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1
r
Qint

Φ Schiusa ( E ) = ε
0

r
Φ Schiusa ( B ) = 0

r
 r
dΦ S ( B )
C ( E ) = −
dt

r
 r
dΦ S ( E )
)
C ( B ) = µ o ( I + ε 0
dt

2
grandezza
definizione
Forza di Coulomb
Interazione elettrostatica tra
cariche puntiformi
Campo elettrico
Rapporto tra forza elettrica
agente su una carica di prova
q e la carica di prova stessa.
E’ funzione del punto e
dipende dalle caratteristiche
della sorgente
Unità di
misura
formula
r
QQ
F = k 12 2
r
1
k=
4πε 0 ε r
r
r F
E=
q
N
Casi particolari:
generato da una carica puntiforme:
r
Q
E =k 2
r
r
Qr
E=k 3r
r
N V
,
C m
generato da un piano infnito
r
E =
σ
2ε 0 ε r
U ( P) = L PP
0
Caso particolare:
Energia potenziale
elettrostatica
Lavoro compiuto dalla forza
elettrostatica per portare una
carica q dal punto in cui si
trova al punto P0 scelto come
riferimento
energia di una carica q soggetta all’azione di una carica
puntiforme Q:
U =k
J
energia di una carica q soggetta all’azione di una carica
puntiforme Q con il riferimento scelto all’infinito:
U =k
V =
Potenziale elettrostatico
Qq
Qq
−k
r
r0
Qq
r
U
q
Caso particolare:
Rapporto tra energia
potenziale di una carica di
prova q e la carica di prova
stessa
Potenziale di una carica puntiforme Q:
P al punto P0 scelto come
riferimento
Potenziale di una carica puntiforme Q con il riferimento
all’infinito:
Q
Q
V = k −k
r
r0
Lavoro del campo elettrico da
V =k
Q
r
J
, V
C
3
C=
Capacità elettrica di un
conduttore
Q
V
Costante di proporzionalità
tra carica Q e il potenziale V
C
, F
V
Caso particolare:
Capacità di una sfera di raggio R:
C = 4πε 0 ε r R 2
Q
C=
∆V
Costante di proporzionalità
tra carica Q e la differenza di
potenziale tra le armature
Caso particolare:
Capacità di un condensatore piano con armature di area S
distanti d:
C=
C
, F
V
Sε 0 ε r
d
W = Ltotale
N
1
W = ∑ ε 0 ε r Ei2 τi
i =1 2
Casi particolari:
Energia elettrostatica
Lavoro necessario a creare
una data configurazione di
cariche
Energia elettrostatica di un sistema costituito da N cariche
puntiformi:
Qi Q j
1 N
W =
k
∑
2 i , j =1( i ≠ j )
rij
J
Energia elettrostatica di un condensatore
1
1
Q2
2
W = Q∆V = C∆V =
2
2
2C
Teorema o proprietà
Enunciato
Il campo elettrostatico generato da N sorgenti in
un punto è la somma vettoriale dei campi che
ciascuna sorgente genererebbe nel punto se fossa
da sola.
Formula
M
r N r
Qr
E = ∑ Ei = ∑ k 3i ri
ri
i =1
i =1
nel continuo
r
dQ r
E = ∫k 3 r
r
Q
Principio di sovrapposizione
degli effetti
N
V = ∑ Vi
i =1
Il potenziale elettrostatico prodotto da N sorgenti
in un punto è la somma algebrica dei potenziali
che ciascuna sorgente produrrebbe nel punto se
fosse da sola.
Nel continuo
V = ∫k
Q
dQ
r
4
r
r
V = ∑ Ei ⋅ ∆ri
i =1
r r
V ( P ) = ∫ E ⋅ dr
N
Legame campo potenziale
Il potenziale in un punto P è il lavoro del campo
da P al punto P0 scelto come riferimento
Conseguenze immediate:
il campo è perpendicolare alle superfici
equipotenziali
il campo va da potenziali maggiori a
potenziali minori
Teorema di Gauss nel vuoto
(1° equazione di Maxwell)
Il flusso del campo elettrostatico nel vuoto,
attraverso una superficie chiusa è la somma delle
cariche interne fratto la costante dielettrica del
vuoto
Teorema di Coulomb
Immediatamente fuori da un conduttore in
equilibrio elettrostatico, nel vuoto, il campo è
perpendicolare alla superficie e di modulo pari al
rapporto tra la densità superficiale di carica e la
costante dielettrica del vuoto
3° equazione di Maxwell nel
caso stazionario
Il campo elettrostatico è conservativo, in
particolare il lavoro su un qualunque percorso
chiuso è nullo.
Condensatori in serie:
il reciproco della capacità equivalente è la
somma dei reciproci delle singole capacità
Condensatori in parallelo:
la capacità equivalente è la somma delle singole
capacità
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Nel caso semplice
monodimensionale
E x = −V ' ( x)
r
Q
Φ Schiusa ( E ) = int erna
ε0
r σ r
E= n
ε0
σ
E=
ε0
r
C(E) = 0
r r
E
∫ ⋅ dr = 0
1
1
1
=
+
+ ...
Ceq C1 C 2
Caso particolare
N condensatori identici con capacità C
C
N
Ceq = C1 + C 2 + ...
Ceq =
Capacità equivalenti
