ESA/Rosetta/Philae/CIVA
Progetto “MISSIONE ROSETTA”
GRUPPO ORBITE:
Massai Elisabetta 5°B
Bardelli Francesca 5°B
Benini Marta 5°B
Prima di parlare dell’orbita della cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko e delle manovre fatte dalla
sonda Rosetta per collegarvisi è necessario introdurre e spiegare cos’è un’ orbita.
Che cos’è un’orbita?
Un’orbita è il luogo geometrico dei punti dello spazio occupati nel tempo da un corpo
che si muove attorno ad un altro secondo la legge di gravitazione universale.
Tipi di orbite
In base all'energia posseduta dal corpo le orbite possono essere chiuse e periodiche
oppure aperte e non periodiche.
Orbita ellittica: l'orbita è chiusa ed è un'ellisse se
l'energia totale E (somma dell’energia cinetica e
potenziale) del corpo è minore di zero (cioè se l'energia
cinetica è minore dell'energia potenziale). Sono ellittiche le
orbite dei pianeti del Sistema Solare e di tutti i loro satelliti.
L'orbita circolare è un caso particolare di orbita ellittica
(quando la
è perpendicolare a e m1>>m2).
Traiettoria iperbolica: l'orbita è aperta ed è
un'iperbole se l'energia totale E del corpo è maggiore di
zero (ovvero se l'energia cinetica è maggiore dell'energia
potenziale). Sono iperboliche le orbite delle sonde
spaziali inviate al di fuori del Sistema.
Traiettoria parabolica: se E=0, l'orbita risulterà una parabola.
ciao
Tronco di cono circolare retto, dal quale si
possono ottenere tutte le possibili specie
di coniche, tagliandolo opportunamente.
Esempi di orbita ellittica, parabolica e
iperbolica attorno al sole che ne occupa un
fuoco.
Leggi di Keplero
Prima Legge (Legge delle orbite ellittiche)
« Nel sistema solare l'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa
uno dei due fuochi. »
Keplero propone un modello eliocentrico in cui non vengono più considerate le orbite
circolari, le forme perfette, ed è supportato nel farlo dai dati sperimentali ottenuti
da Tycho Brahe. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti
avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto ellittica.
La distanza dei pianeti dal sole varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio).
Seconda Legge (Legge delle aree)
« Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del
Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali
in tempi uguali. »
Terza Legge
« I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite (periodi di rivoluzione) sono proporzionali ai cubi del semidiametro maggiore dell’ellisse »
DEDUCIAMO LE LEGGI DI KEPLERO DAI PRINCIPI DI NEWTON:
Prima legge di Keplero
(
velocità angolare)
M>>m
M= massa del sole
K= proiezione di Pm sull’asse Y
H= proiezione di Pm sull’asse X
α= angolo H Pm
Pm= pianeta con massa m
Man mano che il pianeta di massa m percorre l’orbita, le coordinate di K e H cambiano; esso si muove con una velocità angolare costante .
Seconda legge di Keplero
F= forza centrale= costantemente diretta verso un punto fisso, centro del moto, ed il
modulo della forza è funzione della distanza tra il punto di applicazione della forza e il
centro di moto.
Quindi l’area del triangolo circolare MPP’ è costante durante il moto.
Terza legge di Keplero
Consideriamo un pianeta che orbita intorno al Sole a una distanza fissata, su un’ orbita circolare. Poiché il pianeta si muove su una traiettoria circolare, su di esso deve agire una forza centripeta diretta verso il centro della circonferenza, cioè verso il Sole. Tale forza è dovuta alla forza di attrazione gravitazionale fra il Sole e il pianeta.
Se il pianeta ha massa m e il sole ha massa M, la forza di gravità fra essi è:
Questa forza è responsabile dell’accelerazione centripeta del pianeta
Perciò, la forza centripeta necessaria per mantenere in orbita il pianeta è:
Uguagliamo ora la forza centripeta e la forza di gravità:
Dall’equazione precedente, eliminando m, otteniamo:
Che diventa:
Dove è il semiasse maggiore.
Cambiamenti d’orbita
Ellissi di trasferimento di Hohmann
Si tratta di determinare la traiettoria di minima energia per lo spostamento di un satellite da un’orbita a un’altra. Il problema per orbite complanari fu studiato da W.
Hohmann. Si assume che le orbite dei pianeti siano circolari e complanari. Hohmann
dimostrò che la traiettoria che richiede meno energia è quella in cui il satellite lascia
la Terra in direzione tangente all’orbita terrestre ed entra nell’orbita dell’altro pianeta
tangenzialmente all’orbita di quest’ultimo. In figura sono state date rappresentazioni
di orbite di trasferimento da un’orbita LEO (Low Earth Orbit) ad una GEO (GEOstationary orbit) tramite una GTO (Geostationary Transfer Orbit).
