Appunti sulla similitudine
Teoremi propedeutici
1.
2.
3.
Dato un triangolo è possibile suddividerlo in 4 triangoli uguali congiungendo i punti medi dei suoi lati. ( ) per la dimostrazione di questo
teorema è necessario il ricorso al teorema condiviso che afferma che il segmento congiungente i punti medi di 2 lati di un triangolo è
parallelo al terzo lato e uguale alla sua metà.
Dato un segmento è possibile suddividerlo in un qualsiasi numero intero di parti uguali.
Dato un triangolo è possibile suddividerlo in n2 triangoli uguali.
( ) Le costruzioni relative ai punti 2, e 3. Sono state realizzate e condivise in laboratorio.
Def. di triangoli simili : sono tali 2 triangoli che hanno tutti gli angoli uguali e i lati corrispondenti ( cioè i lati opposti agli angoli uguali ) in
rapporto costante.
Def.di rapporto di similitudine In 2 triangoli è simili il numero K che esprime il rapporto tra 2 lati corrispondenti.
Valgono i seguenti:
I Criterio di similitudine dei triangoli (teorema):2 triangoli sono simili se hanno 2 angoli ordinatamente uguali.
( ) Di tale criterio è stata data dimostrazione grazie al seguente:
Assioma della proiezione obliqua:2 rette trasversali t1 e t2 individuano 2 classi di segmenti proporzionali su un fascio di rette parallele a,b,c,d .
( )in realtà il suddetto assioma è un teorema nell’ipotesi in cui i segmenti scelti sono commensurabili grazie alla dimostrazione data del teorema 2.
In riferimento alla figura AB:A’B’= BC: B’C’=AC:A’C’=AD:A’D’=……….
II Criterio di similitudine dei triangoli :2 triangoli sono simili se hanno 2 lati ordinatamente in proporzione e l’angolo compreso tra i 2 lati uguale.
III Criterio di similitudine dei triangoli :2 triangoli sono simili se hanno i 3 lati ordinatamente in proporzione.
La dimostrazione del II e III criterio può essere ricavata dal seguente:
Teorema inverso dell'assioma della proiezione obliqua : Se 3 o più rette individuano su 2 trasversali 2
classi di segmenti proporzionali allora tali rette sono parallele.
Utilizzando i suddetti dimostra per esercizio i seguenti teoremi:
In triangoli simili il rapporto tra 2 lati corrispondenti uguaglia il rapporto tra le altezze ad essi relative.
In triangoli simili il rapporto tra 2 lati corrispondenti uguaglia il rapporto tra le mediane ad essi relative.
In triangoli simili il rapporto tra 2 lati corrispondenti uguaglia il rapporto tra le bisettrici degli angoli ad essi opposti.
In 2 triangoli simili con rapporto di similitudine k il rapporto tra le aree è k2.
