Fluidi I
Stati della materia
Densità e pressione
Idrostatica
Idrodinamica
Stati della materia
1. Solido: indeformabile e incomprimibile
2. Liquido: deformabile e incomprimibile
3. Gassoso: deformabile e comprimibile
Le proprietà della
materia dipendono
fortemente dalla
struttura atomica, cioè
dalla disposizione degli
atomi gli uni rispetto
agli altri e dall’entità
delle forze con cui
interagiscono fra loro.
Fluidi
I fluidi (dal latino fluere = scorrere) sono i
corpi deformabili, cioè quei corpi che oppongono
scarsa resistenza al cambiamento di forma.
Rientrano in questa definizione i liquidi e i gas:
• i liquidi sono praticamente incomprimibili per
cui hanno un volume proprio;
• i gas sono facilmente comprimibili e il volume
che occupano dipende dalla pressione a cui sono
sottoposti.
La meccanica dei fluidi si divide in due capitoli:
idrostatica e idrodinamica.
Densità
Dato un corpo di massa m distribuita in un volume V, si
definisce densità volumica il rapporto
ρ= m/V
densità volumica
Nel SI la densità si misura in kg/m3 nel sistema CGS
in g/cm³ o in maniera equivalente in g/ml (1l = 1dm3).
In condizioni normali la densità dell’acqua è di circa
1000 kg/m³, mentre quella dell’aria è all’incirca mille
volte più piccola (~1.2 kg/m³).
Densità e fasi della materia
• In generale la densità della materia diminuisce
dalla fase solida alla fase liquida e poi da questa
a quella gassosa
• Un materiale molto comune e conosciuto fa
eccezione a questa regola…
Densità e fasi della materia
• In generale la densità della materia diminuisce
dalla fase solida alla fase liquida e poi da questa
a quella gassosa
• Un materiale molto comune e conosciuto fa
eccezione a questa regola…
Ghiaccio e acqua
Nel ghiaccio (acqua in fase solida) la struttura
regolare mostra dei buchi che diminuiscono la densità
rispetto al valore dell’acqua allo stato liquido
Volume e Massa
Siccome i fluidi non hanno volume proprio, ci si deve
domandare quale sia la massa di un fluido che occupa un
volume V.
Esempio: abbiamo una sostanza in una siringa che occupa
un volume di 3 ml. Che massa ha?
Dipende dalla densità: maggiore è la densità, maggiore
sarà la massa
d=m/V => m=d*V => m=d*3ml
Se abbiamo acqua allora (d = 1 g/cm3):
m=???
Se abbiamo una sostanza con d= 1.2 g/cm3
m=???
Pressione atmosferica: esperienza di
Torricelli
Pressione
Consideriamo una forza F che agisce
su un elemento di superficie ΔS.
Si definisce pressione esercitata
da F su ΔS la quantità scalare:
p = Fn/ΔS
(dove Fn è la componente di F
perpendicolare a ΔS).
Unità di misura della pressione
Nel SI la pressione si misura in Pascal (1Pa=1N/m2).
Altre unità di misura utilizzate per la pressione:
1 atmosfera (atm) = 1.013·105 Pa
1 bar = 105 Pa
1 millibar = 10-3 bar = 102 Pa
1 torr = 1/760 atm = 133 Pa
Legge di Stevino
Consideriamo un fluido incomprimibile (con densità ρ
costante punto per punto). La legge di Stevino descrive
la variazione della pressione con la profondità h.
Le forze laterali si controbilanciano.
Consideriamo le forze che agiscono
sulle superfici superiore e inferiore.
Finf = Fsup+ P
pinf ΔS = psup ΔS + mg
pinf ΔS = psup ΔS + ρ ΔS h g
pinf = psup + ρ g h
Legge di Stevino
La pressione esercitata da una colonna di fluido
con densità costante ρ in un suo punto di
profondità h (distanza dal pelo libero del fluido,
ossia la superficie del liquido che è a contatto con
l'aria dell'ambiente esterno pressione esterna) è
direttamente proporzionale alla profondità h e alla
accelerazione di gravità.
ph = psup + ρ g h
Δp = ρ g h
Esercizio
Qual è la pressione esercitata su un sub che scende
alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare?
Esercizio
Qual è la pressione esercitata su un sub che scende
alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare?
p = p0 + ρacqua,mare g Δh
p0=1 Atm = 1.013·105 Pa = 1.013·105 N/m2
Ρacqua,mare= 1.025 · 103 Kg/m3
g = 9.81 m/s2
Δh = 10 m
P = ρacqua,mare g Δh =1.025 · 103 · 9.81 · 10 Pa =
= 1.005·105 Pa ~ 1 atm.
Per ogni 10 m di acqua di profondità si ha un
incremento della pressione di circa 1 atm.
Principio di Pascal
Conseguenza della legge di Stevino p = p0+ ρ g h
Supponiamo di aumentare la pressione esterna sulla
superficie di un liquido:
p0 p0’ = p0+Δp0
Se il fluido è incomprimibile la pressione in
Un punto qualunque varierà come:
p p’ = p0’+ ρ g h
Δp = p’ - p = p0’ - p0 = Δp0
La pressione esercitata in una regione
qualsiasi di un fluido si trasmette in
tutte le direzioni con la stessa intensità.
