Appunti di algebra File

Marco Barlotti
Appunti di
Αlgebra
per l’insegnamento di “Matematica Discreta e Logca”
del corso di laurea triennale in Informatica
Vers. 2.91
Anno Accademico 2016-2017
In copertina un disegno originale (© Disney) di Keno Don Rosa.
M. Barlotti  appunti di “Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”  v. #.*"  Pag. I
PERCHE’ QUESTI APPUNTI, E COME USARLI
(Prefazione alla vers. #.*")
Questi appunti vogliono costituire un supporto scritto alle lezioni di algebra che tengo
per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica” per il Corso di Laurea triennale in
Informatica presso l’Università di Firenze.
Anche se il materiale qui trattato corrisponde abbastanza fedelmente agli argomenti di
algebra svolti a lezione ed ha raggiunto nel corso degli anni una certa stabilità, si tratta pur
sempre di un work in progress soggetto a ulteriori verifiche, nel quale resta inevitabile la
presenza di errori materiali; inoltre, per quanto mi sia sforzato di conciliare il rigore con la
chiarezza, alcuni brani del testo possono risultare poco comprensibili. Sarò grato a tutti coloro,
e specialmente agli studenti, che vorranno segnalarmi qualunque problema, dai più banali
errori di stompa alle oscurità nell’esposizione.
Firenze, $!."!.2016
Marco Barlotti
M. Barlotti  appunti di “Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”  v. #.*1  Pag. II
BIBLIOGRAFIA
[1]
G. Devoto, G. C. Oli
Il dizionario della lingua italiana
Le Monnier, Firenze (1990)
[2]
P. R. Halmos
Naive set theory
Van Nostrand, Princeton NJ (1966)
[3]
P. R. Halmos
Teoria elementare degli insiemi
Feltrinelli, Milano (1970)
[4]
G. Peano
Aritmetica generale e algebra elementare
Paravia, Torino (1902)
AVVERTENZA
Tutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore.
È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito.
È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altra
opera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova opera
nella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito e
l’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni.
L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senza
riserve di quanto sopra.
M. Barlotti  appunti di “Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”  v. #.*1  Pag. III
SOMMARIO
1. - Introduzione
1.1 - L’impostazione assiomatica. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 - La teoria degli insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 - Prime notazioni sugli insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 - Come si definisce un insieme: mediante elenco degli elementi. . . .
1.5 - Coppie ordinate, 8-ple ordinate, sequenze ordinate, matrici. . . . .
1.6 - Enunciati. Predicati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 - Come si definisce un insieme: mediante una proprietà caratteristica.
. .
1.8 - Come si definisce un insieme: come unione di insiemi già definiti. .
1.9 - Come si definisce un insieme: come insieme delle parti. . . . . .
1.10 - Unione, intersezione, differenza. . . . . . . . . . . . . . .
1.11 - Unione e intersezione di una famiglia di insiemi. Partizioni. . . .
1.12 - Prodotto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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pag. 1
pag. 2
pag. 3
pag. 4
pag. 4
pag. 6
pag. 7
pag. 8
pag. 8
pag. 9
pag. 10
pag. 11
2. - Il principio di induzione
2.1 - Gli assiomi di Peano per i numeri naturali. . . . . .
2.2 - Dimostrazioni per induzione: il teorema fondamentale.
2.3 - Dimostrazioni per induzione: partire da 8!  !. . .
2.4 - Il simbolo di “sommatoria”. . . . . . . . . . . .
2.5 - Dimostrazioni per induzione: altre formulazioni. . .
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3. - Funzioni
3.1 - Relazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 - Relazione inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 - Restrizione ad un sottoinsieme. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 - Funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 - Dominio. Immagine, immagine inversa. . . . . . . . . . . . . .
3.6 - Iniettività e suriettività. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 - La funzione inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 - Composizione di funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 - Successioni definite per recursione. . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 - Recursione lineare omogenea di primo grado sugli ultimi due termini.
3.11 - Le successioni “tipo Fibonacci”. . . . . . . . . . . . . . . .
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4. - Operazioni in un insieme
4.1 - Operazioni in un insieme. . . .
4.2 - Chiusura rispetto a un’operazione.
4.3 - Associatività e commutatività. .
4.4 - Elemento neutro. . . . . . . .
4.5 - Il simmetrico di un elemento. . .
4.6 - La proprietà distributiva. . . . .
4.7 - Gruppi. . . . . . . . . . .
4.8 - Anelli.
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4.9 - Anelli di matrici. . . . . . . .
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5. - Permutazioni
5.1 - Il gruppo simmetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 51
5.2 - Il gruppo Sym(8). . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52
5.3 - Cicli.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55
6. - Relazioni di ordine
6.1 - Definizioni. . . . . . . . . . . . . .
6.2 - Relazioni di ordine. . . . . . . . . . .
6.3 - Intervalli. . . . . . . . . . . . . . .
6.4 - Minimo e massimo. . . . . . . . . . .
6.5 - Elementi minimali ed elementi massimali. .
6.6 - Limitazioni inferiori e limitazioni superiori.
6.7 - Estremo superiore. . . . . . . . . . .
6.8 - Estremo inferiore. . . . . . . . . . .
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M. Barlotti  appunti di “Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”  v. #.*1  Pag. V
7. - L'algoritmo di Euclide in 
7.1 - Ancora su (, Ÿ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 - La divisione euclidea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 - Massimo comun divisore in . L’algoritmo di Euclide. . . . . . . . . . .
7.4 - Una classe di equazioni diofantine. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 - Minimo comune multiplo in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 - Divisibilità negli anelli commutativi con unità privi di divisori dello zero. . .
7.7 - Elementi primi negli anelli commutativi con unità privi di divisori dello zero. .
7.8 - Numeri primi in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 - Numeri primi “di Fermat”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 - Numeri primi “di Mersenne”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 - Numeri perfetti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8. - Reticoli
8.1 - Definizione. . . . . . . . . . . . .
8.2 - Unione e intersezione in un reticolo. . .
8.3 - Una definizione alternativa di “reticolo”.
8.4 - Complementi in un reticolo. . . . . .
8.5 - Distributività. . . . . . . . . . . .
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9. - Relazioni di equivalenza
9.1 - Definizione. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 - Classi di equivalenza. . . . . . . . . . . . . .
9.3 - Insieme quoziente. . . . . . . . . . . . . . .
9.4 - Le classi di resto. . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 - L’anello ™8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 - La notazione posizionale in base “dieci” e in altre basi.
9.7 - I criteri di divisibilità per i numeri interi. . . . . .
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pag. 101
pag. 102
pag. 103
pag. 105
pag. 107
pag. 109
pag. 113
M. Barlotti  appunti di “Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”  v. #.*"  Pag. VI
10. - Alcune equazioni in ™8
10.1 - Equazioni di primo grado in ™8 . . . . . . .
10.2 - Divisori dello zero ed elementi invertibili in ™8 .
10.3 - La funzione : di Euler. . . . . . . . . . .
10.4 - Il teorema di Fermat-Euler. . . . . . . . .
10.5 - Cenni sul criptosistema RSA. . . . . . . .
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pag. 121
pag. 122
pag. 125
11. - Cardinalità
11.1 - Equipotenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 127
11.2 - Cardinalità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 128
11.3 - Confronto tra cardinalità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 129
12. - Piccioni e matrimoni
12.1 - Il “principio dei buchi di piccionaia”. . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 131
12.2 - Il “principio generalizzato dei buchi di piccionaia”. . . . . . . . . . . pag. 134
12.3 - Il “teorema dei matrimoni”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 135
13. - Elementi di calcolo combinatorio
13.1 - Introduzione. Due princìpi per contare. .
13.2 - 5 -disposizioni con ripetizione. . . . .
13.3 - 5 -disposizioni semplici. . . . . . . .
13.4 - 5 -combinazioni semplici. . . . . . .
13.5 - 5 -combinazioni con ripetizione. . . .
13.7 - Esercizi di ricapitolazione. . . . . .
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 1
1.- INTRODUZIONE
1.1 - L’impostazione assiomatica.
Ogni teoria matematica si sviluppa mediante definizioni e teoremi su cui poggiano a
cascata altre definizioni e altri teoremi. Ogni definizione spiega il significato di una parola, o
di un gruppo di parole, mediante altre parole. Ma è possibile definire tutte le parole? O, forse,
alcuni termini matematici possono essere definiti con vocaboli “non tecnici”, cioè del tutto
estranei alla teoria in esposizione, che quindi non hanno bisogno di spiegazione? La risposta è
negativa per entrambe le domande.
Esempio 1.1.1
Si chiama dizionario della lingua italiana una raccolta di parole e locuzioni della lingua
italiana (generalmente disposte in ordine alfabetico) per ciascuna delle quali è fornita una
spiegazione del significato. Tale spiegazione è data usando soltanto parole della lingua
italiana.
Nella edizione 1990 de “Il dizionario della lingua italiana” di Giacomo Devoto e Gian Carlo
Oli Ð[1]Ñ leggiamo:
UOMO ³ L’individuo di sesso maschile della specie umana.
UMANO ³ Proprio dell’uomo, in quanto rappresentante della specie.
Questo non è soddisfacente: infatti il lettore non può comprendere la spiegazione del
sostantivo “UOMO” se non conosce il significato dell’aggettivo “UMANO”; e non può
comprendere la spiegazione dell’aggettivo “UMANO” se non conosce il significato del
sostantivo “UOMO”.
Esempio 1.1.2
La più antica opera oggi conosciuta in cui la geometria viene trattata non come un sistema di
regole pratiche e nozioni empiriche ma come una “scienza razionale” è costituita dagli
“Elementi” di Euclide (matematico vissuto in Grecia nel III secolo a. C.). La teoria sviluppata
da Euclide costituisce ancor oggi uno strumento semplice e efficace per descrivere la realtà
fisica Ð1Ñ attorno a noi e per studiare fenomeni di varia natura.
1 almeno in prima approssimazione. Le descrizioni quantistico-relativistiche utilizzano una geometria
“diversa”, detta appunto “non euclidea”.
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 2
Dovendo riferirsi a certi enti su cui costruire la geometria, Euclide ritenne necessario aprire la
sua opera con una serie di “definizioni”, ad esempio:
 Un punto è ciò che non ha parti.
 Una linea è una lunghezza senza larghezza.
 Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza, ma non spessore.
Oggi queste “definizioni” non ci sembrano utilizzabili per sopportare il peso di una teoria.
Non si comprende infatti come si possa spiegare che cos’è un “punto” mediante la nozione di
“parte” senza poi precisare che cosa significhi “parte”; né come si possano definire “linea” e
“superficie” mediante le parole “lunghezza”, “larghezza” e “spessore” senza che queste
vengano a loro volta definite.
Lo sviluppo (nel diciannovesimo secolo) della critica ai fondamenti della matematica
(e in particolare della geometria euclidea) ha condotto a stabilire che una trattazione razionale
e rigorosa deve procedere assiomaticamente: ciò significa che alla base della teoria non si
deve porre un sistema di definizioni; si assegnano invece certe parole (dette concetti primitivi)
e le regole precise (dette assiomi, o postulati) con le quali tali parole verranno utilizzate. In tal
modo anziché definire gli enti fondamentali si descrivono piuttosto le relazioni logiche che
intercorrono fra essi.
1.2 - La teoria degli insiemi.
La teoria degli insiemi può essere utilizzata per una costruzione organica e coerente di
tutta la Matematica. Essa si è venuta sviluppando a partire dalla seconda metà del
diciannovesimo secolo grazie ai lavori di (fra gli altri) Georg Cantor (1845  1918), Friedrich
Ludwig Gotilds Frige (1848  1925) e Bertrand Russel (1872  1970), ed ha trovato una
sistemazione ormai classica ad opera di Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871  1953) e
Adolf Abraham Fraenkel (1891  1965).
Una rigorosa impostazione assiomatica (cfr. 1.1) esula certamente dalle nostre
possibilità Ð2Ñ. Noi utilizzeremo tuttavia il linguaggio degli insiemi; pur non formalizzandole
esplicitamente, cercheremo di stabilire “regole del gioco” chiare e precise che ci consentano di
utilizzare le parole “primitive” (insieme, elemento, appartiene, ...) senza cadere in formalismi
esasperati ma evitando imprecisioni che possano poi dar luogo a contraddizioni logiche.
Useremo dunque la parola “insieme” per indicare un ente completamente caratterizzato
dagli elementi che ad esso appartengono. Per sgombrare il campo da possibili fraintendimenti,
chiariamo subito che
 si usa il termine “elemento” per indicare ciò che “appartiene” ad un “insieme”, senza che
ciò prefiguri due mondi distinti, quello degli “elementi” e quello degli “insiemi”: anzi, gli
elementi di un insieme possono benissimo essere essi stessi insiemi;
 poiché un insieme resta completamente caratterizzato dai propri elementi, si conviene in
particolare che: due insiemi sono lo stesso insieme (si dice anche che coincidono) se e solo se
hanno gli stessi elementi.
2 Il lettore interessato può consultare utilmente [2], se necessario nella traduzione italiana [3].
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 3
1.3 - Prime notazioni sugli insiemi.
Siano A, B insiemi.
Se + è un elemento di A (ciò si esprime anche dicendo che + appartiene ad A),
scriveremo
+ − A.
Se ogni elemento di A è anche elemento di B, diremo che A è un sottoinsieme di B
(oppure che è incluso, o contenuto in B) e scriveremo
A § B.
Se A § B e B § A, cioè se A e B hanno gli stessi elementi, A e B sono lo stesso
insieme e scriveremo
AœB
(osserviamo qui esplicitamente che intenderemo sempre l’uguaglianza nel senso “leibniziano”
di identità). In generale, se si deve provare che A œ B, il procedimento migliore è appunto
quello di mostrare che A § B e B § A .
Le scritture
+ Â A,
A§
y B,
AÁB
indicano la negazione rispettivamente di
+ − A,
A§B
e
AœB
(cioè significano rispettivamente: + non è un elemento di A, A non è un sottoinsieme di B, A e
B non sono lo stesso insieme; quest’ultimo fatto si esprime anche dicendo che A e B sono
diversi o distinti).
Se A § B e A Á B (ciò si esprime dicendo che A è incluso propriamente in B, oppure
che A è un sottoinsieme proprio di B), scriveremo anche
A§
ÁB .
Nel seguito supporremo noti dagli studi precedenti l’insieme  dei numeri naturali,
l’insieme ™ dei numeri interi relativi, l’insieme  dei numeri razionali e l’insieme ‘ dei
numeri reali, con le nozioni di Ÿ (“minore o uguale”),  (“strettamente minore”), (“maggiore o uguale”),  (“strettamente maggiore”),  (“somma”),  (“differenza”), †
(“prodotto”) e À (“divisione”) relative ai loro elementi. Indicheremo rispettivamente con ™ e
con ™ l’insieme dei numeri interi positivi (cioè strettamente maggiori di zero) e l’insieme dei
numeri interi negativi (cioè strettamente minori di zero); con  e con  l’insieme dei
numeri razionali positivi e l’insieme dei numeri razionali negativi; con ‘ e con ‘ l’insieme
dei numeri reali positivi e l’insieme dei numeri reali negativi. Identificheremo  con il
sottoinsieme di ™ formato dai numeri non negativi, così come identificheremo ™ con un
opportuno sottoinsieme di  e identificheremo  con un opportuno sottoinsieme di ‘,
cosicché potremo scrivere
 § ™ §  § ‘.
Sempre dagli studi precedenti riterremo noti alcuni insiemi di natura geometrica, e in
particolare certi sottoinsiemi dell’insieme dei punti del piano (rette, segmenti, circonferenze,
cerchi, triangoli, ecc. ecc.).
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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1.4 - Come si definisce un insieme: mediante elenco degli elementi.
Accetteremo di definire un insieme indicandone tra parentesi graffe tutti gli
elementi Ð3Ñ separati da virgole (si ricordi che abbiamo stabilito che un insieme è
completamente caratterizzato dai suoi elementi). Ad esempio, se +" , +# , á , +8 sono tutti e soli
gli elementi dell’insieme A, scriveremo Ð4Ñ
A œ Ö+" , +# , á , +8 ×.
Postuliamo una volta per tutte l’esistenza di qualsiasi insieme definito secondo questa
regola.
Esempi
1.4.1 A œ Ö", &, #$, %*, ('× ;
1.4.2 B œ Ö, , ™× (si osservi che  − B ma  §
y B) ;
1.4.3 C œ Ö&, $(, ,  × ;
1.4.4 D œ Ö, Ö××. Gli insiemi , Ö×, ÖÖ××, ÖÖÖ×××, á sono tutti distinti fra loro.
1.5 - Coppie ordinate, 8  ple ordinate, sequenze ordinate, matrici.
Sia A un insieme.
Se +, , − A, possiamo considerare (per quanto convenuto in 1.4) l’insieme Ö+, ,×; per
esso si ha sempre Ö+, ,× œ Ö,, +× e (quando + œ ,) Ö+, +× œ Ö+× .
Spesso è conveniente considerare anche un ente che sia caratterizzato non solo dagli
elementi + e , ma anche dall’ordine in cui si considerano: tale ente si dice coppia ordinata Ð5Ñ
con prima componente + e seconda componente ,, e si indica con
Ð+, ,Ñ.
Si noti che, se +, +’ − A e ,, ,’ − B, si ha
Ð+, ,Ñ œ Ð+’, ,’Ñ
se e solo se
+ œ +’ e , œ ,’;
in particolare: se + Á ,, si ha sempre
Ð+, ,Ñ Á Ð,, +Ñ
e (quando + œ ,) la scrittura Ð+, +Ñ indica ancora una coppia ordinata (e non può essere
abbreviata in Ð+Ñ) .
3 che possono essere elementi di insiemi già definiti, oppure insiemi essi stessi.
4 Si noti che questo modo di definire un insieme può essere utilizzato solo se tale insieme è finito (cfr.
sez. 11.2).
5 La definizione rigorosa di coppia ordinata è la seguente: (+, , ) ³ ÖÖ+×, Ö+, ,××.
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Più in generale, se +" , +# , á , +8 − A (con 8 − \Ö!×), si dice 8  pla ordinata con
3  sima componente +3 e si indica con
Ð+" , +# , á , +8 Ñ
un ente caratterizzato non solo dagli elementi +" , +# , á , +8 ma anche dall’ordine in cui si
considerano.
L’insieme di tutte le coppie ordinate di elementi di A si indica con A# . Analogamente,
l’insieme di tutte le 8  ple ordinate di elementi di A (per un fissato 8 − \Ö!×) si indica con
A8 .
Si dice sequenza ordinata di elementi di A una 8  pla ordinata di elementi di A per
qualche 8 −  (che si dice lunghezza della sequenza); nella scrittura di una sequenza si
omettono le parentesi esterne (e talvolta, se ciò non dà luogo ad ambiguità, anche le virgole).
Se 5 è una sequenza ordinata di elementi di A, si dice sottosequenza di 5 qualunque
sequenza ordinata ottenuta prendendo alcuni elementi di 5 (eventualmente anche tutti) nello
stesso ordine in cui compaiono in 5 .
Siano infine 7, 8 numeri interi positivi.
Si dice matrice 7 ‚ 8 a elementi in A una 7-pla ordinata di 8-ple ordinate di
elementi di A .
Una matrice 7 ‚ 8 potrebbe essere identificata con una 78-pla ordinata; in pratica,
quando si parla di matrice gli elementi vengono scritti in una “tabella”
Î +","
Ð +#,"
Ð
á
Ï +7,"
+",#
+#,#
á
+7,#
á
á
á
á
+",8 Ñ
+#,8 Ó
Ó
á
+7,8 Ò
nella quale si evidenziano le 8-ple ordinate
Ð+"," , +",# , á , +",8 Ñ,
Ð+#," , +#,# , á , +#,8 Ñ,
á,
Ð+7," , +7,# , á , +7,8 Ñ
dette righe della matrice, e le 7-ple ordinate
Ð+"," , +#," , á , +7," Ñ,
Ð+",# , +#,# , á , +7,# Ñ,
á,
Ð+",8 , +#,8 , á , +7,8 Ñ
dette colonne della matrice.
Sinteticamente, la matrice di termine generico +3,4 si indica con Ð+3,4 Ñ; le sue righe si
indicano con +",‡ , +#,‡ , á , +7,‡ e le sue colonne con +‡," , +‡,# , á , +‡,8 .
L’insieme di tutte le matrici 7 ‚ 8 a elementi in A si indica con A7,8 .
M. Barlotti
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1.6 - Enunciati. Predicati.
Sia A un insieme. Si dice enunciato (su A) una frase che (interpretata con riferimento
ad A) risulta vera oppure falsa.
Esempi
1.6.1 “#  $” è un enunciato (vero) su  (e su ™, e su ‘; ma non è un enunciato sull’insieme
dei punti del piano);
1.6.2 “ci sono almeno ( elementi” è un enunciato su qualunque insieme (e risulta vero o falso
a seconda dell’insieme su cui lo si considera);
1.6.3 “ogni elemento è incidente con almeno una retta” è un enunciato (vero) sull’insieme
dei punti del piano (e sull’insieme dei punti dello spazio; ma non è un enunciato su  o su ™ o
su ‘);
1.6.4 “ambarabà ciccì coccò” non è un enunciato.
Siano A, X insiemi. Si dice predicato (o anche proposizione aperta) (in A) con
variabile libera B su X una scrittura P(B) con la proprietà che
per ogni B! − X, la scrittura P(B! ) ottenuta sostituendo (6) ovunque
B! a B in P(B) risulta un enunciato (su A).
Esempi
1.6.5 Sia A un insieme qualsiasi, e sia X ³ ; un predicato in A con variabile libera B su X
è P(B) ³ “in A ci sono almeno B elementi”;
1.6.6 Sia A l’insieme dei punti del piano, e sia X ³ ; un predicato in A con variabile libera
B su X è P(B) ³ “comunque presi B elementi in A, c’è almeno una retta incidente ad essi”;
1.6.7 Sia A œ X ³ ; un predicato con variabile libera 8 su  è P(8) ³ “8 è dispari”;
1.6.8 Sia A œ X ³ ‘; un predicato con variabile libera B su ‘ è P(B) ³ “esiste un
polinomio in una indeterminata a coefficienti interi che ha B come radice”;
6
nel senso definito in [1]: “mettere una cosa al posto di un’altra”.
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1.7 - Come si definisce un insieme: mediante una proprietà caratteristica.
Sia X un insieme. Accetteremo di definire un sottoinsieme A di X specificando una
proprietà che ne caratterizza gli elementi fra tutti gli elementi di X. Precisamente, sia P(B) un
predicato (in X) con variabile libera B su X (cosicché per ogni B! − X si ha che PÐB! Ñ è vera
oppure è falsa). Scriveremo
A œ ÖB − X / PÐBÑ×
(si legge: A è l’insieme degli B appartenenti a X tali che PÐBÑ)
per indicare il sottoinsieme di X formato da tutti e soli gli elementi B! per i quali PÐB! Ñ è vera.
Come vedremo (cfr. teorema 1.7.3), è essenziale che A sia “immerso” in un insieme X già
definito.
Postuliamo una volta per tutte l’esistenza di qualsiasi insieme definito secondo questa
regola.
Esempio 1.7.1
L’insieme dei numeri naturali il cui quadrato non supera #!! può essere indicato scrivendo
ÖB −  / B# Ÿ #!!×.
Teorema 1.7.2
Esiste un (unico) insieme che non ha elementi; esso si dice insieme vuoto e si indica con g. Per
ogni insieme I, si ha g § I .
Dimostrazione  Sia A un qualunque insieme; allora l’insieme
g ³ ÖB − A / B Á B×
esiste (perché è definito come convenuto sopra) e non ha elementi (perché B Á B è falso
qualunque sia B).
Sia ora I un insieme: dobbiamo provare che g § I , cioè che ogni elemento di g appartiene a I .
Se ciò fosse falso ci sarebbe in g un elemento, chiamiamolo B! , che non appartiene a I: in
particolare ci sarebbe in g almeno un elemento, e ciò è assurdo perché g non ha elementi!
Ricordiamo infine che abbiamo convenuto che un un insieme sia completamente caratterizzato
dai propri elementi: pertanto esiste un unico insieme privo di elementi (anche se può essere
definito come sopra a partire da insiemi A diversi).
Un insieme distinto da g sarà detto non vuoto.
M. Barlotti
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Teorema 1.7.3
Non esiste un “insieme di tutti gli insiemi”, cioè: non esiste un insieme di cui ogni insieme sia
elemento.
Dimostrazione  Sia per assurdo U l’insieme di tutti gli insiemi, e si consideri
A œ ÖX − U / X  X×.
Se fosse A − A, per definizione di A sarebbe A Â A, e ciò è assurdo. Allora A Â A; ma
poiché A − U ne segue A − A, ancora assurdo. Se si accetta il postulato di esistenza degli
insiemi definiti come in 1.7 (e se si accetta il principio aristotelico del “terzo escluso”),
bisogna dunque negare l’esistenza dell’insieme U.
Lo stesso ragionamento, dovuto a B. Russel (1872  1970), spiega perché nella
definizione di A mediante una proprietà caratteristica abbiamo dovuto chiedere che A fosse
sottoinsieme di un insieme X.
Esercizio 1.7.4
Fissato un insieme B, si consideri A œ ÖX − B / X  X×. Perché non c’è contraddizione? Può
essere A − A? Può essere A Â A? Può essere A − B?
1.8 - Come si definisce un insieme: come unione di insiemi già definiti.
Sia \ un insieme di insiemi. Qualunque sia \ , postuliamo che esista un insieme i cui
elementi sono tutti e soli gli elementi degli insiemi che appartengono a \ .
Tale insieme si indica con  \ e si dice unione degli insiemi che appartengono a \ : ci
torneremo sopra in 1.10.
1.9 - Come si definisce un insieme: come insieme delle parti.
Sia A un insieme. Qualunque sia A, postuliamo che esista un insieme i cui elementi
sono tutti e soli i sottoinsiemi di A .
Tale insieme si indica con c (A) e si dice insieme delle parti di A. Si osservi che, per
ogni insieme A, a c (A) appartengono g e A.
M. Barlotti
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Esempio 1.9.1
Sia A œ Ö",#,$×. Allora
c(A) œ Ö A, Ö",#×, Ö",$×, Ö#,$×, Ö"×, Ö#×, Ö$×, g×.
Esempio 1.9.2
Sia A œ g. Allora
c(A) œ Ög×.
Esempio 1.9.3
Sia A œ Ö+, ,, B, C , D×. Allora
c(A) œ ÖA, Ö+, ,, B, C×, Ö+, ,, B, D×, Ö+, , , C , D×, Ö+, B, C , D×, Ö, , B, C , D×, ÖB, C , D×, Ö, , C , D×,
Ö,, B, D×, Ö,, B, C×, Ö+, C , D×, Ö+, B, D×, Ö+, B, C×, Ö+, , , D×, Ö+, , , C×, Ö+, , , B×, Ö+, ,×, Ö+, B×,
Ö+, C×, Ö+, D×, Ö,, B×, Ö,, C×, Ö, , D×, ÖB, C×, ÖB, D×, ÖC , D×, Ö+×, Ö,×, ÖB×, ÖC×, ÖD×, g×.
1.10 - Unione, intersezione, differenza.
Siano A, B insiemi.
Si dice unione di A e B, e si indica con
A  B,
l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di A e gli elementi di B. Con la notazione
introdotta in 1.8: A  B œ  ÖA, B×.
Si dice intersezione di A e B, e si indica con A  B, l’insieme degli elementi di A che
appartengono anche a B. Con la notazione introdotta in 1.7: A  B œ ÖB − A / B − B×.
Se A  B œ g, A e B si dicono disgiunti.
Si dice differenza di A e B, e si indica con AÏB, l’insieme degli elementi di A che non
appartengono a B. Con la notazione introdotta in 1.7: AÏB œ ÖB − A / B  B×.
Se B § A, l’insieme AÏB viene detto anche complementare di B in A, ed è indicato
(purché tale notazione non dia luogo ad equivoci) con Bc .
M. Barlotti
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Esempio 1.10.1
Siano A œ Ö", #, $×, B œ Ö#, %, ', )×. Allora A  B œ Ö", #, $, %, ', )×, A  B œ Ö#× e
AÏB œ Ö", $×.
Esempio 1.10.2
Siano A l’insieme dei triangoli e B l’insieme dei rettangoli (entrambi sottoinsiemi del piano
euclideo). Allora A  B œ g.
Esercizi
Siano A, B, C sottoinsiemi dell’insieme I. Si dimostrino le seguenti uguaglianze:
1.10.3 A  B œ B  A;
1.10.4 (A  B)  C œ A  (B  C);
1.10.5 A  (B  C) œ (A  B)  (A  C);
1.10.6 A  (A  B) œ A;
1.10.7 (A  B)Ï(A  B) œ (AÏB)  (BÏA);
1.10.8 (A  B)c œ Ac  Bc .
Valgono le uguaglianze che si ottengono dalle precedenti scambiando  con  ?
Esercizi
Siano X, Y, Z sottoinsiemi dell’insieme I. Si dimostrino le seguenti uguaglianze:
1.10.9 X  Yc œ XÏY ;
1.10.10 XÏ(XÏY) œ X  Y ;
1.10.11 X  (YÏZ) œ (X  Y)Ï(X  Z) .
Valgono le uguaglianza che si ottengono dalle precedenti scambiando  con  ?
1.11 - Unione e intersezione di una famiglia di insiemi. Partizioni.
Un insieme di insiemi si dice anche una famiglia di insiemi. Abbiamo definito in 1.8
l’unione di una famiglia di insiemi; in modo analogo si definisce l’intersezione di una famiglia
non vuota di insiemi (l’esistenza dell’insieme intersezione è garantita dal fatto che esso si può
definire secondo la regola fissata in 1.7 come l’insieme degli elementi di un insieme della
famiglia che appartengono anche a tutti gli altri insiemi della famiglia).
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Pag. 11
Sia A un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di A si dice una partizione di
A se tali sottoinsiemi sono a due a due disgiunti e la loro unione è A.
Esempio 1.11.1
Un fascio di rette parallele è una partizione del piano.
1.12 - Prodotto cartesiano.
Siano A, B insiemi.
L’insieme di tutte le coppie ordinate Ð+, ,Ñ con + − A e , − B si dice prodotto
cartesiano Ð7Ñ di A per B e si indica con A ‚ B.
Esempio 1.12.1
Sia A œ Ö", #, $× e B œ Ö!, "×. Si ha A ‚ B œ ÖÐ", !Ñ, Ð", "Ñ, Ð#, !Ñ, Ð#, "Ñ, Ð$, !Ñ, Ð$, "Ñ×.
7 Tenendo conto della definizione rigorosa di “coppia ordinata” (nota 5), il lettore attento potrà
osservare che A ‚ B è un sottoinsieme di c (c (A  B)), e quindi può essere definito come in 1.7; ciò ne
garantisce l’esistenza.
M. Barlotti
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2.- IL PRINCIPIO DI INDUZIONE
2.1 - Gli assiomi di Peano per i numeri naturali.
Anche se, come si è detto, noi diamo per conosciuto dagli studi della Scuola
Secondaria (se non addirittura della Scuola Primaria) l’insieme  dei numeri naturali Ð8Ñ, vale
la pena di accennare alla sua bella e semplice costruzione assiomatica proposta dal
matematico italiano Giuseppe Peano (1858  1932).
Riportiamo, con qualche irrilevante aggiornamento nei termini Ð9Ñ, la formulazione di
[4]; la prima esposizione del sistema di assiomi è in un lavoro scientifico pubblicato nel 1891.
I concetti primitivi sono indicati con la locuzione “numero naturale” e le parole “zero”,
“successivo”, “insieme” e “appartiene”. Gli assiomi sono i seguenti:
ÐP1Ñ  Zero è un numero naturale.
ÐP2Ñ  Ogni numero naturale ha un successivo, che è anch’esso un numero naturale.
ÐP3Ñ  Sia A un insieme di numeri naturali. Supponiamo che zero appartenga ad A
e che per ogni numero naturale che appartiene ad A anche il suo successivo appartenga ad A;
allora ogni numero naturale appartiene ad A.
ÐP4Ñ  Se due numeri naturali hanno lo stesso successivo, essi sono lo stesso
numero.
ÐP5Ñ  Zero non è il successivo di alcun numero naturale.
Questi concetti primitivi e questi assiomi sono sufficienti per definire tutte le usuali
nozioni relative ai numeri naturali e per dimostrarne le proprietà. Ad esempio, si può definire
il numero “uno” come il successivo di zero; il numero “due” come il successivo di “uno”; il
risultato della somma 7  8 come il successivo del successivo del successivo... (8 volte) di
7; il risultato del prodotto 7 † 8 come il risultato della somma di 8 numeri tutti uguali a 7;
ecc. ecc..
Noi, come si è detto, faremo invece riferimento ai numeri naturali come abbiamo
imparato a conoscerli nella scuola dell’obbligo: interpretando il concetto di “successivo” come
“ciò che si ottiene sommando uno” (cosicché il successivo del numero naturale 8 è il numero
naturale 8  "), il contenuto degli assiomi di Peano risulterà allora banale conseguenza di fatti
ben noti.
8 assieme alle nozioni di somma, differenza, prodotto, elevamento a potenza, “minore o uguale” e alle
relative proprietà.
9 ad esempio, Peano scrive “classe” anziche´ “insieme”, e scrive “numero” tout-court anziche´ “numero
naturale”.
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2.2 - Dimostrazioni per induzione: il teorema fondamentale.
L’assioma ÐP3Ñ è detto anche principio di induzione. Esso fornisce il sostegno teorico
a un’importante tecnica di dimostrazione, detta appunto dimostrazione per induzione, sulla
quale adesso ci soffermeremo.
Teorema 2.2.1
Sia X un insieme, e sia P(8Ñ un predicato in X con variabile libera 8 su . Se
 PÐ!Ñ è vero in X
e per ogni 8 − 
 se P(8Ñ è vero in X allora anche P(8  "Ñ è vero in X
allora P(8Ñ è vero in X per ogni 8 −  .
Dimostrazione  Sia A œ Ö8 −  / P(8Ñ è vero in X×.
Le ipotesi del teorema ci dicono che ! appartiene ad A e che per ogni numero naturale
che appartiene ad A anche il suo successivo (cioè 8  ") appartiene ad A.
Ma allora, per il “principio di induzione” (cioè per il postulato (P3) di Peano) A
coincide con , e dunque in X l’enunciato P(8Ñ è vero per ogni 8 − , come si voleva
dimostrare.
Il teorema 2.2.1 fornisce un’utilissima strategia per dimostrare teoremi il cui enunciato
dipende da un numero naturale 8. Se (in un certo ambiente) si deve provare che
P(8Ñ è vero in  per ogni 8 − 
per una dato predicato P(8Ñ con variabile libera 8 su , si può procedere come segue:
(3) si verifica che sia vero P(0Ñ;
(33) supposto vero P(8Ñ (ciò si esprime dicendo che si usa P(8Ñ come ipotesi di
induzione), si dimostra che è vero P(8  "Ñ.
Ciò fatto, il teorema 2.2.1 garantisce che P(8Ñ è vero in  per ogni 8 − .
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Esempio 2.2.2
Sia B un numero reale maggiore di  ". Dimostriamo per induzione su 8 che
per ogni numero naturale 8,
a"  Bb8 "  8B .
Dimostrazione  Il predicato è vero per 8 œ ! : infatti a"  Bb! œ " œ "  ! † B .
Adesso supponiamo che (ipotesi di induzione) sia a"  Bb8 "  8B, e dimostriamo che
a"  Bb8" "  a8  "bB .
In effetti, poiché B   " è B  "  ! e quindi dall’ipotesi di induzione (moltiplicando
ambo i membri per B  ") segue che
a"  Bb8 † a"  Bb a"  8Bba"  Bb œ "  B  8B  8B# "  B  8B œ "  a8  "bB .
Esempio 2.2.3
Dimostriamo per induzione su 8 che
per ogni numero naturale 8,
(ossia, esiste un numero naturale 5 tale che
*8"  #'8"
è multiplo di ""
*8"  #'8" œ ""5 ).
Dimostrazione  Il predicato è vero per 8 œ ! : infatti
*!"  #'†!" œ *"  #" œ *  # œ "" œ "" † " .
Adesso supponiamo che (ipotesi di induzione) esista un numero naturale 5! tale che
*8"  #'8" œ ""5! e dimostriamo che per un opportuno numero naturale 5 si ha
*(8")"  #'(8")" œ ""5 .
In effetti,
*(8")"  #'(8")" œ *8#  #'8( œ * † *8"  #' † #'8" œ * † a""5!  #'8" b  #' † #'8" œ
œ **5!  * † #'8"  #' † #'8" œ **5!  #'8" a#'  *b œ **5!  && † #'8" œ "" † a*5!  & † #'8" b
come si voleva (5 ³ *5!  & † #'8" ).
2.3 - Dimostrazioni per induzione: partire da 8!  !.
Talvolta ci si trova a considerare un predicato PÐ8Ñ con variabile libera 8 su  che non
ha senso per valori “piccoli” di 8 (tipicamente: valutare una somma di 8 addendi; che senso
può infatti avere una somma di ! addendi, o anche di un solo addendo?) o che è vero solo per
8 8! (per un certo 8! − , 8!  !) mentre per 8 œ ! e per altri valori di 8 minori di 8!
risulta falso (cfr. esempio 2.3.6).
In questi casi si può applicare ugualmente il principio di induzione. Per maggiore
chiarezza, riformuliamo opportunamente il teorema 2.2.1.
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Teorema 2.$.1
Sia X un insieme, e sia P(8Ñ un predicato in X con variabile libera 8 su . Se
 PÐ8! Ñ è vero in X
e per ogni 8 −  con 8 8!
 se P(8Ñ è vero in X allora anche P(8  "Ñ è vero in X
allora P(8Ñ è vero in X per ogni numero naturale 8 8! .
Dimostrazione  Sia
A œ Ö8 −  / P(8  8! Ñ è vero in X×.
Le ipotesi del teorema ci dicono che ! appartiene ad A e che per ogni numero naturale
che appartiene ad A anche il suo successivo (cioè 8  ") appartiene ad A.
Ma allora, per il “principio di induzione” (cioè per il postulato (P3) di Peano) A
coincide con , e dunque P(8  8! Ñ è vero in X per ogni 8 −  ; in altre parole, P(8Ñ è vero
in X per ogni numero naturale 8 maggiore o uguale a 8! , come si voleva dimostrare.
Applicando il teorema 2.3.1, se (in un certo ambiente) si deve provare che il predicato
P(8Ñ con variabile libera 8 su  diventa un enunciato vero sostituendo a 8 un qualsiasi
numero naturale maggiore o uguale a un fissato 8! , si può procedere come segue:
(3) si verifica che sia vero P(8! Ñ;
(33) supposto vero P(8Ñ (ciò ancora una volta si esprime dicendo che si usa P(8Ñ come
ipotesi di induzione), si dimostra che è vero P(8  "); in questa fase è lecito utilizzare (come
ipotesi aggiuntiva) il fatto che 8 8! .
Esempio 2.3.2
Dimostriamo per induzione su 8 che la somma dei numeri naturali non superiori a 8 è
8(8")
.
#
Dimostrazione  L’asserto ha senso se 8 # ; pertanto procediamo per induzione
partendo dal valore iniziale 8! ³ # . Si ha
"#œ$œ
#(#")
#
dunque per 8 ³ # l’asserto è vero. Supponiamo ora (ipotesi di induzione) che sia
!"#á 8œ
e dimostriamo che
8(8")
#
!  "  #  á  8  (8  ") œ
(8")(8#)
#
.
In effetti,
!  "  #  á  8  (8  ") œ
8(8")
8(8")#(8")
(8")(8#)
 (8  ") œ
œ
.
#
#
#
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 17
Esempio 2.3.3
Dimostriamo per induzione su 8 che la somma dei quadrati dei numeri naturali non superiori a
8è
8(8")(#8")
.
'
Dimostrazione  L’asserto ha senso se 8 # ; pertanto procediamo per induzione
partendo dal valore iniziale 8! ³ # . Si ha
"#  ## œ & œ
#(#")(#†#")
'
dunque per 8 ³ # l’asserto è vero. Supponiamo ora (ipotesi di induzione) che sia
!#  "#  # #  á  8# œ
8(8")(#8")
'
e dimostriamo che
!#  "#  ##  á  8#  (8  ")# œ
(8")(8#)(#8$)
.
'
In effetti,
! #  " #  # #  á  8#  ( 8  " ) # œ
œ
8(8")(#8")
 (8  ")# œ
'
8(8")(#8")'(8")#
(8")(#8# 8'8')
(8")(8#)(#8$)
œ
œ
.
'
'
'
Esercizio 2.3.4
Si dimostri che la somma dei cubi dei numeri naturali non superiori a 8 è
8# (8")#
.
%
Esercizio 2.3.5
Si dimostri che la somma dei primi 8 numeri dispari è 8# .
Esempio 2.3.6
Dimostriamo per induzione su 8 che
8$  #8
se 8 "! .
Dimostrazione  Notiamo che per 8  "! può invece essere 8$  #8 ; ad esempio,
*$ œ (#*  &"# œ #* .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 18
Procediamo per induzione partendo dal valore iniziale 8! ³ "! . Si ha
"!$ œ " !!!  " !#% œ #"!
dunque per 8 ³ "! l’asserto è vero.
Supponiamo ora (ipotesi di induzione) che sia
8$  # 8
e dimostriamo che
(8  ")$  #8"
In effetti,
(8  ")$ œ 8$  $8#  $8  "  8$  $8#  $8#  8# œ 8$  "!8#
e ricordando che "! Ÿ 8
8$  "!8# Ÿ 8$  8 † 8# œ 8$  8$ œ #8$ .
D’altro lato, per l’ipotesi di induzione,
$
#8$  # † #8 œ #8"
$
#
$
(8  ")  8  "!8 Ÿ #8  #
e quindi
8"
come si voleva dimostrare.
2.4 - Il simbolo di “sommatoria”.
Sia 8 −  .
Nelle dimostrazioni sviluppate all’interno degli esempi 2.3.2 e 2.3.3, abbiamo indicato
la somma dei numeri naturali non superiori a 8 con
!"#á 8
e la somma dei loro quadrati con
!#  "#  ##  á  8# .
Benché tali scritture siano sufficientemente espressive e risultino comprensibili senza
ambiguità, in matematica (ma anche nelle altre scienze) di regola si preferisce evitare l’uso dei
“puntini di sospensione” e si adotta una diversa notazione, che adesso introduciamo.
Se (+" , +# , +$ , á , +8 ) è una 8  pla ordinata di numeri reali, la somma dei suoi
elementi si indica con la scrittura
! +5
8
5œ"
che si legge “somma degli +5 per 5 che va da " a 8” .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 19
Il simbolo “!” si dice simbolo di sommatoria, la lettera 5 si dice indice della
sommatoria. È importante capire che con questa scrittura la lettera 5 viene “dedicata” alla
somma così indicata e quindi: da un lato, 5 non può venire ad assumere altri significati nel
contesto in cui compare come indice di sommatoria; dall’altro, come indice di sommatoria si
può di fatto usare, anziché 5 , qualsiasi lettera di qualsiasi alfabeto (o addirittura qualsiasi
simbolo, anche se usualmente è preferibile evitare scelte estreme).
Esempio 2.4.1
Le scritture
! +5 ,
8
5œ"
!+3 ,
8
3œ"
! +"
8
!+‡
8
e
" œ"
‡œ"
indicano tutte la stessa somma.
Esempio 2.4.#
Le scritture
5  ! +5 ,
8
5œ"
Œ ! +5  ,
8
5
5 † Œ !+5 
8
e
5œ"
5œ"
sono da evitare: come indice di sommatoria va utilizzata una lettera diversa da 5 .
Esempio 2.4.3
Utilizzando il simbolo di sommatoria, la somma dei numeri naturali non superiori a 8 si indica
8
8
con la scrittura !5 e la somma dei loro quadrati con !5 # .
5œ"
5œ"
La notazione col simbolo di “sommatoria” si può utilizzare anche per somme parziali
fra gli elementi di una assegnata 8  pla ordinata (+" , +# , +$ , á , +8 ) di numeri reali: ad
! +5
5"
esempio, con la scrittura
si indica la somma degli elementi il cui indice è compreso
5œ5!
fra 5! (incluso) e 5" (incluso); con la scrittura
! +5
5 dispari
5Ÿ8
cui indice è dispari e non superiore a 8 .
si indica la somma degli elementi il
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
Esempio 2.4.4

v. #.*"

