Progetto libro elettronico Libro esercizi di sica per

Progetto libro elettronico
Libro esercizi di sica per il primo biennio
I.T.I.S. 'A.Volta' Trieste
A.Smailagi¢
Indice
1
2
Unità di misura
2
1.1
Notazione scientica
1.2
Conversione delle unità di misura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Misure dirette ed indirette e gli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Vettori
2.1
2
11
Vettori nel sistema cartesiano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
Condizioni di equilibrio
20
4
Moti di traslazione
26
4.1
Moto uniforme
4.2
Moto uniformemente accelerato
6
7
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Moto nel campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3
Moti composti di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.4
Moti parabolici
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.5
Moto di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.6
Moto armonico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.7
Moto dei satelliti e pianeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.2.1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dinamica
63
5.1
Dinamica di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2
Dinamica della rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.3
. . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Approfondimento:Sistemi non-inerziali
Lavoro ed energia
72
6.1
Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.2
Energia e lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.3
Conservazione di energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Termologia
84
7.1
87
Dilatazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Elettrostatica
88
9
Circuiti elettrici
96
9.1
Circuito R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.2
Circuito C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
10 Magnetostatica
10.1 Legge di Biot-Savart
109
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
10.2 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
10.3 Induzione magnetica
113
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ELENCO DELLE FIGURE
ELENCO DELLE FIGURE
Elenco delle gure
1
2
Termometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Amperometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
17
La velocità della pallina è una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
18
La traiettoria della pallina è una parabola
. . . . . . . . . . . . . . .
43
19
La traiettoria della pallina è una parabola
. . . . . . . . . . . . . . .
46
20
La velocità della pallina è una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3
4
5
6
22
Vettori colineari . . . . . . . . .
Graco delle forze sulla nave . .
Graco delle forze sulla lampada
Graco delle velocità della barca
Oscillazione verticale di una massa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
1
1 UNITÀ DI MISURA
1 Unità di misura
1.1 Notazione scientica
1. Scrivere i seguenti valori numerici in notazione scientica:
• 10.000.000
• 0, 00001
• 0, 000327
• 7.894.000
• 45.000
• 0, 0000004893
• 1356, 77
• 0, 0003457
• 0, 00456 × 105
• 137, 34 × 103
2. Eseguire i seguenti calcoli esprimendo il risultato in notazione scientica:
• 12.000 · 27.000 =?
• 25.400.000 · 86.400 =?
• 0, 000000328 · 125.000 =?
• 0, 00000441/0, 0000000643 =?
• 2.435.734 · 345.954.000 · 239.340 =?
• 629.000/0, 00000218 =?
• 81.700 · 45.420/0, 000034289 =?
• 0, 00034 × 107 · 12.000 × 10−5 =?
• 6, 17 × 105 + 5, 81 × 104 =?
• 2, 52 × 10−6 + 6, 86 × 10−7 =?
3. La lunghezza di
10−10 m
si chiama un Angstrom (Å) mentre
10−15 m
si chiama
un femtometro (fm). Quanti femtometri corrispondo ad un Angstrom?
4. Riscrivi utilizzando la notazione scientica e poi indica gli ordini di grandezza
di ciascun numero.
• N1 = 0, 00000056793
• N2 = 456.022.000.000
2
1.1 Notazione scientica
1 UNITÀ DI MISURA
• N3 = 356, 395
Soluzioni:
• N1 = 0, 00000056793 = 5, 6793 × 10−7
• N2 = 456.022.000.000 = 4, 56022 × 1011
• N3 = 356, 395 = 3, 56395 × 102
5. Esegui la seguente operazione con le potenze di dieci
0, 5 × 10−5 · 2 × 1010
8 × 106
6. Completare il seguente conto
(6 × 10−19 )
9 × 10
(0.5 × 10−8 )2
2
9
7. Posto:
• a = 0, 0003 nm
• b = 60000 ms
• c = 90000 pg
usa la notazione scientica e converti in unità di misura del SI. Poi calcola le
seguenti grandezze ed indica le loro dimensioni siche.
• A = c/a3
• B = a/b
• C = c · a2 /b
Soluzioni:
a = 0, 0003 nm = 3 × 10−4 nm = 3 × 10−4 × 10−9 m = 3 × 10−13 m
b = 60.000 msec = 6 × 104 msec = 6 × 104 × 10−3 sec = 6 × 101 sec
c = 90.000 pg = 9 × 104 pg = 9 × 104 × 10−12 g = 9 × 10−8 g = 9 × 10−11 kg
3
1.2 Conversione delle unità di misura
1 UNITÀ DI MISURA
9 × 10−11 kg
1
= × 1028 kg/m3 = 3, 3 × 1027 kg/m3
−13
3
(3 × 10 m)
3
−13
3 × 10 m
1
B = a/b =
= × 10−14 m/sec = 5 × 10−15 m/sec
1
6 × 10 sec
2
2
−11
9 × 10 kg (3 × 10−13 m)
27
C = c · a2 /b =
=
× 10−38 kg mm2 /sec = 1, 35 × 10−37 kg m2 /sec
1
6 × 10 sec
2
A = c/a3 =
10−10 m. Qual è l'ordine
molecole di spessore di 0, 1 mm? Quante molecole
8. L'ordine di grandezza del diametro di una molecola è di
di grandezza di uno strato di
si trovano in questo strato?
Soluzioni: L'ordine di grandezza dello strato si ottiene scrivendo la sua dimensione in notazione scientica
0, 1 mm = 1 × 10−1 × 10−3 m = 10−4 m
Supponendo che le molecole sono messe una sopra l'altra, il loro numero è dato
da
n=
0, 1 mm
10−4 m
=
= 106
10−10 m
10−10 m
1.2 Conversione delle unità di misura
1. Esprimere in metri le seguenti lunghezze utilizzando la notazione scientica:
• 62, 8 km
• 0, 0669 mm
• 33, 3 nm
• 135, 8 µm
• 3, 0002 × 103 cm
2. Sapendo che un pollice (inch) equivale a
seguenti conversioni:
• 24 in → cm
• 12 cm → in
• 0, 3 m → in
• 3 in3 → cm3
• 1, 5 m2 → in2
4
1 in = 2, 54 cm
centimetri eseguire le
1.2 Conversione delle unità di misura
3. Sapendo che un miglio equivale a
1 UNITÀ DI MISURA
1 mile = 1, 609 km
eseguire le seguenti con-
versioni:
• 1 mile → m
• 2, 7 mile → km
• 723 m → mile
• 19 km → mile
• 1 mile → in
4. Trasforma le seguenti unità di misura
• 2 km2 =? mm2
• 0, 6 cm3 =? km3
• 13, 6 g/cm3 =?kg/m3
• 50 km/h =? m/sec
Soluzioni:
• 2 km2 = 2 × (103+3 )2 mm2 = 2 × 1012 mm2
• 0, 6 cm3 = 0, 6 × (10−5 )3 km3 = 6 × 10−16 km3
• 13, 6 g/cm3 = 13, 6 × 103 kg/m3
• 50 km/h =
50
3600
× 103 m/sec =
50
3,6
5. Convertire le seguenti unità di misura
• 9 dam = ... nm
• 35 hg = ... µ g
• 900 mm3 = ... cm3
• 22 h 350 sec = ...min... sec
Soluzioni:
5
m/sec = 13, 89 m/sec
1.2 Conversione delle unità di misura
1 UNITÀ DI MISURA
• 9 dam = 9 × 101 × 109 m = 9 × 1010 m
• 35 hg = 35 × 102 × 106 g = 35 × 108 µ g = 3, 5 × 109 µ g
• 900 mm3 = 9 × 102 × 10−3 cm3 = 9 × 10−1 cm3
• 22 h 350 sec = 22×60 min 350
min = 22×60 min (5 min + 50 sec) = (1320min + 5 min) 50 sec =
60
1325 min 50 sec
6. Eseguire le seguenti conversioni di tempi:
• 45 min =? sec
• 27.500 sec =? h
• 15 d =? min
• 2, 7 h =? sec
• 4200 min =? d
• 3, 8 y =? sec
• 1, 2 × 103 sec =? min
• 1, 45 × 108 sec =? y
7. Eseguire le seguenti conversioni di lunghezze:
• 5 km2 =? m2
• 25 cm3 =? m3
• 350 mm2 =? dm2
• 23 n m =? km
• 0, 00174 km =? µ m
• 23 m =? pm
• 1, 6 × 106 mm =? m
• 27.000 km =? mm
8. Il ghepardo riesce a raggiungere una velocità di
riesce a toccare una velocità di
vf = 380 km/h.
vg = 35 m/s.
Il falco pellegrino
Converti la velocità del ghepar-
do in km/h ed indica quale dei è più veloce.
9. La densità di mercurio è
kg/l. Riesci a capire
kg/l? (1dm3 = 1l)
e
ρHg = 13, 6 g/cm3 .
Esprimere la densità in
kg/m3
il motivo perché chimici usano esprimere la densità in
6
1.2 Conversione delle unità di misura
1 UNITÀ DI MISURA
Soluzioni: La trasformazione delle unità di misura è la seguente
13, 6 g/cm3 = 13, 6 ×
10−3
kg/m3 = 13, 6 × 10−3+6 kg/m3 = 13, 6 × 103 kg/m3
10−6
3
3
La relazione tra litri e m è 1 dm = 1 l. Trasformando si ha
3
3
oppure 1m = 1 × 10 l. La densità diventa
13, 6 g/cm3 = 13, 6 × 103 kg/m3 = 13, 6 ×
Esprimere, dunque, la densità in
ma la combinazione
kg/l
1×(10−1 ) m3 = 1 l,
3
103 kg
= 13, 6 kg/l
103 l
kg/l mantiene lo stesso numero come in g/cm3 ,
non appartiene al sistema SI.
10. Un cubetto di metallo ha una densità di
ρ = 20 g/cm3
e la massa
m = 2 kg.
Viene immerso in un contenitore pieno d'acqua. Qual è il volume d'acqua che
viene spostato? Esprimi il risultato in metri cubi e poi in litri.
Soluzioni:
Il volume dell'acqua spostato corrisponde al volume del cubetto
(principio di Archimede) che si trova dalla densità
V =
m
2 kg
2 kg
=
=
= 10−4 m3 = 10−4 × 103 l = 10−1 l
3
ρ
20 g/cm
2 × 104 kg/m3
0
11. La densità dell'olio da cucina è (valor medio a t = 20 C ) ρ = 0, 916 g/l. Espri3
3
mere la densità in g/m , g/cm . Quanti litri d'olio bisogna mettere sulla bilancia
se si vuole bilanciare un litro di acqua?
12. La densità di un miscuglio di sostanze solide è una media pesata data dalla
formula
ρ1 V1 + ρ2 V2
V1 + V2
. Se si mescolano oro ed argento in rapporto V1 /V2 ≡ VAu /VAg = 10 quanto è
3
la densità del miscuglio? Le densità sono ρ1 ≡ ρAu = 19, 30 g/cm e ρ2 ≡ ρAg =
3
10, 49 g/cm . (indicazione: dividere il lato destro della formula con V2 )
ρ=
soluzioni: Dividendo il lato destro della formula con
V2
si ottiene
(ρ1 V1 + ρ2 V2 ) /V2
ρ1 V1 /V2 + ρ2
=
(V1 + V2 ) /V2
V1 /V2 + 1
10ρ1 + ρ2
ρ=
11
10 · 19, 30 g/cm3 + 10, 49 g/cm3
ρ=
= 18, 50 g/cm3
11
ρ=
7
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori
1 UNITÀ DI MISURA
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori
1. Arrotondare a giusto numero di cifre signicative le seguenti operazioni con le
misure
2, 36 + 0, 2 + 13 =?
16, 12 · 5, 365
=?
0, 3
Soluzioni:
2, 36 + 0, 2 + 13 = 15|, 56 = 16
16, 12 · 5, 365
= 2|88, 279 = 300
0, 3
2. Arrotondare al numero giusto di cifre signicative le seguenti operazioni
13, 26 + 0, 345 + 1.2
16.13 · 0, 26
Figura 1: Termometro
3. Sono rappresentati due strumenti: il termometro che misura la temperatura
l'amperometro che misura la corrente elettrica
8
I
te
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori
1 UNITÀ DI MISURA
Figura 2: Amperometro
•
indica le sensibilità degli strumenti e i valori delle grandezze rilevate
•
Scrivi il valore sperimentale delle misure che corrispondono alle situazioni
illustrate dalle gure
Iexp
texp
4. Completa la seguente tabella con dei valori mancanti
Errore assoluto
1
2
3
4
ϵa
(sec)
Valore medio
0, 02
0, 1
2
5
x̄
(sec)
Errore relativo
ϵr
0, 80
10
0, 125
5
0, 05
0, 04
0, 008
5. Facendo tre misurazioni di una lunghezza si ottengo i seguenti valori:
• l1 = 5, 3 cm
• l2 = 5, 6 cm
• l3 = 5, 4 cm
Calcola il valore medio, l'errore assoluto, l'errore relativo e valore sperimentale
della misura.
6. Sono state eseguite le seguenti misure dirette di tempo
9
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori
1 UNITÀ DI MISURA
• t = 1, 26 sec
• t = 1, 24 sec
• t = 1, 25 sec
• t = 1, 22 sec
Scrivere il valore sperimentale e specicare la precisione della misura rispetto al
valore teorico.
7. Scrivere il seguente numero dal massimo al minimo numero di cifre signicative
possibile e spiegare il signicato sico di ogni scrittura
162, 25
8. Se dobbiamo tagliare un tavolo di lunghezza
10 m
con lo scarto di
2%,
quali
lunghezze sono accettabili?
9. I lati di un rettangolo valgono rispettivamente
(24, 8 ± 0, 2) mm.
aexp = (8, 4 ± 0, 2) mm
e
bexp =
Determina la misura completa comprensiva di errore assoluto
e opportunamente arrotondata:
•
del perimetro
•
dell'area
Soluzioni: Perimetro
ϵar = 0, 2/8, 4 = 0, 02|3 = 0, 02
ϵbr = 0, 2/24, 8 = 0, 008|06 = 0, 008
P̄ = 2(8, 4 + 24, 8) mm = 66, 4 mm
ϵPa = 2(ϵaa + ϵba ) = 2(0, 2 + 0, 2) mm = 0, 8 mm
ϵPr = 0, 8/66, 4 = 0, 01|2 = 0, 01
ϵPr % = 1%
area
Ā = ab = 8, 4 · 24, 8 mm2 = 20|8, 32 mm2 = 210 mm2
b
a
ϵA
r = ϵr + ϵr = 0, 02 + 0, 008 = 0.02|8 = 0, 03
2
2
2
A
ϵA
a = ϵr · Ā = 0, 03 · 210 mm = 6|, 3 mm = 6 mm
Aexp = (210 ± 6) mm2
10
2 VETTORI
10. Valori sperimentali di due lati di un rettangolo sono rispettivamente
• aexp = (20, 7 ± 0, 2) cm
• bexp = (29, 7 ± 0, 1) cm
Calcola il perimetro
P
e l'area
A
e scrivi i loro valori sperimentali.
11. Si vuole incorniciare una fotograa i cui lati hanno valore
aexp = (21, 9 ± 0, 2) cm
bexp = (7, 8 ± 0, 2) cm
Calcolare l'area della fotograa ed il suo perimetro.
12. Sono state ottenute le seguenti misure
mexp = (30, 2 ± 0, 2) g
Vexp = (2, 22 ± 0, 1) ml
Calcolare valore sperimentale della densità in
kg/m3 .
2 Vettori
1. Un vettore
e
⃗c
⃗a = 2 ⃗a0
si moltiplica con
+5
e
−3.
Disegnare i vettori risultanti
⃗b
e scrivere il loro modulo. Calcolare la loro somma e la loro dierenza.
Soluzioni: Scriviamo i vettori
⃗b, ⃗c
come
⃗b = 5 · ⃗a = 5 · 2 ⃗a0 = 10 ⃗a0
⃗c = −3 · ⃗a = −3 · 2 ⃗a0 = −6 ⃗a0
⃗b + ⃗c = 10 ⃗a0 + (−6 ⃗a0 ) = 4 ⃗a0
⃗b − ⃗c = 10 ⃗a0 − (−6 ⃗a0 ) = 16 ⃗a0
2. Un oggetto di peso
10 N
si trova sul piano inclinato di
spinge l'oggetto lungo il piano.
11
300 .
Calcola la forza che
2 VETTORI
Figura 3:
Vettori colineari
P = 10.000 N si trova parcheggiata in una strada in discesa
0
l'inclinazione di 45 . Quanto è la minima forza di attrito che tiene l'auto
3. Un auto di peso
con
ferma?
4. Una lampada di peso 50 N è appesa al sotto con 2 corde che formano un an0
golo di 90 tra di loro. Quanta forza sostiene ogni corda?
5. Un ragazzo si diverte osservando le persone che prendono la scala mobile per
salire o scendere. La scala si muove con la velocità di
1 km/h.
Come si deve
muovere uno sulla scala per stare fermo rispetto all'osservatore esterno ? Cosa
deve fare un altro che vuole salire impiegando metà del tempo rispetto al tempo delle persone ferme sulla scala? Quanto sono la componenti della velocità
0
rispetto al piano orizzontale e verticale se la scala forma angolo α = 30 con il
suolo?
Soluzioni:
Per sembrare fermo rispetto all'osservatore, la velocità totale della persona
v
sulla scala deve essere zero.
⃗vtot = ⃗vp + ⃗vs = 0
Signica che
⃗vp = −⃗vs
e la persona deve scendere con la velocità
⃗vp = −1 m/sec · ⃗v0 .
dimezzare il tempo di salita deve raddoppiare la velocità
⃗vtot = ⃗vp + ⃗vs = 2⃗vs
12
Invece, per
2 VETTORI
e la persona deve salire con la stessa velocità della scala
⃗vp = 1 m/sec · ⃗v0 .
Le
componenti della velocità totale sono
√
3
v|| =
v
2
1
v⊥ = v
2
6. La nave Costa Concordia viene trainata da due rimorchiatori che tra di loro
0
formano angolo 90 . La forza di ciascun rimorchiatore e di 200 N . La corrente
del mare spinge la nave indietro con la forza di
200 N .
Quanto e la forza totale
e che direzione si muove la nave?
Soluzioni:
I due rimorchiatori generano una forza totale
Figura 4:
Graco delle forze sulla nave
F⃗1,2 = F⃗1 + F⃗2
√
√
F1,2 = F12 + F22 = 2 F1 = 282 N
a questa forza si oppone la forza della corrente. Essendo le due forze opposte
si ha la forza nale
Ftot = F1,2 − Fc = (282 − 200) N = 82 N
13
2 VETTORI
La nave si muove in avanti.
7. Un carro viene trainato da due cavalli che tra di loro formano angolo
F1 = F2 = 300 N .
F3 = 200 N . Quanto e la
600 .
La
forza di ciascun cavallo e di
Un terzo cavallo tira il carro
indietro con la forza di
forza totale e che direzione si
muove il carro?
Soluzioni: La forza totale è
F⃗tot = F⃗1 + F⃗2 + F⃗3
Prima si sommano le forze
F1 , F2
F⃗ ′ = F⃗1 + F⃗2
√
√
F ′ = 3 F1 = 3 · 300 N = 519 N
e poi si sommano
F⃗tot = F⃗ ′ + F⃗3
Ftot = F ′ − F3 = (519 − 200) N = 319 N
Il carro si muove in avanti con la forza di
8. Una lampada pesa
P = 70 N
319 N.
ed è appesa al sotto con due cavi (di ugua1200 . Ciascun cavo riesce sopportate al
le lunghezza) che formano l'angolo di
massimo
35 N
di peso. Riescono a sopportare il peso della lampada?
Soluzioni: Il peso della lampada viene bilanciato dalla somma vettoriale delle
tensioni nei li
T⃗1 , T⃗2 .
P⃗ ≡ −T⃗tot = T⃗1 + T⃗2
Ttot = P = 70 N
1200 ed il parallelogramma di forze è un rombo.
è un triangolo equilatero che da Ttot = T1 = T2 =
non riescono sopportate le forze maggiori di 35 N si
Le tensioni formano un angolo si
La metà di questo rombo
70 N.
Si come i singoli li
spezzeranno.
9. Un palloncino sale verticalmente con la velocità di
verso destra con una velocità di
vv = 4 m/sec.
14
vp = 2 m/sec.
Il vento soa
Disegnare la velocità totale e
2 VETTORI
Figura 5:
Graco delle forze sulla lampada
calcolare il suo modulo.
Soluzioni:
√
vp2 + vv2 =
vtot =
√
20 m/sec = 4, 47 m/sec
10. Una barca cerca di attraversare il ume in modo verticale con la velocità di
vb = 3 m/sec.
Il ume scorre a destra con la velocità corrente di
La distanza tra le due sponde è di
300
metri.
vc = 4 m/sec.
A che distanza dal punto di
partenza arriva la barca dall' altra parte della sponda?. Disegna la situazione
in scala. Trovare con quale velocità e in che direzione deve andare la barca per
poter attraversare il ume in modo perpendicolare.
Soluzioni: La velocità nale è la somma vettoriale delle due velocità
vb , vc
⃗v = ⃗vb + ⃗vc
Essendo le velocità ortogonali, il modulo di
Pitagora
√
v=
vb2 + vc2 =
√
v
si può calcolare con il teorema di
(32 + 42 ) m2 /sec2 = 5 m/sec
t. Lo stesso
300 m. Si ha
La barca attraversa diagonalmente il ume nel tempo
impiega la componente
vb
per attraversare distanza di
s/v = 300 m/vb → s = 300 · 5/3 m = 500 m
15
tempo
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
Figura 6:
2 VETTORI
Graco delle velocità della barca
Se la barca dovesse attraversare verticalmente il ume con la velocità
v
dovrebbe cambiare la direzione in modo che la nuova velocità formi il parallelogramma con la velocità della corrente, la cui diagonale sia proprio la velocità
v.
In questo caso la nuova velocità sarebbe
vp′ =
√
√
√
v 2 + vc2 = (52 + 42 ) m2 /sec2 = 41 m/sec = 6, 4 m/sec
11. La pioggia cade verticalmente con la velocità di 5 m/sec. Il vento soa all'an0
golo 60 , rispetto alla verticale, con la velocità 5 m/sec. Qual'è la velocità nale
delle gocce di pioggia, vista da terra? Costruire vettore velocità nale e calco0
lare il suo modulo.(Usare le regole dell'angolo 60 ). Di che angolo (rispetto alla
terra) bisogna inclinare l'ombrello per riparasi meglio dalla pioggia?
Soluzioni:
⃗vtot = ⃗vp + ⃗vv
√
vtot = 3 vp = 1, 73 · 5 m/sec = 8, 7 m/sec
l'angolo di inclinazione della velocit/`a totale, essendo il parallelogramma un
0
0
rombo, è αvtot = 60 /2 = 30 rispetto alla vp . Per ripararsi dalla pioggia
0
0
bisogna inclinare l'ombrello di ,60 se si cammina controvento, e di 120 se si
cammina a favore del vento.