Principio di Pascal
Nel fare un'iniezione, si preme sul pistone della siringa
esercitando una pressione sul liquido.
Tale pressione si trasmette a tutto il liquido, preme con la
stessa intensità contro le pareti della siringa ed esce dall'ago
con una velocità dipendente dalla pressione esercitata.
Infatti un fluido sottoposto ad una forza di
compressione esercita, sulle pareti del recipiente
e su qualsiasi oggetto immerso, forze che sono
sempre perpendicolari alle superfici di contatto,
indipendentemente dalla loro orientazione.
Applicazioni del principio di Pascal
In un sistema di recipienti comunicanti è possibile
sfruttare il principio di Pascal per ottenere forze di
intensità diversa per superfici diverse del liquido.
Applicando una forza F1 sulla
superficie S1, la pressione è F1/S1
Tale pressione si trasmette dal
basso verso l'alto sul pistone di
destra di sezione S2 su cui agisce la
forza normale F2.
Poiché F1/S1 = F2/S2, si ottiene
F2 = F1 (S2 /S1)
Principio dei vasi comunicanti
Il principio dei vasi comunicanti è quel principio fisico
secondo il quale un liquido contenuto in due o più
contenitori comunicanti tra loro, raggiunge lo stesso
livello indipendentemente dalla forma dei recipienti.
Applicazioni
Pressa idraulica, freni idraulici, …
Pressione atmosferica: esperienza di
Torricelli
p0 = 1 Atm = 1.013·105 Pa ~1kg/cm2
p0 = pHg
p0 ΔS = mHg g
p0 ΔS = ρHg ΔS Δh g
p0=ρHg g Δh
(ρHg=13.6·103 Kg/m3)
Δh=p0/(ρHgg) = (1.013·105)/(13.6·103·9.81)=760mm
Per bilanciare la pressione p0 occorre il peso di una
colonna di mercurio di 760 mmHg = 760 torr.
Principio di Archimede
La spinta di Archimede è la conseguenza della diversa
pressione idrostatica agente sulle superfici inferiore (verso
l’alto) e superiore (verso il basso) del corpo di altezza Δh
immerso in un fluido di densità ρ.
FA = p2 S – p1 S
= ρ g h2 S - ρ g h1 S
= ρ g S (h2 –h1)
= ρ g S Δh
=ρgV
= mg
Un corpo immerso in un fluido riceve
una spinta dal basso verso l’alto pari
al peso del liquido spostato (infatti i
corpi immersi in un liquido sembrano
essere più leggeri…)
Equilibrio dei galleggianti
Si consideri un corpo di densità ρc immerso in un fluido
di densità ρf. La parte di volume immersa sia Vi e sia il
corpo all’equilibrio. La risultante delle forze in gioco,
forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: FP+FA=0.
P = ρc V g
A = ρf Vi g
Dall’equazione P-A=0:
Vi/V = ρc/ρf
Equilibrio dei galleggianti
Si consideri un corpo di densità ρc immerso in un fluido
di densità ρf. La parte di volume immersa sia Vi e sia il
corpo all’equilibrio. La risultante delle forze in gioco,
forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: FP+FA=0.
P = ρc V g
A = ρf Vi g
Dall’equazione P-A=0:
Vi/V = ρc/ρf < 1
Per poter galleggiare, un
corpo deve avere densità
minore di quella del fluido
in cui è immerso.
Esempi
Iceberg:
ρghiaccio = 0.920·103 kg/m3
ρacqua,mare = 1.025·103 kg/m3
Vi/V = ρghiaccio / ρacqua,mare
= 0.920/1.025 ~ 0.90
Circa il 90% del volume
di un iceberg è immerso.
Fluidi in movimento
Consideriamo un fluido ideale: incomprimibile (ρ non
dipende dalla pressione a cui è sottoposto), privo di
viscosità (non vi è dissipazione di energia per attrito)
e in moto stazionario (con velocità v che, punto per
punto, non varia nel tempo). Per descriverne il moto si
applica il concetto di linea di flusso, definita come la
traiettoria seguita da ciascun elemento di fluido.
Fluidi in movimento
Elementi di fluido che
giungono in un punto
vi transitano sempre
con la stessa velocità.
Per definizione, le linee di
flusso non si intersecano.
Il loro insieme costituisce
una superficie tubolare
detta tubo di flusso.
Fluidi in movimento
Portata volumetrica
Si definisce portata il volume di fluido che attraversa
la sezione di un condotto nell’unità di tempo:
Q = ΔV/Δt
Nel SI la portata si misura in m3/s, ma
frequentemente si riporta in l/min.
Si dimostra che la portata può essere espressa come
il prodotto fra la sezione S e la velocità v del fluido.
