Proprietà di trasporto degli stati di bordo nella sequenza principale

Università degli Studi di Genova
Facoltà di Scienze M.F.N.
Anno Accademico 2006-2007
Tesi di Laurea Specialistica in Fisica
Proprietà di trasporto degli stati
di bordo nella sequenza principale
dell’Effetto Hall Quantistico
Frazionario
Dario Ferraro
Relatori:
Prof. M. Sassetti
Prof. N. Magnoli
Correlatore:
Prof. N. Maggiore
2
Indice
Introduzione
5
1 Effetto Hall
1.1 Particella libera in campo magnetico . . . . . . . . . . .
1.2 Effetto Hall Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Gas di Elettroni Bidimensionale (2DEG) . . . . . . . . .
1.4 Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE) . . . . . . . . . .
1.4.1 Soluzione in seconda quantizzazione . . . . . . .
1.4.2 Elettrone in campo magnetico: gauge di Landau
1.4.3 Elettrone in campo magnetico: gauge simmetrico
1.4.4 Invarianza per traslazioni . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Presenza di disordine . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Calcoli numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
23
2 Effetto Hall Quantistico Frazionario
2.1 Scoperta dell’effetto e sua descrizione . . . . . . . . . . .
2.2 Funzione d’onda di Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Analogia col plasma . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Eccitazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Esperimento ideale di Laughlin . . . . . . . . . .
2.3 Fase di Berry e statistica nella sequenza di Laughlin . .
2.4 Funzione d’onda nella sequenza di Jain e sue eccitazioni
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3 Teorie di campo efficaci per gli stati di bulk
3.1 Teoria di Wen per gli stati della sequenza di Laughlin . . . . . . . . . . . .
3.2 Teoria di Wen per la sequenza di Jain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Teoria di Fradkin e Lopez per la sequenza di Jain . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
46
49
4 Teorie di campo efficaci per gli stati di bordo
4.1 Stati di bordo nell’IQHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Stati di bordo per la sequenza di Laughlin . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin . . .
4.3 Teoria di Fradkin e Lopez per la sequenza di Jain . . . . . . . . .
4.3.1 Bosonizzazione dei campi per la teoria di Fradkin e Lopez
4.4 Teoria di Wen per la sequenza di Jain . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge . . . . . .
53
53
55
63
65
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68
71
3
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4
INDICE
4.5.1
4.5.2
Conduttanza Hall per la teoria di Wen per gli stati di Laughlin . . . 71
Conduttanza Hall per la teoria di Fradkin e Lopez . . . . . . . . . . 73
5 Processi di Tunneling
5.1 Geometria di ‘point contact’ . . . . . . . . . . . .
5.2 ‘Cleaved Edge Overgrowth’ . . . . . . . . . . . .
5.3 Probabilità di Tunneling . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Corrente per gli stati della sequenza di Laughlin
5.4.1 Limiti notevoli per la corrente . . . . . . .
5.5 Corrente per gli stati della sequenza di Jain . . .
5.5.1 Limiti notevoli per la corrente . . . . . . .
5.6 Evidenze Sperimentali . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Point contact per debole tunneling . . . .
5.7 Tunneling tra edge e metallo . . . . . . . . . . .
Conclusioni
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75
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91
92
94
99
A Grandezze fisiche e lagrangiana del bulk
101
B Operatore di campo per edge finito
105
C Funzioni di correlazione
109
D Rate di tunneling per il campo carico
113
Ringraziamenti
117
Introduzione
Negli ultimi decenni, grazie all’enorme sviluppo della tecnologia dei dispositivi a semiconduttore, si è reso possibile uno studio sempre più approfondito di sistemi fisici nei quali il
comportamento quantistico risulta preponderante. Si tratta di sistemi in cui le leggi della
fisica classica non sono più in grado di fornire predizioni riguardo ai fenomeni osservati e
per i quali occorre fare ricorso alla meccanica quantistica.
Fra i comportamenti particolari, che si possono incontrare in questo ambito, un posto di
primo piano va all’Effetto Hall Quantistico che ancora oggi, a quasi trent’anni dalla sua
scoperta, è oggetto di intense ricerche teoriche e sperimentali. Tale effetto si manifesta
in un gas di elettroni, confinato su un piano formato all’interfaccia fra semiconduttori in
presenza di un campo magnetico perpendicolare allo stesso. La sua fenomenologia consiste
nella quantizzazione della conduttanza Hall con il simultaneo annullarsi della conduttanza
longitudinale.
Da considerazioni di meccanica quantistica si ha che un sistema di elettroni non interagenti
in due dimensioni, sotto l’azione di un campo magnetico perpendicolare presenta livelli
energetici quantizzati denominati livelli di Landau, la cui degenerazione è pari al numero
di quanti di flusso elementari che attraversano il campione. Per il sistema in esame si può
introdurre il filling factor, grandezza che tiene conto del rapporto fra il numero di elettroni
presenti del sistema e la degenerazione di ogni livello di Landau.
L’Effetto Hall Quantistico è stato osservato per la prima volta da von Klitzing nel 1980
per valori di filling factor interi. Questa scoperta gli valse il premio Nobel per la fisica
nel 1985. L’interpretazione teorica di questo fenomeno, che prende il nome di Effetto Hall
Quantistico Intero, avviene all’interno di una teoria di elettroni non interagenti, per i quali
cioè la mutua interazione può essere trascurata.
Più complesso è il caso dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario. Osservato per la prima
volta da Tsui e Stormer nel 1982, esso è fenomenologicamente analogo all’Effetto Intero
ma ne differisce per l’interpretazione. In questo caso infatti sono coinvolti valori di filling
factor frazionari e per esso è cruciale l’introduzione dell’interazione fra gli elettroni che
complica enormemente lo studio delle proprietà di trasporto del sistema.
Il primo a fornire un’interpretazione teorica del fenomeno è stato Laughlin nel 1983. Egli
propose una descrizione dello stato fondamentale del sistema e dei suoi stati eccitati, nel
1
caso particolare di filling factor ν =
con m intero positivo, in termini di funzioni
2m + 1
d’onda variazionali. Una delle conseguenze più importanti del modello proposto da Laughlin è la presenza di eccitazioni elementari con carica frazionaria, diretta conseguenza della
quantizzazione della conduttanza, e statistica frazionaria. Tali eccitazioni hanno un gap
di energia di creazione. Questi oggetti sono una caratteristica peculiare dell’Effetto Hall
Quantistico Frazionario e sono conseguenza della bidimensionalità e della forte interazione.
5
6
INTRODUZIONE
Esse rappresentano le entità fondamentali del sistema, infatti le eccitazioni elettroniche,
all’interno del fluido Hall, possono essere viste come agglomerati di un numero intero di
quasiparticelle.
Jain ha proposto una generalizzazione del lavoro di Laughlin grazie alla quale ha potuto
p
descrivere stati con filling factor ν =
, con p intero sia positivo che negativo e m
2mp + 1
intero positivo, che nuovamente sono contraddistinti da eccitazioni di quasiparticella con
carica e statistica frazionaria.
Oltre all’interpretazione in termini di funzioni d’onda per gli stati dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario, negli ultimi anni si è passati a considerare teorie di campo efficaci,
basate sulla teoria di Chern-Simons e adatte a trattare il bulk elettronico bidimensionale.
Grazie a queste è possibile ottenere il corretto valore del filling factor del sistema, della
carica e della statistica delle eccitazioni di quasiparticella e di elettrone. Uno dei primi
modelli per la descrizione di tali stati è stato quello elaborato da Wen, basato su un numero
variabile di campi di gauge abeliani. Nel tentativo di semplificare tale modello nel 1999
Fradkin e Lopez hanno proposto una descrizione basata solamente su tre campi di gauge
abeliani uno dei quali ha il compito di veicolare le proprietà elettriche delle eccitazioni e
gli altri due sono necessari per attribuire ad esse le corrette proprietà statistiche.
A partire dalle teorie elaborate per il bulk è possibile ricavare teorie di campo anche per
gli stati che si formano al bordo del sistema (edge) quando esso è confinato in una regione
del piano mediante un potenziale. Tali stati rappresentano un’altra peculiarità dell’Effetto
Hall Quantistico. In essi le eccitazioni hanno la stessa carica e statistica di quelle del bulk,
ma non hanno gap energetico di creazione. La descrizione di tali stati avviene in termini
di una teoria bosonica elaborata in precedenza per un liquido di elettroni interagenti in
una dimensione, detto Liquido di Luttinger. In questo caso, per via del campo magnetico
che agisce sul sistema, i modi fononici hanno una direzione di propagazione definita ed è
pertanto corretto parlare di Liquido di Luttinger Chirale. Gli stati di bordo dell’Effetto
Hall Quantistico rappresentano una delle prime evidenze sperimentali del Liquido di Luttinger, che prima della loro scoperta era considerato una pura curiosità teorica.
Per investigare le proprietà del Liquido di Luttinger Chirale uno dei metodi più utilizzati
è quello di studiare le proprietà di trasporto delle quasiparticelle e degli elettroni presenti
sui bordi attraverso esperimenti di tunneling. Per fare ciò si fa in modo che la barretta
Hall sia in contatto con due serbatoi posti a potenziali elettrochimici differenti. Ciò fa sı̀
che si creino due bordi che si propagano in direzioni opposte. Attraverso un potenziale
di gate esterno si possono mettere i bordi in contatto e si rende possibile il passaggio di
elettroni e quasiparticelle fra di essi. Lo studio degli andamenti della corrente di tunneling
permette di dare una prova sperimentale della formazione del Liquido di Luttinger Chirale.
Nel mio lavoro mi sono occupato di descrivere le eccitazioni di bordo negli stati dell’Effetto