1)
PP0
Caso particolare
N condensatori identici con capacità C
Ceq = NC
Dai la definizione di capacità elettrica di un condensatore. Scrivi l’espressione della capacità di
un condensatore piano nel vuoto e spiega come varia quando si inserisce un dielettrico tra le
armature.
Dai la definizione di campo elettrostatico, specificando l’unità di misura. Spiega cosa sono le
linee di campo e in che senso danno informazioni sul campo.
Spiega cos’è l’energia elettrostatica di un sistema di cariche e scrivine l’espressione per un
condensatore con carica Q, posto ad una differenza di potenziale ∆V. Ricava l’espressione
dell’energia elettrostatica in funzione del campo elettrico.
Illustra e dimostra le proprietà di conduttore in equilibrio elettrostatico
Dai la definizione di potenziale elettrostatico e specifica in che modo è legato al campo
elettrico.
Enuncia il teorema di Gauss e spiega perché le cariche interne non danno contributo al flusso.
Spiega cosa si intende per collegamenti tra condensatori in serie e in parallelo. Scrivi e
dimostra le espressioni della capacità equivalente.
5
8) Descrivi il campo elettrico generato da un piano infinito carico uniformemente.
…..
ESERCIZI 1 e 2:
campo elettrico generato da una carica puntiforme:
potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme:
principio di sovrapposizione degli effetti
1) Quattro cariche identiche di valore +Q sono disposte ai vertici di un
quadrato di lato L. Determina il campo elettrico ed il potenziale da esse
generato:
a) al centro del quadrato
b) nel punto medio di un lato del quadrato
2) Due cariche +Q e –Q sono poste a distanza 2d. Determina il campo
elettrico ed il potenziale da esse generato in un generico punto P
dell’asse del segmento congiungente le due cariche, in funzione della
distanza x dal segmento. Rappresenta in un riferimento cartesiano
l’andamento delle due funzioni ottenute
+Q
•
•+Q
+Q
•
•+Q
P
x
+Q
• -Q
•
ESERCIZI 3 e 4:
Definizione di flusso di un campo vettoriale
Teorema di Gauss per il campo elettrico
3) Una sfera di raggio R è carica con carica +Q uniformemente distribuita nel volume. Determina
il campo elettrico da essa generato in funzione della distanza dal centro. Rappresenta in un
riferimento cartesiano il grafico della funzione ottenuta.
4) Una cilindro infinito di raggio R è carico uniformemente con densità superficiale -σ. Determina
il campo elettrico da essa generato in funzione della distanza dall’asse. Rappresenta in un
riferimento cartesiano il grafico della funzione ottenuta.
ESERCIZIO 5:
Campo generato da un piano infinito
Linee di campo
Principio di sovrapposizione degli effetti
Legame tra campo elettrico e potenziale elettrostatico
+2σ
+σ
5) Considera i tre piani infiniti in figura. Determina in funzione
della posizione il campo elettrico da essi generato e riporta
l’andamento in un sistema di riferimento cartesiano. Ponendo
come punto di riferimento per il potenziale il punto O, determina
il potenziale elettrostatico in funzione della posizione e
rappresenta la funzione ottenuta in un riferimento cartesiano.
d
2d
O
ESERCIZIO 6:
Campo e potenziale in un condensatore
Forza elettrica
2° principio della dinamica
6) Un condensatore ha armature quadrate di lato L poste a
distanza D (con D<<L). Determina il campo elettrico al suo
interno quando tra le armature c’è una differenza di
potenziale ∆V e rappresentane le linee di campo. Considera
ora un elettrone che entra all’interno del condensatore con
una velocità orizzontale (come riportato in figura),
trascurando la forza peso determina la traiettoria descritta.
Determina inoltre la minima velocità affinché la carica
++++++++++++++++
e-----------------------
−σ
6
riesca ad uscire dal condensatore senza urtare contro le armature (in funzione dei dati forniti e
della massa e carica dell’elettrone). Cosa cambia se nel condensatore si inserisce un protone?
ESERCIZIO 7:
Potenziale in una distribuzione di carica
Energia potenziale di una carica elettrica
Principio di conservazione dell’energia
7) Un anello di raggio R è carico uniformemente con una carica +Q. Ad una distanza 2R dal centro
