Il Gromov width di una varietà simplettica

Il Gromov width di una varietà simplettica
A. Loi (Università di Cagliari), R. Mossa (Università di Florianopolis), F. Zuddas (Università di Udine)
Dipartimento di Matematica e Informatica
Geometria simplettica
Una varietà simplettica è una coppia (M, ω), dove M è una varietà
differenziabile e ω è una 2-forma di M chiusa e non-degenere.
Queste condizioni implicano che M ha dimensione pari 2n e che
· · ∧ ω} 6=0
|ω ∧ ·{z
n
.
Il prototipo di varietà simplettica è (R2n, ω0), dove
n
X
ω0 =
dxj ∧ dyj.
Figura 2: Il cammello simplettico.
Il Gromov width delle varietà di Kähler omogenee
j=1
Il seguente fondamentale risultato mostra che due varietà simplettiche della
stessa dimensione sono localmente “indistinguibili”.
Teorema. (Darboux) Sia (M, ω) una varietà simplettica di dimensione
2n. Per ogni p ∈ M esiste un aperto Up ⊂ M e un diffeomorfismo
2n
ψ : Up → ψ(Up) ⊆ R
tale che
ψ ∗ω0 = ω.
Perchè studiare la geometria simplettica?
Una varietà simplettica costituisce il set-up giusto per studiare la meccanica
classica in un contesto più generale dello spazio Euclideo (R2n, ω0).
Le varietà di Kähler costituiscono un sottoinsieme importante delle varietà
simplettiche. Tra queste un ruolo fondamentale è giocato da quelle
omogenee, ossia quelle varietà di Kähler per le quali il gruppo dei
biolomorfismi simplettici agisce transitivamente.
Il Gromov width delle varietà di Kähler omogenee è stato calcolato nei
seguenti casi:
I La Grassmanniana complessa (Y. Karshon, S. Tolman, Algebr. Geom. Topol.,
2005) e il prodotto di Grassmanniane complesse (G. Lu, Israel J. Math.,
2006).
I I tori di dimensione quattro (J. Latschev, D. McDuff, F. Schlenk, The
Gromov width of the 4-dimensional tori, Geom. Topol., 2013).
I Il primo dominio di Cartan e stime del Gromov width per i domini di Cartan
classici (G. Lu, H. Ding, Q. Zhang, Int. Math. Forum 2, 2007).
Contributi recenti
Il Gromov width
Il Teorema di Darboux porta naturalmente a chiedersi: quanto può essere
preso grande l’aperto Up?
Il seguente fondamentale teorema, chiamato il Teorema nonsqueezing di
Gromov fornisce una risposta a questa domanda nel caso di varietà
simplettiche “semplici” quali la palla aperta di raggio r in R2n:
B2n(r) = {x ∈ R2n | kxk < 1},
e il cilindro di raggio R:
2n
2
2n−2
Z (R) = B (R) × R
2n
Uno spazio Hermitiano simmetrico è una varietà di Kähler (M, ω) tale che
ogni p ∈ M un punto fisso e isolato rispetto ad un’isometria olomorfa e
involutiva sp di M. La componente dell’identità del gruppo delle isometrie
olomorfe di M agisce transitivamente su M e quindi ogni spazio Hermitiano
simmetrico è omogeneo. L’esempio noncompatto più semplice è lo spazio
iperbolico complesso con la forma iperbolica mentre quello compatto è lo
spazio proiettivo complesso con la forma di Fubini–Study.
Teorema. (A. Loi, R. Mossa, F. Zuddas, J. Sympl. Geom., 2015)
⊂R .
1. Sia (M, ω) uno
spazio
Hermitiano
simmetrico
compatto
e
irriducibile
tale
R
che ω(A) = A ω = π per ogni A ∈ H2(M, Z) . Allora
cG(M, ω) = π.
2. Siano (Mi, ωi), i = 1, . . . , r, spazi Hermitiani simmetrici compatti e
irriducibili di dimensione complessa ni tali che ωi(Ai) = π per ogni
Ai ∈ H2(Mi, Z) Allora
cG (M1 × · · · × Mr, ω1 ⊕ · · · ⊕ ωr) = π.
Figura 1: Mikhail Gromov.
Teorema. (M. Gromov, Inv. Math. 1985) Esiste un embedding
simplettico di B2n(r) in Z2n(R) se e solo se r ≤ R.
Il Teorema nonsqueezing si può esprimere affermando che
cG(B2n(r), ω) = cG(Z2n(r), ω) = πr2,
dove cG(M, ω) rappresenta il Gromov width di una varietà simplettica di
dimensione 2n definito da Gromov come:
cG(M, ω) = sup{πr2 | (B2n(r), ω0) ,→ (M, ω)}.
Il cammello simplettico
Teorema. (A. Loi, R. Mossa, F. Zuddas, J. Sympl Geom., 2015)
1. Sia Ω ⊂ Cn un dominio simmetrico limitato dotato della forma piatta ω0.
Allora
cG(Ω, ω0) = π.
2. Siano Ωi ⊂ Cni, i = 1, . . . , r, domini simmetrici limitati di dimensione
complessa ni dotati delle forme piatte ω0i . Allora
1
r
cG Ω1 × · · · × Ωr, ω0 ⊕ · · · ⊕ ω0 = π.
Teorema. (A. Loi, F. Zuddas, Diff. Geom. Appl., 2016)
Sia (M, ω) una varietà di Kähler compatta e omogenea
con secondo
R
numero di Betti uguale a 2 e ω tale che ω(A) = A ω = π per ogni
A ∈ H2(M, Z). Allora cG(M, ω) = π.
Due congetture
Nello stesso articolo Gromov trova anche la soluzione del problema del
cammello simplettico:
Congettura 1(Loi–Zuddas) Il Teorema precedente vale anche senza
l’ipotesi che il secondo numero di Betti di M sia uguale a 2.
Teorema. (M. Gromov, Inv. Math. 1985) Non è possibile far passare
un cammello simplettico attraverso la cruna di un ago.
Congettura 2(Biran) Sia (M, ω) una varietà simplettica compatta, con
ω intera. Allora cG(M, ω) ≥ π.
17-20 Ottobre 2016
Corso di Studi in Matematica