Hall Quantistico Frazionario sia nel caso della sequenza di Laughlin, per i quali i risultati
teorici sono ormai consolidati, che per quella di Jain, per la quale sono state proposte varie
modellizzazioni. Per queste ultime ho utilizzato la descrizione di Fradkin e Lopez che si è
rivelata più semplice da trattare rispetto a quella data in precedenza da Wen, alla quale
ho accennato solo riguardo ad un semplice esempio. Le teorie di campo efficaci per gli
stati di edge sono state da me ottenute a partire da quelle descritte per il bulk.
Partendo da un sistema costituito da due edge distinti propaganti rispettivamente sui due
bordi del sistema in direzioni opposte ho introdotto un’hamiltoniana di tunneling tale
INTRODUZIONE
7
di metterli in comunicazione. Utilizzando uno sviluppo perturbativo al primo ordine in
quest’ultima, considerando quindi un debole accoppiamento fra gli edge, ho potuto ottenere le espressioni della corrente di tunneling in funzione del voltaggio e della temperatura per entrambe le sequenze. Le espressioni asintotiche per V → 0 e T → 0 evidenziano
gli andamenti tipici del Liquido di Luttinger Chirale e si discostano dall’usuale andamento
ohmico.
Oltre a questo caso ho considerato un’altra situazione rilevante: il tunneling fra gli stati di
bordo dell’Effetto Hall e un semiconduttore ordinario fortemente drogato n. A differenza
degli altri casi, per i quali non esistono esperimenti relativi alla sequenza di Jain, per
quest’ultimo è possibile confrontare i valori teorici da me ottenuti con i dati sperimentali
che hanno investigato un ampio regime di filling factor fra i quali anche alcuni appartenenti
alla sequenza di Jain. Gli esperimenti che ho preso in considerazione sono quelli effettuati
nel 1996 da Chang, seguiti nel 1998 da quelli di Grayson. Dal confronto tra teoria ed
esperimenti ho potuto affermare che il modello proposto da Fradkin e Lopez rappresenta
una valida descrizione per gli stati di bordo e presenta un maggior accordo coi dati sperimentali rispetto al modello di Wen che in quegli anni era ritenuto il più accreditato alla
descrizione di tali stati.
Il lavoro di tesi è diviso in cinque Capitoli.
Nel Capitolo 1 ho richiamato il comportamento classico di un elettrone in un campo
magnetico. In seguito ho preso in considerazione la formazione di un gas di elettroni bidimensionale nel quale è stato osservato l’Effetto Hall Quantistico. Per interpretare l’Effetto
Hall Intero ho studiato il comportamento di un elettrone in campo magnetico dal punto
di vista quantistico.
Nel Capitolo 2 discuto la fenomenologia dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario. Studio
nel dettaglio il metodo variazionale proposto da Laughlin per descrivere gli stati con filling
1
factor ν =
con m intero positivo. Per essi ho mostrato come vi siano eccitazioni
2m + 1
elementari di quasiparticella e quasibuca con carica frazionaria, diretta conseguenza della
quantizzazione della conduttanza, e con un’energia di creazione finita. Queste presentano
inoltre statistica frazionaria come evidenziato dalle considerazioni fatte riguardo alla fase
di Berry. In analogia con quanto fatto per la sequenza di Laughlin ho considerato la funp
zione d’onda per la sequenza di Jain dove ν =
con m intero positivo e p intero.
2mp + 1
Anche in questo caso si ha la formazione di eccitazioni con carica e statistica frazionaria.
Nel Capitolo 3 ho passato in rassegna le teorie di campo efficaci di Wen e di Fradkin
e Lopez che permettono di descrivere il bulk di un sistema Hall riproducendo il corretto
valore del filling factor del sistema, della carica e della statistica delle quasiparticelle sia
per la sequenza di Laughlin che per quella di Jain. Ho sottolineato le differenze sostanziali
fra i due modelli.
Il Capitolo 4 ha lo scopo di mostrare come le teorie di campo efficaci studiate per il bulk
possono essere ristrette, seguendo l’approccio proposto da Wen, al bordo del sistema e permettono di studiare le eccitazioni che si formano lungo esso. Queste hanno la stessa carica
e la stessa statistica di quelle del bulk ma non presentano energia di creazione. L’hamiltoniana del bordo privo di eccitazioni, in seconda quantizzazione, appare analoga a quella di
un sistema bosonico. Gli operatori di campo di quasiparticella ed elettrone possono essere
scritte mediante i campi bosonic di bordo attraverso la procedura di bosonizzazione.
8
INTRODUZIONE
Ho rivolto particolare attenzione al caso della sequenza di Jain studiando a fondo il modello proposto da Fradkin e Lopez.
Come conclusione del Capitolo ho verificato che i modelli in esame siano in grado di predire
la corretta quantizzazione della conduttanza.
Nel Capitolo 5 emerge il risultato più originale del mio lavoro. In esso ho considerato i
processi di tunneling che coinvolgono gli stati di edge. Ho calcolato all’ordine perturbativo più basso nell’hamiltoniana di tunneling la corrente di tunneling delle quasiparticelle
e degli elettroni sia nel caso della sequenza di Laughlin che in quello della sequenza di
2
Jain. In quest’ultimo caso ho utilizzato il modello di Fradkin e Lopez e, per ν = , quel5
lo proposto da Wen. Ho mostrato che la corrente di tunneling nei due modelli presenta
andamenti diversi al variare del voltaggio e della temperatura. Dal confronto tra le due
teorie e i dati sperimentali ho potuto determinare come per la sequenza di Jain il modello
di Fradkin e Lopez sia più appropriato a descrivere gli esperimenti del modello proposto
in precedenza da Wen.
Capitolo 1
Effetto Hall
In questo Capitolo descriverò dal punto di vista classico un sistema di elettroni non interagenti in due dimensioni soggetti a un campo magnetico. Successivamente tratterò lo stesso
sistema da un punto di vista quantistico giungendo alla descrizione dell’Effetto Hall Quantistico Intero. Devolverò una sezione per descrivere le eterostrutture a semiconduttore in
cui si genera un gas di elettroni bidimensionale.
1.1
Particella libera in campo magnetico
Considero inizialmente il moto classico di un elettrone di carica −e, con e > 0, e massa me .
Immagino che esso sia libero di muoversi sul piano xy e soggetto ad un campo magnetico
ad esso perpendicolare B = B ẑ. Il sistema è descritto dalla lagrangiana
e
1
L = me ẋ2 + ẏ 2 − (Ax ẋ + Ay ẏ) ,
2
c
(1.1)
dove A = (Ax , Ay , 0) è il potenziale vettore per il quale si ha
∇ × A = B,
(1.2)
e c è la velocità della luce. Per semplicità studio le equazioni del moto nel gauge di Landau
A = (−By, 0, 0).
(1.3)
Be
1
L = me ẋ2 + ẏ 2 +
ẋy
2
c
(1.4)
La lagrangiana assume la forma
da cui derivano le equazioni del moto
me ẍ = −
Be
ẏ;
c
me ÿ =
Be
ẋ.
c
(1.5)
Esse, come ovvio, non dipendono dalla particolare scelta di gauge fatta. Introducendo la
frequenza di ciclotrone
Be
ωc =
(1.6)
me c
9
10
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
si ottiene
ẍ = −ωc ẏ;
ÿ = ωc ẋ.
(1.7)
E’ facile osservare che la soluzione generale del sistema (1.7) è data da
x = R cos(ωc t + δ);
y = R sin(ωc t + δ)
(1.8)
dove R rappresenta il raggio dell’orbita circolare percorsa dall’elettrone e δ è una fase
arbitraria. La frequenza ωc con cui l’elettrone compie tale orbita dipende linearmente
dall’intensità del campo magnetico esterno come mostrato dalla (1.6).
La lagrangiana di un sistema costituito da N elettroni non interagenti fra loro è data
quindi dalla somma di N termini nella forma (1.1).
1.2
Effetto Hall Classico
Considero ora N elettroni liberi soggetti anche ad un campo elettrico E giacente nel piano
xy. Tale campo genera una densità di corrente J lungo il sistema come illustrato in Fig.
1.1. Il primo a realizzare sperimentalmente quasto sistema è stato, nel 1878, E. H. Hall
Figura 1.1: Rappresentazione della barretta Hall. Il campo magnetico B è diretto lungo
l’asse z e risulta perpendicolare al campione. Un campo elettrico E giacente sul piano fa
sı̀ che gli elettroni si muovano nella barretta generando una densità di corrente J. Per
via del contributo magnetico alla forza di Lorentz FB gli elettroni si spostano sul bordo
superiore della barretta creando un accumulo di carica negativa. La differenza fra la carica
del bordo superiore e di quello inferiore genera un campo elettrico e una conseguente forza
FE che all’equilibrio bilancia FB . L’unica componente della densità di corrente nel regime
stazionario risulta pertanto quella lungo l’asse x.
[1]. Il suo obiettivo era quello di stabilire il segno dei portatori di carica nei metalli. A tal
fine egli utilizzò sottili lamine di vari metalli, definendole barrette Hall, considerando il
sistema almeno in prima approssimazione bidimensionale. Il risultato da lui trovato porta
il nome di Effetto Hall Classico.
Per studiare il moto degli elettroni nel metallo è conveniente applicare il modello di Drude
[2, 3]. In base a questo si può assumere che il moto degli elettroni nel metallo sia accelerato
dalle forze esterne agenti su di essi negli intervalli fra i vari eventi di scattering a cui sono
1.2. EFFETTO HALL CLASSICO
11
soggetti. Questi ultimi sono principalmente di tre tipi: scattering con le impurezze reticolari, interazione elettrone-elettrone e interazione elettrone-fonone. La loro importanza
relativa è legata alla purezza del campione, alla densità di elettroni in esso presenti e alla
temperatura a cui viene svolto l’esperimento.
La forza che agisce sul sistema nel caso in esame è quella di Lorentz
1
F = −e E + vD × B = FE + FB .
c
(1.9)
In base a queste considerazioni l’equazione del moto di un singolo elettrone è data da
dp
p
=− +F
dt
τ
(1.10)
dove p = me v è il momento dell’elettrone e τ è il tempo medio che intercorre fra due
eventi di scattering successivi in cui esso è coinvolto.
dp
Il regime stazionario è raggiunto quando
= 0 ed evidenzia una velocità di deriva
dt
costante
1
τe
E + vD × B .
(1.11)
vD = −
me
c
Considerando la definizione della densità di corrente
J = −nevD ,
(1.12)
N
rappresenta la densità bidimensionale degli elettroni, è possibile riscrivere
Lx Ly
la (1.11) come
B
me
J−
ẑ × J.
(1.13)
E=
nτ e2
nec
Questa espressione permette di dare una scrittura esplicita del tensore di resistività ρ̂ˆ , che
dove n =
lega i vettori E e J secondo la relazione matriciale
E = ρ̂ˆ J,
dove