dell’anello, perpendicolarmente al piano si trova una carica positiva +q di massa m. Determina
quanto deve valere la velocità v0 con la quale la carica viene lanciata verso l’anello affinché
riesca ad oltrepassarlo. Che tipo di moto descriverà la carica ?
2R
+q
ESERCIZI 8,9:
Teorema di Gauss
Proprietà dei conduttori
Teorema di Colulomb
8) Una sfera conduttrice di raggio R1 carica con carica +Q si trova all’interno di un guscio sferico,
anch’esso conduttore di raggi interno ed esterno rispettivamente pari a R2 e R3. Determina, in
funzione della distanza dal centro, il campo elettrico generato da tale distribuzione e rappresenta
la funzione trovata. Determina inoltre le cariche indotte sul guscio sferico.
9) Una sfera conduttrice di raggio R è carica con carica +Q, tramite un filo
conduttore molto lungo, di capacità trascurabile viene collegata ad una
sfera inizialmente scarica di raggio 2R. Dopo una fase transitoria si
stabilisce l’equilibrio. Determina la carica presente su ciascuna delle due
sfere e il campo elettrico in prossimità di ciascuna delle due sfere.
ESERCIZIO 10:
Teorema di Gauss
Capacità di un condensatore
10) Un condensatore sferico si può pensare come costituito da due sfere concentriche di raggi
rispettivamente a e b, cariche con cariche opposte. Determina la capacità, in funzione della
geometria.
ESERCIZI 11, 12:
Definizione di capacità
Collegamenti tra condensatori e capacità equivalenti
11) Tre condensatori di capacità rispettivamente C1=8 µF, C2=6 µF e C3=4 µF, sono collegati come
in figura.
C2
C1
A
B
C3
Calcola la capacità equivalente del sistema. Determina la carica presente su ciascun
condensatore quando tra i punti A e B c’è una differenza di potenziale ∆V=12 V.
7
12) Tre condensatori di capacità rispettivamente C1=8 µF, C2=6 µF e C3=4 µF, sono collegati come
in figura.
C2
C
1
A
B
C3
Calcola la capacità equivalente del sistema. Determina la carica presente su ciascun
condensatore quando tra i punti A e B c’è una differenza di potenziale ∆V=12 V.
ESERCIZI 13, 14:
Definizione di capacità
Collegamenti tra condensatori e capacità equivalenti
Polarizzazione e costante dielettrica relativa
13) Un condensatore piano ha armature di superficie S poste a distanza d ed è
riempito per metà di dielettrico, come rappresentato in figura. Calcola la
capacità elettrica del condensatore, sapendo che la costante dielettrica
relativa del materiale inserito è εr. Specifica le caratteristiche dei due
condensatori collegati in serie equivalenti al condensatore in figura.
14) Un condensatore piano ha armature di superficie S poste a distanza d ed è
riempito per metà di dielettrico, come rappresentato in figura. Calcola la
capacità elettrica del condensatore, sapendo che la costante dielettrica
relativa del materiale inserito è εr.. Specifica le caratteristiche dei due
condensatori collegati in parallelo equivalenti al condensatore in figura.
8
grandezza
Intensità di corrente
Resistenza elettrica
definizione
Rapporto tra la quantità di
carica Q che attraversa una
sezione in un intervallo di
tempo infinitesimo ∆t e
l’intervallo di tempo stesso
Costante di proporzionalità
tra differenza di potenziale ai
capi di un resistore e intensità
di corrente
I = lim
∆t → 0
Forza elettromotrice
∆Q
∆t
I = Q'
Caso particolare:
corrente stazionaria
R=
I=
∆Q
∆t
∆V
I
Caso particolare:
conduttore di lunghezza l e sezione costante S:
R=ρ
Lavoro compiuto dal
generatore per spostare una
carica positiva unitaria dal
polo positivo a quello
negativo.
Differenza di potenziale ai
capi del generatore a circuito
aperto.
Lavoro del campo
elettromotore
Unità di
misura
formula
C
, A
s
V
, Ω
A
l
S
fem = ∆Vgeneratore ideale
fem = f 0 sin( ωt + α 0 )
f0
fem
=
Valore efficace
2
I = I 0 sin( ωt + α 0 )
I0
Valore efficace I =
2
V
fem alternata
Forza elettromotrice con
andamento sinusoidale
Intensità di corrente
alternata
Intensità di corrente con
andamento sinusoidale
Impedenza
Costante di proporzionalità
tra differenza di potenziale e
intensità di corrente in un
circuito alternato, studiato
con la notazione complessa
1 

