Lezione 11

Astronomia
2016-17
Parte II
Struttura stellare
11
Energia nucleare
Energia di legame del nucleo:
Lavoro necessario per separare i nucleoni
Ordine di grandezza: ~MeV
Superiore all’energia di legame chimico di un fattore ~106
Bilancio energetico:
L’energia di legame è una piccola ma non trascurabile frazione
della massa di riposo del nucleone:
M nucleus c 2 + Ebinding = Zm p c 2 + Nmn c 2
La massa del nucleo è inferiore alla somma delle masse dei nucleoni
che lo compongono di una quantità
Ebinding / c 2
(vale anche per legame molecolare, ma l’effetto è 10-6 volte)
Energia nucleare
Esempio:
Massa di riposo del protone in MeV
E = (1.67 × 10 −24 g )(3 × 1010 cm/s) 2 = 1.5 ×10 −3 erg
1.5 ×10 −3 erg
8
=
=
9
.
4
×
10
eV = 940 MeV
1.6 × 10 −12 erg/eV
Esempio:
Energia di legame del Deuterio?
mD = 3.3436 × 10 −24 g
m p = 1.6726 × 10 −24 g
mn = 1.6749 × 10 -24 g
mD c 2 + Ebinding = m p c 2 + mn c 2
Ebinding = [(m p + mn ) − mD ]c 2
= (3.9 × 10−27 g)(3 × 1010 cm/s) 2
= (3.6 × 10 −6 erg) = 2.2 MeV ≈ 0.1% della massa a riposo
(ordine di grandezza dell’energia
nucleare disponibile per barione)
Reazioni nucleari
Valore tipico dell’energia di legame per nucleone: ~8 MeV
Fissione
fusione
fissione
• Nucleo pesante (e.g. Uranio) è
rotto in nuclei più leggeri, più
stabili
• I nuclei più stabili sono quelli con
massa intermedia: A ~ 60 (Ferro)
Nelle stelle: piccolissime quantità di
elementi con A > 60
Fusione
• Nuclei leggeri si combinano a formare nucleo più pesante
Nelle stelle: enormi quantità di H
• A distanza >> 10-13 cm : forza nucleare nulla, repulsione Coulombiana
Difficoltà: fornire energia sufficiente a superare barriera di potenziale
• Acceleratori: si riesce a ottenere per un numero molto limitato di particelle
Problema principale della fusione come fonte di energia controllata
Reazioni nucleari
Energia di legame per nucleone
EB / A
Massimo dell’energia di legame:
Ni62 Fe58 Fe56 (“gruppo del Ferro”)
L’aggiunta di nuovi
nucleoni (protoni)
aumenta l’incidenza
della repulsione
Coulombiana
Rapida crescita
dovuta
all’aumento del
numero di
nucleoni entro il
range della FN
EB = c 2 ( ZmP + NmN − M nucleus )
Reazioni nucleari
Energia di legame per nucleone
Bethe-Weizsäcker Semi-Empirical Mass Formula (SEMF)
EB = aV A − aS A
Termine di
volume
A ∝ V ∝ R3
Dovuto
all'interazione
nucleare forte
agente sui
nucleoni (ogni
nucleone
interagisce
solo con i
nucleoni
vicini).
Non dipende
da Z;
2/3
Z ( Z − 1)
( A − 2Z )2
− aC
− aA
+ δ ( A, Z )
1/3
A
A
Termine di
superficie
Termine
Coulombiano
A2/3 ∝ R 2
∝ Z2 / R
Correzione
all'interazione
forte.
I nucleoni in
superficie
hanno meno
nucleoni vicini
(effetto simile
a tensione
superficiale)
Interazione
elettrostatica
tra i protoni
del nucleo
Termine
asimmetrico
∝ ( N − Z ) / R3
principio di
esclusione di Pauli:
se aggiungiamo
protoni (neutroni)
ad un nucleo, essi
occuperanno livelli
energetici sempre
più alti,
incrementando
l'energia totale del
nucleo e facendo
diminuire l'energia
di legame.
Termine di
accoppiamento
Descrive
l'effetto dello
“spin coupling”
dei nucleoni.
aP A−3/4 Z , N even