ρ̂ˆ = 
me
ne2 τ
(1.14)
B
nec
me
ne2 τ
B
− nec


.
(1.15)
Si osserva che nel caso B = 0 il tensore diviene diagonale e si ritrova l’usuale proporzionalità fra E e J in cui la resistività è quella prevista dal modello di Drude. Nel caso B 6= 0
ciò cessa di essere vero.
La matrice di resistività può essere invertita per ottenere il tensore di conducibilità

ˆ=
σ̂

ρxx
ρ2xx +ρ2xy
ρxy
2
xx +ρxy
− ρ2

ρxy
ρ2xx +ρ2xy
ρxx
ρ2xx +ρ2xy


,

(1.16)
dove, come si osserva direttamente dalla (1.15),
ρxy = −ρyx ;
ρxx = ρyy .
(1.17)
12
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Da quanto detto si ricava che, sotto la condizione ρxy 6= 0, l’annullamento di ρxx implica
σxx = 0 e viceversa.
Occorre ora studiare la dinamica del sistema. Suppongo che inizialmente vi sia solo la
componente Jx della densità di corrente. A causa del contributo magnetico alla forza
di Lorentz FB gli elettroni si accumulano sul bordo superiore della barretta e portano un
contributo Jy alla densità di corrente. Ciò fa si che si instauri un campo elettrico trasverso
e di una conseguente forza elettrica FE (vedi Fig. 1.1) di verso opposto a FB .
Il raggiungimento del regime stazionario si ottiene quando |FE | = |FB |. In questa situazione si ha nuovamente che solo la componente Jx della densità di corrente circola nel
campione. Si giunge pertanto alle relazioni
me
Jx
ne2 τ
B
= −
Jx .
nec
Ex =
(1.18)
Ey
(1.19)
In base a queste considerazioni si ha che agli estremi della barretta si possono misurare
due distinte differenze di potenziale, la prima longitudinale fra i terminali A e C di Fig.
1.1, che indico con VL , e la seconda trasversa fra i terminali A e G, che prende il nome di
potenziale Hall e che si indica usualmente con VH .
Nel caso in cui le componenti di E e J possano essere considerate costanti e uniformi per
tutta la grandezza del campione si ha che la corrente in esso circolante è data da
I = Jx Ly ;
(1.20)
grazie ad essa ottengo
me
me Lx
Jx Lx = 2 I
ne2 τ
ne τ Ly
B
B
= Ey Ly = −
Jx Ly = −
I.
nec
nec
VL = Ex Lx =
(1.21)
VH
(1.22)
Il segno di VH è direttamente legato a quello dei portatori di carica. A questo punto è
possibile introdurre le resistenze
RL =
RH
=
|VL |
me Lx
Lx
= 2
= ρxx
|I|
ne τ Ly
Ly
B
|VH |
=
= ρxy .
|I|
nec
(1.23)
(1.24)
Mentre la prima grandezza dipende dal rapporto delle dimensioni della barretta, la seconda
è completamente indipendente dalla geometria del sistema. Ciò è una diretta conseguenza
della bidimensionalità del campione.
1.3
Gas di Elettroni Bidimensionale (2DEG)
Prima di passare allo studio dell’Effetto Hall Quantistico occorre aprire una parentesi sulla
realizzazione dei dispositivi a semiconduttore nei quali esso è stato osservato sperimentalmente.
1.3. GAS DI ELETTRONI BIDIMENSIONALE (2DEG)
13
Col progredire della tecnologia, a partire dagli anni ’70, è stato possibile creare un gas
di elettroni bidimensionale prima all’interfaccia fra un isolante ed un semiconduttore [5]
ed in seguito alla giunzione fra due semiconduttori differenti [6]. Questi sistemi si sono
rivelati ideali per lo studio dell’Effetto Hall.
Presenterò ora una descrizione teorica del confinamento del moto degli elettroni sul piano
xy. Per fare ciò studio il comportamento quantistico di una particella libera di muoversi
in un piano e soggetta ad una buca di potenziale nella direzione perpendicolare ad esso.
Per una descrizione qualitativa non occorre conoscere nel dettaglio la forma del potenziale
che indicherò genericamente con V (z).
Ogni elettrone del sistema deve soddisfare l’equazione di Schroedinger
"
#
h̄2 2
−
∇ + V (z) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
2me
(1.25)
dove me rappresenta ora la massa efficace degli elettroni nella banda di conduzione del
semiconduttore in esame. Dal momento che x e y sono coordinate cicliche è possibile
risolvere tale equazione per separazione di variabili ponendo
ψ(x, y, z) = ϕ(x, y)ζ(z)
(1.26)
ϕ(x, y) = Aeikx x eiky y
(1.27)
in cui
con A costante di normalizzazione. Sostituendo nella (1.25) ottengo
"
#
h̄2
h̄2
ζ(z) kx2 + ky2 ϕ(x, y) −
ϕ(x, y)∂z2 ζ(z) + V (z)ϕ(x, y)ζ(z) = Eϕ(x, y)ζ(z).
2me
2me
(1.28)
Da questa si ottiene, per la funzione ζ(z), l’equazione di Schroedinger in una buca unidimensionale con livelli energetici discreti i
"
#
h̄2 2
−
∂ + V (z) ζi (z) = i ζi (z).
2me z
(1.29)
In base a quanto detto gli autovalori dell’energia del sistema sono quindi della forma
Ei = h̄
2
kx2 + ky2
2me
!
+ i ,
(1.30)
le bande energetiche del sistema sono pertanto paraboloidi nello spazio kx e ky con vertici
in i .
Sperimentalmente è possibile porre l’energia di Fermi del sistema EF fra la prima e la
seconda banda. Ricordo che EF dà indicazione del riempimento dei livelli energetici da
parte degli elettroni. Gli elettroni risultano cosı̀ vincolati a muoversi nel livello energetico
più basso e il loro moto diventa strettamente bidimensionale.
I sistemi migliori per studiare questo 2DEG sono le eterostrutture a semiconduttore
mostrate in Fig. 1.2. In esse gli elettroni si muovono all’interfaccia fra due semiconduttori con reticolo cristallino molto simile. I materiali privilegiati per realizzare questi
dispositivi sono GaAs e AlGaAs. Essi hanno una struttura reticolare pressochè identica
14
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Figura 1.2: (a) Rappresentazione dell’eterostruttura GaAs-AlGaAs. (b) Andamento delle
bande di conduzione e di valenza alla giunzione da cui emerge il formarsi di una buca di
potenziale V (z) tale da generare il confinamento degli elettroni nella direzione z.
che garantisce la quasi totale assenza di difetti reticolari all’interfaccia. Il drogaggio dei
campioni avviene attraverso la tecnica del ‘modulation doping’ per mezzo della quale si
può ridurre notevolmente la possibilità di urto fra elettroni e impurezze reticolari nelle
vicinanze dell’interfaccia [8].
I campioni vengono costruiti come segue: uno strato spesso alcuni µm di GaAs, debolmente drogato p, viene ricoperto da circa 0.5 µm di AlGaAs. Durante questa crescita
impurezze di Si sono introdotte nell’AlGaAs a circa 0.1 µm dall’interfaccia. Gli atomi di
Si cedono elettroni che tendono a spostarsi nello strato di GaAs, dotato di una maggiore
affinità elettronica. In esso, grazie all’elevata purezza, gli elettroni di conduzione possono
muoversi liberamente subendo solo un esiguo numero di processi di scattering, essendo le
impurezze per la maggior parte presenti nello strato sovrastante. In questo sistema è la
deformazione della banda di conduzione all’interfaccia a creare una buca di potenziale che
porta alla formazione del 2DEG.
La struttura appena descritta risulta ottimale allo scopo di studiare le proprietà di trasporto
del gas di elettroni. Nei campioni più puri si è potuta raggiungere una mobilità
µ = 2 · 107 cm2 V−1 s−1 che equivale ad un libero cammino medio di circa 1.5 mm. Un
elettrone, in questi campioni, può superare più di un milione di atomi senza subire processi di scattering. Sono proprio queste eterostrutture, con la loro purezza, a permettere
di realizzare esperimenti che evidenziano oltre all’Effetto Hall Quantistico Intero quello
Frazionario.
Il primo di tali esperimenti fu quello realizzato da K. von Klitzing nel 1980 che scoprı̀
l’Effetto Hall Quantistico Intero. Questo fu in realtà realizzato su MOSFET di Silicio nel
quale il 2DEG era libero di muoversi all’interfaccia fra il semiconduttore e il suo ossido.
La struttura di questi dispositivi è mostrata in Fig. 1.3. Gli elettroni presenti nel Si vengono spinti verso l’ossido, che è isolante e non può essere attraversato da essi, mediante
un campo elettrico applicato attraverso un gate metallico. Questo apparato sperimentale
è stato in seguito abbandonato perchè risultava molto meno pulito del precedente. Gli
elettroni vincolati a muoversi in prossimità di un’interfaccia con un materiale molto disordinato quale l’ossido di Silicio infatti subiscono un numero di urti molto maggiore che
nelle eterostrutture.
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
15
Figura 1.3: (a) Rappresentazione del MOSFET di Silicio. (b) Andamento delle bande di
conduzione e di valenza all’interfaccia fra semiconduttore e ossido. Anche in questo caso
si ha la formazione di una buca di potenziale che permette il confinamento degli elettroni.
1.4
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
Nel 1980, ad un secolo dalla scoperta dell’Effetto Hall classico, K. von Klitzing [9], studiando l’Effetto Hall su di un 2DEG posto in un campo magnetico molto intenso (3 ÷ 10 T ) e
ad una temperatura di pochi gradi Kelvin (≈ 1.5 K) in un MOSFET di Silicio come quello
descritto nella Sezione precedente, ottenne un risultato inaspettato. In tali condizioni la
resistenza di Hall perde la linearità nel campo B prevista classicamente (cf. Eq. (1.24)) e
risulta quantizzata in modo estremamente preciso. I plateaux si attestano sui valori
RH = ρxy =
1h
i e2
(1.31)
con i intero come è mostrato in Fig. 1.4.
La precisione di questa quantizzazione ha un’accuratezza dell’ordine di una parte su 109 , è
