3RANGE EQUATION

Capitolo 3 Range equation per i sistemi elettroottici
Sommario
1
2
3
4
5
6
7
8
Generalità .....................................................................................................................................1
Equazione di portata nel caso di bersagli solidi...........................................................................1
Range equation.............................................................................................................................3
Attenuazione atmosferica...........................................................................................................11
Equazione radar per bersagli diffusivi (lidar) ............................................................................12
Caratteristica statistica del segnale ricevuto ..............................................................................15
Ricevitore eterodina ...................................................................................................................17
Calcolo semplificato del backscattering atmosferico nella telemetria di bersagli solidi ...........24
1 Generalità
La range equation (equazione di portata) è una utile e semplice descrizione dei fattori che
influenzano le prestazioni di un radar ottico ed esprime la portata del radar in funzione delle
caratteristiche del radar stesso.
Per semplicità è opportuno separare il caso di bersagli solidi (telemetri) da quello di bersagli
aerosolici (lidar).
2 Equazione di portata nel caso di bersagli solidi
La misura della distanza di un bersaglio, anche quando la visibilità non ne permette la visione
diretta, può essere ottenuto attraverso diverse tecniche. Quella descritta ed esaminata è basata sull'
utilizzo di tecniche di telemetria ottica. Le tecniche di telemetria ottica soffrono di molte delle
limitazioni legate alla scarsa visibilità. Tali tecniche, attualmente utilizzate stabilmente in campo
militare, astronomico e aeronautico, hanno raggiunto una maturità tecnologica paragonabile con
quella di un radar tradizionale a microonde.
Per applicazioni di bassa potenza, l' utilizzo di un laser come sorgente presenta diversi vantaggi nei
confronti di una sorgente a microonde quali la bassa divergenza, la maggiore risoluzione e una
antenna di trasmissione più piccola e semplice. Lo svantaggio è l' attenuazione atmosferica che la
radiazione laser incontra in ambienti ostili di propagazione.
In figura 1.1 è mostrato lo schema di principio del telemetro in cui un segnale ottico viene
trasmesso e, dopo essere stato riflesso da un bersaglio, viene rilevato da un sensore ottico.
1
d
Pt
θbw
R
Figura 1.1
Esiste la possibilità di misurare la distanza trasmettitore-bersaglio ed aggiornarla con continuità con
diverse tecniche quali:
- misura del tempo di volo
- misura di comparazione di fase
Queste misure possono utilizzare segnali impulsivi o codificati (codici pseudorandom , chirp, etc)
Le prestazioni di un telemetro dipendono, in generale, dai seguenti fattori:
1. Caratteristica del trasmettitore
Energia degli impulsi
Durata degli impulsi
2 Caratteristiche del ricevitore
Sensibilità del ricevitore
Livello di rumore del ricevitore
3 Attenuazione atmosferica
4 Natura del bersaglio
Riflettività del bersaglio
Rugosità del bersaglio
5 Fattore geometrico
Divergenza del fascio laser
Angolo di vista del ricevitore
Area del bersaglio
Distanza del bersaglio
Diametro dell'ottica di ricezione
6 Caratteristica di antenna
Trasparenza delle ottiche di trasmissione e di ricezione
2
Nei paragrafi successivi vengono analizzate le influenze di tali parametri nelle prestazioni generali
di un telemetro.
3 Range equation
L’equazione di portata (range equation) è il legame fra la potenza ottica trasmessa e quella ricevuta.
Si consideri una sorgente puntiforme che irradia in tutte le direzioni una potenza Pt . In tal caso si ha
che la densità di potenza trasmessa Pt ad una distanza R, essendo 4π l’angolo solido totale intorno
alla sorgente puntiforme, vale:
Pt
4 ⋅π ⋅ R2
La sorgente laser possiede una certa divergenza e pertanto emette la radiazione in un prefissato
angolo solido. La concentrazione di potenza entro l’angolo solido in cui viene emessa la radiazione
è descritta dal guadagno dell’ottica, pari al rapporto fra l’angolo solido totale (4π) e quello in cui
viene emessa la radiazione (θbw):
4 ⋅π
π
2
⋅ θ bw
4
L’area del fascio laser sul bersaglio dovuta alla radiazione emessa (il cui diametro è d), nell’ipotesi
di bersaglio più grande del foot print del fascio laser, è pari a:
2
π
d 
π ⋅   = ⋅ (Rθ bw )2
4
2
Considerando il bersaglio come un radiatore Lambertiano con coefficiente di backscattering pari a
ρ, la legge di Lambert stabilisce che la radianza [W•m-2•sr-1], di una superficie infinita e
scatterante, è costante in funzione dell’angolo con cui è vista. Per soddisfare questa relazione
l’intensità pari [W•sr-1] deve variare con legge cosφ (φ è l’angolo formato con la normale alla
superficie scatterante) e in tal modo l’ angolo solido totale che contiene la radiazione vale π invece
di 2•π. Pertanto l’intensità vale:
ρ
[W•sr-1]
2
π ⋅R
Il ricevitore intercetta tale intensità con un angolo pari a:
π ⋅ D2
4
in cui D è il diametro della pupilla del ricevitore. La potenza ricevuta è pari al prodotto delle
precedenti relazioni e vale:
Pt
Pt
4 ⋅π π
ρ π ⋅ D2
2
(
)
Pr =
R
⋅
⋅
⋅
θ
⋅
⋅
=
⋅ ρ ⋅ D2
bw
2
2
2
4
4
4 ⋅π ⋅ R π
4 ⋅ R2
π
⋅R
⋅ θ bw
4
Considerando una efficienza delle ottiche pari a τ0 e un valore del coefficiente di estinzione
atmosferica pari a K(R) [m-1] si ottiene:
3
R
R
− 2 ∫ K ( R ') dR '
− 2 ∫ K ( R ') dR '
Pt
Pt
4 ⋅π
π
ρ
2
2
2
0
0
(
)
Pr =
R
D
e
D
e
θ
τ
ρ
τ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
0
0
bw
4
2
R2
4 ⋅π ⋅ R2 π
4⋅ R2
π
⋅
⋅ θ bw
4
Il coefficiente 2 nell’esponenziale tiene conto dell’attenuazione a due vie del fascio laser (andata e
ritorno).
Se il fascio laser è più grande del bersaglio, il termine del target deve essere sostituito dalla cross
section σ=ρ•At, in cui At è la superficie equivalente del bersaglio. L’equazione di portata in tale
caso, sempre nell’ipotesi di comportamento Lambertiano del target, diviene pari a:
R
Pr =
Pt
σ
π ⋅D
4 ⋅π
⋅
⋅
⋅
⋅τ 0 ⋅ e
2
2
4
2 π ⋅R
4 ⋅π ⋅ R π
⋅ θ bw
4
2
∫
− 2 K ( R ') dR '
0
R
=
Pt
π ⋅ R ⋅ θ bw
4
2
⋅ ρ ⋅ At ⋅ τ 0 ⋅ D 2 ⋅ e
∫
− 2 K ( R ') dR '
0
In entrambe le precedenti equazioni di portata, per ottenere il valore di θbw , si deve considerare che
esso è determinato dalla divergenza del fascio. La divergenza del fascio si può scomporre in due
componenti (nell’ipotesi di un sistema ottico perfetto):
-termine dovuto alla diffrazione (proporzionale alla dimensione del fascio laser trasmesso)
-termine geometrico (dimensione della sorgente diviso per la lunghezza focale dell’ottica di
trasmissione).
Se si ipotizza una sorgente puntiforme, oppure una lunghezza focale molto lunga rispetto alle
dimensioni della sorgente, la divergenza è pari solo alla diffrazione dovuta al diametro del fascio
laser emesso (spesso è presente un beam expander per ottenere un fascio laser di dimensioni
maggiori e di minore divergenza).
Per la diffrazione si possono utilizzare varie espressioni:
Criterio di Rayleigh
θ bw = 2.44 ⋅
λ
D
ovvero θ bw = 1.22 ⋅
λ
se si considera il semi − angolo
D
Criterio 1/e=0367 considerando il fascio Gaussiano
λ λ
λ
ovvero θ bw = 0.5 ⋅
se si considera il semi − angolo
≈
D D
D
2
λ2 ⋅ π
λ
θ bw = 1.05 ⋅
(θ bw )2 ≈ 
 =
4⋅D
D
Per il calcolo della divergenza si deve considerare il diametro del fascio laser .
Se si considera la presenza di un corner reflector posizionato sul target, la cross section si può
scrivere come segue1:
4 ⋅π ⋅ l 4
σ =
⋅ρ
3 ⋅ λ2
dove l è la dimensione del corner reflector (4dimensione di uno dei lati del triangolo) e ρ è, in tal
caso, ≅1 almeno nei limiti di accettazione del fascio da parte del corner reflector. Questa
espressione è valida se la curvatura del segnale trasmesso attraverso il corner reflector è inferiore a
λ/4. La giustificazione della precedente equazione è che essa rappresenta il rapporto fra l’angolo
solido e la diffrazione dovuta alla dimensione del corner reflector stesso. Paragonata con la cross
1
The Infrared & Electro-Optical Systems Handbook.
N.E. Rityn, Sov. J.
Opt. Tech. 34, 198, (1967)
H.D. Eckardt, Applied Optics, 7,1559, (1971)
4
section di una sfera, in cui σ=π•ρ•z2, dove ρ è la riflettività, z il raggio della sfera in metri e σ è la
cross section del radar ottico espressa in m2, si vede come il corner reflector sia più efficiente dal
punto di vista del backscattering (in realtà il corner reflector è un retroriflettore totale). Nell’ipotesi
di corner reflector più piccolo del foot print del fascio laser, sostituendo nell’espressione precedente
della range equation e ponendo αrt=divergenza della radiazione riflessa=2.44λ/l si ottiene:
4⋅π ⋅ l4
R
−2∫ K ( R') dR'
2
2
Pt
P
D
⋅
π
4⋅π
Pr =
⋅
⋅ 3⋅ λ 2 ⋅
⋅τ 0 ⋅ ρ ⋅ e 0
= 4 t 2
2
4
2 4⋅π ⋅ R
4⋅π ⋅ R π
R ⋅ θbw
⋅ θbw
4
R
−2 ∫ K ( R') dR'
 l4 
2
0

