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1.3 La scoperta dell’incommensurabilità
Mappa dell'Unità
Definizione 1.3.1
Due numeri `a` e `b` sono detti commensurabili se esiste un sottomultiplo comune a entrambi, ossia se esistono due
numeri `c` e `d` tali che `a/c=b/d`. Sono detti incommensurabili altrimenti.
Il sottomultiplo comune ad `a` e `b` è proprio il numero `a/c=b/d`. Se due numeri sono commensurabili allora è
possibile esprimere una delle due grandezze in funzione dell'altra semplicemente moltiplicandola per un numero
razionale, cioè calcolando `a=b/d*c`.
Si considerino ad esempio i numeri `a=3/7` e `b=11/4`. Prendendo `c=12` e `d=77` si ha proprio `a/c=b/d`, in quanto
`a/c=(3/7)/12=1/28` e `b/d=(11/4)/77=1/28`. Tali numeri sono dunque commensurabili e il loro sottomultiplo comune è
`1/28`.
Se due numeri non sono commensurabili, ossia se non hanno un sottomultiplo comune, allora sono detti
incommensurabili. La definizione appena data riguarda la commensurabilità tra numeri, ma ai tempi dei greci la
commensurabilità veniva intesa in ambito geometrico tra segmenti. In tal caso per definire la commensurabilità si ricorre
al concetto di multiplo e sottomultiplo di un segmento.
Definizione 1.3.2 (multiplo di un segmento)
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Dato `n in NN` si indica con `AB~=nCD` il segmento `AB` congruente a `CD+CD+...+CD`(`n`volte). `AB` è multiplo di
`CD`.
Definizione 1.3.3. (sottomultiplo di un segmento)
Si indica con `AB~=1/nCD` il segmento `AB` tale che `CD~=AB+AB+...AB`( `n` volte).
Due segmenti sono detti commensurabili, in maniera del tutto analoga a quanto detto per due numeri, se essi hanno
un sottomultiplo comune. Il problema, dati due segmenti `AB` e `CD`, è quello di determinare un segmento `EF`, più
piccolo di entrambi, che stia un numero intero di volte sia in `AB` che in `CD`.
Definizione 1.3.4
Due segmenti `AB` e `CD` sono commensurabili se esistono due numeri naturali `m` ed `n` tali che `1/mAB~=1/nCD`. Il
segmento cercato sottomultiplo di entrambi è `EF~=1/mAB~=1/nCD`.
E' nel periodo della scuola Pitagorica che viene scoperta l'incommensurabilità di grandezze, ossia l'esistenza di
grandezze dello stesso tipo che non possono avere un sottomultiplo comune. Ciò avviene in seguito all'applicazione del
teorema di Pitagora al lato e alla diagonale di un quadrato.
Teorema 1.3.5
Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono incommensurabili.
DIMOSTRAZIONE
Siano `m` la diagonale di un quadrato e `n` il suo lato.
Si supponga, per assurdo, che esse siano grandezze commensurabili. Semplificando la frazione `m/n` si ottiene la
frazione `a/b`, in cui `a` e `b` sono numeri interi non ulteriormente semplificabili, dunque essi non hanno alcun fattore in
comune. Per il teorema di Pitagora si ha `a^2=b^2+b^2=2b^2`.
Da ciò segue che `a^2` è un numero pari e quindi anche `a` è un numero pari.
1) Visto che `a` è pari e la frazione `a/b` è ridotta ai minimi termini allora `b` dev'essere dispari.
2) Visto che `a` è pari può essere scritto nella forma `a=2c`, da cui segue che `a^2=4c^2`. Ma `a^2=2b^2`, quindi si ha
che `2b^2=4c^2`. Semplificando si ha `b^2=2c^2`, quindi `b^2` è un numero pari e quindi `b` è pari.
Da 1) si è concluso che `b` è dispari. Da 2) si è concluso che `b` è pari. Un numero non può essere sia pari che
dispari, quindi l'ipotesi che `m` e `n` siano commensurabili è falsa.
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La scoperta che esistono segmenti incommensurabili ebbe una grande importanza riguardo alla concezione degli enti
geometrici. La scuola pitagorica considerava il punto come un "atomo" (dal greco indivisibile), unità originaria e
fondamentale, e chiamarono questa particella mònade. Tali particelle, in grandissima quantità, formavano ogni oggetto
dell'intero universo. Nell'ambito geometrico gli enti primitivi erano costituiti da punti indivisibili, immaginati come fossero
delle piccolissime palline. Un segmento era dunque formato, secondo la loro concezione, da un numero enorme di punti
piccolissimi, ma che comunque erano in numero finito. Ragionando in questo modo non esistono grandezze
incommensurabili, in quanto due segmenti avranno sempre un sottomultiplo comune, che sarebbe, appunto, il
punto-mònade.
Quando venne scoperta l'esistenza di grandezze incommensurabili venne messa in crisi la concezione geometrica
della scuola pitagorica. La leggenda narra di Ippaso di Metaponto, pitagorico, che divulgò l'esistenza di grandezze
incommensurabili, conoscenza che sarebbe dovuta rimanere all'interno della setta. Fu giudicato empio e bandito dalla
città e per volere di Zeus morì in naufragio. Proclo scrive: "I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria
vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale,
completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anime si rivolge ad un tale aspetto della
vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza
pace".
La scoperta delle grandezze incommensurabili fu probabilmente vissuta all'inizio come un trauma: esso mostrava
l'impurità della matematica, che invece avrebbe dovuta essere pura ed esente da difetti. Successivamente questa
scoperta portò invece a concepire la geometria ad un maggiore livello di astrazione. Se infatti si è dimostrata
razionalmente l'esistenza di grandezze incommensurabili non ci si può più riferire agli enti geometrici come un mezzo
per rappresentare la realtà delle cose. E' necessario considerare il punto come un ente astratto, e non più come la
rappresentazione di un oggetto reale. E' così che in geometria le rette iniziano a essere considerate senza larghezza
e i piani senza spessore.
Si passa dalle imperfezioni del mondo reale alla perfezione della geometria razionale. Tale scoperta portò inoltre a
considerare la geometria e le sue costruzioni con riga e compasso come l'essenza della precisione, e la geometria
venne considerata superiore all'aritmetica. Questa concezione la si può riscontrare successivamente in Euclide e in tutto
il periodo aureo della matematica greca.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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