Pag. 20
!#5 œ #8"  ".
8
Dimostriamo per induzione su 8 che
5œ!
Dimostrazione  L’asserto ha senso se 8 " ; pertanto procediamo per induzione
partendo dal valore iniziale 8! ³ " . Si ha
#!  #" œ "  # œ $ œ #""  " , dunque per
8 ³ " l’asserto è vero.
8
Supponiamo ora (ipotesi di induzione) che sia !#5 œ #8"  " e dimostriamo che
!#5 œ #8#  " .
5œ!
8"
5œ!
In effetti,
!#5 œ !#5  #8" œ #8"  "  #8" œ # † #8"  " œ #8#  " .
8"
8
5œ!
5œ!
# +5
8
In modo del tutto analogo si introduce un simbolo
Ðche si legge “prodotto
5œ"
degli +5 per 5 che va da " a 8”) per indicare il prodotto fra tutti gli elementi di una assegnata
8  pla ordinata (+" , +# , +$ , á , +8 ) di numeri reali, o anche (con le opportune modifiche di
scrittura) fra alcuni di essi.
Valgono per il simbolo # e per la lettera 5 le stesse considerazioni svolte sopra per la
sommatoria: non si parla però di (agh!) “produttoria”, ma semplicemente di “prodotto”.
2.5 - Dimostrazioni per induzione: altre formulazioni.
Riportiamo in questa sezione altre strategie di dimostrazione basate sul principio di
induzione che ci saranno utili più avanti.
Teorema 2.5.1
Sia X un insieme, e sia P(8Ñ un predicato in X con variabile libera 8 su . Se
 PÐ!Ñ e PÐ"Ñ sono veri in X
e per ogni 8 − 
 se P(8) e P(8  ") sono entrmbi veri in X allora anche P(8  #) è vero in X
allora P(8Ñ è vero in X per ogni 8 −  .
Dimostrazione  Sia A œ Ö8 −  / P(8) e P(8  ")×.
Le ipotesi del teorema ci dicono che ! − A e che per ogni numero naturale 8 che
appartiene ad A anche il suo successivo (cioè 8  ") appartiene ad A.
Ma allora, per il “principio di induzione” (cioè per il postulato (P3) di Peano) A coincide con
, e in particolare P(8Ñ è vera per ogni 8 − , come si voleva dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 21
Siano 5! , 5 −  . Poniamo
J55 ³ Ö8 −  / 5! Ÿ 8  5×
!
5
2
cosicché, ad esempio: J œ g tutte le volte che 5 Ÿ 2, J!" œ Ö!×, J$% ³ Ö$×, J$( ³ Ö$, %, &, '× .
Teorema 2.5.2
Siano X un insieme, P(8Ñ un predicato in X con variabile libera 8 su  e 5! −  . Se per ogni
numero naturale 8 −  \ J!5 si ha che
!
se per ogni 5 − J58 P(5 ) è vero in X allora anche P( 8 ) è vero in X
!
allora P(8Ñ è vero in X per ogni numero naturale 8 5! .
Dimostrazione  Sia
A œ Ö8 −  / P(5!  5 ) è vero in X per ogni 5 Ÿ 8×.
Dimostriamo che A œ  (da cui l’asserto) applicando il “principio di induzione” (cioè
il postulato (P3) di Peano).
Mostriamo in primo luogo che ! − A . A tale scopo dobbiamo soltanto provare che è
vero P(5! ). Osserviamo che J55 œ g, quindi P(5 ) è certamente vero in X per ogni 5 − J55 ;
l’ipotesi del teorema per 8 ³ 5! ci dice che P(5! ) deve essere vero, ossia che ! − A.
!
!
!
!
Ora supponiamo che sia 8 − A . Per definizione di A, deve essere vero P(5!  5 ) per
ogni 5 Ÿ 8, cioè per ogni 5 − J58" ; dall’ipotesi del teorema segue che anche P(8  ") deve
essere vera, ossia che 8  " − A, come si voleva dimostrare.
!
Osservazione 2.5.3
A una prima, superficiale, lettura può sembrare che l’ipotesi del teorema 2.5.2 differisca da
quelle dei teoremi 2.2.1, 2.3.1 e 2.5.1 in un punto chiave: il “passo iniziale”, quello in cui si
chiede che sia vero P(!) (nel teorema 2.2.1) o che sia vero P(8! ) (nel teorema 2.3.1) o che
siano veri P(!) e P(") (nel teorema 2.5.1).
In realtà, il “passo iniziale”, cioè la verifica che sia vero l’enunciato P(5! ), è presente anche
nell’ipotesi del teorema 2.5.2. Si chiede infatti che valga l’implicazione
se per ogni 5 − J58 P(5 ) è vero in X allora anche P( 8 ) è vero in X
!
5!
!
per ogni 8 −  \ J . Ma si valuti tale implicazione per 8 ³ 5! : poiché J55 è l’insieme vuoto, è
certamente vera la premessa (cioè P(5 ) è vero in X per ogni 5 − J55 ); dunque, affinché
l’implicazione stessa risulti vera, si deve dimostrare che è vero P(5! Ñ (senza disporre, per
questo valore di 8, di alcuna “ipotesi di induzione”, visto che la verità di (a5 − J55 )P(5 ) non ci
fornisce alcuna informazione).
!
!
!
!
!
!
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

v. #.*"

Pag. 22
Esempio 2.5.4
Dimostriamo che per ogni 8 −  si ha
8
! (  ")5"
5œ"
"
5
!.
Dimostrazione  L’asserto ha senso se 8 # ; pertanto procediamo per induzione
partendo dal valore iniziale 8! ³ # . Si ha
! (  ")5"
8
5œ"
"
5
œ (  " )!
"
"
 (  " )"
"
#
œ"
"
#
œ
"
#
!.
dunque per 8 ³ # l’asserto è vero.
Supponiamo ora (ipotesi di induzione) che sia
! (  ")5"
7
5œ"
"
5
!
e dimostriamo che
per ogni 7 −  tale che # Ÿ 7  8
! (  ")5"
7
5œ"
"
5
!.
Se 8 è dispari, utilizzando l’ipotesi di induzione per 7 ³ 8  ", si trova che
! (  ")5"
8
5œ"
"
5
œ ! (  ")5"
8"
5œ"
"
5
 (  ")8"
"
8
!
perché è la somma di due addendi non negativi: il primo non è negativo per l’ipotesi di
induzione, il secondo non è negativo perché 8  " è pari.
Se 8 è pari, utilizzando l’ipotesi di induzione per 7 ³ 8  #, si trova che
! (  ")5"
8
5œ"
"
5
œ ! (  ")5"
8#
5œ"
"
5
 ˆ(  ")8#
"
8"
 (  ")8"
"
8
‰ !
perché è la somma di due addendi non negativi: il primo non è negativo per l’ipotesi di
induzuone, il secondo non è negativo perché (essendo 8 è pari) vale
"
8"

"
8
œ
8(8")
8(8")
œ
88"
8(8")
œ
"
8(8")
 !.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 23
3.- FUNZIONI
3.1 - Relazioni.
Siano A, B insiemi.
Si dice relazione tra A e B un sottoinsieme del prodotto cartesiano A ‚ B.
Sia 4 una relazione tra A e B, cioè sia 4 § A ‚ B; se Ð+, ,Ñ − 4 , si dice che gli elementi + (di
A) e , (di B) sono in relazione, e si scrive +4 ,. In pratica si usa sempre la notazione
+4 ,
anziché Ð+, ,Ñ − 4 .
Intuitivamente, una relazione tra A e B è una “legge” che a ogni elemento di A associa
qualche elemento di B (eventualmente nessuno).
Esempio 3.1.1
Siano
A ³ Ö#, $, &, (, "", "$, "(, "*, #$, #*, $", $(, %", %$, %(, &$, &*, '", '(, (", ($, (*, )$, )*, *(, "!"×;
B ³ Ö8 − Î " Ÿ 8 Ÿ "!!×.
Si ponga per : − A e 8 − B
:4 8 se e solo se esiste ; −  tale che 8 œ :; (10).
Si è così definita una relazione 4 tra A e B; si noti che alcuni elementi di A sono in relazione
con un solo elemento di B (è quanto accade considerando : ³ &$, &*, á , *(), altri (: ³ $(,
%", %$, %() con due, altri (: ³ #*, $") con tre, ecc.. L’elemento # di A è in relazione con &!
elementi di B; l’elemento "!" di A non è in relazione con alcun elemento di B. Inoltre: più
elementi di A possono essere in relazione con gli stessi elementi di B (#, $, & sono tutti in
relazione con $!, '! e *!).
Esempio 3.1.2
Sia A un insieme, e si ponga per + − A e X © A
+4X se e solo se + − X.
Si è così definita una relazione 4 tra A e c (A).
10
Esprimeremo questo fatto con l'espressione “: divide 8”; cfr. esempio 6.2.2 e sez. 7.5.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 24
Esempio 3.1.3
Sia A un insieme, e si ponga per X, Y © A
X4 Y se e solo se X § Y .
Si è così definita una relazione 4 tra c (A) e c (A) (detta.“inclusione”).
Esempio 3.1.4
Per 7, 8 −  si ponga
7 Ÿ 8 se e solo se esiste . −  tale che 8 œ 7  . .
Si è così definita una relazione Ÿ tra  e  (detta.“minore o uguale”).
3.2 - Relazione inversa.
Siano A, B insiemi e sia 4 una relazione tra A e B. Si dice relazione inversa di 4 la
relazione 4 " tra B e A così definita:
,4 " +
se e soltanto se
+4 , .
Esempio 3.2.1
La relazione inversa della relazione “minore o uguale” tra  e  definita in 3.1.4 si dice
“maggiore o uguale” e si indica con il simbolo . Per definizione,
8 7 se e solo se 7 Ÿ 8 .
3.3 - Restrizione a un sottoinsieme.
Siano A, B insiemi e sia 4 una relazione tra A e B. Se A" § A, si dice restrizione di 4
ad A" la relazione 4kA" tra A" e B così definita:
4 kA" ³ 4  (A" ‚ B)
(si ricordi che 4 è un sottoinsieme di A ‚ B).
Questa definizione è molto “tecnica”, perché l’unica differenza tra 4 e 4kA" è che
quest’ultima “coinvolge” solo gli elementi di A" ); certe proprietà possono però essere
verificate da 4 kA" e non da 4 , e viceversa.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 25
3.4 - Funzioni.
Siano A, B insiemi.
Una relazione f tra A e B si dice una funzione (o applicazione) da A in B se per ogni + − A
esiste esattamente un , − B tale che + f ,, cioè se ogni elemento di A è in relazione (secondo f)
con esattamente un elemento di B. Ciò si esprime scrivendo
f : A Ä B.
Intuitivamente, una funzione da A in B è una “legge” che a ogni elemento di A associa uno e
un solo elemento di B .
Esempio 3.4.1
Sia A l’insieme  dei numeri razionali positivi, e sia B l’insieme  dei numeri naturali. La
“legge” che al numero razionale 7
8 associa il numero naturale 7  8 non è una funzione

 Ä  (si dice anche, impropriamente, che non è ben definita come funzione). Infatti, ad
)
esempio, al numero razionale #$ (che si può scrivere anche '% , *' , "#
, ecc.) vengono associati
non solo il numero naturale & Ð œ #  $) ma anche i numeri naturali "! Ð œ %  '), "&
Ð œ '  *), #! Ð œ )  "#), ecc.. La legge considerata fornisce invece un esempio
significativo di relazione tra  e ; oppure individua una funzione dall’insieme delle frazioni
in .
3.5 - Dominio. Immagine, immagine inversa.
Sia f una funzione da A in B .
L’insieme A si dice dominio di f, e si indica con W(f).
Per ogni + − W(f), l’(unico) elemento , di B tale che + f , si indica con fÐ+Ñ; si dice che
, proviene da + (o anche che , è l’immagine di +) mediante f. Si scrive sempre
fÐ+Ñ œ ,
anziché + f ,.
Se A" § A, si dice immagine di A" (mediante f) il sottoinsieme fÐA" Ñ di B formato
dalle immagini (mediante f) degli elementi di A" ; con la notazione di 1.7,
f ÐA" Ñ œ Ö, − B / , œ f Ð+Ñ per qualche + − A" ×.
L’immagine f ÐAÑ di A si dice anche immagine di f.
Se B" § B, si dice immagine inversa di B" (mediante f) il sottoinsieme f " ÐB" Ñ di A
formato dagli elementi le cui immagini (mediante f) appartengono a B" ; con la notazione di
1.7,
f " ÐB" Ñ œ Ö+ − A / fÐ+Ñ − B" ×.
Sia B œ A, cioè sia f una funzione da A in A . Un elemento + di A si dice un punto
fisso per f se fÐ+Ñ œ +.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 26
Esempio 3.5.1
Sia f :  Ä  la funzione che a ogni numero naturale 8 associa il suo doppio.
Ciò si indica con l’espressione
f(8) ³ #8.
Si ha che:
( 3)
l’immagine di f è l’insieme dei numeri pari ;
(33)
posto A" ³ Ö&, (, "!×, si ha f(A" Ñ œ Ö"!, "%, #!× ;
(333)
posto B" ³ Ö"!, "", "#, "$, "%, "&×, si ha f " (B" Ñ œ Ö&, ', (× ;
(3@)
! è l’unico punto fisso di f .
Esercizi
Sia f:A Ä B, e siano A" , A# § A. Si dimostri che:
3.5.2 ÐA" § A# Ñ Ê ÐfÐA" Ñ § fÐA# ÑÑ;
3.5.3 fÐA"  A# Ñ œ fÐA" Ñ  fÐA# Ñ ;
3.5.4 fÐA"  A# Ñ § fÐA" Ñ  fÐA# Ñ.
Si mostri inoltre con un esempio che può essere fÐA"  A# Ñ §
Á fÐA" Ñ  fÐA# Ñ.
3.6 - Iniettività e suriettività.
Siano A, B insiemi, e sia f:A Ä B.
Se per ogni , − B esiste almeno un + − A tale che fÐ+Ñ œ , (cioè se ogni elemento di
B proviene mediante f da almeno un elemento di A; ossia se fÐAÑ œ B), f si dice suriettiva. In
tal caso, si dice che f è una funzione da A su B.
Se comunque presi +, +’ − A con + Á +’ è fÐ+Ñ Á fÐ+’Ñ (ossia se comunque presi
+, +’ − A da fÐ+Ñ œ fÐ+’Ñ segue a œ a’; cioè se ogni elemento di B proviene da al più un
elemento di A), f si dice iniettiva.
Se f è iniettiva e suriettiva si dice che f è biiettiva (o anche che f è una biiezione,
oppure che f è una corrispondenza biunivoca tra A e B). Una funzione iniettiva è sempre una
corrispondenza biunivoca tra il proprio dominio e la propria immagine.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 27
Esempi
3.6.1 La funzione  Ä  che ad ogni numero associa il suo triplo è iniettiva ma non
suriettiva: fÐÑ è l’insieme dei numeri naturali multipli di $ .
3.6.2 La funzione f :  Ä  definita da
8
Ú
se 8 è pari
Ý #
f ( 8) ³ Û
Ý $8"
Ü #
se 8 è dispari
è suriettiva ma non iniettiva.
3.6.3 La funzione f :  Ä  definita da
Ú 8  " se 8 è dispari
f(8) ³ Û
Ü8  "
se 8 è pari
è biiettiva (e dunque è una corrispondenza biunivoca tra  e ) .
3.6.4 Per ogni insieme A, la funzione idA : A Ä A che ad ogni elemento associa se stesso è
una corrispondenza biunivoca detta funzione identica o anche identità di A . Ogni elemento di
A è un punto fisso per idA .
3.7 - La funzione inversa.
Siano A, B insiemi, e sia f : A Ä B una funzione. In generale, l’inversa di f (nel senso
di 3.2) non è una funzione, perché il generico , − B potrebbe non essere immagine di alcun
elemento di A (cfr. , ³ % nell’esempio 3.6.1) oppure potrebbe essere immagine di più di un
elemento di A (cfr. , ³ & nell’esempio 3.6.2).
Siano A, B insiemi, e sia f : A Ä B iniettiva. Per ogni b − fÐAÑ, f " ÐÖ,×Ñ non è vuoto
(per definizione di fÐAÑ) ed è formato da al più un elemento (perché per ipotesi f è iniettiva),
quindi è formato da esattamente un elemento; dunque la relazione inversa di f (nel senso di
3.2) è una funzione fÐAÑ Ä A che si dice funzione inversa della f e si indica con f " .
In altri termini, f " si definisce ponendo, per ogni , − fÐAÑ,
f " Ð,Ñ ³ l’unico elemento di f " ÐÖ,×Ñ
(il significato del simbolo f " nell’espressione a destra è quello fissato in 3.5).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 28
È facile vedere che f " è una corrispondenza biunivoca tra l’immagine di f e A ; ne
segue che, in particolare, l’inversa di una corrispondenza biunivoca A Ä B è una
corrispondenza biunivoca B Ä A .
Esempio 3.7.1
&
"
Sia f : ÏÖ  $ × Ä  definita da
f(B) ³ $B& .
È facile verificare che f è iniettiva (non è invece suriettiva: ! Â f ÐÑ). La funzione inversa si
può esprimere scrivendo
f " (B) ³
"&B
$B
WÐf " Ñ œ ÏÖ!×.
e si ha
3.8 - Composizione di funzioni.
Siano A, B, C insiemi, e siano f : A Ä B, g : B Ä C funzioni.
Si dice composizione di f con g e si indica con
scrivono f e g!) la funzione A Ä C definita ponendo
g‰f
Ðg ‰ fÑÐ+Ñ ³ gÐfÐ+ÑÑ
(attenzione all’ordine in cui si
a+ − A.
Esempi
"
3.8.1 Sia f :  Ä  definita da f(8) ³ 8" , e sia g :  Ä  definita da g(B) ³ B  # . Si
ha
#8$
Ðg ‰ fÑÐ8Ñ ³ 8" .
3.8.2 Sia f :  Ä  definita da fÐ8Ñ ³ 8# , e sia g :  Ä  definita da g(B) ³ B  " . Si ha
(g ‰ f)(8) ³ 8#  " ,
(f ‰ g)(8) ³ 8#  #8  ".
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Teorema 3.8.3
Siano A, B insiemi, e sia f : A Ä B iniettiva. Sia f " : f (AÑ Ä A la funzione inversa di f
definita in 3.7. Si ha
f " ‰ f œ idA
e
f ‰ f " œ id f (AÑ .
Dimostrazione  Sia + − A, e sia f(+) œ , con , − B.
Allora f " (,) œ +, e dunque
(f " ‰ f)(+) œ f " (f(+)Ñ œ f " (,) œ + œ idA (+) .
Per l’arbitrarietà di + in A, si è così provato Ð11Ñ che f " ‰ f œ idA .
Sia ora , − fÐAÑ, e sia + l’elemento di A per il quale si ha f(+) œ ,. Allora f " (, ) œ +,
e dunque
(f ‰ f " Ñ(,) œ f(f " (,)Ñ œ f(+) œ , œ id fÐAÑ (, )
cosicché l’asserto è completamente provato.
Teorema 3.8.4
Siano A, B, C, D insiemi, e siano f : A Ä B, g : B Ä C, h : C Ä D funzioni. Si ha
(h ‰ g) ‰ f œ h ‰ (g ‰ f) .
Dimostrazione  Sia + − A. Allora
Ð(h ‰ g) ‰ f)(+) œ (h ‰ g)(f(+)Ñ œ hÐgÐfÐ+ÑÑÑ œ hÐÐg ‰ fÑÐ+ÑÑ œ Ðh ‰ Ðg ‰ fÑÑÐ+Ñ
e l’asserto è completamente provato.
Esercizio 3.8.5
Siano A, B, C insiemi, e siano f : A Ä B, g : B Ä C funzioni biiettive. Si provi che g ‰ f è
biiettiva.
11 Che cosa significa per due funzioni “essere uguali”? Ricordiamo le definizioni date in 3.1 e 3.4: una
“funzione” è un particolare insieme di coppie ordinate. Poiche´ (cfr. 1.3) due insiemi “sono uguali” (cioè
coincidono) se e solo se hanno gli stessi elementi, due funzioni -in particolare- sono uguali se e solo se sono
costituite dalle stesse coppie ordinate, ossia “operano allo stesso modo” su ogni elemento dell’insieme di
partenza.
È importante avere ben chiaro che questa non è una definizione ad hoc di uguaglianza tra funzioni, ma
solo un modo “specialistico” di esprimere la nozione di uguaglianza tra insiemi.
M. Barlotti
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3.9 - Successioni definite per recursione.
Sia A un insieme.
Una funzione s :  Ä A si dice successione in A ; quando non sorgono ambiguità,
l’immagine s(8) del generico numero naturale 8 si indica con +8 e si dice 8  simo termine
della successione, mentre la successione s si indica con la scrittura (+8 ) .
Il principio di induzione fornisce alcune strategie molto importanti per definire
successioni in un insieme qualsiasi. Non entreremo nei dettagli delle dimostrazioni dei teoremi
che saranno enunciati in questa sezione, ma ci limiteremo a presentarne qualche applicazione
significativa.
Teorema 3.9.1
Sia A un insieme. Sia ! − A, e sia w : A Ä A una funzione. Esiste una e una sola successione
(+8 ) in A tale che
 +! œ ! ;
 +8" œ w(+8 ) .
Esempio 3.9.2
Per il teorema 3.9.1 (con w(+) ³ È"  + ) esiste (ed è unica) la successione (+8 ) in ‘ tale
che
 +! œ ! ;
 +8" œ È"  +8 .
L’8  simo termine di tale successione è
+8 ³ Ë "  Ê "  É "  È á
convenendo che in tale espressione il numero " compare esattamente 8 volte .
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Esercizio 3.9.3
Si dimostri che nella successione dell’esempio 3.9.2 tutti i termini (tranne i primi due) sono
irrazionali.
Esempio 3.9.4
Sia ! − ‘. Per il teorema 3.9.1 (con w(+) ³ !+), esiste (ed è unica) la successione (+8 ) in
‘ tale che
 +! œ " ;
 +8" œ ! † +8 .
Se ! Á !, l’8  simo termine di tale successione si indica con !8 e si dice potenza di base !
ed esponente 8 .
Teorema 3.9.5
Sia A un insieme. Sia ! − A, e sia w :  ‚ A Ä A una funzione. Esiste una e una sola
successione (+8 ) in A tale che
 +! œ ! ;
 +8" œ w(8, +8 ) .
Esempio 3.9.6
Per il teorema 3.9.5 (con w(8, +) ³ (8  ")+) esiste (ed è unica) la successione (+8 ) in 
tale che
 +! œ " ;
 +8" œ (8  ") † +8 .
Per ogni 8 − , il termine +8 di questa successione si dice “fattoriale di 8” (o anche “8
fattoriale”) e si indica con la scrittura
8x .
Esercizio 3.9.7
Si provi che, se 8 #, 8x (cfr. esempio 3.9.6) è il prodotto di tutti i numeri naturali compresi
fra " e 8 .
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Teorema 3.9.8
Sia A un insieme. Siano !, " − A, e sia w : A ‚ A Ä A una funzione. Esiste una e una sola
successione (+8 ) in A tale che
 +! œ ! ;
 +" œ " ;
 +8" œ w(+8" , +8 ) .
Le successioni di cui ai teoremi 3.9.1, 3.9.5 e 3.9.8 si dicono definite ricorsivamente (o
anche definite per recursione) dai valori iniziali e dalle condizioni espresse negli enunciati di
quei teoremi.
3.10 - Recursione lineare omogenea di primo grado sugli ultimi due termini.
Teorema 3.10.1
Siano +! , +" , ,, - − ‘ con (, , - ) Á (!, !), e sia (+8 ) la successione in ‘ definita ricorsivamente
dai valori iniziali +! e +" e dalla condizione
+8" ³ ,+8  -+8" .
Se l’equazione
(*)
B#  ,B  - œ !
ha due soluzioni distinte ! e " , il termine generico della successione (+8 ) si può esprimere
come
(°)
+8 œ 2 ! 8  5 " 8
dove 2 e 5 verificano il sistema
2  5 œ +!
œ !2  " 5 œ +
"
.
Se invece l’equazione (*) ha una sola soluzione !, il termine generico della successione (+8 ) si
può esprimere come
(°°)
+8 œ (2  85 )!8
dove 2 e 5 verificano il sistema
2 œ +!
œ (2  5 )! œ +
"
.
Dimostrazione  Il teorema si prova, in entrambi i casi, per induzione su 8.
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Supponiamo in primo luogo che l’equazione (*) abbia due soluzioni ! e " . Per esse si ha che
!# œ , !  -
" # œ ,"  - .
e
Per 8 ³ ! e 8 ³ ", +! e +" sono espressi dalla (°) per come sono stati scelti 2 e 5 (12) .
Possiamo dunque supporre, per l’ipotesi d’induzione, che sia
+8 œ 2 ! 8  5 " 8
e
+8" œ 2 !8"  5 " 8" .
Per come è definita la successione,
+8" œ ,+8  -+8" œ , (2 !8  5 " 8 )  - (2 !8"  5 " 8" ) œ
œ 2!8" (,!  - )  5 " 8" (,"  - ) œ 2 !8" !#  5 " 8" " # œ 2 !8"  5 " 8"
come si voleva dimostrare.
Ora supponiamo che l’equazione (*) abbia una sola soluzione !; ciò significa che
,#  %- œ !
e !œ
,
#
da cui , œ #! e infine %!#  %- œ !, ossia
!#  - œ ! .
Inoltre, come nel caso precedente,
!# œ , !  - .
Per 8 ³ ! e 8 ³ ", +! e +" sono espressi dalla (°°) per come sono stati scelti 2 e 5 (13) .
Possiamo dunque supporre, per l’ipotesi d’induzione, che sia
+8 œ (2  85 )!8
e
+8" œ (2  (8  ")5 )!8" .
Per come è definita la successione,
+8" œ ,+8  -+8" œ , (2  85 )!8  - (2  (8  ")5 )!8" œ
œ ,(2  85 )!8  - (2  85 )!8"  -5 !8" œ
œ (2  85 )!8" (,!  - )  5 !8"  5 !8"  -5 !8" œ
œ (2  85 )!8" !#  5 !8"  5 !8" (!#  - ) œ
œ (2  85 )!8"  5 !8" œ (2  (8  ")5 )!8"
come si voleva dimostrare.
12 Osserviamo che il sistema lineare dal quale cerchiamo di ricavare 2 e 5 ha esattamente una soluzione
perché !  " Á ! .
13
Questa volta il sistema lineare dal quale cerchiamo di ricavare 2 e 5 ha esattamente una soluzione
perché ! Á ! (altrimenti sarebbe , œ - œ ! contro le ipotesi del teorema) .
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Esempio 3.10.2
Utilizzando il teorema 3.10.1, determiniamo il termine generico della successione (+8 ) definita
ricorsivamente dai valori iniziali +! ³ $, +" ³ & e dalla condizione
+8" ³ +8  6+8" .
Si deve considerare l’equazione
B#  B  6 œ !
che ha le due soluzioni distinte ! œ  # e " œ $. Il termine generico della successione (+8 ) si
può esprimere come
+8 œ 2(  #)8  5$8
dove 2 e 5 verificano il sistema
25 œ$
œ  #2  35 œ &
cosicché 2 œ
%
&
e 5œ
+8 œ
%
&
""
&
. Dunque si ha
(  #)8 
""
&
$8 .
Esempio 3.10.3
Determiniamo il termine generico della successione (+8 ) definita ricorsivamente dai valori
iniziali +! ³ ", +" ³ $ e dalla condizione
+8" ³ #+8  +8" .
L’equazione
B#  #B  " œ !
ha come unica soluzione ! œ ". Dal sistema
2œ"
œ2  5 œ $
si ricava che deve essere 2 œ " e 5 œ # . Dunque il termine generico della successione
(+8 ) si può esprimere come +8 œ ("  #8)"8 ossia come
+8 œ "  28 .
Se avessimo cercato di applicare la formula trovata per il caso in cui l’equazione di secondo
grado considerata ha due soluzioni distinte, ci saremmo imbattuti nel sistema
25 œ"
œ2  5 œ $
che non ha soluzione.
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Esempio 3.10.4
Determiniamo il termine generico della successione (+8 ) definita ricorsivamente dai valori
iniziali
+ ! ³ ",
+" ³ #
e dalla condizione
+8" ³ %+8  %+8" .
L’equazione
B#  %B  % œ !
ha come unica soluzione ! œ #. Dal sistema
2œ"
œ #(2  5 ) œ #
si ricava che deve essere 2 œ "
(+8 ) si può esprimere come
e
5 œ ! . Dunque il termine generico della successione
+8 œ ("  ! † 8)28
ossia come
+ 8 œ 28 .
Notiamo esplicitamente che in questo caso avremmo potuto anche applicare la formula trovata
per il caso in cui l’equazione di secondo grado considerata ha due soluzioni distinte.
Infatti il sistema
25 œ"
œ #2  #5 œ #
questa volta ha soluzione: precisamente, ammette le infinite soluzioni che si possono
esprimere nella forma
2 qualsiasi, 5 œ "  2 .
Si ottiene dunque
+8 œ 2#8  ("  2)#8 œ 2#8  #8  2#8 œ #8
cioè (inevitabilmente) la stessa espressione ricavata applicando la formula ad hoc.
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3.11 - Le successioni “tipo Fibonacci”.
Si dice successione di Fibonacci con valori iniziali +! e +" la successione definita
ricorsivamente dai valori iniziali +! e +" e dalla condizione
+8" ³ +8  +8" .
Poiché l’equazione
B#  B  " œ !
(*)
"È&
"È&
ha le due soluzioni distinte : œ
e ":œ
, il termine generico della
#
#
successione di Fibonacci con valori iniziali +! e +" si può esprimere come
+8 œ 2:8  5 a"  :b8
(°)
dove 2 e 5 verificano il sistema lineare
2  5 œ +!
œ 2 :  5 ("  : ) œ +
.
"
La successione di Fibonacci classica (F8 ) è quella con valori iniziali ! e ". Per lei deve
essere
25 œ!
œ 2 :  5 ("  : ) œ "
.
Per risolvere questo sistema conviene ricavare sia 2 che 5 dalla seconda equazione
sommandovi un opportuno multiplo della prima. Precisamente, sommando alla seconda
equazione la prima moltiplicata per :  " si trova che
2 ( :  ")  2 : œ "
da cui
2 œ #:"" œ È"
&
mentre sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per  : si trova che
5 (  :)  5 ("  :) œ "
da cui
"
"
"
5 œ #:
" œ #:" œ È&
cosicché
F8 œ È 
&
:8
a":b8
È&
Osservando che
 :" œ  : œ  È #
œ 
& "
"
.
#ŠÈ& "‹
%
œ
"È&
#
œ":
si ottiene l’espressione alternativa
F8 œ È 
&
:8
a":b
È&
8
œ È 
&
:8
a:b8
È&
œ
:8 a:b8
È&
.
M. Barlotti
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Teorema 3.11.1
Sia (F8 ) la successione di Fibonacci con valori iniziali ! e " . Si ha
lim
8Ä_
F8"
F8
œ:
Dimostrazione  Ricordiamo che, come si è visto sopra,
F8 œ È 
&
:8
e
F8" œ È 
&
:8"
cosicché
F8"
F8
œ
œ
È&
œ
:8 a":b8
œ
:8" a":b8"
8
a":b8"
È&
È&
È&
:8" a":b8"
:8" :a":b8 :a":b8 a":b8"
œ
œ
8
8
: a":b
:8 a":b8
:a:8 a":b8 ba":b8 a:a":bb
a":b8 a#:"b
œ
:

:8 a":b8
:8 a":b8 œ
œ:
ricordando che
a":b
:
":
#:"
8
:
Š ": ‹ "
È&
œ :  a:# b8 "
:
œ :" œ  :# .
Poiché :  ", il valore assoluto di  :# è maggiore di " cosicché
È&
# 8
8 Ä  _ a: b "
lim
œ!
e possiamo concludere che
lim
8Ä_
F8"
F8
œ
È&
lim Œ:  a:# b8 "  œ : .
8Ä_
Vale la pena di soffermarsi un po’ sul numero :, detto rapporto aureo. Esso risponde a
un classico problema: in che rapporto devono stare le due parti nelle quali si suddivide un
segmento se vogliamo che una delle due parti sia media proporzionale fra l’intero segmento e
l’altra?
Se indichiamo con j la lunghezza di una delle due parti e con B il loro rapporto, l’altra
parte ha lunghezza Bj e l’intero segmento ha lunghezza Bj  j. Dunque deve valere la
proporzione
aBj  jb:Bj œ Bj:j
ossia
aB  "b:B œ B:"
da cui l’equazione B# œ B  " ossia B#  B  " œ !, che (come abbiamo visto) ha come
unica soluzione positiva :.
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Pag. 38
Esercizio 3.11.2
Sia (F8 ) la successione di Fibonacci con valori iniziali ! e " . Si dimostri che per ogni 8
dispari si ha
F#8 œ F8" † F8"  "
e per ogni 8 pari si ha
F#8 œ F8" † F8"  " .
Osservazione 3.11.3
Le uguaglianze viste nell’esercizio 3.11.2 sono alla base di un classico apparente paradosso
geometrico, nel quale un rettangolo di dimensioni F8" e F8" viene scomposto in due trapezi
congruenti (“!” nella figura qui sotto) e due triangoli congruenti (“" ” nella figura qui sotto)
con i quali poi si ricompone quello che sembra un quadrato di lato F8 .
È chiaro però che se quello ricomposto fosse un quadrato allora B dovrebbe essere F8# , cioè
(impostando la similitudine fra gli opportuni triangoli rettangoli) dovrebbe essere
F8#
F8
F8" œ F8" mentre abbiamo visto sopra che il rapporto fra due numeri di Fibonacci
consecutivi non è costante.
M. Barlotti
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Pag. 39
4.- OPERAZIONI IN UN INSIEME
4.1 - Operazioni in un insieme.
Sia A un insieme non vuoto.
Si dice operazione (binaria, interna) in A una funzione da A ‚ A in A (cioè,
intuitivamente, una “legge” che ad ogni coppia ordinata di elementi di A associa un elemento
di A).
Se æ è un’operazione in A e +, , − A, scriviamo +æ, anziché æ(+, , ): così +æ, œ significa che - è l’immagine di (+, ,) mediante æ, ossia che æ associa alla coppia ordinata
(+, ,) di elementi di A l’elemento - di A (risalendo alla definizione formale di funzione come
caso particolare di relazione: Ð(+, ,), -Ñ − æÑ.
Esempi
4.1.1 Le ordinarie operazioni di somma e prodotto sono operazioni in , ™, .
4.1.2 Per ogni insieme A, la composizione definita in 3.8 è un’operazione nell’insieme di
tutte le funzioni A Ä A .
4.1.3 Nell’insieme ™, la sottrazione è un’operazione, la divisione non lo è.
4.1.4 Nell’insieme  è un’operazione la æ definita come segue:
+æ, œ +(,  ")
a+, , − .
4.1.5 Nell’insieme Ö+, ,, -× è un’operazione la æ definita come segue Ð14Ñ:
+æ+ œ +, +æ, œ , , +æ- œ - , ,æ+ œ , , ,æ, œ +, ,æ- œ +, -æ+ œ - , -æ, œ +, -æ- œ , .
4.1.6 Sia A un insieme. Le operazioni (definite in 1.10) che a due sottoinsiemi di A
associano la loro unione e la loro intersezione sono operazioni in c (A) (nel senso definito in
4.1) che si indicano rispettivamente con  e  .
14 Come si definisce un’operazione? Ricordiamo che “operazione in A” è una particolare funzione
A ‚ A Ä A, cioè una particolare relazione tra A ‚ A e A, cioè un particolare sottoinsieme di (A ‚ A) ‚ A; i
criteri per definire un’operazione sono dunque gli stessi che abbiamo stabilito nel capitolo 1 per definire un
insieme.
In particolare, l’operazione dell’esempio 3.1.5 è definita come in 1.4; quella dell’esempio 3.1.4 come in
1.7.
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4.2 - Chiusura rispetto a un’operazione.
Sia A un insieme nel quale è definita un’operazione æ.
Un sottoinsieme B di A si dice chiuso rispetto a æ se comunque presi ,, ,’ − B è
anche ,æ,’ − B .
Esempi
4.2.1  è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.
4.2.2 Il sottoinsieme di  formato dai numeri dispari è chiuso rispetto al prodotto ma non
rispetto alla somma.
4.2.3 Siano I un insieme e A l’insieme di tutte le funzioni da I in I . Il sottoinsieme di A
costituito dalle corrispondenze biunivoche (cfr. sez. 3.6) è chiuso rispetto alla composizione.
4.3 - Associatività e commutatività.
Sia A un insieme.
Un’operazione æ in A si dice associativa se
+æ(,æ- ) œ (+æ,)æ-
a+, , , - − A .
Un’operazione æ in A si dice commutativa se
+æ, œ ,æ+
a+, , − A .
Esempi
Le operazioni considerate in 4.1.1 e 4.1.6 sono associative e commutative (cfr. anche 4.6.3 e
4.6.4); quella considerata in 4.1.2 è associativa ma in generale non commutativa; quella
considerata in 4.1.5 è commutativa ma non associativa (infatti Ð,æ,Ñæ- Á ,æÐ,æ-Ñ); quella
considerata in 4.1.4 non è né associativa né commutativa.
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4.4 - Elemento neutro.
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A.
Un elemento 8 di A si dice elemento neutro per æ se aæ8 œ 8æ+ œ + a+ − A .
Se l’operazione æ è detta somma, l’elemento neutro si indica con “!” e si chiama “zero”; se è
detta prodotto, si indica con “"” e si chiama “uno” oppure “unità”.
Teorema 4.4.1
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A. Se esiste un elemento neutro per æ,
questo è unico.
Dimostrazione  Siano 8, 8’ elementi neutri per æ. Allora 8 œ 8æ8’ œ 8’, come si
voleva.
Esempi
4.4.2 L’operazione æ considerata in 4.1.4 non ha elemento neutro. Si noti che +æ! œ + per
ogni + − , ma in generale !æ+ Á +.
4.4.3 L’operazione “somma” in , ™ e  ha come elemento neutro il numero !.
4.4.4 L’operazione “prodotto” in , ™ e  ha come elemento neutro il numero ".
4.4.5 L’operazione æ considerata in 4.1.5 ha come elemento neutro l’elemento + .
4.4.6 Le operazioni “unione” e “intersezione” considerate in 4.1.6 hanno come elemento
neutro rispettivamente g e A .
4.4.7 L’operazione “composizione” considerata in 4.1.2 ha come elemento neutro la
funzione idA definita in 3.6.4 .
4.5 - Il simmetrico di un elemento.
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A per la quale esiste l’elemento
neutro 8.
Per ogni + − A, si dice simmetrico di + (rispetto a æ) un elemento 
+ − A tale che sia
 œ
+æ+
+ æ+ œ 8 .
Se l’operazione æ è detta somma, il simmetrico di + si dice opposto di +, e si indica con  +;
se è detta prodotto, si dice inverso di +, e si indica con +" .
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Teorema 4.5.1
Siano A un insieme e æ un’operazione associativa definita in A per la quale esiste l’elemento
neutro 8. Per ogni + − A, se esiste un simmetrico questo è unico.
Dimostrazione  Siano 
+ ,œ
+ simmetrici di + . Allora
œ Ñ œ Ð+
œ œ 8æ+
œ œœ

 æ+Ñæ+
+ œ
+ æ8 œ 
+ æÐ+æ+
+ .
Esempi
4.5.2 Rispetto all’operazione æ definita in 4.1.5 (che non è associativa), l’elemento , ha due
distinti simmetrici: se stesso e l’elemento - .
4.5.3 In ™, per ogni elemento esiste l’opposto (cioè, il simmetrico rispetto alla somma) ma
solo per +" e  " esiste l’inverso (cioè, il simmetrico rispetto al prodotto).
4.5.4 Rispetto alle operazioni di “unione” e “intersezione” considerate in 4.1.6, non esiste in
generale il simmetrico di un elemento di c (A).
4.5.5 Rispetto all’operazione di “composizione” considerata in 4.1.2 non esiste in generale il
simmetrico di una funzione. Tuttavia, se f è una corrispondenza biunivoca di A in sé la
funzione f " definita in 3.7 è il simmetrico di f rispetto alla composizione.
4.6 - La proprietà distributiva.
Siano A un insieme e æ, ‰ due operazioni definite in A .
Si dice che ‰ è distributiva rispetto a æ se
+ ‰ (,æ- ) œ (+ ‰ ,)æ(+ ‰ - )
e
(+æ, ) ‰ - œ (+ ‰ - )æ(, ‰ - )
a +, , , - − A .
Esempi
4.6.1 Negli esempi 4.1.1, il prodotto è distributivo rispetto alla somma ma la somma non è
distributiva rispetto al prodotto.
4.6.2 Ciascuna delle due operazioni considerate in 4.1.6 è distributiva rispetto all’altra (cfr.
anche 1.10.5).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 43
4.7 - Gruppi.
Siano G un insieme e æ un’operazione in G .
Si dice che G è un gruppo rispetto a æ, oppure (più correttamente!) che la coppia
ÐG, æÑ è un gruppo, se valgono le seguenti proprietà:
G.1 l’operazione æ è associativa;
G.2 esiste in G l’elemento neutro per æ;
G.3 per ogni 1 − G esiste il Ð15Ñ simmetrico di 1 rispetto a æ.
Se inoltre
G.4 l’operazione æ è commutativa
il gruppo si dice commutativo (o abeliano).
Esempi
4.7.1 ™ e  sono gruppi commutativi rispetto alla somma.
4.7.2  non è un gruppo rispetto alla somma (non esiste in generale l’opposto di un
elemento).
4.7.3 ™ e  non sono gruppi rispetto al prodotto (non esiste l’inverso di !).
4.7.4 ÏÖ!× e  sono gruppi commutativi rispetto al prodotto.
4.7.5 Per ogni insieme A, l’insieme delle corrispondenze biunivoche tra A e A (cfr. sez. 3.6) è
un gruppo (in generale non commutativo) rispetto alla composizione di funzioni definita in
4.7.
Siano ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ gruppi.
Una funzione f : G Ä H si dice un omomorfismo tra ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ (o anche, più
semplicemente, tra G e H) se
f(BæC) œ f(B) ‰ f(C )
aB, C − G .
Un omomorfismo che sia anche una corrispondenza biunivoca si dice isomorfismo.
15 cfr. G.1 e il teorema 4.5.1.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 44
4.8 - Anelli.
Sia A un insieme con almeno due elementi, e siano  , † due operazioni in A (che
chiameremo rispettivamente somma e prodotto).
Si dice che A è un anello rispetto a  e † , oppure (più correttamente!) che la terna
ÐA,  , † Ñ è un anello, se
A.1 ÐA,  Ñ è un gruppo commutativo;
A.2 il prodotto è associativo;
A.3 il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Se inoltre
A.4 esiste in A un elemento neutro per il prodotto
oppure
A.5 il prodotto è commutativo
si dice rispettivamente che A è un anello con unità (e l’elemento neutro si dice l’unità di A, e
si indica con “"”) oppure che A è un anello commutativo. Naturalmente, se valgono sia la A.4
che la A.5 si dice che A è un anello commutativo con unità.
Ricordiamo che, come convenuto in 4.4, gli elementi neutri per la somma e il prodotto
si indicano rispettivamente con “!” e “"”; qualora possa esservi confusione con i numeri
naturali ! e ", si usano le notazioni “!A ” e “"A ”. Inoltre, secondo quanto stabilito in 4.5,
l’opposto di un elemento B si indica con  B, l’inverso di un elemento B si indica con B" .
Esempi
4.8.1 ™ e  sono anelli commutativi con unità rispetto alle ordinarie operazioni di somma e
prodotto.
4.8.2 L’insieme dei polinomi a coefficienti in ™ (oppure in ) nell’indeterminata B è un
anello commutativo con unità rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
4.8.3 L’insieme dei numeri interi pari (cioè della forma #5 con 5 − ™) è un anello
commutativo senza unità rispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 45
Osservazione 4.8.4
Sia ÐA,  , † Ñ un anello. Per ogni + − A, si ha + † ! œ ! † + œ !.
Dimostrazione  Ricordiamo che abbiamo convenuto in 4.4 di indicare con !
l’elemento neutro di A rispetto alla somma. Si ha
+ † ! œ + † (!  !) œ + † !  + † !
da cui (sommando ad ambo i membri l’opposto di + † !) si ricava che ! œ + † !. Allo stesso
modo si trova che ! † + œ !.
Sia ÐA,  , † Ñ un anello, e siano +, , − A. Se + œ ! oppure , œ !, allora +, œ ! per
l’oss. 4.8.4; ma può essere +, œ ! anche se + Á ! e , Á ! (vedremo degli esempi in 4.9.6,
9.5.3, 9.5.4 e soprattutto nella sez. 10.2).
Sia ÐA,  , † Ñ un anello. Un elemento + − A si dice un divisore dello zero se
( 3) + Á !
e
(33) esiste , − A tale che , Á ! e +, œ ! oppure ,+ œ ! .
Il fatto che in , ™ o  non ci siano divisori dello zero (ossia, come siamo abituati a
dire: se un prodotto è zero, almeno uno dei fattori deve essere zero) esprime una proprietà del
tutto particolare (e certamente non intrinseca alla struttura di anello di ™ e ) generalmente
nota col nome di “legge di annullamento del prodotto”.
Osservazione 4.8.5
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Si ha
"Á!
ossia, l’elemento neutro per il prodotto è necessariamente distinto dall’elemento neutro per la
somma.
Dimostrazione  Se fosse " œ !, per ogni + − A sarebbe
+œ+†"œ+†!œ!
e dunque in A esisterebbe solo l’elemento !, contro l’ipotesi che A sia un anello (e che dunque
appartengano ad A almeno due elementi).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 46
Osservazione 4.8.6
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Non esiste in A l’inverso di !.
Dimostrazione  Se + − A, è + † ! œ ! per l’osservazione 4.8.4, e dunque (per
l’osservazione 4.8.5) non può essere + † ! œ ".
Osservazione 4.8.7
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Si ha
Ð  ") † Ð  " ) œ " ;
inoltre, per ogni + − A, si ha
Ð  ") † + œ  + .
Dimostrazione  Per l’osservazione 4.8.4 si ha (applicando la proprietà distributiva)
! œ ! † Ð  ") œ Ð"  Ð  "ÑÑ † Ð  "Ñ œ " † Ð  "Ñ  Ð  "Ñ † Ð  "Ñ œ  "  Ð  ") † Ð  ")
e dunque, sommando " ad ambo i membri, la prima parte dell’asserto. Inoltre, sempre
applicando l’osservazione 4.8.4 e la proprietà distributiva,
Ð  ") † +  + œ Ð  " ) † +  " † + œ Ð  "  " ) † + œ ! † + œ !
e, analogamente, +  Ð  ") † + œ ! , cosicché Ð  ") † + è l’opposto di + .
Siano ÐA,  , † Ñ e ÐB, Š ,  Ñ anelli.
Una funzione f : A Ä B si dice un omomorfismo tra ÐA,  , † Ñ e ÐB, Š ,  Ñ (o anche,
più semplicemente, tra A e B) se
f(B  C) œ f(B) Š f(C )
e
f(B † C ) œ f(B)  f(C )
aB, C − A .
Un omomorfismo che sia anche una corrispondenza biunivoca si dice isomorfismo.
Vedremo nella sez. 9.5 un importante esempio di omomorfismo fra anelli.
4.9 - Anelli di matrici.
Sia A un insieme nel quale è definita un’operazione “  ” detta “somma”, e sia 8 un
numero intero positivo. Se X ³ ÐB3,4 Ñ e Y ³ ÐC3,4 Ñ sono due matrici 8 ‚ 8 a elementi in A, si
dice somma di X e Y e si indica con X  Y la matrice 8 ‚ 8 a elementi in A ÐD3,4 Ñ per la quale
si ha
D3,4 ³ B3,4  C3,4 .
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

v. #.*"

Pag. 47
Esempio 4.9.1
Sia A ³ , 8 ³ $,
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Esempio 4.9.2
Sia A ³ , 8 ³ $,
X³
Allora
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Y³
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Sia ora ÐA,  , † Ñ un anello. Sia ancora 8 un numero intero positivo, e siano
X ³ ÐB3,4 Ñ e Y ³ ÐC4,5 Ñ due matrici 8 ‚ 8 a elementi in A . Si dice prodotto righe per colonne
di X per Y e si indica con XY la matrice 8 ‚ 8 a elementi in A ÐD3,5 Ñ per la quale si ha
D3,5 ³ ! B3,4 † C4,5 .
8
4œ"
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

v. #.*"

Pag. 48
Esempio 4.9.3
Sia A ³ ™, 8 ³ $,
Î"
X³ %
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Esempio 4.9.4
Sia A ³ ™, 8 ³ $,
X³
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M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 49
Esempio 4.9.5
Sia A ³ ™, 8 ³ $,
Allora
XX œ
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Î! † !  " † "  ! † !
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Esempio 4.9.6
Sia A ³ ™, 8 ³ $,
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" † "  ! † !  Ð  "Ñ † "
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" † "  " † !  Ð  "Ñ † "
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! .
#Ò
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 50
Osservazione 4.9.7
Si può dimostrare che per ogni anello A e per ogni numero intero positivo 8 l’insieme A8,8
delle matrici 8 ‚ 8 a elementi in A è un anello (se 8  " non commutativo) rispetto alle
operazioni di somma e prodotto (righe per colonne) definite in questa sezione; l’elemento
neutro rispetto alla somma è la matrice che ha tutti gli elementi uguali a zero. L’esempio 4.9.6
mostra che nell’anello A$,$ ci sono sempre divisori dello zero.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 51
5.- PERMUTAZIONI
5.1 - Il gruppo simmetrico.
Sia A un insieme. Una corrispondenza biunivoca A Ä A (cfr. sez. 3.6) si dice una
permutazione su A . L’insieme delle permutazioni su A si dice gruppo simmetrico su A e si
indica con Sym(A).
Teorema 5.1.1
Sia A un insieme, e sia ‰ la composizione di funzioni definita in 3.8 . ÐSym(A), ‰ ) è un
gruppo.
Dimostrazione  Lo si è già osservato in 4.7.5. La composizione di funzioni è
associativa in generale (teorema 3.8.4); la funzione identica definita in 3.6.4 è l’elemento
neutro per ‰ (lo si è già osservato in 4.4.7); la “funzione inversa” f " definita in 3.7 è il
simmetrico di f − Sym(A) rispetto a ‰ (teorema 3.8.3, cfr. oss. 4.5.5).
Sia A un insieme, e sia 5 − Sym(A). Si dice supporto (o sostegno) di 5 l’insieme
supp(5 ) ³ {+ − A / 5 (+) Á +}
cioè il sottoinsieme di A formato dagli elementi che non sono punti fissi per 5 (cfr. sez. 3.5).
Due permutazioni 5 , 7 si dicono disgiunte se sono disgiunti i loro supporti (cfr. sez.
1.10), cioè se
supp(5 )  supp(7 ) œ g .
Teorema 5.1.2
Due permutazioni disgiunte commutano.
Dimostrazione  Sia A un insieme, e siano 5 , 7 − Sym(A) con
supp(5 )  supp(7 ) œ g .
Sia + − A, e proviamo che 5 a7 (+)b œ 7 a5 (+)b .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 52
Per ipotesi, si verifica una e una sola delle tre seguenti situazioni:
( 3)
+ − supp(5 ) ;
(33)
+ − supp(7 ) ;
(333)
+ Â supp(5 ) e + Â supp(7 ) .
Nel caso (3), osserviamo che deve essere anche 5 (+) − supp(5 ) ; infatti, se fosse
5 (5 (+)) œ 5 (+), gli elementi + e 5(+) (per ipotesi distinti, perché siamo nel caso (3))
avrebbero la stessa immagine 5 (+), contro l’iniettività di 5. Allora, poiché 5 e 7 sono
disgiunte, +  supp(7 ) e 5 (+)  supp(7 ), cioè 7 (+) œ + e 7 a5 (+)b œ 5 (+), da cui infine
5 a7 (+)b œ 5 (+) œ 7 a5 (+)b
come si voleva.
Nel caso (33), ragionando esattamente allo stesso modo si trova che 7 (+) − supp(7 ) e quindi
che +  supp(5 ) e 7 (+)  supp(5 ), cioè 5 (+) œ + e 5 a7 (+)b œ 7 (+), da cui infine
5 a7 (+)b œ 7 (+) œ 7 a5 (+)b
come si voleva.
Infine, nel caso (333) si ha che 5 (+) œ + œ 7 (+) cosicché
5 a 7 ( + ) b œ 5 (+ ) œ +
e
7 a5 (+)b œ 7 (+) œ +
cioè ancora una volta 5 a7 (+)b œ 7 a5 (+)b e l’asserto è completamente provato.
Nel seguito chiameremo prodotto la composizione di due permutazioni, e non
seguiremo la particolare notazione introdotta nella sez. 3.8 per la composizione di funzioni ma
useremo la semplice giustapposizione che indica abitualmente il prodotto: dunque, se 5 ,
7 − Sym(A) scriveremo 57 anziché 7 ‰ 5 per indicare la permutazione ottenuta applicando
prima 5 e poi 7 .
5.2 - Il gruppo Sym(8).
Se A ³ {", #, á , 8} con 8 −  (8  !), il gruppo simmetrico su A si indica con
Sym(8) (o anche con S8 ).
Sia 8 − , 8  !. Se 5 − Sym(8), 5 si può rappresentare con una matrice (73,4 ) 2 ‚ 8
(cfr. sez. 1.5) (che si denota ancora con 5 ) in cui:
 nella prima riga compaiono tutti i numeri naturali da " a 8 ;
 nella seconda riga compaiono in corrispondenza le loro immagini mediante 5, cioè
7#,4 œ 5(7",4 ) .
Generalmente, si preferisce che nella prima riga i numeri naturali da 1 a 8 compaiano
in ordine crescente, cioè che sia 7",4 œ 4 per 4 ³ ", á , 8 ; se non è così, è comunque sempre
possibile riordinare le colonne della matrice in modo che questa condizione resti verificata.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 53
Esempio 5.2.1
Sia 8 œ * . La permutazione 5 − Sym(*) tale che
5 (") œ $ ;
5 (#) œ % ;
5 (') œ * ;
5 ($) œ ( ;
5 (() œ " ;
5(%) œ # ;
5 ()) œ ) ;
5(&) œ ' ;
5(*) œ &
si rappresenta scrivendo
5œŒ
"
$
#
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$
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#
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'
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(
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*
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*
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ma si potrebbe rappresentare anche (ad esempio) scrivendo
5œŒ
#
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(
"
'
*
"
$
$
(
&
'
)
)
La permutazione 7 − Sym(*) tale che
7 (") œ & ;
7 (#) œ " ;
7 (') œ ) ;
7 ($) œ % ;
7 (() œ ( ;
7 (%) œ $ ;
7 ()) œ ' ;
7 (&) œ * ;
7 (*) œ #
si rappresenta scrivendo
"
7 œŒ
&
#
"
$
%
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$
&
*
'
)
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(
)
'
*
#
)
'
(
.
(
ma si potrebbe rappresentare anche (ad esempio) scrivendo
'
7 œŒ
)
$
%
"
&
#
"
&
*
*
#
%
$
Si ha
"
57 œ Œ
%
#
$
$
(
%
"
&
)
'
#
(
&
)
'
*
*
75 œ Œ
#
$
$
#
%
(
&
&
'
)
(
"
)
*
*
%
e
"
'
cosicché, in particolare, il gruppo Sym(9) non è commutativo.
Osservazione 5.2.2
Se la matrice (73,4 ) rappresenta la permutazione 5 , la permutazione 5 " (cioè l’inversa di 5 ) si
rappresenta con la matrice che si ottiene da (73,4 ) scambiando le due righe.
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

v. #.*"