D
e
⋅ 
⋅
⋅
⋅
⋅
≈
τ
ρ
0
2 
 3⋅ λ 
R
≈
Pt
R ⋅ θbw ⋅ α rt
2
4
2
⋅ l 2 ⋅ τ 0 ⋅ D2 ⋅ ρ ⋅ e
∫
−2 K ( R') dR'
0
Questa espressione è valida per distanze telemetro-bersaglio molto elevate (5quando il corner
reflector è più piccolo del footprint del laser). L’espressione successiva vale quando il corner
reflector contiene tutto il footprint del laser.
Se le distanze sono piccole, ossia se il fascio laser è incluso nella dimensione del corner reflector si
ha la condizione:
2.44 ⋅ λ
⋅R
l
e la potenza ricevuta, considerando un valore di ρ prossimo all’ unità, diviene:
2 ⋅ l >>
R
Pr =
Pt
4 ⋅π π
ρ
2
⋅
⋅ (R ⋅ θ bw ) ⋅
⋅ D 2 ⋅τ 0 ⋅ e
2
2
4
2
4 ⋅π ⋅ R π
π ⋅R
⋅ θ bw
4
R
∫
− 2 K ( R ') dR '
0
=
Pt
⋅ ρ ⋅τ 0 ⋅ D 2 ⋅ e
2
4⋅ R
∫
− 2 K ( R ') dR '
0
Per superfici inferiori al foot print del fascio laser che hanno un contributo diffusivo e
contemporaneamente riflessivo (da parte del corner reflector) si deve applicare simultaneamente la
condizione diffusiva e quella del corner reflector visto precedentemente. Si ottiene in tal caso:
R
Pr =
Pt
R ⋅ θ bw ⋅ α rt
2
4
2
⋅ l 2 ⋅τ 0 ⋅ D 2 ⋅ ρ ⋅ e
∫
− 2 K ( R ' ) dR '
0
R
+
Pt
π ⋅ R ⋅ θ bw
4
2
⋅ ρ ⋅ At ⋅ τ 0 ⋅ D 2 ⋅ e
∫
− 2 K ( R ' ) dR '
0
=
R
=
Pt
π ⋅ R ⋅ θ bw ⋅ α rt
4
2
2
⋅ k0 ⋅τ 0 ⋅ D 2 ⋅ e
∫
− 2 K ( R ' ) dR '
0
Si deve notare che il corner reflector non sempre fornisce un segnale superiore all’albedo2 di un
oggetto a meno che non si utilizzi un corner reflector di dimensioni elevate. Il rapporto fra il segnale
retroriflesso da un corner reflector e dall’albedo del bersaglio dipende dalla dimensione del fascio
ovvero se questo è più grande o più piccolo del bersaglio. Si può, quindi, calcolare separatamente il
valore riflesso e quello diffuso dal target oppure si può scrivere una sola range equation, purché si
consideri il rapporto fra energia riflessa e diffusa espresso dal valore k0=π•l2•ρ1+α•ρ•At.
In conclusione si può scrivere la range equation come segue:
2
L’albedo è il rapporto fra l’energia radiante riflessa e quella incidente su una superficie.
5
(1) Pr = Pt ⋅ ρ ⋅ τ oa ⋅ Ta ⋅ FG
in cui :
Pr=Potenza in ricezione
Pt=Potenza trasmessa
ρ=Riflettività del bersaglio
τoa=Trasmissione ottica di antenna
Ta=Trasmissione atmosferica
FG=Fattore geometrico
Mentre ρ e τoa sono valori numerici di facile comprensione, i parametri importanti sono Ta e FG.
Il fattore geometrico ha una importanza elevata nelle prestazioni di un telemetro ed è pertanto
necessaria una analisi dettagliata dei casi di possibile interesse.
Le interazioni possibili fra radiazione e bersaglio sono riportate in figura 3.
T
Target
T
Target
T
Target
Figura 3.1a, 3.1b e 3.1c
In figura 3.1a è mostrata la condizione in cui il fascio laser è intercettato completamente dal
bersaglio che lo diffonde in modo Lambertiano.
In figura 3.1b è riportata la condizione in cui il fascio laser intercetta parzialmente il bersaglio e
questo diffonde in modo Lambertiano la radiazione intercettata.
In figura 3.1c il fascio laser è intercettato in parte dal bersaglio il quale, in parte diffonde e in parte
riflette tale radiazione intercettata.
Nelle fugure l’ellisse rappresenta la radiazione diffusa in modo Lambrtiano.
Nei tre casi mostrati in figura, il fattore geometrico FG assume, nell'ipotesi di angolo di
trasmissione uguale a quello di ricezione, i seguenti valori:
6
D2
4 ⋅ R2
D 2 ⋅ At
FGa =
π ⋅ R4 ⋅α 2
D 2 ⋅ At
FGc =
⋅ k0
π ⋅ R 4 ⋅ θ bw 2 ⋅ α rt 2
FGb =
in cui:
D=Diametro ottica di ricezione
At=Area del bersaglio
R=Distanza fra trasmettitore e bersaglio
θbw=Divergenza della radiazione trasmessa
αrt=Divergenza della radiazione riflessa
k0=Fattore di partizione fra radiazione riflessa e diffusa
Considerando di voler intercettare una autovettura, mediamente di superficie metallica, si può
schematizzare il bersaglio come mostrato in figura 2.1c.
In tale ipotesi si può considerare che l'area massima disponibile, se la vettura è vista da dietro, è di
circa 30000 cm2. Tale fattore può essere aumentato mediante ausilio di superfici cooperative come
targhe ad alta riflettività, nastri riflettori posti sui paraurti, corner reflector, prisma a spigolo di
cubo, catarifrangenti (7quello che varia non è la superficie, ma il coefficiente di backscattering).
.
I parametri prima definiti possono assumere i seguenti valori tipici::
k0 = 0.8 adatto per superfici metalliche verniciate
D =5-7 cm fissato da condizioni di spazio, ingombro e costo
αrt = 2-4 α
α = 20 mrad fissata in modo che la probabilità di intercettare il bersaglio ad una certa distanza sia
elevata. Ipotizzando un bersaglio la cui dimensione maggiore è di circa 2 m, completamente coperto
a 60-80 m, necessita un valore di α compreso fra 10 e 50 mrad.
Misure telemetriche ad alta risoluzione
Una delle tecniche fondamentali che permette di ottenere alta risoluzione nella misura di distanza è
quella della modulazione (sinusoidale) del fascio laser.
Lo schema di principio è il seguente (figura 3.2)
MODULATORE
S
BERSAGLIO
O
M1
M2
O'
COMPARATORE
DI FASE
Figura 3.2
7
dove M1 e M2 sono dei mixer e per comodità elettronica la frequenza trasmessa O è ridotta ad O'.
Dovendo misurare distanze molto piccole non si tiene conto dell'attenuazione atmosferica.
L'equazione che lega la potenza trasmessa con quella raccolta dall'ottica di ricezione è pari a :
D2
Pr = Pt ⋅ ρ ⋅ τ ⋅
4 ⋅ R2
in cui :
ρ Riflettività del bersaglio
τ Trasparenza dell' ottica
D Diametro apertura ottica del ricevitore
R Distanza dal bersaglio
Per ρ=0.8, τ=0.8, D=10 cm e R=80m si ha:
D2
ρ⋅ τ ⋅
= 1. 7 ⋅ 10−6
2
4⋅ R
Per cui, trasmettendo ad esempio 5 mW, si ottengono in ricezione 9 nW.
Volendo eseguire una misura con una risoluzione, ad esempio di 0.1 mm, sono necessarie le
seguenti condizioni:
• Alta frequenza di modulazione
• Alta risoluzione del comparatore di fase
La relazione che lega la risoluzione strumentale del comparatore di fase con la frequenza di
modulazione e la risoluzione voluta è la seguente:
φr
tr =
t r è il tempo di andata e ritorno misurato in sec, φ r è misurato in radianti e la frequenza in Hz
2 ⋅ π ⋅ f mod
R=
c⋅ tr
2
R non ambigua =
c
2 ⋅ f mod
La precedente relazione si può scrivere anche:
φr =
2 ⋅ π ⋅ Rm ⋅ 2 ⋅ f m
c
dove :
φr Risoluzione strumetale
Rm Risoluzione della misura
fm Frequenza di modulazione
Per fm=50 MHz e Rm=0.1 mm si ottiene :
φr =0.01°
Tale risoluzione è ottenibile con una opportuna progettazione del comparatore di fase purché si
operino stabilizzazioni in temperatura.
La risoluzione ottenibile è condizionata da diversi fattori:
• Turbolenza dell'aria
• Cambiamento della temperatura e pressione dell' aria
• Limite intrinseco della misura dovuto al valore di S/N
Trascurando la turbolenza, poiché tali tipi di misure spesso avvengono al coperto, per il secondo e
terzo punto si ha che l'errore temporale (e quindi un errore nella misura della distanza), per un
telemetro ad onda sinusoidale, risulta essere:
P +P