δ ( A, Z ) = 0
A odd
− a A−3/ 4 Z , N odd
 P
Reazioni nucleari
Energia di legame per nucleone
Bethe-Weizsäcker Semi-Empirical Mass Formula (SEMF)
EB = aV A − aS A
2/3
Z ( Z − 1)
( A − 2Z )2
− aC
− aA
+ δ ( A, Z )
1/3
A
A
Coefficienti (in MeV)
aV
15.8
aS
18.3
aC 0.714
aA
23.2
aP
12
Measured
SEMF
Fusione nucleare
• A distanza: forza nucleare nulla, repulsione Coulombiana
Energia per superare barriera di potenziale?
Energia termica
Quale temperatura è necessaria?
• Consideriamo 2 protoni. Potenziale
elettrico:
U = e2 / r
• Qual è l’energia cinetica del protone a grande distanza (U = 0)
per portare il protone a distanza paragonabile alle dimensioni
−13
del nucleo? (d ≈ 10 cm)
Conservazione dell’energia: ( E K + U ) 0 = ( E K + U )1
(4.8 ×10 −10 esu ) 2
−6
EK = e / rp =
=
2
×
10
erg
−13
10 cm
2
• Temperatura:
2 ×10 −6 erg
10
7
T
≈
1.5
×
10
K
≈
2
×
10
K
T ≈ EK / k =
⊙ ,C
−16
1.38 × 10 erg/K
Tre ordini di grandezza superiore !
Fusione nucleare
• Se consideriamo (anziché protoni) nuclei
Z1 e Z2 abbiamo:
E K = Z1Z 2 e 2 / rp
T ≈ ( Z1Z 2 ) ⋅ 2 ×1010 K
10.13 cm
(E’ necessara T ancora più alta!)
Due “effetti statistici”
Riduzione della T necessaria
1. Distribuzione dell’energia
• La stima precedente vale per l’energia della
“tipica” particella
• MA: distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
anche a T più basse una frazione delle
particelle avrà energia cinetica sufficiente
P( E)dE ∝ E1/ 2e− E / kT dE
Enorme numero di p in una stella
N≈
M⊙
≈ 1057
mP
Fusione nucleare
2. Effetto tunnel
• “Classicamente”, solo se EK è
superiore alla barriera di
potenziale E0 si ha reazione
E0
• “Quantisticamente”, possiamo
solo parlare di probabilità di
trovare la particella in un certo
punto con una certa velocità
r0
“turning point”
La probabilità di trovare la particella non va a zero “bruscamente”
quando la particella incontra la barriera di potenziale
• Una particella può penetrare “quantisticamente” una distanza
d tun ≈ λD
h
h
≈ =
p mv
Lunghezza d’onda di De Broglie
• Più precisamente:
P ( x)dx ∝ e
− ax / λD
mv 

=
exp
−
ax
dx

 dx
h 

Fusione nucleare
Effetto tunnel
• Due nuclei con “turning point” in r0
1 2 Z1 Z 2 e
mv =
2
r0
• Sostituisco
mv
2
Conservazione
energia
E0
in
mv 

P( x)dx ∝ exp  −ax
 dx
h 

r0
“turning point”
e trovo la probabilità di tunnelling in x = r0
 ar0  2Z1Z 2 e 2  
 2aZ1Z 2 e 2 
 b 
P(r0 ) ∝ exp  −
exp
=
−
∝
exp
− 1/2 





vh
 E 
 h  r0 v  


• Combinando Effetto Tunnel e distribuzione di Boltzmann: probabilità di
reazione nucleare per nuclei di energia E a una certa T
 E
P( E ) ∝ exp  −
 kT
b 
 E

