Esercizio – Sistema Chiuso – Aria
10 kg di aria (cp(T)=cost=1.01 kJ/kgK, R=0.287 kJ/kgK) sono contenuti in un sistema pistone-cilindro.
Nello stato iniziale l’aria si trova a 1.5 bar e 25 °C. Una trasformazione adiabatica porta il sistema fino alla
pressione di 6.0 bar. Successivamente una trasformazione isobara, seguita da un’isocora, riporta il sistema
nello stato iniziale. Il sistema interagisce con l’ambiente, schematizzato da un SEM e due SET
rispettivamente alla temperatura di 1300 °C e 10 °C.
Nell’ ipotesi di trasformazioni internamente reversibili, rappresentare le trasformazioni sui piani T-s e p-v, e
valutare:
-
il calore e il lavoro scambiati nelle singole trasformazioni
-
l’accumulo di entropia nell’ambiente alla fine di un ciclo
-
l’entropia generata all’interno del sistema durante un ciclo
-
i flussi entropici diffusivi, riferiti al sistema, per ogni trasformazione
-
la generazione entropica per cause esterne alla fine di un ciclo
-
il rendimento termodinamico ed il lavoro perso per ogni ciclo
1 - 2 trasformazione adiabatica
2 - 3 trasformazione isobara
3 - 1 trasformazione isocora
INDIVIDUAZIONE DELLA FASE
Punto critico dell’aria: Tc = 132 K = -141 °C; pc= 37.7 bar
T1>>Tc Fase gassosa
p/pc<<1 Modello di gas ideale
PIANI p-v, T-s E OSSERVAZIONI
In virtù del fatto che le varie trasformazioni sono endo-reversibili (assenza di attriti interni al fluido, assenza
di attriti tra pistone e cilindro) possiamo valutare il lavoro, per unità di massa, l come:
Per la trasformazione 1-2, sul piano p-v ho che
. Siccome nella trasformazione
1-2 ho una variazione di volume negativa (dv<0), possiamo affermare che il lavoro l1-2 è minore di zero
ovvero, ricordando la convenzione utilizzata, è in ingresso al sistema.
Per la trasformazione 2-3, sul piano p-v ho che
. Siccome nella trasformazione
2-3 ho una variazione di volume positiva (dv>0), possiamo affermare che il lavoro l2-3 è maggiore di zero
ovvero, ricordando la convenzione utilizzata, è in uscita dal sistema.
Per la trasformazione 3-1, infine, il lavoro elementare l3-1 è uguale a zero essendo quest’ultima una
trasformazione isocora (dv =0
Il lavoro netto, lN, lo possiamo scrivere come:
.
.
In questo caso, osservando le aree evidenziate sui piano, ed essendo l’area A23B maggiore dell’area A21B,
possiamo affermare che il lavoro netto è maggiore di zero (in uscita dal sistema). Il lavoro netto sarà quindi
individuato dall’area del ciclo stesso (Area 123).
Lo stesso discorso si può fare sul piano T-s.
La seconda legge della termodinamica riferita ad un volume di controllo che racchiude il solo sistema,
scritta per unità di massa e per un intervallo di tempo infinitesimo, è:
.
Essendo le trasformazioni internamente reversibili, l’equazione precedente diventa:
Da quest’ultima possiamo ricavare la relazione per il calcolo dell’energia termica specifica q :
Per la trasformazione 1-2, sul piano T-s si ritrova
(trasformazione 1-2 adiabatica).
Per la trasformazione 2-3, sul piano T-s ho che
. Siccome nella trasformazione
2-3 ho una variazione di entropia positiva (ds>0), possiamo affermare che il calore q2-3 è maggiore di zero
ovvero, ricordando la convenzione utilizzata, è in ingresso al sistema.
Per la trasformazione 3-1, sul piano T-s ho che
. Siccome nella trasformazione
3-1 ho una variazione di entropia negativa (ds<0), possiamo affermare che il calore q3-1 è minore di zero
ovvero, ricordando la convenzione utilizzata, è in uscita dal sistema
Il calore netto, qN, lo possiamo scrivere come:
.
