. generale omogenea + Int. particolare non-omogenea
10
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - VIII
Int. generale eq. omogenea associata: dipende da 2 costanti arbitrarie:
d 2u
+ u = 0 Equazione "del moto armonico"
2
dϕ
→ u (ϕ ) = A 'cos ϕ + B 'sin ϕ = A cos (ϕ − ϕ0 )
NB Contesto diverso, matematicamente uguale:
Stessa equazione → Stessa soluzione
Int. particolare non omogenea:
Gm3 M
u (ϕ ) =
L2
2
du
d
u
Infatti:
= 0, 2 = 0
dϕ
dϕ
11
E.Menichetti - 2010
Orbite ellittiche - IX
Int. generale eq. non omogenea:
Gm3 M
u (ϕ ) =
+ A cos (ϕ − ϕ0 )
2
L
1
1
Eq. di una conica in coord. polari
→ r (ϕ ) =
=
3
u (ϕ ) Gm M
+ A cos (ϕ − ϕ0 )
L2
Conica generica:
Ellisse: 0< e < 1
12
E.Menichetti - 2010
Legge delle aree
Nell’intervallo dt: spostamento da P a Q
θ
e
t
n
a
t
s
o
c
Area spazzata nell’intervallo dt: triangolo SPQ
1
1
dA = base ⋅ altezza = vdt ⋅ r⊥
2
2
dA 1
→
= v ⋅ r⊥
dt 2
L = r × p = m ( r × v ) = mrv sin θ = mvr⊥ =
13
dA 1
L
= v ⋅ r⊥ =
=
dt 2
2m
e
t
n
a
t
s
o
c
→
E.Menichetti - 2010
Terza legge
Restringendo per semplicita’ l’analisi al caso di orbite circolari (quasi
sempre buona approssimazione..):
v2
mM
GM
m =G 2 →v=
R
R
R
2π R
2π R
2π R 3 2
T=
=
=
v
GM
GM
R
2 3
π
4
R
→T2 =
GM
Notare: la costante di proporzionalita’ dipende solo dalla massa del Sole
14
E.Menichetti - 2010
Parametri dei pianeti
15
Mean
Distance
from Sun
Sidereal
Orbital
Period
Mass
Sidereal
Rotation
Period
Density
Surface
Gravity
Escape
Velocity
AU
Pe
Me
days
ρe
ge
Ve
Mercury
0.387
0.241
0.055
58.807
0.984
0.38
0.380
Venus
0.723
0.615
0.815
243.687
0.951
0.90
0.926
Earth
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.00
1.000
Mars
1.524
1.881
0.107
1.029
0.713
0.38
0.449
Jupiter
5.203
11.857
317.828
0.415
0.241
2.64
5.382
Saturn
9.537
29.424
95.161
0.445
0.125
1.14
3.227
Uranus
19.191
83.749
14.536
0.720
0.230
0.92
1.911
Neptune
30.069
163.727
17.148
0.673
0.297
1.15
2.106
E.Menichetti - 2010
Parametri dei pianeti (con Plutone)
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E.Menichetti - 2010
Satelliti di Giove (alcuni)
Quelli scoperti da Galileo: Pianeti Medicei
Insieme a Giove, costituiscono un piccolo sistema solare..
Soddisfano la III legge?
17
E.Menichetti - 2010
Pianeti interni
18
E.Menichetti - 2010
Pianeti esterni
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E.Menichetti - 2010
