Scuola Superiore di Catania
Corso specialistico
“Completamenti e serie di potenze”
a.a. 2013-2014
Coordinatore Marco D’Anna
Università degli Studi di Catania
Obiettivi del corso:
1) Fare acquisire agli studenti delle conoscenze di algebra commutativa
(non contenute nel corso Istituzioni di Algebra Superiore) che mostrino
l'interdisciplinarietà' di questa materia: in particolare,i completamenti e le serie di
potenze hanno applicazioni e collegamenti con la topologia, la geometria algebrica, la
teoria dei numeri e l'analisi.
2) Dare strumenti per affrontare problemi di ricerca, su anelli uno-dimensionali e sulla
teoria delle singolarita' delle varieta' algebriche (principalmente delle curve.
Programma
Introduzione: motivazioni algebrico-geometriche, analitiche e di teoria dei numeri.
Gruppi,
anelli
e
moduli
topologici.
Filtrazioni
e
topologia.
Successisoni di Cauchy e completamento. Sistemi inversi e limiti inversi.
Successioni
coerenti
e
seconda
definizione
di
completamento.
Equivalenza tra le due definizioni. Completamenti e successioni esatte.
Lemma di Hensel.
Completamenti e anelli Noetheriani. Lemma di Artin Rees. I- filtrazioni
ed
I-filtrazioni
stabili.
Anelli
graduati
associati
ad
una
filtrazione.
Teorema di Krull e sue conseguenze. Completamento di anelli locali.
A noetheriano implica A[[X]] Noetheriano. Teorema di struttura di Cohen.
Mappe da anelli di serie di potenze. Teorema di
Teorema di preparazione di Weierstrass. Divisibilità
potenze. Applicazioni alle singolarità di curve algebriche.
divisione di Weierstrass.
negli anelli di serie di
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