Compito di Fisica I

Compito di Fisica I - 26 Febbraio 2013
1. Una palla e’ lanciata orizzontalmente dalla cima di un poggio alto 120m con una velocità di
20m/s. (a) Calcolare il tempo di volo, la gittata del lancio e la velocità della palla quando urta il
terreno alla quota h = 0 m. (b) Determinare la variazione di gittata e del tempo di volo se il corpo
viene lanciato dallo stesso punto con velocità di stesso modulo ma angolazione 30° rispetto
all’orizzontale.
2. Sia data una forza conservativa F = -C(xi+yj) con C = 12 N/m. a) Determinare l’energia
potenziale della forza. Una massa m = 0.2 Kg passa per l’origine O del sistema di riferimento
con velocità v0 = v0j , v0 = 3 m/s; determinare: b) la massima distanza da O raggiunta dalla
massa m; c) l’equazione oraria del moto.
3. Un disco di massa M = 8kg e raggio R è posto sopra una
guida inclinata con angolo 30° all’asse del disco è
collegato un filo che sostiene la massa m = 6kg. Il filo è
M
teso con la massa m bloccata alla distanza h = 1.5m dal
suolo. All’istante t = 0 si lascia libera la massa m che inizia
m
a scendere, facendo contemporaneamente salire il disco
h
lungo la guida . Il moto del disco è di puro rotolamento.
Calcolare : (a) l’accelerazione con cui scende m; (b) la
velocità con cui la massa m tocca il suolo; (c) la quota massima raggiunta dal centro del disco
misurata rispetto alla quota che lo stesso centro aveva per t = 0.
4. Un serbatoio è posto all’ultimo piano di uno stabile, alla quota H = 35m. Le condutture che
forniscono acqua nei locali sottostanti hanno sezione 10cm2, mentre i rubinetti hanno sezione
5cm2. (a) Calcolare il tempo necessario per riempire un secchio di 15 litri che si trova in un
appartamento alla quota h = 15m. (b) Determinare la pressione differenziale nelle condutture
alla stessa quota, a rubinetto chiuso ed a rubinetto aperto.
O
C
5a. Un’asta sottile omogenea OB di massa m = 3 Kg e
lunghezza l = 70 cm è appesa in O ad un punto del soffitto (in
modo che possa ruotare liberamente attorno ad O), mentre
l’altro estremo B è collegato ad una funicella BC ,di uguale
B
lunghezza l; l’estremo C della funicella è anch’esso fissato al
soffitto in modo che il triangolo formato dai punti OBC sia
equilatero. a) Determinare la tensione della funicella. b) Determinare le componenti della
reazione vincolare in O. c) Ad un certo istante la funicella viene tagliata. Determinare
l’accelerazione angolare dell’asta nell’istante immediatamente successivo. d) Determinare la
velocità angolare dell’asta OB nell’istante, successivo al taglio della funicella, in cui passa per la
posizione verticale.
5b. Una mole di gas ideale monoatomico compie due trasformazioni reversibili, partendo da A,
caratterizzato da pA = 1 atm, VA = 12 dm3, con trasformazione isocora aumenta la pressione al
valore pB = 1.5 atm, compie quindi una espansione isoterma BC fino a tornare alla pressione
iniziale pC = pA. (a) Mostrare le trasformazioni in un grafico pV e determinare il lavoro ed il calore
compiuti nel processo. (b) Determinare la variazione di entropia nel processo.
Soluzioni
1. Equazioni del moto del proiettile in campo gravitazionale terrestre:
x(t) = v0x t ; y(t) = h + v0y t -1/2 g t2 ; vx=v0x ; vy=v0y –g t
(a) v0y = 0 v0x = 20m/s ; y(t) = h -1/2 g tc2 = 0 → tc = √(2h/g) =4.95s ; G1= v0x tc = 99m;
= + 2ℎ =52.5 m/s.
b) v0y = vosen(30°) = 10m/s v0x = vocos(30°) = 17.32m/s . Se i 30° sono calcolati in senso
orario: y(t) = h - voy t – ½g t2 = 0 → tc =4.035s; G2= v0x tc = 69.89m. Se sono considerati
in senso antiorario : y(t) = h + voy t – ½g t2 = 0 → tc =6.07s; G2= v0x tc = 105.13m.
2. (a) Calcolo il lavoro della forza F = -C(xi+yj) compiuto nello spostamento da due punti
generici A e B. Sia ds = dxi + dyj :
= = − + + = − − =
1
1
1
1
= − + − .
2
2
2
2
%
%
Tutte le funzioni del tipo : ", = $ + & + '()*+), soddisfano la
relazione : = ". − "/ = −∆" e sono quindi da considerarsi energia
potenziale della forza F.
(b) Il corpo di massa m si trova nel unto O(0,0) ed è caratterizzato da v0 = v0 j , quindi
diretta come l’asse y. Su esso agisce la forza F = -C(xi+yj). Inizialmente, poiché il corpo è
in O, la forza su esso è nulla. Il corpo quindi prosegue lungo l’asse y, dato che la sua
velocità iniziale è v0 = v0 j , per cui su esso comincia ad agire la forza elastica di
richiamo F = -Cyj ( x = 0 ). Il corpo diminuisce la sua velocità fino a raggiungere il punto
di massima elongazione P(0,ymax). Essendo la forza conservativa vale il principio di
%
%
2
conservazione dell’energia: 1 = 23
e quindi 23 = 4 = .
