Le discipline della matematica
Scritto da Enrico De Santis
Domenica 23 Maggio 2010 17:49 - Ultimo aggiornamento Mercoledì 20 Luglio 2011 07:50
In questo articolo andiamo a illustrare in un grafo strutturato quali sono le discipline della
matematica. Tale schema è stato estrapolato da: “Atlante di matematica-Fondamenti Algebra e
geometria Analisi e matematica applicata
,
Hoepli,1993 pag. 2”.
Anche se non tutti gli studiosi della matematica sono in accordo, sembra che la ricerca sui
fondamenti della matematica ha mostrato che il concetto di insieme e il concetto di applicazione
sono fondamentali per la costruzione e lo sviluppo delle principali discipline della matematica.
Le discipline della matematica in forma schematica
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Logica matematica
Disciplina che formalizza il linguaggio con il quale si esprimono le affermazioni (proposizioni)
matematiche, pone le regole per poter dedurre da enunciati nuovi enunciati (inferenza),
analizza le forme enunciative e studia con rigore i procedimenti di dimostrazione.
continua...
Teoria degli insiemi
Teoria che precisa il concetto di insieme, importante strumento della matematica pura, etratta i
rapporti tra insiemi. La simbologia ed i risultati dell’algebra degli insiemi servono per dare una
rappresentazione unitaria delle diverse discipline matematiche e giocano un ruolo importante
anche nelle applicazioni (ad esempio nei calcolatori).
Relazioni
Le relazioni instaurano rapporti tra gli elementi di un insieme (ad esempio la classificazione
tramite le relazioni di equivalenza) oppure tra insiemi diversi.
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Applicazioni
Sono definite come particolari relazioni.
Strutture
Sono definite su insiemi (strutture algebriche, topologiche e strutture d’ordine) e vengono
comprese con il concetto di relazione.
Costruzione del sistema numerico
Ogni disciplina matematica fa uso del suo sistema numerico e della sua struttura. Con la
costruzione del sistema numerico si amplia il concetto di numero. L’occuparsi di strutture,
numeri, domini e figure fa si che la matematica sia divisa in alcune branche sia dal punto di
vista del contenuto che da quello storico, tenendo conto degli impulsi delle altre scienze (fisica,
ingegneria…).
Algebra
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Teoria che prende in considerazione insiemi con struttura per l’appunto algebrica (gruppi, anelli,
corpi, moduli, spazi vettoriali. Inoltre l’algebra sviluppa dei metodi risolutivi per equazioni e
sistemi di equazioni. In algebra lineare si mettono in evidenza l’algebra delle matrici e i
determinanti utilizzate nella soluzione dei suddetti sistemi. La teoria di Galois consente di
trattare problemi geometrici con metodi algebrici.
Teoria dei numeri
Teoria che si occupa dei problemi di divisibilità nell’anello dei numeri interi e nei corpi algebrici
numerici con strumenti dell’algebra e dell’analisi.
Geometria
Branca che esamina la forma e la grandezza delle figure. Importante è l’osservazione dello
spazio nel quale viviamo. Formulando degli assiomi si arriva a costruire spazi astratti differenti a
seconda del sistema di assiomi scelto.
Geometria analitica
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Disciplina che si occupa dello studio delle figure tramite l’ausilio dei vettori. Attraverso
quest’ultimi, l’utilizzo del metodo delle coordinate e alcune altre metodologie si algebrizza la
geometria.
Topologia
Disciplina che ricerca strutture applicabili su insiemi. I concetti base (intorni, insieme aperto)
sono presi in prestito dall’analisi matematica. Un approccio assiomatico consente una
topologizzazione di spazi molto generali. Importanti sono gli spazi metrici.
Topologia algebrica
Strumenti algebrici per risolvere problemi topologici
Teoria dei grafi
Branche che origina dalla topologia. E’ uno studio dei problemi teorici e pratici ricondotti a vertici
e ai lati che li collegano.
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Calcolo differenziale e integrale
Studi di alcuni aspetti delle funzioni reali e non servendosi del concetto matematico di limite
(differenziabilità, integrabilità, problema delle tangenti, determinazione del volume di superfici.
Tale calcolo parte dall’insieme di funzioni definite sui reali monodimensionali fino ad arrivare
all’insieme dei reali multidimensionali.
Teoria della misura
Generalizzazione della teoria dell’integrazione in quanto quest’ultima è definita come particolare
misura (associazione di un numero reale ad un insieme) di un dato dominio con particolari
proprietà topologiche.
Teoria delle equazioni differenziali
Teoria derivante dal calcolo differenziale sviluppata per la soluzione di problemi pratici (fisica,
ingegneria, economia, etc.) con il metodo delle derivate (parziali).
Analisi funzionale
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Utilizzando i metodi propri della topologia su insiemi di funzioni (spazi funzionali) si ottengono
ampie generalizzazioni del calcolo infinitesimale.
Geometria differenziale
Disciplina che si occupa dello studio di curve e superfici trattabili con il calcolo infinitesimale.
Teoria delle funzioni
Il trasferimento dei metodi del calcolo infinitesimale alle funzioni complesse conduce a tale
teoria che insieme al prolungamento analitico pota al concetto di superfici di Riemann.
Calcolo combinatorio
Disciplina che studia problemi numerici su insiemi finiti (geometria,teoria dei numeri, teoria dei
grafi e calcolo delle probabilità)
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Calcolo delle probabilità e statistica
Metodi provenienti dalla combinatoria che partono dallo studio dei fenomeni casuali ponendo le
basi per la statistica.
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