Pag. 54
Esempio 5.2.3
Per indicare la permutazione inversa della 5 considerata nell’esempio 5.2.1 si può scrivere
$
5 " œ Œ
"
%
#
(
$
#
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'
&
*
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"
(
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&
*
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#
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*
'
&
(
$
)
)
*
.
'
ma anche (riordinando le colonne)
"
5 " œ Œ
(
Per indicare la permutazione inversa della 7 considerata nell’esempio 5.2.1 si può scrivere
&
7 " œ Œ
"
"
#
%
$
$
%
*
&
)
'
(
(
'
)
#
*
#
*
$
%
%
$
&
"
'
)
(
(
)
'
*
.
&
ma anche (riordinando le colonne)
"
7 " œ Œ
#
Esempio 5.2.4
Gli elementi del gruppo simmetrico Sym($) sono:
id ³ Œ
"
"³Œ
#
"
"
#
#
#
"
$
;
$
!³Œ
$
;
$
"
#
#
$
"
!" ³ Œ
"
#
$
$
;
"
"
!# œ Œ
$
$
;
#
"
!# " ³ Œ
$
$
;
#
#
"
#
#
$
.
"
La struttura del gruppo Sym($) si può esprimere con la sua tavola moltiplicativa, che
all’incrocio tra la riga contrassegnata con l’elemento B e la colonna contrassegnata con
l’elemento C riporta il risultato del prodotto BC :
id
!
!#
"
!,
!# "
id
id
!
!#
"
!"
!# "
!
!
!#
id
!# "
"
!"
!#
!#
id
!
!"
!# "
"
"
"
!"
!# "
id
!
!#
!"
!"
!# "
"
!#
id
!
!# "
!# "
"
!"
!
!#
id
Il fatto che la tabella non sia simmetrica rispetto alla diagonale che va dalla casella in
alto a sinistra alla casella in basso a destra esprime il fatto che il gruppo Sym($) non è
commutativo.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 55
5.3 - Cicli.
Sia 8 − , 8  !. Una permutazione 5 su {", #, á , 8} (cioè un elemento di Sym(8))
si dice un ciclo (di lunghezza 5 ) se esistono 3" , 3# , á , 35 − {", #, á , 8} tali che:
 5 (3" ) œ 3# , 5 (3# ) œ 3$ , 5 (3$ ) œ 3% , á , 5 (35" ) œ 35 , 5 (35 ) œ 3" ;
 5 (3 4 ) œ 3 4
se 4  5 .
Per i cicli si usa una notazione più compatta ed efficiente di quella introdotta nella sez.
5.2 per le permutazioni. Il ciclo 5 tale che 5(3" ) œ 3# , 5(3# ) œ 3$ , 5 (3$ ) œ 3% , á , 5 (35" ) œ 35 ,
5 (35 ) œ 3" e 5 (34 ) œ 34 se 4  5 si indica con la scrittura
a 3"
3#
3$
á
#
(
$
&
%
%
&
#
35 b .
Esempio 5.3.1
Sia 8 œ * . Il ciclo
5œŒ
"
$
a"
si rappresenta con la scrittura
$
&
#
'
"
(
(
'
*
*
)
)
'b.
Teorema 5.3.2
Ogni permutazione si può scrivere come prodotto di cicli disgiunti.
Dimostrazione  Sia 5 − Sym(8) , e sia 3" un elemento del supporto di 5 (cfr. sez.
5.1). Sia 3# ³ 5 (3" ), sia 3$ ³ 5(3# ) e così via finché l’immagine di 35 mediante 5 è uno degli
elementi già considerati (questo avviene dopo al più 8 passaggi): tale elemento non può che
essere 3" , perché se fosse 34 con 4 Á " l’elemento 34 sarebbe immagine sia di 34" sia di 35 ,
contro l’iniettività di 5. Si è ottenuto così un ciclo a 3" 3# 3$ á 35 b . Se 3" , 3# , á , 35
esauriscono il supporto di 5, 5 è essa stessa un ciclo; altrimenti si considera un elemento del
supporto di 5 distinto da 3" , 3# , á , 35 e si procede allo stesso modo finché non si esaurisce il
supporto di 5 : a questo punto 5 è espressa come prodotto di cicli disgiunti.
Esempio 5.3.3
Sia 8 œ *, e siano 5 , 7 le permutazioni considerate nell’esempio 5.2.1. Si ha
5 œ a"
57 œ a "
5 " œ a "
$
( ba #
% ba #
(
% ba &
$
$ ba #
(
&
% ba &
*b;
'
)
*
'b;
'b;
7 œ a"
&
75 œ a "
7 " œ a "
*
'
# ba $
)
#
*
*
% ba '
%
& ba $
( ba #
)b;
% ba '
$b;
)b.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 56
Un ciclo di lunghezza # si dice una trasposizione (o, anche: uno scambio).
Teorema 5.3.4
Ogni permutazione si può scrivere come prodotto di trasposizioni.
Dimostrazione  Per il teorema 5.3.2, basta verificare che ogni ciclo si può scrivere
come prodotto di trasposizioni; e in effetti
a 3"
3#
3$
3%
á
35 b œ a 3"
3# ba 3"
3$ ba 3"
3% b á a 3"
35 b .
Esempio 5.3.5
Sia 8 œ *, e siano 5 , 7 le permutazioni considerate nell’esempio 5.2.1. Si ha
5 œ a"
5 " œ a "
$ ba "
( ba "
( ba #
% ba &
57 œ a "
75 œ a "
$ ba #
' ba &
% ba #
' ba "
% ba &
*b;
$ ba #
) ba "
* ba &
7 œ a"
( ba #
* ba "
& ba "
& ba #
% ba "
' b ; 7 " œ a "
* ba "
) ba #
( ba #
# ba "
' b;
$b;
* ba "
# ba $
& ba $
% ba '
% ba '
)b;
)b.
Teorema 5.3.6
Se una permutazione si può scrivere come prodotto di un numero pari di trasposizioni, ogni
sua espressione come prodotto di trasposizioni consta di un numero pari di trasposizioni. Se
una permutazione si può scrivere come prodotto di un numero dispari di trasposizioni, ogni
sua espressione come prodotto di trasposizioni consta di un numero dispari di trasposizioni.
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Una permutazione si dice pari se si può esprimere (in almeno un modo) come prodotto
di un numero pari di trasposizioni. Per il teorema 5.3.6, se una permutazione è pari ogni sua
espressione come prodotto di trasposizioni consta di un numero pari di trasposizioni.
Una permutazione si dice dispari se non è pari. Per il teorema 5.3.4 (e ancora per il
teorema 5.3.6), se una permutazione è dispari ogni sua espressione come prodotto di
trasposizioni consta di un numero dispari di trasposizioni.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 57
6.- RELAZIONI DI ORDINE
6.1 - Definizioni.
Sia A un insieme.
Si dice relazione in A una relazione tra A e A (cioè un sottoinsieme del prodotto
cartesiano A ‚ A).
Sia 4 una relazione in A. Essa si dice
 riflessiva
 simmetrica
+4 +
sse
a+ − A ;
+4 , Ê , 4 +
sse
a+, , − A ;
 antisimmetrica sse Ð+4 , e ,4 +Ñ Ê Ð+ œ ,Ñ
 transitiva sse
Ð+4 , e ,4 -Ñ Ê Ð+4 -Ñ
a+, , − A ;
a+, , , - − A .
Sia 4 una relazione in A. Due elementi +, , − A si dicono confrontabili (secondo 4 ) se
si verifica almeno una delle seguenti situazioni: +4 ,, ,4 +. La relazione 4 si dice totale sse
comunque presi +, b − A essi sono confrontabili.
Esempi
6.1.1 Per ogni insieme A, la relazione “vuota” (secondo la quale nessun elemento è in
relazione con alcun elemento: si tratta di g pensato come sottoinsieme di A ‚ A) è simmetrica,
antisimmetrica e transitiva (ma non riflessiva).
6.1.2 La relazione 4 in  definita ponendo
simmetrica ma non transitiva.
+4 ,
sse
±+, ± "
è riflessiva e
6.1.3 La relazione 4 nell’insieme dei cerchi del piano definita ponendo
V" 4V# sse l’area di V" è minore o uguale all’area di V#
è riflessiva, transitiva e totale ma non simmetrica né antisimmetrica. Per quest’ultima
affermazione, si osservi che se V" e V# hanno la stessa area essi sono congruenti ma non è in
generale V" œ V# , cioè non sono in generale uguali!.
6.1.4 La relazione 4 in  definita ponendo
+4 ,
sse
+, , sono entrambi pari
è simmetrica e transitiva ma non riflessiva (non è infatti, ad es., "4 ").
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"
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Pag. 58
6.2 - Relazioni di ordine.
Sia A un insieme.
Una relazione in A si dice una relazione di ordine in A se è riflessiva, antisimmetrica e
transitiva. Una relazione di ordine in A si indica spesso con £ oppure con Ÿ (quest’ultimo
simbolo, in caso di ambiguità, è riservato all’usuale relazione di “minore o uguale” in , ™ e
).
Sia £ una relazione di ordine in A, e siano +, , − A. Se + £ ,, si dice che + precede ,
(secondo £ ); si usa anche la scrittura , ¤ +, che si considera equivalente.
Se una relazione di ordine in A non è totale e si vuol mettere in rilievo questo fatto, si
dice che è parziale. In tal caso, esistono in A almeno due elementi che non sono confrontabili.
Esempi
6.2.1 L’usuale relazione Ÿ (detta “minore o uguale”) è una relazione di ordine totale in  e
in ™ .
6.2.2 Sia A un insieme con una operazione † (detta “prodotto”). Se +, , − A, si dice che
+ divide ,
(e si scrive +l,)
se esiste ; − A tale che , œ + † ; . La “l” è una relazione in A; essa è una relazione di ordine
(parziale) in  ma non in ™ (si veda anche la sez. 7.6).
Se + divide ,, si dice anche che “+ è un divisore di ,” oppure che “, è multiplo di +”. Se A è
un anello nel quale ! (“zero”) indica l’elemento neutro per la somma, per l’oss. 4.8.4 ogni
elemento di A divide ! e quindi è un divisore di zero; si faccia attenzione a non confondere
questo fatto col concetto di “divisore dello zero” introdotto nella sez. 4.8, notando in
particolare che ogni divisore dello zero è un divisore di zero ma non viceversa.
6.2.3 La relazione di “inclusione” tra sottoinsiemi di un dato insieme A (cfr. esempio 3.1.3) è
una relazione di ordine (parziale) nell’insieme c (A) definito nella sez. 1.9.
Una relazione 4 in A si dice una relazione di ordine stretto in A se è transitiva e inoltre
comunque presi +, , − A si verifica al più una delle seguenti due situazioni: +4 ,, oppure ,4 + .
Se £ è una relazione di ordine in A, la relazione ¡ in A definita ponendo
+¡,
sse + £ , e + Á ,
è una relazione di ordine stretto, che si dice associata a £ .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"
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Pag. 59
Analogamente, se ¡ è una relazione di ordine stretto in A, la relazione £ in A
definita ponendo
+£,
sse + ¡ , oppure + œ ,
è una relazione di ordine, che si dice associata a ¡ .
Sia £ una relazione di ordine in A, e sia ¡ la relazione di ordine stretto associata a
£ : la relazione di ordine associata a ¡ coincide con £ . Viceversa, sia ¡ una relazione di
ordine stretto in A, e sia £ la relazione di ordine associata a ¡ : la relazione di ordine stretto
associata a £ coincide con ¡ . Ciò si esprime dicendo che il concetto di “relazione di
ordine” e il concetto di “relazione di ordine stretto” sono equivalenti.
6.3 - Intervalli.
Siano A un insieme e Ÿ una relazione di ordine in A. Introduciamo qui una notazione
che sarà molto utile in diverse occasioni.
Siano +, , elementi di A tali che +  ,. Si dicono intervalli (limitati) di estremi +, , i
seguenti sottoinsiemi di A :
Ð+, ,Ñ ³ ÖB − A / +  B  ,×
(intervallo aperto)
Ð+, ,] ³ ÖB − A / +  B Ÿ ,×
(intervallo chiuso a destra)
[+, ,Ñ ³ ÖB − A / + Ÿ B  ,×
(intervallo chiuso a sinistra)
[+, ,] ³ ÖB − A / + Ÿ B Ÿ ,×
(intervallo chiuso)
Si dicono intervalli illimitati i seguenti sottoinsiemi di A :
Ð  _, ,Ñ ³ ÖB − A / B  ,×
(intervallo aperto, illimitato a sinistra)
Ð  _, ,] ³ ÖB − A / B Ÿ ,×
(intervallo chiuso, illimitato a sinistra)
Ð+,  _Ñ ³ ÖB − A / +  B×
(intervallo aperto, illimitato a destra)
[+,  _Ñ ³ ÖB − A / + Ÿ B×
(intervallo chiuso, illimitato a destra)
Ð  _, _Ñ ³ A
(intervallo aperto, illimitato a sinistra e a destra)
6.4 - Minimo e massimo.
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme di A.
Un elemento m di X si dice il minimo di X, e si indica con min X, se
mŸB
aB − X .
Analogamente, un elemento M di X si dice il massimo di X, e si indica con max X, se
BŸM
aB − X .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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Teorema 6.4.1
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme di A. Se X ha un
minimo [un massimo], questo è unico.
Dimostrazione  Siano m, m’ minimi di X. Poiché m è minimo e m’ − X, m Ÿ m’;
poiché m’ è minimo e m − X, m’ Ÿ m . Per la proprietà antisimmetrica, m œ m’ come si
voleva.
Analogamente si prova che se X ha un massimo questo è unico.
Esempi
6.4.2 Nell’insieme  dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insieme
X œ Ö#!, $!, '!, )!, "!!×
ha per minimo #! e per massimo "!!.
6.4.3 Nell’insieme  dotato della relazione di “divisibilità” (cfr. esempio 6.2.2), l’insieme
X œ Ö#!, $!, '!, )!, "!!×
non ha minimo né massimo.
6.4.4 Nell’insieme  dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insieme
X œ ÖB −  / B œ 8" , con 8 − \Ö!××
non ha minimo; il suo massimo è ".
6.5 - Elementi minimali ed elementi massimali.
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme di A .
Un elemento m di X si dice minimale in X se
(B Ÿ m) Ê B œ m aB − X
cioè se in X non esiste alcun elemento che precede strettamente m .
Analogamente, un elemento M di X si dice massimale in X se
(M Ÿ B) Ê B œ M aB − X
cioè se in X non esiste alcun elemento preceduto strettamente da M .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Teorema 6.5.1
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme di A . Se X ha un
minimo [un massimo], questo è l’unico elemento minimale [massimale] di X .
Dimostrazione  Sia 7 il minimo di X, e sia 7! un elemento minimale di X ;
proveremo che 7! œ 7, da cui l’asserto.
Poiché 7 è il minimo di X, deve essere 7 Ÿ 7! ; poiché 7! è minimale in X, ne
segue che 7 œ 7! , come si voleva.
Analogamente si prova che se X ha un massimo questo è l’unico elemento massimale
di X .
Esempio 6.5.2
Nell’insieme  dotato della relazione di “divisibilità” (cfr. esempio 6.2.2), l’insieme
X œ Ö#!, $!, '!, )!, "!!, "#!×
ha come elementi minimali #! e $! e come elementi massimali )!, "!! e "#! .
6.6 - Limitazioni inferiori e limitazioni superiori.
Siano A un insieme,
non vuoto di A .
Ÿ
una relazione di ordine in A , e X un sottoinsieme
Un elemento + di A si dice limitazione inferiore (o minorante) di X se
+ŸB
aB − X ;
si dice invece limitazione superiore (o maggiorante) di X se
B Ÿ a aB − X.
Il sottoinsieme non vuoto X di A si dice inferiormente [superiormente] limitato se
esiste in A una limitazione inferiore [superiore] per X.
Esempi
6.6.1 Nell’insieme  dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, il sottoinsieme
formato dai multipli di &( non è superiormente limitato.
6.6.2 Nell’insieme  dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, ogni sottoinsieme
è inferiormente limitato (da !).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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6.7 - Estremo superiore.
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di
A superiormente limitato.
Se l’insieme delle limitazioni superiori di X ha minimo, tale minimo si dice estremo
superiore di X, e si indica con sup X. Dal teorema 6.4.1 segue subito che l’estremo superiore,
qualora esista, è unico.
Teorema 6.7.1
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di A. Se
X ha un massimo, questo è anche estremo superiore per X.
Dimostrazione  Sia 7 il massimo di X. Per definizione di massimo, 7 è una
limitazione superiore per X; dobbiamo provare che per ogni limitazione superiore + di X si ha
7 Ÿ + : ma ciò è ovvio (poiché 7 − X) per definizione di limitazione superiore.
Teorema 6.7.2
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di A
dotato di estremo superiore. Se sup X appartiene a X, esso è il massimo di X.
Dimostrazione  Sia x! l’estremo superiore di X. Poiché x! è una limitazione
superiore per X, si ha che x Ÿ x! per ogni x − X; poiché per ipotesi x! − X, si ha l’asserto.
I teoremi 6.7.1 e 6.7.2 suggeriscono che l’estremo superiore di X può essere assunto
come “surrogato” del massimo di X quando tale massimo manca.
6.8 - Estremo inferiore.
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di
A inferiormente limitato.
Se l’insieme delle limitazioni inferiori di X ha massimo, tale massimo si dice estremo
inferiore di X, e si indica con inf X. Ancora dal teorema 6.4.1 segue che l’estremo inferiore,
qualora esista, è unico.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 63
Teorema 6.8.1
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di A. Se
X ha un minimo, questo è anche estremo inferiore per X.
Dimostrazione  La dimostrazione è analoga a quella del teorema 6.7.1, e si lascia al
lettore come esercizio.
Teorema 6.8.2
Siano A un insieme, Ÿ una relazione di ordine in A, e X un sottoinsieme non vuoto di A
dotato di estremo inferiore. Se inf X appartiene a X, esso è il minimo di X.
Dimostrazione  La dimostrazione è analoga a quella del teorema 6.7.2, e si lascia al
lettore come esercizio.
Esempio 6.8.3
Nell’insieme  dotato dell’ordinaria relazione di “minore o uguale”, l’insieme
X œ ÖB −  / B œ 8" , con 8 − \Ö!××
ha per estremo inferiore il numero !. (Cfr. esempio 6.4.4).
Dimostrazione  È chiaro che ! è una limitazione inferiore per X ; resta da provare
che ogni limitazione inferiore per X è minore o uguale a !, ossia che nessun numero razionale
positivo C è limitazione inferiore per X .
7
Sia dunque C −  . Possiamo scrivere C œ 8 , con 7, 8 − ÏÖ!×; allora
7
#7
"
"
C œ 8 œ #8 œ #7 #8  #8
"
con #8 − X, come si voleva.
Esercizio 6.8.4
Nell’insieme  dotato della relazione di “divisibilità” (cfr. esempio 6.2.2), si consideri
l’ insieme
X œ Ö#!, $!, '!, )!, "!!, "#!×
(cfr. esempio 6.4.2).
Determinare (qualora esistano) estremo inferiore ed estremo superiore per X.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 64
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 65
7.- L’ALGORITMO DI EUCLIDE IN 
7.1 - Ancora su (, Ÿ ).
Teorema 7.1.1
Ogni insieme non vuoto superiormente limitato di numeri naturali ha massimo.
Dimostrazione  Proviamo (per induzione su 8) che:
se g Á A §  e + Ÿ 8 per ogni + − A, allora A ha massimo.
Se 8 œ !, deve essere A œ {!} e quindi A ha per massimo lo zero. Supponiamo
dunque che l’asserto sia vero per 8 .
Sia g Á A §  tale che
massimo. Distinguiamo due casi:
( 3)
+ Ÿ8"
per ogni + − A,
e proviamo che A ha
8  " − A ; in questo caso, è immediato che 8  " è il massimo di A ;
(33)
8  " Â A ; in questo caso +  8  " (e dunque
quindi otteniamo che A ha massimo per l’ipotesi di induzione.
+ Ÿ 8Ñ per ogni + − A,
Teorema 7.1.2
Ogni insieme non vuoto di numeri naturali ha minimo.
Dimostrazione  Sia g Á A §  . Se ! − A, ! è il minimo di A (infatti ! Ÿ B per
ogni B − , dunque in particolare ! Ÿ B per ogni B − A). Se ! Â A, poniamo
S ³ {8 −  Î 8 Â A e (8 Ÿ + per ogni + − A)} .
L’insieme S non è vuoto (infatti ! − S) e (per come è definito) è superiormente
limitato (da ogni + − A): per il teorema 7.1.1, S ha un massimo 7 . Poiché 7 − S,
7 Â A e 7 Ÿ + per ogni + − A .
In effetti, poiché 7 Â A, è addirittura 7  + per ogni + − A , cosicché
7  " Ÿ + per ogni + − A .
Dunque 7  " − A , (altrimenti sarebbe 7  " − S, assurdo perché è 7 il massimo di S) e
quindi 7+1 è il minimo di A .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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Pag. 66
7.2 - La divisione euclidea.
Teorema 7.2.1
Comunque presi +, , −  con , Á ! esiste un’unica coppia ordinata Ð; , <Ñ di numeri naturali
tale che
(3) + œ ,;  < ;
e
(33) ! Ÿ <  , .
Dimostrazione  Sia
S ³ {B −  Î B œ ,8 con 8 −  e B Ÿ +} .
L’insieme S non è vuoto (perché ! − S, essendo ! œ , † ! e ! Ÿ +) ed è superiormente
limitato da +, dunque per il teorema 7.1.1 ha massimo B! (che, per definizione di S, è della
forma ,; con ; − ). Poiché ,; Ÿ +, possiamo calcolare < ³ +  ,; e ottenere la (3) . Se
fosse < ,, potremmo calcolare <" ³ <  ,, da cui < œ ,  <" e quindi
+ œ ,;  < œ ,;  ,  <" œ ,Ð;  "Ñ  <"
assurdo perché ,Ð;  "Ñ sarebbe un elemento di S strettamente maggiore di B! (essendo per
ipotesi , Á !) .
Dunque per ogni scelta di + e , in  (con , Á !) esiste una coppia ordinata Ð; , <Ñ di
numeri interi che verifica sia la (3) che la (33). Resta da provare che tale coppia è unica.
Supponiamo che sia
+ œ ,;"  <" œ ,;#  <#
(con ! Ÿ <"  ,, ! Ÿ <#  ,) e proviamo che ;" œ ;2 e <" œ <2 . Poniamo, per fissare le
idee, ;" ;2 (altrimenti nel ragionamento che segue si scambia il ruolo di ;" con quello di
;2 e il ruolo di <" con quello di <2 ). Non può essere <"  <# (altrimenti non varrebbe la seconda
uguaglianza) dunque possiamo scrivere
,(;"  ;# ) œ <#  <" .
Se fosse ;" Á ;# , sarebbe ;"  ;# " e dunque il primo membro sarebbe , ; ma allora
sarebbe anche
<# œ ,(;"  ;# )  <" ,  <" ,
contro la (33). Dunque ;" œ ;# e di conseguenza anche <" œ <# , e l’asserto è completamente
provato.
Siano +, , − , con , Á ! . I due numeri naturali ; e < di cui al teorema 7.2.1 si dicono
rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di + per , (e i numeri naturali + e ,
si dicono rispettivamente dividendo e divisore di tale divisione euclidea).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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Osservazione 7.2.2
Siano +, , −  . Condizione necessaria e sufficiente affinché , divida + (nel senso
dell’esempio 6.2.2) è che il resto della divisione euclidea di + per , sia ! .
Osservazione 7.2.3
La divisione euclidea realizza l’idea intuitiva di “spartizione in parti uguali”, ma è vincolata
dalla scelta che il resto debba essere positivo. È vero che nel classico problema della maestra
che deve dividere $! caramelle fra ( bambini la soluzione “pratica” è proprio quella fornita in
via teorica dalla divisione euclidea: poiché $! œ ( † %  #, a ogni bambino spettano %
caramelle e ne avanzano # (che si mangia la maestra?). Ma si pensi a un altro problema
formalmente analogo: se $! studenti devono partire per una gita scolastica, e sono disponibili
pullmini da ( posti l’uno, quanti pullmini bisognerà prenotare? Questa volta la risposta
“teorica” (si prenotano % pullmini e # bambini restano a casa) non è accettabile come
soluzione pratica; si dovrebbe scegliere il resto < negativo, ! <   ,, e così, poiché
$! œ ( † &  (  &), si avrebbe la conferma teorica della soluzione “pratica”: si prenotano &
pullmini, sui quali complessivamente & posti resteranno vuoti. Ma, d’altro lato, la scelta di un
resto negativo non avrebbe alcuna interpretazione sensata nel problema delle caramelleá
Osservazione 7.2.4
Non è difficile estendere la definizione di “divisione euclidea” (e il teorema 7.2.1) a due
numeri interi relativi +, ,; ma è chiaro che la condizione
!Ÿ<,
sul resto < non è ipotizzabile quando ,  ! . Bisognerà dunque scegliere se imporre che il
resto < sia positivo (! Ÿ <  k,k ) oppure imporre che il resto < sia compreso tra ! e , (escluso
,), e a seconda di come daremo la definizione si otterrà un quoziente diverso: infatti (ad
esempio) ( diviso  # potrebbe avere quoziente  $ e resto " (se si definisce la divisione
euclidea in modo che il resto sia sempre positivo) oppure potrebbe avere quoziente  % e
resto  " (se si definisce la divisione euclidea in modo che il resto sia sempre compreso fra !
e il divisore).
Per fortuna non c’è ambiguità di scelta nell’estendere la definizione di divisione euclidea al
caso in cui il dividendo è un qualsiasi numero intero relativo e il divisore è un numero intero
positivo, e noi ci limiteremo a questo caso perché è l’unico che ci servirà.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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Teorema 7.2.5
Comunque presi + in ™ e , in ™ , esiste un’unica coppia ordinata Ð; , <Ñ di numeri interi
relativi tale che
(3) + œ ,;  < ;
e
(33) ! Ÿ <  , .
Dimostrazione  Se + − ™ (oppure + œ !), poiché identifichiamo i numeri naturali
con gli interi non negativi (cfr. sez. 1.3) possiamo applicare direttamente il teorema 7.2.1 per
ottenere l’asserto.
Se + − ™ , è  + − ™ , dunque (per il teorema 7.2.1 e la già citata identificazione di
 coi numeri interi non negativi) esiste una coppia ordinata Ð; , <Ñ di numeri interi non
negativi tale che
(4)  + œ ,;!  <! ;
e
(44) ! Ÿ <!  , .
Dalla (3) segue che
+ œ  (  +) œ  ,;!  <! œ , (  ;! )  <! œ , (  ;!  ")  (,  <! )
cioè le (3) e (33) per ; ³  ;!  "
e
< ³ ,  <! .
Dunque per ogni scelta di + in ™ e , in ™ esiste una coppia ordinata Ð; , <Ñ di numeri
interi che verifica sia la (3) che la (33). Resta da provare che tale coppia è unica, e a tale scopo
si può ripetere esattamente il ragionamento visto nella dimostrazione del teorema 7.2.1.
Supponiamo che sia
+ œ ,;"  <" œ ,;#  <#
(con ! Ÿ <"  ,, ! Ÿ <#  ,) e proviamo che ;" œ ;2 e <" œ <2 . Poniamo, per fissare le
idee, ;" ;2 (altrimenti nel ragionamento che segue si scambia il ruolo di ;" con quello di
;2 e il ruolo di <" con quello di <2 ). Non può essere <"  <# (altrimenti non varrebbe la seconda
uguaglianza) dunque possiamo scrivere
,(;"  ;# ) œ <#  <" .
Se fosse ;" Á ;# , sarebbe ;"  ;# " e dunque il primo membro sarebbe , ; ma allora
sarebbe anche
<# œ ,(;"  ;# )  <" ,  <" ,
contro la (33). Dunque ;" œ ;# e di conseguenza anche <" œ <# , e l’asserto è completamente
provato.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 69
7.3 - Massimo comun divisore in . L’algoritmo di Euclide.
Osservazione 7.3.1
Siano +, , −  . Un numero . −  divide sia + che , se e soltanto se divide sia , che il resto
della divisione euclidea di + per , .
Dimostrazione  Se < è il resto della divisione euclidea di + per ,, si ha che
+ œ ,;  < .
Se + œ .2 e , œ .5 , ne segue che < œ +  ,; œ .2  .5; œ . (2  5; ) cosicché .
divide (sia , che) < .
Se , œ .5 e < œ .> ne segue viceversa che + œ ,;  < œ .5;  .> œ . (5;  >)
cosicché . divide (sia , che) + .
Siano +, , −  . Si dice massimo comun divisore di + e , e si indica con MCD(+, ,) (o
anche, quando ciò non dia luogo ad equivoci, semplicemente con (+, ,)) l’estremo inferiore di
{+, ,} rispetto alla relazione di ordine (parziale) l (“divide”, cfr. esempio 6.2.2), cioè un $ − 
tale che $ l+, $ l, e per ogni . −  tale che .l+ e .l, si ha anche .l$ . Se MCD(+, , ) œ ", si
dice talvolta che + è primo con , oppure che + e , sono primi fra loro.
Se + e , sono confrontabili rispetto alla relazione “divide” (cioè +l, oppure ,l+),
MCD(+, , ) è il minimo di {+, ,} (rispetto alla relazione l ), cioè quello dei due che divide
l’altro.
Osservazione 7.3.2
Siano +, , − , e sia $ ³ MCD(+, ,) . È
MCD( +$ ,
,
$
) œ ".
Dimostrazione  Dobbiamo provare che se 5 divide sia
+
$
che
,
$
è 5 œ " . Sia allora
+
$
,
œ 5;" (ossia + œ 5 $ ;" )
e
(ossia , œ 5 $ ;# ) .
$ œ 5;#
Allora . ³ 5 $ divide sia + che ,, quindi deve dividere $ ; e ciò è possibile soltanto se 5 œ " .
L’osservazione 7.3.1 ci permette di provare che il massimo comun divisore di due
numeri naturali esiste sempre: per essa infatti MCD(+, ,) œ MCD(,, <) dove < è il resto della
divisione euclidea di + per , : se + e , non sono confrontabili rispetto alla relazione “divide” ci
si può dunque sempre ricondurre alla ricerca del massimo comun divisore fra altri due numeri
(+’, ,’) con ,’  ,, e così via finché il resto è ! (e dunque il precedente resto è il massimo
comun divisore cercato). Questa strategia di fatto costituisce anche un veloce algoritmo (il
cosiddetto algoritmo di Euclide) per calcolare il massimo comun divisore fra due numeri
naturali.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 70
Teorema 7.3.3 (“algoritmo di Euclide” per calcolare il MCD in )
Siano +, , −  , con , Á ! . Posto <! ³ ,, e indicato con <" il resto della divisione euclidea
di + per ,, definiamo induttivamente <3" come il resto della divisione euclidea di <3" per <3
finché <3 Á !, <3" œ ! se <3 œ ! . Allora:
(1) esiste 3! tale che <3! Á ! ma <3 œ ! per 3 3! ;
(2) <3! œ MCD(+, ,) ;
(3) per ogni 3 − , esistono !3 , "3 − ™ tali che <3 œ !3 +  "3 , .
Dimostrazione  Poiché per ipotesi <! ( œ ,) è Á !, e poiché <3"  <3 quando <3 Á !,
(per il teor. 7.2.1), c’è un numero finito ( ") di valori di 3 per i quali <3 Á ! , da cui la (1).
Applicando ripetutamente l’osservazione 7.3.1, si trova che
MCD(+, ,) œ MCD(<3" , <3 ) per ogni 3 Ÿ 3! .
D’altro lato, MCD(<3! " , <3! ) œ <3! perché <3! divide <3! " (essendo <3! " œ !), da cui la (2).
Proviamo infine la (3) procedendo per induzione su 3 . Per 3 ³ !,
<! œ , œ ! † +  " † ,
cioè la (3) con !! ³ ! e "! ³ " . Dalla
+ œ ,;!  <"
si deduce subito che
<" œ +  (  ;! ),
cioè la (3) per 3 œ " con !" ³ " e "" ³ (  ;! ) .
Supponiamo adesso di sapere che <3" œ !3" +  "3" , con !3" , "3" − ™ e
<3 œ !3 +  "3 , con !3 , "3 − ™ e proviamo la (3) per 3  " . Poiché
<3" œ <3 ;3  <3"
si ha
<3" œ <3"  <3 ;3 œ !3" +  "3" ,  a!3 +  "3 , b;3 œ a!3"  !3 ;3 b+  a"3"  "3 ;3 b,
con !3"  !3 ;3 , "3"  "3 ;3 − ™ e dunque anche la (3) è provata
La (3) del teorema 7.3.3 per 3 œ 3! si dice identità di Bézout.
Esempio 7.3.4
Sia + ³ "(*%, , ³ "*$) . Si ha
"*$) œ " † "(*%  "%% ;
'' œ & † "#  ' ;
"(*% œ "# † "%%  '' ;
"# œ # † '  ! .
"%% œ # † ''  "# ;
Dunque MCD("(*%, "*$)) œ ' . Inoltre:
"%% œ "*$)  "(*% ;
'' œ "(*%  "# † a"*$)  "(*%b œ "$ † "(*%  "# † "*$) ;
"# œ "%%  # † '' œ "*$)  "(*%  # † a"$ † "(*%  "# † "*$)b œ #& † "*$)  #( † "(*% ;
' œ ''  & † "# œ "$ † "(*%  "# † "*$)  & † a#& † "*$)  #( † "(*%b œ "%) † "(*%  "$( † "*$) .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"
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Pag. 71
Esempio 7.3.5
+ ³ #"$ %%$, , ³ "(& %(( . Si ha
#"$ %%$ œ " † "(& %((  $( *'' ;
$( *'' œ " † #$ '"$  "% $&$ ;
"% $&$ œ " † * #'!  & !*$ ;
& !*$ œ " † % "'(  *#' ;
"(& %(( œ % † $( *''  #$ '"$ ;
#$ '"$ œ " † "% $&$  * #'! ;
* #'! œ " † & !*$  % "'( ;
% "'( œ % † *#'  %'$ ;
*#' œ # † %'$  ! ;
Dunque MCD(#"$ %%$, "(& %(() œ %'$ . Inoltre:
$( *'' œ #"$ %%$  "(& %(( ;
#$ '"$ œ "(& %((  % † a#"$ %%$  "(& %((b œ & † "(& %((  % † #"$ %%$ ;
"% $&$ œ $( *''  #$ '"$ œ #"$ %%$  "(& %((  a& † "(& %((  % † #"$ %%$b œ
œ & † #"$ %%$  ' † "(& %(( ;
* #'! œ #$ '"$  "% $&$ œ & † "(& %((  % † #"$ %%$  a& † #"$ %%$  ' † "(& %((b œ
œ "" † "(& %((  * † #"$ %%$ .
& !*$ œ "% $&$  * #'! œ & † #"$ %%$  ' † "(& %((  a"" † "(& %((  * † #"$ %%$b œ
œ "% † #"$ %%$  "( † "(& %(( .
% "'( œ * #'!  & !*$ œ "" † "(& %((  * † #"$ %%$  a"% † #"$ %%$  "( † "(& %((b œ
œ #) † "(& %((  #$ † #"$ %%$ .
*#' œ & !*$  % "'( œ "% † #"$ %%$  "( † "(& %((  a#) † "(& %((  #$ † #"$ %%$b œ
œ $( † #"$ %%$  %& † "(& %(( .
%'$ œ % "'(  % † *#' œ #) † "(& %((  #$ † #"$ %%$  % † a$( † #"$ %%$  %& † "(& %((b œ
œ #!) † "(& %((  "(" † #"$ %%$ .
Teorema 7.3.6
Siano +, ,, - −  . Se MCD(+, , ) œ ", allora
+l,-
se e soltanto se
+l- .
Dimostrazione  Se +l- , poiché -l,- è anche +l,- per la transitività della relazione “l”
(cfr. esempio 6.2.2) (qui la condizione MCD(+, ,) œ " non serve).
Supponiamo ora che + divida il prodotto ,- ; esisterà # −  tale che ,- œ +# . Per
l’identità di Bézout, esistono !, " − ™ tali che
" œ !+  " ,
e quindi
- œ !+-  " ,- œ !+-  " +# œ +a!-  "# b
cioè + divide - , come si voleva dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 72
7.4 - Una classe di equazioni diofantine.
Si parla di equazioni diofantine (o diofantee) (in onore del matematico greco
?+ò:!/7 96 , vissuto probabilmente nel terzo secolo) quando si considera una uguaglianza fra
polinomi (generalmente in più indeterminate) con coefficienti in ™ e ci si chiede quali
elementi di  (o di ™) vadano sostituiti alle indeterminate dei polinomi affiché l’uguaglianza
risulti vera. L’identità di Bezout vista nella sezione 7.2 consente di studiare e risolvere una
importante classe di equazioni diofantine.
Teorema 7.4.1
Siano +, ,, - −  con + Á ! e , Á ! . Esiste una soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ se e soltanto se - è multiplo di MCD(+, ,) .
Dimostrazione  Se esiste una soluzione (B! , C! ) − ™ ‚ ™ dell’equazione considerata,
è +B!  ,C! œ - . Posto $ ³ MCD(+, , ), esistono +! , ,! −  tali che + œ +! $ e , œ ,! $ ,
cosicché
- œ +B!  ,C! œ +! $ B!  ,! $ C! œ $a+! B!  ,! C! b ;
poiché - , $ − , deve essere anche +! B!  ,! C! −  e quindi si è provato che - è multiplo di $ .
Viceversa, se - è multiplo di $ sarà - œ -! $ con -! − ; per l’identità di Bézout
esistono !, " − ™ tali che $ œ !+  " ,, quindi
- œ - ! $ œ - ! a! +  " , b œ - ! ! +  - ! " ,
cioè (-! !, -! " ) è soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione considerata.
Teorema 7.4.2
Siano +, ,, - − , e sia $ ³ MCD(+, , ) . Se (B! , C! ) è soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ $ ,
allora (-B! , -C! ) è soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ -$ .
Dimostrazione  Infatti dall’uguaglianza
+B!  ,C! œ $
segue la
+a-B! b  ,a-C! b œ - $ .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 73
Osservazione 7.4.3
Siano +, ,, - − , e sia $ ³ MCD(+, , ) . Non tutte le soluzioni in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ -$
sono della forma (-B! , -C! ) con (B! , C! ) soluzione soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ $ .
Ad esempio, l’equazione
#B  $C œ &
ha la soluzione (", ") oltre a tutte le soluzioni della forma (&($2  "), &("  #2 )) con
2 − ™ (come vedremo col teorema 7.4.4, le coppie della forma ($2  ", "  #2 ) con 2 − ™
sono tutte le soluzioni dell’equazione #B  $C œ ").
Teorema 7.4.4
Siano +, ,, - − , con + Á !, , Á ! e - multiplo di $ ³ MCD(+, ,) . Se (B! , C! ) è una
soluzione in ™ ‚ ™ dell’equazione
+B  ,C œ - ,
tutte le soluzioni di tale equazione in ™ ‚ ™ sono della forma
al variare di 2 − ™ .
B œ B!  2 $, , C œ C!  2
+
$
Dimostrazione  Se +B!  ,C! œ - , è anche
+ˆB!  2 $, ‰  ,ˆC!  2 +$ ‰ œ +B!  2
e dunque anche (B!  2 $, , C!  2
+
$
+,
$
 ,C!  2
+,
$
œ +B!  ,C! œ - .
) − ™ ‚ ™ è soluzione dell’equazione considerata.
Viceversa, sia (B" , C" ) − ™ ‚ ™ tale che +B"  ,C" œ - . Sottraendo membro a membro
dalla
+B!  ,C! œ la
+B"  ,C" œ -
si trova che
ossia
+aB!  B" b  ,aC!  C" b œ !
+aB!  B" b œ ,aC"  C! b .
Ricordando che si è posto $ ³ MCD(+, ,), possiamo scrivere + œ +$ , , œ ,$ con
MCD(+, , ) œ " e dunque, dividendo per $ ambo i membri dell’ultima uguaglianza,
+aB!  B" b œ ,aC"  C! b .
Supponiamo per il momento che sia B! B" , cosicché anche C" C! e stiamo
lavorando in  .
M. Barlotti
ossia
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 74
Poiché MCD(+, , ) œ ", per il teorema 7.3.6 + divide aC"  C! b e , divide aB!  B" b,
C"  C! œ 2+,
B!  B" œ 5,
per opportuni 2 , 5 −  .
Ne segue che
C" œ C!  2+ œ C!  2
+
$
e
B" œ B!  5, œ B!  5
,
$
Poiché (B" , C" ) è soluzione dell’equazione data, deve essere
- œ +B"  ,C" œ +ˆB!  5 $, ‰  ,ˆC!  2 +$ ‰ œ +B!  ,C!  5
+,
+,
$ 2 $ œ
a2  5 b +,
$ œ !
da cui
.
-  a2  5 b +,
$
e quindi (poiché per ipotesi + Á ! e , Á !) 2 œ 5 .
+aB!  B" b œ ,aC"  C! b
Se invece nella
è B"  B! , cosicché anche C!  C" , la scriviamo come
+aB"  B! b œ ,aC!  C" b
per lavorare ancora in  . Ragionando esattamente come sopra, si trova che
B" œ B!  2
,
$
e
C" œ C !  2
+
$
per un opportuno 2 in 
e ciò completa la dimostrazione del teorema.
Esempio 7.4.5
Risolviamo in ™ l’equazione
)%B  '!C œ "&! .
Vediamo in primo luogo se ci sono soluzioni. Applichiamo l’algoritmo euclideo per
trovare MCD()%, '!); se l’equazione data risulterà avere soluzioni, i passaggi che facciamo
adesso ci faranno comodo per calcolarle.
)% œ '! † "  #% ;
'! œ #% † #  "# ;
#% œ "# † #  ! .
Quindi MCD()%, '!) œ "# .
Poiché "&! œ "# † "#  ' (cioè "&! non è multiplo di "#) l’equazione data non ha
soluzioni.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
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Esempio 7.4.6
Risolviamo in ™ l’equazione
'"'B  %*!C œ #"! .
Vediamo in primo luogo se ci sono soluzioni. Applichiamo l’algoritmo euclideo per
trovare MCD('"', %*!); se l’equazione data risulterà avere soluzioni, i passaggi che facciamo
adesso ci faranno comodo per calcolarle.
'"' œ %*! † "  "#' ;
%*! œ "#' † $  ""# ;
"#' œ ""# † "  "% ;
""# œ "% † )  ! .
Quindi MCD('"', %*!) œ "% . Poiché #"! œ "% † "& (cioè #"! è multiplo di "%)
l’equazione data ha soluzioni. Cerchiamo in primo luogo una soluzione dell’equazione
'"'B  %*!C œ "% .
Dai calcoli effettuati per trovare MCD('"', %*!) si ricava che:
"#' œ '"'  %*! ;
""# œ %*!  "#' † $ œ %*!  a'"'  %*!b † $ œ % † %*!  $ † '"' ;
"% œ "#'  ""# œ '"'  %*!  a% † %*!  $ † '"'b œ % † '"'  & † %*! .
Quindi, (%,  &) è una soluzione di '"'B  %*!C œ "% ; e di conseguenza ('!,  (&) è una
soluzione di '"'B  %*!C œ #"! . Le soluzioni dell’equazione sono, per il teorema 7.4.4, tutte
e sole le coppie ordinate ('!  $&2,  (&  %%2) .
Esempio 7.4.7
Per risolvere in ™ l’equazione
#)!B  $)&C œ "(& .
andiamo a considerare l’equazione
#)!B  $)&C œ "(& .
Vediamo in primo luogo se ci sono soluzioni. Applichiamo l’algoritmo euclideo per
trovare MCD($)&, #)!); se l’equazione data risulterà avere soluzioni, i passaggi che facciamo
adesso ci faranno comodo per calcolarle.
$)& œ #)! † "  "!& ;
#)! œ "!& † #  (! ;
"!& œ (! † "  $& ;
(! œ $& † #  ! .
Quindi MCD($)&, #)!) œ $& . Poiché "(& œ $& † & (cioè "(& è multiplo di $&)
l’equazione a cui ci siamo ricondotti ha soluzioni. Cerchiamo in primo luogo una soluzione
dell’equazione
#)!B  $)&C œ $& .
Dai calcoli effettuati per trovare MCD($)&, #)!) si ricava che:
"!& œ $)&  #)! ;
(! œ #)!  # † "!& œ #)!  # † a$)&  #)!b œ $ † #)!  # † $)& ;
$& œ "!&  (! œ $)&  #)!  a$ † #)!  # † $)&b œ $ † $)&  % † #)! .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 76
Dunque (  %, $) è una soluzione di #)!B  $)&C œ $& ; e di conseguenza (  #!, "&) è
una soluzione di #)!B  $)&C œ "(& . Le soluzioni di tale equazione sono, per il teorema
7.4.4, tutte e sole le coppie ordinate (  #!  ""2, "&  )2) .
Pertanto, le soluzioni dell’equazione proposta sono tutte e sole le coppie ordinate
(  #!  ""2, )2  "&) .
Esercizi
Risolvere in ™ ‚ ™ le seguenti equazioni diofantine:
7.4.8
%!'B  "%(C œ )% ;
7.4.9
"##B  $!&C œ ")$ ;
7.4.10
$$$B  )))C œ """" ;
7.4.11
$&(B  #&&C œ #!% ;
7.4.12
"!#B  "(%C œ "&! .
7.5 - Minimo comune multiplo in .
Siano +, , −  . Si dice minimo comune multiplo di + e , e si indica con mcm(+, ,)
l’estremo superiore di {+, ,} rispetto alla relazione di ordine (parziale) “l” (“divide”, cfr.
esempio 6.2.2), cioè un . −  tale che +l., ,l. e per ogni 7 −  tale che +l7 e ,l7 si ha
anche .l7 .
Se + e , sono confrontabili rispetto alla relazione “l” (cioè +l, oppure ,l+), mcm(+, , ) è
il massimo di {+, ,} rispetto alla relazione “l” , cioè quello dei due che è multiplo dell’altro.
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

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
Pag. 77
Teorema 7.5.1
Siano +, , −  . Si ha
mcm(+, ,) œ
+,
MCD(+, ,)
.
Dimostrazione  Sia $ ³ MCD(+, , ) ; allora + œ +$ e , œ , $ per opportuni +,
, −  , con MCD(+, , ) œ " per l’osservazione 7.3.2.
+,
+,
Poniamo . ³ MCD(
+, ,) œ $ œ +, œ +, . Come si è appena visto, sia + che ,
dividono .. Resta da provare che se 7 −  è tale che +l7 (cioè 7 œ +7" con 7" − ) e
,l7 (cioè 7 œ ,7# con 7# − ) si ha anche .l7 . Dalle uguaglianze
+7" œ 7 œ ,7#
+$ 7" œ ,$ 7#
segue che
e quindi
+7" œ ,7# .
Poiché MCD(+, ,) œ ", per il teorema 7.3.6 , divide 7" , cioè esiste ," −  tale che
7" œ ,," ; si può così concludere che
7 œ +7" œ +,," œ .,"
ossia .l7 come si voleva dimostrare.
7.6 - Divisibilità negli anelli commutativi con unità privi di divisori dello zero.
Sia A un anello commutativo con unità (cfr. sez. 4.8) privo di divisori dello zero;
quest’ultimo fatto, come si è già detto nella sez. 4.8, si può esprimere dicendo che in A vale la
“legge di annullamento del prodotto”.
Se +, , − A, abbiamo già introdotto (esempio 6.2.2) l’espressione verbale
+ divide ,
(e la notazione simbolica +l,)
per esprimere il fatto che esiste ; − A tale che , œ + † ; .
Se +, , − A, sono espressioni equivalenti:
( 3)
+ divide , ;
(33)
, è multiplo di + ;
(333)
+ è un divisore di , (l’insieme dei divisori di , è {B − A / B divide ,}) .
Si noti la differenza sostanziale (anche se apparentemente sottilissima) fra “divisore di
!” (per l’oss. 4.8.4, ogni elemento di A divide !, e quindi è un divisore di !) e “divisore dello
!” (concetto introdotto nella sez. 4.8).
La “l” è una relazione in A che adesso vogliamo studiare.
M. Barlotti
 appunti di
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Pag. 78
Osservazione 7.6.1
Sia A un anello con unità. La relazione “l” (“divide”) definita in A ponendo
+l,
sse
esiste ; − A tale che , œ + † ;
è riflessiva e transitiva.
Dimostrazione  Poiché per ipotesi A è un anello con unità 1A , per ogni + − A è
+ œ + † 1A
ossia +l+ : dunque la relazione “l” è riflessiva.
Siano ora +, ,, - − A tali che +l, e ,l- ; ciò significa che esiste ;" − A tale che
, œ + † ;" ed esiste ;# − A tale che - œ , † ;# œ (+ † ;" ) † ;# œ + † (;" † ;# ) con ;" † ;# − A,
cosicché +l- : dunque la relazione “l” è transitiva.
Osservazione 7.6.2
Sia A un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero, e sia “l” la relazione
“divide” definita in A ponendo
+l,
sse
esiste ; − A tale che , œ + † ; .
Comunque presi +, , − A, sono fatti equivalenti:
( 3)
+l, e ,l+ ;
(33)
, œ+†2
con 2 − A invertibile ;
(333)
+œ,†5
con 5 − A invertibile .
In particolare, la relazione “l” non è in generale antisimmetrica.
Dimostrazione  Basterà provare che (3) Ê (33), (33) Ê (333) e (333) Ê (3) .
(3) Ê (33) .
Siano +, , − A. Se +l, esiste 2 − A tale che , œ + † 2 e se ,l+ esiste 5 − A tale che
+ œ , † 5 , cosicché
, œ + † 2 œ (, † 5 ) † 2 œ , † (5 † 2 )
da cui
! œ ,  , † (5 † 2 ) œ , † 1A  , † (5 † 2 ) œ , (1A  (5 † 2 )) .
Se , œ !, è anche + œ ! e dunque , œ + † 1A con 1A invertibile. Se , Á !, poiché in A per
ipotesi non ci sono divisori dello zero deve essere
1A  (5 † 2) œ !
ossia
1A œ 5 † 2
( œ 2 † 5 , perché per ipotesi A è un anello commutativo)
cosicché 2 e 5 sono elementi invertibili di A, come si voleva dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 79
(33) Ê (333) .
Poiché 2 è invertibile, esiste 5 − A tale che 25 œ 52 œ 1A . Dalla (33), moltiplicando a
destra ambo i membri per 5 , si ricava allora che
,5 œ (+ † 2) † 5 œ + † (2 † 5 ) œ + † 1A œ +
cioè la (333) .
(333) Ê (3) .
La (333) esprime il fatto che ,l+, quindi dobbiamo soltanto provare che +l, . Poiché 5 è
invertibile, esiste 2 − A tale che 52 œ 1A . Dalla (333), moltiplicando a destra per 2, si ricava
allora che
+2 œ (, † 5 ) † 2 œ , † (5 † 2 ) œ , † 1A œ ,
cioè +l, come si voleva.
Corollario 7.6.3
Siano +, , − ™, con + Á ! e , Á ! . Se +l, e ,l+, si ha + œ „ , .
Dimostrazione  Infatti in ™ gli unici elementi invertibili sono " e  " .
Sia 2 un elemento invertibile di A, e sia 5 − A tale che 25 œ 1A . Per ogni D − A, si ha
D œ D † 1A œ D † (2 † 5 ) œ (D † 2 ) † 5
da cui, ricordando che in A il prodotto è commutativo, si deduce che

ogni elemento invertibile di A divide D ;