Z = R + i  ωL −

ωC 

Ω
Reattanza
Coefficiente immaginario
dell’impedenza
1 

X =  ωL −

ωC 

Ω
Teorema o proprietà
Enunciato
Formula
V
A
9
1° legge di Ohm
2° legge di Ohm
1° legge di Kirkhhoff
2° legge di Kirkhhoff
Potenza dissipata per effetto
Joule
Potenza erogata dal generatore
Resistenze equivalenti
In un conduttore attraversato da
corrente, differenza di potenziale ai capi
e intensità di corrente sono direttamente
proporzionali. La costante di
proporzionalità si chiama capacità
elettrica e dipende dal conduttore.
In un conduttore rettilineo a sezione
costante la resistenza è direttamente
proporzionale alla lunghezza e
inversamente alla sezione, la costante di
proporzionalità dipende dal materiale e
dalla temperatura.
La somma delle intensità di correnti
entranti in un nodo è uguale alla somma
di quelle uscenti.
Considerando positive le intensità di
corrente entrante e negative quelle
uscenti, la somma algebrica delle
intensità di correnti di un nodo è nulla
In una maglia la somma algebrica delle
differenze di potenziale è nulla.
Un conduttore attraversato da corrente
si scalda, la potenza dissipata è il
prodotto tra la differenza di potenziale
ai capi e l’intensità di corrente.
Un generatore di forza elettromotrice
fem, che fa circolare una corrente di
intensità I, eroga una potenza data dal
prodotto tra fem e I
Resistori in serie:
la resistenza equivalente è la somma
delle singole resistenze
∆V = RI
R=ρ
l
S
 N 
=0
 ∑ Ii 
 i =1  nodo
 N

=0
 ∑ ∆Vi 
i
=
1

 maglia
PJoule = ∆VI
∆V 2
= RI =
R
2
P = fem ⋅ I
Req = R1 + R2 + ...
Caso particolare
N resistori identici con resistenza R
Req = NR
Resistori in parallelo:
il reciproco della resistenza equivalente
è la somma dei reciproci delle singole
resistenze
1
1
1
=
+
+ ...
Req R1 R2
Caso particolare
N resistori identici con resistenza R
Req =
La differenza di potenziale (complessa
∆V = ∆V0 e i ( ωt +α oV ) ) ai capi di un
Legge di Ohm generalizzata
per i circuiti RLC in corrente
alternata in notazione
complessa
circuito in corrente alternata è
direttamente proporzionale all’intensità
di corrente (complessa
R
N
∆V = ZI
Passando alle ampiezze a alle fasi:
∆V0 = I 0
1 