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
12. Si calcolino i moduli e si disegnino i seguenti vettori
16
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
2 VETTORI
⃗ = 5⃗i + 3 ⃗j
OA
⃗ = 10⃗i − 7 ⃗j
OB
⃗ = −2⃗i − 3 ⃗j
OC
13. Si hanno due punti A(4,3) e B(2,4). Disegnare i vettori
un sistema cartesiano con origine in
⃗ = OA
⃗ + OB
⃗
OC
O
⃗ e OB
⃗
OA
riferendosi ad
e trovare il modulo del vettore somma
e le coordinate del punto C.
A(−5; −4), B(2; 3) e C(4; −2). Cal⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ − OC
⃗ . Disegna il risultato nel
cola OA + OB + OC; OA + OB − OC; OA − OB
14. Abbiamo tre punti nel sistema cartesiano
sistema cartesiano.
15. Si hanno tre punti A(4,0), B(2,2) e C(-6,2).
Scrivere vettori
⃗ , OB
⃗ , OC
⃗
OA
riferendo si ad un sistema cartesiano con origine in O e trovare i seguenti vettori
⃗ = OA
⃗ + OB
⃗ + OC
⃗
• OE
, le coordinate del punto E e il modulo
⃗ = OA
⃗ + OB
⃗ − OC
⃗
• CD
e il modulo
|CD|.
⃗ = OA
⃗ − OB
⃗ − OC
⃗
• CA
e il modulo
|CA|.
|OE|.
Soluzioni: Scriviamo i tre vettori nel sistema cartesiano usando la notazione dei
versori ⃗
i, ⃗j come
⃗ = 4 · ⃗i + 0 · ⃗j
OA
⃗ = 2 · ⃗i + 2 · ⃗j
OB
⃗ = −6 · ⃗i + 2 · ⃗j
OD
adesso è facile fare le operazioni tra versori uguali e si ha
⃗ = OA
⃗ + OB
⃗ + OD
⃗ = 4 · ⃗i + 0 · ⃗j + 2 · ⃗i + 2 · ⃗j − 6 · ⃗i + 2 · ⃗j
OE
⃗ = 4 · ⃗j
OE
E(4, 0)
√
OE = 42 + 02 = 4
17
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
2 VETTORI
⃗ = OA
⃗ + OB
⃗ − OD
⃗ = 4 · ⃗i + 0 · ⃗j + 2 · ⃗i + 2 · ⃗j + 6 · ⃗i − 2 · ⃗j
DC
⃗ = 12 · ⃗i
DC
√
DC = 122 + 02 = 12
⃗ = OA
⃗ − OB
⃗ − OD
⃗ = 4 · ⃗i + 0 · ⃗j − 2 · ⃗i − 2 · ⃗j + 6 · ⃗i − 2 · ⃗j
DA
⃗ = 8 · ⃗i − 4 · ⃗j
DA
√
√
DA = 82 + (−4)2 = 80 = 8, 9
18
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
2 VETTORI
16. Usando vettori dell'esercizio precedente dimostrare la relazione
(
)
(
)
(
)
⃗ × OB
⃗ × OD
⃗ = OA
⃗ · OD
⃗ · OB
⃗ − OD
⃗ · OB
⃗ · OA
⃗
OA
Soluzioni:
La dimostrazione tiene conto che il prodotto vettoriale tra versori uguali da zero
× ⃗i = 0)
(esempio ⃗
i · ⃗j = 0).
(esempio ⃗
i
così come prodotto scalare tra versori diversi da anche zero
(
)
⃗ · OD
⃗ = 4 · ⃗i · −6 · ⃗i + 2 · ⃗j = −24
OA
(
)
(
)
⃗ · OD
⃗ · OB
⃗ = −24 2 · ⃗i + 2 · ⃗j = −48 · ⃗i − 48 · ⃗j
OA
(
) (
)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
OB · OD = 2 · i + 2 · j · −6 · i + 2 · j = −8
(
)
⃗ · OD
⃗ · OA
⃗ = −8 · 4⃗i = −32⃗i
OB
(
)
(
)
(
)
⃗ · OD
⃗ · OA
⃗ − OA
⃗ · OD
⃗ · OB
⃗ = −32⃗i − −48 · ⃗i − 48 · ⃗j = 16 · ⃗i + 48 · ⃗j
OB
dall'altro canto si ha
(
)
⃗ × OB
⃗ = 4 · ⃗i × 2 · ⃗i + 2 · ⃗j = 8 · ⃗i × ⃗j = 8 · ⃗k
OA
(
)
(
)
⃗ × OB
⃗ × OD
⃗ = 8 · ⃗k × −6 · ⃗i + 2 · ⃗j
OA
= −48 · ⃗k × ⃗i + 16 · ⃗k × ⃗j = −48 · ⃗j − 16 · ⃗i
19
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
nalmente si vede che
(
)
(
)
(
)
⃗ × OB
⃗ × OD
⃗ = OA
⃗ · OD
⃗ · OB
⃗ − OB
⃗ · OD
⃗ · OA
⃗
OA
17. Due masse sono posizionate su una retta inclinata di
tra di loro agisce la forza di gravita di
F = 10 N.
450
rispetto all'asse
x
e
Si scriva il vettore forza con i
versori del sistema cartesiano.
3 Condizioni di equilibrio
4 m. Il
di 500 N .
1. Due studenti si trovano su un'asta lunga
l'estremità su cui si trova uno studente
fulcro
O
è posto a
2, 8 m
dal-
Determinare il peso dell'altro
studente quando il sistema è in equilibrio. Determinare la forza vincolare sul
fulcro.
Soluzioni: Condizione di equilibrio per rotazione da
⃗ tot = M
⃗a +M
⃗b
M
Mtot = Ma − Mb = Fa · OA − Fb · OB = 0
F a · OA
Fb =
OB
F b = 500 N · 2, 8 m/1, 2 m = 1166, 7 N
La forza vincolare
Fv
si trova dalla condizione di equilibrio per traslazione
0 = F⃗a + F⃗b + F⃗v
0 = Fa + Fb − Fv
Fv = Fa + Fb = 500 N + 1166, 7 N = 1666, 6 N
2, 4 m è appoggiata nel suo centro O e caricata agli
F1 = 100 N e F2 = 1000 N dirette verso il basso. Si vuole
con la terza forza verticale F3 = 1500 N . Dove bisogna
2. Una tavola di legno lunga
estremi con due forze
equilibrare la tavola
applicare questa forza rispetto al fulcro? Quanto è la forza vincolare?
20
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
Soluzioni: Scegliamo di piazzare la forza
F3
a sinistra del fulcro nel punto
C.
Condizione di equilibrio per rotazione da
⃗ tot = M
⃗a +M
⃗b +M
⃗c
M
0 = Ma + Mc − Mb
0 = F1 · OA + F3 · OC − F2 · OB
−F1 · OA + F2 · OB
−100 N · 1, 2 m + 1000 N · 1, 2 m
OC =
=
= 0, 72 m
F3
1500 N
Il peso di
vincolare
1500 N deve essere applicato a 0, 72 m a sinistra dal fulcro.
Fv si trova dalla condizione di equilibrio per traslazione
La forza
0 = F1 + F2 + F3 − Fv
Fv = F1 + F2 + F3 = 100 N + 1000 N + 1500 N = 2600 N
Esiste un altra soluzione se piazziamo la forza
F3
a sinistra del fulcro. In questo
caso bisogna cambiare il suo verso (diretta verso alto). Prova ottenere questa
soluzione.
3. Una lampada è appesa al sotto da due funi che formano angolo di
della lampada è
uguale
T1 = T2 .
100 N .Calcolare
900 .
Il peso
la forza tensione nelle funi (il loro modulo è
La lampada si trova in equilibrio)
Soluzioni: La forza totale è
T⃗tot = T⃗1 + T⃗2
Si ha
T1 = T2 .
Essendo un quadrato la sua diagonale è
√
2 T1
√
T1 = 50N/ 2 = 35, 5 N
P =
4. Una lampada è appesa al sotto da due funi che formano angolo di
peso della lampada è
è uguale
T1 = T2 .
1200 .
Il
100 N .Calcolare la forza tensione nelle funi (il loro modulo
La lampada si trova in equilibrio)
A agisce
la forza di FA = 76 N ortogonale all'asta, mentre nell'estremo B la forza FB che
0
forma angolo di 45 con l'asta. Sapendo che OB = OA + 30 cm trovare la forza
FB e la forza vincolare totale Fv,tot nel O.
5. Un asta di peso trascurabile, lunga
90 cm ha il fulcro in O.
21
All'estremo
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
Soluzioni:
0 = Ma − Mb
0 = OA · Fa − OB · Fb,⊥
76 N · 30 cm
Fb,⊥ =
= 38 N
60
cm
√
Fb = 2 · Fb,⊥ = 53, 6 N
Ci sono due componenti della forza vincolare, una parallela
gonale
Fv,⊥
Fv,||
ed altra orto-
all'asta
Fv,⊥ = Fb,⊥ = 53, 6N
Fv,|| = Fa + Fb,|| = 76 N + 38 N = 114 N
che formano la forza vincolare totale
forza è
Fv,tot
F⃗v,tot = F⃗v,⊥ + F⃗v,|| .
Il modulo di questa
√
√
2
2
= Fv,⊥
+ Fv,||
= 2872, 9 N + 12996 N = 125, 97 N
6. Il piatto della bilancia della signora Maria pesa
dal gancio. L'asta è lunga
d = 60 cm
FP = 3 N
4 cm
5 cm dal
ed è appeso a
e lo zero della scala si trova a
gancio (fulcro). Trascurando il peso dell'asta calcolare:
•
quanto pesa il peso scorrevole
•
quale è la portata massima della bilancia
•
A che distanza
misurare
7. Due pesi
FA
e
8N
FB
lS
FS ?
Qmax ?
dal fulcro si deve portare il peso scorrevole per poter
di merce sul piatto?
Il dinamometro agganciato nel fulcro misura
FA
e
FB
l = 28 cm. Il
= 8 cm dal fulcro.
sono appesi agli estremi di un bastone lungo
sistema si trova in equilibrio quando il peso A si trova a lA
? (trascurare il peso del bastone)
22
FD = 56 N.
Quanto valgono i pesi
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
Soluzioni: Il dinamometro misura la forza vincolare
Fd = Fa + Fb
Fa = 56 N − Fb
Ma = Mb
8 cm · Fa = 20 cm · Fb
8 cm · (56 N − Fb ) = 20 cm · Fb
448 N = 28 Fb
Fb = 16 N
Fa = 40 N
8. Una scala di peso
P = 10 N,
lunga
l = 6m
è appoggiata con un estremo alla
parete verticale senza attrito. L'altro estremo appoggia sul pavimento a distanza
s = 3m
dalla parete. Quale deve essere il minimo coeciente d'attrito per
non scivolare sul pavimento?
9. Se una persona di peso
P = 40 N
sale sulla scala dell'esercizio precedente, no
a che altezza riesce arrivare prima che la scala cominci scivolare?
10. Un asta di peso
P = 10 N
è ssata ortogonalmente al muro con un cardine.
Sull'altro estremo è appeso un oggetto di peso
P = 60 N.
L'estremo dove si
0
trova il peso è ssato al muro con una corda facendo angolo α = 30 con l'asta.
Calcolare
•
la tensione T nel lo
•
forza vincolare totale prodotta dal cardine
11. Ripetere l'esercizio precedente quando l'asta ed il lo sono ortogonali tra di loro
0
e tutti due formano angolo α = 45 con il muro.
m2 = 0, 3 kg e l'altra
di lunghezza l = 1 m.
12. Due masse, una appesa
su un piano inclinato
appoggiata
m1 = 1 kg,
si trovano
Trovare l'altezza del piano
h =?
che garantisce l'equilibrio del sistema.
13. Una piastra metallica è vincolata in O. Alla piastra sono applicate due forze
0
di F1 = F2 = 50 N a 45 ciascuna e alle distanze AB = 45 cm, AO = 15 cm.
Quanto è il momento della forza totale? Quale forza
punto
C
a metà tra
O
e
B
Fc
bisogna applicare nel
per mettere la piastra in equilibrio?
23
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
Soluzioni:
AO
AB
OB
OC
Fa⊥
= 15 cm
= 45 cm
= 30 cm
= OB : 2 = 30 : 2 = 15 cm
√
= Fb,⊥ = Fa / 2 = 35, 5 N
condizione di equilibrio per rotazione da
0 = OC · Fc + OA · Fa,⊥ − OB · Fb,⊥
−15 cm · 35, 5 N + 30 cm · 35, 5 N
Fc =
= 35, 5 N
15 cm
14. All'estremità
P2 = 20 N.
A, B
di un' asta lunga
60 cm
sono appesi due pesi di
Dove bisogna appendere un blocco di
P3 = 20 N
P1 = 30 N
e
in modo che l' asta
sia in equilibrio? L'asta è vincolata nel baricentro.
Soluzioni: Si posiziona il peso
P3 a sinistra del fulcro.
La condizione di equilibrio
per rotazione da
0 = Ma + Mc − Mb
0 = OA · P1 + OC · P3 − OB · P2
OB · P2 − OA · P1
OC =
P3
600 N cm − 900 N cm
OC =
= −15 cm
20 N
Si vede che la scelta di posizione di
del fulcro, a distanza di
15. Una trave di peso
P3
è sbagliata. Bisogna spostarlo a destra
15 cm.
PT = 40 N e lunga L = 5 m è vincolata su due estremi da due
F = 300 N agisce a distanza x = 1 m dall'estremo sinistro.
supporti. Una forza
Quanto sono le forze vincolari nei due stremi?
•
senza considerare il peso della trave
24
3 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
•
con il peso della trave
Soluzione: Le forze vincolari li chiamiamo
F1 , F 2 .
Essendo il sistema in equilibrio
applichiamo le condizioni di equilibrio. Per la rotazione si può scegliere qualsiasi
punto come centro di rotazione. Prendiamo che sia punto dove agisce la forza
F1 .
Senza il peso della trave si ha
F = F1 + F2
x · F = L · F2
x
F2 = F = 60 N
L
L−x
F1 = F − F2 =
F = 240 N
L
con il peso della trave
F = F1 + F2 − P T
L
L · F2 = x · F + PT
2
x
1
F2 = F + PT = 80 N
L
2
L−x
1
F1 = F − F2 + PT =
F + PT = 260 N
L
2
Si noti che la scelta del centro di rotazione nel punto di applicazione della forza
F1
elimina questa forza dalla condizione di equilibrio per rotazione e rende
calcolo più semplice. Si vede anche che, quando la forza
F
è applicata al centro
della trave, le forze vincolari sono uguali alla metà della forza applicata.
P = 5 N e lunghezza l = 3 m è appoggiata agli estremi su due
peso di 60 N si trova a distanza d = 2, 5 m dall'estremità sinistra.
16. Un asta di peso
bilance. Un
Si trovino
•
le forze lette dalle bilance senza considerare il peso dell'asta
•
le forze lette dalle bilance considerando il peso dell'asta
17. Si hanno due carrucole, una mobile e una ssa (paranco). La carrucola mobile
pesa
P1 = 5 N e su di essa è appeso un carico P = 95 N.
tirare la fune per tenere sistema in equilibrio?
25
Con quale forza bisogna
4 MOTI DI TRASLAZIONE
4 Moti di traslazione
4.1 Moto uniforme
1. Un'automobile percorre due percorsi uguali di
1 h, t2 = 2 h.
75 km
in due tempi diversi
t1 =
Dimostra che la velocità media di tutto il percorso non è la media
delle velocità medie dei singoli percorsi.
Soluzioni: Le velocità medie dei singoli percorsi
s1 , s2
sono
∆s1
75 km
=
= 75 km/h
∆t1
1h
75 km
∆s2
=
= 37, 5 km/h
v̄2 =
∆t2
2h
v̄1 =
La velocità media di tutto il percorso e la media delle medie sono
∆s1 + ∆s2
150 km
∆stot
=
=
= 50 km/h
∆ttot
∆t1 + ∆t2
3h
v̄1 + v̄2
(75 + 37, 5) km
v̄ ′ =
=
= 56, 25 km/h
2
2h
v̄ ̸= v̄ ′
v̄ ≡
La velocità media di percorsi misti si calcola con la formula
v̄ ≡
∆stot
e non
∆ttot
come la media delle velocità media di singoli percorsi.
2. Una barca attraversa il ume partendo in direzione perpendicolare alla sponda
vB = 3 m/sec. La corrente del ume ha la
alla sponda ed è vc = 4 m/sec. Il ume è largo d = 300 m.
all'altra sponda a distanza l = 400 m (lungo la sponda) dal
con la velocità
direzione parallela
Se la barca arriva
punto di partenza,
quanto tempo impiega per attraversare il ume e quanta distanza percorre?
Soluzioni: La velocità totale della barca è la somma vettoriale della velocità
della barca e della velocità della corrente
distanza
percorsa ⃗
s = d⃗ + ⃗l.
⃗vtot = ⃗vB + ⃗vc .
Si ha
√
vtot = vB2 + vc2 = 5 m/sec
√
s = d2 + l2 = 500 m
500
s
=
= 100 sec
t=
vtot
5
26
Lo stesso dicasi per la
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 7:
Si noti che il tempo si può ottenere considerando solo il moto della barca che
percorre la distanza
d
t=
d
300
=
= 100 sec
vB
3
oppure solo movimento della corrente che percorre la distanza
t=
l
400
l
=
= 100 sec
vc
4
La spiegazione di questo fato si trova nel capitolo dei moti composti.
3. Due ragazzi A e B partono dagli estremi di un corridoio lungo
velocità
vA = 4 m/sec
e
l = 27 m
con le
vB = 5 m/sec.
•
Disegnare il graco (s,t) e (v,t).
•
Vericare che lo spazio percorso sia uguale all'area sotto il graco (v,t)
(scegliere
tF = 2 sec)
•
trovare il tempo di incontro e il punto di incontro
•
a che distanza si trovano dopo
tF = 1 sec
(posizionare l'origine delle coor-
dinate nel punto A)
Soluzioni:
Scegliamo l'origine del sistema di riferimento (coordinate) nel punto
traiettorie dei moti sono
27
A.
Le
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
sA
F = 4 m/sec · tF
sB
F = 27 m − 5 m/sec · tF
La condizione di incontro
B
sA
F = sF
porta all'equazione
27 m − 5 m/sec · tF = 4 m/sec · tF
27 m = 9 m/sec · tF
tF = 3 sec
sF = 4 m/sec · 3 sec = 12 m
il punto d'incontro ha le coordinate
(3 sec, 12 m) rispetto all'origine.
Dopo
1 sec
le posizioni sono
sA
F = 4 m/sec · 1 sec = 4 m
sB
F = 27 m − 5 m/sec · 1 sec = 22 m
∆s = 22 m − 4 m = 18 m
4. Un automobile
zia.
A
parte con la velocità
Un'altra auto
B
parte dopo
1h
v = 40 km/h
da Trieste per Vene-
nella stessa direzione con la velocità
v = 60 km/h.Trovare
•
A che punto e dopo quanto tempo si incontrano?
•
dopo quanto tempo sono a distanza di
20 km
tra di loro?
Disegnare il graco delle due traiettorie.
Soluzioni:
Scegliamo l'origine del sistema di riferimento (coordinate) nel punto
Le traiettorie dei due moti sono
sA
F = 40 km/h · tF
sB
F = 60 km/h · (tF − 1 h)
28
A = T rieste.
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 8:
si incontrano quando
B
sA
F = sF
40 km/h · tF = 60 km/h · (tF − 1 h)
tF = 3 h
B
sA
F (3 h) = sF (3 h) = 120 km
Per trovarsi a distanza di
20 km/h
tra di loro devono soddisfare la condizione
B
20 km = sA
F − sF
20 km = 40 km/h · tF − 60 km/h · (tF − 1 h)
tF,1 = 2 h
sA
F (2 h) = 40 km/h · 2 h = 80 km
sB
F (2 h) = 60 km
B
ancora insegue
A
oppure
A
20 km = sB
F − sF
20 km = −40 km/h · tF + 60 km/h · (tF − 1 h)
tF,2 = 4 h
sA
F (4 h) = 40 km/h · 4 h = 160 km
sB
F (4 h) = 180 km
B
ha sorpassato
A
.
29
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
5. Analizzare il graco del moto uniforme. Trovare:
Figura 9:
a velocità di ogni percorso e scrivere le traiettorie
b velocità media di
tutto
il percorso
Soluzioni: Le velocità di ogni percorso sono
sF − sI
5−0
=
km/h = 3, 3 km/h
tF − tI
1, 5 − 0
15 − 0
=
km/h = 0 km/h
3 − 1, 5
0−5
=
km/h = −2, 5 km/h
5−3
vI =
vII
vIII
le traiettorie e la velocità media totale sono
sI = 3, 3 km/h tF
sII = 5 km → sta fermo
sIII = 5 km − 2, 5 km/h (tF − 3 h)
10 km
v̄tot =
= 2 km/h
5h
30
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
6. Analizzare il graco dei due moto uniformi e
Figura 10:
a scrivere le traiettorie
b trovare le coordinate del punto d'incontro
Soluzioni: Prima troviamo le velocità dei due moti
sF − sI
20 − 0
=
m/sec = 1 m/sec
tF − tI
20 − 0
0 − 20
=
m/sec = −2 m/sec
10 − 0
vI =
vII
e le traiettorie sono
sI = 1 m/sec tF
sII = 20 m − 2 m/sec tF
31
4.1 Moto uniforme
4 MOTI DI TRASLAZIONE
il tempo ed il punto d'incontro sono
sI = sII
1 m/sec tF = 20 m − 2 m/sec tF
t = 6, 7 sec
s = 1 m/sec · 6, 7 sec = 6, 7 m
7. Due ragazzi A (Alberto) e B (Bono) percorrono una strada. Il graco dei loro
moti e rappresentato in gura.
Figura 11:
a scrivere le traiettorie dei due moti
b trovare il tempo quando sono a distanza
10 m
tra di loro
8.
9. Un automobile
zia.
A
parte con la velocità
Un'altra auto
B
parte dopo
2h
v = 60 km/h
v = 80 km/h.Trovare
•
A che punto e dopo quanto tempo si incontrano?
32
da Trieste per Vene-
nella stessa direzione con la velocità
4.2 Moto uniformemente accelerato
•
4 MOTI DI TRASLAZIONE
dopo quanto tempo sono a distanza di
10. Due volpi distanti
AB = 20 m
20 km
tra di loro?
tra di loro, vedono un coniglio a metà strada e
cominciano correre verso di lui con le velocità
vA = 10 m/sec
e
vB = 20 m/sec.
A e
Il coniglio, furbo, comincia correre verso sinistra dove si trova la volpe
aggiusta la sua velocità
vC
in modo che le due volpi arrivano assieme da lui. Non
potendosi fermare in temo le volpi si scontrano e il coniglio si salva. Determinare
la velocità del coniglio che la fa salvare.
posizionare in
Origine del sistema di coordinate
A.