2 ⋅ h ⋅ν  k
⋅ 
+ f 2 eq ⋅ k 
2 ⋅π ⋅ f
η
Pr ⋅ Tr
 Pr ⋅ Tr

εt =
2⋅ L


cos 2 ⋅ π ⋅ f ⋅
− ϕ0 
c


1
⋅
8
posto cos(2•π•f•(2•L/c)-ϕ0)=1 in quanto è possibile porre con un ritardo elettronico nella parte di
massima sensibilità corrispondente a
ϕ0=2•π•f•(2•L/c)+π/2
dove
:
h Energia del fotone
η Efficienza quantica del rivelatore
k B•Tr
Tr Temperatura di misura
B Banda passante del ricevitore
Pr Potenza ricevuta
Pf Potenza del rumore di sfondo
Peq Potenza di rumore del ricevitore
Se si trascura Pf si ottiene per Peq:
Peq =
h⋅ ν 4⋅k ⋅T ⋅ B
⋅
Req
η⋅ e
posto:
h•ν 3.1•10-19 J (6328 A)
η 0.8
B 100Hz
T 300 °K
k 1.38•10-23 J•°K-1
Req 50 MΩ
e 1.6•10-19 C
si ha che :
Peq=4.4•10-13
per cui, con Pr=9 nW, Tr=5msec, si ottiene f= 50 MHz per εt=3•10-13.
Tale valore corrisponde a un errore di spazio pari a :
d=8.86•10-3 cm=0.009 mm.
Con questi parametri si può ammettere, senza compromettere la risoluzione della misura, un valore
di:
cos(2•π•f•(2•L/c)-ϕ0)=0.1
Se cambia l' indice di rifrazione dell' aria cambia anche il valore della misura.
Tipicamente un cambiamento di 1°C sulla temperatura o di 2.5 Torr sulla pressione porta un
cambiamento, in termini di indice di rifrazione, pari a 10-6; pertanto questo si ripercuote in un
errore sulla misura pari a :
dL=0.015 mm
Errori angolari telemetrici
Far range
8 km
Errore di tracking < 1.2 mrad
Near range
4 km
Errore di tracking <2 mrad
Errore di tracking = allocazione del target centroide rispetto al laser boresight (si definisce boresight
la direzione del centro del fascio ottico mentre il target centroide e il centro del bersaglio).
φ0=φtmax+ φbtmax
9
dove
φ0= beamwidth ottimo
φtmax=errore di tracking massimo
φbtmax=errore di boresight Massimo
J=
δP  W 
δ Ω  srad 
Se si considera una distribuzione Gaussiana del fascio si ha:
Jφ = J 0 ⋅ e
−
2φ 2
φ0 2
φ= angolo fra l’ asse ottico del fascio e la direzione di Jφ in radianti
φ0=half angle del fascio misurato a 1/e2
J0=intensità radiante di picco del fascio lungo l’ asse ottico del fascio
2φ

