LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E LA SIMILITUDINE LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano un punto del piano stesso. Ogni punto (o figura) che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto il trasformato (o l’immagine) del punto (o della figura) di partenza. Quando in una trasformazione a un punto corrisponde se stesso, diciamo che il punto è unito. Una figura unita è una figura che coincide con la sua trasformata. Le proprietà delle figure che non cambiano nelle trasformazioni si chiamano invarianti. L’identità è la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso. LE ISOMETRIE Le isometrie sono le trasformazioni che descrivono i movimenti che mantengono inalterate le misure degli oggetti, ossia i movimenti rigidi. Esse hanno come invariante la distanza fra i punti: la distanza fra due punti è uguale alla distanza fra le loro immagini. Le figure che si corrispondono in un’isometria sono congruenti. LA TRASLAZIONE
Fissato nel piano un vettore v , una traslazione è una trasformazione geometrica che a ogni →
punto P fa corrispondere il punto P! tale che il vettore PP! ha la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso di v . La traslazione è un’isometria. La traslazione di vettore nullo coincide con l’identità. In una traslazione di vettore qualsiasi non nullo non esistono punti uniti. In una traslazione di vettore v ogni retta parallela al vettore è unita. 1 LA ROTAZIONE Fissato nel piano un punto O e un angolo α , la rotazione di centro O e angolo α è quella trasformazione geometrica che a ogni P fa corrispondere il punto P! tale che: • OP ≅ OP" ; •
l’angolo PÔP! è congruente ad α e ugualmente orientato. La rotazione è un’isometria. La rotazione nulla (di angolo nullo o di un angolo multiplo di un angolo giro) coincide con l’identità. In una rotazione non nulla l’unico punto unito è il centro O . Esistono figure unite rispetto a particolari rotazioni, per esempio: • la circonferenza e il cerchio sono figure unite rispetto a una rotazione di angolo qualsiasi intorno al loro centro; • il quadrato è una figura unita per rotazioni di centro il punto di incontro delle diagonali e di angoli multipli interi di un angolo retto. LA SIMMETRIA CENTRALE Fissato nel piano un punto O , la simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P! tale che il segmento PP! ha O come punto medio. 2 La simmetria centrale è un’isometria. La simmetria centrale può anche essere pensata come una rotazione di un angolo piatto intorno al centro di simmetria e viceversa. Il punto O , centro di simmetria, è l’unico punto unito della simmetria centrale. Ogni retta passante per O è unita. Un punto del piano è detto centro di simmetria di una figura se la figura è unita rispetto alla simmetria centrale di centro quel punto, per esempio: • un segmento ha come centro di simmetria il proprio punto medio; • un parallelogramma ha come centro di simmetria il punto di incontro delle diagonali; • un cerchio ha come centro di simmetria il proprio centro. LA SIMMETRIA ASSIALE Fissata una retta a nel piano, detta asse di simmetria, una simmetria assiale è la trasformazione geometrica che: • a ogni punto di a fa corrispondere se stesso; • a ogni punto P , non appartenente ad a , fa corrispondere il punto P! , dalla parte opposta di P rispetto ad a , tale che: o P! appartiene alla retta passante per P e perpendicolare ad a ; o P e P ' hanno la stessa distanza da a . La simmetria assiale è un’isometria. In una simmetria assiale, l’asse di simmetria è l’insieme di tutti e soli i punti uniti. Una retta del piano è detta asse di simmetria di una figura se la figura è unita rispetto alla simmetria assiale che ha per asse quella retta, per esempio: • le rette delle due diagonali sono assi di simmetria per il rombo; • il quadrato ha quattro assi di simmetria: le rette delle diagonali e le rette passanti per i punti medi dei lati opposti; • il cerchio ha infiniti assi di simmetria: tutte le rette dei suoi diametri. 3 L’OMOTETIA Fissati un punto O nel piano e un numero reale k ≠ 0 , l’omotetia è la trasformazione geometrica che a un punto P fa corrispondere il punto P! tale che: • P! appartiene alla retta OP ; →
•
OP!
