Geometria algebrica, differenziale, noncommutativa, e applicazioni

presentazione dottorato di ricerca in matematica - xxx ciclo
Università degli Studi di Napoli Federico II
Geometria algebrica, differenziale, noncommutativa,
e applicazioni alla fisica
Francesco D’Andrea
Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli
19/05/2015
Composizione del gruppo di ricerca
∗
Partecipanti al Progetto STAR: Napoli-call2013-09.
Dipartimento di Matematica, UniNA:
Dott. Francesco D’Andrea (geometria noncommutativa)
Prof. Davide Franco (geometria algebrica)
Prof. Gaetano Fiore (fisica matematica)
Prof. Luciano Amito Lomonaco (topologia algebrica)
Dott. Maurizio Brunetti (topologia algebrica)
Dott. Niels Kowalzig (topologia algebrica)
Dott. Maxim Kurkov (teoria quantistica dei campi)
Dipartimento di Fisica, UniNA:
Prof. Fedele Lizzi (fisica teorica)
Dott. Patrizia Vitale (fisica teorica)
Dott. Agostino Devastato (dottorando in fisica)
1/8
Il formalismo della meccanica hamiltoniana
M ECCANICA
M = varietà di Poisson
Osservabili →
f = f ∈ A0 ⊂ C∞ (M)
(algebra commutativa)
Eq. del moto →
M ECCANICA
CLASSICA
d
ft = H, ft
dt
Quantizzazione
−−−−−−−−→
(Deformazione)
←−−−−−−−
Limite
semiclassico
QUANTISTICA
H = spazio di Hilbert
a = a∗ ∈ Ah ⊂ B(H)
(algebra di operatori)
d
i
at =
Ĥ, at
dt
h
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Il formalismo della meccanica hamiltoniana
M ECCANICA
M = varietà di Poisson
Osservabili →
f = f ∈ A0 ⊂ C∞ (M)
(algebra commutativa)
Eq. del moto →
M ECCANICA
CLASSICA
d
ft = H, ft
dt
Quantizzazione
−−−−−−−−→
(Deformazione)
←−−−−−−−
Limite
semiclassico
QUANTISTICA
H = spazio di Hilbert
a = a∗ ∈ Ah ⊂ B(H)
(algebra di operatori)
d
i
at =
Ĥ, at
dt
h
1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni in
operatori? (Soddisfacente opportune proprietà dettate dalla fisica.)
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Il formalismo della meccanica hamiltoniana
M ECCANICA
M = varietà di Poisson
Osservabili →
f = f ∈ A0 ⊂ C∞ (M)
(algebra commutativa)
Eq. del moto →
M ECCANICA
CLASSICA
d
ft = H, ft
dt
Quantizzazione
−−−−−−−−→
(Deformazione)
QUANTISTICA
H = spazio di Hilbert
a = a∗ ∈ Ah ⊂ B(H)
←−−−−−−−
Limite
semiclassico
(algebra di operatori)
d
i
at =
Ĥ, at
dt
h
1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni in
operatori? (Soddisfacente opportune proprietà dettate dalla fisica.)
2. Quali sono le proprietà geometriche di questi “spazi quantistici”?
(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometria
differenziale allo studio di algebre di operatori?)
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Il formalismo della meccanica hamiltoniana
M ECCANICA
M = varietà di Poisson
Osservabili →
f = f ∈ A0 ⊂ C∞ (M)
(algebra commutativa)
Eq. del moto →
M ECCANICA
CLASSICA
d
ft = H, ft
dt
Quantizzazione
−−−−−−−−→
(Deformazione)
QUANTISTICA
H = spazio di Hilbert
a = a∗ ∈ Ah ⊂ B(H)
←−−−−−−−
Limite
semiclassico
(algebra di operatori)
d
i
at =
Ĥ, at
dt
h
1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni in
operatori? (Soddisfacente opportune proprietà dettate dalla fisica.)
2. Quali sono le proprietà geometriche di questi “spazi quantistici”?
(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometria
differenziale allo studio di algebre di operatori?)
3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, è un gruppo),
che tipo di oggetto è la sua quantizzazione?
2/8
1. Il problema della quantizzazione
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
3/8
1. Il problema della quantizzazione
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
Maxim Kontsevich
(Medaglia Fields 1998)
3/8
1. Il problema della quantizzazione
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
Maxim Kontsevich
Marc A. Rieffel
(Medaglia Fields 1998)
3/8
1. Il problema della quantizzazione
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
Maxim Kontsevich
Marc A. Rieffel
(Medaglia Fields 1998)
Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗ -algebre:
I
deformazione stretta (strict deformation quantization)
I
equivalenza forte di Morita per C∗ -algebre
I
rango stabile di una C∗ -algebra
I
metriche su spazi di stati di C∗ -algebre
3/8
1. Il problema della quantizzazione
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
Maxim Kontsevich
Marc A. Rieffel
(Medaglia Fields 1998)
Cédric Villani
(Medaglia Fields 2010)
Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗ -algebre:
I
deformazione stretta (strict deformation quantization)
I
equivalenza forte di Morita per C∗ -algebre
I
rango stabile di una C∗ -algebra
I
metriche su spazi di stati di C∗ -algebre
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a
a
z
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h-W
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Di rovic
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2. Geometria differenziale noncommutativa
Alain Connes (Medaglia Fields 1982)
Dal libro rosso di Connes [trad.]:
La corrispondenza fra spazi geometrici e algebre commutative è un’idea
basilare della geometria algebrica. Lo scopo di questo libro è di estendere
tale corrispondenza alle algebre non commutative nell’ambito dell’analisi reale.
4/8
3. Gruppi quantistici
Nell’ambito delle deformazioni formali un contributo fondamentale è dovuto a Drinfel’d.
Vladimir G. Drinfel’d (Medaglia Fields 1990)
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3. Gruppi quantistici
Nell’ambito delle deformazioni formali un contributo fondamentale è dovuto a Drinfel’d.
Vladimir G. Drinfel’d (Medaglia Fields 1990)
Stanisław L. Woronowicz (Medaglia Banach 2009)
Nell’ambito delle C∗ -algebre, il fondatore è stato Woronowicz.
(Iniziatore della teoria, nonché autore di vari contributi fontamentali di algebre di operatori, ad esempio
la classificazione di funzioni positive fra C∗ -algebre in dimensione bassa.)
5/8
Un esempio dalla geometria algebrica
Regole di commutazione della meccanica quantistica (in unità h = 1):
√
xi , pj = −1 δij ,
i, j = 1, . . . , n
(?)
Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Chiamiamo algebra di Weyl
AK,n l’algebra su K generata da {xi , pi }n
i=1 con regole di commutazione (?).
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Un esempio dalla geometria algebrica
Regole di commutazione della meccanica quantistica (in unità h = 1):
√
xi , pj = −1 δij ,
i, j = 1, . . . , n
(?)
Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Chiamiamo algebra di Weyl
AK,n l’algebra su K generata da {xi , pi }n
i=1 con regole di commutazione (?).
Le seguenti congetture sono stabilmente equivalenti:
[Tsuchimoto, Belov-Kanel, Kontsevich]
Congettura di Dixmier – DCn
Tutti gli endomorfismi dell’algebra di Weyl AK,n sono automorfismi.
DCn ⇒ JCn
(ben noto)
JC2n ⇒ DCn
(Tsuchimoto et al., 2005)
Congettura Jacobiana – JCn (sull’invertibilità di una funzione regolare)
Sia F : Kn → Kn una funzione polinomiale e JF il determinante Jacobiano.
Se JF ∈ K∗ , esiste G : Kn → Kn polinomiale inversa di F.
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Possibili argomenti di ricerca
Argomento
Competenze
Referente/i
Aspetti matematici di teorie
quantistiche di campo
Algebre di operatori, K-teoria/omologia,
meccanica quantistica, . . .
F. D’Andrea
G. Fiore
Gruppi quantistici
Gruppi di Lie, bialgebre/algebre di Hopf,
F. D’Andrea
C∗ -algebre di Woronowicz, . . .
G. Fiore
Metriche su spazi di stati di
C∗ -algebre
Algebre di operatori, spazi vettoriali ordinati con unità, (trasporto ottimale), (teoria
dell’informazione quantistica), . . .
F. D’Andrea
Luoghi di Hodge e teoria
di Noether-Lefschetz
Geometria di famiglie di varietà algebriche,
spazi di moduli, teoria delle deformazioni,
teoria di Noether-Lefschetz in car. positiva.
D. Franco
Equazioni per la fisica della
Analisi e risoluzione – anche numerica – di
G. Fiore
interazione laser-plasmi
equazioni differenziali e integrali non lineari,
elettrodinamica, magnetofluidodinamica.
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Motivazioni
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
G EOMETRIA D IFFERENZIALE
•
•
•
•
G EOMETRIA A LGEBRICA
strutture di spin
•
•
•
•
gruppi di Lie/spazi omogenei
varietà di Poisson/gruppi di Poisson-Lie
varietà complesse
spazi di moduli
luoghi di Hodge
teoria di Noether-Lefschetz
F ISICA M ATEMATICA /T EORICA
A LGEBRE DI O PERATORI
•
•
•
•
teoria delle deformazioni
• meccanica quantistica
algebre di Banach/C∗ -algebre
deformazioni strette, alla Berezin, . . .
• teoria quantistica dei campi
K-teoria/omologia, KK-teoria
• tecniche di sviluppo asintotico del
nucleo del calore
topologie/metriche su spazi di stati
F ISICA L ASER -P LASMI
• analisi qualitativa equazioni differenziali e integrali
• teniche di risoluzione (anche numerica)
• equazioni della magnetofluidodinamica/elettrodinamica
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Motivazioni
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
collaborazioni nazionali e internazionali
Esempio: COST Action MP1405 – “Quantum structure of spacetime”
Data inizio: 30/04/2015 – Data fine: 29/04/2019.
Partecipano 22 nazioni:
Austria
Belgio
Bulgaria
Croazia
Cipro
Germania
Rep. Ceca
Dannimarca
Francia
Grecia
Islanda
Irlanda
Italia
Lussemburgo
Olanda
Polonia
Portogallo
Serbia
Slovacchia
Spagna
Svizzera
Regno Unito
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Motivazioni
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
collaborazioni nazionali e internazionali
comunità scientifica molto attiva
Esempio: conferenze organizzate dal network GREFI-GENCO
2007
•
1st French-Italian meeting on noncommutative geometry (La Sapienza, Roma)
2008
2009
2010
•
Rencontre GDR géométrie non commutative (Aspet, Pyrénées)
Noncommutative geometry and quantum physics (Vietri sul Mare, SA)
Quantum groups, free probability and nc geometry (CIRM, Marsiglia)
2011
2012
2012
•
2013
2014
•
•
Noncommutative geometry and applications (Braşov, Romania)
Noncommutative geometry and applications (Villa Mondragone, Frascati)
2015
•
Advances in noncommutative geometry (Univ. Paris Diderot, Parigi)
•
•
•
•
Meeting of the French-Italian GDRE on nc geometry (Ist. Henri Poincaré, Parigi)
Nc geometry, index theory and applications (Palazzone SNS, Cortona)
Noncommutative geometry and applications to physics (Politecnico di Milano)
⇒ possibilità di partecipazione a conferenze/scuole di dottorato
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Motivazioni
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
collaborazioni nazionali e internazionali
comunità scientifica molto attiva
sono argomenti che attraggono finanziamenti
Esempio: il mio “funding ID”
Nome Finanziamento
Coordinatore
Iniziativa Specifica INFN 2014: GeoSym-QFT
STAR 2013 (Compagnia di San Paolo): “Geometric aspects of QFT. . . ”
COST Action MP1405: “Quantum structure of spacetime”
Programma bilaterale Italia-Serbia 2013 – M01066
Giovani GNFM 2011 (INdAM)
INdAM-CNRS project GREFI-GENCO 2011
FARO 2010 (Compagnia di San Paolo): “Algebre di Hopf, differenziali e [ . . . ]”
INdAM-CNRS project GREFI-GENCO 2007
IAP (Interuniversity Attraction Pole, Belgio), 2007
PRIN 2011: “Operator algebras, noncommutative geometry and applications”
PRIN 2008: “Noncommutative geometry, quantum groups and applications”
PRIN 2006: “Noncommutative geometry, quantum groups and applications”
PRIN 2004: “SINTESI - Singolarità Integrabilità Simmetrie”
G. Fiore
F. D’Andrea
R.J. Szabo
L. Castellani
F. D’Andrea
D. Guido
M. Brunetti
J.-L. Sauvageot
P. Bieliavksy
R. Longo
G. Landi
G. Landi
F. Calogero
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Motivazioni

opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
collaborazioni nazionali e internazionali
comunità scientifica molto attiva
sono argomenti che attraggono finanziamenti
lo sbocco professionale naturale è nel mondo accademico
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