−
 2 P ⋅ e φ0 2
d t
 πφ0

dJ 0
= 
dφ 0
π ⋅ φ0 2
2
J0 =
2 Pt
π ⋅ φ0 2





 = 0 ⇒ φ = 2φ
0
θt=2φ0 è pari al full angle beamwidth e contiene l’ 85 % della potenza.
Angolo di ricezione del ricevitore
φrmax=φtmax+ φbtmax+ φbrmax
L’irradianza del segnale all’apertura del Rx è pari a:
Hs =
J φ ⋅ AT ⋅ ρ ⋅ FT ⋅ T A
2
π ⋅ R4
ρ=riflettività del target
AT=area del target
FT=frazione dell’ area del target inclusa nel FOV del ricevitore
TA=Trasmissione atmosferica
R=slant range
TA = e
−σ s ⋅ R
=e
−
3.912⋅ K λ ⋅ K h
Vm
γ
1.5
σ
 0.55   0.55 
Kλ = λ = 
 =
 = 0.4
σ vis  λ   1.06 
h
−
σ s H p 
H
Kh =
1− e
=
ht 
σ0

t
p




γ = 0.585 ⋅ Vm1/ 3 (Vm in km)
H p ≅ 1.2 km, ht ≅ 0.3 km
σs,0,λ,vis= coefficienti di estinzione rispettivamente per telemetro-target, cammino orizzontale, alla
lunghezza d’onda laser, nella regione del visibile.
10
4 Attenuazione atmosferica
Quando un raggio di luce attraversa l'atmosfera esso viene attenuato attraverso un processo di
assorbimento e scattering secondo la legge di Beer(3):
I ( x ) = Ta ⋅ I 0
con:
Ta = e − σ⋅ R
dove:
Ta=attenuazione dovuta alla distanza R
I(x)= intensita del campo ottico alla distanza R
I0=Intensità del campo ottico di riferimento
σ=fattore di estinzione (km-1, m-1)
Tale fattore è composto da tre termini:
σ=σozono+σRayleigh+σaerosol
Il significato dei vari termini è il seguente:
σozonoCoefficiente di assorbimento dell'ozono, che assume valore elevato nella zona ultravioletto
dello spettro, ma assume valori trascurabili nella zona 0.9-1.5 µm, spesso di interesse per tale tipo
di applicazione.
4
σRayleigh=Coefficiente di scattering di Rayleigh, proporzionale a 1/λ , che ha un effetto
preminente per le basse lunghezze d' onda.
σaerosol =Coefficiente di scattering dovuto agli aerosoli; è una funzione complessa della sezione
delle particelle e della loro forma, dell’indice di rifrazione e della lunghezza d'onda utilizzata.
Nel caso di applicazioni in cui le condizioni atmosferiche non sono ideali ma vi è presenza di
pioggia e/o nebbia si devono fare ulteriori considerazioni.
Per quanto riguarda la pioggia il coefficiente di scattering(4) è indipendente dalla lunghezza d' onda
nel visibile e vicino infrarosso e può essere stimato dall' equazione:
σ rain = 0. 248 ⋅ r 0.67
in cui :
σrain= coefficiente di scattering in km-1
r=tasso di pioggia in mm/hr
Il tasso di pioggia può essere compreso fra 10 e 60 mm/hr.
Per quanto concerne lo scattering dovuto agli aerosoli si può utilizzare un modello (5) legato alla
visibilità Rv definita come la distanza alla quale la trasmissione ovvero il contrasto a 0.55 µm
diviene il 2%.In tale caso il coefficiente di scattering è dato da:
p
3.912  0.55
σ=
⋅
 con p pari a
Rv  λ 
p = 0.585 ⋅ R v1/ 3
dove λ è la lunghezza d' onda utilizzata.
Il modello, essendo basato su una interpretazione di dati, cade in difetto quando si tratta di
estrapolare il risultato per valori di visibilità molto bassi.
E', quindi, opportuno ricorrere al calcolo con programmi quali il LOWTRAN o HITRAN o a misure
sperimentali disponibili in letteratura.
11
La figura 5a si riferisce alla dipendenza del coefficiente di scattering dalla lunghezza d' onda per
nebbie leggere.
La figura 5b si riferisce alla misura del coefficiente per vari tipi di nebbia come small drop e stable
fogs . Il massimo di attenuazione è stato trovato per la stessa lunghezza d' onda relativa alla nebbia
sottile ma si sono trovati differenti comportamenti.
Il primo comportamento è fortemente selettivo mentre il secondo è molto meno selettivo. Per
nebbia in evoluzione, vi è uno spostamento del massimo di assorbimento in funzione della
lunghezza d’ onda dovuto alle differenti dimensioni delle particella costituenti la nebbia.
Sebbene tale parametro sia di difficile valutazione, sembra ragionevole assumere una variazione del
coefficiente di scattering(6) compresa fra 10 e 50 km-1.
La range equation diviene nel caso specifico pari a :
D 2 ⋅ At ⋅ k 0
Pr = Pt ⋅ ρ ⋅ τ ⋅ e −2⋅σ⋅ R ⋅
π ⋅ R 4 ⋅ α 2 ⋅ α rt 2
I valori di ρ e τ si possono assumere in modo conservativo pari a :
ρ= 0.5
τ= 0.5
5
Equazione radar per bersagli diffusivi (lidar)
Per valutare la potenza ricevuta dal backscattering atmosferico si consideri un impulso Laser il cui
inviluppo temporale è indicato con p(t) all’ istante di riferimento t=0 come mostrato in figura 5.1.
p(t)
inviluppo
p(t-T/2)=p(t-R/c)
inviluppo all’ istante T/2
time
t=τp
T/2
T/2-τp
p(t-τ)-p(t-2R/c) inviluppo
ricevuto all’ istante T
θ
range
R=(c/2)(T-τp)
R=(c/2)(T-τp)
R=(cT/2)
Figura 5.1
12
All’ istante T/2, tale impulso illumina una cella di atmosfera posta a distanza R=cT/2 di area pari a
A=Ω•R2 (Ω è l’ angolo solido del fascio laser, Ω≈π•θ2/4, θ è l’ ampiezza del fascio) e di spessore
pari all’ equivalente in distanza della durata τp dell’ impulso, cioè ∆R=c•τp/2. L’ inviluppo è pari a
p(t) ritardato di T/2 secondi, cioè p(t-T/2) come mostrato in figura 5.2.
AR
δR
θ
A≈Ω•
R
figura 5.2
La densita di potenza D con cui viene investita l’ area A a distanza R è data da :
D=
PT
PT
⋅ Ta ( R) =
⋅ Ta ( R)
A
Ω ⋅ R2
R
Ta ( R) = e
∫
− K ( R ) dR
0
in cui:
PT è la potenza trasmessa calcolata tenendo conto del ritardo T/2 impiegato dall’ impulso per
percorrere la distanza R=p(t-T/2)=p(t-R/c)
Ta(R) è il fattore di attenuazione del percorso R
K(R) è l’ andamento del coefficente di attenuazione lungo il percorso R
La densità di potenza D’ diffusa dalle molecole di atmosfera contenute nel volume infinitesimo
A•δR è espressa in funzione del coefficente di backscattering β(R) (frazione di energia incidente
che viene retrodiffusa, per unità di angolo solido e unità di lunghezza [m-1sr-1]) come segue:
13
D' = (
PT
P ⋅ β ( R ) ⋅ δR
⋅ Ta ( R)) ⋅ β ( R) ⋅ Ω ⋅ δR = T
⋅ Ta ( R )
2
R2
Ω⋅R
Dopo un ulteriore ritardo temporale pari a T/2 , questa potenza retrodiffusa viene ricevuta (con un
inviluppo pari a p(t-T) da una ottica di area AR posta anch’essa a distanza R ; la potenza ricevuta è
pari alla densità di potenza integrata sull’ area AR tenendo inoltre in conto l’ ulteriore attenuazione
Ta(R) del percorso R
P
2⋅ R
 PT β (R) ⋅ δR

⋅ Ta (R) ⋅ AR ⋅ Ta (R) = T2 ⋅ β (R) ⋅ AR ⋅ T 2 (R) ⋅ δR = p(t −
) ⋅ β (R) ⋅ AR ⋅ T 2 (R) ⋅ δR

2
c
R
R


Tale potenza ricevuta (relativa alla fetta di spessore δR contenuta nel volume A•∆R illuminato dall’
impulso ) deve essere intergrata su tutto il volume di atmosfera che concorre a determinare la
potenza ricevuta all’ istante t=T=2R/c:
Pric (t ) =
c
⋅t
2
∫
c
⋅( t −τ p )
2
R
− 2⋅ ∫ K ( R ' ) dR '
A
2⋅R
p (t −
⋅ dR
) ⋅ β ( R ) ⋅ R2 ⋅ e 0
c
R
Si possono fare le seguenti osservazioni:
L’ attenuazione geometrica segue l’ andamento 1/R2 (e non 1/R4)poichè l’ atmosfera è un
bersaglio esteso e non puntiforme
• Il livello del segnale riflesso (ossia la capacità diffusiva dell’ atmosfera e/o delle sostenze in
essa contenute fumi, sostanze inquinanti) dipende dal coefficiente di backscattering β(R)
• L’ attenuazione per effetto dell’ assorbimento molecolare è tenuta in conto dal fattore K(R)
L’ espressione della potenza ricevuta può essere semplificata applicando alcune ipotesi valide nella
pratica:
•
•
Si ipotizza β(R) costante entro la distanza cτp/2
R
• K(R) e l’ attenuazione e
Con queste ipotesi si ha:
∫
− K ( R ') dR '
praticamente costanti entro la distanza cτp/2
0
R
A ⋅ β ( R) − 2⋅∫0 K ( R ') dR '
Pric (t ) = R 2
⋅e
⋅
R
c
2
c
⋅t
2
∫
p (t −
⋅( t −τ p )
2⋅ R
)dR
c
Poichè:
c
⋅t
2
∫
c
⋅( t −τ p )
2
τp
c
E ⋅c
2⋅ R
p(t −
)dR = ⋅ ∫ p (t ' )dt ' =
c
2 0
2
14
in cui E è l’ energia dell’ impulso trasmesso si ha in definitiva:
R
A ⋅ β ( R ) − 2⋅∫0 K ( R ') dR ' E ⋅ c PT ⋅ AR ⋅ β ( R)  c ⋅ τ p
Pric (t ) = R 2
⋅e
⋅
=
⋅ 
2
R
R2
 2
R
 − 2⋅∫0 K ( R ') dR '
 ⋅ e

avendo espresso l’ energia in termini di potenza(E=PT•τp); normalmente in Pric(t) viene sottointeso
l’ istante t=2R/c
In figura 5.3 è riportato, in forma qualitativa, l’ andamento della potenza ricevuta evidenziando la
suddivisione della scala dei tempi in range bin di durata τp ciascuno dei quali rappresenta il volume
di atmosfera a distanza ct/2 e spessore cτp/2 che ha prodotto la Pric(t).
Impulso
Pric(t)
τp
τp
t
Figura 5.3
La potenza ricevuta si intende sul sistema ottico di ingresso pertanto nell’ analisi di sistema deve
essere depurata delle perdite connesse alle ottiche al rivelatore etc.
Si deve notare inoltre, come verrà chiarito nel successivo paragrafo, che il valore di potenza
calcolato deve essere inteso come valore medio di un parametro aleatorio.
6 Caratteristica statistica del segnale ricevuto
La potenza calcolata è quella ricevuta per diffusione dall’ elemento di volume A•∆R di atmosfera
posto a distanza R in funzione del coefficente di backscatering β caratteristico dell’ aerosol
contenuto nel volume suddetto.
Tale potenza va intesa come valore medio della potenza ricevuta in quanto il segnale ricevuto dall’
elemento di volume A•∆R subisce nel tempo fluttuazioni di tipo aleatorio prodotte dalla struttura
15
dell’ atmosfera costituita da particelle molecolari di specie diversa continuamente in movimento all’
interno dell’ elemento di volume considerato .
Ciascuna particella costituisce un diffusore elementare che contribuisce al campo risultante E con
un contributo di ampiezza eI e fase ϕi.
E = ∑ e i ⋅ e jϕ i
La potenza retrodiffusa vale:
P=E•E*=|E|2 in cui E* è il complesso coniugato di E.
Ciascun termine di ampiezza ei è proporzionale alla potenza trasmessa dal laser per un fattore βi
che rappresenta la capacità retrodiffusiva di ciascuna molecola.
Le fasi ϕi sono variabili in maniera randomica da molecola a molecola con distribuzione uniforme
fra 0 e 2π.
Il campo diffuso E è aleatorio nello spazio e nel tempo in quanto fissato un istante temporale t
muovendosi intorno a un punto dello spazio x,y,z il campo ha un andamento spaziale di tipo
aleatorio per effetto della diversa composizione dei vettori ei(x,y,z)expϕi.
Fissato un punto x,y,z dello spazio il campo E varia in modo aleatorio per effetto delle variazioni
temporali delle fasi ϕi e delle ampiezze ei causate dal movimento delle molecole nel volume A•∆R.
Per caratterizzare completamente il segnale aleatorio E(x,y,z,t) si devono valutare le densità di
probaìbilità f(E) e f(E1,E2) rispettivamente del primo e del secondo ordine
f(E)=f(E(x,y,z,t)),
f(E1)=f(E(x1,y1,z1,t1),
f(E2)=f(E(x2,y2,z2,t2)
La prima densità di probabilità definisce la distribuzione delle ampiezze mentre quella del secondo
ordine definisce le correlazioni e quindi lo spettro di E (sia per le frequenze temporali che spaziali)
e quindi in definitiva le bande di variabilità dei processi E=E(t) nel tempo ed E= E(x,y,z) nello
spazio.
Il problema così posto prende il nome di random walk ed è risolto con le seguenti assunzioni valide
nel caso del modello atmosferico qui considerato:
• Le ampiezze e le fasi dei fasori elementari sono statisticamente indipendenti
• Le fasi sono distribuite in modo uniforme fra 0 e 2π
• La densità di probabilità delle ampiezze elementari è qualsiasi
I risultati per le statistiche del primo ordine si possono sintetizzare come segue:
•
Le parti reali e immaginarie del campo E sono indipendenti, a media nulla e distribuzione
Gaussiana
• L’ ampiezza |E| è distribuita secondo una Rayleigh
• L’ intensità I=|E|2 (cioè la potenza è distribuita secondo una distribuzione esponenziale:
I
−
1
<I >
f (I ) =
⋅e
, per I ≥ 0
<I>
Il valore di <I> è il valore medio della potenza ricevuto calcolato nel precedente paragrafo:
<I>=Pric
Poichè nella distribuzione di tipo esponenziale il valore della σ coincide con il valore medio si ha
che le fluttuazioni della potenza retrodiffusa sono pari al valore di potenza media ricevuta.
Le fluttuazioni di I nel tempo (I(t)) e nello spazio (I(x,y,z)) possono essere caratterizzate dalla
coerenza temporale τI e spaziale ρI .
16
La coerenza temporale τI rappresenta la costante di tempo della variazione di I(t) ovvero la minima
distanza temporale fra due campioni di I(t) statisticamente indipendenti. Questa grandezza definisce
il passo di campionamento temporale minimo che si deve usare per integrare campioni di speckle
indipendenti.
Un discorso duale si può applicare al valore della coerenza spaziale ρI
Il valorre di τI si puo calcolare conoscendo la deviazione standard σv della componente radiale
della velocità del moto delle molecole contenute nel volume A•∆R e si può scrivere:
τI =λ/ σv
Il valore di ρI dipende dalla distaza R fra il trasmettitore laser ed il volume A•∆R, dal diametro
dello spot laser Ds e dall’ ampiezza angolare del fascio laser αs (Ds≈R•αs) ed è pari a:
ρI=λ•R/ Ds=λ/αs
Si usa inoltre definire una area di coerenza Ac di raggio ρc=ρI/2 pari a :
π
π λ
2
Ac ≅ ⋅ ρ I = ⋅ 
4
4 αs