ogni prodotto tra D e un elemento invertibile di A divide D .
Se si ottengono così tutti i divisori di D , si dice che D è irriducibile. In altre parole, un
elemento D di A si dice irriducibile se i suoi unici divisori sono gli elementi invertibili di A e i
prodotti fra D stesso e un elemento invertibile di A.
Un elemento + di A si dice riducibile se non è irriducibile, cioè se ha un divisore
. − A che non è invertibile né è il prodotto di + per un elemento invertibile di A. In tal caso
esiste ; − A tale che + œ .; ed è facile dimostrare che anche ; non è invertibile né è il
prodotto di + per un elemento invertibile.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 80
7.7 - Elementi primi negli anelli commutativi con unità privi di divisori dello zero.
Sia A un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero.
Un elemento : di A diverso da ! e da 1A si dice primo quando, comunque presi +,
, − A,
se : divide il prodotto +, e : non divide + allora : divide , .
Teorema 7.7.1
Sia A un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero, e sia : − A, : Á !, 1A .
Se : è primo, allora : è irriducibile.
Dimostrazione  Sia : primo, e mostriamo che : è irriducibile, cioè che ogni divisore
di : è un elemento invertibile di A oppure è il prodotto fra : e un elemento invertibile di A.
Se . è un divisore di :, deve essere
: œ .;
con ; − A.
Poiché : divide : (oss. 7.6.1), ci sono due possibilità:
( 3)
: divide . ;
(33)
: non divide . , quindi : divide ; (perché : è primo).
Se vale la (3), per l’osservazione 7.6.2 esiste un elemento invertibile 2 di A tale che . œ :2, e
non c’è altro da dimostrare. Se vale la (33), poiché per ipotesi ; divide : possiamo ancora
applicare l’osservazione 7.6.2 per concludere che esiste un elemento invertibile 2 di A tale che
; œ :2, cosicché (ricordando che il prodotto in A è commutativo)
: œ .; œ .:2 œ :.2
e quindi
! œ :  :.2 œ :1A  :.2 œ :(1A  .2 ) .
Poiché per ipotesi : Á !, e poiché in A non ci sono divisori dello zero, deve essere
1A  .2 œ !
ossia
.2 œ 1A
cosicché (ricordando che il prodotto in A è commutativo) . è invertibile.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 81
Esempio 7.7.2
Sia X l’insieme dei polinomi nell’indeterminata * a coefficienti in ™ di grado non superiore a
", cosicché gli elementi di X sono della forma
+  ,*
con +, , − ™ .
Definiamo in X un prodotto ponendo
(+  , *)(-  . *) ³ (+-  $,. )  (+.  ,- )*
(si tratta in sostanza dell’usuale prodotto fra polinomi con la particolare convenzione
aggiuntiva che * † * œ  $). Rispetto all’usuale somma fra polinomi e al prodotto così
definito, X è un anello commutativo nel quale il numero intero " è l’unità (si lascia al lettore di
buona volontà e un po’ masochista la semplice ma assai noiosa verifica).
Mostriamo adesso che
( 3)
X non ha divisori dello zero;
(33)
# è irriducibile in X ;
(333)
# non è primo in X .
Questo servirà per convincersi che, in opportuni anelli commutativi con unità privi di divisori
dello zero, esistono elementi irriducibili che non sono primi.
proviamo la (3)
Siano +  ,*, -  . * − X tali che (+  , *)(-  . *) œ ! . Ciò significa, per definizione di
prodotto fra elementi di X , che
+-  $,. œ !
+.  ,- œ ! .
Dalla seconda uguaglianza si ricava che +. œ  ,- . Dalla prima uguaglianza si ricava che
+- œ $,. ; moltiplicando ambo i membri per . e sostituendo  ,- ad +. si trova che
 ,- # œ $,. #
ossia
! œ ,- #  $,. # œ ,(- #  $. # ) .
Se + œ , œ !, +  ,* œ ! e non c’è altro da dimostrare. Se , œ ! e + Á !, dalle prime due
uguaglianze si ricava che - œ . œ !, cosicché -  . * œ ! e non c’è altro da dimostrare.
Possiamo dunque supporre , Á !, cosicché - #  $. # œ !; ma per le note proprietà dei numeri
interi (di fatto, più in generale di tutti i numeri reali) ciò significa che - œ . œ ! e quindi
-  . * œ ! come si voleva.
proviamo la (33)
Sia +  ,* un divisore di # in X ; ciò significa che esiste -  . * − X tale che
# œ (+  ,*)(-  . *) . Dunque, per definizione di prodotto fra elementi di X , deve essere
+-  $,. œ #
+.  ,- œ ! .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 82
Sia $ un divisore comune (in ™) di + e ,, cosicché + œ +" $ e , œ ," $ con +" , ," − ™ . Allora
# œ +-  $,. œ +" $ -  $," $ . œ $(+" -  $," . )
quindi $ œ „ # oppure $ œ „ " .
Se $ œ „ #, la relazione # œ (+  ,*)(-  . *) diventa
# œ (+  , *)(-  . *) œ „ #(+"  ," *)(-  . *)
" œ „ (+"  ," *)(-  . *)
da cui si ricava che
e in particolare che
+ "  ," *
è un elemento invertibile di X e quindi
+  ,* œ „ #(+"  ," *) con +"  ," * invertibile.
Ragionando allo stesso modo su un divisore comune $" di - e . si trova che deve essere
$" œ „ # oppure $" œ „ ", e se $" œ „ # allora +  , * è invertibile.
Resta da valutare la possibilità che sia $ œ „ " e $" œ „ " cosicché
MCD(k+k, k,k) œ MCD(k- k, k. k) œ " .
Poiché +. œ  ,- , e quindi k+kk. k œ k,kk- k, per il teor.7.3.6
 dal fatto che MCD(k+k, k,k) œ " segue che k+k divide k- k e k,k divide k. k ;
 dal fatto che MCD(k- k, k. k) œ " segue che k- k divide k+k e k. k divide k,k .
Dunque (cfr. es. 6.2.2) k+k œ k- k e k,k œ k. k, ossia - œ „ + e . œ „ , .
Se - œ + e . œ , (oppure - œ  + e . œ  , ), l’uguaglianza +.  ,- œ ! diventa
„ #+, œ !
cosicché + œ ! oppure , œ ! .
Non può essere + œ !, perché la +-  $,. œ # diventerebbe  $, # œ #, assurdo; ma non
può essere nemmeno , œ !, perché la +-  $,. œ # diventerebbe +# œ #, ancora assurdo.
Se invece - œ  + e . œ , (oppure - œ + e . œ  , ), l’uguaglianza +-  $,. œ #
diventa  +#  $,# œ # (ma sappiamo che ciò è impossibile) oppure +#  $, # œ #, e
ricordando che +, , − ™ anche questa uguaglianza è impossibile.
proviamo la (333)
Si ha
("  *) † ("  *) œ % œ # † #
dunque # divide ("  *) † ("  *); ma # non divide né "  * né "  *, cosicché # non è
primo.
Se fosse infatti
" „ * œ # † (+  ,*) œ #+  #, *
con +  , * − X
dovrebbe essere #+ œ " con + − ™, assurdo perché # non è invertibile in ™ .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Esempio 7.7.3
Sia X l’insieme dei polinomi nell’indeterminata * a coefficienti in ™ di grado non superiore a
", con l’usuale somma fra polinomi e il prodotto definito nell’esempio 7.7.2:
(+  ,*)(-  . *) ³ (+-  $,. )  (+.  ,- )* .
Abbiamo visto (nel citato esempio 7.7.2) che rispetto a ali operazioni X è un anello
commutativo provo di divisori dello zero nel quale il numero intero " è l’unità. Mostriamo
adesso che gli unici elementi invertibili di X sono " e  " .
Sia +  ,* un elemento invertibile di X ; ciò significa che esiste -  . * − X tale che
(+  ,*)(-  . *) œ " . Dunque, per definizione di prodotto fra elementi di X , deve essere
+-  $,. œ "
+.  ,- œ ! .
Sia $ un divisore comune (in ™) di + e ,, cosicché + œ +" $ e , œ ," $ con +" , ," − ™ . Allora
" œ +-  $,. œ +" $ -  $," $ . œ $(+" -  $," . )
quindi $ œ „ " e MCD(k+k, k,k) œ " . Poiché +. œ  ,- , e quindi k+kk. k œ k,kk- k, per il
teor.7.3.6 k+k divide k- k e k,k divide k. k .
Ragionando allo stesso modo su - e . si trova che MCD(k- k, k. k) œ " e quindi k- k divide k+k e
k. k divide k,k . Dunque (cfr. es. 6.2.2) k+k œ k- k e k,k œ k. k, ossia - œ „ + e . œ „ , .
Se - œ + e . œ , (oppure - œ  + e . œ  , ), l’uguaglianza +.  ,- œ ! diventa
„ #+, œ !
cosicché + œ ! oppure , œ ! .
Non può essere + œ !, perché la +-  $,. œ " diventerebbe  $, # œ ", assurdo. Dunque
, œ !, e la +-  $,. œ " diventa +# œ " e in conclusione +  , * œ „ " .
Se invece - œ  + e . œ , (oppure - œ + e . œ  , ), l’uguaglianza +-  $,. œ "
diventa  +#  $,# œ " (ma sappiamo che ciò è impossibile) oppure +#  $, # œ ", e
ricordando che +, , − ™ può solo essere , œ ! e +# œ ", cioè ancora una volta +  , * œ „ " .
7.8 - Numeri primi in .
Le definizioni di “numero irriducibile” e “numero primo” che abbiamo introdotto
rispettivamente nelle sez. 7.6 e 7.7 per il generico anello commutativo con unità privo di
divisori dello zero si ripetono formalmente identiche per i numeri naturali maggiori di " .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 84
Sia : − \{!, "} . Si dice che : è irriducibile quando
gli unici numeri naturali che dividono : sono " e : .
Sia : − \{!, "} . Si dice che : è primo quando, comunque presi +, , − ,
se : divide il prodotto +, e : non divide + allora : divide , .
Esempio 7.8.1
Il numero naturale ' non è primo, perché (scelti + ³ # e , ³ *)
' divide il prodotto # † * ( œ ")) e ' non divide #, ma ' non divide nemmeno * .
Teorema 7.8.2
Sia : − \{!, "} . Sono fatti equivalenti:
( 3)
: è primo;
(33)
: è irriducibile.
Dimostrazione  (3) Ê (33).
Se : è un numero primo, vogliamo provare che gli unici divisori di : sono " e : . Sia dunque 8
un divisore di : e dimostriamo che 8 œ " oppure 8 œ : . Poiché 8 è divisore di : si ha che
: œ 82 con 2 −  (e anche 2 è un divisore di :) . Se : divide 8 allora 8 œ : (per la proprietà
antisimmetrica della relazione “divide”); se invece : non divide 8, poiché : divide il prodotto
82 (e poiché : è primo) necessariamente : divide 2, e quindi : œ 2 (ancora per la proprietà
antisimmetrica della relazione “divide”); in questo caso 8 œ ", e l’asserto è comunque
provato.
(33) Ê (3).
Sia : irriducibile, e supponiamo che : divida il prodotto +, (con +, , − ) ma non divida +.
Allora MCD(:, +) œ " (l’unico altro divisore di :, cioè : stesso, per ipotesi non divide +), e
dunque per il teorema 7.3.6 : divide , , come si voleva.
Lemma 7.8.3
Siano :, ;" , ;# , ..., ;= numeri primi. Se : divide il prodotto ;" ;# ... ;= , esiste 3 − {", #, ..., =} tale
che : œ ;3 .
Dimostrazione  Procediamo per induzione su = . Se = œ ", non c’è niente da
dimostrare. Supponiamo vero il teorema per = e dimostriamolo per =  " .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"
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Pag. 85
Supponiamo che : divida il prodotto ;" ;# ... ;=" .
Se : divide ;" , deve essere : œ ;" ; infatti ;" è primo e quindi (per il teorema 7.8.2) non
ha altri divisori che " e ;" , ma : Á " perché : è primo. Se : non divide ;" , poiché : divide il
prodotto fra ;" e ;# ;$ ... ;=" , per definizione di numero primo deve dividere ;# ;$ ... ;=" ; ma
questi sono = numeri primi, e per l’ipotesi di induzione : deve coincidere con uno di essi.
Teorema 7.8.4 (“Teorema fondamentale dell’aritmetica”)
Ogni numero naturale (tranne ! e ") si può esprimere come prodotto di numeri primi
(eventualmente uno solo), e tale espressione è unica (a meno dell’ordine).
Dimostrazione  Proviamo, procedendo per induzione su 8, che
(*) ogni numero naturale # e Ÿ 8 si può esprimere come prodotto di numeri primi
(eventualmente uno solo).
Il primo valore di 8 per cui provare la (*) è # . Se 8 œ #, l’unico numero naturale da
considerare è # ; poiché # è irriducibile (e quindi è primo, per il teorema 7.8.2) la (*) è vera per
8 œ #.
Ora supponiamo di aver provato la (*) per 8, e proviamola per 8  " . Tutti i numeri
# e Ÿ 8 si possono esprimere come prodotto di numeri primi (eventualmente uno solo) per
l’ipotesi di induzione; resta da considerare 8  " . Se 8  " è primo, non c’è altro da provare;
se 8  " non è primo, per il teorema 7.8.2 ha un divisore + diverso da " e da 8  ", cioè
8  " œ +,
con + Á ", 8  " e quindi necessariamente anche , Á 1, 8  ". In particolare, sia + che , sono
# e Ÿ 8, quindi per l’ipotesi di induzione ciascuno di essi si può esprimere come prodotto
di numeri primi (eventualmente uno solo); di conseguenza anche +, si può esprimere come
prodotto di numeri primi.
Proviamo infine, procedendo per induzione su 8, che
(°) ogni numero naturale # e Ÿ 8 si può esprimere in un solo modo come prodotto
di numeri primi.
Osserviamo preliminarmente che ogni numero primo (per il teorema 7.8.2) non si può
esprimere come prodotto di numeri primi diversi da lui.
Il primo valore di 8 per cui provare la (°) è # . Se 8 œ #, l’unico numero naturale da
considerare è # ; poiché # è primo, la (°) è vera per 8 œ # .
Ora supponiamo di aver provato la (°) per 8, e proviamola per 8  " . Tutti i numeri
# e Ÿ 8 si possono esprimere in un solo modo (a meno dell’ordine) come prodotto di
numeri primi per l’ipotesi di induzione; resta da considerare 8  " . Se 8  " è primo, non c’è
altro da provare; sia allora 8  " œ :" :# ...:2 œ ;" ;# ...;5 con 2, 5 # e i :3 e i ;4 numeri primi.
Poiché il numero primo :" divide il prodotto ;" ;# ... ;5 , :" deve coincidere con uno dei ;4 ;
riordinandoli, possiamo supporre che sia :" œ ;" . Allora :# :$ ...:2 œ ;# ;$ ...;5 Ÿ 8, quindi per
l’ipotesi di induzione 2  " œ 5  " e :# , :$ , ..., :2 coincidono con ;# , ;$ , ..., ;2 a meno
dell’ordine. Dunque la (°) è provata per 8  " e con essa il teorema.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 86
Esercizio 7.8.5
Esprimere come prodotto di numeri primi i seguenti numeri naturali:
$! !$" ; $!& '"$ ; &"! &"" à ##$ '*$
Lemma 7.8.6
Sia 8 − \{!, "} . Se 8 non è un numero primo, ha un divisore non superiore a È8 .
Dimostrazione  Se 8 non è un numero primo, per il teorema 7.8.2 8 non è
irriducibile e quindi si può scrivere
8 œ +,
con +, , Á ", 8. Se + e , fossero entrambi strettamente maggiori di È8 , si avrebbe la
contraddizione
8 œ +,  È8 † È8 œ 8
dunque almeno uno dei divisori di 8 è Ÿ È8 .
Osservazione 7.8.7 (il “crivello di Eratostene”)
Sia 8 −  . Un efficiente algoritmo per ottenere tutti i numeri primi compresi tra # e 8 è
dovuto al matematico libico (ma di cultura greca) Eratostene (Cirene, 280 a.C.  Alessandria
195 a.C.).
(3) sia _ ³ {B −  Î # Ÿ B Ÿ 8} ;
(33) si ponga : ³ # ;
(333) si ripeta
si cancellino da _ tutti i multipli di : (eccetto : stesso), e sia : il primo numero
rimasto in _ dopo : (nell’usuale ordinamento Ÿ di ) ;
si ponga : ³ : ;
finché : È8 .
Ad ogni iterazione del ciclo descritto in (333), : risulta irriducibile (e quindi primo, per il
teorema 7.8.2) perché non è multiplo di nessun numero che lo precede nell’usuale
ordinamento Ÿ di  . L’algoritmo termina quando : È8 per il lemma 7.8.6 .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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v. #.*"
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Pag. 87
Teorema 7.8.8
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione  Procediamo per assurdo. Se esistessero soltanto = numeri primi :" ,
:# , ..., := , il numero
:" † : # † á † : =  "
non si potrebbe esprimere come prodotto di numeri primi, perché il resto della sua divisione
euclidea per ciascuno dei numeri :" , :# , ..., := è " . Ma ciò contraddirebbe il “teorema
fondamentale dell’aritmetica” (7.8.4).
Osservazione 7.8.9
Se :" , :# , ..., := sono numeri primi, il numero :" :# ...:=  " non è in generale primo. Ad
esempio, & e ( sono numeri primi, ma & † (  " œ $' e $' non è un numero primo.
Osservazione 7.8.10
Per ogni 8 − , si possono facilmente trovare 8 numeri naturali consecutivi nessuno dei quali
è primo: basta considerare (8  ")!  #, (8  ")!  $, (8  ")!  %, á , (8  ")!  8  "
(cfr. esempio 3.9.6) . Il 4  simo di questi numeri è infatti divisibile per 4  ".
Osservazione 7.8.11
Sono numeri primi




"" ;
" """ """ """ """ """ """ ;
"" """ """ """ """ """ """ """ ;
"11á á á 11" ;
ðóóóóóñóóóóóò
$"( cifre
 ðóóóóóñóóóóóò
"11á á á 11" ;
" !$" cifre
Non è noto se esistano altri numeri primi che si scrivano (16) usando soltanto la cifra ".
Esercizio 7.8.12
Sia 8 un numero primo che si scrive Ð17Ñ ripetendo 5 volte la cifra ". Si dimostri che 5 è un
numero primo.
16
Naturalmente ci riferiamo a una scrittura “in base "!”. Questo concetto sarà chiarito nella sez. 9.6.
17
in qualunque base (si veda, ancora una volta, la sez. 9.6)
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 88
7.9 - Numeri primi “di Fermat”.
Il giurista francese Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17.8.1601 – Castres,
12.1.1665) era un grande appassionato di matematica, e fra le altre cose si dedicò allo studio
dei numeri primi che si possono scrivere nella forma #5  " con 5 − .
Osserviamo preliminarmente che: se #5  " (con 5 − ) è irriducibile, 5 non può avere
divisori dispari maggiori di " (e quindi 5 deve essere della forma #8 con 8 − ).
Lemma 7.9.1
Sia 5 −  . Se 5 œ .2 con . numero naturale dispari maggiore di ", #5  " non è irriducibile.
Dimostrazione  Infatti se . è un numero naturale dispari maggiore di " si ha
#.2  " œ a#2 b  " œ a#2  "bˆa#2 b
.
."
 a# 2 b
.#
 á  #2  " ‰ .
Sia 8 −  . Si dice numero di Fermat relativo a 8 il numero
8
F8 ³ ##  " .
Avendo osservato che F! , F" , F# , F$ e F% sono primi, Fermat congetturò che tutti gli F8
fossero primi. In realtà si ha che
F! œ #"  " œ $,
F" œ ##  " œ &,
F# œ #%  " œ "(,
F$ œ #)  " œ #&(
e
F% œ #"'  " œ '& &$(
sono davvero tutti numeri primi, ma
F& œ #$#  " œ % #*% *'( #*(
è divisibile per '%", e finora non si è trovato nessun altro numero di Fermat che risulti primo.
M. Barlotti
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7.10 - Numeri primi “di Mersenne”.
Il monaco francese Marin Mersenne (Oizé-in-Maine, 8.9.1588  Parigi, 1.9.1648) si
dedicò allo studio dei numeri primi della forma #5  ", che in suo onore sono detti “di
Mersenne”.
Osserviamo preliminarmente che: se #5  " (con 5 − ) è irriducibile, 5 deve essere a
sua volta irriducibile.
Lemma 7.10.1
Sia 5 −  . Se 5 œ +, con "  +, ,  5 , #5  " non è irriducibile.
Dimostrazione  Infatti se +  " e ,  5 si ha
#+,  " œ a#+ b,  " œ a#+  "bˆa#+ b,"  a#+ b,#  á  #+  "‰ .
Esistono numeri irriducibili : per i quali #:  " non è irriducibile: ad esempio, per
: ³ "" si ha #""  " œ #!%( œ #$ † )* .
È però nota una caratterizzazione dei numeri primi : per i quali #:  " è un numero
primo:
Teorema 7.10.2 (François Lucas  Derrick Lehmer)
Sia S8 la successione di numeri naturali definita ricorsivamente per 8 # dalle condizioni
S# ³ % ;
S8" ³ S#8  # Þ
Per ogni numero primo :  #, #:  " è un numero primo se e soltanto se #:  " divide S: .
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Si noti che
##  " œ $ è un numero primo ma non divide S# .
Osservazione 7.10.3
Vale la pena di osservare che la successione S8 definita nel teorema 7.10.2 cresce molto
velocemente, quindi il criterio espresso dal teorema non è di facile applicazione.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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Pag. 90
7.11 - Numeri perfetti.
Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma dei propri divisori diversi
da lui. Ad esempio, sono numeri perfetti: 6 ( œ "  #  $) e 28 ( œ "  #  %  (  "%).
Si noti che $ non è un numero perfetto.
Si ignora se esistano numeri perfetti dispari. I numeri perfetti pari sono invece
completamente caratterizzati dal seguente risultato:
Teorema 7.11.1
I numeri perfetti pari sono tutti e soli i numeri naturali della forma
#8" (#8  ")
con
#8  " numero primo.
Dimostrazione  Proviamo in primo luogo che ogni numero naturale ! della forma
! ³ #8" (#8  ")
con
#8  " numero primo
è un numero perfetto.
Posto : ³ #8  ", dalla definizione di “numero primo” (sez. 7.8) segue subito che gli
unici divisori primi di ! sono # e : ; pertanto i divisori di ! sono
", #, ## , 2$ , á , #8# , #8" , :, #:, ## :, 2$ :, á , #8# :, #8" :
e, in particolare, i divisori propri di ! sono
", #, ## , 2$ , á , #8# , #8" , :, #:, ## :, 2$ :, á , #8# : .
La loro somma è
8#
8"
8#
2.4.4Ñ
!#5  !a#5 :b œ !#5  : † !#5 Ðesempio
œ
8"
5œ!
5œ!
5œ!
5œ!
œ a#8  "b  : † !#5 œ :  : † !#5 œ :Œ"  !#5 
8#
5œ!
8#
5œ!
8#
Ðesempio 2.4.4Ñ
œ
: † #8" œ !
5œ!
quindi ! è un numero perfetto.
Viceversa, sia ! un numero perfetto pari; per il teorema fondamentale dell’aritmetica
(teor. 7.8.4) sarà
! œ #8" .
con . dispari.
Osserviamo subito che

8  ", perché ! è pari;

.  ", perché #8" non è un numero perfetto; infatti #8" œ "  !#5 (ancora
e
8#
5œ!
in base all’esempio 2.4.4) e dunque #8" non è un numero perfetto.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Se . è un numero primo, i divisori propri di ! sono
", #, ## , 2$ , á , #8# , #8" , . , #. , ## . , 2$ . , á , #8# .
e poiché per ipotesi ! è un numero perfetto sarà
#8" . œ ! œ !#5  . Œ!#5  œ #8"  !#5  . Œ!#5  œ
8"
8#
8#
8#
5œ!
5œ!
5œ!
5œ!
œ #8"  Œ!#5 ("  . )
8#
Ðesempio 2.4.4Ñ
œ
#8"  (#8"  ")("  . ) œ
5œ!
œ #8"  #8"  #8" .  "  .
da cui
! œ #8"  #8"  "  . œ # † #8"  "  . œ #8  "  .
e infine
. œ #8  "
cosicché ! è della forma desiderata.
Resta da mostrare che se . non è un numero primo si giunge ad un assurdo.
Se . non è un numero primo, indichiamo con
." ( œ "), .# , .$ , á , .> (> #)
i divisori propri di . ; allora i divisori propri di ! sono
",
.# ,
.$ ,
á,
.> ,
.,
#,
#.# ,
#.$ ,
á,
#.> ,
#. ,
## ,
## . # ,
## . $ ,
á,
## .> ,
## . ,
2$ ,
2$ .# ,
2$ .$ ,
á,
2$ .> ,
2$ . ,
#8# ,
#8# .# ,
#8# .$ ,
á,
#8# .> ,
#8# . .
á,
á,
á,
á,
á,
á,
#8" ,
#8" .# ,
#8" .$ ,
á,
#8" .> ,
La loro somma (raggruppando per colonne le prime > righe, e raggruppando a sé l’ultima riga)
è
!.5  # † Œ!.5   ## † Œ!.5   #$ † Œ!.5   á  #8" † Œ!.5   . Œ!#5  œ
>
>
>
5œ"
5œ"
5œ"
>
5œ"
œ Œ!#5 Œ!.5   . Œ!#5 
8"
>
8#
5œ!
5œ"
5œ!
>
8#
5œ"
5œ!
8"
Poiché per ipotesi ! ( œ # . ) è un numero perfetto, questa somma deve valere #8" . , cioè
(tenendo ancora una volta conto dell’esempio 2.4.4)
5
5
5
5
Œ!# Œ!.5   . Œ!#  œ ŒŒ!#   ". œ . Œ!#   .
da cui
8"
>
8#
8#
8#
5œ!
5œ"
5œ!
5œ!
5œ!
Œ!# Œ!.5  œ . .
8"
>
5
5œ!
5œ"
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 92
Ma questo significa in particolare che
! .5
>
è un divisore proprio di
.
5œ"
cioè è uno dei .5 : e questo è un assurdo, come si voleva.
Esercizio 7.11.2
Sia 8 un numero perfetto, e siano ." , .# , á , .5 tutti i divisori di 8 (incluso 8). Si dimostri che
"
."