Soluzioni: Scriviamo le traiettorie delle volpi e del coniglio
sA
F = 10 m/sec tF → prima volpe
sB
F = 20 m − 20 m/sec tF → seconda volpe
sC
F = 10 m − vC m/sec tF → coniglio
troviamo dove si incontrano le due volpi
B
sA
F = sF
10 m/sec tF = 20 m − 20 m/sec tF
2
tF = sec
3
20
sF,inc. =
m
3
la velocità del coniglio si trova imponendo che, anche lui, si trovi nel punto
d'incontro delle due volpi.
sC
F =
In generale vale
punto
A.
vC =
20
2
m = 10 m − vC m/sec · sec
3
3
vC = 5 m/sec
(vB +vA ) sC
I
sB
I
− vA
con l'origine del sistema di coordinate nel
4.2 Moto uniformemente accelerato
1. La traiettoria del moto uniformemente accelerato è sF = sI + vI (tF − tI ) +
a/2(tF − tI )2 e la velocità istantaneavF = vI + a(tF − tI ). Eliminando il tempo
si riesce ricavare la formula che collega direttamente la velocità con la distanza
2
2
percorsa vF − vI = 2 a(sF − sI ). Prova ottenere questa formula.
33
4.2 Moto uniformemente accelerato
Soluzioni:
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Si ricava il tempo dalla formula della velocità e si inserisce nella
traiettoria come segue
vF − vI
a
(
)2
vF − vI a vF − vI
sF − sI = vI
+
a
2
a
vF − vI
v 2 − vI2
sF − sI =
(2 vI + vF − vI ) = F
2a
2a
2
2
vF − vI = 2 a (sF − sI )
tF − tI =
Figura 12:
2. Un'automobile A insegue un'automobile B . Il graco rappresenta le velocità
delle due vetture.
•
scrivere le traiettorie
•
dopo quanto tempo A raggiunge B e in che punto?
•
a che distanza si trovano dopo
B
sA
F , sF ?
t = 20 sec?
34
4.2 Moto uniformemente accelerato
Il moto
A
4 MOTI DI TRASLAZIONE
è composto dalla prima parte accelerata
seconda parte uniforme
AII ,
B
mentre moto
AI
che dura
12 sec
e la
è sempre uniforme. Le traiettorie
sono date da
vF − vI
50 m/sec
=
tF − tI
12 sec
2
25 m/sec 2
sIF,A (tF ) =
tF
12
25 m/sec2
I
(12 sec)2 = 300 m
sF,A (12 sec) =
12
sII
(t
)
=
300
m
+ 50 m/sec (tF − 12 sec)
F,A F
aIA =
sF,B (tF ) = 40 m/sec tF
Si incontrano quando
sA = sB .
Vediamo prima la fase accelerata
sIF,A = sF,B
25 m/sec2 2
tF
12
40 · 12 m/sec
tF =
= 19, 2 sec
25 m/sec2
40 m/sec tF =
Questo risultato non è acetabile perché la fase accelerata dura soltanto
12 sec.
Vediamo la fase uniforme
sII
F,A = sF,B
300 m + 50 m/sec (tF − 12 sec) = 40 m/sec tF
300 m
tF =
= 30 sec
10 m/sec
sF,B=A (30 sec) = 40 m/sec · 30 sec = 1200 m
Due automobili si incontrano dopo
30 sec
alla distanza
1200 m.
Dopo
trovano a distanza tra di loro
∆s = sF,B − sII
F,A
∆s = 40 m/sec · 20sec − 300 m − 50 m/sec (20 − 12) sec
∆s = 100 m
e l'automobile
A
sta ancora inseguendo
35
B.
20 sec
si
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 13:
3. Il graco in gura descrive il precorso di un oggetto.
•
ricavare le distanze percorse
•
calcolare la velocità media di ogni percorso
•
calcolare la velocità media di tutto il percorso
Soluzioni: Il moto è composto di una parte accelerata
II .
I
e una parte uniforme
L'accelerazione della prima parte è
vF − vI
(5 − 0) m/sec
=
= 0, 2 m/sec2
tF − tI
(25 − 0) sec
sIF (tF ) = 0, 1 m/sec2 t2F
aIA =
sIF (25 sec) = 0, 1 m/sec2 (25 sec)2 = 62, 5 m
sII
F (tF ) = 62, 5 m + 5 m/sec (tF − 25 sec)
sF (60 sec) = 237, 5 m
Si noti che la distanza totale percorsa corrisponde all'area sotto il graco delle
velocità (noto anche come la legge delle aree) che è composta da un triangolo
36
4.2 Moto uniformemente accelerato
ed un rettangolo. Area totale
A ≡ stot =
(
4 MOTI DI TRASLAZIONE
)
25 · 5
+ 5 · 35 m = 237, 5 m
2
Le velocità medie dei singoli percorsi
I, II
sono
v0,I + vF,I
(5 + 0) m/sec
=
= 2, 5 m/sec
2
2
= vII = 5 m/sec
∆stot
237, 5 m
=
=
= 3, 96 m/sec
∆ttot
60 sec
v̄I =
v̄II
v̄tot
4. Un ragazzo è distante
s0 = 15 m
dalla fermata del tram quando si accorge che
2
il tram sta per partire. Comincia a correre con l'accelerazione ar = 0.4 m/sec
2
nello stesso istante quando il tram parte con l'accelerazione at = 0.2 m/sec .
•
dopo quanto tempo raggiunge il tram
•
a che distanza dalla fermata
Soluzioni: Si sceglie l'origine del sistema di coordinate nel punto dove si trova
il ragazzo nel momento iniziale. Le traiettorie del ragazzo e del tram sono
SF,r = 0, 4 m/sec2 · t2F
SF,t = 15 m + 0, 2 m/sec2 · t2F
Condizione d'incontro
SF,t = SF,r
0, 4 m/sec · t2F = 15 m + 0, 2 m/sec2 · t2F
15 m = 0, 2 m/sec2 t2F
√
15 m
tF =
= 8, 7 sec
0, 2 m/sec2
2
Nel momento quando raggiunge il tram si trovano alla distanza dal origine e
hanno le velocità
SF,r = 0, 4 m/sec2 · 75 sec2 = 30 m
vF,r = 0, 4 m/sec2 · 8, 7 sec = 4, 48 m/sec = 12, 5 km/h
vF,t = 0, 2 m/sec2 · 8, 7 sec = 1, 74 m/sec = 6, 3 Km/h
v = 108 km/h quando vede un semaforo rosso a distan80 m. Supponendo che ci vogliono 0, 6 sec di tempo per premere il pedale
5. Un automobile viaggia a
za di
del freno calcolare
37
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
a quanta strada percorre la vettura in questo tempo?
b nalmente il freno entra in funzione e la vettura si frema dopo
4, 4 sec.
Quan-
to è la decelerazione?
c riesce a fermarsi prima del semaforo?
Soluzioni:
Il moto consiste di un moto uniforme
A
che dura
0, 6 sec
con la velocità
v =
108 km/h = 108/3, 6 m/sec = 30 m/sec e di un moto uniformemente accelerato
B di 4, 4 sec. Il tempo totale è 5 sec. Le traiettorie e le velocità sono
sA
F = 30 m · tF → moto uniforme
vFA = 30 m/sec
sA
F = 30 m · 0, 6 sec = 18 m
2
B
sB
F = sI + vB m/sec · (tF − 0, 6 sec) − a/2 · (tF − 0, 6 sec) → moto accelerato
0 = vFB = vI − a · (tF − 0, 6 sec) → a = 30 m/sec/4, 4 sec = 6, 8 sec
2
sB
F = 18 m + 30 m/sec · (4, 4 sec) − 3, 4 · (4, 4 sec) = 150 m − 65, 8 m = 84, 2 m
L'automobile non riesce a fermarsi prima del semaforo distante
80 m.
Per potersi
fermare la sua accelerazione dovrebbe essere
a/2 · (4, 4 sec)2 ≥ 70 m → a ≥ 140/19, 4 m/sec2 = 7, 20 m/sec2
6. Un'automobile B insegue un'automobile A . Il graco rappresenta le velocità
delle due vetture.
Figura 14:
38
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
•
scrivere le traiettorie
•
dopo quanto tempo B raggiunge A e in che punto?
•
a che distanza si trovano dopo
B
sA
F , sF ?
t = 20 sec?
Soluzioni: Le accelerazioni sono
∆v
20 − 15
=
m/sec2 = 0, 25 m/sec2
∆t
20 − 0
∆v
20 − 0
aB =
=
m/sec2 = 1 m/sec2
∆t
20 − 0
aA =
Le traiettorie sono
2
2
sA
F = 15 m/sec · tF + 0, 125 m/sec · tF
2
2
sB
F = 0, 5 m/sec · tF
si incontrano quando
B
sA
F = sF
15 m/sec · tF + 0, 125 m/sec2 · t2F = 0, 5 m/sec2 · t2F
(
)
0, 375 m/sec2 · tF − 15 m/sec · tF = 0
15
tF =
sec = 40 sec
0, 375
B
2
2
sB
F ≡ sF = 0, 5 m/sec · (40 sec) = 800 m
dopo
20 sec
si trovano
2
2
sA
F = 15 m/sec · (20 sec) + 0, 125 m/sec · (20 sec) = 350 m
2
2
sB
F = 0, 5 m/sec · (20 sec) = 200 m
7. Il graco rappresenta le velocità delle due vetture
le due è
1 e 2.
La distanza iniziale tra
sI,2 = 1200 m.
•
scrivere le traiettorie
•
dopo quanto tempo ed in che punto si ferma la vettura
•
a che distanza si trova la vettura
sF,1 , sF,2 ?
39
1
quando si ferma la
2?
2?
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 15:
•
dove si trovano le due vetture quando raggiungono la stessa velocità?
Soluzioni: Le traiettorie sono
sF,1 = 0, 5 m/sec2 · t2F
sF,2 = 1200 m + 20 m/sec · tF − 0, 5 m/sec2 · t2F
vF,2 = 20 m/sec − 1 m/sec2 · tF = 0 → tF = 20 sec
sF,2 (20 sec) = 1200 m + 20 m/sec · 20 sec − 0, 5 m/sec2 · (20 sec)2 = 1400 m
le velocità diventano uguali dopo
tF = 10 sec
e le posizioni sono
sF,2 (10 sec) = 0, 5 m/sec2 · (10 sec)2 = 50 m
sF,2 (10 sec) = 1200 m + 20 m/sec · 10 sec − 0, 5 m/sec2 · (10 sec)2 = 1350 m
∆s = 1300 m
8. Il graco in gura descrive la velocità di un razzo sparato orizzontalmente su
una rotaia
•
scrivere le traiettorie del moto
•
ricavare le distanze percorse
•
calcolare le velocità medie dei singoli percorsi
40
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 16:
soluzioni: Le accelerazioni sono
∆v
1000 − 0
=
m/sec2 = 20 m/sec2
∆t
50 − 0
∆v
0 − 1000
aB =
=
m/sec2 = −10 m/sec2
∆t
150 − 50
aA =
Le traiettorie sono
2
2
sA
F = 10 m/sec · tF
2
2
sA
F (50 sec) = 10 m/sec · (50 sec) = 25.000 m
2
2
sB
F = 25.000 m + 1000 m/sec · (tF − 50 sec) − 5 m/sec · (tF − 50 sec)
2
2
2
sB
F (150 sec) = 25.000 m + 1000 m/sec · (150 − 50) sec − 5 m/sec · (150 − 50) sec
= 75.000 m
le velocità medie sono
(1000 + 0) m/sec
= 500 m/sec
2
(0 + 1000) m/sec
v̄B =
= 500 m/sec
2
v̄A =
9. Due macchine si confrontano sulla stessa distanza. La prima parte accelerando nché non esaurisce il carburante a metà percorso e poi viaggia in moto
uniforme. La seconda accelera durante tutto il tragitto. Tute le due macchine percorrono la distanza con tempi uguali.
accelerazioni.
41
Trovare il rapporto tra le loro
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Soluzioni: Per la prima macchina abbiamo due percorsi uguali
a1 2
t → moto accelerato
2 1
v1 = a1 t1
s1 /2 = v1 t2 = a1 t1 t2 → moto uniforme
t1 = 2 t2
3
t = t1 + t2 = t1
2
s1 /2 =
Per la seconda macchina abbiamo
a2 2
t
2
s1 = a1 t21
( )2
a2 2
2
t = a1
t
2
3
8
a2 = a1
9
s1 =
4.2.1
Moto nel campo gravitazionale
1. Un bambino lancia una pallina in alto con la velocità
v0 = 5 m/sec.
Determinare
•
altezza massima raggiunta
•
tempo di ricaduta a terra
•
Costruire i graci della velocità e della traiettoria della pallina
Soluzioni: Nella parte di salita il moto è uniformemente decelerato e, al ritorno,
accelerato. La traiettoria è data da
g 2
t
2
v(t) = v0 − g t
h(t) = v0 t −
la velocità diventa zero all'altezza massima determinando il tempo di salita
0 = v(t) = v0 − g t
5 m/sec
v0
=
= 0, 5 sec
tmax =
g
10 m/sec2
10 m/sec2
hmax = 5 m/sec · 0, 5 sec −
· (0, 5 sec)2 = 1, 25 m
2
42
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
essendo il moto di discesa completamente simmetrico alla salita il tempo totale
è
Ttot = 2 · 0, 5 sec = 1 sec.
I graci sono
Figura 17: La velocità della pallina è una retta
Figura 18: La traiettoria della pallina è una parabola
43
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
2. Amico Isaac (Newton) è seduto sotto un albero di altezza
altezza da seduto è
0.8 m.
h = 10 m.
La sua
Se la mela cade dalla cima dell'albero
•
quanto tempo impiega per cadere in testa ad Isaac?
•
con che velocità colpisce?
•
cosa disse Isaac quando fu colpito?
Soluzioni: La mela deve percorrere la distanza
h = 10 m − 0.8 m = 9, 2 m
e la
sua velocità è
v2 = 2 g h
√
v = 2 · 10 m/sec2 · 9, 2 m = 13, 6 m/sec
v
t = = 1, 36 sec
g
Dopo essere stato colpito dalla mela Isaac disse Ai, che male e poi ho capito
perché cade. Così nacque la teoria della gravità newtoniana.
3. Un ragazzo lascia cadere una palina dalla nestra alta
hI = 10 m.
Nello stesso
momento un altro ragazzo lancia un'altra palina in alto con la velocità iniziale
vI = 5 m/sec
. Dopo quanto tempo e a che altezza si incontrano le due paline?
Soluzioni: Le traiettorie delle palline sono
2
2
hA
F = 10 m − 5 m/sec · tF
2
2
hB
F = 5 m/sec · tF − 5 m/sec · tF
si incontrano quando
B
hA
F = hF
10 m − 5 m/sec2 · t2F = 5 m/sec · tF − 5 m/sec2 · t2F
10 m = 5 m/sec · tF
10
tF =
sec = 2 sec
5
Però, se calcoliamo il tempo della palina
si trova
B
per raggiungere l'altezza massima
vI2
vI
= 0, 5 sec → hB
=
= 1, 25 m
F,max
g
2g
B
terra t = 2 tF,max = 1 sec. Dopo quel tempo
tB
F,max =
Il tempo per tornare a
la palina
A
ha percorso la distanza
2
2
hA
F = 10 m − 5 m/sec · (1 sec) = 5 m
Si conclude che le paline non si incontrano mai. La soluzione trovata tF
non ha signicato sico.
44
= 2 sec
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
4. Un ragazzo lascia cadere una palina
2
dalla nestra alta
momento un altro ragazzo lancia un'altra palina
vI,1 = 20 m/sec
•
hI,2 .
Nello stesso
1 in alto con la velocità iniziale
.
A che altezza massima
hmax
1
arriva la palina
1
lanciata in alto e dopo
quanto tempo?
•
•
da quale altezza iniziale bisogna lanciare la seconda palina
max
tra loro è ∆h = hF,2 − h1
= 10 m?
a che altezza si trova la palina
2, se la distanza
2 nel momento quando la palina 1 raggiunge
la massima altezza?
Soluzioni: Le traiettorie sono
g 2
·t
2 F
g
= vI,1 · tF − · t2F
2
g 2
g
= hI,2 − · tF − vI,1 · tF + · t2F = hI,2 − vI,1 · tF
2
2
= vI,1 − g · tF
hF,2 = hI,2 −
hF,1
hF,2 − hF,1
vF,1
Altezza massima della prima palina è
hmax
F,1 =
2
vI,1
= 20 m
2g
tmax =
vI,1
= 2 sec
g
ed il tempo
la seconda palina parte dall'altezza
max
hF,2 − hmax
F,1 = hI,2 − vI,1 · tF
10 m = hI,2 − 20 m/sec · 2 sec → hI,2 = 50 m
5. Un ragazzo si diverte buttando le palline di gomma dalla nestra alta
s = 5m
dalla nestra
(in senso orizzontale) e cammina verso la nestra con la velocità
vp = 8 m/sec.
Un passante di altezza
hp = 1.8 m
h = 14 m.
si trova a distanza
Riesce la pallina colpire il passante in testa?
6. Una ragazzina butta una pallina in alto con la velocità iniziale
dalla nestra alta
h = 10 m
rispetto alla strada. Determinare
•
l'altezza massima raggiunta dalla pallina
•
velocità quando cade a terra
•
tempo impiegato per cadere a metà altezza della nestra
45
v0 = 2 m/sec
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 19: La traiettoria della pallina è una parabola
•
disegnare graci della velocità e la traiettoria
Soluzioni: Nella parte di salita il moto è uniformemente decelerato e, al ritorno,
accelerato. La traiettoria è e la velocità sono date da
h(t) = 10 m + 2 m/sec · t − 5 m/sec2 · t2
v(t) = 2 m/sec − 10 m/sec2 · t
la velocità diventa zero all'altezza massima determinando il tempo di salita
0 = v(t) = 2 m/sec − 10 m/sec2 · tmax
2 m/sec
tmax =
= 0, 2 sec
10 m/sec2
hmax = 10 m + 2 m/sec · 0, 2 sec −
10 m/sec2
· (0, 2 sec)2 = 10, 2 m
2
La caduta si può considerare come moto accelerato che parte dall'altezza
con la velocità iniziale zero, e la velocità nale di caduta è
vF2 = 2 g hmax
√
vF = 2 g hmax = 14, 3 m/sec
46
10, 2 m,
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Figura 20: La velocità della pallina è una retta
tmax = 0.2 m/sec + 14, 3 m/sec/10 m/sec2 = 16, 3 sec.
prendendo l'altezza della nestra h0 ,
il tempo nale, invece, è
A metà altezza si ha,
vF2 = 2 g (hmax − h0 /2)
√
vF = 2 · 10 m/sec2 (10, 2 m − 5 m) = 10, 2 m/sec
7. Un ragazzo lascia cadere una palina dalla nestra alta
hI = 10 m.
Nello stesso
momento un altro ragazzo lancia un'altra palina in alto con la velocità iniziale
vI = 5 m/sec
. Dopo quanto tempo e a che altezza si incontrano le due paline?
8. Un missile viene lanciato in alto con l'accelerazione
t1 = 50 sec.
a = 2g
per un periodo di
Determinare
•
massima altezza raggiunta
•
tempo totale per tornare a terra
•
graco della velocità durante il viaggio
Soluzioni: Durante il tempo
t1
il missile viaggia in moto accelerato, poi decele-
47
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
rato no a raggiungere altezza massima. I due moti sono
h1 = g t21
v1 = 2 g t1 = 981 m/sec → fase accelerata
g
hmax = h1 + v1 t2 − t22
2
v2 = v1 − g t2 = 981 m/sec − g t2 → fase decelerata
0 = 2 g t1 − g t2 → t2 = 2 t1 = 100 sec
g
hmax = g t21 + 2 g t1 t2 − − t22 = 3 g t21 = 73.575 m
2
Figura 21:
Al ritorno il missile è in caduta libera dall'altezza
0 = h = hmax −
hmax .
g 2
t
2 3
v3 = −g t3
2 hmax
t23 =
= 6 t21
g
√
t3 = 6 t1 = 122, 5 sec
v3 = −g t3 = −1201, 7 m/sec
ttot = t1 + t2 + t3 = 272, 5 sec
48
4.2 Moto uniformemente accelerato
4 MOTI DI TRASLAZIONE
9. Per trovare la profondità di un pozzo si lascia cadere un sasso e si aspetta di
sentire il tonfo nell'acqua. Se la caduta dura
t = 1, 75 sec
•
quanto è profondo il pozzo?
•
con quale velocità arriva il sasso al fondo?
•
il tempo di caduta andrebbe coretto per qualche motivo sico?
Soluzioni: Il moto è moto di caduta nel campo gravitazionale e vale
g
0 ≡ h = h0 − t2
2
v = gt
9, 81 m/sec2
g
(1, 75 sec)2 = 15, 02 m
h0 = t 2 =
2
2
v = 9, 81 m/sec2 · 1, 75 sec = 17, 2 m/sec
Il tempo misurato include anche il tempo necessario per il suono di arrivare a
noi dal fondo del pozzo, dunque il tempo misurato non corrisponde al tempo di
caduta. Si puo scrivere
texp = t + ts
g
h0 = (texp − ts )2
2
h0
ts =
vs
(
)2
h0
g
texp −
h0 =
2
vs
(
)
g 2
g
g
0=
h0 − h0 1 + texp + t2exp
2
2 vs
vs
2
Dove
vs ≈ 343 m/sec
rappresenta la velocità del suono e
ts
tempo che il suono
impiega per arrivare a noi dal fondo del pozzo. La soluzione di questa equazione
quadratica è
vs2
h0 =
g
√
)
(
g
2g
texp
1 + texp − 1 +
vs
vs
essendo la velocità del suono molto più grande della velocità di caduta, si può
dimostrare che la correzione è data dalla formula
g 2
t (1 − g texp /vs ) ≈ 14, 3 m
2 exp
v = g texp (1 − g texp /2 vs ) ≈ 16, 8 m/sec
h0 =
49
(1)
(2)
4.3 Moti composti di traslazione
4 MOTI DI TRASLAZIONE
4.3 Moti composti di traslazione
1. Una pallina si trova su un nastro mobile che si muove con la velocità
10 m/sec
10 m/sec
in direzione orizzontale.
La pallina si muove con la velocità
vn =
vp =
in direzione verticale al movimento del nastro. Descrivere la traietto-
ria della pallina, rispetto all'osservatore esterno, e calcolare dove si trova e che
velocità ha dopo
t = 2 sec.
Disegnare la situazione.
2. Un ragazzo viaggia su un treno che si muove in moto uniforme con la velocità
va = 30 m/sec.
Lancia una pala in alto, con la velocità
vp = 15 m/sec.
Con
quale velocità si muove la pala rispetto all'osservatore esterno? Descrivere la sua
traiettoria e calcolare quanto tempo impiega per raggiungere l'altezza massima
e quanto è questa altezza?
3. Un ragazzo viaggia su un autobus che si muove in moto uniforme con la velocità
va = 20 m/sec.
Lancia la pala in direzione opposta al movimento del autobus,
con la velocità
vp = 10 m/sec.
Con quale velocità si muove la pala rispetto
all'osservatore esterno? Descrivere la sua traiettoria e calcolare quanto tempo
impiega per arrivare al lato estremo dell'autobus lungo
10 m.
Cosa succederebbe
se le due velocità fossero uguali?
4.4 Moti parabolici
1. Trovale l'angolo di lancio di un proiettile tale che l'altezza massima sia uguale
alla gittata.
Soluzione: Le formule della gittata e dell'altezza massima sono
2 v0,x v0,y
g
2
v0,y
hmax =
2g
2
v0,y
2 v0,x v0,y
=
xmax = hmax →
g
2g
v0 sin α = 4 v0 cos α
tan α = 4 → α ≈ 760
xmax =
2. Un cannone spara un proiettile con inclinazione di
300 e con la velocità 120 m/sec.