universale e indipendente dalla struttura del semiconduttore. La misura dei plateaux dell’Effetto Hall Intero permette inoltre di dare un valore estremanente preciso della costante
di struttura fine
α=
µ0 c e2
2 h
(1.32)
in cui µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Questo fatto è di notevole importanza perchè si basa su una misura eseguita su un sistema
macroscopico, quale è appunto la barretta Hall, e non microscopico.
Dalla Fig. 1.4 è possibile notare un’altra caratteristica fondamentale dell’IQHE. In corrispondenza dei plateaux di ρxy si ha un annullamento della resistività longitudinale ρxx .
Come vedremo, tali fenomeni hanno natura strettamente quantistica e la loro spiegazione
avviene nell’ambito di una teoria non interagente. Per la sua scoperta K. von Klitzing fu
insignito del premio Nobel per la fisica nel 1985.
Per un’adeguata comprensione del fenomeno è conveniente prima di tutto richiamare il
comportamento di un elettrone in campo magnetico, ma questa volta dal punto di vista
quantistico.
16
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Figura 1.4: Andamento di ρxx e ρxy in funzione del campo magnetico per gli stati IQHE.
Si noti come la prima grandezza si annulla in corrispondenza dei plateaux della seconda.
Questi due comportamenti non hanno spiegazione in un contesto classico e devono essere
studiati quantisticamente. Tratto da [10].
1.4.1
Soluzione in seconda quantizzazione
A partire dalla lagrangiana classica (1.1) è possibile derivare l’hamiltoniana
2
1
e
1
p+ A =
P2
(1.33)
2me
c
2me
e da essa l’equazione operatoriale di Schroedinger
1
P2 ψ(x, y) = Eψ(x, y).
(1.34)
2me
Dal momento che il campo magnetico B, nel caso dell’Effetto Hall Quantistico, è molto
intenso suppongo che gli elettroni siano completamente polarizzati in spin. Essendo il
sistema soggetto ad un campo magnetico costante B = B ẑ, il potenziale vettore A sarà
al più lineare nelle coordinate spaziali. La (1.34) può pertanto essere interpretata come
l’hamiltoniana di un oscillatore armonico.
Per studiare lo spettro energetico è conveniente dare una descrizione in termini di operatori
di creazione e distruzione. A tal proposito osservo che
e
e
[Px , Py ] = px + Ax (x, y, z), py + Ay (x, y, z) =
c
c
(1.35)
eh̄
eh̄
ih̄e
ih̄2
−i [∂x , Ay ] + i [Ax , ∂y ] = −
B=− 2 .
c
c
c
`
In essa ho tenuto conto dei commutatori
H=
[px , py ] = 0
(1.36)
[Ax (x, y, z), Ay (x, y, z)] = 0
(1.37)
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
17
utilizzando le espressioni esplicite px = −ih̄∂x e py = −ih̄∂y e introducendo la grandezza
`2 =
h̄c
.
eB
(1.38)
Come si può constatare facilmente ` ha le dimensioni di una lunghezza; essa prende il
nome di lunghezza magnetica ed è una delle grandezze caratteristiche del sistema in esame.
hc
Rappresenta infatti il raggio del cerchio che definisce il quanto elementare di flusso φ0 =
e
φ0 = 2π`2 B.
(1.39)
A questo punto introduco gli operatori di creazione e distruzione
`
√ (Px + iPy )
2h̄
`
√ (Px − iPy ),
2h̄
a† =
a =
(1.40)
(1.41)
per i quali vale
h
i
a, a† = 1.
(1.42)
Mediante questi, e usando la definizione (1.6), la (1.34) può essere riscritta nell’usuale
forma di oscillatore armonico
1
H = h̄ωc (a† a + ).
(1.43)
2
Lo spettro energetico del sistema è dato pertanto da
1
En = h̄ωc (n + )
2
(1.44)
con n ∈ N. Tali livelli energetici prendono il nome di livelli di Landau.
Come accade nel caso classico, in cui l’energia non dipende dalla posizione del centro dell’orbita circolare compiuta dall’elettrone, anche in questo contesto ci si attende
una degenerazione degli autostati dell’energia. Per evidenziare questo fatto considero gli
operatori
Px
me ωc
Py
= y+i
me ωc
Cx = x + i
(1.45)
Cy
(1.46)
per i quali vale
[Cx , Cy ] = i`2 .
(1.47)
Da essi si possono derivare gli operatori scaletta
b† =
b =
1
√ (Cx − iCy )
2`
1
√ (Cx + iCy )
2`
(1.48)
(1.49)
18
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
con commutatore
h
i
b, b† = 1.
(1.50)
Le relazioni di commutazione fra tali operatori e quelli introdotti in precedenza sono
h
i
[a, b] = a† , b = [H, b] = 0.
(1.51)
Dall’ultima di esse emerge una degenerazione per gli autovalori dell’energia. Questa verrà
ampiamente discussa nel Paragrafo successivo. Per quanto visto la quantizzazione della
teoria avviene in modo del tutto indipendente dalla scelta del gauge. Per gli sviluppi
successivi risulta però conveniente dare una descrizione del sistema anche in termini di
funzioni d’onda. Per fare ciò occorre considerare due particolari scelte di gauge, entrambe
casi particolari del gauge di Coulomb ∇ · A = 0: il gauge di Landau e il gauge simmetrico.
Nel primo caso opererò una trattazione in prima quantizzazione che permetterà, in modo
semplice, di introdurre la definizione di filling factor, grandezza fondamentale del sistema
in esame. Dal secondo emergerà la forma della funzione d’onda che sarà necessaria per
comprendere l’approccio di Laughlin allo studio dell’ Effetto Hall Quantistico Frazionario,
oggetto del prossimo Capitolo.
1.4.2
Elettrone in campo magnetico: gauge di Landau
Come osservato in precedenza, nel gauge di Landau si ha
A = (−By, 0, 0).
(1.52)
L’hamiltoniana assume pertanto la forma
1
e
H=
px − By
2me
c
2
+
1 2
p .
2me y
(1.53)
Dal momento che x è una coordinata ciclica il sistema è invariante per traslazioni in questa
direzione. Risulta pertanto possibile cercare una soluzione dell’equazione di Schroedinger
nella forma
Hψ(x, y) = Eψ(x, y)
(1.54)
1
ψ(x, y) = √ eikx ϕ(y).
2π
(1.55)
Questa, sostituita nella (1.53), conduce all’equazione per ϕ(y)
"
2
p2y
me 2 +
ωc y − k`2
ϕ(y) = Ek ϕ(y).
2me
2
#
(1.56)
Ho qui introdotto la definizione (1.38) e la frequenza di ciclotrone. Questa equazione agli
autovalori è riconducibile a quella di un oscillatore armonico unidimensionale centrato in
y0 = k`2 . Le soluzioni sono date da [4]
ϕn (y) = e−
(y−y0 )2
2`2
Hn (
y − y0
)
`
(1.57)
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
19
dove con Hn ho indicato i polinomi di Hermite. Le autofunzioni dell’hamiltoniana completa
sono quindi
1
ψk,n (x, y) = √ eikx ϕn (y).
(1.58)
2π
Esse si comportano come onde piane lungo la direzione x, mentre risultano localizzate
attorno al valore y0 nella direzione y. Gli autovalori dell’energia corrispondenti sono dati
dalla (1.44).
Come si può notare, l’energia è funzione solo dell’intero n e non dipende da k. Per un
sistema infinito esistono pertanto infiniti valori di k che identificano le diverse funzioni
d’onda corrispondenti alla stessa energia. Il campione in esame è però limitato, con dimensioni pari a Lx e Ly . La degenerazione in questo caso non è più infinita come si può
vedere da quanto segue.
Considero inizialmente cosa accade lungo la direzione x. Imponendo le usuali condizioni
al contorno periodiche per la funzione d’onda, si ha la quantizzazione dei numeri d’onda
k=
2π
m
Lx
(1.59)
con m ∈ Z. Per la direzione y considero realistiche quelle funzioni il cui centro sia contenuto
nel campione, cioè
0 < k`2 < Ly
(1.60)
e quindi
Lx Ly
.
(1.61)
2π`2
La disuguaglianza precedente dimostra che il massimo valore possibile per m è dato da
Lx Ly
mmax =
e corrisponde alla degenerazione cercata NDEG . Questo, secondo la re2π`2
lazione (1.39), è pari al rapporto fra l’area del campione e quella associata ad un quanto di flusso. Essa è equivalente pertanto al numero di quanti di flusso elementari che
attraversano il campione, come si può vedere dalla relazione
0<m<
NDEG =
Lx Ly
Lx Ly B
φ
=
=
2
2
2π`
2π` B
φ0
(1.62)
in cui φ = Lx Ly B rappresenta il flusso di campo magnetico attraverso il campione. In
ogni livello di Landau possono quindi trovare posto un numero di elettroni pari a NDEG .
Se il sistema consta di N elettroni è possibile definire una nuova grandezza che sarà di
grande importanza nel seguito della trattazione: il filling factor o fattore di riempimento,
indicato usualmente con ν. Esso è dato da
ν≡
N
NDEG
=n
hc
.
eB
(1.63)
Qui n rappresenta la densità bidimensionale degli elettroni. Fino a quando si ha ν < 1
gli elettroni aggiunti al sistema si pongono tutti nel primo livello di Landau, non ancora
completamente pieno. Quando ν = 1, o più in generale quando assume un valore intero,
si ha un numero intero di livelli di Landau pieni. Per poter aggiungere ulteriormente un
elettrone occorre occupare un nuovo livello inizialmente vuoto fornendo un’energia pari al
salto fra i livelli energetici h̄ωc .
20
1.4.3
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Elettrone in campo magnetico: gauge simmetrico
Considero ora la scelta di gauge
1
1
A(r) = B × r = (−By, Bx, 0).
2
2
(1.64)
In questo caso l’hamiltoniana (1.33) assume la forma
2
e
1
p+ B×r
2me
2c
H=
(1.65)
e risulta invariante per rotazioni attorno all’asse ẑ.
Al posto del numero quantico k utilizzato in precedenza conviene ora considerare il momento angolare l. Per semplificare ulteriormente la scrittura è utile dare una descrizione
in termini delle variabili complesse

x + iy


z=


`
=⇒



 z̄ = x − iy

`


x = (z + z̄)