In questo caso, osservando le aree evidenziate sui piano, ed essendo l’area C23D maggiore dell’area C13D,
possiamo affermare che il calore netto è maggiore di zero (in ingresso al sistema).
NOTA: Le relazioni utilizzate sono valide esclusivamente nel caso di trasformazioni internamente reversibili.
SCHEMATIZZAZIONE SISTEMA-AMBIENTE, DEFINIZIONE VOLUMI DI CONTROLLO E
OSSERVAZIONI
1) La valutazione del calore e del lavoro in ogni trasformazione può essere fatta equivalentemente sia
considerando il VC1 che il VC3.
2) Non ha senso considerare il VC4 (sistema isolato) dato che nessun flusso attraverso la frontiera di
VC4 in ingresso o in uscita.
BILANCIO DI I LEGGE (Q-L=U)
Come prima cosa dobbiamo definire il VC scelto. La scelta del VC deve essere fatta in maniera appropriata
in modo tale da permettere la valutazione delle grandezze richieste.
Scegliamo il VC1 e andiamo a valutare, per ogni trasformazione, flussi di energia nella modalità calore e
lavoro.
Trasformazione 1-2 (adiabatica)
Q12=0 kJ
Nell’equazione precedentemente scritta la temperatura T2 risulta essere incognita.
Ricordando che la trasformazione 1-2 è un’adiabatica (Q12=0 kJ) internamente reversibile (
possiamo, tramite il secondo principio della termodinamica, scrivere:
Per un gas ideale, la variazione di entropia s la possiamo scrivere come:
Sfruttando le proprietà dei logaritmi e sapendo che s12 = 0 kJ/kgK, possiamo riscrivere l’equazione
precedente:
)
Ovvero:
Da cui:
Riprendendo l’equazione di bilancio relativa alla trasformazione 1-2 e sostituendo i valori trovati, si ottiene:
Trasformazione 2-3 (isobara)
Essendo nella trasformazione 2-3 il calore in ingresso al sistema, è il SET a temperatura maggiore (SET A)
che deve necessariamente interagire con il sistema.
Nell’equazione precedentemente scritta compare l’ulteriore incognita T3.
La temperatura T3 può essere calcolata sfruttando la legge dei gas ideali, ovvero:
Sapendo, inoltre, che la trasformazione 2-3 è isobara (p3=p2), che la trasformazione 3-1 è isocora (v3=v1) e
sfruttando nuovamente la legge dei gas ideali per lo stato termodinamico 1, possiamo, isolando la T3,
scrivere:
Sostituendo i valori trovati possiamo calcolare la variazione di energia interna per la trasformazione 2-3:
Il lavoro L23 lo possiamo scrivere come:
ed essendo la trasformazione isobara, si ha:
Il calore Q23 lo possiamo poi ricavare dal bilancio di I legge:
Osservazione:
Il calore Q23 lo si può ricavare anche in un altro modo, sfruttando la seconda equazione di Gibbs e
particolareggiarla nel caso di una trasformazione isobara:
essendo: Tds = dh - vdp
Trasformazione 3-1 (isocora)
Essendo nella trasformazione 3-1 il calore in uscita dal sistema, è il SET a temperatura minore (SET B) che
deve necessariamente interagire con il sistema.
Pertanto:
Essendo la trasformazione 3-1 un’isocora, si ha:
Infine, il calore Q31 è dato da:
TABELLA RIEPILOGATIVA
Usist
Q
L
kJ
kJ
kJ
1-2
1041
0
-1041
2-3
5423
7576
2153
3-1
-6464
-6464
0
TOTALE
0
1112
1112
VC1
NOTA: il sistema opera in maniera ciclica e quindi la variazione di energia interna U alla fine di un ciclo
deve essere nulla; di conseguenza, i valori netti del calore e del lavoro devono essere uguali.