2
che rappresenta la superfice coperta da un singolo campione di speckle.
Una generica area di ricezione (area dell’ ottica) AR contiene un numero di campioni spaziali
indipendenti di speckle pari al rapporto :
N=
AR
≥1
Ac
Tale caratterizzazione del segnale di backscattering tiene in conto solo la natura granulare dell’
atmosfera, in assenza di turbolenza, e non considerandio gli effetti di integrazione (nello spazio e
enl tempo ) prodotti dal ricevitore.
Nel paragrafo relativop all’ efficienza di conversione eterodina tale argomento sarà sviluppato in
modo dettagliato.
7 Ricevitore eterodina
Lo schema a blocchi funzionali della ricezione eterodina e i canali fase e quadratura per la
rivelazione coerente sono rappresentati nella figura 7.1
17
Segnale di
Backscattering
E ric ⋅ e j⋅(ω +ω d )⋅t
Beam
Ottic
Media frequenza
VI
cosωift
Eto
Oscillatore locale
E LO ⋅ e
LPF
detector
VQ
j ⋅ω LO ⋅t
sinωi
LPF
Figura 7.1
Il campo retrodiffuso dall’ atmosfera, quello dell’ oscillatore locale e quello totale sono
rispettivamente pari a:
E ric ⋅ e j⋅ω R ⋅t = E ric ⋅ e j⋅2⋅π ⋅ν R = E ric ⋅ e j⋅2⋅π ⋅(ν +ν d )
E LO ⋅ e j⋅ω LO ⋅t = E LO ⋅ e
j ⋅(ω if +ω )⋅t
Etot = E ric ⋅ e j⋅ω R ⋅t + E LO ⋅ e j⋅ω LO ⋅t
Il rivelatore produce una corrente proporzionale alla potenza Ptot(t) del campo Etot(t)il cui valore è:
e ⋅ η det
e ⋅ η det
E
⋅ η het ⋅ Ptot (t ) =
⋅ η het ⋅ AR ⋅ tot
h ⋅ν
h ⋅ν
2 ⋅ Z0
2
i (t ) =
Il filtro a frequenza intermedia lascia passare solo la componente a frequenza intermedia della i(t) :
ω LO − ω R = (ω if + ω ) − (ω + ω d ) = ω if − ω d
iif (t ) = iif ⋅ e
j ⋅(ω if −ω d )⋅t
e ⋅ η det
e ⋅ η det
⋅ E ric
2 E
iif =
⋅ η het ⋅ 2 ⋅ PLO ⋅ Pric =
⋅ η het ⋅ 2 ⋅ AR ⋅ LO
2
h ⋅ν
h ⋅ν
4 ⋅ Z0
2
2
La tensione all’ ingresso del rivelatore coerente vale vif(t)=R•iif(t)
resistenza di carico all’ uscita della media frequenza.
avendo indicato cor R la
18
Il sistema di rivelazione coerente permette di scomporre il segnale di interesse
vif(t)=R•iif(t)=vif•cos(ωift+φ(t)) nelle due componenti fase e quadratura come mostrato in figura:
vQ
vifsin
vifejφ
φ
vifcosφ
vI
figura
La fase φ(t) e quella relativa fra gli oscillatori a media frequenza sinωift e cosωift..
Si deve notare che φ(t)=ωdt+ϕ in cui ϕ è una fase fissa.
Questo tipo di rivelazione coerente mantiene informazione della fase relativa φ ed è necessario nei
processing per l’ analisi spettrale quando ad esempio si desidera stimare l’ informazione doppler.
Il segnale rivelato con l’ eterodina vifcos(ωift+φ(t)) viene fatto battere con il segnale di riferimento
cosωift e si ha:
vifcos(ωift+φ(t))• cosωift= (vif/2)( cosφ(t)+cos(2ωift+2φ(t)))
La componente in alta frequenza viene filtrata dal low pass filter ottenendo in uscita:
VI= (vif/2) cosφ(t)= (vif/2)cos(ωift+φ(t))
Analogamente per il canale in quadratura.
La banda del LPF viene scelta in modo da consentire il passaggio della massima frequenza doppler
che si intende stimare
Se si desidera stimare la potenza è sufficiente inserire un rivelatore quadratico all’ uscita della
media frequenza. Qualora si desideri stimare contemporaneamente la doppler e la potenza si
19
possono rivelare, con due detector quadratici, i due canali in fase e quadratura e poi sommarli fra
loro.
Rapporto segnale rumore teorico
Considerando lo shot noise prodotto dal rivelatore:
2
< i shot (t ) >= 2 ⋅ e ⋅ Bif ⋅ (
e ⋅ η det
⋅ PLO )
h ⋅ν
e il rumore termico
Pth=k•TN•Bif
Nell’ ipotesi normalmente verificata che la potenza dell’ oscillatore locale sia sufficientemente
grande (Shot noise>>Thermal noise) il rapporto segnale rumore vale:
2
2
R⋅ < iif (t ) >
< iif (t ) >
Potenza segnale if
SNR ≅
=
≈
=
2
2
Pshot + Pth
R⋅ < i shot (t ) > + k ⋅ TN ⋅ Bif < i shot (t ) >
e ⋅ η det
⋅ η het ) 2 ⋅ 4 ⋅ PLO ⋅ Pric
η det
η det
h
⋅
ν
=2
⋅ η het ⋅ Pric =
η het ⋅ Pric
=
e ⋅ η det
h ⋅ν ⋅ Bif
h ⋅ ν ⋅ Bv
⋅ η het ) ⋅ PLO
2 ⋅ e ⋅ Bif ⋅ (
h ⋅ν
(
Tale valore è puramente teorico come sarà visto nel paragrafo relativo all’ efficienza di conversione
eterodina e al rumore RIN.
Efficienza eterodina
Le perdite di efficienza di conversione eterodina analizzate e verificate sperimentalmente. sono
state raggruppate in due classi:
• Esterne:
-Perdite per polarizzazione
-Perdite per effetto degli speckles
• Interne:
-Perdite per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale
-Perdite per effetto della diversa curvatura dei fronti del segnale e dell' oscillatore locale
-Perdite per tilt fra segnale e oscillatore locale
-Perdite per offset laterale
Non si considera in questa sede la perdita per turbolenza, trattata separatamente in quanto tale
perdita dipende dal tipo di applicazione; infatti in applicazioni satellitare in cui la distanza dall’
atmosfera è grande tale perdita è piccola mentre deve essere valutata per applicazioni da terra verso
la parte bassa dell’ atmosfera.
Ciascuna delle suddette perdite è riportata in dettaglio qui di seguito:
Perdite per polarizzazione ηp
Quando il segnale trasmesso è completamente depolarizzata (50% di probabilità di avere una
componente del campo piano polarizzato in una direzione) dall' atmosfera la perdita attesa per ηp
è pari a 0.5
Perdite per effetto degli speckles ηsp
20
In presenza di speckles non correlati il massimo segnale possibile è pari alla somma di vettori
indipendenti associati a ciascuno speckle (fig A1a) metre il segnale che realmente è presente è pari
al random walk degli stessi vettori (fig.A1b). L' efficienza di mixing è pari al rapporto fra i quadrati
dei vettori somma precedentemente definiti.
Tale definizione deve essere corretta dal fatto che esiste una certa probabilità che l' intensità dei
vettori risultanti abbia effettivamente la potenza calcolata mediante l' equazione lidar (5).
Per uno speckle la densità di probabilità dell' ampiezza segue la distribuzione esponenziale mentre
in presenza di più speckle si applica la distribuzione Gamma.
In particolare la probabilità P(I) che l' intensità I superi un valore di soglia è pari ai valori
normalizzati <I>p(I) in cui <I> è il valore Ps calcolato mediante la (5).
Le funzioni normalizzate per uno speckle e per più speckles valgono rispettivamente :
P1 ( I ) =< I > p1 ( I ) = e
Esponenziale
−
I
<I >
 I 