2
(1.66)



 y = −i ` (z − z̄)
`
2
a cui corrispondono le derivate

`


∂ = (∂x − i∂y )

 z
2
=⇒

1


∂ = (∂z + ∂z̄ )

 x
`
.
(1.67)



 ∂y = i (∂z − ∂z̄ )



 ∂ = ` (∂ + i∂ )
z̄
x
y
`
2
Nelle nuove variabili introdotte l’hamiltoniana diviene
1
1
H = h̄ωc −∂z ∂z̄ − ∂z̄ ∂z + (∂z z + z∂z − ∂z̄ z̄ − z̄∂z̄ ) + (z z̄ + z̄z) .
4
8
Posso ora considerare gli operatori di creazione e distruzione


√
a = √12 ( z2 + 2∂z̄ )


z = √2(a − ib† )






 a† = √1 ( z̄ − 2∂z )
 z̄ = 2(a† + ib)
2 2
=⇒
1
i
z̄
∂z = − 2√
(a† − ib)


b = − √2 ( 2 + 2∂z )


2




1
 b† = √i ( z − 2∂ )
 ∂z̄ = √
(a + ib† )
z̄
2 2
(1.68)
(1.69)
2 2
che soddisfano le usuali relazioni di commutazione
h
i
h
i
a, a† = b, b† = 1
(1.70)
[z, ∂z ] = −1.
(1.71)
dal momento che vale
I commutatori non scritti esplicitamente sono nulli in accordo con quanto mostrato nel
Paragrafo 1.4.1. Essi, sostituiti nella (1.68), portano all’usuale forma
1
H = h̄ωc (a† a + ),
2
(1.72)
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
21
in accordo con quanto visto in precedenza (vedi Eq. 1.43).
L’operatore di momento angolare per un sistema bidimensionale è dato da
L = −ih̄(x∂y − y∂x ) = h̄(z∂z − z̄∂z̄ )
(1.73)
che riscritto in termini degli operatori di creazione e distruzione diviene
L = h̄(b† b − a† a).
(1.74)
Considero ora gli autostati comuni degli operatori H e L appena introdotti, e li indicherò
con |l, ni. Si ottiene
1
H |l, ni = h̄ωc (n + ) |l, ni = En |l, ni .
(1.75)
2
Ciò dimostra che la scelta di gauge, come affermato in precedenza, non ha influito sullo
spettro energetico En del sistema.
Poichè l’hamiltoniana (1.72) non dipende dagli operatori b e b† l’autovalore En è degenere
rispetto a l. Gli autovalori del momento angolare sono invece dati da
L |l, ni = h̄(l − n) |l, ni .
(1.76)
Questa degenerazione è analoga a quella rispetto a k trovata nel gauge di Landau. Considero ora la funzione
z z̄
ϕ0 = Ce− 4
(1.77)
dove C è una costante di normalizzazione. Facendo agire l’operatore a su di essa ottengo
z z̄
z z̄
1 z
C z z
aϕ0 = √ ( + 2∂z̄ )Ce− 4 = √ ( − )e− 4 = 0
2
2
2
2
2
(1.78)
z z̄
z z̄
i z̄
iC z̄ z̄
bϕ0 = − √ ( + 2∂z )Ce− 4 = − √ ( − )e− 4 = 0.
2 2
2 2 2
(1.79)
e analogamente
La funzione ϕ0 costituisce pertanto un autostato del sistema nel livello fondamentale per
il quale vale
h̄ωc
ϕ
(1.80)
Hϕ0 =
2
con momento angolare nullo (l = n = 0). Gli altri possibili stati si ottengono agendo con
gli operatori di creazione
|l, ni ∝ b†l a†n ϕ0 .
(1.81)
Se mi limito a considerare solo il primo livello di Landau, n = 0, gli stati sono etichettati dal
numero quantico l. Queste funzioni d’onda formano una base i cui elementi, correttamente
normalizzati, hanno la forma
ϕl = √
1
2π`2 2l l!
z z̄
z l e− 4 .
(1.82)
In base a queste considerazioni una generica funzione d’onda nella forma
z z̄
ψ = f (z)e− 4
(1.83)
22
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
appartiene al primo livello di Landau solo nel caso in cui f (z) risulti analitica in z. La
distribuzione di probabilità associata a√queste funzioni d’onda è fortemente localizzata
lungo una circonferenza di raggio R = 2l`. Ogni combinazione lineare delle funzioni ϕl
è ancora una soluzione per l’equazione di Schroedinger con n = 0. Pur avendo una formulazione analitica differente dalla precedente a causa della diversa scelta di gauge, questa
trattazione alternativa porta allo stesso spettro energetico e alla stessa degenerazione dei
livelli su un campione finito. Analogamente a quanto accadeva nel caso precedente, infatti, la degenerazione è pari al numero di quanti di flusso elementari che attraversano la
superficie del campione [11].
1.4.4
Invarianza per traslazioni
Studio ora il comportamento del sistema al variare del campo magnetico B. In generale,
richiamando la definizione di filling factor (cf. Eq.(1.63)), si ha
B=
nhc
.
νe
(1.84)
Nel caso in cui si abbia ν = i con i intero si ottiene in base alla (1.24) una resistenza Hall
RH =
h
.
ie2
(1.85)
Con questo ho dato giustificazione dei valori assunti da ρxy al centro dei plateaux, ma
non della quantizzazione che caratterizza l’effetto. Per far ciò occorre tenere conto ancora
di ulteriori aspetti fondamentali. Osservo, in primo luogo, che al variare del campo B in
un sistema invariante per traslazioni la struttura a plateaux non si può formare. Perchè
essa sia osservabile deve rompersi tale invarianza a causa, ad esempio, delle impurezze
presenti nel campione [12]. Per giustificare questa affermazione prendo in considerazione
un 2DEG invariante per traslazioni con τ → ∞ soggetto ad un campo elettrico E e ad un
campo magnetico trasverso B sul piano in cui si muovono gli elettroni. In un sistema di
riferimento che si muove con velocità |v| c si osserva un campo elettrico
1
E0 = E − v × B.
c
(1.86)
Si può scegliere la velocità in modo tale da annullare E0 con il conseguente azzerarsi
della densità di corrente del sistema. La corrente nel riferimento di partenza si ottiene
quindi semplicemente operando una trasformazione di Lorentz sulla densità di carica del
campione. Essa vale pertanto
J = ẑ × E