R +  ωL −

ωC 

2
2
I = I 0 e i ( ωt +α 0 I ) ).
tan ∆α = tan( αV − α I ) =
ωL −
R
1
ωC
10
Pulsazione di risonanze
Pulsazione che deve avere un circuito
RLC per comportarsi come circuito
puramente resistivo, con massima
intensità e sfasamento nullo
ω=
1
LC
1) Dai la definizione di intensità di corrente.
2) Dai la definizione di resistenza elettrica, spiega da cosa dipende la resistenza elettrico di un
conduttore a sezione costante.
3) Illustra il modello classico di conduzione e specifica
4) Enuncia la seconda legge di Ohm. Da cosa dipende la resistività elettrica? Giustifica la tua
risposta alla luce del modello classico di conduzione.
5) Enuncia le leggi di Kirchhoff, specificando cosa sono i nodi e le maglie di un circuito.
6) Considera i seguenti simboli: indica quali elementi di un circuito
rappresentano, specifica qual è la grandezza fisica che li caratterizza
con la relativa unità di misura e come è legata alla differenza di
potenziale agli estremi dell’elemento stesso.
7) Descrivi l’effetto Joule. Scrivi e dimostra l’espressione della potenza
dissipata. Commenta le seguenti affermazioni, specificando se sono
vere o false:
a) L’energia dissipata in un resistore per effetto Joule è direttamente proporzionale
all’intensità di corrente che circola nel resistore
b) La potenza dissipata per effetto Joule è direttamente proporzionale al tempo di
funzionamento del resistore.
8) Spiega cosa si intende con collegamento in serie e in parallelo per i condensatori. Scrivi e
dimostra le espressioni delle capacità equivalenti.
9) Spiega qual è la funzione di un generatore e dai la definizione di forza elettromotrice. Perché
la differenza di potenziale ai capi di un generatore reale non è uguale alla forza
elettromotrice ?
10) Descrivi il circuito di carica e scarica di un condensatore
11) Dai la definizione di impedenza di un circuito.
12) Enuncia la legge di Ohm per i circuiti in corrente alternata. Spiega il significato di tutti i
termini.
ESERCIZI 15, 16, 17:
Prima legge di Ohm
Collegamenti tra resistori e resistenze equivalenti
R1
15) Tre resistori di resistenza rispettivamente R1=20 Ω,
R2=15 Ω e R3=30 Ω, sono collegati come in figura.
R2
A
B
Calcola la resistenza equivalente del sistema.
Determina l’intensità di corrente che circola in ogni
resistore sapendo che tra i punti A e B c’è una
differenza di potenziale ∆V=12 V.
R3
R1=10Ω
R2=20 Ω
B
R4=15 Ω
R3=10 Ω
16)
Calcola l’intensità di corrente che circola in ogni ramo
del circuito a fianco.
fem=12 V
11
17)
Determina la resistenza equivalente del circuito in
figura. Determina l’intensità di corrente che circola nella
resistenza di 5Ω.
2Ω
5Ω
12 V
3Ω
1Ω
ESERCIZI 18, 19:
Seconda legge di Ohm
Collegamenti tra resistori e resistenze equivalenti
4Ω
8Ω
18)
Un filo di rame di resistenza R=10 Ω viene diviso in
tre parti uguali, tali parti vengono ricollegate tra loro in modo che gli estremi siano comuni. Quanto
vale la resistenza del nuovo resistore?
19)
Un filo d’argento e un filo di rame hanno la stessa resistenza elettrica e lo stesso volume.
Trova il rapporto tra i loro raggi sapendo che le resistività dell’argento e del rame sono
rispettivamente: ρAg= 1,6 ⋅ 10 −8 Ωm , ρCU= 1,7 ⋅ 10 −8 Ωm
ESERCIZI 20:
Forze elettromotrice
Leggi di Kirkhhoff e risoluzione di un circuito
R1
R2
fem4
fem1
fem2
20)
Individua i rami del circuito a fianco. Applicando il metodo
delle correnti di ramo scrivi le equazioni risolventi del circuito a
sinistra.
R5
R3
fem3
R6
R4
12
Unità di
misura
grandezza
definizione
formula
Forza di Lorentz
Forza agente su una carica q in
r
moto con velocità v in una
regione in cui è presente un
r
r r
F = qv ∧ B
r
campo magnetico B
N
r r
r
r r r
F = qv ∧ B ; F = Il ∧ B
Casi particolari:
Campo generato da un filo infinito percorso da
corrente di intensità I (Legge di Biot-Savart)
Campo magnetico o
vettore induzione
magnetica
Perturbazione dello spazio
dovuta a sorgenti magnetiche,
definibile attraverso un ago
magnetico e una carica in moto
o una corrente, secondo la forza
di Lorentz o la 2° formula di
Laplace
B=
µ0 I
2πr
Campo generato da una spira di raggio R percorsa da
corrente di intensità I in un punto dell’asse:
µ 0 IR 2
B=
3
2 2
2( z + R )
2
Ns
,
Cm
Wb
,
m2
T
Campo generato da un solenoide infinito con n spire
per unità di lunghezza, attraversato da corrente di
intensità I:
B = µ 0 nI
()
Coefficiente di
autoinduzione
Costante di proporzionalità tra
il flusso magnetico attraverso