→
= k . OP
Il punto O è detto centro dell’omotetia. Se k > 1 la figura immagine è ingrandita rispetto a quella iniziale, se k < 1 è rimpicciolita. Se k = 1 l’omotetia coincide con l’identità, se k = −1 l’omotetia coincide con la simmetria centrale di centro O . Teorema: in una omotetia di rapporto k , a un segmento AB corrisponde un segmento A!B! parallelo ad AB e tale che A!B!
= k . AB
Teorema: in una omotetia a ogni angolo corrisponde un angolo congruente. LA SIMILITUDINE Una similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene dalla composizione di un’omotetia e un’isometria, o viceversa. La similitudine ha tutte le proprietà dell’omotetia. 4 LE FIGURE SIMILI Due figure si dicono simili se si corrispondono in una similitudine. Per esempio, sono simili i Δ
Δ
Δ
triangoli ABC , A!B!C! e A!!B!!C!! della precedente figura. Δ
Δ
Δ
Per indicare la similitudine usiamo il simbolo ≈ : ABC ≈ A#B#C# ≈ A##B##C## . Due lati o due angoli che si corrispondono in una similitudine si dicono omologhi. Per le proprietà dell’omotetia, se due poligoni sono simili, essi hanno gli angoli omologhi congruenti e i lati omologhi in proporzione. Il rapporto fra due lati omologhi si chiama rapporto di similitudine. I CRITERI DI SIMILITUDINE I criteri di similitudine dei triangoli sono tre teoremi che forniscono condizioni sufficienti Δ
Δ
affinché due triangoli ABC e A!B!C! siano simili. IL PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, allora sono simili. Δ
Δ
α ≅ α "!! ∧ !!γ ≅ γ "!! ⇒ !! ABC ≈ A"B"C" IL SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE Se due triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. Δ
Δ
γ ≅ γ "!! ∧ !!AC : A"C" = BC : B"C"!! ⇒ !! ABC ≈ A"B"C" IL TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE Se due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione, allora sono simili. Δ
Δ
AB : A!B! = AC : A!C! = BC : B!C!!! ⇒ !! ABC ≈ A!B!C! 5 APPLICAZIONI DEI CRITERI DI SIMILITUDINE LA PROPORZIONALITÀ FRA BASI E ALTEZZE DI TRIANGOLI SIMILI In due triangoli simili le basi stanno tra loro come le rispettive altezze. Δ
Δ
ABC ≈ A#B#C# !! ⇒ !!AB : A#B# = CH : C#H # Dimostrazione Δ
Δ
Poiché ABC ≈ A#B#C# , si ha AB : A' B' = AC : A' C' . Δ
Δ
Osserviamo che anche i triangoli AHC e A!H !C! sono simili per il primo criterio di similitudine, pertanto vale la proporzione AC : A' C' = CH : C' H' . Dalla proprietà transitiva dell’uguaglianza segue che AB : A!B! = CH : C!H ! . IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa. Δ
ABC !rettangolo!in!Â!! ⇒ !!BC : AB = AB : BH Dimostrazione Δ
Δ
Poiché per il primo criterio di similitudine ABC ≈ ABH , si ha BC : AB = AB : BH . Osservazione 2
Poiché BC : AB = AB : BH ⇒ AB = BC ⋅ BH , in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente (ha la stessa superficie) al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa: Q = R . 6 IL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Δ
ABC !rettangolo!in!Â!! ⇒ !!BH : AH = AH : CH Dimostrazione Δ
Δ
Δ
I triangoli ABH e ACH sono tra loro simili perché ciascuno di essi è simile al triangolo ABC per il primo criterio di similitudine. Quindi, si ha BH : AH = AH : CH . Osservazione 2
Poiché BH : AH = AH : CH ⇒ AH = BH ⋅ CH , in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa: Q2 = R . LE AREE E I PERIMETRI DI POLIGONI SIMILI LE AREE DI POLIGONI SIMILI Il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. In particolare, il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. Δ
A#B#
Area A#B#C#
ABC ≈ A#B#C# !! ∧ !!
