Successioni - Fabio Lamantia

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Successioni Numeriche
1.1
De…nizione e considerazioni generali
Una successione di numeri reali è una funzione
f :N!A
R
Solitamente i valori della successione f (1); f (2); :::; f (n) si indicano con
f (1) = a1 ;
f (2) = a2 ;
:::;
f (n) = an ; :::
La successione di elementi nell’insieme A si denota nei seguenti modi:
a1 ; a2 ; :::; an ; ::: oppure con fan gn 1 oppure con fan gn2N o anche an :
Esempi
1. La successione
f (n) = an = n
è data da 1; 2; 3; :::. In questo esempio A = N.
2. La successione
an =
1
2n + 1
1
é data da 31 ; 15 ; 71 ; :::; 2n+1
:
3. La successione
an =
1
2n
1
é data da 12 ; 14 ; 81 ; :::; 2n
:
4. Sia data la successione 21 ; 23 ; 34 ; 45 ; 56 ; :::. Il suo termine generale é an =
n
n+1 :
Successioni de…nite per ricorrenza
Come visto in precedenza, se vogliamo calcolare il decimo elemento della
successione fan gn 1 = f3n + 2gn 1 basta sostituire, nell’espressione che
de…nisce la successione, ad n il valore 10 per ottenere a10 = 32: Questo è
possibile in quanto si conosce l’espressione in forma chiusa che de…nisce la
successione, cioè 3n+2 nel nostro esempio. E’comunque possibile de…nire
una successione anche senza fornire l’espressione in forma chiusa.
Una successione an si dice de…nita per ricorrenza quando il termine an è
espresso mediante m termini precedenti e può essere calcolato solo quando
questi m termini precedenti siano noti. La formula che de…nisce an è detta
ricorsiva.
Esempio
Consideriamo la successione (detta di Fibonacci) de…nita per ricorrenza
an+2 = an+1 + an , con a1 = 1 e a2 = 1
1
si ha a1 = 1; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 5; a6 = 8; a7 = 13; :::
Successioni geometriche
La successione geometrica è un importante esempio di successione de…nita
per ricorrenza. In una successione geometrica il rapporto tra ciascun termine ed il precedente è costante. In formule
an+1
= q, con q 2 R; n 2 N , an+1 = qan
an
Il numero reale q è detto ragione della successione geometrica. Chiaramente se q = 0 la successione diviene an = 0; 8n 2 N:
Esempio Scrivere i primi 4 termini della successione geometrica di ragione
q = 2 e a0 = 25 :
a1 = qa0 = 2 25 = 50
a2 = qa1 = 2 50 = 100
a3 = qa2 = 2 100 = 200
a4 = qa3 = 2 200 = 400
Ragionando come in precedenza, e ricordando che a1 = qa0 ; calcoliamo
a2 , ottenendo
a2 = qa1 = q 2 a0
E’ possibile dimostrare (vedi esercizi) che è possibile scrivere il termine
generale della successione in forma chiusa nel seguente modo
an = q n a0
Esempio L’incremento percentuale dei costi annui per la gestione di un
rent-a-car è costante e pari al 3%. Con quale costo iniziale massimo C0
è possibile avviare l’attività se si vuole che i costi al quarto anno non
superino i 11250 euro? Sappiamo che
C1
C2
Cn
= C0 + 3%C0 = C0 (1 + 3%) = C0 (1:03)
= C1 + 3%C1 = C1 (1 + 3%) = C1 (1:03)
..
.
= Cn 1 + 3%Cn 1 = Cn 1 (1 + 3%) = Cn
1
(1:03)
è una successione geometrica di ragione q = 1:03 > 1 (successione cresn
cente). Quindi in generale Cn = 1:03 Cn 1 oppure Cn = (1:03) C0 :
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A¢ nchè sia C4 < 11250 euro deve essere C4 = (1:03) C0 < 11250, quindi
11250
C0 < (1:03)4 = 9995:48 euro.
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