 b 
=
exp
−
−

 ⋅ exp  − 1/2 
1/2 
kT
E
E





Fusione nucleare
• Fissata T, c’è un valore più probabile
di energia E per reazioni nucleari
(“picco di Gamow”)
b 
 E
P( E ) ∝ exp  −
− 1/2 
 kT E 
• Distribuzione asimmetrica
La maggior parte delle reazioni
coinvolgono particelle nella coda
della distribuzione
• Dipendenza esponenziale da T
Piccoli cambiamenti in T producono
forti cambiamenti nelle probabilità di
reazione
Si riduce di un fattore 103 la T necessaria
per innescare reazioni termonucleari
TH ≈ 107 K
PB ( E ) ∝ e − E / kT
PT ( E ) ∝ e − b / E
1/ 2
P(E )
Probabilità di fusione in
funzione dell’energia
cinetica delle particelle
Energia: Stelle di sequenza principale
• Stelle di sequenza principale:
+
Idrogeno
Elio
4 protoni
1 alpha
Energia
+
mHe = 6.6464 × 10−24
m p = 1.6726 × 10−24 g
• Quanta energia viene rilasciata?
4mP − mHe = 4.4 × 10
−26
Energia
Diverse serie di reazioni
conducono a questo
risultato
g
−26
4.4 × 10 g
≃ 0.007
f =
−24
4(1.67 × 10 g)
Lo 0.7% della massa
di ogni protone va
in energia
• Lifetime del Sole (ordine di grandezza) ?
• Assumiamo tutta la massa in H, e che tutto vada in He
Lo 0.7% della massa è convertita in energia
E⊙ = 0.007 ⋅ M ⊙ c 2 = 0.007 ⋅ (2 ×1033 g )(3 ×1010 cm/s) 2
= 1.3 ×1052 erg
• Lifetime
1.3 ×1052 erg
18
11
t⊙ = E⊙ / L⊙ =
=
3
.
2
×
10
s
=
1
.
0
×
10
yr
4 ×1033 erg/s
t⊙ ≈ 1010 yr
In realtà solo il 10% dell’H viene convertito in He
Energia stellare: generata dalla fusione nucleare
Negli anni 1920, A.Eddington e altri si resero conto che la fonte dell’energia
stellare doveva essere ‘sub-atomic energy’
Astrofisico inglese (non solo stellare…)
“Limite di Eddington”
(luminosità massima che può avere una stella con una
data massa)
Famoso anche per il Report on the relativity theory of
gravitation
Sir Arthur Eddington
(1882 – 1944)
Processo nucleare candidato: Fusione
1935-40: teoria e dati su collisioni nucleari consentirono di ipotizzare
specifiche reazioni nucleari nelle stelle
• Primo esperimento energia nucleare (E.Fermi): 2 Dicembre 1942, Chicago
• Prima esplosione nucleare (Progetto Manhattan): 16 Luglio 1945, New Mexico
Energia stellare: generata dalla fusione nucleare
Problema: individuare nel dettaglio i processi che conducono alla fusione
Due possibili soluzioni
1) Combinazione diretta: protoni in serie per formare 4He (l’elemento stabile
successivo)
2) Combinazione indiretta: bombardamento di protoni di un nucleo pesante
catalizzatore, con produzione finale di un nucleo pesante (He o altro)
Entrambi gli approcci risultarono corretti!
1) p-p chain
C.F. von Weizsacker 1937, Bethe & Critchfield 1938
Bethe 1939
2) the carbon cycle
Fisico teorico Tedesco
Trasferito in USA nel 1937 (naturalizzato
statunitense)
Diresse divisione teorica “Progetto Manhattan”
a Los Alamos
1938-39 individuò un ciclo di reazioni
termonucleari stellari (ciclo del Carbonio,
detto anche “ciclo di Bethe”).
Hans Albrecht Bethe
(1906 – 2005)
Nel 1967: premio Nobel per la fisica
Energia: Stelle di sequenza principale
Catena “protone-protone”
Reazioni nucleari in stelle con
Temperatura centrale
M ≤ 1.1M ⊙
T ≈ 107 K
1. Primo passo: combinazione diretta di 2 protoni
p + p → d + e+ + ν
Interazione debole
Procede molto lentamente
2. Il Deuterio reagisce velocemente con un altro protone
d + p → 3 He + γ
Raro esempio di nucleo stabile
con Z > N
d + p → 3 He + γ
Consideriamo una seconda situazione identica:
da 6p abbiamo ora 2 nuclei di 3He
3. I due nuclei di 3He interagiscono
3
He + 3 He → 4 He + p + p
Vengono usati 6 protoni, ne
vengono restituiti 2
Energia: Stelle di sequenza principale
Catena “protone-protone”
Dove va l’energia?
p + p → d + e+ + ν
p + p → d + e+ + ν
d + p → 3 He + γ
d + p → 3 He + γ
3
He + 3 He → 4 He + p + p + 12.85 MeV
Fotoni: scattering/assorbimento
Positroni: annichilazione immediata
e+ + e- → γ
Protoni: emessi con grande energia cinetica
Riscaldamento del gas
Emissione di nuovi fotoni
assorbimento
emissione…
Neurtini: non interagiscono (significativamente) con la materia
Energia “persa” dalla stella
Energia: Stelle di sequenza principale
Catena “protone-protone”
Sezione d’urto (probabilità) delle varie reazioni
tempi di reazione
Energia: Stelle di sequenza principale
Catena “protone-protone”
t ≈ 1.4 ×1010 y
t ≈ 6s
t ≈ 106 y
La lentezza della prima reazione e la grande
abbondanza di H spiegano la durata della
stella nella sequenza principale.
Se così non fosse, le stelle
non avrebbero una vita
stabile!
Perché questa reazione è tanto lenta?
1. Per un istante, deve formarsi un nucleo (p+p) = 2He con spin anti-paralleli
2. Durante la sua breve esistenza il 2He deve β-decadere (
Tre possibili processi:
He → p + p
2
He + p → 3p
2
He → 2 H + e + +ν e
Deuterio)
2
Statisticamente favoriti
Catena p-p
Energia: Stelle di sequenza principale
Catena “protone-protone”
Energia
0.26 MeV
t ≈ 1.4 ×1010 y
Q ≈ 1.44 MeV
t ≈ 6s
t ≈ 106 y
Energia totale per nucleo di Elio prodotto,
disponibile per il Sole:
Verifica: Frazione di massa per barione trasformata in energia?
Ogni protone contribuisce
26.2
EP ≈
MeV ≈ 6.5 MeV
4
EP
6.5 MeV
≈
≈ 0.7%
2
mP c
940MeV