Quanto tempo impiega il proiettile a toccare terra? Quale è l'altezza massima e
la gittata raggiunta? Quanto tempo impiega per raggiungere l'altezza massima?
50
4.4 Moti parabolici
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Soluzione: Il moto parabolico di un proiettile è descritto dalla formula
y=
v0,y
g
x − 2 x2
v0,x
2 v0,x
la massima gittata si ottiene imponendo
y=0
(si trova a terra)
√
3 v0
= 103, 9 m/sec
2
v0
= v0 sin 300 =
= 60 m/sec
2
2 v0,y v0,x
2 (120 m/sec)2
=
=
sin 300 cos 300
g
9, 81 m/sec2
√
3 (120 m/sec)2
=
= 1269, 72 m
2 × 9, 81 m/sec2
2
v0,y
(602 m2 /sec2 )
=
= 183, 5 m
=
2g
2 · 9, 81 m/sec2
2 × 60 m/sec
2 v0,y
=
= 12, 23 sec
=
g
9, 81 m/sec2
tx
= max = 6, 12 sec
2
v0,x = v0 cos 300 =
v0,y
xmax
xmax
hmax
txmax
thmax
3. Un carrello si muove con la velocità
vc = 20 m/sec. Sul carrello si trova un
vp = 10 m/sec. Descrivere
ragazzo che lancia una palla in alto con la velocità
la traiettoria che vede un osservatore esterno al carrello e calcolare la distanza
orizzontale percorsa dalla palla. Calcolare, inoltre, l'altezza massima raggiunta.
Quale è la traiettoria che vede il ragazzo che lancia la palla?
4. Un aereo vola con la velocità
400 km/h ad una quota di 2000 m e lancia un cari-
co su un punto preciso sulla terra. Da che distanza dal bersaglio deve sganciare
il carico? Dopo quanto tempo passa sopra il bersaglio? Quanto è la velocità di
arrivo (disegnare le velocità nel punto di arrivo)?
Soluzione: Il tempo necessario per colpire il bersaglio è lo stesso che impiega
per arrivare a terra dall'altezza iniziale
th =
√
2 h0 /g =
h0 .
Questo tempo è
√
2 × 2000 m/9, 81 m/sec2 = 20, 2 sec
Nello stesso tempo percorre lungo asse
x
la distanza
x = vx t = 111 m/sec · 20, 2 sec = 2242, 2 m
51
4.4 Moti parabolici
4 MOTI DI TRASLAZIONE
questa è la distanza dalla quale deve sganciare il carico. Passa sopra il punto
di arrivo nel tempo
t = 20, 2 sec.
La velocità nale è la somma vettoriale di
vx = 111 m/sec e la velocità raggiunta durante la caduta vy = g t
√
√
2
2
2
v = vx + g t = 1112 + (9, 81 × 20, 2)2 m/sec = 227 m/sec ≈ 818 km/h
5. Calcolare i tempi necessari per un oggetto di arrivare all'altezza massima se
0
0
viene lanciato con l'angolo α = 30 e α = 90 rispetto all'asse orizzontale e con
la velocità iniziale
v0 = 10 m/sec.
Quanto sono queste due altezze?
6. Scrivere la traiettoria di un oggetto lanciato dall'altezza
iniziale
v0
inclinata di un angolo
α
h0
con la velocità
rispetto all'orizzontale.
x con la velocità
lungo l'asse y con
Soluzioni: Il moto è composto da un moto uniforme lungo asse
iniziale
v0,x = v0 cos α ed un moto
v0,y = v0 sin α
uniformemente decelerato
la velocità iniziale
x = vx,0 t
y = h0 + vy,0 t −
g 2
t
2
eliminando il tempo si trova la traiettoria nel piano
(x, y)
2
y = h0 +
vy,0
g x
x−
2
vx,0
2 vx,0
y = h0 + x tan α −
g
x2
2 v02 cos2 α
La gittata corrisponde al punto in cui tocca la terra con le coordinate
e si ottiene dall'equazione
0 = h0 + x tan α −
g
x2
2 v02 cos2 α
che ha la soluzione
xmax
√
]
[
v02 cos α
2
h
g
0
=
sin α + sin2 α +
g
v02
√
]
[
2
v0
8 h0 g
2
=
sin(2 α) + sin (2 α) +
cos2 α
2g
v02
52
(xmax , 0)
4.5 Moto di rotazione
4 MOTI DI TRASLAZIONE
1
La gittata più lunga si ottiene per l'angolo che soddisfa la condizione
h0 g
+ h0 g
√
v0
v02 + 2 h0 g
xmax (αmax ) =
g
cos (2αmax ) =
lancia la palla con la velocità iniziale v0 =
0
e con l'angolo d'inclinazione di α = 45 . Calcolare, usando le soluzioni
7. Un lanciatore di baseball alto
50 m/sec
v02
2m
del esercizio precedente,
•
altezza massima raggiunta dalla palla.
•
a che distanza dal giocatore cade a terra e con quale velocità.
•
che velocità ha quando di nuovo arriva all'altezza di
2m
da terra.
8. Un motociclista vuole saltare una la di automobili lunga 20 m usando una
0
rampa alta 2 m ed inclinata di 30 . Con quale velocità deve iniziare il lancio
per riuscire a fare il salto? A che distanza dalla rampa tocca la terra?
4.5 Moto di rotazione
1. Su una piattaforma rotante a
60 giri/min è posta una pallina a una distanza dal
10 cm; 30 cm; 50 cm.
Quanto valgono le velocità angolari e tangenziali
centro di
della pallina?
Tracciare il graco della velocità tangenziale in funzione della
distanza dal centro. Che graco si ottiene?
Soluzione:
Le velocità angolari non dipendono dalla distanza dal centro di
rotazione e sono uguali per tutte tre posizioni. Se la piattaforma fa
1 chi
n
è interessato la condizione del massimo è data da
x′ = 0 → cot(2α) + √
cos(2α) − 2 y0 g/v02
sin2 (2 α) + (8 h0 g/v02 ) cos2 α
(
)2 (
)2
8 h0 g
cos2 α = 1 + 2 y0 g/v02 − cos (2α) − 2 y0 g/v02
sin2 (2 α) +
2
v0
(
)
(
)
cos (2 α) 1 + 2 y0 g/v02 = ± cos (2α) − 2 y0 g/v02
53
=0
giri in un
4.5 Moto di rotazione
tempo
t,
4 MOTI DI TRASLAZIONE
il suo periodo sarà
T = t/n.
In questo caso
T = 60 sec/60 = 1 sec
e la
velocità angolare è
ω = 2π/T = 6, 28/1 sec = 6, 28 sec−1
le velocità tangenziali sono
v1 = ω · r1 = 6, 28 sec−1 · 0, 1 m = 0, 628 m/sec
v2 = ω · r2 = 6, 28 sec−1 · 0, 3 m = 1, 884 m/sec
v1 = ω · r3 = 6, 28 sec−1 · 0, 5 m = 3, 14 m/sec
La dipendenza della velocità tangenziale dal raggio è lineare ed il graco è una
retta.
150 giri/min
2. Un disco gira con
t = 2, 2 h.
e, per eetto dell'attrito sul asse, si ferma dopo
Trovare
•
accelerazione media angolare
•
numero di giri prima di arrestarsi
•
accelerazione tangenziale di un punto distante
r = 50 cm
dall'asse di
rotazione
Soluzioni: L'accelerazione angolare si trova dalla variazione della velocità angolare
āω =
ωF − ωI
ωI
=−
tF − TI
∆t
n giri in un generico tempo t il periodo è T = t/n.
T = 60/150 sec = 0, 4 sec. Dunque l'accelerazione media è
Se un oggetto compie
questo caso si ha
āω = −
In
2π
2π
=−
= −1, 99 × 10−3 rad/sec2
3
2
T ∆t
0, 4 · 2, 2 · 3, 6 × 10 sec
L'accelerazione tangenziale è
āt = āω · r = −1, 99 · 0, 5 × 10−3 m/sec2 = −1 × 10−3 m/sec2
Numero totale di giri è, in un tempo medio
t̄ = 2, 2h/2 = 1, 1h
n = t̄/T = 1, 1 · 3, 5 × 103 sec/0, 4 sec = 9, 9 × 103 giri
3. Un disco di raggio
R = 3m
è montato su un albero di raggio
velocità tangenziale del albero è
•
vt = 1 m/sec.
velocità angolare del sistema
54
Calcolare
r = 1 cm.
La
4.5 Moto di rotazione
4 MOTI DI TRASLAZIONE
•
velocità tangenziale dei punti sulla circonferenza del disco
•
accelerazione di tali punti
4. Due dischi di raggio
r1 = 5 cm
e
r2 = 20 cm
sono collegate con una catena.
Calcolare il rapporto delle velocità angolari dei due dischi ed il rapporto del
loro numero di giri.
Soluzioni: Essendo la catena non estensibile i punti di due dischi hanno la stessa
velocità tangenziale.
vt,1 = vt,2
ω1 · r 1 = ω2 · r 2
ω1
r2
5
=
=
= 0, 25
ω2
r1
20
il numero di giri si trova usando la formula (vedi esercizio 1)
2π n
2π
=
ω=
T
t
ω1
n1
=
= 0, 25
ω2
n2
n2 = 4 n1
Il disco più piccolo compie quattro volte più giri di quello più grande.
5. Davide vede Golia a distanza di
500 m
e comincia girare la onda che ha il
R = 40 cm. Quale velocità angolare deve raggiungere il sasso di massa
m = 0, 5kg per poter colpire Golia con la velocità di 50 m/sec. Quanto tempo
raggio di
impiega il sasso per raggiungere Golia? Quanto è la tensione nella onda?
6. Su una piattaforma rotante a
m = 5g
60 giri/min
è si trova una coccinella di massa
ferma ad una distanza dal centro di
10 cm.
Quanto valgono la velocità
angolare, tangenziali e quanto è la forza centrifuga? Se la coccinella comincia
−1
muoversi tangenzialmente in senso contrario alla rotazione con ωc = 1 sec
quanto e la forza centrifuga sulla coccinella?
7. Una pala ruota sulla traiettoria circolare legata ad una corda di lunghezza
l = 1 m.
Quanti giri al minuto deve compiere per avere l'accelerazione cen-
tripeta uguale all'accelerazione di gravità
55
g?
4.6 Moto armonico
4 MOTI DI TRASLAZIONE
8. Un motociclista fa uno spettacolo girando con la moto sul cerchio della morte
(un cilindro di raggio
R = 5 m).
Con quale velcità minima deve guidare per
rimanere attaccato al muro verticale del cilindro con il coeciente d'attrito
µ = 0, 5?
Soluzioni: Il motociclista rimane attaccato al muro grazie all'equilibrio tra la
forza d'attrito prodotta dalla forza centrifuga e la forza peso
P = µ Fcf
µ m vt2
mg =
√R
gR
≈ 10 m/sec = 36 km/h
µ
vt =
4.6 Moto armonico
1. Una massa oscilla secondo la legge
(
x(t) = 3 cm cos
5π
t
sec
)
Quale è
•
la sua frequenza
•
dove si trova nel istante
•
la velocità
ν
v(T /4)
ed il periodo
T
t = T /4
e l'accelerazione
a(T /4)
in quel momento
Soluzioni: Confrontando con la formula generale del moto armonico si ha
x(t) = xmax cos (ω t)
5π
ω=
sec
2π
T =
= 0, 4 sec
ω
(
)
(π )
5π
x(t = T /4 = 0, 1 sec) = 3 cm cos
0, 1 sec = 3 cm cos
=0
sec
2
(
)
(π )
5π
5π
5π
v(t = T /4 = 0, 1 sec) = −3 cm
sin
0, 1 sec = −3 cm
sin
= −15π cm/sec
sec
sec
sec
2
( )2
5π
a(t = T /4 = 0, 1 sec) = −3 cm
= −75π 2 cm/sec2
sec
56
4.6 Moto armonico
4 MOTI DI TRASLAZIONE
T = 2 sec
2. Una particella oscilla in modo armonico con il periodo
mente nella posizione di equilibrio. In quel punto ha la velocità
nel verso positivo dell'asse
x.
v = 4 m/sec
Scrivere le equazioni della posizione, velocità ed
accelerazione in un generico momento
t.
3. Ad una molla, di massa trascurabile, si appende una massa di
ne allungamento
ed è inizial-
∆x = 40 cm.
640 g
e si ottie-
Trovare il coeciente elastico della mola e la
frequenza di oscillazione. Inoltre trovare l'accelerazione massima e la velocità
massima della massa oscillante.
Soluzioni: Al massima estensione la forza peso è in equilibrio con la forza elastica
della molla
P = FHook
mg = k x
mg
k=
= 15, 7 N/m
x
√
√
k
15, 7 N/m
ω=
=
≈ 5 sec−1
m
0, 64 kg
amax = −g
vmax = −ω xmax = −5 sec−1 · 0, 4 m = −2 m/sec
m = 1 kg attaccata alla molla di
k = 2000 N/m ruota con la
l'allungamento della molla x.
4. Una massa
costante elastica
Calcolare
lunghezza
x0 = 30 cm e avendo la
vt = 4 m/sec.
velocità tangenziale
Soluzioni: Uguaglianza tra la forza centrifuga e centripeta da
m vt2
= kx
x + x0
k
ω02 =
m
segue l'equazione quadratica per l'allungamento
v2
0 = x2 + x0 x − t2
ω0
]
[
√
x0
2
2 2
x1,2 =
−1 ± 1 + 4vt /x0 ω0
2
]
[√
x0
x=
1 + 4vt2 /x20 ω02 − 1
2
57
4.6 Moto armonico
4 MOTI DI TRASLAZIONE
per piccoli allungamenti si ha una formula approssimata
x0
x=
2
[√
]
1 + 4vt2 /x20 ω02 − 1 ≈
vt2
x0 ω02
Questa soluzione va bene solamente quando la velocità tangenziale ha un valore
sso.
In realtà, la velocità tangenziale dipende dalla velocità angolare
ω (x + xo )
vt =
che noi possiamo regolare. In questo caso si ha
m vt2
= kx
x + x0
ω 2 (x + xo ) = ω02 x
ω 2 x0
x= 2
ω − ω02
Si vede che la molla si allunga
5. Una molla con la massa
m
x≥0
solo quando
ω ≥ ω0 .
appesa e rappresentata nella gura.
Scrivere le
condizioni di conservazione di energia in due posizioni rappresentate e ricavare
2
l'equazione del moto. Indicazione: calcolare ∆E usando la regola ∆x = 2x ∆x
Figura 22:
Oscillazione verticale di una massa
Soluzioni: L'energia totale della mola è data dalla somma dell'energia potenziale gravitazionale ed elastica e di energia cinetica. Se facciamo la variazione
dell'energia, tenendo conto che
∆x2 = 2x ∆x si ha
L
sia una costante
58
∆L = 0
e che la variazione
4.6 Moto armonico
4 MOTI DI TRASLAZIONE
EF = EI
1
m v2
1
m g (h + x + L) + k L2 = m g h + k x2 +
2
2
2
∆x
∆x
∆v
mg
= kx
+ mv
∆t
∆t
∆t
∆x
v=
∆t
∆v
a=
∆t
mg = kx + ma
k
a=g− x
m
Si vede che le forze in gioco sono forza di gravità (il peso della massa) e la forza
elastica. Per
g =0
si ha oscillazione della massa orizzontale dovuto solo alla
forza di Hooke.
6. Un oggetto percorre la circonferenza di un cerchio di raggio
piano
x, y .
v = 80 m/sec.
La sua velocità tangenziale è
•
velocià angolare
•
frequenza
ν
R = 40 cm,
nel
Calcolare
ω
ed il periodo
Dimostrare che le componenti
T
x, y del vettore posizione come funzione del tempo
descrivono moto armonico lungo gli assi.
7. Si trovi la lunghezza di un pendolo matematico di periodo
T = 1 sec.
Quanto è
il suo periodo sulla Luna.
8. Un pendolo lungo
l = 70 cm
ha il periodo
T = 1, 68 sec
quanto è l'accelerazione
di gravita in quel posto.
9. Una molla con la massa attaccata di
un pendolo di lunghezza
L = 1 m.
m = 1 kg
oscilla con lo stesso periodo di
Trovare la costante elastica della molla. Se
questi due oggetti si trovassero sulla Luna calcolare i loro periodi. (gL
Soluzioni:
√
Tpen = 2π
√
Tmolla = 2π
k=
l
g
m
k
mg
= 9, 81 N/m
l
59
= gT /6)
4.7 Moto dei satelliti e pianeti
4 MOTI DI TRASLAZIONE
Sulla Luna cambia la forza di gravità e i due periodi non possono più essere
uguali perché quello della molla non dipende dalla forza di gravità. Si ha
√
Tpen = 2π
√
Tmolla = 2π
10. Un disco sottile di massa
m = 5 kg
l
≈ 5 sec
gL
m
≈ 2 sec
k
e raggio
R = 20 cm
è sospeso ad un asse
passante per il suo bordo. Se viene spostato dall'equilibrio oscilla in modo armonico. Trovare il suo periodo di oscillazione.
11. Una gura piana di massa
m = 3 kg
è appesa a distanza
d = 10 cm
dal suo
centro di massa. Quando viene messa in movimento ha il periodo di oscillazione
T = 2, 6 sec.
Trovare il suo momento d'inerzia rispetto al centro di massa.
4.7 Moto dei satelliti e pianeti
1. Un satellite ruota attorno alla Terra su un'orbita circolare
a un'altezza di
10.000 km.
MT = 5, 97 · 1024 kg
Quanto vale la sua velocità angolare ed orbitale?
Soluzioni:
La condizione di stare in orbita è determinata dalla
III 0
legge di Keplero
ω 2 r3 = G M
dove
r = R+h
rappresenta la distanza dal centro del pianeta. Dunque, da
questa formula si ricava la velocità angolare
√
ω=
√
GM
(R + h)3
6, 67 × 10−11 N m/kg2 5, 97 · 1024 kg
(26, 4 × 106 m)3
√
1
6, 67 · 5, 97
−6
−1
× 10 sec
× 10−11 × 1024 × 10−6
ω=
26, 4
26, 4
√
1
ω=
× 10−6 sec−1 15, 2 × 106 = 1, 5 × 10−4 sec−1
26, 4
ω=
La velocità tangenziale è
60
4.7 Moto dei satelliti e pianeti
4 MOTI DI TRASLAZIONE
vt ≡ ω (R + h) = 1, 5 × 10−4 sec−1 26, 4 × 106 m = 39, 6 × 102 m/sec ≈ 14.300 km/h
Il periodo di rotazione
T = 2π/ω = 6, 28/1, 5 × 10−4 sec−1 = 4, 2 × 104 sec = 11, 6 h
h = 150 km rispetto
RT = 6, 4 × 106 m, massa della
2. In satellite si trova all'altezza
(raggio della Terra
alla supercie della Terra
24
Terra MT = 6 × 10 kg).
Calcolare
•
la sua velocità radiale
•
il periodo di rotazione del satellite
Soluzioni: La
III 0
legge di Keplero da
ω 2 (R + h)3 ≡ vt2 (R + h) = G MT
√
G MT
vt =
R+h
R+h
T = 2π
vt
3. A quale altezza deve trovarsi un satellite per essere venere-stazionario (rimanere sempre sopra lo stesso punto della supercie del Venere
102 4 kg, RV = 12.104 km, TV = 243 giorni)?
MV = 4, 87 ×
Soluzione: La soluzione per la condizione di stazionarietà si ottiene dalla formula
(
)1/3
6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 4, 87 × 1024 kg (243 × 24 × 3600 sec)2
R+h=
=
4 (3, 14)2
(
)1/3
6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 4, 87 × 1024 kg (243 × 24 × 3600 sec)2
h+R=
= (3, 6)1/3 × 109 m
2
4 (3, 14)
(
G MV TV2
4π 2
)1/3
h = 1, 5 × 109 m − 0, 012 × 109 m ≈ 1, 5 × 109 m
Si vede che l'altezza è molto grande causa piccola velocità angolare del Venere
ω = 3 × 10−7 sec−1 .
61
4.7 Moto dei satelliti e pianeti
4 MOTI DI TRASLAZIONE
4. Come si rapportano le velocità angolari e tangenziali di due satelliti a diverse
altezze? Soluzione: Prendiamo due satelliti ad altezze
III 0 legge di Keplero da
h1
e
h2
con
h2 ≥ h1 .
La
ω12 r13 = ω22 r23
r23
ω12
=
ω22
r13
( )3/2
ω1
r2
=
ω2
r1
( )1/2
v1,t
r2
=
v2,t
r1
Si vede che sia la velocità angolare sia quella tangenziale diminuiscono con
aumento di altezza.
MG = 1, 9 × 1027 kg, il raggio equatoriale RG = 71.492 km,
il periodo di rivoluzione T = 12 anni. Il raggio dell'orbita della Terra attorno al
Sole RT,orb = 149.598.000 Km. Calcolare l'accelerazione di gravià sulla supercie
30
di Giove ed il raggio della sua orbita Msole = 1, 99 × 10
kg.
5. La massa di Giove è
L'accelerazione di gravità su Giove è data dalla formula
G MG
2
RG
6, 67 × 10−11 N m2 /kg2 1, 9 × 1027 kg
≈ 23 m/sec2
g=
2
6
(71, 5 × 10 m)
g=
mentre il raggio dell'orbita si calcola dalla
III 0 legge di Keplero, confrontandolo
con il raggio dell'orbita della Terra
3
RG
RT3
=
TT2
TG2
(
RG = RT
(
RG = RT
TG2
TT2
)1/3
122 anni2
12 anni2
)1/3
= 5, 24 RT ≈ 79 × 107 m
dove per il raggio dell'orbita terrestre abbiamo usato
(unità astronomica).
62
RT = 15 × 107 m = 1 U.A.
5 DINAMICA
6. Calcolare l'energia totale della Terra nella sua orbita attorno al Sole (prendere
la traiettoria circolare).
Soluzioni:
m vt2
mM
=G 2
r
r
M
vt2 = G
r
m vt2
mM
mM
Etot =
−G
= −G
2
r
2r
7. Quanto è la dierenza di energia di un satellite che ruota attorno alla Terra
24
su un'orbita circolare MT = 5, 97 · 10 kg a un'altezza di 20.000 km, quando
35.000 km.
passa ad un orbita sull'altezza di
Quanto vale il rapporto tra le sue
velocità angolari ed orbitali tra queste due orbite?
8. Quanta velocità, chiamata velocità di fuga o seconda velocità cosmica, bisogna dare ad una navicella in modo che riesca lasciare il campo gravitazionale
terrestre? Soluzioni:
m vt2
mM
−G
=0
2
R
M
vt2 (∞) = 2G
R
Etot =
5 Dinamica
5.1 Dinamica di traslazione
1. Una forza orizzontale di
1650 kg
4600 N
agisce su una macchina che ha una massa di
inizialmente ferma. Trova l'accelerazione dell'automobile. Trova poi il
tempo impiegato a raggiungere una velocità di
2. Un'automobile di massa
23, 4 m/sec
in
1350 kg
21, 2 m/s. ( 2, 79 m/sec, 2, 7, 6 sec)
parte da ferma e raggiunge una velocità di
7, 7 sec.