< I >

P2 ( I ) =< I > p 2 ( I ) =
Gamma
N s −1
⋅ Ns
Ns
⋅e
−Ns ⋅
I
<I >
Γ ⋅ Ns
e sono rappresentate in figura wwww
Le espressioni precedenti calcolate per I=<I> danno la probabilità che l' intensità del vettore
risultante abbia il valore calcolato con l' equazione lidar.
Pertanto correggendo i valori di efficienza come definiti all' inizio del paragrafo con i suddetti
valori si ha l' efficienza ηsp riportata in figura 4.
Perdite per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale ηm
Tale perdita è dovuta alla dimensione diversa degli spots dell' oscillatore locale e del segnale.
Considerando che solo le superfici sovrapposte contribuiscono al segnale di mixing è sufficiente
che la superficie illuminata dall' oscillatore locale sia più grande di quella del segnale che il segnale
di battimento non subisce perdite se non a spese del solo oscillatore locale figura A2
L' importante è valutare che la maggiore potenza richiesta all' OL che di fatto investe il rivelatore
non ingrandisca notevolmente il valore di RIN ed RPN..
Tale causa, con questo accorgimento, non contribuisce pertanto alla degradazione di SNR.
Perdite per effetto della diversa curvatura dei fronti del segnale e dell' OL ηr
Se i raggi di curvatura del fronte d' onda del segnale e dell' OL sono diversi le differenze di fase
fra i segnali interferenti non è uniforme sull' area illuminata del rivelatore .
Ciò si traduce in una perdita di efficienza che può essere valutata dalla seguente relazione :
ηr =
1+ e
1
 π ⋅ w2 

1 + 
 2⋅λ ⋅ R 
2
⋅
a
− 4 
 w
2
− 2⋅e
a
− 2 
 w
2
 a2 

⋅ cos
R
λ
⋅


2
a 

1 − e −2 w  




in cui w è il minimo waist del fasio laser, a il raggio del rivelatore ed R è il raggio di curvatura di
un fascio considerando piano il fronte d' onda del secondo fascio .
In figura A3 sono mostrate due curve dell' espressione (A2) con i seguenti parametri:
2
21
a=w, a=5w , a=50 micron , λ= 2.1 micron
Come si può vedere anche questa causa di degradazione può essere trascurata nell' applicazione
specifica purche si abbia cura di fare il raggio di curvatura del segnale pari a 3, 4 volte il Rayleigh
range.
Perdite per tilt fra segnale e oscillatore locale ηt
Assumendo che tutta la potenza del segnale riempa il rivelatore l' efficienza è data dalla seguente
espressione valutata per uno speckle.
 2 ⋅ J 1 (k ⋅ a ⋅ θ ) 
ηt = 