"
.#
á 
"
.5
œ #.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 93
8.- RETICOLI
8.1 - Definizione.
Sia L un insieme, e sia £ una relazione di ordine in L (cfr. 6.2) .
Si dice che L è un reticolo rispetto a £ , oppure (più correttamente!) che l’insieme
ordinato (L, £ ) è un reticolo (in inglese: lattice), se
8.1.R1
comunque presi B, C − L , esistono in L sup ÖB, C× e inf ÖB, C× (cfr. 6.7 e 6.8) .
Esempi
Sono esempi di reticoli:
8.1.1 Qualunque insieme in cui sia data una relazione di ordine totale, rispetto ad essa (quindi
ad esempio , ™,  rispetto all’usuale relazione Ÿ ). Si tratta però di esempi banali, perché in
tutti questi casi sup ÖB, C× è uno dei due elementi B, C e inf ÖB, C× è l’altro.
8.1.2 L’insieme  rispetto alla relazione l (“divide”, cfr. esempio 6.2.2). In questo caso, sup
ÖB, C× è il minimo comune multiplo fra B e C , e inf ÖB, C× è il massimo comun divisore fra B e
C.
8.1.3 Se I è un qualsiasi insieme (non vuoto), l’insieme c (I) dei sottoinsiemi di I rispetto alla
relazione © (di “inclusione”, cfr. esempio 6.2.3). In questo caso, sup ÖB, C× œ B  C , e
inf ÖB, C× œ B  C .
8.2 - Unione e intersezione in un reticolo.
Ricordiamo che, in conseguenza del teorema 6.4.1, se esistono l’estremo superiore e
l’estremo inferiore di un sottoinsieme essi sono unici (lo si è già osservato in 6.7 e 6.8).
Dunque, se (L, £ ) è un reticolo restano definite in L due operazioni come segue:
B ” C ³ sup ÖB, C× ;
B • C ³ inf ÖB, C× .
La ” si dice unione (in caso di ambiguità: unione reticolare), e la • si dice
intersezione (in caso di ambiguità: intersezione reticolare). Si noti che nell’esempio 8.1.3 le
operazioni ” e • coincidono proprio con l’usuale unione tra insiemi  e l’usuale
intersezione tra insiemi  .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Lemma 8.2.1
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite in L .
Comunque presi B, C , D − L,
( 3)
se
B£C
(33)
se
B £ (C • D ),
(333)
se
B£D
(3@)
se
(B ” C ) £ D ,
e
e
B £ D,
allora
C £ D,
allora
allora
B£C
allora
B£D
B £ (C • D ) ;
e
B £ D;
(B ” C ) £ D ;
e
C £ D.
Dimostrazione  Proviamo la (3) : se B £ C
inferiore per ÖC, D× e dunque B £ inf ÖC , D× œ C • D .
e
B £ D,
B
è una limitazione
Proviamo la (33) : poiché C • D è in particolare una limitazione inferiore per ÖC , D×, si
ha che (C • D ) £ C e (C • D ) £ D ; dalla proprietà transitiva di £ segue l’asserto.
Proviamo la (333) : se B £ D
dunque B ” C œ sup ÖB, C× £ D .
e C £ D , D è una limitazione superiore per ÖC , B× e
Proviamo infine la (3@) : poiché B ” C è in particolare una limitazione superiore per
ÖB, C×, si ha che B £ (B ” C ) e C £ (B ” C ) ; dalla proprietà transitiva di £ segue
l’asserto.
Lemma 8.2.2
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite in L .
Comunque presi B, C , D − L, sono fatti equivalenti:
( 3)
B £ C;
(33)
B • C œ B;
(333)
B”C œ C.
Dimostrazione 
(3) Í (33) Se B £ C l’insieme ÖB, C× è totalmente ordinato e ha minimo B ; tale
minimo è anche estremo inferiore (per il teorema 6.8.1) e dunque B • C œ B ; viceversa, se
B • C œ B allora B è l’estremo inferiore dell’insieme ÖB, C×, dunque in particolare è una
limitazione inferiore per l’insieme ÖB, C×: ne segue che B £ C .
(3) Í (333) Se B £ C l’insieme ÖB, C× è totalmente ordinato e ha massimo B ; tale
massimo è anche estremo superiore (per il teorema 6.7.1) e dunque B ” C œ C ; viceversa, se
B ” C œ C allora C è l’estremo superiore dell’insieme ÖB, C×, dunque in particolare è una
limitazione superiore per l’insieme ÖB, C×: ne segue che B £ C .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Teorema 8.2.3
Sia (L, £ ) un reticolo. Le operazioni ” e • definite in L godono delle seguenti proprietà:
( 3)
(idempotenza) B • B œ B e B ” B œ B,
aB − L ;
(33)
(propr. commutativa) B • C œ C • B e B ” C œ C ” B,
aB, C − L ;
(333) (propr. associativa)
(B • C) • D œ B • ÐC • D ) e (B ” C ) ” D œ B ” (C ” D ),
aB, C − L ;
(3@) (legge di assorbimento) (B • C ) ” B œ B e (B ” C ) • B œ B,
aB, C − L .
Dimostrazione 
La (3) è immediata perché B è sia il minimo che il massimo (dunque, per i teoremi
6.7.1 e 6.8.1, sia l’estremo inferiore che l’estremo superiore) per l’insieme ÖB× .
Anche la (33) è immediata, perché ÖB, C× œ ÖC , B× aB, C − L .
Proviamo la (333) per l’operazione • lasciando per esercizio la dimostrazione (del
tutto analoga) relativa all’operazione ” . Poniamo, per fissare le idee, 2 ³ (B • C ) • D e
5 ³ B • ÐC • D ) . Poiché 2 £ 2 , per la (33) del lemma 8.2.1 deve essere 2 £ (B • C ) (da cui
ancora 2 £ B e 2 £ C) e 2 £ D : dunque 2 £ B, 2 £ C e 2 £ D ; per la (3) del lemma 8.2.1
deve essere allora 2 £ (C • D ) e infine 2 £ B • (C • D ) œ 5 . Viceversa, poiché 5 £ 5 , per la
(33) del lemma 8.2.1 deve essere 5 £ B e 5 £ (C • D ) (da cui ancora 5 £ C e 5 £ D ): dunque
5 £ B, 5 £ C e 5 £ D ; per la (3) del lemma 8.2.1 deve essere allora 5 £ (B • C ) e infine
5 £ (B • C ) • D œ 2 . Abbiamo così provato che 2 £ 5 e 5 £ 2 , cosicché (per la proprietà
antisimmetrica) 2 œ 5 come si voleva dimostrare.
Infine, poiché B • C £ B, la prima delle (3@) segue immediatamente dal lemma 8.2.2;
e, poiché B £ B ” C , la seconda delle (3@) segue (dalla proprietà commutativa e) dal lemma
8.2.2.
8.3 - Una definizione alternativa di “reticolo”.
Le operazioni • e ” e le loro proprietà (3), (33), (333) e (3@) espresse nell’enunciato
del teorema 8.2.3 caratterizzano completamente un reticolo. In questa sezione dimostriamo
infatti che: se in un insieme L sono definite due operazioni • e ” idempotenti, commutative,
associative e assorbenti, a partire da esse si può definire in L una relazione di ordine £ tale
che
( 3)
(L, £ ) è un reticolo;
(33)
sup ÖB, C× œ B ” C e inf ÖB, C× œ B • C
aB, C − L .
Teorema 8.3.1
Sia L un insieme, e siano • , ” operazioni in L tali che
(idempotenza)
(propr. commutativa)
(propr. associativa)
(legge di assorbimento)
B • B œ B e B ” B œ B,
aB − L ;
B • C œ C • B e B ” C œ C ” B,
aB, C − L ;
(B • C) • D œ B • ÐC • D ) e (B ” C ) ” D œ B ” (C ” D ), aB, C , D − L ;
( B • C ) ” B œ B e (B ” C ) • B œ B ,
aB, C − L .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 96
Allora si ha
(*)
B • C œ B se e soltanto se B ” C œ C
aB, C − L ;
Inoltre, posto
(°)
B £ C se e soltanto se B • C œ B
aB, C − L
si ha che
( 3)
la £ è una relazione di ordine in L
(33)
comunque presi B, C − L, esistono inf ÖB, C× e sup ÖB, C× e si ha
inf ÖB, C× œ B • C ,
sup ÖB, C× œ B ” C .
Dimostrazione 
Proviamo in primo luogo la (*). Siano B, C − L . Se B • C œ B, allora, tenendo conto
della proprietà commutativa di • , per la legge di assorbimento
B ” C œ (B • C ) ” C œ (C • B) ” C œ C .
Se, viceversa, B ” C œ C , allo stesso modo si ha che
B • C œ B • (B ” C ) œ (B ” C ) • B œ B .
Adesso proviamo che la relazione £ definita mediante la (°) è una relazione di ordine
in L . È riflessiva per l’idempotenza di • e antisimmetrica per la commutatività di • ; se poi
B £ C (cioè B • C œ B) e C £ D (cioè C • D œ C ), si ha (ricordando la proprietà associativa)
B • D œ (B • C ) • D œ B • (C • D ) œ B • C œ B
e dunque B £ D , cosicché vale anche la proprietà transitiva.
Proviamo ora che, comunque presi B, C − L, ÖB, C× ha estremo inferiore e
inf ÖB, C× œ B • C .
Per la legge di assorbimento si ha che (B • C) ” B œ B e (tenendo conto anche della
proprietà commutativa) (B • C) ” C œ C; dunque (B • C ) £ B e (B • C ) £ C , cosicché B • C è
una limitazione inferiore per ÖB, C× . Se D è una qualsiasi limitazione inferiore per ÖB, C×,
deve essere D £ B (ossia D • B œ D ) e D £ C (ossia D • C œ D ), cosicché
D • (B • C ) œ (D • B) • C œ D • C œ D
ossia D £ (B • C ); dunque B • C è la massima limitazione inferiore di ÖB, C×, come si voleva
dimostrare.
Proviamo infine che, comunque presi B, C − L, ÖB, C× ha estremo superiore e
sup ÖB, C× œ B ” C .
Per la legge di assorbimento (e la proprietà commutativa) si ha che B • (B ” C ) œ B e
C • (B ” C ) œ C ; dunque B £ (B ” C ) e C £ (B ” C ), cosicché B ” C è una limitazione
superiore per ÖB, C× . Se D è una qualsiasi limitazione superiore per ÖB, C×, deve essere B £ D
(ossia B ” D œ D ) e C £ D (ossia C ” D œ D ), cosicché
(B ” C ) ” D œ B ” (C ” D ) œ B ” D œ D
ossia (B ” C) £ D ; dunque B ” C è la minima limitazione superiore di ÖB, C×, come si voleva
dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 97
8.4 - Complementi in un reticolo.
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite
in L .
Teorema 8.4.1
Sia (L, £ ) un reticolo. Se in L c’è un elemento minimale, esso è il minimo di L . Se in L c’è
un elemento massimale, esso è il massimo di L .
Dimostrazione  Sia 7 un elemento minimale di L (cfr. sez. 6.5) ; proviamo che 7 è
il minimo di L . Se B è un elemento di L, è B • 7 £ 7 (per definizione di • ) e dunque
7 • B œ 7 (perché 7 è un elemento minimale di L); dunque 7 £ B (per la (3) del teorema).
Ciò prova che 7 è il minimo di L .
In modo del tutto analogo si prova che: se in L c’è un elemento massimale, esso è il
massimo di L ; questa dimostrazione si lascia per esercizio.
In questa sezione supporremo che L abbia minimo ! e massimo " .
Osservazione 8.4.2
Benché l’uso di ! e " per indicare rispettivamente il minimo e il massimo di un reticolo sia
abbastanza standard, ci sono occasioni in cui può essere fuorviante. Il reticolo ricordato
nell’esempio 8.1.2 ha minimo e massimo, ma il suo minimo è il numero naturale " e il suo
massimo è il numero naturale !.
Sia B − L . Si dice complemento di B un elemento B- − L tale che sia
B • B- œ !
e
B ” B- œ " .
Osservazione 8.4.3
Gli elementi ! e " hanno sempre uno e un solo complemento (rispettivamente " e !).
Esempio 8.4.4
Nel reticolo definito in  dalla relazione “divide” (cfr. esempio 8.1.2) nessun elemento (tranne
il minimo e il massimo) ha complemento.
Esempio 8.4.5
Sia I un insieme non vuoto. Nel reticolo definito in c (I) dalla relazione di inclusione (cfr.
esempio 8.1.3) il minimo è g, il massimo è I, e ogni elemento ha per complemento il suo
complementare (in senso insiemistico) rispetto a I .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Esempio 8.4.6
Sia L ³ Ö!, B, C, D , "× e sia £ la relazione in L definita ponendo
! £ !, ! £ B, ! £ C, ! £ D , ! £ ", B £ B, B £ ", C £ C, C £ ", D £ D , D £ ", " £ ".
Ognuno dei tre elementi B, C , D ha per complemento ciascuno degli altri due.
8.5 - Distributività.
Teorema 8.5.1
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite in L .
Sono fatti equivalenti:
( 3)
B • (C ” D ) œ (B • C ) ” (B • D )
aB, C , D − L ;
(33)
B ” (C • D ) œ (B ” C ) • (B ” D )
aB, C , D − L .
In altri termini: in un reticolo, • è distributiva rispetto a ” se e soltanto se ” è distributiva
rispetto a • .
Dimostrazione  (3) Ê (33):
Ð3Ñ
(B ” C) • (B ” D ) œ ((B ” C ) • B) ” ((B ” C ) • D )
Ðcomm.Ñ
œ
Ðidemp.Ñ
œ
Ðidemp.Ñ
œ
Ð3Ñ
B ” (D • (B ” C )) œ B ” ((D • B) ” (D • C ))
B ” (D • C )
Ðcomm.Ñ
œ
Ðassoc.Ñ
œ
B ” ((B ” C ) • D )
Ðcomm.Ñ
œ
(B ” (D • B)) ” (D • C )
Ðidemp.Ñ
œ
B ” (C • D ) .
(33) Ê (3):
Ð33Ñ
(B • C) ” (B • D ) œ ((B • C ) ” B) • ((B • C ) ” D )
Ðcomm.Ñ
œ
Ðidemp.Ñ
œ
Ð33Ñ
Ðidemp.Ñ
B • (D ” (B • C )) œ B • ((D ” B) • (D ” C ))
B • (D ” C )
Ðcomm.Ñ
œ
B • (C ” D ) .
œ
Ðassoc.Ñ
œ
B • ((B • C ) ” D )
Ðcomm.Ñ
œ
(B • (D ” B)) • (D ” C )
Ðidemp.Ñ
œ
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 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 99
Un reticolo si dice distributivo se in esso valgono le (3) e (33) del teorema 8.5.1.
Teorema 8.5.2
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite in L .
Comunque presi B, C , D − L, si ha:
( 3)
(B • C ) ” (B • D ) £ B • (C ” D ) ;
(33)
B ” (C • D ) £ (B ” C ) • (B ” D ) .
Dimostrazione  Proviamo la (3) . Per definizione di • , (B • C ) £ B e (B • C ) £ C ;
per definizione di ” , C £ (C ” D ) . Per la proprietà transitiva di £ , (B • C ) £ (C ” D ) . Per
la (3) del lemma 8.2.1, (B • C) £ B • (C ” D ) .
Analogamente, per definizione di • si ha che (B • D ) £ B e (B • D ) £ D ; per
definizione di ” , D £ (C ” D ) . Per la proprietà transitiva di £ , (B • D ) £ (C ” D ) . Per la (3)
del lemma 8.2.1, (B • D ) £ B • (C ” D ) . Infine, per la (333) del lemma 8.2.1,
(B • C) ” (B • D ) £ B • (C ” D )
cioè la (3) .
Proviamo adesso la (33) . Per definizione di ” , B £ B ” C
per la (3) del lemma 8.2.1 si ha che B £ (B ” C ) • (B ” D ) .
e B £ B ” D : dunque,
Per definizione di • , C • D £ C ; per definizione di ” , C £ B ” C : per la proprietà
transitiva di £ , C • D £ B ” C . Analogamente, per definizione di • , C • D £ D ; per
definizione di ” , D £ B ” D : per la proprietà transitiva di £ , C • D £ B ” D . Applicando
ancora una volta la (3) del lemma 8.2.1, si ottiene che C • D £ (B ” C) • (B ” D ) . Infine, per
la (333) del lemma 8.2.1,
B ” (C • D ) £ (B ” C ) • (B ” D )
cioè la (33) .
Teorema 8.5.3
Sia (L, £ ) un reticolo, e siano • , ” le operazioni di intersezione e unione definite in L .
Sono fatti equivalenti:
(+ )
(, )
(- )
B • (C ” D ) £ (B • C ) ” (B • D ) ;
(B ” C ) • (B ” D ) £ B ” (C • D ) ;
(L, £ ) è un reticolo distributivo.
Dimostrazione  Se vale la (+), per la (3) del teorema 8.5.2 vale la (3) del teorema
8.5.1; ma allora vale anche la (33) del teorema 8.5.1 e quindi vale la (,) .
Se vale la (,), per la (33) del teorema 8.5.2 vale la (33) del teorema 8.5.1; ma allora vale
anche la (3) del teorema 8.5.1 e quindi vale la (- ) .
Se vale la (- ), per definizione vale la (3) del teorema 8.5.1 e quindi vale la (+) .
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 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 100
Teorema 8.5.4
Sia (L, £ ) un reticolo distributivo con minimo ! e massimo ", e siano • , ” le operazioni
di intersezione e unione definite in L . Ogni elemento di L ha al più un complemento.
Dimostrazione  Sia B − L ; supponiamo che C e D siano entrambi complementi di B,
e dimostriamo che C œ D .
Per ipotesi, C ” B œ " , B • C œ ! (perché C è complemento di B), D ” B œ " ,
B • D œ ! (perché D è complemento di B) . Allora
D œ D ” ! œ D ” (B • C ) œ (D ” B) • (D ” C ) œ " • (D ” C ) œ D ” C
ossia C £ D . Analogamente
C œ C ” ! œ C ” (B • D ) œ (C ” B) • (C ” D ) œ " • (C ” D ) œ C ” D
ossia D £ C . Dunque (per la proprietà antisimmetrica) C œ D , come si voleva dimostrare.
Si dice algebra di Boole un reticolo distributivo nel quale ogni elemento ha
(esattamente un) complemento.
Teorema 8.5.5
Sia (B, £ ) un’algebra di Boole con minimo ! e massimo ", e siano • , ” le operazioni di
intersezione e unione definite in B . Valgono le cosiddette leggi di De Morgan:
( 3)
( B ” C ) - œ B- • C - ;
(33)
( B • C ) - œ B- ” C - .
Dimostrazione  Proviamo la (3); la dimostrazione della (33) è del tutto analoga, e si
lascia per esercizio.
Per provare la (3), dobbiamo verificare che
(B ” C) • (B- • C - ) œ !
e
(B ” C ) ” (B- • C - ) œ " .
In effetti,
(B ” C) • (B- • C - )
Ðassoc. e commut.Ñ
œ
Ðdistribut.Ñ
œ
(B • (B- • C - )) ” (C • (B- • C - ))
Ðassoc. e commut.Ñ
œ
((B • B- ) • C - ) ” ((C • C - ) • B- ) œ (! • C - ) ” (! • B- ) œ
œ !”!œ !
e allo stesso modo
(B ” C) ” (B- • C - )
Ðassoc. e commut.Ñ
œ
œ " • " œ ".
Ðdistribut.Ñ
œ
((B ” C ) ” B- ) • ((B ” C ) ” C - )
Ðassoc. e commut.Ñ
œ
((B ” B- ) ” C ) • (B ” (C ” C - )) œ (" ” C ) • (B ” ") œ
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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9.- RELAZIONI DI EQUIVALENZA
9.1 - Definizione.
Sia A un insieme.
Una relazione in A riflessiva, simmetrica e transitiva si dice una relazione di
equivalenza in A .
Esempi
Sono esempi di relazioni di equivalenza:
9.1.1 La relazione di “equiscomponibilità” nell’insieme dei poligoni piani.
9.1.2 La relazione di “similitudine” nell’insieme delle figure piane.
9.1.3 La relazione di “parallelismo” nell’insieme delle rette del piano, definita come segue:
due rette sono parallele sse coincidono oppure non hanno punti in comune.
9.1.4 In ogni insieme A, la relazione (di “misantropia”?) che ad ogni elemento di A associa
lui stesso e nessun altro (cioè: se +, , − A, + è in relazione con , sse + œ ,).
9.1.5 In ogni insieme A, la relazione (di “amore universale”?) che ad ogni elemento di A
associa tutti gli elementi di A (cioè: comunque si prendano +, , − A, + è in relazione con ,).
Esempio 9.1.6
Sia Y l’insieme delle frazioni Ð18Ñ. La relazione 4 in Y definita ponendo per +, , .- − Y
+
, 4 . sse +. œ ,è una relazione di equivalenza. Infatti:
4 è riflessiva: +, 4 +, per ogni +, − Y , perché +, œ ,+ (propr. commutat. del prodotto);
4 è simmetrica: +, 4 .- Ê .- 4 +, , perché Ð+. œ ,-Ñ Ê Ð-, œ .+Ñ;
4 è transitiva: sia infatti +, 4 .- e .- 4 0/ , cioè +. œ ,- e -0 œ ./; dalla prima
uguaglianza segue +.0 œ ,-0 e da qui, tenendo conto della seconda, +.0 œ ,./; dividendo
infine ambo i membri per . (che è diverso da ! per ipotesi) si deduce che +0 œ ,/ ossia che
+
/
, 4 0 come si voleva.
18 Ricordiamo che si dice frazione una coppia ordinata (cfr. 1.5) di numeri interi in cui la seconda
componente sia diversa da !; si conviene di scrivere +, anziche´ (+, , ).
M. Barlotti
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9.2 - Classi di equivalenza.
Siano A un insieme e µ una relazione di equivalenza in A .
Se + − A, si dice classe di µ  equivalenza di + (o anche, quando ciò non dia luogo
ad equivoci, classe di equivalenza di +) il sottoinsieme [+] di A definito come segue:
[+] œ ÖB − A / + µ B×.
Osservazione 9.2.1
Per ogni + − A, si ha + − [+].
Dimostrazione  Infatti + µ +, perché µ è riflessiva.
Osservazione 9.2.2
Comunque presi +, , − A, si ha [+] œ [,] se e solo se + µ , .
Dimostrazione  Se [+] œ [,], poiché , − [, ] (per 9.2.1) si ha , − [+] e dunque + µ ,
(per definizione di [+]).
Viceversa, sia + µ ,; dobbiamo provare che [+] § [,] e che [, ] § [+] .
Sia B − [+]; allora + µ B . Ma , µ + (perché + µ , per ipotesi, e µ è simmetrica) e dunque
, µ B (perché µ è transitiva), cioè B − [,]. Per l’arbitrarietà di B in [+], si è provato che
[+] § [,].
Sia ora B − [,]; allora , µ B . Poiché + µ , per ipotesi, e poiché µ è transitiva, si ha + µ B,
cioè B − [+]. Per l’arbitrarietà di B in [,], si è così anche provato che [,] § [+] e dunque che
[+] œ [,] .
Osservazione 9.2.3
Sia + − A . Per ogni B − [+], è [B] œ [+].
Dimostrazione  Per definizione di [+], se B − [+] è + µ B ; dunque [+] œ [B] per
l’osservazione 9.2.2.
Sia + − A . Per ogni B − [+], si dice che B rappresenta [+], o anche che B è un
rappresentante di [+]. Ciò è giustificato da quanto si è visto nell’osservazione 9.2.3.
M. Barlotti
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Osservazione 9.2.4
Comunque presi +, , − A, se [+] Á [,] è [+]  [, ] œ g.
Dimostrazione  Sia [+] Á [,]. Procediamo per assurdo, supponendo che esista
B − [+]  [,]. In tal caso + µ B (perché B − [+]) e , µ B (perché B − [,]); per 9.2.2 si ha
allora [+] œ [B] œ [,], contro l’ipotesi.
Osservazione 9.2.5
L’insieme delle classi di equivalenza di A è una partizione di A.
Dimostrazione  Le classi di equivalenza sono a due a due disgiunte per 9.2.4; per
9.2.1 esse sono non vuote e la loro unione è A.
9.3 - Insieme quoziente.
Siano A un insieme e µ una relazione di equivalenza in A .
L’insieme delle classi di µ  equivalenza di A si dice insieme quoziente di A rispetto
A
A
a µ , e si indica con µ
. La funzione (suriettiva) 1 : A Ä µ
che ad ogni elemento di A
A
associa la sua classe di equivalenza si dice proiezione canonica di A su µ
.
Se µ mette in relazione tra loro gli elementi di A che hanno in comune una certa
proprietà astratta, l’insieme quoziente rappresenta intuitivamente l’insieme di tali proprietà
astratte, e la proiezione canonica associa ad ogni elemento di A la specifica proprietà che gli è
pertinente. Vediamo meglio in che senso ciò avviene, riesaminando gli esempi già considerati
in 9.1.
9.3.1
Sia A l’insieme dei poligoni del piano, e sia µ la relazione di equiscomponibilità.
La proprietà astratta comune a una classe di poligoni equiscomponibili è la “superficie”(19):
tale concetto, in effetti, può essere definito per i poligoni appunto per questa via. La
A
proiezione canonica A Ä µ
associa a ogni poligono la sua superficie.
19
Non si confonda la nozione di “superficie” con quella di “area” (un numero reale che esprime la
“misura” della superficie secondo una teoria matematica niente affatto elementare).
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9.3.2
Sia A l’insieme delle figure piane, e sia µ la relazione di similitudine.
La proprietà astratta comune a una classe di figure piane simili è la “forma”. Nell’insieme
A
quoziente µ
troviamo elementi che rappresentano i concetti di “triangolo equilatero”,
“quadrato”, “cerchio”, ecc.
9.3.3
Sia A l’insieme delle rette del piano, e sia µ la relazione di parallelismo definita in 9.1.3.
L’insieme quoziente
A
µ
si dice insieme delle direzioni.
9.3.4
Sia A un insieme, e sia µ la relazione di “misantropia” definita in 9.1.4.
L’insieme quoziente è (in corrispondenza biunivoca con) A .
9.3.5
Sia A un insieme, e sia µ la relazione definita in 9.1.5.
L’insieme quoziente è ÖA×.
9.3.6
Sia Y l’insieme delle frazioni, e sia 4 la relazione definita in 9.1.6.
L’insieme quoziente Y4 è (in corrispondenza biunivoca con) . In effetti, i numeri razionali si
definiscono appunto con questo procedimento a partire dall’insieme ™ degli interi.
La proiezione canonica associa a ogni frazione il numero razionale che essa rappresenta.
M. Barlotti
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Pag. 105
9.4 - Le classi di resto.
In tutta la sezione 9.4 supporremo fissato un numero intero positivo 8.
Siano +, , − ™; si dice che + è congruo , modulo 8 e si scrive
+ ´ , Ðmod 8Ñ
sse Ðb5 − ™ÑÐ+  , œ 58Ñ, ossia sse +  , è multiplo di 8.
Si è così definita una relazione in ™, detta “congruenza modulo 8”. Tale relazione è
stata studiata fin dall’antichità: sono celebri le opere in proposito del matematico ellenista
?+ò:!/7 96 , che abbiamo già citato nella sez. 7.4.
Teorema 9.4.1
La congruenza modulo 8 è una relazione di equivalenza in ™.
Dimostrazione  In primo luogo, la congruenza modulo 8 è riflessiva, ossia
+ ´ + Ðmod 8)
per ogni + − ™.
Infatti, +  + œ ! † 8 con ! − ™.
Inoltre, la congruenza modulo 8 è simmetrica: siano +, , − ™ tali che + ´ , Ðmod 8)
e proviamo che , ´ + Ðmod 8). In effetti, se + ´ , Ðmod 8) esiste 5 − ™ tale che
+  , œ 58; ma allora ,  + œ Ð  5 )8 con  5 − ™, e dunque , ´ + Ðmod 8).
Infine, la congruenza modulo 8 è transitiva: siano +, , , - − ™ tali che + ´ , Ðmod 8)
e , ´ - Ðmod 8), e proviamo che + ´ - Ðmod 8). In effetti, se + ´ , Ðmod 8) esiste
5" − ™ tale che +  , œ 5" 8; se , ´ - Ðmod 8) esiste 5# − ™ tale che ,  - œ 5# 8; ma allora
+  - œ (+  , )  (,  - ) œ 5"8  5#8 œ (5"  5#Ñ † 8
con 5"  5# − ™, e dunque + ´ - Ðmod 8).
Per quanto provato nel teorema 9.4.1, se + ´ , Ðmod 8) si può dire che +, , sono
congrui modulo 8 senza porre attenzione all’ordine in cui si citano + e ,.
Esercizio 9.4.2
Trovare due numeri interi che sono congrui modulo & ma non sono congrui modulo "!.
Esistono due numeri interi che siano congrui modulo "! ma non siano congrui modulo &?
M. Barlotti
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Pag. 106
Teorema 9.4.3
Sia + − ™, e sia < il resto della divisione euclidea di + per 8. Allora + ´ < Ðmod 8).
Dimostrazione  Per la nozione di “divisione euclidea” estesa al caso in cui il
dividendo appartiene a ™ e il divisore appartiene a ™ (cfr. teorema 7.2.5), esiste ; − ™ tale
che
+ œ ;8  <
e dunque +  < œ ;8 con ; − ™, da cui l’asserto.
Le classi di equivalenza rispetto alla relazione di congruenza modulo 8 si dicono classi
di resto modulo 8. L’insieme delle classi di resto modulo 8 (cioè l’insieme quoziente di ™
rispetto alla relazione di congruenza modulo 8) si indica con ™8 .
Teorema 9.4.4
L’insieme ™8 ha 8 elementi, precisamente: [!], ["], á , [8  "].
Dimostrazione  Per il teorema 9.4.3, ogni numero intero appartiene a una delle
classi [!], ["], á , [8  "]. Resta da provare che tali classi sono tutte distinte.
Se fosse [3] œ [4] con ! Ÿ 3  4  8, per l’osservazione 9.2.2 sarebbe 3 ´ 4 Ðmod 8) ossia
esisterebbe 5 − ™ tale che 4  3 œ 58.
Ma 4  3  ! (perché 4  3) e 4  3  8 (perché 4  8 e 3 !), dunque 4  3 non può
essere multiplo di 8. Abbiamo così ottenuto una contraddizione; ne segue che le classi
[!], ["], á , [8  "] sono tutte distinte, come si voleva.
Esercizio 9.4.5
Si deduca dai teoremi 9.4.3 e 9.4.4 che due numeri interi +, , sono congrui modulo 8 se e solo
se la divisione euclidea di + per 8 e la divisione euclidea di , per 8 danno lo stesso resto.
Esercizio 9.4.6
Si studi la congruenza modulo ", la congruenza modulo #, la congruenza modulo $, la
congruenza modulo "!, la congruenza modulo "# e la congruenza modulo #%; in particolare,
per ciascuna di tali relazioni si scrivano esplicitamente le classi di resto e si precisi come
opera la proiezione canonica.
M. Barlotti
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Pag. 107
9.5 - L’anello ™8 .
In tutta la sezione 9.5 supporremo fissato un numero intero positivo 8.
Definiamo nell’insieme ™8 (cfr. 9.4) due operazioni: le indicheremo con “  ” e “ † ”, e
le chiameremo rispettivamente somma e prodotto. Se [+], [,] − ™8 , poniamo
[+]  [,] ³ [+  ,]
[+] † [,] ³ [+ † ,].
e
Si noti che con lo stesso simbolo “  ” abbiamo indicato a sinistra l’operazione che
stiamo definendo in ™8 e a destra la ben nota operazione di somma in ™; analogamente per il
´ spesso si omette, proprio come in ™). Ciò usualmente non dà
simbolo “ † ” (che, per di piu,
luogo ad ambiguità né a confusione. Di fatto, per come abbiamo definito la somma e il
prodotto in ™8 , la proiezione canonica (cfr. sez. 9.3) risulta immediatamente essere un
omomorfismo tra l’anello ™ e l’anello ™8 (cfr. sez. 4.8).
Si noti inoltre che abbiamo definito la “somma” (e il “prodotto”) di due classi di resto
mediante la somma (o, rispettivamente, il prodotto) dei loro rappresentanti: poiché tali
rappresentanti non sono univocamente determinati, è importante assicurarsi che la definizione
sia “ben posta”, ossia dipenda solo dalle classi considerate e non dai rappresentanti scelti in
esse (cfr. l’esempio 3.4.1 e, più avanti, l’esempio 9.5.2). Ciò avviene mediante il
Teorema 9.5.1
Siano +, ,, +’, ,’ − ™. Se [+] œ [+’] e [, ] œ [, ’], allora [+  , ] œ [+’  , ’] e [+, ] œ [+’, ’].
Dimostrazione  Per l’osservazione 9.2.2, se [+] œ [+’] e [,] œ [,’] deve essere
+ ´ +’ Ðmod 8)
, ´ , ’ Ðmod 8),
e
ossia devono esistere 2, 5 − ™ tali che
+  +’ œ 28
e
,  , ’ œ 58.
Allora
Ð+  ,Ñ  Ð+’  , ’Ñ œ Ð+  +’Ñ  Ð,  , ’Ñ œ 28  58 œ Ð2  5Ñ8
e dunque
+  , ´ +’  , ’ Ðmod 8)
ossia, ancora per l’osservazione 9.2.2, [+  ,] œ [+’  , ’] come si voleva dimostrare.
Inoltre,
+,  +’,’ œ +,  +, ’  +, ’  +’, ’ œ +Ð,  , ’Ñ  , ’Ð+  + ’Ñ œ +58  , ’28 œ Ð+5  , ’2Ñ8
e dunque
+, ´ +’,’ Ðmod 8)
ossia, ancora per l’osservazione 9.2.2, [+,] œ [+’,’] come si voleva dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 108
Esempio 9.5.2
Sia 8 œ $.
Si ha [#] œ [&], tuttavia [## ] œ ["] Á [#] œ [#& ]. Non sarebbe dunque possibile definire,
analogamente a come si è fatto per somma e prodotto, un “elevamento a potenza” in ™8
ponendo [+][,] ³ [+, ].
Analogamente, per 8 œ &, si ha [$] œ [)], tuttavia [#$ ] œ [)] œ [$] Á ["] œ [#&'] œ [#) ].
Esempio 9.5.3
Sia 8 œ '.
Si ha [#] † [$] œ [# † $] œ ['] œ [!], cioè gli elementi [#] e [$] di ™' sono divisori dello zero
(cfr. sez. 4.8). Dunque in ™' non vale la legge di annullamento del prodotto.
Esempio 9.5.4
Sia 8 œ %.
Si ha [#] † [#] œ [# † #] œ [%] œ [!]; dunque in ™% l’elemento [#] Á ! ha per quadrato !. In
particolare, l’elemento [#] di ™% è un divisore dello zero; e in ™% non vale la legge di
annullamento del prodotto.
Esempio 9.5.5
Sia 8 œ $.
Il polinomio B$  [#]B si annulla per ogni elemento di ™$ , ma non è il polinomio nullo.
Esempio 9.5.6
Sia 8 œ '.
Si ha [%] œ [%] † [%] œ [%] † [%] † [%] œ [%] † [%] † á [%].
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 109
Esercizio 9.5.7
Sia 8 œ '.
Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in ™' nell’incognita B:
[$] † B œ [#];
[%] † B œ [#];
[&] † B œ ["];
B# œ [#];
B#  ["] œ [!];
[$] † B œ [$];
[%] † B œ [$];
[&] † B œ [#];
B# œ [$];
B#  [#] œ [!];
B&  [$] † B%  B$  [$] † B#  [%] † B œ [!].
Esercizio 9.5.8
Sia 8 œ (.
Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in ™( nell’incognita B:
[$] † B œ [#];
[%] † B œ [$];
[&] † B œ ["];
[&] † B œ [#];
B# œ [#];
B# œ [$];
B#  ["] œ [!].
9.6 - La notazione posizionale in base “dieci” e in altre basi.
Come “si chiamano” i numeri naturali? Come si indicano, oltre che col loro nome?
In base agli assiomi di Peano, c’è un numero che si chiama “zero”; inoltre, ogni
numero ha un successivo, e questo ci permette di assegnare nomi ad altri numeri: si decide
così di chiamare “uno” il successivo di “zero”, “due” il successivo di “uno”, ecc. ecc. . Questi
nomi dipendono dalla lingua che si usa: “zero”, “uno”, “due” sono nomi di numeri nella lingua
italiana ma non nella lingua tedesca o in altre lingue.
Per superare le barriere linguistiche, ma anche per poter utilizzare efficaci algoritmi di
calcolo, è comodo indicare i numeri naturali con opportuni simboli grafici: è ad esempio
pressoché universale l’uso dei simboli “!” e “"” per indicare rispettivamente i numeri “zero” e
“uno” .
In questa sezione descriviamo la cosiddetta notazione posizionale per i numeri
naturali: si tratta di una convenzione (straordinariamente efficace per lo sviluppo di algoritmi
di calcolo) che dipende da un numero naturale , fissato, detto base, e consente di esprimere
qualsiasi numero naturale mediante l’uso (eventualmente ripetuto) di al più , simboli. La più
diffusa, e comunque quella adottata ovunque in questi appunti, è la notazione posizionale in
base “dieci”, chiamata anche notazione decimale ; ma nel mondo scientifico sono utilizzate
altre notazioni posizionali: quella in base “due” (detta anche binaria), e quella in base “sedici”
(detta anche esadecimale) .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 110
Teorema 9.6.1
Sia , un numero naturale maggiore di " .
(3) Per ogni 8 −  esistono 5 , -! , -" , á , -5 −  tali che
(*)
8 œ -5 ,5  -5" ,5"  á  -" ,  -!
con
0 Ÿ -3  , e -5 Á 0 se 5  ! ;
(33) Se vale la (*), detto ;4 il quoziente della divisione euclidea di 8 per ,4 , -4 è il resto
della divisione euclidea di ;4 per ,, per 4 ³ ", á , 5 .
In particolare, i numeri naturali 5 , -! , -" , á , -5 per i quali vale la (*) sono univocamente
determinati da 8 e da ,Þ
Dimostrazione Proviamo la (3) per induzione su 8, applicando il teorema 2.5.2 . Se 8  , si può
prendere 5 ³ ! e -! ³ 8; supponiamo dunque che la (3) valga per ogni numero naturale
8  8 e proviamola per 8 . Come si è osservato, possiamo supporre che sia 8 ,; sia allora
(per il teorema 7.2.1)
8 œ ;,  -!
con
! Ÿ -!  , .
Poiché ,  ", è ;  8 e dunque applicando a ; l’ipotesi di induzione devono esistere 5 , -" , -# ,
á , -5 −  tali che
; œ -5 ,5"  -5" ,5#  á  -# ,  -"
con
0 Ÿ -3  , e -5 Á 0 se 5  "  ! ;
allora è immediato che
8 œ ;,  -! œ a-5 ,5"  -5" ,5#  á  -# ,  -" b,  -! œ
œ -5 ,5  -5" ,5"  á  -" ,  -!
con
0 Ÿ -3  , e -5 Á 0 se 5  !
cioè la (*), come si voleva.
Per provare la (33), basta scrivere la (*) nella forma
8 œ a-5 ,54  -5" ,54"  á  -4" ,  -4 b, 4  -4" , 4"  á  -" ,  -!
e osservare che
 il quoziente della divisione euclidea di 8 per ,4 è
-5 ,54  -5" ,54"  á  -4" ,  -4
(bisogna soltanto provare che -4" ,4"  á  -" ,  -!  , 4 , e lo si lascia per esercizio: si
tenga presente che i -= sono tutti numeri naturali strettamente minori di ,, e si proceda per
induzione su 4);
 il resto della divisione euclidea di tale quoziente per , è -4 .
M. Barlotti
 appunti di
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Pag. 111
Sia , un numero naturale maggiore di 1 . Sia 8 un numero naturale, e sia
8 œ !- 3 , 3
5
con 0 Ÿ -3  , (cfr. teor. 9.6.1) ..
3œ!
I numeri -! , -" , á , -5 si dicono le cifre della rappresentazione di 8 in base , .
Per scrivere effettivamente i numeri naturali si scelgono innanzitutto dei simboli
grafici per indicare quelli minori di , . È convenzione ormai diffusa utilizzare i simboli
!, ", #, $, %, &, ', (, ), *, E, F , G , H, I , J
per indicare, nell’ordine, i numeri naturali da “zero” a “quindici” (di questi, come si è già
detto, si usano solo i primi ,) .
Se è 8 œ !-3 ,3 con 0 Ÿ -3  , , la notazione posizionale in base , di 8 consiste nello
5
3œ!
scrivere in sequenza i simboli che rappresentano (nell’ordine) le cifre -5 , -5" , á , -" , -! . Se 8
è diverso da “zero”, si scelgono inoltre -5 , á , -! in modo che sia -5 Á ! ; mentre, come si è
già detto, il numero “zero” si indica col simbolo !.
Esempio 9.6.2
Sia , ³ “dieci”. Si ha
“quattromilacinquecentosei” œ “quattro” † ,“></”  “cinque” † ,“.?/”  “zero” † ,  “sei” ;
pertanto “quattro”, “cinque”, “zero” e “sei” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione
in base “dieci” di “quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la
scrittura “%&!'” .
Queste cifre si determinano facilmente mediante la (33) del teorema 9.6.1. Infatti
quattromilacinquecentosei œ quattrocentocinquanta † dieci  sei ;
quattrocentocinquanta œ quarantacinque † dieci  zero ;
quarantacinque œ quattro † dieci  cinque ;
quattro œ zero † dieci  quattro.
Sia , ³ “due”. Si ha
“quattromilacinquecentosei” œ
œ “uno” † ,
 “zero” † ,“?8.3-3”  “uno” † , “.3/-3”  “uno” † , “89@/” 
“9>>9”
 “uno” † ,
 “uno” † ,“=/>>/”  “zero” † , “=/3”  “zero” † , “-38;?/” 
 “uno” † ,“;?+>><9”  “uno” † ,“></”  “zero” † , “.?/”  “uno” † ,  “zero” ;
pertanto “uno”, “zero”, “uno”, “uno”, “uno”, “uno”, “zero”, “zero”, “uno”, “uno”, “zero”,
“uno” e “zero” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione in base “due” di
“quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la scrittura
“"!""""!!""!"!” .
“.9.3-3”
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 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 112
Queste cifre si determinano facilmente mediante la (33) del teorema 9.6.1. Infatti
quattromilacinquecentosei œ duemiladuecentocinquantatré † due  zero ;
duemiladuecentocinquantatré œ millecentoventisei † due  uno ;
millecentoventisei œ cinquecentosessantatré † due  zero ;
cinquecentosessantatré œ duaecentoottantuno † due  uno ;
duecentotottantuno œ centoquaranta † due  uno ;
centoquaranta œ settanta † due  zero ;
settanta œ trentacinque † due  zero ;
trentacinque œ diciassette † due  uno ;
diciassette œ otto † due  uno ;
otto œ quattro † due  uno ;
quattro œ due † due  uno ;
due œ uno † due  zero ;
uno œ zero † due  uno .
Sia , ³ “otto”. Si ha
“quattromilacinquecentosei” œ “uno” † , “;?+>><9”  “zero” † , “></”  “sei” † , “.?/”  “tre” † ,  “due” ;
pertanto “uno”, “zero”, “sei”, “tre” e “due” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione
in base “otto” di “quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la
scrittura “"!'$#” .
Queste cifre si determinano facilmente mediante la (33) del teorema 9.6.1. Infatti
quattromilacinquecentosei œ cinquecentosessantatré † otto  due ;
cinquecentosessantatré œ settanta † otto  tre ;
settanta œ otto † otto+sei ;
otto œ uno † otto  zero ;
uno œ zero † due  " .
Sia , ³ “sedici”. Si ha
“quattromilacinquecentosei” œ “uno” † ,“></”  “uno” † ,“.?/”  “nove” † ,  “dieci” ;
pertanto “uno”, “uno”, “nove” e “dieci” sono (nell’ordine) le cifre della rappresentazione in
base 16 di “quattromilacinquecentosei”, che quindi in tale base si indica appunto con la
scrittura “""*E” .
Queste cifre si determinano facilmente mediante la (33) del teorema 9.6.1. Infatti
quattromilacinquecentosei œ duecentoottantuno † sedici  dieci ;
duecentoottantuno œ diciassette † sedici  nove ;
diciassette œ uno † sedici  uno ;
uno œ zero † sedici  uno .
Esempio 9.6.3
Sia , œ “dieci”. Allora:
“nove” si scrive * ; “dieci” si scrive "! ; “trentuno” si scrive $" ; “trentasette” si scrive $( .
Sia , œ “due”. Allora:
“nove” si scrive "!!" ; “dieci” si scrive "!"! ; “trentuno” si scrive """"" ; “trentasette” si
scrive "!!"!" .
Sia , œ “otto”. Allora:
“nove” si scrive "" ; “dieci” si scrive "# ; “trentuno” si scrive $( ; “trentasette” si scrive %& .
Sia , œ “sedici”. Allora:
“nove” si scrive * ; “dieci” si scrive E ; “trentuno” si scrive "J ; “trentasette” si scrive #& .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"
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Pag. 113
9.7 - I criteri di divisibilità per i numeri interi.
Come applicazione della teoria sviluppata nella sez. 9.5, dimostriamo i classici criteri
di divisibilità per i numeri interi.
In tutta questa sezione, indichiamo con 7 un numero intero e con 8 un numero intero
positivo. Ci proponiamo di stabilire condizioni necessarie e sufficienti affinché 7 sia
divisibile per 8, ossia (cfr. teorema 9.4.3 ed esercizio 9.4.5) affinché si abbia
7 ´ ! Ðmod 8).
Poiché numeri opposti hanno gli stessi divisori, possiamo supporre che sia 7  !.
I nostri criteri faranno riferimento alle cifre della rappresentazione posizionale di 7 in
base "! (cfr. sez. 9.6); sia dunque
7 œ -5 † "!5  -5" † "!5"  á  -$ † "!$  -# † "!#  -" † "!  -! .
Per ogni numero intero +, indicheremo con [+] la classe di resto modulo 8 a cui
appartiene +; possiamo scrivere
Ð æÑ
[7] œ [-5 ] † ["!]5  [-5" ] † ["!]5"  á  [-$ ] † ["!]$  [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ].
Teorema 9.7.1
Sia -! l’ultima cifra di 7. Si ha
7 ´ -! Ðmod #)
7 ´ -! Ðmod &)
e
7 ´ -! Ðmod "!).
Pertanto: 7 è divisibile per # sse l’ultima cifra di 7 è !, #, %, ' oppure ); 7 è divisibile per &
sse l’ultima cifra di 7 è ! oppure &; 7 è divisibile per "! sse l’ultima cifra di 7 è !.
Dimostrazione  Se 8 œ # oppure 8 œ & oppure 8 œ "!, è ["!] œ [!] e quindi
dalla ÐæÑ si ricava che
[7] œ [-! ]
ossia (cfr. osservazione 9.2.2)
7 ´ -! Ðmod 8).
Le uniche cifre divisibili per # sono !, #, %, ' e ); le uniche cifre divisibili per & sono !
e &; e l’unica cifra divisibile per "! è !. L’asserto è così completamente provato.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Teorema 9.7.2
Siano -# , -" e -! le ultime tre cifre di 7. Si ha
7 ´ -" † ["!]  -! Ðmod %)
7 ´ -# † ["!]#  -" † ["!]  -! Ðmod )).
e
Pertanto: 7 è divisibile per % sse è divisibile per % il numero formato dalle ultime due cifre di
7; 7 è divisibile per ) sse è divisibile per ) il numero formato dalle ultime tre cifre di 7.
Dimostrazione  Dalla ÐæÑ si ricava che
[7] œ [2! ] † ["!!!]  [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ] œ
œ [2" ] † ["!!]  [-" ] † ["!]  [-! ].
Se 8 œ ), è ["!!!] œ [!] e quindi
[7] œ [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ];
Se 8 œ %, è ["!!] œ [!] e quindi
[7] œ [-" ] † ["!]  [-! ]
come si voleva.
Teorema 9.7.3
Sia 7 un numero intero, e siano -5 , -5" á , -# , -" e -! le cifre di 7. Si ha
7 ´ (-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod $)
e
7 ´ (-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod *)
Pertanto: 7 è divisibile per $ [risp.: per *Ó sse è divisibile per $ [risp.: per *] la somma delle
sue cifre.
Dimostrazione  Se 8 œ $ oppure 8 œ *, è ["!] œ ["] e quindi dalla ÐæÑ si ricava
che
[7] œ [-5 ] † ["]5  [-5" ] † ["]5"  á  [-# ] † ["]#  [-" ] † ["]  [-! ] œ
œ [-5 ]  [-5" ]  á  [-# ]  [-" ]  [-! ] œ [-5  -5"  á  -#  -"  -! ].
Dall’osservazione 9.2.2 segue l’asserto.
Osservazione 9.7.4
Sia 8 œ *.
Per il teorema 9.5.11, se + œ ,  - allora è anche [+] œ [, ]  [- ]; se + œ ,  - allora è
anche [+] œ [,]  [- ]; se + œ , † - allora è anche [+] œ [,] † [- ]; se + œ ,;  < allora è
anche [+] œ [,][; ]  [<]. Attenzione: non vale il viceversa!
Il teorema 9.7.3 giustifica la cosiddetta “prova del *” per la somma, la sottrazione, la
moltiplicazione e la divisione euclidea.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Esercizio 9.7.5
Sia 8 œ *.
Si trovino dei numeri interi +, , e - tali che + Á ,;  < ma [+] œ [, ][; ]  [<], mostrando
così che la “prova del *” fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente per l’esattezza
del calcolo.
Esercizio 9.7.6
Si enunci una “prova del $” analoga a quella “del *”. Si può enunciare analogamente una
“prova del #” ? E una “prova dell’ )” ? E una “prova del "!” ? E una “prova del '” ?
Perché la più diffusa è la “prova del *” ?
Teorema 9.7.7
Siano -5 , -5" , á , -# , -" e -! le cifre di 7, e supponiamo 5 pari (ponendo -5 ³ ! qualora 7
abbia un numero pari di cifre). Si ha
7 ´ Ð-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod "")
ossia
7 ´ Ð-5  -5#  á  -#  -! Ñ  Ð-5"  -5$  á  -" Ñ Ðmod ""Ñ.
Pertanto: 7 è divisibile per "" sse è divisibile per "" la differenza tra la somma delle sue cifre
“di posto dispari” e la somma delle sue cifre “di posto pari”.
Dimostrazione  Se 8 œ "" si ha ["!] œ  ["], da cui (per il teorema 9.5.11)
["!]2 œ  ["]
se 2 è dispari
e
["!]2 œ ["]
se 2 è pari.
Ancora per il teorema 9.5.11, e ricordando che abbiamo scelto -5 in modo che 5 sia
pari, dalla ÐæÑ si ricava che
[7] œ [-5 ] † ["]5  [-5" ] † Ð  ["]Ñ  á  [-# ] † ["]  [-" ] † Ð  ["]Ñ  [-! ] œ
œ [-5 ]  [-5" ]  á  [-# ]  [-" ]  [-! ] œ [-5  -5"  á  -#  -"  -! ].
Dall’osservazione 9.2.2 segue l’asserto.
Esercizio 9.7.8
Si enunci una “prova dell’""” analoga a quella “del *”, discutendone in raffronto vantaggi e
svantaggi
Esercizio 9.7.9
È un utile (e facile) esercizio la riformulazione dei criteri di divisibilità visti in questa sezione
con riferimento a basi diverse dalla base dieci (cfr. sez. 9.6). Si enuncino e dimostrino i criteri
di divisibilità per due, tre, quattro, sei, undici, dodici e tredici quando il numero da dividere è
scritto in base dodiciÞ Si enuncino e dimostrino i criteri di divisibilità per due, quattro, sette,
otto e nove quando il numero da dividere è scritto in base otto.
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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10.- ALCUNE EQUAZIONI IN ™8
In tutto il capitolo 10 supporremo fissato un numero intero positivo 8  ", e per ogni
z − ™ indicheremo con [z] la classe di resto modulo 8 a cui appartiene z.
10.1 - Equazioni di primo grado in ™8 .
Chi avesse provato a risolvere (procedendo per tentativi, come era ragionevole fare
visti i pochi elementi coinvolti) gli esercizi 9.5.7 e 9.5.8 si dovrebbe essere accorto che
l’anello ™8 presenta situazioni piuttosto diverse rispetto all’anello ™, del quale peraltro è
immagine mediante un omomorfismo fra anelli (come si è osservato nella sez. 9.5). Alcune di
queste situazioni possono essere facilmente descritte, ed è ciò che faremo in questo capitolo.
Iniziamo osservando che la risoluzione delle equazioni di primo grado in ™8 può essere
facilmente affrontata applicando le tecniche studiate nella sez. 7.4.
Teorema 10.1.1
Siano +, ,, 8 − ™ , e sia $ ³ MCD(+, 8). L’equazione
[+] B œ [,]
ha soluzione in ™8 se e soltanto se $ divide ,.
In tal caso essa ha esattamente $ soluzioni in ™8 , della forma B ³ [B!  2 8$ ] dove 2
varia in ™ tra ! e $  " e (B! , C! ) è una qualsiasi soluzione in ™ dell’equazione diofantina
+B  8C œ , .
Dimostrazione  Posto B ³ [B], per come si è definito il prodotto in ™8 si ha
[+]B œ [,] (cioè [+][B] œ [,] ) se e soltanto se [+B] œ [,], ossia (per l’oss. 9.2.2) se e
soltanto se +B ´ , (mod 8); ciò equivale a chiedere che esista C − ™ tale che +B  , œ 8C
ossia tale che
+B  8C œ , .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Questa è un’equazione diofantina le cui soluzioni differiscono da quelle di
+B  8C œ ,
soltanto per il segno della C. Poiché a noi interessa soltanto la B possiamo considerare
quest’ultima equazione: per quanto osservato sopra, dunque, [B! ] è soluzione di [+]B œ [,] se
e soltanto se esiste C! − ™ tale che (B! , C! ) è soluzione di +B  8C œ , .
Possiamo applicare adesso i teoremi 7.4.1 e 7.4.4: dal primo deduciamo che l’equazione data
ha soluzione in ™8 se e soltanto se $ divide ,; dal secondo, che se (B! , C! ) è una soluzione
dell’equazione
+B  8C œ , ,
tutte le soluzioni di tale equazione in ™ ‚ ™ sono della forma B ³ B!  2 8$ , C ³ C!  2
al variare di 2 − ™ e dunque tutte le soluzioni in ™8 di [+]B œ [,] sono della forma
B ³ [B!  2
8
$
+
$
]
al variare di 2 in ™. Resta solo da osservare che per 2 ³ !, ", á , $  " i numeri della
forma B!  2 8$ danno luogo a $ classi di resto a due a due distinte, mentre per ogni altro
valore intero di 2 si ottiene nuovamente una di tali classi di resto.
10.2 - Divisori dello zero ed elementi invertibili in ™8 .
Come si è osservato negli esempi 9.5.3 e 9.5.4, in generale negli anelli ™8 non vale la
legge di annullamento del prodotto, cioè esistono divisori dello zero. D’altro lato, chi avesse
provato a svolgere (per tentativi) gli esercizi 9.5.7 e 9.5.8 si sarebbe accorto che, sempre in
generale, nell’anello ™8 molti elementi hanno l’inverso (ossia il simmetrico rispetto al
prodotto, cfr. sez. 4.5) a differenza di quanto accade in ™ (cfr. esempio 4.5.3). Grazie al
teorema 10.1.1 possiamo precisare questa situazione, descrivendo con esattezza in funzione di
8 gli elementi invertibili e i divisori dello zero di ™8 .
Teorema 10.2.1
Sia + − ™, e sia [+] Á [!]. Sono fatti equivalenti:
( 3)
[+] non è invertibile in ™8 ;
(33)
MCD(+, 8) Á " ;
(333)
[+] è un divisore dello zero in ™8 .
Dimostrazione  (3) Í (33).
Per il teorema 10.1.1, [+] non è invertibile in ™8 (cioè l’equazione [+] B œ ["] non
ha soluzione in ™8 ) se e soltanto se MCD(+, 8) non divide ", ossia se e soltanto se
MCD(+, 8) Á " .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 119
(33) Ê (333).
Sia $ ³ MCD(+, 8). Poiché $ Á ", esistono + Á + e 8 Á 8 tali che + œ +$ e 8 œ 8$ .
Allora +8 œ +$ 8 œ +8, cosicché
[+][8] œ [+8] œ [+8] œ [!]
ma [+] Á [!] (per ipotesi) e [8] Á [!] (perché altrimenti sarebbe 8 œ 85 con 5 − ™ e dunque
8 œ 8$ œ 85 $ da cui 5 $ œ ", assurdo in ™ poiché per ipotesi $ Á "): ciò significa appunto
che [+] è un divisore dello zero in ™8 .
(333) Ê (3).
Sia [,] − ™8 tale che [,] Á [!] e [+][,] œ [!]. Se, per assurdo, [+] fosse
invertibile in ™8 , esisterebbe [- ] − ™8 tale che [- ][+] œ ["]; allora (ricordando l’oss. 4.8.4)
si avrebbe che
[,] œ ["][,] œ ([- ][+])[,] œ [- ]([+][,]) œ [- ][!] œ [!]
contro quanto ipotizzato su [,].
Corollario 10.2.2
Sia + − ™. Sono fatti equivalenti:
( 3)
[+] è invertibile in ™8 ;
(33)
MCD(+, 8) œ " Þ
Dimostrazione  (3) Ê (33).
Come sappiamo, questa implicazione equivale al fatto che dalla negazione di (33) si possa
dedurre la negazione di (3); cioè al fatto che (33) Ê (3) nel teorema 10.2.1.
(33) Ê (3).
Come sappiamo, questa implicazione equivale al fatto che dalla negazione di (3) si possa
dedurre la negazione di (33); cioè al fatto che (3) Ê (33) nel teorema 10.2.1.
Corollario 10.2.3
In ™8 esistono divisori dello zero se e soltanto se 8 non è un numero primo.
Dimostrazione  Se 8 non è un numero primo, per il teorema 7.8.2 esistono +,
, − ™ diversi da " e da 8 tali che 8 œ +,. Allora

