Esercizi di Meccanica Analitica - I
November 3, 2016
Esercizio 1. Mostrare che le equazioni di Lagrange per le funzioni:
L1 (q, q̇, t) = αL(q, q̇, t) + β(t),
(1)
con α costante reale e β(t) funzione unicamente del tempo;
L1 (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +
dF
dt
(2)
con F = F (q, t) funzione regolare, coincidono con le equazioni di Lagrange per
L(q, q̇, t).
Esercizio 2. Si consideri un punto di massa m vincolato senza attrito ad una
linea regolare, contenuta un piano parallelo all’accelerazione di gravità, che congiunge due punti A e B del piano stesso. Quale deve essere la forma della linea
affinché il punto, che parte in quiete dal punto A, raggiunga nel minor tempo
possibile il punto B? La curva in questione è detta cicloide e la soluzione di
questo problema (noto come il problema della brachistocrona) ha dato inizio
alla disciplina matematica del Calcolo delle variazioni.
Esercizio 3. Studiare il moto di un punto P di massa m vincolato a muoversi
su una superficie sferica di raggio l e soggetto alla sola forza di gravità. (Tale
sistema è detto pendolo sferico.) In particolare valutare la reazione vincolare in
funzione della posizione del punto P sulla sfera.
Esercizio 4. Una distribuzione uniforme di polvere nel sistema solare aggiunge
all’attrazione gravitazionale del Sole su un pianeta una forza addizionale
F = −mCr,
(3)
dove m è la massa del pianeta, C è una costante proporzionale alla costante di
gravitazione k e alla densità della polvere e r è il vettore che congiunge il Sole
al pianeta. Questa forza addizionale è molto piccola rispetto alla interazione
gravitazionale tra il Sole e il pianeta.
a Calcolare il periodo di una eventuale orbita circolare nel campo combinato
Sole-polvere.
1
b Calcolare il periodo di oscillazione radiale per piccoli spostamenti dall’orbita
circolare.
Esercizio 5. Mostrare che per il moto in un campo di forze centrali con potenziale
α
V (r) =
α∈R
r
il vettore di Laplace-Runge-Lenz
A=v×L+
αr
r
(4)
è un integrale del moto. Verificare inoltre che A · L = 0 e quindi il vettore A
appartiene al piano orbitale.
2