Infatti, se l è lo spessore dell’elemento di fluido che
attraversa la sezione S nel tempo Δt, la portata è
Q = ΔV/Δt = S l/Δt = S v
Costanza della portata (legge di Leonardo)
Legge di conservazione della
portata (massa): la portata è
la stessa in tutte le sezioni di
un tubo di flusso.
m1 = m2
V1 = V2
S1 l1 = S2 l2
S1 v1 Δt = S2 v2 Δt
S1v1 = S2v2 = costante
Il tubo di flusso si comporta
come un condotto rigido,
all’interno del quale non si
può accumulare materia: la
massa m1 che entra nel
condotto in un certo tempo
Δt deve essere uguale a
quella m2 che esce nello
stesso intervallo di tempo.
Esercizio
Si consideri un condotto di
raggio R che si dirama in 3
condotti derivati di stesso
raggio R. Se il liquido nel
condotto primario ha
velocità v, quale sarà la
velocità v’ nei condotti
derivati?
Esercizio
Si consideri un condotto di
raggio R che si dirama in 3
condotti derivati di stesso
raggio R. Se il liquido nel
condotto primario ha
velocità v, quale sarà la
velocità v’ nei condotti
derivati?
Dalla legge di Leonardo si ottiene la portata volumetrica
in ingresso: Q = (π R2) v
che deve essere uguale a quella in uscita: Q’ = 3 (π R2) v’
da cui (π R2) v = 3 (π R2) v’
v’=v/3
Se S è costante anche v è costante, se il condotto
presenta variazioni di sezione allora a S maggiore
corrisponde v minore e viceversa: v1/v2=S2/S1
Teorema di Bernoulli
Esprime il principio di
conservazione dell’energia
meccanica per un fluido
ideale che si muove sotto
l’azione delle forze di
pressione e della forza
peso.
p + ρ g h+ ½ ρ v2 = costante
• p: pressione esercitata sulle pareti del condotto;
• ρgh: pressione di gravità esercitata da una colonna di
fluido di altezza h;
• ½ ρ v2: pressione cinetica che il fluido in scorrimento
esercita contro un ostacolo che si oppone al moto.
Teorema di Bernoulli: dimostrazione
Chiamiamo p1 e p2 le
pressioni esercitate
rispettivamente su S1 e S2 e
l1 e l2 le distanze percorse
nell'intervallo Δt.
La sezione S1 verrà “spinta”
dal fluido esterno al volumetto
e si avrà un lavoro fatto sul
fluido interno pari a
L1 = p1 S1 l1
In S2 è il fluido interno che
“spinge” in avanti la superficie
e il lavoro fatto dal fluido
sarà pari a
L2 = -p2 S2 l2
p + ρ g h+ ½ ρ v2 = costante
Le energie in gioco sono:
• il lavoro fatto dalla pressione
• l’energia cinetica
• l’energia potenziale
Teorema di Bernoulli: dimostrazione
Il lavoro totale compiuto sul volume di fluido compreso fra S1 e S2
sarà dunque la somma dei lavori L1 e L2:
L = p1 S1 l1 - p2 S2 l2
Ma per il principio di conservazione dell’energia meccanica L=ΔE,
dove E=K+U è l’energia meccanica. Dunque si ha:
L = E2 – E1 = (1/2 m v22 + m g h2) – (1/2 m v12 + m g h1)
Ed essendo m=ρ S1 l1 = m=ρ S2 l2 S1 l1 = S2 l2
Si ha:
p1 S1 l1-p2 S2 l2=
=(1/2m v22+m g h2)–(1/2m v12 + m g h1)
p1 S1 l1+1/2m v12+m g h1=
=p2 S2 l2+1/2m v22 + m g h2
p1 S1 l1+1/2ρ S1 l1 v12+ρ S1 l1 g h1=
p2 S2 l2+1/2ρ S2 l2 v22 +ρ S2 l2 g h2
p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2=cost.
Casi particolari
p1+ρgh1+½ρv12=p2+ρgh2+½ρv22
• Condotto orizzontale a S costante:
essendo h1=h2 e v1=v2 si ha p1=p2
• Condotto obliquo a S costante:
essendo h2-h1=h e v1=v2, p1=p2+ρgh
• Condotto orizzontale a S variabile:
essendo h1=h2, si ha p1=p2+½ρ(v22-v12)
Se S2<S1, v2>v1 e quindi p1>p2.
A sezione maggiore corrisponde pressione
maggiore e viceversa. Quando in un
condotto c’è una strozzatura si ha una
caduta di pressione e un aumento della
velocità (effetto Venturi).
Esempi
• Soffiando tra due fogli di
carta questi si avvicinano.
• Porta che sbatte con il
vento: come varia la velocità
angolare durante la chiusura?
Esempi
p1+0.5ρv12+ρgy1 = p2+0.5ρv22+ρgy2 Dato che y1=y2, rimangono pressione e En. Cine<ca Pext+Kext=Pint+Kint Barca a vela
La velocità dell’aria che scorre sulla parte esterna della vela è maggiore di quella che scorre sulla parte interna: Quindi si ha che: Kext > Kint allora Pext < Pint Forza efficace (Fvento) che spinge sulla vela! La forza che agisce sulla barca è poi la risultante di questa forza + la forza di resistenza dell’acqua sulla chiglia (Facqua) Le barche a vela navigano controvento! Stesso principio per le ali degli aeroplani!