[+][,] œ [+,] œ [8] œ [!]
con [+], [,] Á [!], e dunque [+] e [,] sono divisori dello zero in ™8 . Infatti se fosse, ad
esempio, [+] œ [!], sarebbe + œ 85 con 5 − ™ e dunque 8 œ +, œ 85, da cui 5, œ " e
quindi , œ „ ", assurdo perché per ipotesi , − ™ e , Á " .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Viceversa, se 8 è un numero primo, per nessun + − ™ può accadere che [+] sia un divisore
dello zero. Infatti se [+] fosse un divisore dello zero dovrebbe essere per definizione [+] Á [!];
inoltre per il teorema 10.2.1 ((333) Ê (33)) sarebbe MCD(+, 8) Á " ossia (essendo 8
irriducibile per il teorema 7.8.2) MCD(+, 8) œ 8; ma allora + sarebbe un multiplo di 8 e
quindi avremmo la contraddizione [+] œ [!].
Corollario 10.2.4
Ogni elemento diverso da [!] di ™8 è invertibile se e soltanto se 8 è un numero primo.
Dimostrazione  Se 8 non è un numero primo, per il corollario 10.2.3 esistono in ™8
divisori dello zero; e nessuno di questi è invertibile, per il teorema 10.2.1 ((333) Ê (3)).
Viceversa, supponiamo che 8 sia un numero primo, e sia + − ™ tale che [+] Á !.
Allora + non è multiplo di 8, dunque (poiché 8 è irriducibile per il teorema 7.8.2)
MCD(+, 8) œ " e quindi [+] è invertibile per il corollario 10.2.2.
Corollario 10.2.5
Siano 3, 4, 5 − ™. Se MCD(5 , 8) œ ", allora
[3][5 ] œ [4][5 ]
Ê
[3] œ [4] .
Dimostrazione  Per il corollario 10.2.2, [5 ] è invertibile in ™8 , quindi esiste 5 − ™
tale che [5 ][5 ] œ ["]. Dunque dall’uguaglianza
[3][5 ] œ [4][5 ]
moltiplicando a destra ambo i membri per [5 ] si trova che
a[3][5 ]b[5 ] œ a[4][5 ]b[5 ]
ossia, per la proprietà associativa del prodotto,
[3]ˆ[5 ][5 ]‰ œ [4]ˆ[5 ][5 ]‰
da cui
[3]["] œ [4]["]
e infine
[3] œ [4]
come si voleva.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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10.3 - La funzione : di Euler.
Questa è una sezione tecnica, nella quale definiamo (e in parte studiamo) una
importante funzione \{!}p che svolgerà un ruolo essenziale nella sez. 10.4.
Sia 8 − , 8 ". Si indica con :(8) il numero dei numeri naturali minori di 8 che
sono primi con 8 (cfr. sez. 7.2). La funzione : : \{!} Ä  così definita è nota col nome di
“funzione : di Euler” in onore del matematico svizzero Leonhard Euler (1707  1783).
Nel resto di questo capitolo, col simbolo : indicheremo sempre la funzione : di Euler.
Esempi
10.3.1 :($) œ # . Infatti i numeri naturali minori di $ sono: !, " e 2; di questi, due (per la
precisione: " e 2) sono primi con 3.
10.3.2 :(') œ # . Infatti i numeri naturali minori di ' sono: !, ", 2, $, % e &; di questi, solo
due (per la precisione: " e &) sono primi con '.
10.3.3 :()) œ % . Infatti i numeri naturali minori di ) sono: !, ", 2, $, %, &, ' e 7; di questi,
quattro (per la precisione: ", $, & e () sono primi con ).
10.3.4 :("&) œ ) . Infatti i numeri naturali minori di "& sono: !, ", 2, $, %, &, ', (, ), *, "!, "",
"#, "$ e "%; di questi, otto (per la precisione: ", #, %, (, ), "", "$ e "%) sono primi con "&.
10.3.5 :(")) œ ' . Infatti i numeri naturali minori di ") sono: !, ", 2, $, %, &, ', (, ), *, "!, "",
"#, "$, "%, "&, "' e "(; di questi, soltanto sei (per la precisione: ", &, (, "", "$ e "() sono primi
con ").
Teorema 10.3.6
Se : è un numero primo, allora per ogni numero intero positivo 2 si ha
:(:2 ) œ :2" (:  ").
Dimostrazione  Contiamo quanti dei numeri naturali minori di :2 non sono primi
con : (cioè, poiché : è primo, sono multipli di :). I multipli di : sono tutti e soli i numeri
naturali della forma 5: con 5 − ; sono minori di :2 se e soltanto se 5  :2"  ", dunque i
valori possibili per 5 vanno da ! a :2"  ", cioè sono in numero di :2" .
2
D’altra parte, i numeri naturali minori di :2 vanno da ! a :2  ", cioè sono in numero
di :2 .Si è così provato che :(:2 ) œ :2  :2" œ :2" (:  "), come si voleva.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 122
Teorema 10.3.7
Siano +, , − Ï{!}. Se MCD(+, ,) œ ", si ha
:(+,) œ :(+):(,).
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema. Questo risultato si
esprime talvolta dicendo che la funzione : di Euler è moltiplicativa.
Osservazione 10.3.8
Siano +, , − Ï{!}. Se MCD(+, , ) Á ", non si ha in generale :(+,) œ :(+):(, ), come si è
visto negli esempi 10.3.1, 10.3.2 e 10.3.5. Tuttavia il teorema 10.3.7, grazie al teorema 10.3.6,
consente di calcolare :(8) per ogni numero naturale 8 del quale sia nota l’espressione come
prodotto di fattori primi (tale espressione peraltro esiste sempre, in base al teorema 7.8.4).
Esempi
10.3.9 :("&) œ ) . Infatti "& œ $ † & con MCD($, &) œ " e dunque per il teorema 10.3.7
:("&) œ :($) † :(&)
Ðteor. 10.3.6Ñ
œ
# † % œ ).
10.3.10 :(#(!) œ (# . Infatti #(! œ # † $$ † & e dunque per il teorema 10.3.7
:(#(!) œ :(#) † :($$ ) † :(&)
Ðteor. 10.3.6Ñ
œ
" † ") † % œ (# .
10.3.11 :("(" #(&) œ (# . Infatti "(" #(& œ &# † "$ † "( † $" e dunque per il teorema 10.3.7
:("(" #(&) œ :(&# ) † :("$) † :("() † :($")
Ðteor. 10.3.6Ñ
œ
#! † "# † "' † $! œ ""& #!! .
10.4 - Il teorema di Fermat-Euler.
In questa sezione studiamo l’equazione esponenziale
[+]B œ "
nell’incognita B − Ï{!}. Notiamo esplicitamente che l’esponente B non può essere un
elemento di ™8 : infatti in ™8 la scrittura [+][,] non ha senso, come si è visto nell’esempio 9.5.2.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Osservazione 10.4.1
Sia + − . Se l’equazione [+]B œ " ha soluzione in Ï{!}, deve essere MCD(+, 8) œ " .
Dimostrazione  Se esiste B! − Ï{!} tale che [+]B! œ ", è anche
[+]B! " [+] œ [+][+]B! " œ "
cioè [+] è invertibile in ™8 : dunque per il corollario 10.2.2 deve essere MCD(+, 8) œ " .
Teorema 10.4.2 (Fermat-Euler)
Sia + − . Se MCD(+, 8) œ ", allora
[+]:(8) œ " .
Dimostrazione  Posto 5 ³ :(8), sia
J ³ { 3" , 3 # , á , 3 5 }
l’insieme dei numeri naturali minori di 8 che sono primi con 8 .
Posto
X ³ {[3" ], [3# ], á , [35 ]}
e
Y ³ {[+3" ], [+3# ], á , [+35 ]},
osserviamo in primo luogo che X œ Y .
Gli elementi di Y sono a due a due distinti: infatti, se [+3= ] œ [+3> ], cioè
[+][3= ] œ [+][3> ], dal corollario 10.2.5 deduciamo che [3= ] œ [3> ] e quindi = œ > perché gli
elementi di X sono a due a due distinti per definizione. Pertanto Y ha 5 elementi, cioè tanti
quanti ne ha X: per provare che X œ Y basterà mostrare che Y § X.
Sia dunque [+34 ] − Y, sia < il resto della divisione euclidea di +34 per 8 (cosicché
[+34 ] œ [<] per il teorema 9.4.3 e l’oss. 9.2.2) e sia $ ³ MCD(<, 8). Se fosse $ Á ",
esisterebbe un numero primo : che divide $ e quindi sia < che 8; per l’oss. 7.3.1, :
dividerebbe +34 e quindi (essendo : primo) dividerebbe + oppure dividerebbe 34 : assurdo in
ogni caso, perché sia + che 34 sono primi con 8 . Dunque < è primo con 8; è anche minore di 8
(perché è il resto della divisione euclidea di +34 per 8) e quindi appartiene a J, cosicché
[+34 ]( œ [<]) − X come si voleva dimostrare.
Dunque X œ Y. Ma allora anche il prodotto di tutti gli elementi di X è uguale al
prodotto di tutti gli elementi di Y, cioè (ricordando la definizione di prodotto in ™8 )
[3" ] † [3# ] † á † [35 ] œ [+3" ] † [+3# ] † á † [+35 ] œ [+] † [3" ] † [+] † [3# ] † á † [+][35 ] œ
œ [+]5 † [3" ] † [3# ] † á † [35 ]
e infine, applicando il corollario 10.2.5,
" œ [+]5
come si voleva.
M. Barlotti
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“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Osservazione 10.4.3
Per il teorema 10.4.2, se MCD(+, 8) œ " allora :(8) è una soluzione in Ï{!} dell’equazione
[+]B œ ". Vale la pena di notare che non solo non è l’unica soluzione (è ovvio infatti che ogni
multiplo di :(8) è ancora soluzione) ma in generale non è nemmeno la più piccola. Ad
esempio, per 8 ³ (, si ha [#]$ œ " con $  ' œ :(() .
Corollario 10.4.4
Sia 8 un numero primo. Per ogni + − ,
[+]8 œ [+] .
Dimostrazione  Se MCD(+, 8) œ ", l’asserto segue dal teorema di Fermat-Euler
moltiplicando per [+] ambo i membri.
Se invece MCD(+, 8) Á ", deve essere MCD(+, 8) œ 8 (e quindi + deve essere
multiplo di 8) perché per ipotesi 8 è un numero primo. In questo caso, [+] œ [!] e l’asserto è
ovvio.
Osservazione 10.4.5
Nel corollario 10.4.4, è essenziale l’ipotesi che 8 sia un numero primo. Ad esempio, per
8 ³ ', si ha che
[#]' œ [#' ] œ ['%] œ [%] Á [#] .
Esempio 10.4.6
Applicando il teorema di Fermat-Euler, calcoliamo le ultime due cifre della rappresentazione
in base "! di (*'$ . In sostanza, dobbiamo trovare il resto della divisione per "!! di (*'$ , cioè il
rappresentante compreso fra ! e ** per la classe di resto modulo "!! a cui appartiene (*'$ .
Lavoriamo dunque in ™"!! e (poiché MCD((, "!!) œ ") applichiamo il teorema 10.4.2 per
8 ³ "!!. Poiché "!! œ ## † &# , è :("!!) œ %! (per i teoremi 10.3.6 e 10.3.7), cosicché
sappiamo che [(%! ] œ [(]%! œ " . Poiché però a noi interessa [(*'$ ], conviene effettuare la
divisione euclidea di *'$ per %!, ottenendo *'$ œ #% † %!  $ . Dunque
[(*'$ ] œ [(]*'$ œ [(]%!†#%$ œ [(]%!†#% † [(]$ œ ([(]%! )#% † [(]$ œ "#% † [($ ] œ " † [(]$ œ [$%$] œ [%$] .
Pertanto, la rappresentazione in base "! di (*'$ termina con %$ .
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Esempio 10.4.7
Applicando il teorema di Fermat-Euler, calcoliamo il resto della divisione per "" di #'(( . In
sostanza, dobbiamo trovare il rappresentante compreso fra ! e "! per la classe di resto modulo
"" a cui appartiene #'(( .
Lavoriamo dunque in ™"" e (poiché MCD(#, "") œ ") applichiamo il teorema 10.4.2 per
8 ³ "". Poiché "" è un numero primo, :("") œ "! (per il teorema 10.3.6), cosicché sappiamo
che [#"! ] œ [#]"! œ " . Poiché però a noi interessa [#'(( ], conviene effettuare la divisione
euclidea di '(( per "!, ottenendo '(( œ '( † "!  ( . Dunque
[#'(( ] œ [#]'(( œ [#]"!†'(( œ [#]"!†'( † [#]( œ ([#]"! )'( † [#]( œ "'( † [#]( œ " † [#( ] œ ["#)] œ [(] .
Pertanto, #'(( diviso "" dà resto ( .
10.5 - Cenni sul criptosistema RSA.
Accenniamo in questa sezione al sistema crittografico RSA, che utilizza come
fondamento teorico quanto descritto nelle sezioni precedenti.
L’idea è che il signor B. desideri ricevere in sicurezza (cioè senza che il significato
venga intercettato da terzi) messaggi da chiunque: ciascun messaggio dovrà dunque essere
trasformato (“codificato”) utilizzando un algoritmo disponibile a tutti; ma l’algoritmo deve
essere tale che nessuno, tranne ovviamente il signor B., possa risalire dal messaggio
modificato al messaggio originale (una tale operazione si dice anche “decrittazione” del
messaggio).
Questo algoritmo, di fatto l’unico finora conosciuto ed efficace con tali caratteristiche,
è noto come “criptosistema RSA” dalle iniziali dei cognomi dei suoi ideatori: Ronald Rinn
Rivest (1947  ), Adi Shamir (1952  ) e Leonard Max Adleman (1945  ), che lo hanno
sviluppato nel 1977 al Massachusets Institute of Technology.
Possiamo supporre che i messaggi da ricevere siano numeri naturali non superiori a un
certo 8! −  . Il signor B. sceglie due numeri primi :" , :# entrambi maggiori di 8! (e
comunque “molto grandi”, nel senso che il prodotto :" :# non possa essere fattorizzato in
tempo ragionevole; generalmente si considera adeguato un ordine di grandezza di "!(& ) e un
numero naturale = primo con :(:" :# ) (cioè con (:"  ")(:#  ")). Poiché il signor B. conosce
:" e :# , può calcolare l’inverso > di = in ™:(:" :# ) (tale inverso esiste per il corollario 10.2.2). Egli
rende pubblici il prodotto :" :# e il numero naturale =; da queste informazioni, gli altri non
hanno modo di ricavare :" e :# , quindi :(:" :# ), e quindi nemmeno >.
Adesso vediamo come può operare chi desidera inviare in sicurezza al signor B. un
messaggio, cioè un numero naturale + minore di 8! (che possiamo identificare con la classe di
resto modulo 8! che esso rappresenta). Semplicemente, il mittente calcola (e trasmette)
+= (mod :" :# ) .
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Il signor B. non deve far altro che elevare il numero ricevuto alla potenza >.
Ricordiamo che > è l’inverso di = in ™:(:" :# ) , cioè
=> ´ " (mod :(:" :# ))
ossia esiste 5 − ™ tale che => œ :(:" :# ) † 5  " . Ne segue che in ™:" :# si ha
a+= b> œ +=> œ +:(:" :# )†5" œ +:(:":# )†5 † + œ a+:(:":# ) b † + œ "5 † + œ +
5
ricordando che + è minore di 8! e quindi sia di :" che di :# (entrambi primi), cosicché
certamente MCD(+, :" :# ) œ " .
.
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11.- CARDINALITÀ
11.1 - Equipotenza.
Siano A, B insiemi.
Si dice che A è equipotente a B se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B.
Osservazione 11.1.1
Ogni insieme è equipotente a se stesso.
Dimostrazione  Sia A un insieme: la funzione idA definita in 3.6.4 è una
corrispondenza biunivoca tra A e A.
Osservazione 11.1.2
Siano A, B insiemi. Se A è equipotente a B, allora B è equipotente ad A.
Dimostrazione  Se f:A Ä B è una corrispondenza biunivoca, f " :B Ä A è una
corrispondenza biunivoca (cfr. 3.7).
Osservazione 11.1.3
Siano A, B, C insiemi. Se A è equipotente a B e B è equipotente a C, allora A è equipotente a
C.
Dimostrazione  Se f : A Ä B e g : B Ä C sono corrispondenze biunivoche, g ‰ f :
A Ä C è una corrispondenza biunivoca (cfr. esercizio 3.8.5).
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11.2 - Cardinalità.
Per quanto osservato in 11.1.1, 11.1.2 e 11.1.3, in ogni insieme i cui elementi siano
insiemi la relazione di “equipotenza” (definita in accordo con 11.1) è una relazione di
equivalenza. Questo fatto suggerisce intuitivamente che tutti gli insiemi tra loro equipotenti
abbiano in comune una proprietà astratta, che diremo cardinalità. Osserviamo esplicitamente
che per il teorema 1.3.3 non è possibile dare una definizione di cardinalità mediante il
procedimento visto in 9.3.
Per “misurare” la cardinalità di un insieme dovremo considerare degli
insiemi  campione a due a due non equipotenti. Per ogni numero naturale 8, sia
I8 œ ÖB −  / 1 Ÿ B Ÿ 8×.
Gli insiemi I8 , l’insieme  e l’insieme ‘ sono tutti a due a due non equipotenti (cfr. teorema
11.3.3).
Sia A un insieme. Se A è equipotente a I8 per un certo numero naturale 8, diremo che
ha cardinalità 8 e scriveremo |A| œ 8. Se A è equipotente a , diremo che ha cardinalità i!
(si legge: aleph con zero) oppure che è numerabile e scriveremo |A| œ i! . Se A è equipotente
a ‘, diremo che ha la potenza del continuo e scriveremo |A| œ - .
L’insieme A si dice finito se è equipotente a I8 per un certo numero naturale 8; si dice
infinito se non è finito.
Esempio 11.2.1
Il sottoinsieme di  costituito dai numeri pari ha cardinalità i! .
Dimostrazione  La funzione definita in 3.5.1 è una corrispondenza biunivoca tra  e
l’insieme dei numeri naturali pari.
Raccogliamo qui di seguito alcuni importanti risultati sulla cardinalità degli insiemi; si
vedano anche i teoremi 11.3.2, 11.3.3 e 11.3.5.
Teorema 11.2.2
|  | œ i! .
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema 11.2.3
Se |A| œ 8 con 8 − , si ha |c (A)| œ 28 .
Dimostrazione  Si veda il teorema 13.4.7.
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Teorema 11.2.4
Siano A, B insiemi finiti, con |A| œ 8 e |B| œ 7 (8, 7 − ). Si ha
|A  B| œ |A|  |B|  |A  B|
e
|A ‚ B| œ 87 .
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema 11.2.5
Il sottoinsieme (0, 1) di ‘ è equipotente a ‘.
Dimostrazione  È facile verificare che la funzione
f(x) œ 1x  12
è una corrispondenza biunivoca tra (0, 1) e (  12 , 12 ). D’altro lato, è noto dallo studio della
trigonometria che la funzione tg(x) (“tangente trigonometrica”) è una corrispondenza
biunivoca tra (  12 , 12 ) e ‘. Per l’osservazione 11.1.3 si ha l’asserto.
11.3 - Confronto tra cardinalità.
Siano A, B insiemi.
Se A è equipotente a un sottoinsieme di B, scriveremo A £ B (si dice talvolta in
questo caso che B domina A). Se A £ B e A non è equipotente a B, scriveremo A ¡ B.
In ogni insieme i cui elementi siano insiemi, £ definisce una relazione evidentemente
riflessiva e transitiva. Tale relazione non può in generale essere però antisimmetrica; infatti, se
A, B sono insiemi distinti equipotenti si ha A £ B e B £ A ma A Á B. Vale comunque il
seguente famoso teorema, la cui dimostrazione esula dai limiti di questi appunti:
Teorema 11.3.1 (Schroder-Bernstein)
¨
Siano A, B insiemi. Se A £ B e B £ A, allora A e B sono equipotenti.
Teorema 11.3.2
Se A è un insieme infinito, e B è un insieme tale che B £ A, si ha |A ‚ B| œ |A  B| œ |A|.
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema 11.3.3
|c ()| œ - .
Dimostrazione  Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
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Mostriamo ora che esistono infinite cardinalità infinite.
Teorema 11.3.4 (Cantor)
Per ogni insieme A, è A ¡ c (A).
Dimostrazione - La funzione che all’elemento B di A associa l’elemento ÖB× di c (A) è
evidentemente una corrispondenza biunivoca tra A e un sottoinsieme di c (A); dunque,
A £ c (A). Resta da provare che A non è equipotente a c (A).
In effetti, non può esistere alcuna funzione suriettiva da A a c (A). Sia infatti f :
A Ä c(A). Posto
X ³ Ö+ − A / + Â f(+)×
non esiste alcun elemento B in A per il quale si abbia f(B) œ X. (Per un tale B non potrebbe
essere B − X, perché ne seguirebbe B  f(B) œ X, né B  X, perché -essendo X œ f(B)- ne
seguirebbe B − X).
Teorema 11.3.5
 ¡ ‘.
Dimostrazione - L’asserto segue immediatamente dai teoremi 11.3.3 e 11.3.4.
Esiste un insieme A tale che  ¡ A ¡ ‘ ? La supposizione che un tale insieme non
esista è nota come ipotesi del continuo. L’ipotesi generalizzata del continuo afferma che per
nessun insieme infinito X esiste un insieme A tale che X ¡ A ¡ c (X).
Esercizio 11.3.6
Siano A, B insiemi, e siano A’, B’ insiemi equipotenti rispettivamente ad A e B. Si provi che
A £ B se e solo se A’ £ B’. Se ne deduca che è lecito convenire di scrivere |A| Ÿ |B| quando
A £ B.
M. Barlotti
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12.- PICCIONI E MATRIMONI
12.1 - Il “principio dei buchi di piccionaia”.
Noto nei paesi anglofoni come “pigeonhole principle”, questo teorema ha una
denominazione che si riferisce probabilmente più agli scomparti dedicati alle lettere nei
dipartimenti universitari (detti appunto pigeonhole) che ai veri e propri rifugi per i simpatici
(ma sporchi) volatili. I matematici “seri” lo chiamano più volentieri “principio dei cassetti di
Dirichlet”, ritenendo forse nobilitante il richiamo a Peter Gustav Dirichlet (Düren, 13 febbraio
1805  Gottinga, 5 maggio 1859). Noi lo enunciamo scegliendo una via di mezzo, cioè
facendo riferimento alla collocazione di oggetti dentro scatole.
Teorema 12.1.1 (“principio dei buchi di piccionaia”)
Siano 8, 7 − \{!} con 8  7 .
Se 8 oggetti vengono posti in 7 scatole, comunque ciò avvenga c’è almeno una scatola nella
quale viene posto più di un oggetto .
Dimostrazione - Sia rispettivamente B" , B# , á , B7 il numero degli oggetti deposto in
ciascuna delle 7 scatole. Se fosse B3 Ÿ " per ogni 3 − {", #, á , 7}, sarebbe
8 œ B"  B#  á  B7 Ÿ "  "  á  " œ 7
contro l’ipotesi che sia invece 8  7 .
La “traduzione matematica” più ovvia del principio riguarda le funzioni fra insiemi
finiti (cfr. sez. 11.2):
Teorema 12.1.2
Siano A, B insiemi finiti, con kAk œ 8  7 œ kBk .
Se f è una funzione A Ä B, f non è iniettiva.
Dimostrazione - Interpretiamo gli elementi di A come “oggetti”, gli elementi di B
come “scatole” e la funzione f come la “collocazione” di + − A in f(+) − B. Per il principio
dei buchi di piccionaia (teor. 12.1.1), almeno due elementi di A vengono “collocati” nello
stesso elemento di B, e dunque f non è iniettiva.
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In questa sezione vedremo alcuni significativi esempi di applicazione del principio dei
buchi di piccionaia.
Esempio 12.1.3
Comunque si scelgano cinque punti in un quadrato di lato #, ce ne sono almeno due la cui
distanza è non superiore a È# .
Dimostrazione - Tracciando gli assi dei lati del quadrato, suddividiamolo in quattro
quadrati Q" , Q# , Q$ e Q% tutti di lato ".
Interpretando i cinque punti da scegliere come “oggetti” e i Q3 come scatole, il
principio dei buchi di piccionaia (teor. 12.1.1) ci assicura che almeno due punti apparterranno
a uno stesso quadrato Q3 ; la loro distanza non potrà essere superiore alla misura della
diagonale di Q3 , cioè a È# .
!
!
Esercizio 12.1.4
Si dimostri che: comunque si scelgano cinque punti in un triangolo equilatero di lato #, ce ne
sono almeno due la cui distanza è non superiore a " .
M. Barlotti
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Esempio 12.1.5
Se al termine di una riunione, quando gli intervenuti lasciano la sala, ciascuno stringe la mano
a tutti e soli quelli che conosce (tranne, ovviamente, a se stesso), almeno due degli intervenuti
stringono la mano allo stesso numero di persone.
Dimostrazione - Sia 8 il numero delle persone presenti alla riunione. Distinguiamo due
casi: quello in cui ciascuno dei presenti conosce almeno uno degli altri (e quindi stringe la
mano ad almeno una persona) e quello in cui qualcuno dei presenti non conosce nessuno (e
quindi non stringe la mano a nessuno).
Nel primo caso il numero delle possibili strette di mano scambiate da ciascuno va da "
a 8  "; se distribuiamo le 8 persone nelle 8  " “scatole” corrispondenti alle strette di mano
che ciascuno ha scambiato, per il principio dei buchi di piccionaia vediamo che almeno due
persone vanno nella stessa “scatola”, cioè hanno scambiato lo stesso numero di strette di
mano.
Nel secondo caso il numero delle possibili strette di mano scambiate da ciascuno va da
! a 8  #; se distribuiamo le 8 persone nelle 8  " “scatole” corrispondenti alle strette di
mano che ciascuno ha scambiato, per il principio dei buchi di piccionaia vediamo che anche in
questo caso almeno due persone vanno nella stessa “scatola”, cioè hanno scambiato lo stesso
numero di strette di mano.
Esercizio 12.1.6
Al termine di una riunione, gli intervenuti lasciano la sala e ciascuno stringe la mano a tutti e
soli quelli che conosce; qualche eccentrico addirittura stringe la mano a se stesso. Si mostri
con un esempio che ciascuno degli intervenuti potrebbe stringere la mano a un diverso numero
di persone.
Esempio 12.1.7
Siano 7, 8 − ™ . In ogni sequenza di 78  " numeri reali tutti diversi fra loro, c’è almeno
una sottosequenza crescente di lunghezza 7  " oppure almeno una sottosequenza
decrescente di lunghezza 8  " .
Dimostrazione - Sia
(+" , +# , +$ , á , +78" )
la sequenza data. Per ogni indice 3,
indichiamo con -3 la lunghezza della più lunga sottosequenza crescente che inizia con +3 e
indichiamo con .3 la lunghezza della più lunga sottosequenza decrescente che inizia con +3 .
Per ogni coppia di indici distinti 3, 4 per ipotesi +3 Á +4 (abbiamo supposto che gli +3 siano
ttutti diversi fra loro); se +3  +4 è ovviamente -3  -4 , mentre se +3  +4 deve essere .3  .4 :
in ogni caso, per 3 Á 4 le coppie ordinate (-3 , .3 ) e (-4 , .4 ) sono diverse.
M. Barlotti
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Pag. 134
Ciò premesso, procediamo per assurdo e supponiamo che tutte le sottosequenze
crescenti abbiano lunghezza Ÿ 7 (e quindi sia in particolare -3 Ÿ 7 per ogni 3) e che tutte le
sottosequenze decrescenti abbiano lunghezza Ÿ 8 (e quindi sia in particolare .3 Ÿ 8 per ogni
3). In questo caso i possibili valori delle coppie ordinate (-3 , .3 ) sono al più 78; per il
principio dei buchi di piccionaia, poiché 3 assume 78  " valori diversi ne devono esistere
due, 3" e 3# , tali che 3" Á 3# ma (-3 , .3 ) œ (-3 , .3 ) e questo è un assurdo perché abbiamo
mostrato nel paragrafo precedente che per 3 Á 4 le coppie ordinate (-3 , .3 ) e (-4 , .4 ) sono
diverse. Dunque nella sequenza data c’è almeno una sottosequenza crescente di lunghezza
7  " oppure almeno una sottosequenza decrescente di lunghezza 8  " .
"
"
#
#
Esercizio 12.1.8
Sia 7 ³ $ e 8 ³ %. Si trovi una sequenza di "# numeri reali tutti diversi fra loro che non
contenga né una sottosequenza crescente di lunghezza % né una sottosequenza decrescente di
lunghezza 5 .
Esercizio 12.1.9
Sia ABC un triangolo. Si dimostri che una retta che non passa per nessuno dei tre vertici A, B
e C del triangolo incontra al più due dei tre lati del triangolo.
12.2 - Il “principio generalizzato dei buchi di piccionaia”.
Comunque prese settemila persone, ce ne sono almeno #! che festeggiano il
compleanno nello stesso giorno. Per convincersi di questo non basta il teorema 12.1.1 ma ce
ne serve una versione più generale, la cui dimostrazione è però sostanzialmente la stessa.
Teorema 12.2.1 (“principio generalizzato dei buchi di piccionaia”)
Siano 8, 7, > − \{!} con 8  7> .
Se 8 oggetti vengono posti in 7 scatole, comunque ciò avvenga c’è almeno una scatola nella
quale vengono posti più di > oggetti .
Dimostrazione - Sia rispettivamente B" , B# , á , B7 il numero degli oggetti deposto in
ciascuna delle 7 scatole. Se fosse B3 Ÿ > per ogni 3 − {", #, á , 7}, sarebbe
8 œ B"  B#  á  B7 Ÿ >  >  á  > œ 7>
contro l’ipotesi che sia invece 8  7> .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Pag. 135
Esempio 12.#.#
Comunque prese settemila persone, ce ne sono almeno #! che festeggiano il compleanno nello
stesso giorno.
Dimostrazione - I possibili giorni per festeggiare i compleanni sono $'', e
"* † $'' œ ' *&% . Per il principio generalizzato dei buchi di piccionaia (con 7 ³ $'', > ³ "*
e 8 ³ ( !!!) se le ( !!! persone vengono disposte nelle $'' “scatole” corrispondenti ai loro
compleanni, in almeno una “scatola” vengono poste più di "* (e quindi almeno #!) persone.
Esempio 12.#.3
A Parigi ci sono almeno ) abitanti con lo stesso numero di capelli.
Dimostrazione - A Parigi ci sono almeno # #!! !!! abitanti; ed è noto che nessun
essere umano ha più di $!! !!! capelli. Poiché ( † $!! !!! œ # "!! !!!, per il principio
generalizzato dei buchi di piccionaia (con 7 ³ $!! !!!, > ³ ( e 8 ³ # #!! !!!) se gli
abitanti di Parigi vengono disposti nelle $!! !!! “scatole” corrispondenti ai possibili numeri
di capelli, in almeno una “scatola” vengono poste più di ( (e quindi almeno )) persone.
Analogo al principio generalizzato dei buchi di piccionaia (anche nella dimostrazione)
è il
Teorema 12.#.4 (“principio della media aritmetica”)
Siano 8 − ™ e ! − ‘ . Se la media aritmetica di 8 numeri reali positivi è !, almeno uno dei
numeri è ! (e almeno uno dei numeri è Ÿ !).
Dimostrazione - Siano B" , B# , á , B8 i numeri reali dati. Se fosse B3  ! per ogni
3 − {", #, á , 8}, sarebbe
B"  B#  á  B8  !  !  á  ! œ 8!
contro l’ipotesi che sia invece B"  B#  á  B8 œ 8! . Analogamente si ragiona se B3  !
per ogni 3 − {", #, á , 8}.
12.3 - Il “teorema dei matrimoni”.
In questa sezione studiamo un importante teorema di ottimizzazione degli
accoppiamenti che i matematici esprimono folcloristicamente in termini di matrimoni. Va
detto che (non sorprendentemente, visto che il teorema risale al 1935) si tratta rigidamente di
matrimoni fra persone di sesso diverso.
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Pag. 136
Il problema dei matrimoni (eterosessuali).
Siano dati un insieme D (di “donne”), un insieme U (di “uomini”) (disgiunto dal
precedente) e una funzione =:D Ä c (U) (che associa a ogni donna l’insieme degli uomini che
le piacciono). Il “problema dei matrimoni” per la terna (D, U, =) consiste nel trovare una
funzione iniettiva 7:D Ä U tale che
7(. ) − =(. )
per ogni . − D
cioè nello sposare ogni donna con un uomo che le piace in modo che nessun uomo sia bigamo.
Si noti che la situazione descritta dal problema non è simmetrica: del parere degli
uomini non ci preoccupiamo.
Teorema 12.3.1 (“dei matrimoni eterosessuali”  Philip Hall, 1935)
Se kDk œ 8, condizione necessaria e sufficiente affinché il problema dei matrimoni abbia
soluzione è che, per ogni 5 Ÿ 8, ad ogni insieme di 5 donne piacciano, complessivamente,
almeno 5 uomini.
Dimostrazione - Se a un insieme di 5! donne, per qualche 5! Ÿ 8, piacciono
complessivamente meno di 5! uomini, per il principio dei buchi di piccionaia non è possibile
accoppiarle con quegli uomini senza che almeno un uomo risulti accoppiato ad almeno due
donne: dunque la condizione espressa dal teorema è necessaria affinché il problema dei
matrimoni abbia soluzone.
Viceversa, dimostriamo che tale condizione è sufficiente procedendo per induzione su
kDk. Se kDk œ ", c’è una sola donna alla quale piace almeno un uomo e quindi il problema ha
soluzione. Ora supponiamo che il teorema sia vero per kDk  8 e dimostriamo che è vero per
kDk œ 8. Distinguiamo due casi.
Supponiamo in primo luogo che esista un numero naturale 5! (1 Ÿ 5!  8) e un
insieme di 5! donne tale che ad esse piacciono complessivamente 5! uomini (e non di più). La
restrizione del problema dei matrimoni a queste 5! donne (e all’insieme dei 5! uomini che a
loro piacciono) verifica le ipotesi del teorema: infatti se 5" Ÿ 5! comunque prese 5" donne
sappiamo che esistono 5" uomini che a loro complessivamente piacciono; e questi 5" uomini
devono essere un sottoinsieme dei 5! che stiamo considerando. Dunque, per l’ipotesi di
induzione, possiamo felicemente sposare queste 5! donne ai 5! uomini che piacciono loro.
Restano un insieme di 8  5! (  8) donne (disgiunto dal precedente insieme di 5! donne) e
un insieme U‡ di uomini (disgiunto dal precedente insieme di 5! uomini); per ogni 5 Ÿ 8  5!
e per ogni insieme formato da 5 di queste 8  5! donne, ci sono in U‡ almeno 5 uomini che
piacciono loro: altrimenti riaggiungendo le 5! donne già sposate avremmo trovato un insieme
di 5  5! donne alle quali complessivamente piacciono meno di 5  5! uomini, contro
l’ipotesi del teorema. Dunque anche le restanti 8  5! donne (e l’insieme U‡ dei restanti
uomini) verificano l’ipotesi del teorema e per l’ipotesi di induzione anche queste possono
venire felicemente sposate.
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Pag. 137
Supponiamo adesso che quanto ipotizzato nel paragrafo precedente non accada: ciò
significa che per ogni 5  8 (5 ") ad ogni insieme di 5 donne piacciano complessivamente
almeno 5  " uomini. Prendiamo una donna a caso, sposiamola con un uomo che le piace e
consideriamo le 8  " donne rimanenti: esse verificano le ipotesi del teorema (perché per ogni
5  8, e quindi per ogni 5 Ÿ 8  ", ad ogni insieme di 5 donne piacciono complessivamente
almeno 5 uomini (erano 5  ", forse adesso uno non è più disponibile perché è quello che
abbiamo già dato in matrimonio ma ne restano comunque almeno 5 ). Dunque, per l’ipotesi di
induzione, anche le 8  " donne rimanenti possono essere sposate e abbiamo trovato una
soluzione anche per kDk œ 8.
Vediamo adesso un’applicazione “seria” del teorema dei matrimoni (è la versione
originariamente pubblicata da Philip Hallá ).
Siano S un insieme finito, 8 − ™ e S" , S# , á , S8 sottoinsiemi di S. Si dice insieme di
rappresentanti distinti per {S" , S# , á , S8 } un sottoinsieme {B" , B# , á , B8 } di S tale che
( 3)
B3 − S3 per 3 ³ ", #, á , 8;
(33)
B3 Á B4 se 3 Á 4.
Teorema 12.3.2
Siano S un insieme finito, 8 − ™ e S" , S# , á , S8 sottoinsiemi di S. Condizione necessaria e
suffiiciente affinché esista un insieme di rappresentanti distinti per {S" , S# , á , S8 } è che, per
ogni 5 Ÿ 8, l’unione di 5 degli S3 comunque scelti contenga, complessivamente, almeno 5
elementi.
Dimostrazione - Gli S3 sono le “donne”, gli elementi di S sono gli “uomini” e diciamo
che alla “donna” S3 “piace” l’elemento B se e soltanto se B − S3 . Trovare un insieme di
rappresentanti distinti per {S" , S# , á , S8 } significa allora risolvere il problema dei matrimoni
per queste “donne” e per questi “uomini”á
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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v. #.*"
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Esempio 12.3.3
Dimostriamo che: comunque si distribuiscano in "$ mazzetti di % le &# carte da gioco di un
mazzo “francese”, è possibile estrarre da ciascun mazzetto una carta in modo da formare un
mazzo di "$ carte tutte di diverso valore facciale (dall’Asso al Re).
Le “donne” da sposare sono i "$ mazzetti di % carte in cui sono state distribuite le &# carte del
mazzo francese, gli “uomini” sono i valori da " ( œ Asso) a "$ ( œ Re); a ogni “donna”
( œ mazzetto) “piacciono” i valori facciali delle % carte che lo costituiscono. Comunque scelti
5 mazzetti, se nelle %5 carte che li costituiscono comparissero in tutto 2  5 valori allora per
il principo generalizzato dei buchi di piccionaia (teorema 12.2.1) ci sarebbe almeno un valore
che compare in più di % carte, assurdo; dunque nelle carte di 5 mazzetti compaiono almeno 5
valori (“a ogni insieme di 5 donne piacciono complessivamente almeno 5 uomini”) e per il
teorema dei matrimoni (teorema 12.1.1) si può associare a ogni mazzetto il valore facciale di
una delle carte che lo compongono in modo che a mazzetti diversi restino associati valori
diversi; in altre parole, da ognuno dei "$ mazzetti si può estrarre una carta con un diverso
valore facciale, come si voleva.
Per stabilire che il problema dei matrimoni è risolubile, qualche volta è utile una
condizione soltanto sufficiente ma di più semplice verifica.
Teorema 12.3.4
Se esiste un 5! − ™ tale che
(3) ad ogni donna piacciono almeno 5! uomini
e
(33) ogni uomo piace ad al più 5! donne
allora il problema dei matrimoni è risolubile.
Dimostrazione - Applichiamo il teorema 12.3.1 verificando che ad ogni insieme di 5
donne piacciono complessivamente almeno 5 uomini.
Scegliamo un insieme I di 5 donne. Per la (3), le coppie (. , ?) tali che . − I e alla
donna . piace l’uomo ? sono almeno 55! ; supponiamo che in tali coppie siano coinvolti 7
uomini. Per applicare il teorema 12.3.1 dobbiamo dimostrare che 7 5 . Se fosse (per
assurdo) 5  7, per il principio generalizzato dei buchi di piccionaia, “distribuendo” le 55!
coppie fra gli 7 uomini otterremmo (poiché 55!  75! ) che almeno un uomo compare in più
di 5! coppie, cioè che almeno un uomo piace a più di 5! donne. Ma ciò è assurdo per la (33), e
dunque 7 5 come si voleva dimostrare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Esercizio 12.3.5
Si mostri con un esempio che la condizione del teorema 12.3.4 non è necessaria affinché il
problema dei matrimoni abbia soluzione.
Naturalmente, anche il teorema 12.3.4 si può riformulare in termini insiemistici.
Teorema 12.3.6
Siano S un insieme finito, 8 − ™ e S" , S# , á , S8 sottoinsiemi di S. Se esiste un 5! − ™ tale
che
(3) ad ogni S3 appartengono almeno 5! elementi
e
(33) ogni elemento di S appartiene ad al più 5! degli S3
allora esiste un insieme di rappresentanti distinti per {S" , S# , á , S8 }.
Dimostrazione - Basta applicare il teorema 12.3.4 come si è applicato il teorema 12.3.1
nella dimostrazione del teorema 12.3.2 .
Esempio 12.3.7
Siano 7, 8 − \{!} con 7 Ÿ 8. Si dice rettangolo latino di ordine 7 ‚ 8 una matrice 7 ‚ 8
R (cfr. sez. 1.5) tale che
( 3)
ogni riga di R è una permutazione dei numeri naturali compresi tra " e 8
(33)
in ogni colonna di R gli elementi sono tutti diversi fra loro.
Un rettangolo latino di ordine 8 ‚ 8 si dice un quadrato latino di ordine 8 (20). Dimostriamo
che ogni rettangolo latino di ordine 7 ‚ 8 può essere completato, aggiungendo
opportunamente 8  7 righe, in modo da ottenere un quadrato latino di ordine 8.
Basterà dimostrare che ad ogni rettangolo latino R di ordine 7 ‚ 8 (con 7  8) si può
aggiungere una riga in modo da trasformarlo in un rettangolo latino di ordine (7  ") ‚ 8; lo
facciamo applicando il teorema 12.3.4. Le “donne” sono le colonne di R, gli “uomini” sono i
numeri naturali da " a 8 e ad ogni donna “piacciono” i numeri che non vi compaiono; dunque,
ad ogni “donna” piacciono esattamente (quindi, in particolare “almeno”) 8  7 “uomini” e
ogni “uomo” ( œ ogni numero naturale tra " e 8) piace ad esattamente (quindi, in particolare,
ad “al più”) 8  7 donne ( œ le 8  7 colonne in cui non compare). Per il teorema 12.3.4, ad
ogni colonna si può aggiungere un numero che “le piace” ( œ che non vi compare) in modo
che a colonne diverse restino associati numeri diversi (e quindi la nuova riga è anch’essa una
permutazione dei numeri naturali compresi tra " e 8).
20
Gli usuali schemi di Sudoku sono casi particolari di quadrati latini di ordine *.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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13.- ELEMENTI
DI CALCOLO COMBINATORIO
13.1 - Introduzione. Due princìpi per contare.
In questo capitolo ci occuperemo del problema di contare il numero degli elementi di
un insieme finito, cioè di determinarne la cardinalità nel senso del capitolo 11. Vedremo i due
princìpi fondamentali che si utilizzano in questi casi (teorema 13.1.1 e teorema 13.1.2) e li
applicheremo ad alcune situazioni classiche del “calcolo combinatorio”, determinando fra
altre cose in funzione dei numeri interi positivi 5 e 8 il numero delle cosiddette
5  disposizioni e 5  combinazioni di 8 oggetti.
Le tecniche che vedremo in questo capitolo risulteranno preziose, ad esempio, quando
si dovranno affrontare questioni di calcolo delle probabilità nelle ipotesi che lo spazio dei
risultati sia finito e che i risultati elementari siano tutti equiprobabili.
Teorema 13.1.1 (principio di addizione)
Siano 7, 8 − ™ . Supponiamo che una certa attività possa essere svolta in 7 modi diversi, e
un’altra attività possa essere svolta in 8 modi tutti diversi fra loro e dai primi 7. Allora il
numero dei modi diversi in cui si può svolgere l’una o l’altra delle due attività è 7  8 .
Dimostrazione  La possibilità di svolgere la seconda attività in alternativa alla
prima aggiunge gli 8 modi in cui essa può essere svolta agli 7 modi in cui può essere svolta la
prima.
Teorema 13.1.2 (principio di moltiplicazione)
Siano 7, 8 − ™ . Supponiamo che una certa attività possa essere svolta in 7 modi diversi fra
loro, e che dopo averla svolta in uno qualsiasi di tali modi un’altra attività possa essere svolta
in 8 modi diversi fra loro (ma non necessariamente diversi dai precedenti 7). Allora il
numero dei modi diversi in cui si possono svolgere una dopo l’altra le due attività è 7 † 8 .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Dimostrazione  Procediamo per induzione su 8.
Se n œ ", c’è un solo modo nel quale si può svolgere la seconda attività, quindi l’unica
discrezionalità è nella scelta di come svolgere la prima: il numero dei modi in cui si può fare
questa scelta, cioè 7, è anche il numero dei modi in cui si possono svolgere una dopo l’altra le
due attività. L’asserto è dunque vero se 8 œ ".
Supponiamo ora vero l’asserto quando la seconda attività può essere svolta in 8 modi
diversi, e dimostriamolo nel caso in cui la seconda attività B può essere svolta in 8  " modi
diversi. Scegliamo 8 di tali modi, e indichiamo con B! l’attività consistente nell’effettuare uno
di tali 8 svolgimenti e con B" l’attività consistente nell’effettuare lo svolgimento rimanente.
Sia A la prima attività, che per ipotesi si può svolgere in 7 modi diversi, e siano

