CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
Soluzioni esercizi del 20 OTTOBRE 2015
ARITMETICA / TEORIA DEI NUMERI
1) La risposta è (D). Osserviamo che 2^3 ・ 5^4 ・ 10^5 = 2^3 ・ 5^3 ・ 5 ・ 10^5 = 10^3 ・ 5 ・ 10^5 = 5 ・ 10^8. Dunque il numero che stiamo considerando è compreso tra 10^8 e 10^9, estremi esclusi; quindi ha 9 cifre. 2) La risposta è (C). 3) La risposta è (A). Scriviamo: Il risultato di questo prodotto è una somma di monomi, ciascuno dei quali è il prodotto di uno dei tre monomi della prima parentesi tonda, per uno dei tre monomi della seconda, per uno dei tre della terza, e così via fino a uno dei tre monomi dell'ultima parentesi tonda. Se ad esempio da ciascuna parentesi tonda scegliamo il monomio x^2 otteniamo il termine x^200. Se invece scegliamo dalla prima parentesi il monomio x e da tutte le altre il monomio x^2 otteniamo x^199. Questo accade tutte le volte che scegliamo da una delle 100 parentesi il monomio 1 e da tutte le altre x^2; dato che abbiamo 100 modi diversi per farlo, alla fine abbiamo che il termine x^199 compare nella somma almeno 100 volte. Osserviamo infine che non ci sono altre scelte che portano a termini x^199; infatti se da almeno due parentesi non scegliamo il monomio x^2, comunque si scelgano i monomi da tutte le altre il prodotto avrà grado minore o uguale a 198. Quindi il coefficiente di x^199 è 100. 4) La risposta è (C). Consideriamo un numero di due cifre compreso tra 10 e 99 (estremi inclusi), che non abbia come seconda cifra 0. Chiamiamo D la cifra delle decine e U la cifra delle unità di questo numero. In corrispondenza di questo numero Rita scrive sul foglio il numero D − U. Se le due cifre sono uguali, allora D−U = 0. Se invece le due cifre sono diverse, il numero che ha le cifre scambiate, ovvero U come cifra delle decine e D come cifra delle unità è compreso tra 10 e 99 ed in corrispondenza di questo numero Rita scrive U − D, ovvero l’opposto del numero di prima. I due numeri D − U e U − D scritti da Rita sul foglio e sommati daranno un contributo nullo alla somma finale. Quindi per fare la somma richiesta possiamo considerare solo i multipli di dieci compresi tra 10 e 90. E’ facile calcolare che la somma dei contributi dati da questi numeri è 45. 5) La risposta è (A). Diamo ai numeri delle caselle vuote della griglia dei nomi, come nella prima griglia di quelle riportate sotto. Sommando i numeri della riga più in basso troviamo 9+x: questo è il valore che si deve ottenere sommando i numeri di una qualsiasi riga, colonna o diagonale. Considerando la somma dei numeri nella diagonale che va da destra in alto a sinistra in basso, otteniamo subito d = 3. Se poi consideriamo la diagonale che va da sinistra in alto a destra in basso, troviamo che a deve essere uguale a 1 + x. Nella colonna più a destra troviamo e = x − 2 e quindi, nella riga centrale, troviamo c = 8. A questo punto sommando i numeri della prima colonna troviamo a + c + x = 1 + x + 8 + x = 9 + 2x; questa somma deve coincidere con 9 + x da cui si ottiene x = 0. La griglia completa è allora: 6) La risposta è (B). Chiamiamo gli undici numeri a1, a2, …., a11. Sappiamo che 7) La risposta è (C). Se N è un numero con la proprietà richiesta, N deve essere un quadrato perfetto compreso tra 1 e 100, estremi inclusi, quindi le possibilità per N sono: N = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 . Abbiamo: N = 1 , divisori : {1} , numero di divisori: 1 , 1 = 1^2 N = 4 , divisori : {1, 2, 4} , numero di divisori: 3 , 4≠ 3^2 N = 9 , divisori : {1, 3, 9} , numero di divisori: 3 , 9 = 3^2 N = 16 , divisori : {1, 2, 4, 8, 16} , numero di divisori: 5 , 16 ≠5^2 N = 25 , divisori : {1, 5, 25} , numero di divisori: 3 , 25 ≠3^2 N = 36 , divisori : {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} , numero di divisori: 9 , 36 ≠ 9^2 N = 49 , divisori : {1, 7, 49} , numero di divisori: 3 , 49 ≠ 3^2 N = 64 , divisori : {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} , numero di divisori: 7 , 64≠ 7^2 N = 81 , divisori : {1, 3, 9, 27, 81} , numero di divisori: 4 , 81 ≠ 4^2 N = 100 , divisori : {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} , numero di divisori: 9 , 100 ≠ 9^2 . Solo i due valori N = 1 e N = 9 hanno la proprietà richiesta. 8) La risposta è (C). Infatti (poichè b > 0 e d > 0) la disequazione C è equivalente a d(a + c) ≤ c(b + d), che equivale a sua volta a ad ≤ bc, ovvero Le altre risposte sono tutte errate. Prendendo a = b = c = d = 1, si otterrebbe infatti 1 ≥ 2 dalla A, e 1 > 1 dalla D, disuguaglianze evidentemente false. Prendendo invece a = c = 1 e b = d = 2, la B fornirebbe , assurdo. 9) La risposta è (C). Il numero di giorni dopo i quali si ritroveranno a correre insieme è dato dal minimo comune multiplo fra 10, 15 e 14, che è 210. Le tre amiche si ritroveranno a correre insieme dopo 210 giorni, cioè 30 settimane. 10) La risposta è (D). Indichiamo con B il prezzo della benzina oggi, e con P ed O rispettivamente il costo del prodotto e il costo del petrolio, sempre riferiti ad oggi. Sappiamo che Di conseguenza oggi il costo del petrolio costituisce l' 8,4% del prezzo della benzina. Se il costo del petrolio aumenta del 10% (ovvero di un decimo) e tutti gli altri costi rimangono invariati, il prezzo della benzina aumenterà di un decimo dell'8,4%, ovvero dello 0,84%. [Problema proposto da C. Di Stefano.] 11) La risposta è (B). La successione di salti del canguro è 3 – 1 + 5 – 3 + 7 – 5 + … = (3 -­‐1 ) + ( 5 -­‐ 3) + ( 7 – 5 ) +…= 3 + ( -­‐1 + 5 ) + ( -­‐3 + 7 ) + ( -­‐5 + 9 ) + … Quindi salterà su tutti i gradini pari (precisamente dopo il salto 2k si trova sul gradino 2k ) mentre tocca tutti e soli i gradini dispari della forma 4k+3. (precisamente dopo il salto 1+2k si trova sul gradino 3+4k) Dunque riuscirà a salire fino in cima solo se il gradino pericolante è della forma 4k+1. 12) La risposta è (D). Chiamiamo T e L rispettivamente il numero delle tabaccherie e delle latterie presenti lo scorso anno a Nonfumo. Una prima relazione è Quest’anno ci sono T −2 tabaccherie e L+2 latterie e sappiamo che le prime sono i 9/16 delle seconde, quindi Sostituendo il valore di T dato dalla prima uguaglianza nella seconda arriviamo a Se da questa equazione ricaviamo L, troviamo L = 30.