= k!! ⇒ !!
= k 2 Δ
AB
Area ABC
Δ
Δ
7 Dimostrazione Se k è il rapporto di similitudine dei due triangoli, si ha k =
A!B! C!H !
=
, quindi A!B! = k AB AB CH
e C!H ! = kCH . Allora: Δ
Δ
A!B! ⋅ C!H ! k AB ⋅ kCH
AB ⋅ CH
Area A!B!C!
Area A!B!C! =
=
= k2
! = k 2 Area ABC ⇒
= k 2 Δ
2
2
2
Area ABC
Δ
I PERIMETRI DI POLIGONI SIMILI I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi. Quindi, il rapporto fra i perimetri di due poligoni simili è uguale rapporto di similitudine. LA SIMILITUDINE NELLA CIRCONFERENZA IL TEOREMA DELLE CORDE Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione. CP : AP = BP : DP Dimostrazione Δ
Δ
Poiché angoli che insistono su archi congruenti sono congruenti, i triangoli ACP e BDP sono simili per il primo criterio di similitudine. Pertanto, è soddisfatta la proporzione CP : AP = BP : DP . IL TEOREMA DELLE SECANTI Se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in P e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione. PA : PC = PD : PB 8 Dimostrazione Δ
Δ
Poiché angoli che insistono su archi congruenti sono congruenti, i triangoli ADP e CBP sono simili per il primo criterio di similitudine. Pertanto, è soddisfatta la proporzione PA : PC = PD : PB . IL TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE Se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi P e il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e ciascuno dei punti di intersezione. PA : PT = PT : PB Dimostrazione Δ
Δ
Poiché angoli che insistono su archi congruenti sono congruenti, i triangoli ATP e TBP sono simili per il primo criterio di similitudine. Pertanto, è soddisfatta la proporzione PA : PT = PT : PB . 9 ESERCIZI LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE 1.
2.
3.
4.
Disegna tutti gli assi di simmetria di un triangolo equilatero, di un quadrato e di un esagono regolare. Individua le rotazioni che trasformano in sé un triangolo equilatero, un quadrato e un esagono regolare. Scrivi le lettere dell’alfabeto dotate di un centro di simmetria e quelle dotate di un asse di simmetria. La cornice di un quadro ha la stessa larghezza sui quattro lati. I due rettangoli che delimitano la cornice sono simili? I CRITERI DI SIMILITUDINE 5.
6.
7.
8.
9.
Quali sono i triangoli simili tra i quattro in cui le diagonali dividono un trapezio? Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, inscrivi in esso un quadrato PQRS con il lato PQ appartenente ad AB. Dimostra che il lato del quadrato è medio proporzionale fra i due restanti segmenti dell’ipotenusa, AP e QB. Inscrivi un quadrilatero ABCD in una circonferenza. Dimostra che le diagonali AC e BD dividono il quadrilatero in quattro triangoli a due a due simili. Disegna un triangolo ABC e indica con L, M, N i punti medi dei lati. Dimostra che ABC e LMN sono simili. Disegna un triangolo ABC e traccia la bisettrice CP. Prolunga CP dalla parte di P fino a incontrare in Q la circonferenza circoscritta al triangolo. Dimostra che i triangoli ACP, QBP e QCB sono simili. LE AREE E I PERIMETRI DEI POLIGONI SIMILI 10. In due triangoli simili, un lato del primo è lungo 24 cm e quello corrispondente del secondo 40 cm. Determina il rapporto tra i perimetri e quello tra le aree dei triangoli. 11. Un triangolo ABC ha base AB e altezza CH lunghe rispettivamente 18 cm e 8 cm. A’B’C’ e simile ad ABC e ha base A’B’, omologa di AB, lunga 27 cm. Quanto misura l’area di A’B’C’? 