Trova l'accelerazione subita dall'automobile. Trova poi
2
la forza necessaria per produrre questa accelerazione. ( 3, 04 m/s , 4100 N)
3. Per spostare una cassa su un piano con velocità costante pari a
occorre una forza di
26, 7 N
26, 7 N.
0, 485 m/sec
Trova la forza di attrito che si oppone al moto. (
)
4. Sulla Luna tutti i corpi sono sottoposti a una accelerazione di gravità pari a
1, 63 m/sec2 . Un astronauta sula Terra ha un peso di 960 N. Quanto pesa
l'astronauta sulla Luna? (
160 N
)
63
5.1 Dinamica di traslazione
5 DINAMICA
5. Due pattinatori hanno una massa di
70 kg
e di
50 kg.
Trova l'accelerazione a
cui sono sottoposti quando uno dei due spinge l'altro con una forza di
0, 43 m/sec2 , 0, 6 m/sec2 )
6. Un bambino che ha una massa di
con una forza di
30 N.
(
45 kg spinge un carrello che ha un peso di 630 N
185 N
su una supercie priva di attrito. Trova le accelerazioni
2
2
subite dal carrello e dal bambino. ( 4, 11 m/sec , 2, 88 m/sec )
7. Una slitta che ha una massa di 23 kg scende da una pista che ha un'inclinazione
0
di 20 . Trova la forza complessiva che agisce sulla slitta considerando anche la
forza di reazione della pista. (
77, 1 N
)
8. Un bambino che ha una massa di 30 kg scende da uno scivolo che ha un'incli0
nazione di 30 . Trova la forza complessiva a cui è sottoposto. Trova poi la sua
accelerazione e il tempo che impiega a percorrere lo scivolo sapendo che questo
2
ha una lunghezza di 3, 5 m ( 147 N, 4, 9 m/sec , 1, 2 sec)
9. Una lavatrice ha un cestino che ha un raggio di
45 cm.
Trova il numero di giri al
secondo che deve compiere il cestino anché la biancheria non cada per eetto
della forza di gravità. (
0, 74 Hz
)
10. Trova la massa di un corpo che sulla Terra ha un peso di
853 N.
Trova poi
il peso che lo stesso corpo avrebbe sulla supercie del pianeta Marte dove
2
l'accelerazione di gravità è di 3, 7 m/sec . ( 87 kg, 321, 9 N )
11. Un astronauta si trova su un pianeta sconosciuto. La sua massa è di
il suo peso è di
673 N.
83, 5 kg
e
Trova l'accelerazione di gravità a cui
12. La massa m = 2 kg viene tirata dalla forza F
300 con il piano orizzontale. La seconda massa
= 20 N che forma l'angolo di
M = 3kg e legata alla prima
con una corda. Calcolare l'accelerazione del sistema e la tensione nella corda.
Inoltre calcolare la velocità nale e la distanza nale dopo
t = 5 sec.
Soluzioni:
La forza che muove il sistema è la componente parallela al piano
√
0
orizzontale F|| = F cos 30 = F 3/2. L'accelerazione è data dalla formula del
libro sostituendo
F
con
F||
√
20 N 3/2
F sin α
=
= 3, 46 m/sec2
a=
M +m
5 kg
La tensione nella corda è
T = M a = 3 N · 3, 46 m/sec2 = 10, 47 N
La velocità e la distanza dopo
t = 5 sec
64
sono
5.1 Dinamica di traslazione
5 DINAMICA
vF = a · tF = 3, 46 m/sec2 · 5 sec = 17, 3 m/sec
sF = a · t2F /2 = 3, 46 m/sec2 · 25 sec2 /2 = 43, 25 m
Il peso della massa
forza
F
m
viene diminuito dalla componente ortogonale
F⊥
della
e vale
Pef f = P − F⊥ = m g − F sin α = 2 kg · 10 m/sec2 − 20 N · 1/2 = 10 N
13. La massa m = 2 kg viene tirata dalla forza F
600 con il piano orizzontale. La seconda massa
= 20 N che forma l'angolo di
M = 3kg e legata alla prima
con una corda. Calcolare l'accelerazione del sistema e la tensione nella corda.
Inoltre calcolare la velocità nale e la distanza nale dopo
t = 5 sec.
14. L'accelerazione del sistema di due masse appese ad una carrucola è
Una delle masse è
m = 0, 7 kg.
Trovare il valore dell'altra massa
a = 53 m/sec2 .
M =?
Soluzioni: L'accelerazione della carrucola è data da
a=
m1 − m2
g
m1 + m2
e bisogna invertirla per trovare una delle due masse. Prendiamo
m2 = x
m1 = 0, 7 kg
e
e abbiamo
(0, 7 kg + x) 5/3 m/sec2 = (0, 7 kg − x) 10 m/sec2
(0, 7 kg + x) = (0, 7 kg − x) 6
7 x = 3, 5 kg
x = 0, 5 kg
Esiste un'altra soluzione prendendo
m1 = x
e
m2 = 0, 7 kg.
In quel caso si
scambiano le masse nella soluzione e si trova
(x + 0, 7 kg) = (x − 0, 7 kg) 6
5 x = 4, 9 kg
x = 0, 98 kg
15. Ricavare l'accelerazione di due masse (una appoggiata sul piano orizzontale e
l'altra pendente) con l'attrito
µ = 0, 2.
m/2?
65
Quanto vale l'accelerazione se
M =
5.1 Dinamica di traslazione
5 DINAMICA
Soluzioni: La procedura dinamica per questo sistema è descritta nelle lezioni
sul sito dell'Istituto. Si ha
m − µM
g
m+M
1, 8
2M − 0, 2 M
a=
g=
10 m/sec2 = 6 m/sec2
2M + M
3
a=
0
16. Un oggetto si trova sul piano inclinato di α = 30 e di lunghezza l1 = 1 m. Un
0
altro piano inclinato di β = 60 si trova a distanza l2 = 1 m dal primo. Tutte
tre superci hanno lo stesso coeciente di attrito
µ = 0, 2.
Quanto deve essere
lungo il secondo piano in modo che l'oggetto arrivi in cima?
Quanto tempo
impiega l'oggetto per compiere tutto il percorso?
Soluzioni:
17. Dividiamo tutto il percorso in tre parti: 1 primo piano, 2 piano orizzontale 3
secondo piano. Nella prima parte la velocità nale si trova in modo seguente
2
2
vF,1
− vI,1
= 2 a 1 l1
√
√
vF,1 = 2 a1 l1 = 2 · 3, 27 m/sec2 1 m = 2, 56 m/sec
(
)
a1 = g (sin α − µ cos α) = 10 m/sec2 sin 300 − 0, 2 cos 300 = 3, 27 m/sec2
Nel secondo percorso si ha
2
2
vF,2
− vI,2
= 2 a 2 l2
√
√
2
vF,2 = vI,2
+ 2 a2 l2 = 6, 54 m2 /sec2 + 2 (−2) m/sec2 1 m = 1, 59 m/sec
a2 = −µ g = −0, 2 · 10 m/sec2 = −2 m/sec2
vI,2 = vF,1
√
vF,2 = 2 a1 l1 + 2 a2 l2
66
5.1 Dinamica di traslazione
5 DINAMICA
il terzo percorso da
2
2
vF,3
− vI,3
= 2 a3 x
2
vI,3
= −2 a3 x
(
)
a3 = −g (sin β + µ cos β) = −10 m/sec2 sin 600 + 0, 2 cos 600 = −9, 7 m/sec2
2
vI,3
x=−
2 a3
vF,2 = vI,3
2 a1 l1 + 2 a2 l2
a1 + a2
3, 27 − 2
x=−
=−
l1 = −
1 m = 0, 13 m
2 a3
a3
−9, 7
Il tempo totale del percorso è
ttot =t1 + t2 + t3
2, 56 m/sec
vF,1
=
= 0, 78 sec
t1 =
a1
3, 27 m/sec2
vF,2 − vI,2
1, 59 m/sec − 2, 56 m/sec
t2 =
=
= 0, 49 sec
a2
−2 m/sec2
1, 59 m/sec
vI,3
=−
= 0, 16 sec
t3 = −
a3
−9, 7 m/sec2
ttot =1, 43 sec
0
18. Un oggetto si trova sul piano inclinato di α = 30 e di lunghezza l = 1 m.
0
Un altro piano inclinato di β = 60 si trova a distanza s = 1 m dal primo.
Se tutti due piani hanno lo stesso coeciente di attrito
piano orizzontale
µ = 0,
µ = 0, 2,
mentre sul
quanto deve essere lungo il secondo piano in modo che
l'oggetto arrivi in cima?
19. Un oggetto si trova sul piano inclinato di
coeciente d'attrito
µ = 0, 3.
µ = 0, 2.
α = 450
di lunghezza
l1 = 1 m
é
Sul piano orizzontale il coeciente di attrito è
A che distanza dal piano inclinato si ferma l'oggetto e dopo quanto
tempo?
20. Un oggetto scivola lungo un piano inclinato di
senza attrito.
α = 300
l = 1m
µ = 0, 25
e lunghezza
Se il coeciente d'attrito sul piano orizzontale vale
quanto tempo impiega per fermarsi e a che distanza dal piano?
0
21. Un oggetto si trova sul piano inclinato di α = 45 e di lunghezza l1 = 1 m. Un
0
altro piano inclinato di β = 30 si trova a distanza l2 = 1 m dal primo ed è anche
esso lungo
l = 1 m.
Sui due piani non c'é attrito mentre nel piano orizzontale il
67
5.2 Dinamica della rotazione
coeciente di attrito è
5 DINAMICA
µ = 0, 2.
Riesce l'oggetto arrivare in cima del secondo
piano inclinato?
22. La massa m = 2 kg viene tirata dalla forza F
450 con il piano orizzontale. La seconda massa
= 20 N che forma l'angolo di
M = 3kg e legata alla prima
con una corda. Calcolare l'accelerazione del sistema e la tensione nella corda.
Inoltre calcolare la velocità nale e la distanza nale dopo
t = 6 sec.
m1 /m2 = 13 . Trovare
masse in t = 1 sec?
23. Il rapporto di due masse appese ad una carrucola è
celerazione del sistema. Quanto si spostano le due
l'ac-
5.2 Dinamica della rotazione
1. Un carrello delle montagne russe entra, diretto in alto, in una curva circolare
chiusa di raggio
R = 100 m.
Quale è la velocità minima per non cadere quando
arriva al punto più alto della curva?
2. Un automobile entra in una curva di raggio R = 50 m . Le ruote sono inclinate
0
di α = 30 e il coeciente di attrito con l'asfalto è µ = 0, 3. Con che velocità
l'automobile deve arontare la curva per non scivolare?
Soluzioni: Sull'automobile, oltre la forza peso e attrito, agisce anche la forza
centrifuga e la forza totale è
Ftot = P|| − Ftr − Fcf
Ftot = m g (sin α − µ cos α) −
la condizione di non scivolare corrisponde a
m vt2
cos α
R
Ftot = 0 e si trova la velocità minima
√
R g (sin α − µ cos α) / cos α
√
= 50 m 10 m/sec2 (sin 300 − 0, 3 cos 300 ) / cos 300
=11, 8 m/sec ≈ 42 km/h
Ftot = 0 → vt =
3. Calcolare l'accelerazione di due masse sulla carrucola tenendo conto della rotazione della carrucola stessa, usando la procedura dinamica.
68
5.3 Approfondimento:Sistemi non-inerziali
4. Un cilindro di massa
una massa pendente
e raggio
rc = 0, 1 m.
5 DINAMICA
M = 1 kg e raggio R = 0, 2 m è legato con una corda ad
m = 1 kg attraverso una carrucola di massa mc = 0, 2 kg
Il cilindro rotola senza scivolare. Calcolare l'accelerazione
del sistema.
m = 0, 3 kg e raggio R = 20 cm rotola lungo un piano
α = 300 e lunghezza l = 1 m. Trovare l'accelerazione del
5. Una sfera piena di massa
inclinato di angolo
centro della sfera e la velocità quando arriva alla ne del piano.
5.3
Approfondimento:Sistemi non-inerziali
a = 5 m/sec2 . Un oggetto si muove sul pavimento
v = 10 m/sec. Descrivere il moto dell'oggetto dal punto di vista
1. Un autobus accelera con
con la velocità
dell'osservatore non-inerziale solidale con autobus quando
•
l'attrito è assente
•
coeciente d'attrito
Soluzione:
−m ⃗a.
µ = 0, 3
Il moto è uniformemente decelerato causa forza aggiuntiva
F⃗ =
Prima la forza rallenta il movimento no a fermare l'oggetto e dopo lo
accelera nel verso opposto al movimento dell'autobus (gli cambia il verso della
velocità) con accelerazione dell'autobus.
v = v0 − a t
s = s0 + v0 t −
a 2
t
2
per fermarsi impiega
0 = v0 − a t
v0
t=
= 2 sec
a
s = 10 m
per tornare nella posizione di partenza
s 0 = s 0 + v0 t −
a 2
t
2
2 v0
= 4 sec
a
v = v0 − a t = −10 m/sec
t=
2. L'oggetto dell'esercizio precedente viene lanciato in aria con la stessa velocità di
prima quando autobus viaggia alla velocità costante
vA = 20 km/h.
Descrivere
il suo moto dell'oggetto dal punto di vista dell'osservatore non-inerziale solidale
con autobus.
69
5.3 Approfondimento:Sistemi non-inerziali
5 DINAMICA
3. Nello stesso autobus di prima in accelerazione è appesa al sotto una pallina
di massa
m = 2 kg.
Quale angolo forma il lo con la verticale? Si indichino le
forze che agiscono sulla pallina.
m1 = 200 g e m2 = 60 g sono appoggiati sul piano inclinato
di lunghezza l = 130 cm e di altezza h = 50 cm. Il blocco 1 si trova sopra il
blocco 2. Tra due blocchi il coeciente d'attrito è µ1 = 0, 5 mentre tra il piano
ed il blocco 1 è µ2 = 0, 33. La forza F traina il blocco 2 in sù. Trovare
4. Due blocchi di massa
•
l'accelerazione del blocco
•
la massima forza
F
2
prima che il blocco
1
cominci scivolare
Soluzione: La procedura dinamica da
(m1 + m2 ) a = F − (m1 + m2 ) g sin α − µ2 (m1 + m2 ) g cos α
F
a=
− g (sin α + µ2 cos α)
(m1 + m2 )
sul secondo blocco è un sistema non-inerziale e agisce la forza totale
Ftot = m1 a1 = m1 g (sin α − µ1 cos α) + m1 a
a1 = 0 → a = −g (sin α − µ1 cos α)
Fmax = (m1 + m2 ) [−g (sin α − µ1 cos α) + g (sin α + µ2 cos α)]
= g (m1 + m2 ) (µ1 + µ2 ) cos α
5. Una pallina di massa
m = 10 g è appesa ad un lo di lunghezza l = 10 cm
α con l'asse di rotazione. Si determini
ruota formando un angolo
•
la velocità della palina
•
tensione nel lo
Soluzione:
Fcf,|| = P||
m vt2
cos α
m g sin α =
√R
v = g R tan α
(
)
vt2
T = m g cos α +
sin α
R
mg
T =
cos α
70
e
5.3 Approfondimento:Sistemi non-inerziali
6. Nell'ascensore di massa
M
5 DINAMICA
è appesa sul sotto una pallina di massa
scensore accelera con una forza costante
F.
m.
La pallina si trova a distanza
L'a-
s
dal
pavimento. Si trovino
•
accelerazione dell'ascensore
•
tensione nel lo
•
se il lo si spezza, l'accelerazione dell'ascensore
•
quanto tempo impiega la pallina per raggiungere il pavimento
Soluzioni:
(m + M ) a = F − (m + M ) g
F
a=
−g
m+M
ma = T − mg
m
T =
F
m+M
quando si stacca la pallina abbiamo
F
−g
M
a+g 2
s=
t
2
√
t = 2 s M/F
a=
v = 5 m/sec lungo il raggio di una
angolare ω = 2π rad/sec. Descrivere
7. Una pallina viene lanciata con la velocità
piattaforma in rotazione con la velocità
la traiettoria della palina vista da un osservatore non-inerziale (solidale con la
piattaforma). Soluzione: Prendiamo inizialmente la pallina alla distanza
centro di rotazione. Il movimento uniforme della pallina è lungo asse
accelerato causato dalla forza di Coriolis lungo asse
x = x0 + vr t
acr = −2ω vr
1
y = acr t2 = −ω vr t2
2
ω
y = − (x − x0 )2
vr
71
y.
Si ha
x
x0
dal
e quello
6 LAVORO ED ENERGIA
la traiettoria è una parabola deviata a destra dalla forza di Coriolis.
6 Lavoro ed energia
6.1 Lavoro
1. Calcola il lavoro compiuto da una forza di
300 N che spinge un corpo per 2000 m
in direzione:
a parallela allo spostamento
b antiparallela alla spostamento
c con un angolo di
300
d con un angolo di
1200
2. Un cavallo traina un carro. Calcola il lavoro compiuto dal cavallo se esso compie uno spostamento di
10 km,
2000 N
e se l'angolo tra le
t = 10 min
sotto la spinta del
esercita una forza di
0
direzione dello spostamento e della forza è di 45 .
3. Una automobile viaggia a velocità costante per
motore, schematizzabile con una forza costante di 1500 N. Se il motore compie
7
un lavoro di A = 5 × 10 J, calcola la velocità dell'automobile.
4. Calcola il lavoro necessario ad una forza esterna per comprimere una molla di
20 cm
nel caso in cui la sua costante elastica valga
400 N/m
5. Calcola la costante elastica di una molla sapendo che il lavoro della forza elastica relativo ad una deformazione di
6. Una palla di
400 g
10 cm
è pari a
70 J.
viene lanciata verso l'alto, raggiungendo un'altezza di
5 m.
Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso durante la salita.
7. Una palla di
m = 400 g
viene lanciata verso l'alto con una velocità di
9 m/sec partendo da una quota di h = 1, 5 m.
invertire il moto?
72
v =
Quale altezza raggiunge prima di
6.1 Lavoro
6 LAVORO ED ENERGIA
8. Uno sciatore d'acqua viene trainato per
s = 80 m
da un acqua-scooter. Se il
4
lavoro compiuto dal mezzo per trainare lo sciatore è pari a A = 6 × 10 J ,
calcola la forza esercitata dal mezzo.
m = 6 kg scivola lungo un piano inclinato di α = 300 .
distanza ∆s = 10 m ha la velocità v = 10 m/sec. Calcolare
9. Un blocco di massa
aver percorso
•
lavoro della forza gravitazionale
•
lavoro della forza d'attrito
•
cambiamento di energia cinetica del blocco
10. Calcolare il lavoro compiuto da una forza costante di
sposta di
3, 25 m
20, 4 N
su un corpo che si
con la stessa direzione e lo stesso verso della forza. (
66, 3 J
11. Un corpo su un piano orizzontale viene spinto da una forza orizzontale di
Il corpo si sposta di
3, 5 m
6, 2 sec.
157, 5J, 25, 4W )
in un tempo di
forza e la potenza sviluppata. (
12. Una carrozzina viene spinta da una forza di
240 N
Dopo
)
45 N.
Trova il lavoro svolto dalla
che forma un angolo di
300
rispetto a un piano orizzontale. Quanto lavoro viene compiuto se la carrozzina
viene spinta per
∆s = −10 m?
(
2078 J
)
200 m da una forza di 10 N diretta
450 con la rotaia. Calcolare il lavoro
13. Un vagone è trascinato su una rotaia per
lungo una retta che forma un angolo di
svolto dalla forza. (
1, 4 × 103J
)
14. Un boscaiolo trascina una catasta di legna con una forza di 98, 5 N inclinata di
300 verso l'alto rispetto all'orizzontale compiendo un lavoro di 848 J. Quanti
metri ha percorso il boscaiolo con la catasta di legna? (
15. Un operaio spinge una cassa di massa pari a
di
15 kg
9, 94 m
)
con una forza orizzontale
240 N per 20 m. Il coeciente di attrito radente fra la cassa e il pavimento
0, 22. Trova il lavoro compiuto dall'operaio sulla cassa. Trova poi il lavoro
vale
compiuto dalla forza di attrito. Trova inne il lavoro totale svolto sulla cassa.
(4, 8 kJ, −647 kJ, 4, 15 kJ)
16. Una cassa viene spinta per 2 m su un piano orizzontale con una forza di 50
N diretta orizzontalmente. Determina il lavoro svolto dalla forza. Se il lavoro
totale è uguale a 60 J, quanto vale l'intensità della forza di attrito? ( 100 J, 20
N )
36 m. Il coeciente di attrito
radente tra gli pneumatici e l'asfalto è uguale a 0, 7. Trova la forza di attrito .
5
Trova poi il lavoro svolto da questa forza sull'auto. ( 8575 N, −3, 09 × 10 J )
17. Un'auto di massa
1250 kg
frena arrestandosi in
73
6.1 Lavoro
6 LAVORO ED ENERGIA
5
18. Un auto frena per evitare un ostacolo. Il lavoro compiuto è di 5, 8 × 10 J e la
3
forza impiegata è di 6, 5 × 10 N. Trova lo spazio percorso durante la frenata. (
89 m)
20 kg
19. Una cassa di
viene trascinata per una distanza di
orizzontale che ha un coeciente di attrito uguale a
nella direzione del moto.
0, 4
5m
su una supercie
da una forza di
200 N
Calcola il lavoro della forza applicata e della forza
di attrito. Calcola poi la velocità nale della cassa nell'ipotesi che la velocità
iniziale sia nulla. (
1 kJ, −392 J, 7, 7 m/s)
20. Uno studente applica una forza orizzontale a uno scatolone di libri di
spingendolo sul pavimento con velocità costante.
0, 5.
Trova il lavoro compiuto per uno
10 m
lungo un piano orizzontale a velo-
il pavimento e lo scatolone è uguale a
spostamento di
21. Un sacco di
8
metri. (
50 kg
30 kg
Il coeciente di attrito tra
1176 J)
viene trascinato per
cità costante per mezzo di una forza diretta orizzontalmente. Il coeciente di
attrito è uguale a
196 N, 1, 96 kJ
0, 4.
Calcola l'intensità della forza e il lavoro compiuto.
22. Un elevatore solleva un peso di
400 N
a un'altezza di
1, 8 m.
Il peso si muove
verso l'alto con velocità costante. Quanto lavoro compie l'elevatore? (
23. Una trave di
di una casa a
60 kg
10 m
720 J)
viene issata con una carrucola a velocità costante sul tetto
di altezza. Trova l'intensità della forza richiesta. Trova poi
il lavoro svolto da questa forza. (
588 N, 5, 88 kJ
24. Un uomo solleva un secchio pesante
compie un lavoro di
(
(
)
8 kJ
200 N
)
a velocità costante in un pozzo. Se
per portarlo in supercie, quanto è profondo il pozzo?
40 m)
25. Quale potenza è richiesta per spingere un carrello con una forza di
distanza orizzontale di
20
metri in
5
secondi? (
200 W)
26. Un'automobile è in grado di sviluppare una potenza di
4
compie un lavoro di 6, 6 × 10 J? ( 2 sec )
27. Una lampadina ha una potenza di
60 W.
100 W
3, 5
2, 25 W.
2
giorni. (
7, 56 ×
Quanto lavoro sviluppa
1, 94?)
