Verifica della legge di Malus
9 marzo 2006
Principi fisici
Un polarimetro è costituito da materiale plastico formato da molecole allungate, allineate
mediante stiramento.
Il coefficiente di trasmissione di questi materiali risulta dipendere dalla polarizzazione della luce incidente, ed è massimo quando il campo elettrico è ortogonale alla direzione delle molecole, mentre è minimo quando è parallelo: questo fenomeno è detto dicroismo.
La direzione della polarizzazione corrispondente alla massima trasmissività è detta asse
principale del polaroid.
Si definisce come efficenza del polaroid il rapporto:
²=
Tk − T⊥
Tk + T⊥
dove Tk e T⊥ sono i coefficienti di assorbimento per luce polarizzata parallelamente ed
ortogonalmente all’asse principale.
La luce prodotta da un laser è fortemente polarizzata. Quindi, quando il laser incide su
un polaroid, detto θ l’angolo tra la direzione di polarizzazione del laser e l’asse principale
del polaroid, solamente la componente del campo elettrico parallela all’asse del polaroid
riesce ad emergere, ed il suo modulo è E0 cos θ. Quindi l’energia trasmessa, essendo proporzionale al quadrato del campo elettrico, risulta proporzionale a cos2 θ. Questa relazione
è detta legge di Malus.
Vediamo più in dettaglio: supponiamo che la luce del laser di intensità I sia composta da
una componente principale che definisce l’asse di polarizzazione Ik e da una secondaria,
con polarizzazione trasversa, I⊥ . La polarizzazione del laser è definita come p =
Ik −I⊥
.
I
Il polaroid abbia coefficente di trasmissione Tk per polarizzazione parallela all’asse principale, e T⊥ per polarizzazione trasversa.
La componente principale del laser allora viene trasmessa con coefficente Tk cos2 θ +
T⊥ sin2 θ, mentre quella secondaria con coefficente Tk sin2 θ + T⊥ cos2 θ.
Quindi l’intensità totale trasmessa alla fine vale:
¡
¢
¡
¢
It = Ik Tk + I⊥ T⊥ cos2 θ + Ik T⊥ + I⊥ Tk sin2 θ
Si noti che praticamente solamente il primo termine contribuisce, mentre gli altri sono
piccole correzioni dell’ordine del percento.
1
Apparato sperimentale e procedura di misura
L’apparato è molto semplice: consiste in un diodo laser, in un polaroid montato su goniometro e in un fotodiodo.
Il fotodiodo è un diodo sensibile alla luce. Il principio di funzionamento è semplice: la
luce, incidendo sulla superficie, è in grado di generare coppie elettrone-lacuna nella regione
di svuotamento, le quali, muovendosi sotto l’azione del campo elettrico dovuto alle stesse
cariche di polarizzazione del diodo, generano una corrente proporzionale alla intensità della
luce incidente.
Cortocircuitando il diodo con una resistenza, si ottiene ai capi di questa una tensione
proporzionale alla luminosità.
I diodi a nostra disposizione presentano la massima sensibilità nel vicino infrarosso, ma
riescono anhe a rivelare la luce rossa.
Le operazioni da effettuare sono:
• allineare l’apparato, in modo che il fascio laser incida perpendicolarmente sul polaroid e generi il massimo segnale sul fotodiodo.
Eventualmente, conviene adoperare una lente per focalizzare la luce sulla superficie del
fotodiodo.
Per l’allineamento, si può adoperare uno specchio, che riporti indietro il fascio laser esattamente lungo il percorso seguito all’andata.
• Pulire il Polaroid
• Ruotare il goniometro fino a trovare la posizione in cui l’intensità è massima.
• Ruotare di pochi gradi per volta il goniometro, riportando l’intensità misurata dal
tester.
Analisi dei dati
Per effettuare l’analisi dei dati, ci si riferisca all’esempio descritto nella dispensa allegata.
Si effettuerà un fit del tipo:
V = α + β cos2 (θ − φ)
con
α e β corrispondono ad α =
¡dove , confrontando
¢
¡ la formula precedente, i parametri
¢
Ik T⊥ + I⊥ Tk , β = Ik Tk + I⊥ T⊥ − Ik T⊥ − I⊥ Tk ' Ik Tk
In generale, i due termini che compongono α sono dello stesso ordine di grandezza; supponendo però che il secondo sia più grande del primo, si ha:I⊥ /Ik = α/β, e quindi la
polarizzazione del laser vale
β
P =
α+β
2
Figura 1: Esempio dei dati e del fit finale; in basso, i residui.
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
250
300
350
0
50
100
150
200
250
300
350
1
0.5
0
−0.5
−1
Controlli sistematici:
Per stimare il rumore di fondo, spegnere il laser ed osservare la lettura del tester.
Per verificare il rapporto tra i coefficenti di trasmissione parallelo e trasversale, ruotare il
polaroid fino ad ottenere il massimo dell’intensità, inserire quindi un secondo polarimetro
subito all’uscita del laser, e regolarlo in modo che nuovamente l’intensità sia massima: in
questo modo, possiamo stare tranquilli del fatto che l’eventuale componente trasversa del
fascio laser è stata ulteriormente attenuata. Ruotare quindi il primo polaroid di 90 gradi. Il
rapporto tra la seconda misura e la prima misura fornisce r = T⊥ /Tk .
Adoperando a questo punto l’espressione non approssimata per α è possibile trovare un’espressione migliore per la polarizzazione.
Per stimare la linearità del sensore, effettuare una serie di misure con e senza un vetrino
opaco tra polaroid e sensore, in diverse condizioni di intensità luminosa (quindi, ad esempio, per diverse posizioni del polarimetro). Il rapporto tra l’intensità con e senza il vetrino
deve risultare indipendente dall’intensità incidente.
3