BILANCIO DI II LEGGE (
)
Differenza tra i vari volumi di controllo :
VC1
=
=
=0
dove T è la temperatura del sistema
SVC1 = accumulo di entropia in VC1 = SSIST
VC2
= Sgen nell’interazione termica tra sistema ed ambiente = Sgen cause termiche
dove T è la temperatura della frontiera dove attraversa Q: i flussi in ingresso a VC2
attraversano la frontiera a contatto con i SET e quindi la temperatura è quella dei SET; i flussi in
uscita da VC2 attraversano la SC adiacente al sistema e quindi la temperatura è quella del SIST
SVC2 = l’accumulo di entropia in VC2 = perché in VC2 non c’è massa
VC3
=
+ Sgen nell’interazione termica tra sistema ed ambiente, ovvero
=
=
+
dove T è la temperatura dei SET
SVC3 = accumulo di entropia in VC3 = SSIST
VC4
=
=
+ Sgen nell’interazione termica tra sistema ed ambiente +
=
(il sistema opera endoreversibilmente e l’ambiente è ideale per definizione).
(per definizione, se il sistema è isolato non vi sono flussi)
SVC4= accumulo di entropia in VC4= SSIST + SAMB
VOLUME DI CONTROLLO VC1
Considerando il volume di controllo VC1, che racchiude il solo sistema pistone-cilindro, si ha:
Perché le irreversibilità interne a VC1 sono nulle per ipotesi di trasformazioni internamente reversibili.
23(S)
VC1
31(S)
VOLUME DI CONTROLLO VC3
Per calcolare la Sgen per cause termiche bisogna scegliere un VC al cui interno sia contenuta la interazione
termica sistema-ambiente per cui la scelta può essere VC2, VC3, VC4.
Con riferimento a VC3
TRASFORMAZIONE 1-2
da cui:
TRASFORMAZIONE 2-3
Avendo considerato il VC3 che lambisce i SET, la temperatura che troviamo all’interno dell’integrale è
quella della frontiera del VC scelto. In questo caso, essendo il SET A quello che interagisce con il sistema,
la temperatura in questione è proprio pari alla temperatura del SET A, TA. Inoltre, essendo quest’ultima
costante, la si può portare fuori dal segno di integrale.
Ovvero:
Da cui si ricava:
Come precedentemente detto, si può arrivare allo stesso risultato considerando il VC4 (Sistema Isolato).
In tal caso si ha:
Da cui:
Dobbiamo quindi ricavare la variazione di entropia per il solo SET A.
Andiamo a considerare un VC che racchiuda il solo SET, consideriamo il calore Q 23 in uscita dal SET
(essendo questo in ingresso al sistema) e scriviamo il bilancio di II legge.
VC
Q23
SET A
Da cui, essendo la temperatura del SET costante, si ha:
Noto il
, possiamo, infine, ricavare il valore della
:
risultato analogo a quello ottenuto precedentemente.
TRASFORMAZIONE 3-1
Avendo considerato il VC3 che lambisce i SET, la temperatura che troviamo all’interno dell’integrale è
quella della frontiera del VC scelto. In questo caso, essendo il SET B quello che interagisce con il sistema, la
temperatura in questione è proprio pari alla temperatura del SET B, TB. Inoltre, essendo quest’ultima
costante, la si può portare fuori dal segno di integrale.
Ovvero:
Da cui si ricava:
NOTA: abbiamo considerato sempre il valore assoluto dei flussi di calore
TABELLA RIEPILOGATIVA
S
(S)
Sgen
kJ/K
kJ/K
kJ/K
1-2
0
0
0
2-3
10
4.82
5.18
3-1
-10
-22.8
12.8
TOT
0
-17.98
17.98
SSIST
SSET A
SSET B
SSEM
SAMB
kJ/K
kJ/K
kJ/K
kJ/K
kJ/K
1-2
0
0
0
0
0
2-3
10
-4.8
0
0
-4.8
3-1
-10
0
22.8
0
22.8
TOT
0
-4.8
22.8
0
18
VC3
RENDIMENTO TERMODINAMICO E LAVORO PERSO
Il rendimento termodinamico di tale ciclo termodinamico è:
Il rendimento di un ciclo termodinamico ideale che opera tra le stesse temperature del SET A e del SET B
è così valutato:
NOTA: Deve essere rispettata la seguente disuguaglianza:
Il lavoro idealmente ottenibile dal ciclo termodinamico completamente reversibile si determina sfruttando la
definizione di rendimento reversibile:
Il lavoro perso è quindi valutabile come:
