Sia KLM un triangolo qualsiasi, simile al triangolo dato. E siano KFE, LID e MHG i triangoli simmetrici di KLM rispetto a
K, L ed M rispettivamente. Per costruzione questi quattro triangoli sono congruenti. Siano A, B e C le intersezioni di
(EF,HG), (HG,ID) e (EF,ID) rispettivamente. Il triangolo ABC e il triangolo KLM, avendo i lati omologhi paralleli, sono
simili. Essendo EF uguale e parallelo ad HM il quadrilatero EFHM e' un parallelogramma. Quindi EH=FM=2KM. Pertanto
per similitudine fra AEH e KLM si ha che AE=2LM. Analogamente FI=EL=2KL, da cui CF=2LM. In definitiva AC=5LM.
Da cui, infine, di ricava che [ABC]/[KLM]=(AC/LM)^2=25.
Ovviamente, per similitudine, lo stesso rapporto vale tra il triangolo dato e uno dei quattro triangolini formati da tre
"opportuni tagli" TUTTI paralleli ai lati del triangolo dato.
Se invece i tagli non sono TUTTI paralleli ai lati del triangolo dato, il rapporto cercato non e' in generale fissato.
Allego sotto due casi (fra i tanti possibili in cui il rapporto in questione dipende dalla forma del triangolo e dal modo in
cui sono effettuati i "tagli" ) che si riferiscono ad un triangolo rettangolo con un angolo di 60°.
Per il primo il rapporto vale:
Per il secondo il rapporto vale:
Un altro modo ancora per ottenere una figura in che soddisfa i requisiti dell'enunciato ma con rapporto ancora diverso e'
il seguente:
In questo caso nessuno dei tagli e' parallelo ad alcuno dei lati del triangolo dato. L'idea prevede di fare dei tagli
rispettivamente ortogonali alle bisettrici degli angoli del triangolo dato determinando il triangolo interno LMK. A partire
da questo, si costruiscono i triangoli KL'M', LK"M" e MK'L" simmetrici di MKL rispetto alle bisettrici degli angoli
esterni di MKL. Si prova facilmente che le rette L'K', L'M' e M"K" determinano un triangolo HIJ omotetico al triangolo
dato ABC. L'omotetia ha centro in N, intersezione delle rette JA,HC e IB. Le intersezioni delle congiungenti N con K', L',
M', K",L" ed M" con il lati di ABC determinano i punti attraverso cui fare i tagli sul triangolo originario. In uno di questi
casi il rapporto viene [ABC]/[PQR] = 30 (o altro numero, a seconda della forma di ABC) .