un circuito e l’intensità di
corrente
r
ΦB
L=
I
Caso particolare:
Autoinduttanza di un solenoide di lunghezza l,
sezione S e N spire
µ 0µ r N 2 S
L=
l
Coefficiente di
mutuainduzione
Costante di proporzionalità tra
il flusso magnetico generato da
un circuito 1 attraverso un
circuito 2 e l’intensità di
corrente che circola nel circuito
1 o viceversa
r
r
Φ 2 ( B1 ) Φ 1 ( B2 )
M =
=
I1
I2
Momento magnetico di
una spira
Prodotto tra l’intensità di
corrente e il vettore superficie
della spira con verso del pollice
quando la mano destra si
chiude nel verso della corrente
r
r
m = IS
Energia magnetica
Lavoro necessario a creare una
Wb Tm 2
,
A
A
Ωs; H
Wb Tm 2
,
A
A
Ωs; H
Am 2
W = Ltotale
J
13
data configurazione di correnti
e quindi di campo magnetico
N
W =∑
i =1
1
Bi2 τi
2µ 0 µ r
Casi particolari:
Energia magnetica di un circuito di induttanza L
percorso da corrente di intensità I
W =
1 2
LI
2
Teorema o proprietà
Enunciato
Formula
1° Formula di Laplace
Il campo magnetico generato da un circuito
percorso da corrente di intensità I è la somma dei
campi infinitesimi generati dai tratti di filo
Nel continuo:
r
r N µ 0 li ∧ rri
B=∑ I 3
ri
i =1 4π
r r
r
∧r
Id
l
µ
B=∫ 0
4π
r3
Caso particolare:
La forza agente su un filo rettilineo percorso da
corrente di intensità I, immerso in un campo
2° Formula di Laplace
r
magnetico uniforme B è il prodotto vettoriale tra
r r
Il e B ;
se il filo non è rettilineo o il campo non è uniforme,
la forza è la somma vettoriale delle forze
infinitesime
Caratteristiche del moto di
una carica in un campo
magnetico uniforme
Teorema di Gauss
Teorema della circuitazione
di Ampère
Momento meccanico
Il moto di una carica in un campo magnetico
uniforme è un moto uniforme:
- rettilineo se la velocità è parallela al campo
- circolare se la velocità è perpendicolare al
campo
- elicoidale in generale
Il flusso del campo magnetico attraverso un
superficie chiusa è nullo
La circuitazione del campo magnetico è il prodotto
tra la permeabilità magnetica e la somma algebrica
delle intensità di correnti concatenate
Una spira percorsa da corrente di intensità I,
immersa in un campo magnetico subisce l’azione di
forze magnetiche che producono un momento
torcente dato dal prodotto vettoriale tra il momento
magnetico della spira e il vettore induzione
magnetica
forza agente su un filo rettilineo
immerso in un campo uniforme
r r
r
F = Il ∧ B
r N r r
F = ∑ Ili ∧ Bi
i =1
Nel continuo:
r r
r
F = ∫ Idl ∧ B
r r
v⊥B
R=
Casi particolari:
mv
qB
T =
2πm
qB
r r
r
v = v ⊥ + v //
R=
2πmv //
mv ⊥
P=
qB
qB
r
Φ Schiusa ( B ) = 0
r
C ( B) = µ 0 I concatenate
r r r
M =m∧B
14
1) Scrivi l’espressione della forza a cui è soggetta una carica in un campo magnetico,
specificando il significato di tutti i termini. Descrivi il moto di una carica che si muove in
un campo magnetico uniforme con velocità perpendicolare al campo stesso, dimostra le
relazioni quantitative scritte.
2) Dai la definizione di circuitazione di un campo vettoriale. Enuncia i teoremi relativi alla
circuitazione del campo elettrostatico e magnetostatico.
3) Dai la definizione di circuitazione di un campo vettoriale, scrivine l’espressione
specificando il significato di tutti i termini. Indica quali sono le unità di misura della
circuitazione del campo elettrico e del campo magnetico. Enuncia i teoremi relativi alla
circuitazione per il campo elettrico e magnetico, specificando in quali casi sono validi.
4) Scrivi l’espressione della forza di Lorentz specificando il significato di tutti i termini. Indica,
fornendo un’esauriente motivazione, le caratteristiche del moto di una carica immersa in un
campo magnetico. Specifica quali sono le possibili traiettorie descritte nel caso di campo
uniforme.
r
5) Scrivi l’espressione della forza a cui è soggetta una carica q in un campo elettrico E e
r
quella in un campo magnetico B (spiega il significato di tutti i termini)
r
r
6) Dai la definizione di campo elettrico E e di vettore induzione magnetica B , specificando
per ciascuno almeno due unità di misura.
7) Spiega cosa sono le linee di campo di un generico campo vettoriale, specificando quali
informazioni forniscono sul campo stesso.
8) Indica le caratteristiche delle linee di campo elettrico e magnetico.
9) Dai la definizione di coefficiente di mutua induzione.
10) Scrivi le possibili espressioni dell’energia magnetica e spiega di cosa si tratta.
11) Descrivi il possibile comportamento magnetico della materia, distinguendo tra materiali