5
(c) F = ma → max = - Cx; may = - Cy. Date le condizioni iniziali x = 0 sempre, quindi ax =
5
0, mentre su y si ha moto armonico di pulsazione 6 = 4 → ) = 23 (,+6) .
2
3. (a) Il diagramma delle forze è riportato in figura. Equazioni cardinali:
7 − 8(,+9 − : = 8*
1 − 7 = 1*
1
*
:; = 8; 2
;
T
M
Mgsenθ
f
T
θ
mg
avendo considerato il disco come omogeneo (Icm
= ½ MR2 ) ed il moto di puro rotolamento, per cui l’accelerazione angolare è legata
all’accelerazione del sistema dalla legge: α = a/R. Risulta:
* =
2<=>?@A
C
D
2B =
= 1.091/( .
%
: = 8*
e quindi:
(b) L’equazione del moto del corpo di massa m è y(t) = h- ½ at2; v(t) = at, quindi la
velocità con cui tocca il suolo è = √2*ℎ = 1.81 m/s
(c) Il cilindro sale, rispetto alla quota iniziale di H = h senθ = 0.75m. Inoltre quando la
massa m raggiunge h = 0 il disco sale ulteriormente. Per il principio di conservazione
dell’energia meccanica: ½ Mv2 + ½ Iω2 = Mg∆H → ∆H = 3/4 v2/g = 0.25m. Quindi la
quota totale di cui sale è ∆Htot = 1m.
4. Siano v1,p1 velocità e pressione al serbatoio (quota H), v2,p2 idem nelle condutture
(quota h) e v3,p3 idem al rubinetto (quota h). (a) Al serbatoio posso considerare v1 = 0 e
p1 = patm. Applicando il teorema di Bernoulli tra 1 e 3 ottengo la velocità al rubinetto
I = 2J − ℎ =19.81m/s avendo posto p3 = patm . La portata volumica è data da: Q
K
= S3v3, il tempo necessario per riempire il secchio è 7 =
.
LC MC
(b) A rubinetto chiuso la velocità nel condutture è nulla: v2 = 0. Per il teorema di
Bernoulli la pressione differenziale risulta quindi: N − N3O2 = PJ − ℎ = 1.96x105
Pa. A rubinetto aperto abbiamo che velocità e pressione al rubinetto come al punto (a):
I = 2J − ℎ, p3 = patm. Poiché S2 ≠ S3 la velocità nella condutture è diversa quella
al rubinetto: per la costanza della portata vale infatti che S2v2 = S3v3 Applicando il
teorema di Bernouilli tra i punti 2 e 3 abbiamo: p2 + ½ rv22= p3+ ½ rv32 che ci porta a:
p2-patm = ρg(H-h)[ 1-(S2/S1)2] =1.47x105 Pa.
5a) In figura si mostra il diagramma delle forze sul corpo.
La figura forma un triangolo equilatero quindi θ = π/3. (a)
Equazione sui momenti all’equilibrio considerato il polo in
O:
Q
S
S
1 R'( = 7(,+ Q
2
3
3
Ricaviamo la tensione della fune: 7 =
2U
OU
V
C
Ry
L
O
Rx
θ
= 8.5N.
mg
θ
θ
T
(b) All’equilibrio la somma della forze applicate al sistema
deve essere nulla: SFi= 0 . Ricaviamo le componenti della
reazione vincolare in O → Rx = Tx = Tcos (π/3) = 4.25 N; Ry
= mg – Ty = mg – Tsen(π/3) = 22.5N.
(c) Quando taglio la fune l’equazione dei momenti, calcolati rispetto al polo O, diviene:
Y
Z
%
8 = WX → 1 R'( = 1Q X da cui si ottiene l’accelerazione angolare iniziale:
IU
Z
I
I
X = Y R'( I = 10.5 rad/s2.
(d) ω si ottiene applicando il principio di conservazione dell’energia tra la condizione
%
Y
Y
iniziale e quella finale 1ℎ = W6 (quota iniziale ℎ = − (,+9 , finale è h = 0).
5b. (a) Le due trasformazioni reversibili AB e BC sono mostrate nel grafico pV a fianco. Il
lavoro totale è dato dalla soma del lavoro compiuto nelle due trasformazioni. Nella
trasformazione AB esso è nullo, perché essa avviene mantenendo costante il volume
del gas. Nella trasformazione isoterma è 5 =
p
K
K^
B
N\
=
;7
]+
$
&
avendo
considerato
l’equazione
[K5
pB
K_
dei gas perfetti pV = nRT con n = 1 . Calcoliamo 7 =
= 219 K e \5 =
bc^
`a
739.33 J.
3
`^ Ka
b
= 18dm e otteniamo W = WBC =
A
pA
C
(b) Per il primo principio della termodinamica il calore
VA
VB V
scambiato nell’isocora è QAB = ∆UiAB = ncV(TB-TA) con cv =
` K
3/2 R e 7 = a a = 146.28 K → QAB = 911.7 J. Per lo
b
stesso principio il calore scambiato nell’isoterma è pari al lavoro scambiato nella stessa
trasformazione: QBC = WBC quindi Q=QAB + QBC = 1651J.
(c) Variazione di entropia nelle trasformazioni AB:
ef
∆d = [
c
@gh ec
= [
c
I
c
5 ef
= ; ]+ $ ^ & = 5.05 J/K; ∆d5 = [
c
a
3.37 J/K. Variazione totale: ∆d = ∆d + ∆d5 = 8.42k/l .
c
=
f^_
c^
K
= ; ]+ $ _ & =
K^