B


 ρxy =
nec
⇒

B


nec
(1.87)
ρxx = 0.
Ciò dimostra che, finchè nel sistema permane l’invarianza per traslazioni, ρxy è proporzionale a B e non si riesce a dare una spiegazione della struttura a plateaux osservata
sperimentalmente al variare di B.
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
1.4.5
23
Presenza di disordine
Nei sistemi fisici reali l’invarianza per traslazioni è sempre rotta dalla presenza di impurezze
e difetti reticolari. Queste, oltre a rendere finito il tempo di scattering τ e di conseguenza
la resistenza longitudinale del campione, sono essenziali per il formarsi dei plateaux che
contraddistinguono l’Effetto Hall Quantistico. Mostrerò ora come la presenza del disordine
altera la forma della densità degli stati (DOS) del sistema.
Per un sistema costituito da un gas di elettroni liberi in due dimensioni, con legge di
dispersione
h̄2 k 2
Ek =
,
(1.88)
2me
la DOS per unità di area è una costante. L’introduzione del campo magnetico dà origine
ai livelli di Landau descritti nel Paragrafo 1.4.2. La DOS assume la forma
D(E) = NDEG
∞
X
δ(E − En )
(1.89)
n=0
in cui i picchi deltiformi sono centrati sulle energie (1.44).
L’introduzione di disordine altera la forma della densità degli stati. In generale è molto
complesso tenere conto dell’effetto delle impurezze presenti nel campione. Si può pensare di
considerare il termine dovuto ad esse come una perturbazione all’hamiltoniana del 2DEG
tale per cui valga
2 X
N N
1 X
e
H = H0 + HD =
pi + A(ri ) +
VD (ri )
2me i=1
c
i=1
in cui il termine
VD (ri ) =
Ni
X
v(ri − Rj )
(1.90)
(1.91)
j=1
rappresenta l’interazione elettrostatica che l’i-esimo elettrone ha con le Ni impurità cariche
presenti nel campione e situate nelle posizioni Rj . Un tipico esempio di disordine è costituito da varie impurezze identiche distribuite in modo casuale con potenziale elettrostatico
a media nulla e range di correlazione nullo. In tal caso è possibile calcolare la nuova densità degli stati mediante la ‘self-consistent Born approximation’ (SCBA). Senza entrare nel
dettaglio richiamo i principali risultati che si ottengono. Per una derivazione si veda [7].
In primo luogo la struttura deltiforme tipica dei livelli di Landau si deforma e, al posto
dei picchi, si hanno semiellissi centrate in En come mostrato in Fig. 1.5. L’ampiezza di
queste ellissi è proporzionale alla radice del numero medio di impurezze che si trovano
in un cerchio di raggio `. Wegner [13] ha dato un’espressione esatta per la densità degli
stati nel caso particolare di distribuzione delle impurezze con correlazione spaziale a δ,
mostrando che in questo caso i livelli hanno forma gaussiana, ma mantengono un buon
accordo con il risultato ottenuto utilizzando la SCBA.
1.4.6
Calcoli numerici
Prenderò ora in considerazione alcuni elementi qualitativi che facilitano la comprensione
del ruolo svolto del disordine nell’IQHE. La presenza di disordine, oltre a modificare la
24
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Figura 1.5: Modifica dei livelli di Landau per la presenza di disordine sia nell’approssimazione SCBA [7] sia nel caso del calcolo esatto operato da Wegner [13]. Lo zero dell’energia rappresenta il valore dell’energia di un generico Livello di Landau En . In alto a sinistra
sono mostrati: la DOS di un sistema bidimensionale di elettroni liberi in un campione di
dimensioni finite (linea tratteggiata) e i livelli di Landau generati della presenza del campo
magnetico e dell’interazione dovuta alle impurezze (linea continua).
densità degli stati del sistema, ne altera la natura. In un reticolo cristallino perfetto, per
via del teorema di Bloch, gli autostati del sistema sono estesi a tutto il campione. L’introduzione di impurezze fa sı̀ che essi si dividano in due categorie: alcuni sono estesi e
altri risultano localizzati in una regione ristretta rispetto alle dimensioni del campione.
Il grado di localizzazione del sistema dipende dal numero di impurezze, dall’energia degli
stati e dalla struttura elettronica del sistema.
Un sistema di elettroni non interagenti in due dimensioni, in presenza di impurezze, è
costituito solo da stati localizzati [14]; l’introduzione di un campo magnetico permette la
formazione anche di stati estesi. Essi, mettendo in contatto gli estremi del campione, sono
quelli responsabili delle proprietà di trasporto del sistema.
Mediante simulazioni numeriche è stato possibile studiare le transizioni fra stati estesi e
localizzati. La Fig. 1.6 mostra la distribuzione di probabilità derivata dalla risoluzione numerica dell’equazione di Schroedinger di un 2DEG posto in un campo magnetico soggetto
ad un potenziale random che simula la presenza di impurezze. Questo studio mostra come,
per valori di energia prossimi ai bordi dalla banda che costituisce il livello di Landau, la
funzione d’onda occupa solo una zona ristretta del campione e non collega gli estremi dello
stesso. Nel caso in cui l’energia dello stato sia in prossimità del centro della banda gli stati
possono essere estesi e contribuire alle proprietà di trasporto. Si può dimostrare [15] che le
funzioni d’onda hanno un decadimento esponenziale con scala di lunghezza ξ, che prende
il nome di lunghezza di localizzazione. Essa dipende dall’energia e aumenta enormemente
quando ci si avvicina al centro dalla banda.
Si può dare una stima della dipendenza di ξ dall’energia attraverso uno studio percolativo
semiclassico [16, 17]. Non entrerò nel merito di tale calcolo. In generale però è possibile
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
25
Figura 1.6: Studio numerico della funzione d’onda di un 2DEG in presenza di un campo
magnetico e di disordine. La sequenza delle immagini mostra come più ci si avvicina al
centro del livello di Landau, rappresentato in basso a destra, più il supporto della funzione
d’onda si estende fino a collegare i bordi dal campione e permettere pertanto il trasporto
attraverso di esso. Sui bordi della banda la funzione d’onda risulta molto localizzata e
non mette in collegamento gli estremi del campione. In basso a destra è mostrato il livello
di Landau interessato dalla simulazione e il corrispondente andamento dalla lunghezza di
correlazione. Tratto da [19].
26
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
ottenere una legge di potenza
ξ(E) ∝ |E − En |−γ
(1.92)
4
con γ > . Nel caso in cui ξ superi le dimensioni fisiche del campione gli stati estesi
3
arrivano a connettere i bordi del sistema. Ciò accade quando ci si avvicina al centro di
ogni livello energetico.
I valori di energia Ec per i quali vale
ξ(Ec ) > L,
(1.93)
con L dimensione del campione, prendono il nome di ‘mobility edges’. Proprio ad essi è
legato l’andamento di σxy e σxx , e pertanto di ρxy e ρxx attraverso la formula di Kubo
[18].
Secondo questa formula la conduttanza σxx dipende dalle proprietà dei soli stati posti
in corrispondenza del livello di Fermi. Se essi risultano localizzati il sistema è isolante e
σxx = 0, in caso contrario invece esso conduce e la grandezza in esame ha un valore finito
σxx 6= 0. A differenza della conduttanza longitudinale, la conduttanza Hall dipende dalla
somma di tutti gli stati che si trovano al di sotto del livello di Fermi. Gli stati localizzati,
come nel caso precedente, non danno contributo, mentre quelli estesi sı̀. Ciò giustifica
la struttura a plateaux che si osserva sperimentalmente come mostrato in Fig. 1.7. Si
dimostra infatti [21] che la conduttanza ha precisamente la quantizzazione voluta, pari a
e2
. Ciò è dovuto al fatto che la corrente persa a causa del formarsi degli stati localizzati
h
ai bordi dei livelli di Landau è compensata esattamente dal contributo degli stati estesi.
In questo modo il suo valore resta pari a quello che si avrebbe nel caso in cui non vi siano
impurezze e non siano presenti stati localizzati. Fino a che il valore dell’energia di Fermi
si trova all’interno di una regione di stati localizzati il valore della conduttanza Hall non
varia, mentre il passaggio a una regione di stati estesi la porta al valore previsto per il
plateau successivo.
1.4. EFFETTO HALL QUANTISTICO INTERO (IQHE)
27
Figura 1.7: Dall’alto verso il basso. Andamento della densità degli stati in cui la regione
scura rappresenta gli stati localizzati e quella chiara gli stati estesi. In corrispondenza dei
primi la σxx non ha contributo a differenza di ciò che accade nel caso degli altri. Diverso è
il comportamento della σxy il cui valore dipende da tutti gli stati estesi presenti al di sotto
dal livello di Fermi. Nell’ultima immagine la linea tratteggiata rappresenta l’andamento
lineare di σxy che si otterrebbe trattando il problema classicamente.
28
CAPITOLO 1. EFFETTO HALL
Capitolo 2
Effetto Hall Quantistico
Frazionario
In questo Capitolo intendo delineare le caratteristiche fondamentali dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario. Dopo averne studiato la fenomenologia passerò alla sua interpretazione
in termini di funzioni d’onda variazionali e allo studio delle eccitazioni di quasiparticella
che rappresentano una peculiarità di tale Effetto.
2.1
Scoperta dell’effetto e sua descrizione
Nel 1982, conducendo misure di Effetto Hall su eterostrutture di GaAs-AlGaAs, come
quelle descritte nella Sezione 1.3, Dan Tsui e Horst Stormer [22] si imbatterono in un
fenomeno del tutto inatteso. Nei campioni analizzati, con densità bidimensionale di elettroni n = 1.1 · 1011 cm−2 e mobilità µ ≈ 8 ÷ 10 · 104 cm2 V−1 s−1 , osservarono quanto segue:
per temperature T > 4.2 K la resistività Hall cresceva linearmente all’aumentare del campo magnetico, come previsto classicamente, abbassando la temperatura fino a T ≈ 0.48 K,
per un campo magnetico esterno intenso (≈ 15 T) si osservava la formazione di un plateau
in corrispondenza del filling factor ν = 31 e una corrispondente caduta a zero di ρxx , segni
distintivi dell’Effetto Hall Quantistico. Gli andamenti descritti sono mostrati in Fig. 2.1.
Un plateau della resistenza in corrispondenza di valore di filling factor non intero non è
spiegabile all’interno dello schema esposto nell’ambito dell’IQHE. Ci si trovava in presenza di un fenomeno completamente nuovo che prende il nome di Effetto Hall Quantistico
Frazionario (FQHE). Tale denominazione trova giustificazione nel fatto che, a partire da
questa scoperta, la struttura a plateaux descritta è stata osservata anche per vari altri
valori di filling factor razionali. Alcuni di essi sono mostrati in Fig. 2.2. Nella gran parte
degli stati FQHE osservati sperimentalmente la resistenza Hall ha la forma
RH =
ph
q e2
(2.1)
con p intero e q intero dispari. Non mancano però alcune eccezioni alla regola del denominatore dispari, fra cui ad esempio ν = 52 e ν = 72 .
I plateaux più stabili e facilmente osservabili appartengono alla cosiddetta sequenza principale o sequenza di Jain, dal nome del fisico che per primo ne ha dato un’interpretazione
29
30
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Figura 2.1: Andamenti di ρxy e ρxx al variare del campo magnetico e per diverse temperature ottenuti da D. Tsui e H. Stormer nel loro esperimento del 1982. Per basse temperature
1
si osserva la formazione di un plateau di ρxy per il valore di filling factor ν = e la cor3
rispondente diminuzione di ρxx segni distintivi dell’Effetto Hall Quantistico. Tratto da
[22]
Figura 2.2: Andamento di RL e RH in funzione del campo magnetico per gli stati di
FQHE. L’andamento delle due grandezze appare simile a quello osservato per l’IQHE,
ma i valori di campo magnetico interessati sono maggiori del caso precedente. I valori
frazionari indicati rappresentano il filling factor ν corrispondente. Tratto da [23].
2.1. SCOPERTA DELL’EFFETTO E SUA DESCRIZIONE
31
teorica. Per essa i valori di filling factor ammessi hanno la forma
ν=
p
2mp + 1
(2.2)
1
che
2m + 1
prende il nome di sequenza di Laughlin. Essa è stata la prima ad essere stata compresa
1
teoricamente [24]. Il primo valore osservato sperimentalmente, ν = , appartiene a questa
3
sottosequenza. Per il suo lavoro Laughlin venne insignito, insieme agli scopritori del FQHE,
del premio Nobel per la fisica nel 1998.
Ancora oggi si è lontani da una piena comprensione del FQHE che è oggetto di intensa
ricerca teorica e sperimentale. La fenomenologia di questo effetto non è molto differente
da quella dell’IQHE. Anche per esso si ha la formazione di plateaux della resistenza Hall
in corrispondenza dei quali si annulla la resistenza longitudinale. La sua spiegazione è
però completamente differente. Gli stati di IQHE, descritti in precedenza, esauriscono
quelli ammissibili per una teoria di elettroni non interagenti. Quindi per tentare di dare
una spiegazione del FQHE si deve tenere conto anche dell’interazione coulombiana fra gli
elettroni finora non considerata. L’hamiltoniana del sistema diviene pertanto
dove p ∈ Z e m ∈ N. Ponendo in essa p = 1 si ottiene la sottosequenza ν =
H=
N
X
i=1
2
1
e
pi + A(ri )
2me
c
+
N
1 X
e2
= H0 + HINT
2 i6=k |ri − rk |
(2.3)
in cui il parametro è la costante dielettrica del mezzo che per i semiconduttori utilizzati
usualmente è pari a circa (12 ÷ 14).
L’introduzione dell’interazione rende più complessa la comprensione del comportamento
1
del sistema. Prendo in considerazione ad esempio il caso ν = . In un sistema libero
3
costituito da N elettroni per tale valore di filling factor vi sono 3N stati accessibili nel
primo livello di Landau. La degenerazione del sistema è data pertanto da
3N
N
!
=
3N !
,
N !2N !
che per un sistema macroscopico, con N ≈ 1010 , è un numero enorme. L’approccio perturbativo nell’interazione non è pertanto applicabile per una degerazione cosı̀ grande. Per
studiare il FQHE occorre trovare un modo efficace di trattare il sistema attraverso metodi
non perturbativi. Come visto infatti non si può considerare HINT come una perturbazione
di H0 . Analogamente non è possibile considerare H0 come una perturbazione di HINT in
quanto quest’ultima ha come stato fondamentale il cristallo di Wigner, stato della materia
che risulta diverso dal FQHE. Fra di essi deve esistere pertanto una transizione di fase che
non può essere studiata in modo perturbativo.
L’approccio più fruttuoso allo studio del FQHE si è rivelato quello elaborato da Laughlin
nel 1983 [24]. Egli introdusse una funzione variazionale per lo stato fondamentale del
sistema descritto nel gauge simmetrico. Mediante il metodo variazionale ha poi fissato il
parametro libero di quest’ultima, in modo da rendere minima la corrispondente energia
del sistema.
32
2.2
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Funzione d’onda di Laughlin
Analizzo ora l’approccio variazionale di Laughlin per determinare la funzione d’onda di
prova. L’autore, invece di prendere in considerazione direttamente la (2.3), parte dalla
H=
N
X
i=1
2
e
1
pi + A(ri )
2me
c
+ VION +
N
1 X
e2
2 i6=k |ri − rk |
(2.4)
in cui il secondo termine costituisce il contributo del reticolo ionico positivo introdotto
al fine di neutralizzare la carica del sistema. Dal momento che il potenziale di interazione è centrale, la scelta migliore è quella di considerare uno stato variazionale prodotto
di stati di singola particella nel gauge simmetrico. Per studiare la funzione d’onda utilizzo nuovamente la notazione complessa introdotta nel Paragrafo 1.4.3 per indicare la
posizione r = (x, y) del singolo elettrone. Secondo Laughlin la funzione d’onda dello stato
fondamentale del sistema assume la generica forma
Ψ=
Y
1
f (zi − zj )e− 4
P
k
|zk |2
.
(2.5)
i<j
L’energia va minimizzata rispetto alla funzione f . Dal momento che si è interessati allo
studio degli elettroni nel primo livello di Landau questa deve essere, secondo quanto visto
nel Paragrafo 1.4.3, analitica in (zi − zj ). Posso pertanto considerare la funzione d’onda
Ψ2m+1 =
Y
1
(zi − zj )2m+1 e− 4
P
k
|zk |2
(2.6)
i<j
dove m ∈ N in modo da soddisfare la statistica fermionica. Questa è la funzione d’onda
variazionale proposta. Si può osservare che, nel caso in cui valga m = 0, la (2.6) rappresenta la funzione d’onda dello stato fondamentale di un sistema di N elettroni con
ν=1
P
Y
2
1
(zi − zj )e− 4 k |zk | .
Ψ1 =
(2.7)
i<j
Si può mostrare infatti che il determinante di Slater dei primi N stati con momento
angolare definito è un polinomio come nella (2.7). Per come è stata costruita, la (2.6) ha
zeri di ordine 2m + 1 in corrispondenza della posizione di ogni elettrone. Questo fatto
la rende molto più efficace di altre funzioni d’onda nell’abbassare l’energia coulombiana
forzando gli elettroni a stare fra loro il più distante possibile.
2.2.1
Analogia col plasma
Il parametro m nella (2.6) andrebbe scelto in modo tale da minimizzare l’energia del
sistema
hΨ2m+1 |H| Ψ2m+1 i
E2m+1 =
.
(2.8)
hΨ2m+1 |Ψ2m+1 i
In realtà per procedere alla minimizzazione Laughlin considerò l’analogia tra la distribuzione
di probabilità |Ψ2m+1 |2 generata dalla funzione d’onda e il potenziale di un plasma classico
bidimensionale. Dalla (2.6) si ha
|Ψ2m+1 |2 = e−βφ
(2.9)
2.2. FUNZIONE D’ONDA DI LAUGHLIN
con β =
33
2
e
2m + 1
φ=−
N
X
N
X
1
(2m + 1)2 ln |zi − zj | + (2m + 1)
|zk |2 .
4
i<j
k=1
(2.10)
Quest’ultima è nota come l’energia potenziale del plasma classico.
Per giustificare questa affermazione considero separatamente i due termini che compongono la (2.10). Il primo rappresenta l’energia potenziale elettrostatica generata fra due
particelle che compongono il plasma in due dimensioni. Considerando infatti il campo elettrico E generato da una carica Q in uno spazio bidimensionale, per il teorema di Gauss
vale
I
Q
dl · E = 2πQ ⇒ E =
(2.11)
r
dove per ragioni di simmetria ho eseguito la circuitazione del campo elettrico lungo una
circonferenza di raggio r. Il potenziale che genera questo campo è della forma
ϕ(r) = −
Z
r
r0
r
Q
⇒ −Q ln ,
r
r0
(2.12)
in cui r0 è una distanza arbitraria dall’origine e porta un semplice fattore additivo al
potenziale. Si osserva facilmente che il primo termine della (2.10) nasce da una somma di
contributi di termini di interazione nella forma (2.12) con carica pari a 2m + 1.
Il secondo termine rappresenta l’energia di interazione tra queste cariche e un background
di carica uniforme e opposta che neutralizza il sistema. Per mostrare ciò considero la
grandezza
1 2
1
2
2 1
2
2
2
∇ ( |z| ) = (∂x + ∂y )
(x + y ) = 2 = −2πρ0
(2.13)
2
4
4`
`
1
dove ρ0 = −
rappresenta la densità bidimensionale di carica del background positivo
2π`2
che neutralizza il plasma. Grazie a questa considerazione è possibile riconoscere nella
relazione precedente l’equazione di Poisson per una distribuzione di carica uniforme ρ0 .
Quanto detto giustifica l’analogia proposta da Laughlin.
Proprio questa analogia è di importanza fondamentale per stabilire il valore del parametro
variazionale che rende minima l’energia. Utilizzando noti teoremi per il plasma si ha che
l’energia risulta minima quando il sistema è ovunque localmente neutro; tale situazione
ha luogo se vale la relazione
n(2m + 1) + ρ0 = 0
(2.14)
in cui n è la densità degli elettroni. Ricordando il valore di ρ0 e che `2 =
(2m + 1) =
1 Be
1
= .
2πn h̄c
ν
h̄c
, si ottiene
Be
(2.15)
Ciò mostra come il modello proposto permetta la descrizione degli stati appartenenti alla
1
sequenza ν =