 (k ⋅ a ⋅ θ ) 
2
in cui J1 è la funzione di Bessel di ordine 1 , θ è l' angolo di tilt e k=2π/λ.
Tale espressione è diagrammata in figura A4 e come si può vedere con 50 micron di raggio del
detector a 2 micron l' efficienza di mixing è unitaria per angoli dell' ordine del milliradiante che
non creano problemi di progettazione.
Pertanto ache questa causa di degradazione di SNR è trascuarabile.
Perdite per offset laterale ηl
Per questa causa di degradazione si devono considerare le seguenti tre situazioni:
a-Uguale raggio di curvatura e uguale dimensione dei waist
In tal caso esiste perdita per mancanza di sovrapposizione dei waist è la perdita è notevole come si
può vedere dalla convoluzione di due segnali ad esempio di tipo rettangolare o Gaussiano pertanto
la condizione di ugual dimensione si deve evitare e si opera come detto nel paragrafo A3..
b- Uguale raggio di curvatura e differente dimensione dei waist
In tal caso non c'è perdita come descritto in A3.
c-Raggi di curvatura differenti
In tal caso facendo in modo che la superficie illuminata dell' LO sia più larga di quella illuminata
dal segnale c' è solo perdita per tilt.
Se infatti non si operasse così nel caso di uguale dimensione di superfici illuminate si avrebbero
perdite per tilt e per diversa dimensione degli spots di oscillatore locale e segnale .
Perdite dovute al rumore dell’ oscillatore locale (RIN)
La potenza di uscita del laser può essere scritta:
P (t ) = P0 + ∆P (t )
in cui il valore della media temporale delle fluttuazioni ∆P (t ) = 0
La potenza delle fluttuazioni è caratterizzata dalla media della deviazione standard al quadrato:
(P(t ) − P0 )
2
∝
= (∆P (t ) ) = ∫ S ∆P ( f )df = S ∆P ⋅ ∆f = S ∆P ⋅ Bn
2
0
Pertanto si ha:
η q ⋅ e ⋅ P (t )
h ⋅ν
in cui la responsivity R è pari a:
ηq ⋅ e
R =
h ⋅ν
La fluttuazione della potenza ottica è pari a:
i(t ) = R ⋅ P(t) =
22
η q ⋅ e ⋅ ∆P(t )
h ⋅ν
con un valore quadratico medio pari a:
η q 2 ⋅ e 2 ⋅ P(t )
ηq 2 ⋅ e 2
2
2
2
in (t ) = [ ∆i (t )] =
⋅ [ ∆P(t )] =
⋅ S ∆P ( f ) ∆f
(h ⋅ν ) 2
(h ⋅ν ) 2
in cui ∆f è la banda del circuito di rivelazione.
Il RIN (Relative Intensity Noise) è definito come la fluttuazione di potenza relativa in un intervallo
∆f=1Hz:
∆i(t ) =
RIN =
S ∆P ⋅ ∆f ( = 1Hz )
2
P0
( ∆id ) 2 ( ∆P ) 2 S ∆P ( f ) ∆f
=
=
= 10 −16 ⋅ 10 9 = 10 −7
2
2
2
id 0
P0
P0
Il valore rms della fluttuazione di potenza vale:
1
[( ∆P ) 2 ] 2
= 3 ⋅ 10 −4
2
P0
2
Il valore i n ( t ) vale:
ηq 2 ⋅ e 2 ⋅
2
in ( t ) =
⋅ RIN ⋅ P0 ⋅ ∆f
(h ⋅ν ) 2
2
Assumendo, ad esempio un laser con λ=1.3µ, P0=3 mW, RIN=10-16 Hz-1, ∆f=109 Hz e ηq=0.6 si
ottiene:
2
[in ( t ) ]
1
2
= 5 . 95 ⋅ 10 − 7 A
Il valore di SNR nel caso eterodina nell’ ipotesi che il livello di POL molto più grande di Ps (ipotesi
sempre verificata) vale:
2
η q ⋅ Ps
R 2 ⋅ Ps ⋅ POL
R ⋅ Ps
i
SNR = s 2 =
=
=
2 ⋅ e ⋅ Bn ⋅ R ⋅ (Ps + POL ) 2 ⋅ e ⋅ Bn 2 ⋅ h ⋅ ν ⋅ Bn
in
Prendendo in considerazione il RIN il valore di SNR si modifica come segue:
is
R 2 ⋅ Ps ⋅ POL
SNR = 2 =
4 ⋅ k ⋅ T ⋅ Bn
2
in
2 ⋅ e ⋅ Bn ⋅ R ⋅ (Ps + POL ) +
+ R 2 ⋅ RIN ⋅ POL ⋅ Bn
R
Per ottenere il valore ottimo della potenza POL è necessario derivare l’ espressione precedente
rispetto a POL e porla pari a zero. Considerando il numeratore della derivata si ha:
4 ⋅ k ⋅ T ⋅ F ⋅ Bn


2
R 2 ⋅ Ps 2 ⋅ e ⋅ R ⋅ POL ⋅ B n +
+ R 2 ⋅ POL ⋅ RIN ⋅ B n  − R 2 ⋅ Ps ⋅ POL 2 ⋅ e ⋅ R ⋅ B n + 2 ⋅ R 2 ⋅ POL ⋅ RIN ⋅ B n
R


2
[
Uguagliando a zero questa espressione si ottiene:
23
]
POL =
1 4⋅k ⋅T⋅F
⋅
R
R ⋅ RIN
Sostituendo tale valore nella espressione di SNR si ottiene il rapporto SNR ottimo che vale:
R ⋅ Ps
SNR ottimo =

4 ⋅ k ⋅ T ⋅ F ⋅ B n ⋅ RIN 
2 e ⋅ B n +

R


8 Calcolo semplificato del backscattering atmosferico nella telemetria di bersagli solidi
In presenza di nebbia l'attenuazione dovuta allo scattering da aerosoli è molto elevata e quindi è
anche elevata la quantità di radiazione laser che, scatterata all'indietro, raggiunge il ricevitore e può
dare luogo a falsi allarmi.
E', quindi, necessario valutare tale quantità di radiazione e paragonarla con la quantità di radiazione
che proviene dal bersaglio.
Il calcolo di tale quantità passa per la valutazione del coefficiente di backscattering β180 (7) il quale
è definito come se l'area per unità di volume di radiazione intercettata fosse scatterata
isotropicamente .
Così, per un impulso di durata ∆t e lunghezza (1/2)c∆t che è coinvolto nel processo di scattering, si
ha una frazione (1/2) β180c∆t effettiva di area coinvolta nel backscattering.
Pertanto la frazione di energia scatterata indietro e raccolta dal ricevitore, trascurando
l'attenuazione, è pari a :
 π ⋅ D2  1
1
1
⋅ β180 ⋅ c ⋅ ∆t ⋅ 
⋅ 2⋅
2
 4  R 4⋅π
La range equation, nel caso di backscattering, diviene pertanto:
R
c ⋅ ∆t ⋅ β180 ⋅ D
∫ σ( r ) dr
⋅e 0
2
16 ⋅ R
in cui Prb è la potenza di ritorno nel ricevitore dovuta al backscattering atmosferico relativo a uno
spessore (1/2)c∆t ad una distanza dal trasmettitore pari ad R.
Nel caso in cui l'attenuazione atmosferica è dovuta principalmente allo scattering da aerosoli
(assenza di assorbimento) si ha (7) che β180=σ e la range equation diviene:
Prb = Pt ⋅
2
−2⋅
c ⋅ ∆t ⋅ σ ⋅ D 2 −2⋅σ⋅R
Prb = Pt ⋅
⋅e
16 ⋅ R 2
Confrontando tale espressione con quella relativa al bersaglio si ha :
Pr
ρ ⋅ τ ⋅ At ⋅ k 0 ⋅ 16
=
Prb π ⋅ R 2 ⋅ α 2 ⋅ α rt 2 ⋅ c ⋅ ∆t ⋅ σ
Il valore di Pr/Prb deve essere circa 4-7 per evitare un numero di falsi allarmi elevato.
In figura 6 è mostrato tale rapporto in funzione di R con At a parametro avendo assunto:
ρ = 0.5
τ = 0.5
α = 20 mrad
αrt = 40 mrad
24
∆t =100 nsec
c = 3•108 m/sec
σ = 50 km-1 = 0.05 m-1
Da tale situazione si evince che per ottenere range significativi > 40 m è necessario che l' area del
bersaglio sia di 0.01 m2 =100 cm2 ovvero tipicamente di 10 cm •10 cm.
Tale area rappresenta esattamente il 100/4500=2% dell' area massima considerata.
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