lineari e non lineari
12) Descrivi il ciclo di isteresi magnetica.
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ESERCIZI 21:
Legge di Biot-Savart
Principio di sovrapposizione degli effetti
21) Quattro fili infiniti percorsi da correnti di intensità I sono disposti ai vertici di
un quadrato di lato L, come in figura. Determina il campo magnetico da essi
generato:
a) al centro del quadrato
b) nel punto medio di un lato del quadrato
•
•
⊗
⊗
ESERCIZIO 22:
Circuitazione di un campo vettoriale
Teorema della circuitazione di Ampère
22) Un filo infinito di raggio R è percorso da corrente di intensità I uniformemente distribuita nella
sua sezione. Determina il campo magnetico da essa generato in funzione della distanza
dall’asse. Rappresenta in un riferimento cartesiano il grafico della funzione ottenuta.
ESERCIZIO 23:
Legge di Biot-Savart
Campo generato da un solenoide infinito
Principo di sovrapposizione degli effetti
23) Considera il filo infinito e il solenoide infinito rappresentati in
figura. (il filo e l’asse del solenoide giacciono nel piano del foglio).
Calcola il campo in modulo, direzione e verso in un generico punto
del piano del foglio in funzione della posizione, sapendo che: nel
filo circola una corrente di intensità I1, il solenoide ha raggio R, una
densità di spire ned è attraversato da una corrente di intensità I2 in
un verso arbitrario.
3R
ESERCIZI 24, 25:
II equazione di Laplace
Momento magnetico e momento meccanico
Campo generato da un solenoide
r
24) Una spira triangolare di lato L è immersa in un campo magnetico B
uniforme, come mostrato in figura. Determina la forza agente su ciascun
tratto della spira quando la spira è percorsa da corrente di intensità I in senso
orario e la forza risultante. Cosa cambia se si cambia verso alla corrente?
25) Considera un solenoide infinito percorso da corrente I1
con una densità di spire pari a n ed una spira quadrata di
lato L posta al suo interno con il piano inclinato di un
angolo α rispetto all’asse del solenoide. Determina le
forze agenti su ciascun tratto della spira e il momento
meccanico risultante.
ESERCIZI 26, 27:
Coefficiente di mutuainduzione
26) Un primo circuito è costituito da un filo infinitamente lungo, mentre un secondo circuito è
costituito da una spira quadrata di lato l=1 mm. Calcolare il coefficiente di mutuainduzione nei
due seguenti casi:
a) filo e spira giacciono sullo stesso piano, la spia si trova a d=12 m dal filo;
b) la spira giace su un piano perpendicolare al filo ed il suo centro si trova sul filo.
16
27) Considera due spire circolari di raggi rispettivamente a=1 cm e b=1 m, poste a
distanza D=2 m come in figura. Determina il coefficiente di mutuainduzione.
Teorema o proprietà
Enunciato
Formula
femindotta
Legge di FaradayNeumann-Lenz
In un circuito attraversato da un flusso
magnetico variabile nel tempo si genera una
forza elettromotrice indotta pari al rapporto
tra la variazione di flusso infinitesima e
l’intervallo di tempo infinitesimo.
La corrente indotta circola in verso tale da
opporsi alla causa che l’ha generata
femindotta
r
∆Φ ( B )
= lim −
∆t
∆t → 0
r
= −Φ ' ( B )
Casi particolari:
forza elettromatrice autoindotta (con
circuito rigido)
femautoindotta = − LI '
forza elettromatrice mutuamente indotta
(con sistema rigido)
fem2 = − MI1 '
1) Descrivi il fenomeno dell’autoinduzione, fornisci la definizione di autoinduttanza specificandone
l’unità di misura ed indica l’espressione della forza elettromotrice autoindotta.
2) Illustra il fenomeno dell’induzione elettromagnetica ed enunciane le leggi.
3) Enuncia la legge dell’induzione di Faraday-Neumann e scrivine la corrispondente espressione.
Illustra almeno un esperimento che ha permesso di formularla.
4) Enuncia la legge di Lenz, spiega in che senso rappresenta una conferma del principio di
conservazione dell’energia e verificalo in modo quantitativo nel caso di spira estratta da una
regione di campo magnetico uniforme.
5) Descrivi il fenomeno dell’autoinduzione. Scrivi e dimostra l’espressione dell’autoinduttanza di un
solenoide.
6) Descrivi un circuito RL. Spiega cosa sono le extracorrenti di chiusura e apertura.
r
7) Considera una spira quadrato di lato l che viene inserita con velocità V in una regione di campo
r
magnetico uniforme B posto perpendicolarmente al piano della spira. Determina l’espressione
della fem indotta