29. Una macchina percorre una distanza di
che sviluppa una potenza di
macchina. (
In quanto tempo
ore. Ripetere lo stesso calcolo
tenuta accesa per un periodo di
28. Il cuore di un uomo sviluppa una potenza di
in un giorno? (
33 kW.
Trovare l'energia emessa in forma di
luce da questa lampadina in un periodo di
per una lampadina di
105 J, 1, 73 × 107 J )
50 N per una
756 N
21 kW.
50 km
in
30
minuti grazie a un motore
Calcola la forza esercitata dal motore sulla
)
74
6.1 Lavoro
6 LAVORO ED ENERGIA
30. Una macchina solleva una cesta di
5m
in
6 sec.
240 kg
a velocità costante per un'altezza di
Determina la potenza erogata dalla macchina. (
31. Una forza di attrito di
1960 W)
20 N si oppone allo scivolamento di uno scatolone di 6 kg
su di un pavimento orizzontale. Quale potenza viene fornita allo scatolone per
spingerlo sul pavimento con una velocità costante di
0, 6 m/s?
12 kN
32. Un trattore traina un carico con una forza costante di
una velocità costante di
4
( 3 × 10 W)
2, 5 m/s.
(
12 W
)
mentre si muove a
Quale potenza sviluppa in queste condizioni?
33. Un treno viaggia a una velocità costante di
36 km/h.
La locomotiva sviluppa
una potenza di 200 kW. Trova l'intensità della forza di attrito che si oppone al
4
moto. ( 2 × 10 N ) Esercizi sull'energia
34. Un corpo di massa
4 kg
è spinto da una forza di
l'energia cinetica e la velocità acquistate dal corpo.
35. Un carrello di massa
3 kg
20 N per 10 m.
( 200 J, 10 m/s)
si muove con una velocità di
16 m/s.
Calcolare
Una forza
costante che ha la stessa direzione e lo stesso verso lo spinge per
20 m/s.
43, 2 N )
velocità nale del carrello dopo la spinta è di
prodotto questa variazione di velocità. (
36. Un carrello che ha una massa di
100 g
5 m.
La
Trovare la forza che ha
viaggia alla velocità di
3 m/s.
A un certo
istante una forza costante, che ha la stessa direzione ma verso opposto rispetto
allo spostamento, ferma il corpo in
0, 6 m.
Trovare il lavoro fatto dalla forza per
fermare il carrello. Trovare poi l'intensità della forza. (
37. Una forza di
64 kg.
240 N
−0.45 J, 0, 75 N
)
agisce su un corpo inizialmente fermo che ha una massa di
Trovare la velocità raggiunta dal corpo se la forza provoca uno sposta-
13 m. Trovare poi la velocità raggiunta dal corpo se la forza agisce per
8, 5 ses. (9, 87?)
mento di
38. Su un corpo di
15 kg
24 N. Trovare la
7 ses. Trovare poi la velocità
8, 5 m. ( 11, 2 m/s, 5, 21 m/s )
inizialmente fermo agisce una forza di
velocità raggiunta dal corpo se la forza agisce per
raggiunta se la forza causa uno spostamento di
39. Un automobile di
950 kg
65 km/h. Trovare la forza
di 3, 8 sec. Trovare poi la forza
di 45 m. ( −4500 N, −3420 N )
ha una velocità iniziale di
frenante sapendo che il tempo di arresto è
frenante sapendo che la distanza di arresto è
40. Un corpo viene lasciato cadere in un pozzo profondo
15 m.
Trovare la velocità
con cui il corpo raggiunge il fondo del pozzo se la velocità iniziale è nulla.
Trovare poi la velocità nale nel caso in cui la velocità iniziale sia di
verso il basso. (
17 m/s, 21, 5 m/s
)
75
13 m/s
6.1 Lavoro
6 LAVORO ED ENERGIA
41. Un corpo è inizialmente fermo sulla sommità di un piano inclinato a una altezza
di
10 m.
Trovare la velocità del corpo quando raggiunge la base del piano
inclinato. (
14 m/s
)
42. Trova il lavoro che si deve compiere per sollevare un corpo che ha una massa di
60 kg dalla supercie terrestre ne ad una altezza di 1000 m. ( 5, 88 × 105 J )
27 kg dal pavimento su
1, 75 m. Trovare la potenza sviluppata nel
svolto in 2, 7 sec. ( 463 J, 171, 5 W ) 1
43. Calcolare il lavoro necessario per sollevare un corpo di
un ripiano posto ad una altezza di
caso in cui questo lavoro venga
44. Un motore solleva di
12 m un corpo avente una massa uguale a 50 kg.
Calcolare
il lavoro eseguito dal motore. Calcolare poi la sua potenza se il tempo impiegato
3
2
per sollevare il corpo è uguale 50 sec. ( 5, 88 × 10 J, 1, 18 × 10 W)
45. Una macchina che ha una massa di
15 m/s.
780 kg
si muove con una velocità iniziale di
Trovare il lavoro svolto dal motore di questa macchina nel caso in cui
questa acceleri raggiungendo una velocità di
38 m/s.
Trovare poi il lavoro svolto
nel caso in cui durante questa accelerazione venga anche superato un dislivello
5
5
di 16 m. ( 4, 75 × 10 J, 5, 98 × 10 J )
815 kg parte da ferma e raggiunge la sommità
65 km/h. Trovare il lavoro svolto dal motore
ha superato un dislivello di 27, 3 m. Trovare
46. Una macchina che ha una massa di
di una salita con una velocità di
di questa macchina sapendo che
poi la potenza sviluppata nel caso in cui il moto descritto abbia una durata di
45 sec.
47. Una persona trascina lungo una salita una cassa che ha un peso di
230 N.
All'i-
nizio del moto la cassa è ferma. Alla ne del moto la cassa si trova a una altezza
7, 5 m
1886 J )
di
e ha una velocità di
, 7 m/s.
Trovare il lavoro svolto dalla persona. (
48. Calcolare la velocità con cui deve essere lanciato verso l'alto un oggetto di massa
50 g
perché arrivi a una altezza di
3 m.
(
7, 7 m/s
)
4 kg viene lanciato dalla base di un piano inclinato
verso l'alto con una velocità iniziale di 6 m/sec. Il piano è alto 3 m e lungo 7 m.
Trovare l'altezza raggiunta dal corpo. ( 2 m)
49. Un corpo che ha una massa di
50. Una bambina lancia una palla verticalmente verso l'alto con una velocità di
5 m/s.
La palla si stacca dalla mano della bambina a una altezza di
80 cm
da terra. Trova la massima altezza raggiunta dalla palla senza considerare la
resistenza dell'aria. (
2, 1 m
)
51. Un corpo si muove seguendo il percorso indicato nella seguente gura. Il punto
di partenza si trova ad una altezza di
20 m e la velocità iniziale è nulla.
Trovare
la velocità del corpo quando si trova nei punti indicati, corrispondenti ad una
altezza di
4 m, 18 m, 11 m.
(
17, 7m/s, 6, 26m/s, 13, 3m/s
76
)
6.2 Energia e lavoro
6 LAVORO ED ENERGIA
52. Ripetere i calcoli svolti nell'esercizio precedente considerando una velocità iniziale di
5 m/sec.
(
18, 4m/s, 8, 01m/s, 15, 5m/s
53. Un pendolo ha una lunghezza di
)
1 m.
La massa sospesa viene spostata dalla
0
posizione di equilibrio no a quando la fune forma un angolo di 45 con la verticale. Calcola la massima velocità raggiunta dalla massa quando viene lasciata
libera di muoversi. (
4 kg
54. Un corpo di
2, 4 m/s
)
cade da una altezza di
25 m
e ha una velocità di
18 m/s
prima
di toccare il suolo. Trovare l'intensità della forza di attrito dovuta alla presenza
13, 3 N
dell'aria. (
55. Un corpo di
)
27 kg
velocità iniziale di
scende da uno scivolo che ha una altezza di
6, 2 m/sec.
8, 5 m
con una
Percorre poi un tratto orizzontale e risale inne
lungo un secondo scivolo. Trovare la velocità del corpo mentre percorre il tratto orizzontale. Trovare poi l'altezza massima raggiunta dal corpo sul secondo
scivolo. (
14, 3 m/sec, 10, 4 m
)
56. Un corpo che ha una massa di
una velocità di
25 m/sec.
200 g
viene lanciato in verticale verso l'alto con
Il corpo arriva a una massima altezza di
30 m.
Trova
l'energia persa a causa della resistenza dell'aria. (3, 7 J)
57. Un corpo che ha una massa di
velocità di
16 m/s.
15 kg si muove lungo un piano orizzontale con una
Inizia poi a salire lungo un piano inclinato. Trovare l'altezza
massima raggiunta dal corpo. Trovare poi il lavoro svolto dalla forza di attrito
nel caso in cui l'altezza massima raggiunta sia di
8, 5 m.
(
13 m, 661, 5 J
)
37, 2 kg scende da uno scivolo che ha una altezza di 17 m. Trovare la
velocità nale del moto nel caso in cui la velocità iniziale sia di 3 m/sec. Trovare
58. Un corpo di
poi il lavoro svolto dalla forza di attrito nel caso in cui la velocità nale sia di
10 m/sec.
(
18, 5m/s, 4506J
)
6.2 Energia e lavoro
1. Calcola la velocità raggiunta da un corpo di massa
fermo, viene spinto da una forza di
F = 500 N
b antiparallela alla spostamento
c con un angolo di
α = 300
d con un angolo di
α = 1500
77
che, partendo da
per una distanza di
caso in cui la direzione tra forza e spostamento sia
a parallela allo spostamento
m = 3 kg
s = 4m
nel
6.3 Conservazione di energia meccanica
2. Un veicolo ha la massa di
6 LAVORO ED ENERGIA
m = 350 kg.
Se parte da fermo, quale lavoro deve
essere esercitato dal motore per passare da una velocità di
v = 60 km/h?
v = 12 m/sec alla velocità di v = 16 m/sec
m = 25000 dag, quale lavoro è compiuto dal motore?
3. Un veicolo passa dalla velocità di
Se la sua massa è di
4. Un calciatore deve calciare un tiro di rigore.
che ha una massa di
m = 400 g,
deve compiere con il suo tiro?
.
Se vuole imprimere alla palla,
una velocità di
v = 150 km/h,
quale lavoro
Se schematizziamo il tiro con una forza eser-
citata in direzione parallela allo spostamento e supponiamo uno spostamento
di
s = 4 cm (prima che il piede lasci libera la palla), qual è l'intensità della forza?
v = 25 m/sec in assenza di attrito quando incontra una supercie scabra e si ferma in ∆s = 150 m. Se la forza di attrito
del piano è pari a Ftr = 1600 N, calcola la massa del corpo.
5. Un corpo viaggia a velocità costante di
6. Un corpo di massa
di
vi = 15 m/sec.
m = 20 g
viene lanciato verso l'alto con una velocità iniziale
Quale energia cinetica possiede al momento del lancio? Quale
energia cinetica possiede nel punto più alto? Qual è il punto più alto raggiunto?
7. Una palla viene lanciata tramite una molla in orizzontale su di piano privo di
m = 30 g, parta con una velocità di
v = 2 m/sec, quale lavoro deve essere compiuto dalla molla? Se la molla ha una
costante elastica di k = 50 N/m, quale deve essere la lunghezza di compressione?
attrito. Se si vuole che la palla, di massa
6.3 Conservazione di energia meccanica
1. Un oggetto viene lanciato in alto con la velocità iniziale di
v0 = 20 m/sec.
Cal-
colare quale altezza massima raggiunge? Inoltre, calcolare la velocità ad altezza
h = hmax /2.
Usare la conservazione di energia meccanica.
78
6.3 Conservazione di energia meccanica
6 LAVORO ED ENERGIA
Soluzioni:
2
m v0,y
√2
v0,y = 2 g hmax
v0,y
v0
tmax =
=√
g
2g
2
2
vF,y = v0,y − m g hmax
√
√
2
2
+ v0,x
= v02 − m g hmax
vF2 = vF,y
m g hmax =
2. Un oggetto viene lanciato in alto e raggiunge l' altezza massima
hmax = 10 m?
h = hmax /2.
Calcolare la velocità iniziale. Inoltre, calcolare la velocità ad altezza
Usare la conservazione di energia meccanica.
Soluzioni:
m v02
√2
v0 = 2 g hmax
m vF2
m v02
+
=
2
2
m g hmax =
m g hmax
2
v2
vF2 = v02 − m g hmax = 0
2
v0
vF = √
2
3. Una molla con costante elastica
una sfera di massa
m = 12 kg.
k = 1500 N/m
viene usata per lanciare in alto
Se la sfera si porta ad una altezza di
h = 50 cm
dall'estremo libero della molla, quale sarà la compressione iniziale?
Soluzioni:
1
k x2
2
√
x = 2 m g h/k
mgh =
4. Usando la conservazione di energia meccanica ricavare l'accelerazione di due
masse appese su una carrucola (macchina di Atwood) tenendo conto della
rotazione della carrucola.
79
6.3 Conservazione di energia meccanica
6 LAVORO ED ENERGIA
Soluzione:
(m1 + m2 ) g H = m1 g (H − x) + m2 g (H + x) +
(
)
v2
I
m1 + m2 + 2 = (m1 − m2 ) g x
2
R
m1 − m2
v2 = 2
gx ≡ 2ax
m1 + m2 + I/R2
m1 − m2
a=
g
m1 + m2 + I/R2
m1 + m2 2 I ω 2
v +
2
2
R = 5 cm e massa M = 20 g che
rotola lungo un piano inclinato di altezza h = 30 cm e lunghezza l = 1 m. Quale
2
2
sfera è più veloce: piena o cava? (Ipiena = 2 M R /5, Icava = 2 M R /3)
5. Calcolare l'accelerazione di una sfera di raggio
Soluzioni:
m vr2 I ω 2
m v2
I vt2
+
=
+
2
2
2
2 R2
vr = vt
(
)
I
m vr2
1+
mgh =
2
m R2
2gh
h
v2 =
≡ 2al = 2a
I
sin α
1 + m R2
mgh =
I = k m R2
g sin α
g sin α
a=
=
I
1+k
1 + m R2
5
a1 = g sin α → sfera piena
7
3
a2 = g sin α → sfera cava
5
a1 ≥ a2
6. Un oggetto di massa
m = 1 kg
h = 5 m.
k = 400 N/m.
scivola lungo un piano inclinato alto
Sul piano orizzontale si trova una molla con la costante elastica
Di quanto si comprime la molla dopo l'urto con l'oggetto? Considerare la situazione senza attrito e con l'attrito sul piano orizzontale di coeciente
80
µ = 0, 2.
6.3 Conservazione di energia meccanica
Soluzione: Per semplicità si prende
6 LAVORO ED ENERGIA
g = 10 m/sec2
1
k x2
2
√
v = 2 g h/k = 0, 5 m
1
m g h = k x2 + µ m g (l + x)
2
0 = k x2 + 2µ m g x + m g (2µ l − h)
[√
]
1
2
x=
(µ m g) + k m g (h − 2µ l) − µ m g = 0, 485m
k
mgh =
m = 1000 kg che ruota
MT = 5, 97 · 1024 kg a un'altezza di
sull'altezza di 35.000 km. Quanto vale il
7. Quanto è la dierenza di energia di un satellite di massa
attorno alla Terra su un'orbita circolare
20.000 km,
quando passa ad un orbita
rapporto tra le sue velocità angolari ed orbitali tra queste due orbite ?
Soluzioni:
GmM
2 (R + h)
(
)
1
1
= −G m M
−
2 (R + h2 ) 2 (R + h1 )
G m M (h2 − h1 )
=
2 (R + h2 ) (R + h1 )
= ω22 (R + h2 )3 → III0 legge gi Keplero
√
(R + h2 )3
=
(R + h1 )3
√
(R + h2 )
=
(R + h1 )
Etot = −
∆E
∆E
ω12 (R + h1 )3
ω1
ω2
v1
v2
8. Un corpo di massa
e alto
h = 6m
m = 80 kg
scivola su di un piano inclinato lungo
l = 20 m
. Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso sul corpo se esso
percorre tutto il piano inclinato dall'alto in basso. Calcola inoltre la variazione
dell'energia potenziale tra il punto iniziale e nale.
m = 3 kg è attaccato
k = 400 N/m. Se la molla passa
9. Un corpo avente massa pari a
te elastica pari a
∆x = −5 cm,
ad una molla di costanda una compressione di
quale lavoro ha compiuto la forza elastica?
81
6.3 Conservazione di energia meccanica
10. Un corpo sferico di
k = 85 N/m,
m = 60 g
6 LAVORO ED ENERGIA
è appoggiato ad una molla di costante elastica
∆x = 5 cm rispetto alla posizione di equilibrio.
che è compressa di
Qual è l'energia potenziale del corpo in questione?
Se il corpo avesse massa
doppia, come cambierebbe la sua energia potenziale?
11. Una molla con costante elastica
una sfera di massa
m = 12 kg.
k = 1500 N/m
viene usata per lanciare in alto
Se la sfera si porta ad una altezza di
h = 50 cm
dall'estremo libero della molla, quale sarà la compressione iniziale?
12. Una molla di costante elastica
k = 104 N/m
è compressa di
viene usata per lanciare verticalmente un oggetto di massa
∆x = 15 cm. Se
m = 700 g, quale
altezza raggiunge l'oggetto (supponendo trascurabili gli attriti)?
13. Una biglia di metallo di massa
m = 150 g
viene lanciata su una pista priva di
attrito lungo la quale si trova una buca asimmetrica, che è alta
h = 0 cm
•
in B,
h = 9 cm
in C,h
= 70 cm
h = 30 cm in A,
in D. Calcolare
le variazioni di energia potenziale della biglia nelle posizioni B, C, e D rispetto alla posizione iniziale.
•
la velocità minima che la biglia deve possedere nel punto A perché possa
superare interamente la buca. Con i dati a disposizione, è possibile calcolare la velocità minima che deve avere la biglia per nel punto A anché
riesca ad arrivare nel punto C?
14. Quale velocità deve avere una freccia lanciata verticalmente verso l'alto perché
raggiunga
h = 20 m
15. Una palla di massa
10 m/sec
di altezza? La massa inuisce sul risultato?
m = 100 kg viene
α = 450 rispetto
ad un angolo
lanciata con la velocità iniziale
di energia meccanica trovare
•
l'altezza massima raggiunta
•
la velocità totale e le sue componenti
82
v0 =
l'orizzontale. Usando la conservazione
vx , v y
a mettà altezza
6.3 Conservazione di energia meccanica
6 LAVORO ED ENERGIA
Soluzioni: In un qualunque punto della traiettoria si ha
mgh +
m v2
m v02
=
2
2
2
2
2 g h = v − v02 = v0,y
− vy2
v 2 = vx2 + vy2
vx = vx,0
nel caso dell'altezza massima
vy = 0
2
m v0,y
√2
= 2 g hmax
v0,y
v0
=
=√
g
2g
m g hmax =
v0,y
tmax
a metà della traiettoria
h = hmax /2
2
vy2 = v0,y
− m g hmax
√
√
2
2
2
v = vy + v0,x = v02 − m g hmax
16. Un corpo scivola lungo un piano inclinato alto
h = 2m
l = 10 m. Se
µ = 0.2, qual è la
e lungo
il coeciente di attrito dinamico tra corpo e piano è pari a
velocità nale del corpo?
m = 5 kg viene lanciato su di un piano inclinato con velovi = 6 m/sec e raggiunge un'altezza di h = 1, 2 m in presenza di
17. Un carrello di massa
cità iniziale di
attrito. Qual è il lavoro compiuto dagli attriti? Se gli attriti fossero stati nulli,
quale altezza avrebbe raggiunto il carrello?
18. Un oggetto di massa
m scivola lungo il piano inclinato di altezza h = 5 m ,senza
s = 10 m
attrito, e si ferma, sul tratto orizzontale con attrito, alla distanza di
dalla inizio del piano. Quanto è il lavoro della forza di attrito e il coeciente di
attrito? Quanta velocità avrebbe in quel punto senza attrito?
Soluzioni:
m vF2
− Anon−cons.
mgh =
2
m g h = −Anon−cons. = µ m g s
h
µ = = 0, 5
s
√
v = 2 g h → senza attrito
83
7 TERMOLOGIA
19. Un corpo è appoggiato contro una molla compressa in orizzontale.
La molla
viene lasciata libera e il corpo, ricevendo una spinta, inizia a muoversi su di
un piano con attrito. Calcola quanto spazio percorre il corpo prima di fermarsi
k = 50 N/m, che essa è compressa
m = 150 g, che il coe. di attrito
sapendo che il coe. elastico della molla vale
di
∆x = 15 cm,
che il corpo ha massa di
dinamico del piano vale
µ = 0.22.
20. Un bambino scende da uno scivolo alto
di
m = 20 kg
l = 3, 0 m.
Se il bambino ha una massa
e le forze di attrito compiono un lavoro di
A = 300 J,
con quale
velocità arriva giù il bambino?
21. Un carrello delle montagne russe entra, diretto in alto, in una curva circolare
chiusa di raggio
R = 100 m.
Se parte da un piano inclinato, quale è l'altezza
minima dalla quale deve partire per non cadere quando arriva al punto più alto
della curva?
Soluzioni:
m vt2
→ condizione di orbita
R
m vt2
1
mgh = 2mgR +
= 2mgR + mgR
2
2
5
h= R
2
mg =
in generale, se si vuole arrivare ad un altezza
m g h = m g (R + h1 ) +
h1 ≤ R
nel cerchio si ha
m vt2
1
= m g (R + h1 ) + m g R
2
2
3
R + h1
2
5
3
R≥h≥ R
2
2
h=
7 Termologia
1. Siano date due scale di temperatura Def (De) e Farenheit con i punti di riferimento
Fd = 32
e
Fu = 212.
Il graco in gura rappresenta il legame tra due
scale.
•
Dal graco trovare la formula di conversione da una scala all'altra.
84
7 TERMOLOGIA
Figura 23:
•
Trovare la coordinata
•
Se lo zero assoluto in Farenheit corrisponde a
•
Usando la relazione tra Farenheit e Celsius e inserendola nelle formule di
y
del punto di incontro tra due scale.
−459, 4 F
quanto è in De?
sopra, trovare la relazione tra Celsius e Def (senza passare per la formula
generale che collega le due scale)
m1 = 200 g di acqua a t1 = 100 C viene posto un
0
blocco metallico di massa m2 = 60 g a t2 = 120 C . La temperatura di equili0
brio raggiunta è teq = 20 C . Calcolare calore specico del metallo.(si trascura
2. In un calorimetro contenente
il calore assorbito dal calorimetro)
0
3. Si mescolano m1 = 100 g di acqua a t1 = 20 C e m2 = 200 g di acqua a
0
0
t2 = 80 C . Quanto rame a t = 200 C bisogna immergere nell'acqua fredda
per raggiungere la stessa temperatura di equilibrio?
cCu = 390 J/kg 0 C.
85
Calore specico di rame
7 TERMOLOGIA
0
4. Quanto calore serve fornire a m1 = 2 kg di ghiaccio a t1 = −25 C per trasfor0
0
4
marlo in vapore a t2 = 100 C ?(cgh = 2090J/kg C cf us. = 33, 5·10 J/kg cevap. =
22, 6 · 104 J/kg)
0
5. Quanta acqua calda a t1 = 80 C bisogna aggiungere a m2 = 100 g di acqua
0
0
fredda a t2 = 20 C per raggiungere la temperatura di equilibrio di teq = 50 C ?
m1 = 100 g di whisky a t1 = 200 C vengono aggiunti
m2 = 30 g di ghiaccio a t2 = −50 C . Si riesce scogliere tutto il ghiaccio?
0
(cwhisky = 2450 J/kg C). Se la risposta è no, quanto giaccio rimane?(dati di
6. In un bicchiere con
ghiaccio si prendano dall'esercizio 4)
7. In un calorimetro, che contiene
m1 = 300 g
di acqua a temperatura
t1 = 190 C
viene inserito un pezzo di alluminio di massa m2 = 50 g , alla temperatura
t2 = 1000 C . La temperatura di equilibrio raggiunta è teq = 220 C . Quanto
calore viene assorbito dal calorimetro?(cAl
8. Una barra di alluminio è lunga
120 0 C. Quanto sarà lunga quan0
temperatura di t = 50 C? (αAl = 23, 8 ×
l = 2, 4 m
do, esposto al sole, raggiungerà la
10−6 K−1 )
= 900 J/kg C)
a
9. Calcolare il calore specico del materiale di cui è fatta una pentola, sapendo
che la sua capacità termica è di
c + 770 J/K
e ha massa pari a
m = 2 kg.
t = 23 0 C la temperatura
0
specico è c = 0, 58 cal/g C.
10. Calcolare il calore necessario per far aumentare di
di
m = 0, 5
e
t = 23 kg
di glicerina, il cui calore
Esprimere il risultato in Joules.
0
11. Un oggetto di capacità termica C1 = 0, 9 Kcal/ C alla temperatura iniziale
0
t2 = 25 C viene immerso in una massa m1 = 1, 5 kg di acqua alla temperatura
t1 = 75 0 C . Calcolare la temperatura di equilibrio.
m = 625 g viene estratto da un forno e immerso in
V = 525 ml di acqua in un contenitore isolato. La temperatura dell'acqua au0
0
menta da 24.0 C a 92.0 C . Calcolare la temperatura iniziale del ferro sapendo
0
che il suo calore specico è pari a c = 0.45 J/g C
12. Un pezzo di ferro del peso di
13. Una massa viene fatta cadere verticalmente da un altezza
h.
Essa è collegata
ad un mulinello (calorimetro dell'esperienza di Joule) e cadendo fa ruotare le
86
7.1 Dilatazione termica
7 TERMOLOGIA
palette che sono immerse nell'acqua a
t = 25 0 C .
Se la massa che cade è pari
alla massa d'acqua contenuta nel calorimetro, calcolare l'altezza massima da
cui essa può essere fatta cadere senza che l'acqua inizi a bollire. (si considerino
trascurabili le dispersioni e le variazioni di pressione nel calorimetro)
7.1 Dilatazione termica
t1 = 0 0 C, una
t2 = 50 0 C ? (coe-
1. Di quanto varia la lunghezza di una sbarra di ferro che ha, a
lunghezza di
l = 20 m
se fosse portata alla temperatura di
−5
ciente di dilatazione lineare del ferro α = 1, 2 × 10
K −1 ).
2. Una sbarretta subisce una variazione di lunghezza di 2, 4 mm in seguito ad una
0
variazione di temperatura di ∆t = 100 C. Se la lunghezza della sbarretta, a
0
0 C, è di 1 m, determinare il coeciente di dilatazione lineare della sostanza in
esame.
3. Un viadotto di cemento è lungo 1, 500 km in inverno ad una temperatura di
t = −10, 0 0 C. In estate la temperatura raggiunge il valore di t2 = 40, 0 0 C.
Calcola la lunghezza del viadotto in estate (coeciente di dilatazione per il ce−5
mento α = 1, 5 × 10
K −1 ).
10, 00 cm3
alla temperatura di t1 =
273 K . Il coeciente di dilatazione volumica del mercurio è 182 × 10−6 K −1 . Di
4. Una colonna di mercurio ha un volume di
quanto aumenta il volume del mercurio se la sua temperatura sale a t2
t1 = 0 0 C,
= 373K ?
50, 000 mm.
◦
Calcola la nuova lunghezza della sbarra se la temperatura sale a t = 40 C
−5
−1
(coeciente di dilatazione lineare dell'alluminio α = 2, 4 × 10
K ).È possi-
5. Una sbarra di alluminio, alla temperatura di
è lunga
bile misurare tale variazione di lunghezza con una riga millimetrata? Spiegare.
0
6. Una sostanza allo stato liquido occupa a t = 0 C un volume pari a V =
30 cm3 . Sapendo che alla temperatura di t = 50 0 C il suo volume aumenta
3
di ∆V = 0, 27 cm , determina in base al coeciente di dilatazione volumica
−4
se la sostanza in questione è mercurio (α = 1, 8 × 10
K −1 ), oppure petrolio
−3
(α = 0, 9 × 10
K −1 ).
7. La lunghezza delle rotaie della linea ferroviaria Bari-Lecce è circa
l = 155 km.
Sapendo che il coeciente di dilatazione lineare dell'acciaio è α = 1, 05 ×
10−6 K −1 e supponendo che le rotaie siano saldate con continuità, calcola di
quanto varia la lunghezza complessiva se la massima variazione stagionale di
87
8 ELETTROSTATICA
temperatura è di
∆t = 40, 0 0 C.
8. In una sala, dove è allestita una mostra permanente di arte contemporanea,
è posizionata una scultura in vetro pirex a forma di cubo di lato l = 150 cm
α = 3, 0 × 10−6 K −1 ). Se nel
0
periodo estivo la temperatura nella sala aumenta di ∆t = 8, 0 C, di quanto
(coeciente di dilatazione lineare del vetro pirex
varia il volume della scultura?
8 Elettrostatica
qA = qB = qC = 10 nC,
15 cm.
1. Tre cariche puntiformi ed uguali, di valore
ai vertici
A, B, C
di un quadrato di lato
sono poste
• Calcolare il campo elettrico totale nel centro del quadrato
• Se poniamo al centro una carica di prova qp = 5 nC, quanto è la forza su
questa carica?
• Calcolare, inoltre, la forza sulla carica qA nel vertice A (senza la carica di
prova)
2. Una carica sorgente puntiforme di valore
5
punto P di valore E(P ) = 36 × 10 N/C .
qs = 9 µC
crea il campo elettrico nel
• A che distanza r si trova il punto P dalla carica sorgente?
• Quanto è il campo elettrico nel punto Q che si trova a distanza doppia
dalla sorgente?
3. Nell'atomo di idrogeno l'elettrone ruota attorno al nucleo alla distanza media,
−11
chiamata raggio di Bohr, di r = 5, 3 · 10
m. Se la forza d'attrazione tra l'elet−9
trone ed il protone è F = 86 · 10
N . Quanto è la carica di ciascuna particella?
qA = q, qp = −2q, qB = 4q . Trova il modo di
q in A e 4q in B sia
risultante sulla carica qp in C sia zero Ftot = 0. Torva
4. Si hanno tre cariche puntiformi
disporle su una linea retta, in modo che la distanza tra
10cm
e che che la forza
88
8 ELETTROSTATICA
la posizione del punto
C , AC = x.
5. Nel suo esperimento del
1909
il sico Millikan ha misurato la carica di un elet-
trone lasciando cadere le gocce d'olio cariche tra le piastre di un condensatore
piano. Aggiustando la dierenza di potenziale tra le piastre si ottiene la forza
elettrica, contraria alla forza di gravità, e le gocce si fermano in aria quando
Fgrav = FC . La massa misurata della goccia è di m = 6, 53·10−16 kg ed il campo
4
elettrico di E = 4 · 10 N/C. Quanto è la carica della goccia? (Per la forza di
gravità prendere la formula semplicata
6. Due cariche
q
P = mg .)
uguali, poste ad una distanza
d,
si respingono con una forza
F.
Come si deve cambiare :
a
la distanza
b
la carica
Perchè la forza diventi quadrupla?
7. Calcolare il lavoro necessario per spostare un elettrone dell'atomo d'idrogeno da
−8
una distanza rA = 10
cm ad un'altra distanza rB = 0, 5 × 10−8 cm. La carica
−19
dell'elettrone qe = −1, 6 × 10
C. Spiegare il segno di lavoro.
Solizione:
L'elettrone si avvicina al nucleo e questo rappresenta un processo
spontaneo, dunque il segno di lavoro dovrebbe essere positivo.
(
A = −∆ U = − (UB − UA ) = k qs qp
1
1
−
rA rB
)
(
1
A = 9 × 10 N m /C (−1, 6) × 10 C 1, 6 × 10 C
−
−10
10 m 0, 5 · 10−10 m
(
)
A = −9 · 2, 56 × 10−29 1010 − 2 · 1010 J = 23, 04 × 10−19 J
9
2
2
−19
−19
1
)
8. Per spostare una carica puntiforme di q = 250 nC tra due punti occorre com−5
piere un lavoro di A = 5 × 10
J. Qual è la dierenza di potenziale tra i due
punti? Quale carica si può spostare, con lo stesso lavoro, in una dierenza di
potenziale doppia?
Solizione: Legame tra lavoro ed il potenziale è
89
8 ELETTROSTATICA
A = −∆U = −qp · ∆V
A
5 × 10−5 J
∆V = − = −
= −200 V
qp
250 × 10−9 C
Se la dierenza di potenziale raddoppia si ha
qp = −
A
5 × 10−5 J
=
= 125 nC
∆V
400 V
Si vede che, per mantenere il lavoro invariato, la carica deve dimezzarsi.
9. Due cariche puntiformi ed uguali di valore
q1 = 2 µC
q2 = −2 µC sono poste
a = 10 cm. Calcolare il
e
ai vertici di un triangolo rettangolo isoscele di cateto
potenziale risultante nel vertice dell'angolo retto. Inserendo una carica di prova
di
qp = −2 µC
nel vertice del angolo retto, quanta è l'energia potenziale del
sistema?
Soluzioni: Abbiamo le due sorgenti nei due vertici del triangolo rettangolo e il
potenziale totale è la somma di due potenziali
Vtot = V1 + V2
V1 = −V2 = 9 × 109 N m2 /C2
2 × 10−6 C
= 1, 8 × 105 V
10−1 m
Vtot = 0
Essendo le due cariche opposte di segno e alla stessa distanza dal vertice retto i due potenziali sono uguali ma di segno opposto e la loro somma è ze-
ro. Inserendo nel vertice retto una carica di prova non cambia niente perché
Utot = qp · Vtot = 0.
U12 = k q1 · q2 /r12 che
Rimane chiaramente energia potenziale di due sorgenti
non consideriamo.
q = 8 µC crea il potenziale elettrico nel punto
P di valore V = 152 V. A che distanza r si trova il punto P dalla carica sorgente?
10. Una carica puntiforme di valore
Soluzioni:
Invertendo la formula del potenziale si può calcolare la distanza
richiesta
qs
r
qs
8 × 10−6 C
r = k = 9 × 109 N m2 /C2
= 473 m
V
152 V
V =k
90
8 ELETTROSTATICA
−5
11. In un campo elettrico si trova una carica di prova di qp = 2, 5 × 10
C e su di
−3
essa agisce una forza di F = 10
N. La dierenza di potenziale tra due punti
appartenenti alla linea di forza è
200 V.
Quale è il campo elettrico e la distanza
tra due punti?
Soluzioni: Prima si calcola il campo elettrico come segue
F = qp · E
F
10−3 N
E=
=
= 40 N/C
qp
2, 5 × 10−5 C
e dopo si calcola la distanza tra due punti del potenziale
∆V = E · ∆s
∆V
200 V
∆s =
=
= 5m
E
40 (N/C = V/m)
12. Trova il campo elettrico di una sfera vuota, caricata con la carica totale
Q=
5 mC distribuita sulla supercie, nel punto distante 20 cm dal centro della sfera.
Il raggio della sfera e R = 5 cm. Quanto vale il campo nel punto distante 2 cm
dal centro della sfera?
−5
13. Una carica di valore q = 8×10
C crea un campo elettrico nel punto M di valo5
re E = 172×10 N/C. A che distanza r si trova il punto M dalla carica sorgente?
14. Una lastra di lato a = 5 cm, produce il campo elettrico del valore E = 15 ×
105 N/C. Quanta carica Q si trova distribuita sul piano? Posizionando una
carica di prova alla distanza
d = 5 cm
trova la forza esercitata dalla lastra.
15. Per spostare una carica puntiforme di 250 nC tra due punti occorre compiere
−5
un lavoro di A = 5 × 10
J. Qual è la dierenza di potenziale tra i due punti?
Quale carica si può spostare, con lo stesso lavoro, in una dierenza di potenziale
doppia?
q1 = 2 µC e q2 = −2 µC sono poste
isoscele di cateto 10 cm. Calcolare il poten-
16. Due cariche puntiformi ed uguali di valore
ai vertici di un triangolo rettangolo
ziale risultante nel vertice dell'angolo retto. Inserendo una carica di prova di
91
8 ELETTROSTATICA
qp = 2 nC nel vertice del angolo retto, quanta è l'energia potenziale del sistema?
q = 8 µC crea il potenziale elettrico nel punto
P di valore V = 152 V. A che distanza r si trova il punto P dalla carica sorgente?
17. Una carica puntiforme di valore
18. Trovare la forza risultante con la quale un dipolo agisce sulla carica di prova
posta sull'asse
x
.La distanza tra le cariche del dipolo e
della carica di prova rispetto le cariche del dipolo
x+
2d,
mentre la posizione
e ( considerare
x+ , x− ≥ d)
−5
19. In un campo elettrico uniforme (costante) su una carica di q = 5 × 10
C agisce
−2
una forza di 10
N . La dierenza di potenziale tra due punti A e B vale 100 V.
•
Quanto vale campo elettrico?
•
Quale è la distanza tra due punti?
20. Si hanno le tre cariche puntiformi
+q − q + 4q .
Trova il modo di disporle su
una linea retta cosi che la forza risultante sulla carica :
• +q
sia zero
• −q
sia zero
•
trova la forza risultante sulla carica
+4q
21. Trovare quale dovrebbe essere il rapporto tra:
•
la massa e la carica di due oggetti identici posti ad una distanza ssa
cosi che la forza di gravità risulti uguale alla forza di Coulomb.
Ap-
plicando il risultato ad un elettrone quale sarebbe la sua massa (per la
−19
carica si ha qe = 1, 6 × 10
C). Fare confronto con la massa vera di
−31
me = 9, 1 × 10 kg.
•
la distanza tra un protone ed un elettrone se si richiede che la forza di
gravità sia uguale alla forza di Coulomb (prendere
mp = 2000 me )
22. Disegna la forza risultante con la quale un quadripolo agisce sulla carica di prova che si trova nel punto P (dell'asse
y)
che forma un triangolo equilatero con
le cariche poste sull'asse x. La distanza tra le cariche e
forza risultante.
92
d.
Prova a calcolare la
8 ELETTROSTATICA
23. Calcolare il lavoro necessario per spostare un elettrone dell'atomo d'idrogeno
−8
−9
da una distanza rA = 10 cm ad un'altra distanza rB = 10 cm. La carica
−19
dell'elettrone q = 1; 6 × 10
C . Spiegare il segno di lavoro.
Soluzioni:
Il lavoro del campo colombiano è
A = −∆U = k q1 q2 (1/rI − 1/rF )
(
)2
(
)
= −9 × 109 N m2 /C2 1, 6 × 10−19 C 2 1/10−8 cm − 1/10−9 cm
= −9 · 2, 56 × 10−38 N m2 1/10−8 10−2 m (1 − 10) = 207, 4 × 10−28 J
il segno del lavoro è positivo perché il processo è spontaneo.
24. Un elettrone entra tra le piastre di un condensatore piano con la velocità iniziale
v0 = 5 × 105 m/sec nel punto A, seguendo la retta a metà distanza tra le piastre.
La distanza tra le armature è
e calcolare la distanza
AB
d = 40 cm.
Descrivere la traiettoria dell'elettrone
(lungo la retta originale) quando colpisce la piastra
positiva.
Soluzioni: Elettrone continua il moto uniforme lungo la retta iniziale (asse
ma viene deviato dal campo elettrico lungo l'asse verticale
y
x),
generando una
traiettoria parabolica
x = v0 · t
F =q·E =q
∆V
d
q∆V
md
1
q∆V
y = a · t2 =
· x2
2
2 m d v02
√
2ymd
x = v0
q∆V
a=
eliminando il tempo si ottiene
y = d/2
√
AB ≡ x = v0
m d2
= 34 cm
q∆V
25. Un condensatore piano ha le armature di area
Quanto è la sua capacità
93
S = 9 cm2
e distanti
d = 2 mm.
8 ELETTROSTATICA
•
in aria
•
con il dielettrico con
ϵr = 10
S = 30 cm2 e distanti d = 3 mm.
ϵr = 10. La dierenza di potenziale
26. Un condensatore carico ha le armature di area
Tra le armature si trova un dielettrico con
è
∆V = 600 V.
Trovare
•
la capacità
•
la carica sulle armature
•
l'intensità del campo elettrico
Soluzioni: La capacità si calcola
ε·S
d
2
10 · 8, 8 · 10−12 NCm2 · 30 · 10−4 m2
εr · ε0 · S
C=
=
= 8, 8 · 10−11 F = 88 pF
−3
d
3 · 10 m
C=
mentre la carica è
Q=C ·V
Q = 8, 8 · 10−11 F · 6 · 102 V = 52, 8 · 10−9 C
ed il campo elettrico
E=
V
600V
=
= 2 · 105 V/m
d
0, 003m
27. Calcolare la dierenza di potenziale di un condensatore piano isolato quando la
distanza tra le armature si dimezza. Il voltaggio iniziale e
V = 100V .
Come
cambia la capacità ed il campo elettrico? Quale dovrebbe essere la costante dielettrica relativa di un materiale che produrrebbe lo stesso eetto sul potenziale?
Soluzioni:
La formula del potenziale di un condensatore piano è
V =Ed
e sapiamo che il campo elettrico è costante.
Cambiando la distanza tra le
armature cambia il potenziale in modo proporzionale, se diminuisce due volte
il campo diminuisce due volte
V ′ = V /2 = 50 V
94
8 ELETTROSTATICA
La capacita è inversamente proporzionale al potenziale e segue
C′ = 2 C
C ′ = ϵr C
la costante dielettrica che produrrebbe lo stesso eetto
ϵr = 2
.
28. Un condensatore piano viene collegato alla batteria di
del condensatore è
15 pF.
Quanta carica
Q
V = 12 V.
La capacità
si accumula sulle armature?
Se
s'introduce tra le armature una lastra di vetro di costante dielettrica relativa
ϵr = 4 ,
quanta carica
Q
si accumula sulle armature in questo caso?
calcolare la quantità di carica indotta
QP
nel dielettrico (carica di polarizzazio-
ne)? (Indicazione: La carica dopo l'inserimento del dielettrico è
dove
QP
Potresti
Q = Q0 − QP
,
rappresenta la carica indotta nel dielettrico.) Ripetere il conto quando
il condensatore non e attaccato alla batteria. (Indicazione: Nel secondo caso il
potenziale dopo l'inserimento del dielettrico è
V = V0 + VP
, dove
VP
rappre-
senta il potenziale indotto nel dielettrico.)
Soluzioni:
Quando il potenziale è tenuto sso la carica aumenta tanto quanto la capacità
Q = ϵr Q0 .
La carica iniziale si trova
Q0 = V · C0 = 12 V · 15 pF = 180 × 10−12 C = 180 pC
Inserendo il dielettrico abbiamo
Q = ϵr Q0 = 4 · 180 pC = 720 pC
Carica polarizzata nel dielettrico si calcola
QP = Q0 − Q = 180 pC − 720 pC = −540 pC
ed è negativa perché si polarizza col segno opposto (negativa vicino la piastra
positiva). Quando il potenziale rimane costante anche il campo elettrico non
cambia
V = E · d → E = E0
perché non cambia la distanza tra le piastre.
Quando la batteria è scollegata dal condensatore si mantiene costante la carica
e cambia il potenziale
V = V0 /ϵr .
V =
12 V
= 3V
4
95
9 CIRCUITI ELETTRICI
il potenziale polarizzato è
VP = V − V0 = (1/ϵr − 1) V0
e se come la distanza tra le piastre non cambia si ha per la carica
3
QP = (1/ϵr − 1) Q0 = − Q0 = −0, 75 · 180 pC = −135 pC
4
V = E·d
V = V0 /ϵr → E ≡ E0 + EP = E0 /ϵr che da il
EP = (1/ϵr − 1) E0 che, poi, porta alla carica polarizzata di
Quando la carica rimane costante il campo elettrico cambia
perché
cambia il potenziale
campo
polarizzato
sopra.
29. Calcolare la carica posseduta da due sfere conduttrici allo stesso potenzialeV
=
100 V con i raggi R1 = 5 cm e R2 = 10 cm. Trovare inoltre la densità di carica
σ = Q/A sulle sfere. (L'area di una sfera è 4π R2 ) (Indicazione: Il potenziale di
una sfera ha la stessa formula di una carica puntiforme)
Soluzioni: Il potenziale di una sfera è quello colombiano
Q
100 V · 5 cm
→ Q1 = R1 V /k =
R
9 · 109 N m2 /C2
1 N m/C · 5 m
Q1 =
= 0, 6 × 10−9 C
9 · 109 N m2 /C2
R2
10
Q2 = R2 V /k =
Q1 =
0, 6 × 10−9 C = 1, 2 × 10−9 C
R1
5
V =k
la densità di carica si calcola
Q1
Q1
0, 6 × 10−9 C
0, 6
=
=
=
× 10−5 C/m2 = 1, 9 × 10−8 C/m2
2
−2
2
A1
4π R1
12, 56 · (5 · 10 m)
314
1
Q2
Q2
R2
2 R1
σ1
σ2 =
=
=
Q1
σ1 =
= 0, 95 × 10−8 C/m2
2 =
2
A2
4π R2
R1
4
R
2
4π (2 R1 )
1
σ1 =
In generale le densità si riportano ai raggi in questo modo
σ2 · R2 = σ1 · R1 .
9 Circuiti elettrici
9.1 Circuito R
1. Tre resistenze
R1 = 150 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 100 Ω
E = 90 V.
alimentate da un generatore
96
sono collegate in parallelo e
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Figura 24:
•
quale è la resistenza equivalente del gruppo?
•
calcolare tutte le correnti
•
se cambia ordine delle resistenze cambia la corrente per ciascuna resistenza?
2. In un circuito sono collegati l'amperometro ed il voltmetro come da disegno.
La resistenza esterna è
e
rV = 200.000 Ω
.
R = 500 Ω,
mentre le resistenze interne sono
Il generatore fornisce
E = 8 V.
circuito.
Soluzioni: Le equazioni del circuito sono
E = rA · IA + R · IR
R · IR = rV · IV
IA = IV + IR
Le soluzioni del sistema sono
E · rV
rA · rV + R (rA + rV )
E ·R
IV =
rA · rV + R (rA + rV )
E · (rV + R)
IR =
rA · rV + R (rA + rV )
IR =
97
rA = 5 Ω
Calcolare le correnti nel
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Se deniamo il valore teorico della resistenza esterna come
e quello sperimentale (misurato)
Rexp = ∆VR /IA ,
Rth ≡ R = ∆VR /IR
il rapporto tra i due valori è
Rexp
rV
=
≤1
Rth
R + rV
Il valore misurato è sempre minore del valore reale per l'assemblaggio dell'esperimento stesso. Finché la dierenza è minore del errore assoluto la misura da
valore corretto.
