Astronomia 2016-17 Parte II Struttura stellare 11 Energia nucleare Energia di legame del nucleo: Lavoro necessario per separare i nucleoni Ordine di grandezza: ~MeV Superiore all’energia di legame chimico di un fattore ~106 Bilancio energetico: L’energia di legame è una piccola ma non trascurabile frazione della massa di riposo del nucleone: M nucleus c 2 + Ebinding = Zm p c 2 + Nmn c 2 La massa del nucleo è inferiore alla somma delle masse dei nucleoni che lo compongono di una quantità Ebinding / c 2 (vale anche per legame molecolare, ma l’effetto è 10-6 volte) Energia nucleare Esempio: Massa di riposo del protone in MeV E = (1.67 × 10 −24 g )(3 × 1010 cm/s) 2 = 1.5 ×10 −3 erg 1.5 ×10 −3 erg 8 = = 9 . 4 × 10 eV = 940 MeV 1.6 × 10 −12 erg/eV Esempio: Energia di legame del Deuterio? mD = 3.3436 × 10 −24 g m p = 1.6726 × 10 −24 g mn = 1.6749 × 10 -24 g mD c 2 + Ebinding = m p c 2 + mn c 2 Ebinding = [(m p + mn ) − mD ]c 2 = (3.9 × 10−27 g)(3 × 1010 cm/s) 2 = (3.6 × 10 −6 erg) = 2.2 MeV ≈ 0.1% della massa a riposo (ordine di grandezza dell’energia nucleare disponibile per barione) Reazioni nucleari Valore tipico dell’energia di legame per nucleone: ~8 MeV Fissione fusione fissione • Nucleo pesante (e.g. Uranio) è rotto in nuclei più leggeri, più stabili • I nuclei più stabili sono quelli con massa intermedia: A ~ 60 (Ferro) Nelle stelle: piccolissime quantità di elementi con A > 60 Fusione • Nuclei leggeri si combinano a formare nucleo più pesante Nelle stelle: enormi quantità di H • A distanza >> 10-13 cm : forza nucleare nulla, repulsione Coulombiana Difficoltà: fornire energia sufficiente a superare barriera di potenziale • Acceleratori: si riesce a ottenere per un numero molto limitato di particelle Problema principale della fusione come fonte di energia controllata Reazioni nucleari Energia di legame per nucleone EB / A Massimo dell’energia di legame: Ni62 Fe58 Fe56 (“gruppo del Ferro”) L’aggiunta di nuovi nucleoni (protoni) aumenta l’incidenza della repulsione Coulombiana Rapida crescita dovuta all’aumento del numero di nucleoni entro il range della FN EB = c 2 ( ZmP + NmN − M nucleus ) Reazioni nucleari Energia di legame per nucleone Bethe-Weizsäcker Semi-Empirical Mass Formula (SEMF) EB = aV A − aS A Termine di volume A ∝ V ∝ R3 Dovuto all'interazione nucleare forte agente sui nucleoni (ogni nucleone interagisce solo con i nucleoni vicini). Non dipende da Z; 2/3 Z ( Z − 1) ( A − 2Z )2 − aC − aA + δ ( A, Z ) 1/3 A A Termine di superficie Termine Coulombiano A2/3 ∝ R 2 ∝ Z2 / R Correzione all'interazione forte. I nucleoni in superficie hanno meno nucleoni vicini (effetto simile a tensione superficiale) Interazione elettrostatica tra i protoni del nucleo Termine asimmetrico ∝ ( N − Z ) / R3 principio di esclusione di Pauli: se aggiungiamo protoni (neutroni) ad un nucleo, essi occuperanno livelli energetici sempre più alti, incrementando l'energia totale del nucleo e facendo diminuire l'energia di legame. Termine di accoppiamento Descrive l'effetto dello “spin coupling” dei nucleoni. aP A−3/4 Z , N even δ ( A, Z ) = 0 A odd − a A−3/ 4 Z , N odd P Reazioni nucleari Energia di legame per nucleone Bethe-Weizsäcker Semi-Empirical Mass Formula (SEMF) EB = aV A − aS A 2/3 Z ( Z − 1) ( A − 2Z )2 − aC − aA + δ ( A, Z ) 1/3 A A Coefficienti (in MeV) aV 15.8 aS 18.3 aC 0.714 aA 23.2 aP 12 Measured SEMF Fusione nucleare • A distanza: forza nucleare nulla, repulsione Coulombiana Energia per superare barriera di potenziale? Energia termica Quale temperatura è necessaria? • Consideriamo 2 protoni. Potenziale elettrico: U = e2 / r • Qual è l’energia cinetica del protone a grande distanza (U = 0) per portare il protone a distanza paragonabile alle dimensioni −13 del nucleo? (d ≈ 10 cm) Conservazione dell’energia: ( E K + U ) 0 = ( E K + U )1 (4.8 ×10 −10 esu ) 2 −6 EK = e / rp = = 2 × 10 erg −13 10 cm 2 • Temperatura: 2 ×10 −6 erg 10 7 T ≈ 1.5 × 10 K ≈ 2 × 10 K T ≈ EK / k = ⊙ ,C −16 1.38 × 10 erg/K Tre ordini di grandezza superiore ! Fusione nucleare • Se consideriamo (anziché protoni) nuclei Z1 e Z2 abbiamo: E K = Z1Z 2 e 2 / rp T ≈ ( Z1Z 2 ) ⋅ 2 ×1010 K 10.13 cm (E’ necessara T ancora più alta!) Due “effetti statistici” Riduzione della T necessaria 1. Distribuzione dell’energia • La stima precedente vale per l’energia della “tipica” particella • MA: distribuzione di Maxwell-Boltzmann: anche a T più basse una frazione delle particelle avrà energia cinetica sufficiente P( E)dE ∝ E1/ 2e− E / kT dE Enorme numero di p in una stella N≈ M⊙ ≈ 1057 mP Fusione nucleare 2. Effetto tunnel • “Classicamente”, solo se EK è superiore alla barriera di potenziale E0 si ha reazione E0 • “Quantisticamente”, possiamo solo parlare di probabilità di trovare la particella in un certo punto con una certa velocità r0 “turning point” La probabilità di trovare la particella non va a zero “bruscamente” quando la particella incontra la barriera di potenziale • Una particella può penetrare “quantisticamente” una distanza d tun ≈ λD h h ≈ = p mv Lunghezza d’onda di De Broglie • Più precisamente: P ( x)dx ∝ e − ax / λD mv = exp − ax dx dx h Fusione nucleare Effetto tunnel • Due nuclei con “turning point” in r0 1 2 Z1 Z 2 e mv = 2 r0 • Sostituisco mv 2 Conservazione energia E0 in mv P( x)dx ∝ exp −ax dx h r0 “turning point” e trovo la probabilità di tunnelling in x = r0 ar0 2Z1Z 2 e 2 2aZ1Z 2 e 2 b P(r0 ) ∝ exp − exp = − ∝ exp − 1/2 vh E h r0 v • Combinando Effetto Tunnel e distribuzione di Boltzmann: probabilità di reazione nucleare per nuclei di energia E a una certa T E P( E ) ∝ exp − kT b E b = exp − − ⋅ exp − 1/2 1/2 kT E E Fusione nucleare • Fissata T, c’è un valore più probabile di energia E per reazioni nucleari (“picco di Gamow”) b E P( E ) ∝ exp − − 1/2 kT E • Distribuzione asimmetrica La maggior parte delle reazioni coinvolgono particelle nella coda della distribuzione • Dipendenza esponenziale da T Piccoli cambiamenti in T producono forti cambiamenti nelle probabilità di reazione Si riduce di un fattore 103 la T necessaria per innescare reazioni termonucleari TH ≈ 107 K PB ( E ) ∝ e − E / kT PT ( E ) ∝ e − b / E 1/ 2 P(E ) Probabilità di fusione in funzione dell’energia cinetica delle particelle Energia: Stelle di sequenza principale • Stelle di sequenza principale: + Idrogeno Elio 4 protoni 1 alpha Energia + mHe = 6.6464 × 10−24 m p = 1.6726 × 10−24 g • Quanta energia viene rilasciata? 4mP − mHe = 4.4 × 10 −26 Energia Diverse serie di reazioni conducono a questo risultato g −26 4.4 × 10 g ≃ 0.007 f = −24 4(1.67 × 10 g) Lo 0.7% della massa di ogni protone va in energia • Lifetime del Sole (ordine di grandezza) ? • Assumiamo tutta la massa in H, e che tutto vada in He Lo 0.7% della massa è convertita in energia E⊙ = 0.007 ⋅ M ⊙ c 2 = 0.007 ⋅ (2 ×1033 g )(3 ×1010 cm/s) 2 = 1.3 ×1052 erg • Lifetime 1.3 ×1052 erg 18 11 t⊙ = E⊙ / L⊙ = = 3 . 2 × 10 s = 1 . 