- utilizzando la legge di F.N.L.
- utilizzando il campo elettromotore
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ESERCIZI 28, 29, 30, 31:
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
1° legge di Ohm
28) Una spira quadrata di lato L ed una spira circolare di raggio a=100L sono complanari e con
centri coincidenti. Nella spira quadrata circola una corrente variabile nel tempo secondo la legge
I = I 0 ⋅ e − kt . Determina la corrente indotta nella spira circolare sapendo che la sua resistenza
vale R.
29) Una spira quadrata di superficie S, induttanza trascurabile e resistenza R si trova in un campo di
r
induzione magnetica B uniforme e inclinato di un angolo α rispetto al piano della spira.
L’intensità del campo varia nel tempo secondo la relazione: B = Bo − kt , dove k è una costante
positiva. Per t=0 la corrente nella spira è nulla. Scrivi il problema di Cauchy relativo e calcola
in funzione del tempo la corrente che circola nella spira.
30) All’interno di un solenoide lungo 20 cm, composto da 1000 spire e attraversato da una corrente
di intensità 3,0 A è disposta una seconda bobina di 50 spire circolari di raggio 5,0 cm. La
bobina, posizionata inizialmente con il suo asse parallelo a quello del solenoide, viene messa in
rotazione attorno ad un asse perpendicolare alle linee di forza del campo magnetico prodotto
dal solenoide, con una frequenza di 100 giri/s. Determina la forza elettromotrice indotta nella
bobina e rappresentala in funzione del tempo.
31) Una spira quadrata di lato a esce con velocità costante v da una regione di spazio in cui è
r
presente un campo magnetico B uniforme, diretto ortogonalmente al piano della spira.
Assumendo pari ad R la resistenza della spira, determina:
a) la forza elettromotrice indotta nella spira
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
b) la forza che è necessario applicare affinché l’estrazione avvenga
a velocità costante
v ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗r ⊗ ⊗
c) il lavoro fatto dalla forza applicata durante l’estrazione
B
d) l’energia dissipata per effetto Joule
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
e) la carica transitata complessivamente all’interno della spira
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
durante l’estrazione.
ESERCIZIO 32
Circuito RL
32) Dato un circuito RL con R=10 Ω, L=2 Ωs e fem=10 V, determinare l’intensità di corrente che
circola dopo un tempo t=12 s dalla chiusura dell’interruttore
grandezza
Flusso di un campo
r
vettoriale v attraverso
una superficie S
definizione
formula
r
r r
Φ S ( v ) = ∫ v ⋅ dS
Integrale del prodotto scalare
tra campo e vettore superficie
infinitesimo
S
Caso particolare di superficie piana
e campo uniforme:
r
r r
Φ S (v ) = v ⋅ S
Unità di
misura
dipende dal
campo
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circuitazione di un
campo vettoriale
r
v lungo un percorso γ
Lavoro del campo lungo una
linea chiusa, cioè integrale
lungo la linea γ del prodotto
scalare tra campo e
spostamento infinitesimo
1° Equazione
r
r r
C ( v ) = ∫ v ⋅ dr
γ
dipende dal
campo
r
Q
Φ Schiusa ( E ) = int erna
ε0
Valida nel vuoto
2° Equazione
3° Equazione
4° Equazione
1)
2)
3)
4)
r
Φ Schiusa ( B ) = 0
r
r
C γ ( E ) = − Φ 'γ ( B)
r
C
(
E
Nel caso particolare di fenomeni stazionari diventa: γ ) = 0
r
r
C ( B) = µ 0 ( I concatenate + ε 0 Φ 'γ ( E )) Valida nel vuoto
Nel caso particolare di fenomeni stazionari diventa:
r
C ( B) = µ 0 I concatenate
Spiega cos’è la corrente di spostamento e per quale motivo è stata introdotta.
Ricava la 3° equazione di Maxwell a partire alla legge di F-N-L .
Illustra la questione della conservatività del campo elettrico.
Spiega perché i campi magnetici possono generare campi elettrici e viceversa.
ESERCIZIO 33-34
3°-4° equazione di Maxwell
33) Considera un campo magnetico uniforme diretto verticalmente, variabile nel tempo secondo la
legge B = kt . Calcola la circuitazione del campo elettrico da esso generato:
a) lungo un quadrato di lato L posto perpendicolarmente al campo,
b) lungo una circonferenza di raggio R posto perpendicolarmente al campo
34) Considera un campo elettrico uniforme diretto verticalmente,
variabile nel tempo secondo la legge E = kt . Calcola la corrente di
spostamento che attraversa:
a) un quadrato di lato L posto perpendicolarmente al campo,
b) un cerchio di raggio R posto perpendicolarmente al campo
c) una semisfera di raggio R posta come in figura