R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω, R3 = 200 Ω, R4 =
IA = 0, 5 A
3. Nel circuito in gura le resistenze sono
300 Ω,
e l'amperometro misura
Figura 25:
•
quanto è la tensione del generatore
•
le altre correnti nel circuito
•
la tensione ai capi del parallelo
4. Nella gura abbiamo una combinazione delle resistenze di valori
R2 = 40 Ω, R3 = 30 Ω
e
R4 = 60 Ω.
R1 = 120 Ω,
I = 6A
La corrente totale nel circuito è
•
Trovare la tensione del generatore
•
Trovare le altre correnti nel circuito
•
Trovare le tensioni su ogni resistenza
98
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Figura 26:
E = 340 V, resistenza esterna Rext =
1000 Ω. Il potenziometro ha la resistenza RP ≡ R1 + R2 = 2000 Ω e il cursore è
posizionato in modo che sia R1 = 500 Ω.
5. Il generatore in gura fornisce voltaggio
•
quanto è
•
quanto sono le correnti nel circuito?
•
come cambiano le correnti se
∆VU
R1 = 1000 Ω
Figura 27:
6. Il circuito in gura è alimentato da un generatore da
resistenza equivalente del circuito e le correnti.
99
E = 500 V.
Trovare la
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Figura 28:
1
1
1
=
+
′
Req
R2 R3
1
1
1
14 + 5
19
=
+
=
=
′
Req
125Ω 350Ω
125 · 14Ω
125 · 14Ω
125 · 14
′
Req
=
Ω
19
E
Req
500V
I=
≃ 0, 8A
647Ω
0 = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 − Σ
R1 I + R2 I2 + R4 I = E
I (R1 + R4 ) + R2 I2 = E
R2 I2 = E − I (R1 + R4 )
E − I (R1 + R4 )
500V − 0, 8A (400Ω + 150Ω)
I2 =
=
R2
125Ω
60V
500V − 440V
=
≃ 0, 5A
=
125Ω
125Ω
I2 = 0, 5A
I3 = Itot − I2
I3 = 0, 8A − 0, 5A = 0, 3A
I=
7. Il circuito in gura ha
E1 = E2 = 100 V
e
R1 = 100 Ω, R = 1000 Ω, R2 = 100 Ω.
Risolvere il circuito con il sistema o con la regola delle batterie equivalenti. Cosa
cambia se si invertono i poli di una delle batterie?
I2 = I3 + I1
0 = ∆V3 + ∆V2 − E2
0 = ∆V3 − ∆V1 + E1
100
maglia ABCDA
magliaFBCEF
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Figura 29:
I3 + I1
R3 · I3 + R2 · I2
R3 · I3 − R1 · I1
(R2 + R3 ) I3 + R2 · I2
R3 · I3 − R1 · I1
= I2
= E2
= −E1
= E2
= −E1
E2 R1 − E1 R2
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
E2
R3
E1 R3 + E2 ( R1 + R3 )
I2 =
−
I3 =
R2 R2
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
E2 R3 + E1 ( R2 + R3 )
I1 = I2 − I3 =
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
I3 =
8. La portata di un amperometro si può modicare collegando in parallelo una
(o più) resistenza (chiamate lo shunt).
che può sopportare l'amperometro sia
maggiore
I
Prendiamo che la corrente massima
IA .
Se si vuole misurare una corrente
R come già detto. L'amperometro ha una
rA . Calcolare quanto deve essere R se si vuole misurare la
I = n IA (n un numero intero ). Come si dovrebbe procedere nel caso
si collega la resistenza
resistenza interna
corrente
del voltmetro?
Soluzioni: L'equazione del circuito è
I = IA + IR
rA IA = R IR
(
rA )
I = IA 1 +
R
rA IA
rA
R=
=
I − IA
n−1
101
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
per esempio, se
IA = 1 A
e si vuole misurare la corrente
deve collegare la resistenza
R = 5 Ω/ (2 − 1) = 5 Ω.
Nel caso del voltmetro, con la resistenza interna
aggiuntiva
R
I = 2 A,
rV ,
e
rA = 5 Ω,
si
si collega la resistenza
in serie . In questo modo la legge di Ohm da
V = n V0
(R0 + R) I = n rV I
R = (n − 1) rV
Così si ottiene l'aumento di portata di
n
volte.
IA = 20 mA e la resistenza interna RA =
0, 2 Ω. Si chiede di aumentare la sua portata per poter misurare la corrente
I = 0, 1 A. Quanto deve essere la resistenza di shunt Rs ?
9. L'amperometro in gura ha la portata
Figura 30:
10. Il circuito di laboratorio ha due strumenti collegati (voltmetro ed amperome4
tro) con le resistenze interne rA = 5 Ω, rV = 10 Ω. La resistenza esterna (da
misurare) è
Rth = 500 Ω.
Calcola il valore della resistenza esterna
Rexp
tenendo
conto delle resistenze interne degli strumenti. La batteria fornisce il voltaggio
E = 8 V. Eventuale
(Rexp = ∆V /IA ) si
dierenza tra il valore teorico
Rth = ∆V /IR
e sperimentale
può imputare all'errore della misura o no?(IA e
∆V
sono
valori sperimentali misurati dall'amperometro e voltmetro)
11. Il collegamento sulla gura si chiama il ponte di Wheatstone e serve per calcolare
resistenze sconosciute. Scrivere l'equazione del circuito e calcolare il rapporto
tra le resistenze supponendo che la corrente
102
IAB = 0.
9.1 Circuito R
9 CIRCUITI ELETTRICI
Figura 31:
Soluzioni: I nodi danno
I = I1 + I3 = I2 + I4
I1 = IAB + I2
I4 = IAB + I3
mentre le maglie
R1 I1 + R2 I2 = E
R3 I3 + R4 I4 = E
R1 I1 + RAB IAB = R3 I3
combinando i due sistemi si trova
R1 IAB + (R2 + R1 ) I2 = E
−R3 IAB + (R4 + R3 ) I4 = E
R3 I4 − R1 I2 = (R1 + RAB + R3 ) IAB
supponendo
IAB = 0
si ottiene
R3
I4
R1
(R2 + R1 ) I2 = (R3 + R4 ) I4
R3 (R2 + R1 ) I2 = R1 (R4 + R3 ) I2
R3 R2 = R1 R4
R3 I4 − R1 I2 = 0 → I2 =
supponiamo di conoscere tre delle quattro resistenze si piò calcolare la quarta
dalla formula di sopra.
Il valore
IAB = 0
103
si ottiene grazie ad una resistenza
9.2 Circuito C
9 CIRCUITI ELETTRICI
variabile ( reostato). Un amperometro collegato ad
RAB
verica la condizione
di zero corrente.
12. Quale è l'energia dissipata da un boiler di potenza
P = 2000 W
in un ora?
Quanta corrente richiede per funzionare a massima potenza? Quanto è la sua
resistenza?
9.2 Circuito C
C1 = 250 µ F, C2 = 100 µ F, C3 = 500 µ F sono collegati in
applicata è E = 500 V. Trovare la carica e la tensione su ciascun
1. Tre condensatori
serie. La f.e.m.
condensatore.
Figura 32:
2. Due condensatori
volta, collegati in
E = 300 V.
C1 = 20 µ F, C2 = 5 µ F sono collegati in serie e , a sua
parallelo al condensatore C3 = 6 µ F . La f.e.m. applicata è
Trovare la carica e la tensione su ciascun condensatore.
Soluzioni:
1
1
5
1
1
=
+
=
=
′
Ceq
20µ F 5µ F
20µ F
4µ F
′
= 4µ F
Ceq
Qtot
Ceq = 4µF + 6µF = 10µF
≡ E · Ceq = 1 · 10−5 F · 3 · 102 V = 3 mC
104
9.2 Circuito C
9 CIRCUITI ELETTRICI
La carica sul primo condensatore è
Q1 = C1 · E = 6 · 10−6 · 3 · 102 V = 1, 8 mC
Q = Q1 + Q2
nalmente, la carica sul secondo condensatore è
Q2 = Q − Q1 = 1, 2 mC
1, 2 · 10−3 C
Q2
12 · 10−4 · 106
=
V2 =
=
V = 60 V
C2
20
20 · 10−6 F
3. Tre condensatori
C1 = 200 nF, C2 = 400 nF, C3 = 200 nF sono collegati come da
E = 200 V . Calcolare la carica accumulata sulle piastre
disegno e alimentati da
di ciascun condensatore. Trovare la carica e la tensione su ciascun condensatore.
Come cambia la carica se tra le piastre di ciascun condensatore vengono inseriti
dielettrici con le costanti relative
ϵ1 = 5, ϵ2 = 10, ϵ3 = 15?
Figura 33:
4. Tre condensatori
rallelo.
C1 = 10 µ F, C2 = 20 µ F, C3 = 30 µ F
Il parallelo è collegato in serie ad un altro parallelo formato da due
condensatori di capacità uguale
tensione
sono collegati in pa-
E = 100 V .
C3 = 10 µ F.
Il gruppo è alimentato da una
Trovare
•
capacità equivalente del gruppo
•
energia immagazzinata in ciascun condensatore
•
energia totale del sistema
105
9.2 Circuito C
9 CIRCUITI ELETTRICI
Soluzioni:
E=
Qtot Qtot
+ ′′
′
Ceq
Ceq
Qtot = Q1 + Q2 + Q3
Qtot = Q4 + Q5
′
= C1 + C2 + C3
Ceq
′′
= C4 + C5
Ceq
1
1
1
= ′ + ′′
Ceq
Ceq Ceq
106
9.2 Circuito C
9 CIRCUITI ELETTRICI
′
Ceq
= 10µF + 20µF + 30µF = 60µF
′′
Ceq
1
Ceq
Qtot
∆V4
Q5
C5
Q4
Qtot
Q4
E
Q1
C1
Q1
Q1
Q1
Q1
Q2
Q2
Q3
U
U1
= 10µF + 10µF = 20µF
1
4
4
1
=
+
=
=
= 15µF
60µF
20µ
60µF
60µF
= 100V · 15µF = 1, 5 mC
= ∆V5
Q4
=
C4
= Q5
= 2 · Q4
Qtot
=
= 7, 5 · 10−4 C
2
Q1 Q4
= ∆V1 + ∆V4 =
+
C1
C4
Q4
=E−
C
(4
)
Q4
= C1 · E −
C4
)
(
7, 5 · 10−4 C
= 10µF · 100V −
10−5 F
= 10µF · (100V − 75V )
= 10−5 F · 25V = 0, 25 mC
(
)
Q4
= C2 · E −
C4
= 0, 5 mC
= 0, 75 mC
1 Q2
= ·
2 C
(
)2
1 Q21
1 2, 5 · 10−4 C
= 3, 13 · 10−3 J
= ·
= ·
2 C1
2
10−5 F
1 (Qtot )2
·
2
Ceq
(
)2
1 15 · 10−4 C
1 225 · 10−8 C 2
Ueq = ·
=
·
2
2 15 · 10−6 F
15 · 10−6 F
= 7, 5 · 10−2 J
Ueq =
107
9.2 Circuito C
9 CIRCUITI ELETTRICI
C1 = 7 nF, C2 = 11 n F sono collegati in serie. La f.e.m.
E = 50 V. Condensatori vengono scollegati dalla batteria (senza
5. Due condensatori
applicata è
essere scaricati) e vengono posti in parallelo.
Quanto valgono le cariche e le
dierenze di potenziale su ciascun condensatore nei due casi e quanto è l'energia
totale?
C = 100 µ F.
6. Un condensatore piano ha la capacità
Se si introduce una piastra
metallica, di spessore trascurabile, tra le due piastre del condensatore, distanti
d,
in modo che le distanze sono
d1 = 2 d2 , d1 + d2 = d,
trovare
•
capacità del sistema
•
capacità del sistema quando la piastra aggiunta viene collegata all'armatura destra con un lo metallico
•
Q = 1µC
se, al inizio
sul armatura sinistra, quanto è
∆V
tra le armature
nei due casi
7. Il condensatore piano in laboratorio viene collegato al generatore di
resistenza
R = 45.000 Ω.
La capacità del condensatore è
450 µF.
7V
e la
La dierenza
di potenziale del condensatore si misura con un voltmetro di resistenza interna
rV = 800.000 Ω.
Scrivere il sistema per le correnti
IV , IC = ∆QC /∆t, I .
Il siste-
ma rappresenta delle equazione dipendenti dal tempo (equazioni dierenziali)
ma si può risolvere in regime cioè per tempi molto lunghi
limite condensatore si carica completamente e
IC → 0.
t → ∞.
In questo
Trovare, in questo limite
QC , IV , I, VC = QC /C .
Soluzioni: Il sistema di equazioni per la carica di un condensatore di capacità
C
collegato ad una resistenza esterna
R,
per misurare il voltaggio del condensatore , e la batteria a voltaggio
è
I = IC + IV
Q
= RV IV
C
E = R I + RV IV
che porta all'equazione
Q
E = R IC +
C
108
RV
costante E
un voltmetro di resistenza interna
)
(
R
1+
RV
10 MAGNETOSTATICA
quando
IC → 0
si trova la massima carica del condensatore
(
)
Qmax
R
E=
1+
C
RV
EC
Qmax =
1 + R/RV
E RV
VC,max =
R + RV
E
I = IV (t) =
R + RV
8. Carica e scarica di un condensatore sono caratterizzati da una costante chiamata
tempo caratteristico di carica
re si carica circa
Calcolare
τ
τ = Rtot C .
Durante questo tempo il condensato-
63%.
Vericare che eettivamente
C R rv
del esercizio precedente τ =
.
R+rv
τ
ha le dimensioni di tempo.
10 Magnetostatica
10.1 Legge di Biot-Savart
1. Calcolare il campo magnetico prodotto da un lo percorso dalla corrente
nel punto a distanza
d = 6 cm
I = 3A
dal lo.
Soluzioni:
B = 2 · k′ ·
I
r
B = 2 · 10−7
3A
N
·
= 10−5 T
2
A 6 · 10−2 m
Il vettore campo è un vettore tangente al cerchio di raggio
2. Ai capi di un lo conduttore di resistenza specica
l = 20 m
d.
ρ = 5 · 10−7 Ω m e lunghezza
è applicata una tensione ∆V = 100 V. Il campo magnetico prodotto
−5
dal lo è di B = 2 · 10
T in un punto alla distanza r = 19 cm. Calcolare la
sezione del lo
S.
Soluzioni:
109
10.2 Forza di Lorentz
B = 2 · k′ ·
10 MAGNETOSTATICA
I
d
B·d
2 · 10−5 T · 1, 9 · 10−1 m
=
= 19 A
2 · k′
2 · 10−7 N/A m
V
l
R≡
=ρ
I
S
2
ρ·l·I
5 · 10−7 Ω m · 20 m · 19 A
−7 Ω · A · m
S=
=
=
19
·
10
·
= 19 · 10−7 m2 = 1, 9 m m2
2
V
V
10 V
I=
10.2 Forza di Lorentz
40 cm, percorso da una corrente I = 0, 5 A, è posto nel campo
0
costante B = 0, 4 T in modo di formare l'angolo di 60 . Calcolare
1. Un lo lungo
magnetico
l'intensità e la direzione della forza di Lorentz.
Soluzioni: Il modulo della forza di Lorentz è dato da
FL = I B l sin α = 0, 5 A · 0, 4 T · 0, 4 m · sin 600 = 0, 7 N
2. Un lo lungo
60 cm, percorso da una corrente I = 6 A, è posto nel campo maB . La forza di Lorentz che agisce su lo è FL = 1, 8 N. Quale
gnetico costante
è l'angolo tra il lo ed il campo magnetico?
40 cm, percorso da una corrente, è posto nel campo magnetico
B = 0, 8 T . La forza di Lorentz che agisce su lo è FL = 2 N e l'angolo
0
lo ed il campo magnetico è di 30 . Trovare l'intensità della corrente
3. Un lo lungo
costante
tra il
elettrica nel lo.
4. Due li paralleli lunghi
20 cm
e distanti
d = 10 cm
sono percorsi dalla stessa
−9
corrente elettrica. I li si attraggono con una forza F = 9 × 10
N. Trovale
l'intensità della corrente.
Soluzioni: Il modulo della forza di Lorentz è tra due li paralleli dato da
I1 I2
l→I=
FL = 2 k ′
d
5. Due li paralleli lunghi
√
√
Fd
=
2 k′ l
15 cm
9 · 10−9 N · 0, 1 m
= 0, 15 A
2 · 10−7 N/A2 · 0, 2 m
sono percorsi dalla corrente
−5
li si respingono con una forza F = 9 × 10
N. Trovale
110
I = 3A
e
I = 5 A.
I
10.2 Forza di Lorentz
10 MAGNETOSTATICA
•
a che distanza si trovano?
•
se la distanza diventa quadrupla di quanto cambia la forza?
6. Tra due lunghi li paralleli A e B, percorsi dalla corrente
terzo lo C attraversato dalla corrente
lunghezza
F/l,
I = 5 A.
I = 2 A,
è posto un
Calcolare la forza, per unità di
che agisce sul lo C. Considerare due casi:
•
le correnti nei li A e B nella stessa direzione
•
le correnti nei li A e B nella direzione opposta
•
quando la forza totale sul lo C vale zero?
7. Due li paralleli, perpendicolari alla pagina e distanti
percorsi dalla corrente
10 cm
tra di loro, sono
I = 0, 5 A in modo che nel primo lo la corrente esce dal
piano, mentre nel secondo entra. Calcolare il valore e determinare il verso del
campo magnetico in un punto distante
10 cm
da ambedue li, in modo che i li
ed il punto formino un triangolo equilatero.
m = 6, 68 × 10−27 kg e di carica q = 3, 2 × 10−19 C entra
in un campo magnetico B = 2 T con la velocità perpendicolare al campo. La
particella percorre una circonferenza di raggio R = 30 mm. Determinare
8. Una particella di massa
•
velocità della particella
•
il periodo di rotazione
Soluzioni: Il ragio della circonferenza e il periodo di rotazione sono dati da
mv
qBR
3, 2 × 10−19 C · 2 T · 0, 03 m
→v=
=
= 2, 87 × 106 m/sec
qB
m
6, 68 × 10−27 kg
m
6, 68 × 10−27 kg
T = 2π
= 6, 28 ·
= 6, 55 × 10−8 sec
qB
3, 2 × 10−19 C · 2 T
R=
9. Un ione, di carica doppia rispetto al protone, si muove con la velocità E =
9, 5 × 106 m/sec in un campo magnetico B = 0, 95 T, perpendicolare alla sua
velocità. Quanto è la massa dello ione?
∆V = 5.000 V e poi
entra in un campo magnetico girando su una circonferenza di raggio R = 10 mm
10. Un protone viene accelerato in una dierenza di potenziale
Determinare
•
velocità della particella
•
valore del campo magnetico
111
10.2 Forza di Lorentz
10 MAGNETOSTATICA
Soluzioni: La velocità si trova dal lavoro della forza elettrica ( l'energia cinetica
uguale quella potenziale)
m v2
= q ∆V → v =
2
ed il campo magnetico è
B=
√
2 q ∆V
m
mv
qR
11. Un fascio di protoni entra nel campo elettrico
E = 5.000 V/m e magnetico B =
0, 5 T,
perpendicolari tra di loro , con la velocità perpendicolare ad entrambi
campi
⃗ E
⃗.
⃗v ⊥B⊥
I protoni non subiscono variazione della traiettoria. Quanto è
la velocità del fascio di particelle?
Soluzioni: Le particele non subiscono la deviazione della traiettoria quando si
bilanciano la forza elettrica e la forza di Lorentz
qE = qvB
E
5.000 V/m
v=
=
= 104 m/sec
B
0, 5 T
α di carica q = 3, 2×10−19 C e di massa q = 6, 68×10−27 kg
entra in un campo elettrico uniforme E = 8.000 V ed in un campo magnetico B
4
perpendicolari tra di loro. La velocità del fascio di particelle è v = 5×10 m/sec
12. Un fascio di particelle
perpendicolare ai campi. Le particelle non vengono deviate. determinare
•
valore del campo magnetico
•
le forze che agiscono sulle particelle
α
13. L'ago magnetico (la bussola) si orienta sempre nella direzione Nord-Sud lungo
il meridiano magnetico terrestre. Se vicino alla bussola mettiamo un solenoide
collegato alla batteria di 10 V, notiamo che la bussola si sposta così di formare
0
l'angolo di 45 con la posizione originale. Il solenoide è fatto di 20 spire ed è
lungo
10 cm.
La resistenza del solenoide è
R = 100 Ω.
Calcolare il valore del
campo magnetico terrestre.
l = 10 cm e percorsa dalla corrente I = 0, 2 A ed e
posta in un campo magnetico B = 0, 4 T. Calcolare il momento di forza sui lati
14. Una spira quadrata di lato
della spira quando il suo piano è
•
parallelo al campo
•
forma un angolo
•
è perpendicolare al campo
450
112
10.3 Induzione magnetica
10 MAGNETOSTATICA
10.3 Induzione magnetica
1. Un solenoide è costituito di
100
cm di lunghezza. Nel solenoide
B = 2, 5 · 10−2 T. Quanta corrente passa
spire per ogni
viene prodotto un campo magnetico
nel solenoide?
Soluzioni:
N
= 100 spire/cm = 104 spire/m
l
B
I=
4πk ′ n
2, 5 · 10−2 T
25
=
I=
A = 1, 9A
1
−7 N
12, 56
4 · 3, 14 · 10 A2 · 104 · m
n=
2. Un solenoide di lunghezza
l = 80 cm
500 spire. All'interno del
di 10 spire. Nella bobina viene
è costituito di
solenoide e ad esso coassiale è posta una bobina
E = 0, 2 V quando nell'interno del solenoide la corrente passa
un tempo t = 0, 02 sec. Determina l'area della bobina?
indotta una f.e.m.
da
20 A
a
5A
in
3. L'antenna dell'automobile è inclinata di
lunghezza di
50 cm.
300
gradi rispetto alla strada e ha la
L'automobile viaggia con la velocità di
campo magnetico terrestre è
B = 0, 28 Gauss.
v = 50 km/h.
Il
Calcolare la f.e.m. che si induce
nell'antenna?
4. Una spira di supercie
6, 5 T.
20 cm2
è immersa nel campo magnetico cotante
B =
All'inizio la spira e disposta perpendicolarmente alle linee di campo.
Determina la velocità di rotazione (velocità angolare) sapendo che, quando essa
compie un quarto di giro, la f.e.m
E = 0, 5 V.
l = 20 cm chiude una spira rettangolare dispoB = 0, 01 T. L'asta si
muove con la velocità v = 5 m/sec. Determina la sua resistenza elettrica se la
corrente indotta è I = 2 mA.
5. Un'asta conduttrice di lunghezza
sta perpendicolarmente ad un campo magnetico costante
Soluzioni:
Eind ≡ R · I = B · l · v
B·l·v
R=
I
10−2 T · 5 m/sec · 2 · 10−1 m
CV
R=
=5
= 5Ω
−3
2 · 10 A
AC
113