12. La somma dei perimetri dei triangoli simili ABC e A’B’C’ è 83,25 cm. Determina i perimetri dei due triangoli sapendo che AB misura 16 cm e il suo corrispondente A’B’ 20 cm. 13. La somma delle aree di due rettangoli simili è 915 cm2. Le due basi hanno lunghezza 25 e 30 cm. Determina le aree e i perimetri dei rettangoli. APPLICAZIONE DELL’ALGEBRA ALLA GEOMETRIA I TEOREMI DI EUCLIDE 14. Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo, le cui proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono lunghe 13 cm e 36 cm. 10 15. In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è 4/9 del cateto stesso, mentre la proiezione dell’altro cateto ha lunghezza 65 cm. Determina il perimetro del triangolo. 16. L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è lunga 25 cm e supera di 9 cm una delle proiezioni dei cateti. Determina l’area del triangolo. 17. In un triangolo rettangolo un cateto è 75 cm, la sua proiezione sull’ipotenusa 30 cm in meno. Determina l’area del triangolo. 18. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, la mediana CM è lunga 30,5 cm. L’altezza CH relativa all’ipotenusa è i 60/11 del segmento HM. Calcola il perimetro dei triangoli HMC e ABC. 19. La proiezione del lato maggiore di un rettangolo sulla diagonale è 320 cm, il lato minore e la sua proiezione stanno nel rapporto 5/3. Determina il perimetro del rettangolo. 20. I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi 60 cm e 80 cm. Determina le due proiezioni sull’ipotenusa. 21. Determina l’area di un rettangolo i cui lati sono uno i 3/4 dell’altro e la diagonale è 10 m. 22. Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa, il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto ha lunghezza 3 m e che la sua proiezione sull’ipotenusa è 1,8 m. 23. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa hanno per somma 13 m e che sono proporzionali ai numeri 25 e 144. 24. La base maggiore di un trapezio rettangolo è 5 m, il lato obliquo 4 m e la diagonale minore è perpendicolare al lato. Calcola l’area e il perimetro del trapezio. 25. In un trapezio isoscele la base minore è 5,6 m e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è 7,2 m. Sapendo che la diagonale è perpendicolare al lato obliquo, calcola perimetro e area del trapezio. 26. Le proiezioni dei cateti di un triangolo rettangolo sull’ipotenusa sono una i 16/9 dell’altra; il cateto maggiore è 28 cm in più della sua proiezione. Determina il perimetro del triangolo. 27. In un parallelogramma l’angolo acuto ha ampiezza di 30°, il lato maggiore è quattro volte quello minore e l’area è 1250 cm2. Determina le lunghezze dei lati e delle due altezze del parallelogramma. I TRIANGOLI SIMILI 28. Nel trapezio ABCD la base maggiore, la base minore e l’altezza sono lunghe rispettivamente 25 cm, 10 cm e 15 cm. I prolungamenti dei lati obliqui si incontrano nel punto E. Determina nel triangolo EDC la lunghezza dell’altezza EH relativa a DC. 29. Un triangolo acutangolo ABC, di area 4,5 dm2, ha un’altezza congruente alla relativa base. Inscrivi nel triangolo un quadrato avente un lato sulla base. Calcola il perimetro del quadrato. 30. Nel triangolo isoscele ABC la base AB e i lati sono lunghi rispettivamente 36 cm e 30 cm. Sulla base AB considera il punto D e la sua proiezione E su CB. Determina la lunghezza di DB sapendo che la somma delle lunghezze di EB e DB è 24 cm. 31. Disegna un triangolo di base AB e di altezza CH. Dal punto medio dell’altezza traccia la parallela alla base, ottenendo un trapezio. Sapendo che l’area del trapezio è 13,3 cm2 e che l’altezza del triangolo è 6 cm, calcola la lunghezza delle due basi del trapezio. 32. Nel triangolo ABC la base AB è lunga 63 cm e l’altezza CH 20 cm. Il punto H divide AB in due parti, tali che la maggiore supera di 12 cm i 12/5 della minore. Sia HK l’altezza del triangolo CBH relativa al lato CB. Calcola il perimetro del triangolo CHK. 11 33. Nel trapezio rettangolo ABCD congiungi il punto medio M della base minore CD con gli estremi della base maggiore AB. Supponi che il triangolo ABM sia rettangolo in M. Calcola l’area del trapezio sapendo che le basi misurano rispettivamente 25 cm e 18 cm. 34. Le diagonali di un trapezio rettangolo sono perpendicolari. Sapendo che l’altezza è 9 cm e la base maggiore è 12 cm, determina la lunghezza delle diagonali. LA SIMILITUDINE NELLA CIRCONFERENZA 35. Il diametro AB di una circonferenza interseca la corda CD in un punto E. Tale punto dista 25 cm dal centro O, 33 cm dall’estremo C e 63 cm dall’estremo D. Determina il raggio della circonferenza, senza far uso del teorema di Pitagora. 36. In un cerchio una corda CD lunga 48 cm è perpendicolare al diametro AB nel punto E. Sapendo che il segmento AE è lungo 32 cm, determina la lunghezza del raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza. 37. Il diametro AB di una circonferenza è diviso da una corda CD in due parti che misurano 6 cm e 84 cm. La misura della corda è i 9/2 della parte minore in cui la corda stessa è divisa dal diametro. Determina la misura della corda CD e l’area del triangolo COD. 38. Disegna una circonferenza e due corde, AB lunga 27 cm e AC lunga 12 cm. Una terza corda CD taglia AB nel punto E in modo che il segmento AE sia i 7/9 di AB e CE i 3/7 di AE. Determina il perimetro dei triangoli AEC e BED. Verifica che il rapporto fra i due perimetri è uguale al rapporto di similitudine. 39. Nella circonferenza di raggio 6 cm disegna una corda AB tale che AB sia il lato del quadrato inscritto. Prolunga AB di un segmento BC lungo 3 cm e traccia un’altra secante per C, la cui parte esterna sia congruente al raggio. Determina la lunghezza dell’intera secante. 40. Disegna una circonferenza di diametro AB di lunghezza 2 m e prolunga AB di un segmento BC uguale al raggio. Dal punto C traccia una secante in modo che determini una corda EF uguale al raggio, con F dalla parte di C. Congiungi F con il centro O della circonferenza. Calcola il perimetro del triangolo OCF. 41. In una circonferenza di raggio 10 cm e centro O traccia la corda AB, lato del triangolo equilatero inscritto, e la corda CD, lato dell’esagono regolare inscritto. Prolunga la corda AB dalla parte di B. Tale prolungamento incontra il prolungamento di CD in un punto E tale che l’area del triangolo AEO è 75 3 cm2. Determina DE. 42. In una circonferenza di centro O e diametro AB il raggio è 10 cm. Traccia per A la perpendicolare al diametro e su questa scegli un punto C in modo che OC sia 26 cm. Traccia per C la retta perpendicolare a OC, che incontra il prolungamento di AB nel punto D. Determina il rapporto fra il perimetro del triangolo ACD e il perimetro del triangolo AOC. 43. Data una circonferenza di centro O e raggio 12 cm scegli un punto A distante dal centro 25/24 del raggio. Traccia da A una tangente AB alla circonferenza e da B la perpendicolare BC ad AO. Calcola il rapporto fra l’area del triangolo AOB e quella del triangolo ACB. 44. In una circonferenza di centro O il diametro AB è 8 m. Sul prolungamento di AB scegli un punto C in modo che BC sia un quarto del raggio. Da C traccia una tangente CE alla circonferenza e da B la perpendicolare al diametro; indica con F il punto in cui queste due rette si incontrano. Calcola il perimetro del triangolo BCF e l’area del quadrilatero OBFE. 12