0 × 10 yr 4 ×1033 erg/s t⊙ ≈ 1010 yr In realtà solo il 10% dell’H viene convertito in He Energia stellare: generata dalla fusione nucleare Negli anni 1920, A.Eddington e altri si resero conto che la fonte dell’energia stellare doveva essere ‘sub-atomic energy’ Astrofisico inglese (non solo stellare…) “Limite di Eddington” (luminosità massima che può avere una stella con una data massa) Famoso anche per il Report on the relativity theory of gravitation Sir Arthur Eddington (1882 – 1944) Processo nucleare candidato: Fusione 1935-40: teoria e dati su collisioni nucleari consentirono di ipotizzare specifiche reazioni nucleari nelle stelle • Primo esperimento energia nucleare (E.Fermi): 2 Dicembre 1942, Chicago • Prima esplosione nucleare (Progetto Manhattan): 16 Luglio 1945, New Mexico Energia stellare: generata dalla fusione nucleare Problema: individuare nel dettaglio i processi che conducono alla fusione Due possibili soluzioni 1) Combinazione diretta: protoni in serie per formare 4He (l’elemento stabile successivo) 2) Combinazione indiretta: bombardamento di protoni di un nucleo pesante catalizzatore, con produzione finale di un nucleo pesante (He o altro) Entrambi gli approcci risultarono corretti! 1) p-p chain C.F. von Weizsacker 1937, Bethe & Critchfield 1938 Bethe 1939 2) the carbon cycle Fisico teorico Tedesco Trasferito in USA nel 1937 (naturalizzato statunitense) Diresse divisione teorica “Progetto Manhattan” a Los Alamos 1938-39 individuò un ciclo di reazioni termonucleari stellari (ciclo del Carbonio, detto anche “ciclo di Bethe”). Hans Albrecht Bethe (1906 – 2005) Nel 1967: premio Nobel per la fisica Energia: Stelle di sequenza principale Catena “protone-protone” Reazioni nucleari in stelle con Temperatura centrale M ≤ 1.1M ⊙ T ≈ 107 K 1. Primo passo: combinazione diretta di 2 protoni p + p → d + e+ + ν Interazione debole Procede molto lentamente 2. Il Deuterio reagisce velocemente con un altro protone d + p → 3 He + γ Raro esempio di nucleo stabile con Z > N d + p → 3 He + γ Consideriamo una seconda situazione identica: da 6p abbiamo ora 2 nuclei di 3He 3. I due nuclei di 3He interagiscono 3 He + 3 He → 4 He + p + p Vengono usati 6 protoni, ne vengono restituiti 2 Energia: Stelle di sequenza principale Catena “protone-protone” Dove va l’energia? p + p → d + e+ + ν p + p → d + e+ + ν d + p → 3 He + γ d + p → 3 He + γ 3 He + 3 He → 4 He + p + p + 12.85 MeV Fotoni: scattering/assorbimento Positroni: annichilazione immediata e+ + e- → γ Protoni: emessi con grande energia cinetica Riscaldamento del gas Emissione di nuovi fotoni assorbimento emissione… Neurtini: non interagiscono (significativamente) con la materia Energia “persa” dalla stella Energia: Stelle di sequenza principale Catena “protone-protone” Sezione d’urto (probabilità) delle varie reazioni tempi di reazione Energia: Stelle di sequenza principale Catena “protone-protone” t ≈ 1.4 ×1010 y t ≈ 6s t ≈ 106 y La lentezza della prima reazione e la grande abbondanza di H spiegano la durata della stella nella sequenza principale. Se così non fosse, le stelle non avrebbero una vita stabile! Perché questa reazione è tanto lenta? 1. Per un istante, deve formarsi un nucleo (p+p) = 2He con spin anti-paralleli 2. Durante la sua breve esistenza il 2He deve β-decadere ( Tre possibili processi: He → p + p 2 He + p → 3p 2 He → 2 H + e + +ν e Deuterio) 2 Statisticamente favoriti Catena p-p Energia: Stelle di sequenza principale Catena “protone-protone” Energia 0.26 MeV t ≈ 1.4 ×1010 y Q ≈ 1.44 MeV t ≈ 6s t ≈ 106 y Energia totale per nucleo di Elio prodotto, disponibile per il Sole: Verifica: Frazione di massa per barione trasformata in energia? Ogni protone contribuisce 26.2 EP ≈ MeV ≈ 6.5 MeV 4 EP 6.5 MeV ≈ ≈ 0.7% 2 mP c 940MeV