C! l’attività consistente nello svolgere prima A e poi B! ; essa può venire svolta,
per l’ipotesi di induzione, in 78 modi diversi;

C" l’attività consistente nello svolgere prima A e poi B" ; essa può venire svolta,
come si è visto nel paragrafo precedente, in 7 modi diversi.
Svolgere prima l’attività A e poi la B equivale a svolgere una o l’altra delle due attività
C! e C" . Poiché i modi in cui può essere svolta l’attività C" sono tutti distinti fra loro (nella
parte iniziale, relativa ad A) e dai modi in cui si può svolgere l’attività C! (nella parte finale,
essendo l’unico modo in cui si può svolgere l’attività B" diverso da ciascuno di quelli in cui si
può svolgere l’attività B! ) si può applicare il principio di addizione per concludere che le due
attività A e B una dopo l’altra possono essere svolte in 78  7 ( œ 7a8  "b) modi diversi,
come si voleva dimostrare.
In tutto questo capitolo, supporremo fissato un insieme finito A8 œ Ö+" , +# , á , +8 ×. È
ovvio, e lo osserviamo una volta per tutte, che quanto diremo non dipende in alcun modo dalla
“natura” degli elementi +" , +# , á , +8 ma solo dal numero naturale 8; in particolare, non
perdiamo in generalità nel ragionamento “etichettando” gli elementi di A8 con i numeri
naturali da " a 8 (come abbiamo fatto apponendovi l’indice).
13.2 - 5 -disposizioni con ripetizione.
Il Totocalcio è un concorso a premi istituito in Italia nel 1946, il cui obiettivo è la
previsione degli esiti di (attualmente) 14 partite di calcio riportate, ogni settimana, nel
tagliando di gioco denominato “schedina”. Per ogni partita (indicata con la coppia ordinata
delle squadre in gara) si deve marcare 1 se si prevede la vittoria della prima squadra, X se si
prevede un pareggio, 2 se invece si prevede la vittoria della seconda squadra. La sequenza di
14 previsioni (", X oppure #) è detta un pronostico.
Quanti sono i pronostici possibili?
Si tratta di contare le "%  ple ordinate dell’insieme A$ ³ {", X, #}, le quali in questo
contesto assumono una denominazione particolare.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Sia 5 un numero intero positivo.
Si dice 5 -disposizione (con ripetizione) di +" , +# , á , +8 (o anche disposizione di
+" , +# , á , +8 a 5 a 5 ) ogni 5 -pla ordinata di elementi di A8 (cioè ogni elemento del prodotto
cartesiano (A8 Ñ5 Ñ.
Naturalmente l’espressione “con ripetizione” (che infatti abbiamo scritto fra parentesi)
sta ad indicare la possibilità, non l’obbligatorietà che qualche elemento di A8 compaia più
volte nella 5 -pla; le “ripetizioni” sono forzate solo se 5  8 (come accade per i pronostici del
Totocalcio).
Teorema 13.2.1
Per ogni 5 − ™ , il numero delle 5 -disposizioni (con ripetizione) di +" , +# , á , +8 è 85 .
Dimostrazione  In funzione di 5 , indichiamo con D5 il numero delle
5  disposizioni (con ripetizione) di +" , +# , á , +8 . Osserviamo in primo luogo che
D5" œ 8 † D5 Þ
(*)
Infatti le (5  ")  disposizioni (B" , B# , B$ , á B5 , B5" ) di +" , +# , á , +8 si possono
“raggruppare” secondo l’ultimo elemento (cioè B5" ): ogni possibile scelta di B5" (scelta che
può avvenire in 8 modi diversi, cioè tanti quanti sono gli +4 ) vede ai primi 5 posti una delle D5
5  disposizioni (con ripetizione) di +" , +# , á , +8 , da cui la (*) per il principio di
moltiplicazione.
Proviamo allora l’asserto procedendo per induzione su 5 .
Se 5 œ ", è immediato che le "-disposizioni di +" , +# , á , +8 sono 8. Supponiamo
allora (ipotesi di induzione) che le 5  disposizioni siano 85 ; per la (*), le
(5  ")  disposizioni semplici di +" , +# , á , +8 sono 85" e l’asserto è completamente
provato.
Per il teorema 13.2.1, i possibili pronostici del Totocalcio sono $"% ( œ % ()# *'*).
Esercizio 13.2.2
Il codice di accesso a una banca dati è una sequenza ordinata di cinque caratteri alfanumerici
(lettere dell’alfabeto inglese e cifre). Quanti sono i codici possibili?
Soluzione  Sono tanti quante le disposizioni con ripetizione di $' Ð œ #'  "!)
oggetti a & a &, cioè $'& œ '!.%''."('.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Esercizio 13.2.3
In una nazione, le automobili sono targate con sequenze ordinate di sei cifre; in un’altra, con
sequenze ordinate di cinque caratteri alfanumerici escludendo le lettere “I”, “O”, “Q”, “B” che
possono dar luogo ad ambiguità di lettura da lontano. Quante auto possono essere targate con
questi metodi?
Soluzione  Col primo metodo si possono targare "!' Ð œ ".!!!.!!!) auto; col
secondo, $#& œ $$.&&%.%$#.
13.3 - 5 -disposizioni semplici.
A partire dall’ultimo decennio del ventesimo secolo lo stato italiano consente le
scommesse sugli avvenimenti sportivi anche in forma più generale rispetto al “Totocalcio” (a
cui si è accennato nella sez. 13.2). È possibile, ad esempio, scommettere su quali saranno le
squadre che occuperanno rispettivamente i primi cinque posti in classifica al termine del
Campionato di calcio di prima serie. In questo contesto, chiameremo pronostico una &  pla
ordinata di squadre di calcio della prima serie italiana tutte diverse fra loro. Analogamente a
quanto si è fatto all’inizio della sez. 13.2 ci chiediamo: per una siffatta scommessa, quanti
sono i diversi pronostici possibili?
Questa volta A8 è l’insieme delle squadre di prima serie del campionato italiano di
calcio (cosicché, ad oggi, 8 œ #!) e consideriamo particolari &  disposizioni degli elementi
di A8 : quelle in cui tutti gli elementi sono diversi fra loro. Esse assumono il nome particolare
di 5  disposizioni semplici, e ne diamo adesso la definizione precisa.
Sia 5 − ™ con 5 Ÿ 8.
Si dice 5  disposizione semplice di +" , +# , á , +8 (o anche disposizione semplice di
+" , +# , á , +8 a 5 + 5 ) ogni 5  pla ordinata di elementi di A8 tutti distinti fra loro.
Teorema 13.3.1
Per ogni 5 − ™ , 5 Ÿ 8, il numero delle 5  disposizioni semplici di +" , +# , á , +8 è
8 † (8  ") † á † (8  5  ") .
Dimostrazione  In funzione di 5 e 8, indichiamo con D85 il numero delle
5  disposizioni semplici di 8 oggetti. Osserviamo in primo luogo che (se 5  8)
(*)
D85" œ 8 † D58" Þ
Infatti le (5  ")  disposizioni semplici (B" , B# , B$ , á B5 , B5" ) di +" , +# , á , +8 si
possono “raggruppare” secondo il primo elemento (cioè B" ): ogni possibile scelta di B" (scelta
che può avvenire in 8 modi diversi, cioè tanti quanti sono gli +4 ) vede ai successivi 5 posti una
delle D8"
5  disposizioni semplici dei restanti 8  " +4 , da cui la (*) per il principio di
5
moltiplicazione.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Proviamo ora l’asserto procedendo per induzione su 5 .
Se 5 œ ", è immediato che le "  disposizioni semplici di +" , +# , á , +8 sono 8.
Supponiamo allora (ipotesi di induzione) che le 5  disposizioni semplici di 8 oggetti siano
8 † (8  ") † á † (8  5  ") (e le 5  disposizioni semplici di 8  " oggetti siano
(8  ") † á † ((8  ")  (5  ")), cioè (8  ") † á † (8  5 )).
Allora le (5  ")  disposizioni semplici di 8 oggetti sono, ricordando la (*),
8 † (8  ") † á † (8  5 )
e dunque l’asserto è completamente provato.
Per il teorema 13.3.1, i possibili pronostici sulle squadre che occuperanno
rispettivamente i primi cinque posti in classifica al termine del Campionato di serie A sono
#! † "* † ") † "( † "' ( œ " )'! %)!).
Particolare importanza riveste il caso 5 œ 8: il problema non è in questo caso quello di
scegliere gli elementi (vanno presi tutti!Ñ ma quello di ordinarli. Il numero dei modi distinti in
cui ciò si può fare in base al teorema 13.3.1 è 8 † (8  ") † á † $ † # † ": si tratta del prodotto
dei primi 8 numeri naturali, cioè si tratta (cfr. esercizio 3.9.7) di quel numero che abbiamo
indicato con la scrittura 8! .
In effetti, la nozione di “fattoriale” consente di riformulare il teorema 13.3.1 anche nel
caso più generale:
Teorema 13.3.2
Sia 5 un numero intero positivo minore o uguale a 8.
Il numero delle disposizioni semplici di 8 oggetti a 5 a 5 è
8!
(85 )! .
Dimostrazione  Basta ricordare che, per definizione (cfr. esempio 3.9.6), si ha
!x œ "x œ " .
Osservazione 13.3.3
Ricordiamo (cfr. sez. 5.1) che si dice permutazione su A8 ogni corrispondenza biunivoca
A8 Ä A8 . Ogni permutazione 1 di A8 individua una 8-disposizione semplice di +" , +# , á , +8 ,
precisamente la
Ð 1(+" Ñ, 1(+# Ñ, á , 1(+8 Ñ Ñ;
è chiaro che permutazioni distinte individuano 8  disposizioni distinte e che si ottengono così
tutte le 8  disposizioni semplici di +" , +# , á , +8 . Ciò si esprime a volte dicendo che i due
concetti (permutazione su A8 , 8  disposizione semplice di +" , +# , á , +8 Ñ sono equivalenti.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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Teorema 13.3.4
Il numero delle permutazioni su 8 oggetti è 8!.
Dimostrazione  Segue dall’oss. 13.3.3 applicando il teorema 13.3.2 per 5 ³ 8 .
Esercizio 13.3.5
Quante bandiere tricolori (formate da tre bande verticali colorate) si possono formare con
cinque colori assegnati?
Soluzione  La risposta è: & † % † $ œ '!.
Esercizio 13.3.6
Quante sono le possibili classifiche finali di un campionato di calcio a #! squadre?
Naturalmente prescindiamo, anche qui, dalle capacità agonistiche delle squadre.
Soluzione  La risposta è: #!! Ð ¶ #,%$$ † "!") Ñ.
Esercizio 13.3.7
Una certa emittente televisiva privata trasmette solo film. In quanti modi diversi può
organizzare un palinsesto di & film scegliendoli tra ( titoli?
(!
Soluzione  La risposta è: #! Ð œ ( † ' † & † % † $ œ #.&#!).
Esercizio 13.3.8
Quanti anagrammi (a prescindere dal senso) si possono ottenere dalla parola “ramo”? E dalla
parola “mamma”? E dalla parola “babbo”?
Soluzione  Gli anagrammi di “ramo” sono tanti quante le permutazioni su % oggetti,
ossia %! Ð œ #%).
Se però anagrammiamo la parola “mamma”, o la parola “babbo”, non ha senso
distinguere fra loro gli anagrammi che differiscono per una permutazione sulle tre “m”, sulle
due “a” o sulle tre “b”; conviene affrontare questo tipo di problemi utilizzando direttamente il
principio di moltiplicazione. Ci servono però alcune nozioni che introdurremo nella prossima
sezione, quindi riprenderemo la questione nell’esercizio 13.4.9 .
Una trattazione più generale di questo tipo di problema sarà data nell’osservazione
13.4.10.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
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13.4 - 5 -combinazioni semplici.
Il Superenalotto è un concorso a premi istituito in Italia nel 1997, il cui obiettivo è la
previsione di 6 numeri interi estratti senza reimbussolamento (21) fra quelli dell’intervallo
[", *!] (cfr. 4.3). I 6 numeri vanno riportati nel tagliando di gioco, usualmente denominato
“schedina”. In questo contesto, l’insieme dei 6 numeri riportati su ciascuna schedina è detto un
pronostico.
Come nelle sezioni 13.2 e 13.3, ci chiediamo: quanti sono i pronostici possibili?
Si noti che i numeri su ciascuna schedina vengono disposti in ordine strettamente
crescente: ciò significa che dobbiamo formare tutti i possibili raggruppamenti di 6 numeri
distinti (scelti tra " e *!) senza poterli distinguere in base all’ordine in cui vengono scritti
(perché tale ordine resta univocamente determinato dalla scelta dei numeri).
Sia 5 un numero naturale minore o uguale a 8.
Si dice 5 -combinazione semplice di +" , +# , á , +8 (o anche combinazione semplice di
+" , +# , á , +8 a 5 a 5 ) ogni 5 -pla ordinata (+3" , +3# , á , +38 Ñ per la quale sia 3"  3#  á  35 .
È utile (lo vedremo più avanti) formalizzare la definizione di 5 -combinazione semplice
utilizzando, come abbiamo fatto, la nozione di 5 -pla ordinata; bisogna però aver ben chiaro
che l’ordinamento è determinato dagli elementi, e quindi le 5 -combinazioni semplici sono
individuate solo dalla scelta degli elementi, e non dal loro ordinamento. Lo ribadiamo col
seguente teorema:
Teorema 13.4.1
Le 5 -combinazioni semplici di +" , +# , á , +8 sono in corrispondenza biunivoca con i
sottoinsiemi di Ö+" , +# , á , +8 × che hanno cardinalità 5 .
Dimostrazione  Sia V l’insieme delle 5 -combinazioni semplici di +" , +# , á , +8 , e
sia f l’insieme dei sottoinsiemi di A8 formati da 5 elementi.
Sia f : V Ä f la funzione che alla 5 -combinazione semplice (+3" , +3# , á , +35 Ñ associa
l’insieme Ö+3" , +3# , á , +35 × (poiché per ipotesi 3"  3#  á  35 , gli elementi +3" , +3# , á , +35
sono tutti distinti e dunque effettivamente Ö+3" , +3# , á , +35 × − f ).
Proviamo che f è suriettiva: se Ö+4" , +4# , á , +45 × − f , riordinando opportunamente i
suoi elementi possiamo ottenere una 5 -combinazione semplice, la cui immagine mediante f è
proprio Ö+4" , +4# , á , +45 ×.
Proviamo infine che f è iniettiva: 5 -combinazioni semplici che hanno la stessa
immagine mediante f sono formate dagli stessi elementi; poiché tali elementi possono essere
ordinati in un solo modo rispettando la condizione che gli indici siano strettamente crescenti,
le 5 -combinazioni semplici da cui eravamo partiti devono coincidere.
21
Ciò significa che il primo numero viene estratto fra i 90 numeri interi compresi nell’intervallo [", *!],
il secondo fra gli 89 numeri interi restanti, il terzo fra gli 88 numeri interi restanti, e così via. In particolare, i 6
numeri interi estratti sono certamente tutti diversi.
M. Barlotti
 appunti di
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Teorema 13.4.2
Sia 5 un numero naturale minore o uguale a 8.
n!
Il numero delle 5 -combinazioni semplici di +" , +# , á , +8 è k!†(85 )! .
Dimostrazione  Sia W l’insieme delle 5 -disposizioni semplici di +" , +# , á , +8 .
Definiamo in W la seguente relazione:
(+3" , +3# , á , +35 Ñ µ (+4" , +4# , á , +45 Ñ se e solo se esiste una permutazione 1 su 3" , 3# , á , 35
tale che 1(3" Ñ œ 4" , 1(3# Ñ œ 4# , á , 1(35 Ñ œ 45 .
Si verifica facilmente che µ è una relazione di equivalenza su W, e che ogni 5 -combinazione
semplice appartiene ad una e una sola classe di equivalenza. Ogni classe di equivalenza ha 5 !
elementi (perchè le permutazioni su 5 oggetti sono 5 !, cfr. 13.3.2), dunque le classi di
equivalenza sono
|W |
8!
5 ! œ 5 !†(85 )! .
Questo è anche il numero delle 5 -combinazioni semplici di +" , +# , á , +8 .
Sia 5 un numero naturale minore o uguale a 8. Il numero
8!
5 !†(85 )!
si indica con ˆ 5 ‰ (leggi: “8 su 5 ”Ñ. Tutti i numeri della forma ˆ 5
coefficienti binomiali.
8
8
‰ (con 5 Ÿ 8) si dicono
Possiamo così riformulare il teorema 13.4.2:
Teorema 13.4.3
Sia 5 un numero naturale minore o uguale a 8.
Il numero delle 5  combinazioni semplici di +" , +# , á , +8 è
ˆ *!
‰œ
'
ˆ 85 ‰.
Dunque, il numero dei possibili pronostici al Superenalotto è
*!†)*†))†)(†)'†)&
œ '## '"% '$!.
'†&†%†$†#
Esempio 13.4.4
Sia X un insieme che ha esattamente #% elementi. Il numero dei sottoinsiemi di X che hanno
esattamente ) elementi è
ˆ #%
‰œ
)
#%†#$†##†#"†#!†"*†")†"(
œ ($& %(".
)†(†'†&†%†$†#
M. Barlotti
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”
 appunti di

v. #.*"

Pag. 149
Il teorema che segue espone le relazioni più importanti che intercorrono fra i
coefficienti binomiali: su di esse, fra l’altro, è fondata una importante regola pratica per il
calcolo degli stessi.
Teorema 13.4.5
8 ‰
ˆ 85 ‰ œ ˆ 85
;
ˆ
Sia 5 un numero naturale minore o uguale a 8. Si ha
(+ )
(- ) 5 † ˆ 5
8
(, )
‰ œ 8 † ˆ 8"
‰
5" ;
8
5
‰œˆ
8" ‰ ˆ 8"
 5"
5
8
(. ) ˆ ! ‰ œ " .
‰;
Dimostrazione  Si tratta di semplici verifiche.
8 ‰
ˆ 85
œ
Proviamo la (+).
8!
8!
8!
(85 )!†(8(85 )Ñ! œ (85 )!†5 ! œ 5 !†(85 )! œ
ˆ 8"
‰  ˆ 8"
‰
5
5" œ
ˆ 85 ‰.
Proviamo la (,). Si ha
(8")!
(8")!
5 !†(85")!  (5")!†(85 )! .
Riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni al secondo membro; a tale scopo,
85
5
moltiplichiamo la prima per 85 e la seconda per 5 .
Si ottiene
(8")!†(85 )
(8")!†5
(8")!†(855 )
8!
œ 5 !†(85 )! œ
5 !†(85 )!  5 !†(85 )! œ
5 !†(85 )!
5†ˆ 5
‰œ5†
(8")!
8!
8!
ˆ 8"
5 !†(85 )! œ (5")!†(85 )! œ 8 † (5")!†(85 )! œ 8 † 5"
Proviamo la (- ). Si ha
8
ˆ 85 ‰.
Proviamo infine la (. ). Si ha
ˆ 8! ‰ œ
8!
8!
!!†(8!)! œ 8! œ ".
‰.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 150
Applicando le relazioni espresse dal teorema 13.4.5 si costruisce il triangolo di
Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal), riportando su righe successive i coefficienti
binomiali ˆ 85 ‰ in modo che (numerando le righe con !, ", #, á Ñ la riga 8-sima consista
nell’ordine dei numeri ˆ 8! ‰, ˆ 8" ‰, á , ˆ 88 ‰.
Precisamente:
 Il primo e ultimo numero di ogni riga è " (per la (- ) del teorema 13.4.5, tenendo conto
della (+)Ñ;
 Ogni numero di ciascuna riga, eccetto il primo e l’ultimo, è la somma dei due numeri
immediatamente soprastanti (per la (,) del teorema 13.4.5);
 Lo schema è simmetrico rispetto a un asse di simmetria verticale (per la (+) del teorema
13.4.5).
"
"
"
"
"
"
"
#
$
%
&
'
"
$
'
"!
"&
"
"
%
"!
#!
"
&
"&
"
'
"
.................................
Teorema 13.4.6
Se +, , − ‘ e 8 − ÏÖ!×, si ha
8 ‰ 8"
(+  ,)8 œ ˆ 8! ‰+8  ˆ 8" ‰+8" ,  á  ˆ 8"
+,
 ˆ 88 ‰, 8 œ ! ˆ
8
5œ!
8
5
‰+85 , 5 .
8
Dimostrazione  Valutiamo (+  ,) . Si ha
(+  ,)8 œ (+  ,) † (+  , ) † á † (+  , )
(8 volte).
L’espressione al secondo membro si sviluppa nella somma di prodotti ottenuti scegliendo uno
dei due termini +, , per ciascuno degli 8 fattori in tutti i modi possibili. Tali prodotti, per la
proprietà commutativa della moltiplicazione, si possono scrivere tutti nella forma +5 ,85
(notiamo che la somma degli esponenti deve essere 8).
Fissiamo l’attenzione su un particolare valore di 5 : quante diverse scelte dei termini +, ,
danno luogo al prodotto +5 ,85 ? “Etichettiamo” ogni fattore (+  ,) con un +3 (3 œ ", á , 8);
ogni scelta che comprende esattamente 5 volte “+” corrisponde a un sottoinsieme di A8 di
cardinalità 5 (formato da quei 5 elementi che “etichettano” i fattori dai quali è stato scelto
“+”Ñ: dunque (per 13.4.1 e 13.4.3) nello sviluppo di (+  , )8 vi sono esattamente ˆ 85 ‰
termini della forma +5 ,85 . Da ciò segue l’asserto.
M. Barlotti
 appunti di
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
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Pag. 151
Dimostrazione alternativa  Possiamo in alternativa procedere per induzione su 8 .
L’asserto è ovvio se 8 œ ", dunque supponiamo sia vero per 8 e proviamolo per 8  " . Si ha
che
(+  ,)8" œ (+  , )8 (+  , ) œ Œ ! ˆ 85 ‰+85 , 5 (+  , ) œ
8
5œ!
œ ! ˆ 85 ‰+85" ,5  ! ˆ 85 ‰+85 ,5"
8
8
5œ!
5œ!
Posto 2 ³ 5  ", da cui 5 œ 2  ", si ha
! ˆ 8 ‰+85 ,5" œ ! ˆ 8 ‰+82" ,2
5
2"
8
8"
5œ!
2œ"
e scrivendo di nuovo 5 in luogo di 2 si è trovato che
8 ‰ 85" 5
(+  ,)8" œ !ˆ 85 ‰+85" ,5  !ˆ 85 ‰+85 ,5" œ !ˆ 85 ‰+85" ,5  !ˆ 5"
+
, œ
8
8
8
8"
5œ!
5œ!
5œ!
5œ"
8 ‰‰ 85" 5
œ ˆ 8! ‰+8" ,!  !ˆˆ 85 ‰  ˆ 5"
+
,  ˆ 88 ‰+! ,8" œ
8
5œ"
(per la (,) del teorema 13.4.5)
‰+85" ,5  ˆ 88 ‰+! ,8" œ !ˆ 85 ‰+8"5 ,5
œ ˆ 8! ‰+8" ,!  !ˆ 8"
5
8
8"
5œ"
5œ!
cioè l’asserto per 8  ", come si voleva.
I coefficienti binomiali hanno questo nome proprio perché compaiono come
coefficienti negli sviluppi delle potenze di un binomio.
Teorema 13.4.7
|c (A8 Ñ| œ #8 .
Dimostrazione  Per ogni numero naturale 5 Ÿ 8, esistono esattamente ˆ 85 ‰
sottoinsiemi di A8 aventi cardinalità 5 (cfr. 13.4.1 e 13.4.3). Dunque,
8
|c (A8 Ñ| œ ! ˆ 8 ‰.
5œ!
5
D’altro lato, applicando il teorema 13.4.6 con + œ , œ ", si ottiene
! ˆ 8 ‰ œ ! ˆ 8 ‰"85 † "5 œ ("  ")8 œ #8 .
5
5
8
8
5œ!
5œ!
Esercizio 13.4.8
Si dimostri il teorema 13.4.7 procedendo per induzione su 8 .
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 152
Esercizio 13.4.9
Quanti anagrammi (a prescindere dal senso) si possono ottenere dalla parola “mamma”? E
dalla parola “babbo”?
Soluzione  Per “riordinare” la parola “mamma” è sufficiente assegnare il posto alle
tre lettere “m” (nei rimanenti due posti collocheremo le due lettere “a”). I modi in cui si
possono scegliere tre posti fra cinque a disposizione sono tanti quanti i modi in cui si può
scegliere un sottoinsieme formato da tre elementi in un insieme di cinque elementi, cioè
(teorema 13.4.1 e teorema 13.4.2) sono ˆ &$ ‰ œ "!.
Per “riordinare” la parola “babbo” conviene procedere in due passi (e applicare il
principio di moltiplicazione). Prima si assegnano i posti alle tre lettere “b” (e abbiamo visto
che, su cinque posti a disposizione, questo si può fare in "! modi diversi), poi nei due posti
rimasti disponibili sistemiamo le due lettere “a” e “o” (e questo si può fare in #x œ # modi
diversi). Applicando il principio di moltiplicazione, si trova che (a prescindere dal senso) gli
anagrammi effettivamente diversi della parola “babbo” sono "! † # œ #! .
Osservazione 13.4.10
Se abbiamo 8 oggetti dei quali 5" sono tutti uguali fra loro, 5# sono tutti uguali fra loro, á , 5=
sono tutti uguali da loro, il numero delle 8  ple ordinate effettivamente distinte che si
possono formare con tali oggetti è
8x
5" x†5# x†á†5= x
.
Dimostrazione  Per formare le 8  ple ordinate, procediamo per passi applicando
poi il principio di moltiplicazione.
diversi.
Primo passo: scegliamo il posto dei primi 5" oggetti; questo si può fare in Š 58" ‹ modi
Secondo passo: scegliamo il posto dei successivi 5# oggetti; poiché sono rimasti
"
disponibili 8  5" posti, questo si può fare in Š 85
5# ‹ modi diversi.
Terzo passo: scegliamo il posto dei successivi 5$ oggetti; poiché sono rimasti
disponibili 8  5"  5# posti, questo si può fare in Š 855"$5# ‹ modi diversi.
Si procede così per = passi, sistemando i primi 5"  5#  á  5= oggetti. Per il
principio di moltiplicazione, ripetutamente applicato, ciò si può fare in
85" 5#
"
Š 58" ‹ † Š 85
‹ † á † Š 85" 55#=á5=" ‹
5# ‹ † Š
5$
modi diversi.
M. Barlotti
 appunti di
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
Pag. 153
Nei rimanenti 8  5"  5# á  5=" posti sistemiamo infine i restanti oggetti; questo si
può fare in a8  5"  5# á  5=" bx modi diversi. Applicando ancora una volta il principio di
moltiplicazione, si trova che il numero delle 8  ple ordinate effettivamente distinte che si
possono formare con gli 8 oggetti dati è
85" 5#
"
Š 58" ‹ † Š 85
‹ † á † Š 85" 55#=á5=" ‹ † a8  5"  5# á  5=" bx œ
5# ‹ † Š
5$
8x
="
œ 5 x†a85
† 5# x†a85""5# bx † 5$x†a85""5##5$ bx † 5=x†a85""5#á5
† a8  5"  5# á  5=" bx œ
"
" bx
= bx
a85 bx
a85 5 bx
œ
a85 á5
8x
5" x†5# x†á†5= x
bx
.
13.5 - 5 -combinazioni con ripetizione.
Supponiamo di avere a disposizione una quantità illimitata di palline di tre colori:
rosso, verde, azzurro. Quanti sacchetti “diversi” di sette palline possiamo formare? (Due
sacchetti si considerano “diversi” se differiscono per il numero delle palline di uno almeno dei
tre colori). È chiaro che questo non può essere interpretato come un problema di disposizioni
dei tre colori dati (l’ordine delle palline non conta!Ñ; non si tratta però nemmeno di
combinazioni semplici, perché i colori possono (in questo esempio, devono) essere ripetuti.
Se l’esempio delle palline colorate sembra troppo frivolo, si pensi a quest’altro
problema: quanti termini ha il polinomio omogeneo generale di grado sette nelle tre
indeterminate x, y, z? La risposta è data dal numero dei monomi “diversi” della forma x! y" z#
con !, " , # −  e !  "  # œ (; ciascuno di questi monomi è un “sacchetto” di sette lettere
scelte tra x, y, z. Questo problema ha dunque la stessa soluzione del precedente.
Sia 5 un numero intero positivo.
Si dice 5 -combinazione con ripetizione di +" , +# , á , +8 (o anche combinazione con
ripetizione di +" , +# , á , +8 a 5 a 5 ) ogni 5 -pla ordinata (+3" , +3# , á , +35 Ñ per la quale sia
3" Ÿ 3 # Ÿ á Ÿ 3 5 .
Notiamo che in questa definizione, come già in quella di 5 -combinazione semplice, la
scelta degli elementi +34 determina il loro ordinamento; solo tale scelta caratterizza dunque le
5-combinazioni.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 154
Teorema 13.5.1
Sia 5 un numero intero positivo.
ˆ 85"
‰.
5
Il numero delle 5 -combinazioni con ripetizione di +" , +# , á , +8 è
Dimostrazione  Sia V ÐrÑ l’insieme delle 5 -combinazioni con ripetizione di
+" , +# , á , +8 , e sia ^ l’insieme delle 5 -combinazioni semplici di ", #, á , 8  5  ".
Per provare l’asserto, sarà sufficiente dimostrare che la funzione f : (A8 Ñ5 Ä 5 che alla 5 -pla
ordinata (+3" , +3# , á , +35 Ñ associa la 5 -pla ordinata (3" , 3#  ", 3$  #, á , 35  5  ") è una
corrispondenza biunivoca tra V ÐrÑ e ^.
Osserviamo in primo luogo che f(V ÐrÑ Ñ § ^. In effetti, se
" Ÿ 3" Ÿ 3 # Ÿ 3 $ Ÿ á Ÿ 3 5 Ÿ 8 ,
si ha certamente
" Ÿ 3"  3 #  "  3 $  #  á  3 5  5  " Ÿ 8  5  " .
Inoltre, f è iniettiva (se due 5 -combinazioni con ripetizione differiscono per la 4-sima
componente, ciò avviene anche per le corrispondenti (8  5  ")-combinazioni).
Resta da provare che f è suriettiva. Sia (4" , 4# , á , 45 Ñ − ^; allora
" Ÿ 4"  4#  á  45 Ÿ 8  5  ",
da cui
" Ÿ 4" Ÿ 4#  " Ÿ 4$  # Ÿ á Ÿ 45  5  "
e quindi
(+4" , +4# " , +4$ # , á , +45 " Ñ − V ÐrÑ ;
ma
f(a4" , +4# " , +4$ # , á , +45 5" Ñ œ (4" , 4# , á , 45 Ñ
e l’asserto risulta così completamente provato.
Siamo in grado ora di risolvere il problema (anzi, i due problemi) da cui eravamo
partiti.
La risposta è
ˆ $("
‰ œ ˆ *( ‰ œ
(
*!
(!†#!
œ
*†)
#
œ $'.
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

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
Pag. 155
Esercizio 13.5.2
Quanti sono i numeri di ' cifre nei quali ogni cifra è maggiore o uguale alla successiva? (Sono
esempi di tali numeri: (&&%#!, &&&&&&, '&%$"".Ñ
Soluzione  I numeri considerati restano individuati dalle '-combinazioni con
ripetizione delle "! cifre (bisogna escludere la (!, !, !, !, !, !), che non corrisponde a un
numero di sei cifre); sono dunque
ˆ "!'"
‰  " œ ˆ "&
‰"œ
'
'
"&!
"&†"%†"$†"#†""†"!
 " œ & !!% .
'!†*!  " œ
'†&†%†$†#
Esercizio 13.5.3
Quante soluzioni in ( ha l’equazione
B"  B#  B$  B%  B&  B'  B( œ "!!
?
Soluzione  Se pensiamo di avere a disposizione una quantità illimitata di palline (o
di oggetti di qualsiasi natura) ciascuna etichettata con uno dei sette simboli B" , B# , B$ , B% , B& ,
B' e B( , ogni soluzione dell’equazione considerata si può identificare con un “sacchetto”
formato da "!! di queste palline (e soluzioni diverse corrispondono a diverse composizioni
del sacchetto). Per quanto osservato all’inizio della sezione, il numero cercato è dunque il
numero delle "!!  combinazioni con ripetizione di ( oggetti, ossia
ˆ "!!("
‰ œ ˆ "!'
‰
"!!
"!! œ
"!'!
"!'†"!&†"!%†"!$†"!#†"!"
œ
'!†"!!! œ
'†&†%†$†#
œ " (!& *!% (%' .
13.6 - Esercizi di ricapitolazione.
13.6.1
È dato un insieme finito X. Se il numero dei sottoinsiemi di X che hanno cardinalità & è uguale
al numero dei sottoinsiemi di X che hanno cardinalità $, qual è la cardinalità di X?
Soluzione  Sia |X| œ 8. Per ipotesi, ˆ &
8
‰ œ ˆ 8$ ‰, ossia
8†(8")†(8#)†(8$)†(8%)
8†(8")†(8#)
œ
&†%†$†#
$†#
da cui
(8  $) † (8  %) œ #!.
Tale equazione di secondo grado nell’incognita 8 ha la sola radice positiva 8 œ ). Dunque
± X ± œ ).
M. Barlotti
 appunti di
“Algebra” per l’insegnamento di “Matematica discreta e Logica”

v. #.*"

Pag. 156
13.6.2
Sono dati nel piano "! punti, fra i quali non ve ne sono tre allineati. Quante rette si ottengono
congiungendoli a due a due? Quanti triangoli hanno tutti i vertici fra quei punti?
Soluzione  Due punti individuano una retta; poiché fra i punti dati non ve ne sono
tre allineati, coppie distinte di punti individuano rette distinte. Dunque si ottengono
ˆ "!
‰ œ %&
#
rette.
I triangoli sono individuati dalla scelta dei vertici; il loro numero è quindi
ˆ "!
‰ œ "#! .
$
13.6.3
Quanti sono gli ambi che si possono giocare al lotto? Quanti di essi vengono estratti su ogni
ruota? E i terni? E le cinquine?
‰ œ %!!&. Di questi ne
Soluzione  Gli ambi che si possono giocare sono ˆ *!
#
&
vengono estratti su ogni ruota ˆ # ‰ œ "!.
‰ œ ""(.%)!. Di questi ne vengono estratti su ogni
I terni che si possono giocare sono ˆ *!
$
&
ruota ˆ $ ‰ œ "!.
‰ œ %$.*%*.#'). Di queste ne viene estratta una
Le cinquine che si possono giocare sono ˆ *!
&
su ogni ruota.
13.6.4
In quanti modi diversi possiamo allineare ) segni “  ” e $ segni “  ” in modo che due segni
“  ” non siano mai adiacenti?
Soluzione  Scriviamo gli ) segni “  ” intervallati da “B”, come segue:
B  B  B  B  B  B  B  B  B.
I tre segni “  ” vanno sostituiti a tre delle “B”, e scelte diverse delle tre “B” danno
luogo ad allineamenti diversi. Dunque il numero dei possibili diversi allineamenti è uguale al
numero dei modi diversi in cui possiamo scegliere tre elementi in un insieme di nove elementi,
ossia ˆ *$ ‰ œ ˆ *' ‰ œ *†)†(
$†# œ )4 .