Un fattore non trascurabile per il trasferimento di orbite è la scelta del periodo di lancio. Nel caso di trasferimento dall’orbita terrestre all’orbita di un altro pianeta bisogna calcolare esattamente le posizioni relative dei pianeti; il pianeta dove si vuole trasferire l’orbita deve arrivare all’apside (il punto di maggiore o minore distanza di un
corpo celeste dal fuoco dove giace il corpo attorno cui esso orbita) dell’orbita di trasferimento allo stesso istante del satellite.
Si possono avere anche traiettorie più corte e che richiedono meno tempo per il trasferimento, ma si richiede un maggior consumo di energia.
L’energia necessaria aumenta (grosso modo) inversamente al
tempo impiegato per il trasferimento. Il vantaggio di un’orbita
corta è che è più facile guidare il satellite; lo svantaggio è che il
carico di combustibile necessario va ad occupare spazio che altrimenti sarebbe usato per altri carichi come, ad esempio, la
strumentazione scientifica.
(Orbita di trasferimento di Hohmman)
TRASFERIMENTO FRA ORBITE KEPLERIANE (ALLA HOHMANN)
La forza centripeta è uguale alla forza
con cui due corpi si attraggono.
Consideriamo un’orbita circolare.
*
LEO: orbita terrestre bassa
GEO: orbita geostazionaria
GTO: orbita di trasferimento
Dalla formula A
*
posso ricavare anche la velocità che il satellite dovrebbe avere in LEO e GEO.
(nel punto P)
(nel punto A)
Sappiamo che le energie totali delle due orbite sono:
e quindi
*
Riscriviamo la formula rispetto ad r e non più rispetto ad a (semiasse maggiore)
LA COMETA 67P
La cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko è una cometa periodica del nostro sistema
solare. Ha un periodo orbitale di 6,45 anni, cioè impiega 6,45 anni terrestri per
compiere un’orbita completa. Appartiene alla famiglia delle comete gioviane, di
questo gruppo fanno parte tutte le comete che hanno periodo compreso tra i 5 anni e
20 anni, la maggior parte ha un periodo compreso tra il periodo di rivoluzione di
Giove e la metà di questo.
La cometa è stata raggiunta dalla sonda Rosetta all’inizio di Agosto 2014; l’orbiter di
Rosetta ha poi rilasciato il lander Philae che ha raggiunto la superficie della cometa il
12/11/2014.
Rosetta e Philae seguiranno la cometa fino a fine missione, cioè fino a quando la
cometa non avrà raggiunto il perielio per studiare i processi che conducono alla
formazione e all’evoluzione della coda e della chioma della cometa.
Una cometa che si avvicina ai giganti gassosi Giove o Saturno subisce una variazione
dell’orbita primitiva. Anche l’orbita di 67P dopo due incontri con Giove ha subito
modificazioni: nel 1840 è passata dall’avere un perielio pari a 4.0 UA (unità
astronomica) ad averne uno di 3.0 UA, e in seguito al secondo incontro con Giove,
avvenuto nel 1959, si è ridotta a 1.28 UA.
L’EFFETTO “FIONDA GRAVITAZIONALE”
Come ha fatto la sonda ad arrivare fino a 67P?
Rosetta ha usato una tecnica di volo spaziale chiamato fionda gravitazionale. Questo
metodo utilizza l’attrazione gravitazionale di un pianeta per alterare il percorso del
veicolo spaziale, nel nostro caso il percorso di Rosetta.
La fionda gravitazionale è usata per
raggiungere pianeti esterni altrimenti
irraggiungibili con le tecnologie attuali,
principalmente per problemi di natura
economica e di difficoltà tecnologiche.
La sonda deve eseguire un fly-by, un volo
ravvicinato del pianeta per restarne
“agganciata” per un tempo limitato ed
assumerne, quindi, la velocità di
traslazione.
Per esempio consideriamo una sonda
diretta verso Marte. Quando la sonda si
avvicina a Marte, la gravità del pianeta l'attrae aumentando la sua velocità, se invece
la sonda passa poco dopo che è passato il pianeta allora ci sarà un decelerazione. In
base alla traiettoria, l'astronave o la sonda possono guadagnare fino a due volte la
velocità orbitale del pianeta.
Volendo quantificare semplicemente l’effetto “fionda gravitazionale”, essendo la forza
di attrazione gravitazionale conservativa, e durando l’interazione col pianeta un
tempo trascurabile rispetto al tempo di moto della sonda, possiamo considerare la
“fionda gravitazionale” come un urto elastico fra la sonda m e il pianeta M.
Con riferimento alle figure:
(prima dell’urto)
(dopo l’urto)
Consideriamo un moto centrale, cioè un caso unidimensionale.
Energia cinetica
Principio di conservazione dell’energia cinetica
Semplifichiamo dividendo tutti i membri per 1/2
Raccogliamo m e M
Scomponiamo il prodotto notevole
dividendo membro a membro otteniamo:
ma
Quindi vu (cioè la velocità finale della sonda) è uguale a vi, cioè la velocità iniziale del
pianeta, aumentata però del doppio della stessa.
