G EOMETRIA ALGEBRICA , DIFFERENZIALE , NONCOMMUTATIVA ,
E APPLICAZIONI ALLA FISICA
— Progetto STAR: Napoli-call2013-09 —
F. D’Andrea, D. Franco, G. Fiore, L.A. Lomonaco, M. Brunetti, N. Kowalzig, M. Kurkov, F. Lizzi, P. Vitale, A. Devastato
Il formalismo della meccanica hamiltoniana
M ECCANICA
M = varietà di Poisson
Osservabili →
M ECCANICA
CLASSICA
∞
f = f ∈ A0 ⊂ C (M)
(algebra commutativa)
Eq. del moto →
Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗ -algebre), . . .
QUANTISTICA
H = spazio di Hilbert
Quantizzazione
−−−−−−−−→
(Deformazione)
a = a∗ ∈ Ah ⊂ B(H)
←−−−−−−−
d
ft = H, ft
dt
1. Il problema della quantizzazione
(algebra di operatori)
Limite
semiclassico
d
i
at =
Ĥ, at
dt
h
Maxim Kontsevich
1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni in
Marc A. Rieffel
Cédric Villani
(Medaglia Fields 1998)
operatori? (Soddisfacente opportune proprietà dettate dalla fisica.)
2. Quali sono le proprietà geometriche di questi “spazi quantistici”?
(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometria
(Medaglia Fields 2010)
Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗ -algebre:
I
differenziale allo studio di algebre di operatori?)
3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, è un gruppo),
che tipo di oggetto è la sua quantizzazione?
deformazione stretta (strict deformation quantization)
C∗ -algebre
I
equivalenza forte di Morita per
I
rango stabile di una C∗ -algebra
I
metriche su spazi di stati di C∗ -algebre
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2. Geometria differenziale noncommutativa
e- n
g
n
ei
o
t
s
i M ser
d
za Was
n
sta ichi
D rov
nto
a
K
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3. Gruppi quantistici
Nell’ambito delle deformazioni formali un contributo fondamentale è dovuto a Drinfel’d.
Alain Connes (Medaglia Fields 1982)
Vladimir G. Drinfel’d (Medaglia Fields 1990)
Stanisław L. Woronowicz (Medaglia Banach 2009)
Dal libro rosso di Connes [trad.]:
Nell’ambito delle C∗ -algebre, il fondatore è stato Woronowicz.
La corrispondenza fra spazi geometrici e algebre commutative è un’idea
basilare della geometria algebrica. Lo scopo di questo libro è di estendere
(Iniziatore della teoria, nonché autore di vari contributi fontamentali di algebre di operatori, ad esempio
tale corrispondenza alle algebre non commutative nell’ambito dell’analisi reale.
la classificazione di funzioni positive fra C∗ -algebre in dimensione bassa.)
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Possibili argomenti di ricerca
Un esempio dalla geometria algebrica
Regole di commutazione della meccanica quantistica (in unità h = 1):
xi , pj
√
= −1 δij ,
i, j = 1, . . . , n
(?)
Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Chiamiamo algebra di Weyl
AK,n l’algebra su K generata da {xi , pi }n
i=1 con regole di commutazione (?).
Le seguenti congetture sono stabilmente equivalenti:
Tutti gli endomorfismi dell’algebra di Weyl AK,n sono automorfismi.
(ben noto)
Competenze
Referente/i
Aspetti matematici di teorie
quantistiche di campo
Algebre di operatori, K-teoria/omologia,
meccanica quantistica, . . .
F. D’Andrea
G. Fiore
Gruppi quantistici
Gruppi di Lie, bialgebre/algebre di Hopf,
F. D’Andrea
C∗ -algebre di Woronowicz, . . .
G. Fiore
Metriche su spazi di stati di
C∗ -algebre
Algebre di operatori, spazi vettoriali ordinati con unità, (trasporto ottimale), (teoria
dell’informazione quantistica), . . .
F. D’Andrea
Luoghi di Hodge e teoria
Geometria di famiglie di varietà algebriche,
D. Franco
di Noether-Lefschetz
spazi di moduli, teoria delle deformazioni,
teoria di Noether-Lefschetz in car. positiva.
Equazioni per la fisica della
Analisi e risoluzione – anche numerica – di
interazione laser-plasmi
equazioni differenziali e integrali non lineari,
elettrodinamica, magnetofluidodinamica.
[Tsuchimoto, Belov-Kanel, Kontsevich]
Congettura di Dixmier – DCn
DCn ⇒ JCn
Argomento
JC2n ⇒ DCn
(Tsuchimoto et al., 2005)
Congettura Jacobiana – JCn (sull’invertibilità di una funzione regolare)
Sia F : Kn → Kn una funzione polinomiale e JF il determinante Jacobiano.
G. Fiore
Se JF ∈ K∗ , esiste G : Kn → Kn polinomiale inversa di F.
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Motivazioni
Motivazioni
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
G EOMETRIA D IFFERENZIALE
•
•
•
•
G EOMETRIA A LGEBRICA
strutture di spin
•
•
•
•
gruppi di Lie/spazi omogenei
varietà di Poisson/gruppi di Poisson-Lie
varietà complesse
teoria delle deformazioni
spazi di moduli
luoghi di Hodge
teoria di Noether-Lefschetz
opportunità di acquisire competenze in un certo numero di campi
collaborazioni nazionali e internazionali
comunità scientifica molto attiva
sono argomenti che attraggono finanziamenti
lo sbocco professionale naturale è nel mondo accademico
F ISICA M ATEMATICA /T EORICA
A LGEBRE DI O PERATORI
•
•
•
•
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• meccanica quantistica
algebre di Banach/C∗ -algebre
deformazioni strette, alla Berezin, . . .
• teoria quantistica dei campi
K-teoria/omologia, KK-teoria
• tecniche di sviluppo asintotico del
nucleo del calore
topologie/metriche su spazi di stati
F ISICA L ASER -P LASMI
• analisi qualitativa equazioni differenziali e integrali
• teniche di risoluzione (anche numerica)
• equazioni della magnetofluidodinamica/elettrodinamica
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