. Per questo tale sequenza prende il nome di sequenza di Laughlin.
2m + 1
Da quanto detto emerge che la funzione d’onda Ψ2m+1 descrive una goccia circolare di
fluido Hall con densità uniforme.
34
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Vorrei osservare che la funzione di Laughlin è una buona approssimazione per lo stato
fondamentale di un gran numero di sistemi dal momento che risulta poco sensibile al
potenziale di interazione a due corpi, purchè esso sia centrale. Si è ad esempio mostrato
che il suo overlap con stati fondamentali in presenza dell’interazione di Coulomb ottenuti
numericamente è eccellente (≈ 0.997) [25].
2.2.2
Eccitazioni elementari
Dopo aver studiato lo stato fondamentale del sistema occorre passare a considerare i suoi
stati eccitati. A tal fine Laughlin utilizza il seguente espediente: immagina di forare il
fluido di elettroni in un generico punto z0 mediante un solenoide di lunghezza infinita
hc
e sezione infinitesima in cui scorre un quanto di flusso φ0 =
. Questa operazione
e
non influenza il campo B esterno al solenoide, ma modifica il potenziale vettore A. Si
può dimostrare che la funzione d’onda di singolo elettrone nel gauge simmetrico, per
l’introduzione del flusso, varia nel modo seguente
1
2
1
(z − z0 )2m+1 e− 4 |z| → (z − z0 )(2m+1)±1 e− 4 |z|
2
(2.16)
dove il segno a esponente è pari a quello del quanto di flusso inserito. L’effetto che si ottiene
è analogo a quello dovuto all’azione degli operatori scaletta del momento angolare b e b†
sulla funzione d’onda. Il primo di questi agisce infatti come una derivazione della parte
polinomiale della funzione d’onda di singola particella, il secondo invece moltiplicando la
funzione per z. In base a queste considerazioni si può dare un’espressione per la funzione
d’onda variazionale per l’eccitazione di carica positiva, denominata quasibuca
Ψ+
z0 =
N
Y
(zj − z0 )Ψ2m+1
(2.17)
j=1
e per quella di carica negativa, denominata quasiparticella
Ψ−
z0 =
N
Y
(2∂zj − z0 )Ψ2m+1 .
(2.18)
j=1
Tornando nuovamente all’analogia col plasma la distribuzione di probabilità per il sistema
in presenza di una quasibuca si può scrivere come
+ 2
Ψ = e−βφ e−βV
z0
con
V = −(2m + 1)
N
X
ln(zj − z0 ).
(2.19)
(2.20)
j=1
Essa descrive un sistema di particelle di carica 2m + 1 in cui viene introdotta una carica
unitaria nel punto z0 . Il plasma, per schermare tale carica, modifica la sua distribuzione
in modo da essere neutro almeno localmente. L’analogia con la fisica del plasma permette
di dare una descrizione pittorica di ciò che accade al sistema. La distribuzione di carica
negativa è inizialmente perfettamente neutralizzata grazie al background di carica positiva. L’introduzione di un quanto di flusso del campo magnetico nel punto z0 equivale alla
2.2. FUNZIONE D’ONDA DI LAUGHLIN
35
creazione di un vortice che allontana gli elettroni. In questo punto si viene a creare un
e
accumulo di carica positiva pari a
che corrisponde alla quasibuca. Questa analogia
2m + 1
non può essere applicata alla quasiparticella, ma per gli sviluppi successivi occorre tenere
conto del fatto che essa ha carica opposta alla precedente.
In questo fatto sta la straordinaria scoperta di Laughlin: il sistema FQHE presenta, al1
meno per quanto riguarda gli stati della sequenza ν =
, eccitazioni elementari
2m + 1
di carica frazionaria. In seguito mostrerò come anche la statistica delle quasiparticelle e
delle quasibuche sia frazionaria. Tali oggetti non sono pertanto appartentenenti nè alla
famiglia dei bosoni, nè a quella dei fermioni, ma a quella più vasta degli anioni1 . Queste
particelle nascono come diretta conseguenza della forte interazione presente nel sistema.
Al di fuori del fluido Hall esse non possono esistere, ma in esso possono essere considerate
come oggetti fisici a tutti gli effetti.
Si può ad esempio dare una stima delle dimensioni di queste eccitazioni. La sezione occupata da esse nel piano bidimensionale può infatti essere eguagliata all’area associata a un
quanto di flusso secondo la (1.39). In tal modo si ottiene un raggio delle eccitazioni pari a
√
R = 2`.
(2.21)
Si osservi anche che, essendo il sistema inizialmente neutro, la creazione di questi oggetti
avviene a coppie per via della conservazione della carica e richiede un’energia finita. In
generale le energie di creazione di una quasiparticella ∆qp e di una quasibuca ∆qb sono
differenti. Calcoli numerici ad esempio portano ai valori
e2
`
e2
∆qb = 0.026 .
`
L’energia di creazione della coppia è pari quindi a
∆qp = 0.025
∆ = ∆qp + ∆qb
(2.22)
(2.23)
(2.24)
nel caso in cui si possa trascurare l’interazione elettrostatica fra di esse.
2.2.3
Esperimento ideale di Laughlin
L’esistenza di eccitazioni elementari con carica frazionaria è strettamente legata alla quantizzazione della conduttanza Hall. Per dimostrare questo ripercorro l’esperimento ideale
proposto da Laughin (vedi Fig. 2.3).
hc
.
All’interno del solenoide il flusso di campo magnetico viene portato da zero a φ0 =
e
h̄
Svolgendo l’operazione in un tempo τ si assicura che il processo sia di tipo adia∆qb
batico.
Per la legge di Faraday a causa della variazione del flusso si induce una forza elettromotrice
secondo la relazione
I
1 dφ
dr · E = −
(2.25)
c dt
Γ
1
Dall’inglese ‘anyons’, si tratta di particelle con statistica intermedia fra quella fermionica e quella
bosonica
36
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Figura 2.3: Rappresentazione grafica dell’esperimento ideale di Laughlin. L’introduzione
di un quanto di flusso Φ(t) nel fluido Hall genera un campo elettrico E(t) per induzione e
quindi una densità di corrente J(t). Per ciascun quanto di flusso aggiunto, una carica νe
νe2
fluisce dentro (o fuori) la regione in virtù della quantizzazione della conduttanza σyx =
.
h
dove Γ è una generica curva che circonda il flusso introdotto. In presenza di un plateau
del FQHE si ha
E = ρyx J × ẑ,
(2.26)
che sostituita nella (2.25) dà
I
J(ẑ × dr) = −
ρyx
Γ
1 dφ
.
c dt
(2.27)
Il primo termine rappresenta la corrente che entra all’interno dalla regione delimitata dalla
curva Γ. Per la conservazione della carica posso scrivere
dQ
1 dφ
=−
(2.28)
dt
c dt
dove dQ è la carica che entra all’interno della curva Γ nel tempo infinitesimo dt. Tale
relazione, integrata nel tempo di operazione τ porta ad una carica di una quasiparticella
pari a
h
e
Qqp = −σyx = −
(2.29)
e
2m + 1
dove nell’ultima relazione si è sostituito il valore quantizzato
ρyx
e2
.
(2.30)
h
Ciò mostra come la carica indotta dall’introduzione di un quanto di flusso nel caso della
sequenza di Laughlin risulti frazionaria.
Si noti che gli elettroni non risentono dell’introduzione del quanto di flusso; essi infatti,
per effetto Aharonov-Bohm, acquistano una fase banale data da
σyx = ν
e
ei hc
H
Γ
δAdr
= e±i2π = 1,
(2.31)
2.3. FASE DI BERRY E STATISTICA NELLA SEQUENZA DI LAUGHLIN
37
dove δA è la variazione del potenziale vettore dovuta all’introduzione del quanto di flusso.
Questo non altera il sistema in esame e, dal momento che tutta l’operazione è avvenuta
in modo adiabatico, quello a cui si giunge è un autostato dell’hamiltoniana di partenza.
2.3
Fase di Berry e statistica nella sequenza di Laughlin
Mi pongo ora l’obiettivo di studiare la statistica delle eccitazioni della sequenza di Laughlin. Per fare ciò ripercorro il lavoro di Berry sulla fase geometrica delle funzioni d’onda
[27, 28]. Considero una generica hamiltoniana H dipendente da un insieme di parametri
che indico globalmente con R. Lentamente, in modo da poter considerare valida l’approssimazione adiabatica, lascio variare tali parametri R(T ), riportandoli alle condizioni
iniziali dopo un tempo T per cui si ha
H(R(0)) = H(R(T )).
(2.32)
Osservo ora come si comporta un generico stato |ψ(t)i soluzione dell’equazione di Schroedinger dipendente dal tempo
E
H |ψ(R(t))i = ih̄ |ψ̇(R(t)) .
(2.33)
E
Nella (2.33) ho esplicitamente evidenziato in |ψ̇(t) la dipendenza dal parametro R.
Ad ogni istante, per via dell’approssimazione adiabatica, gli autostati di H sono dati da
[4]
H(R(t)) |n(R(t))i = En (R(t)) |n(R(t))i
(2.34)
con En (R(t)) autostati dell’energia in corrispondenza della particolare configurazione R(t)
dei parametri. Notare che gli stati |n(R(t))i non hanno alcuna relazione fra loro per
differenti valori di R. Lo stato evoluto al tempo T |ψ(T )i può, secondo Berry, essere
scritto come [27, 28]
i
|ψ(R(T ))i = e− h̄
RT
0
dt0 En (R(t0 )) iγn
e
|ψ(R(0))i
(2.35)
dove si è scelto come valore iniziale
|ψ(0)i = |n(R(0))i .
(2.36)
Nella (2.35) compaiono due fattori di fase distinti: il primo rappresenta l’usuale fase
dinamica, il secondo invece è legato alla geometria del percorso che si effettua nello spazio
dei parametri ed è chiamato fase di Berry. La forma della funzione γn a esponente non è
arbitraria, ma deve essere tale da far sı̀ che |ψ(t)i soddisfi la (2.33). Da ciò si ricava
Z
γn = i
T
hn(R(t)) |
0
d
|n(R(t))i dt.
dt
(2.37)
Applico ora questo risultato alla funzione d’onda di Laughlin per lo stato di quasibuca
supponendo di far variare nel tempo la posizione z0 (t)
Ψ+
z0 (t)
=
N
Y
i=1
[zi − z0 (t)] Ψ2m+1 .
(2.38)
38
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Assumo di muovere questa eccitazione in modo tale da far percorrere alla sua posizione
z0 un’orbita chiusa che circonda il fluido Hall. Derivando la 2.38 rispetto al tempo si ha
N
X
d +
dz0
1
dz0
Ψ
Ψ+
≡
=
dt z0 (t) i=1 [zi − z0 (t)] z0 (t) dt
dt
Z
N
X
1
d z
δ(z − zi )Ψ+
z0 (t) .
z − z0 (t) i=1
2
(2.39)
Ottengo pertanto
Ψ+
z0 (t)
dz0
dt
Z
dz0
d +
Ψz0 (t) =
dt
dt
d2 z
Z
d2 z
N
X
1
Ψ+
δ(z − zi )Ψ+
z0 (t) =
[z − z0 (t)] z0 (t) i=1
(2.40)
1
Ψ+ ρ(z)Ψ+
z0 (t)
[z − z0 (t)] z0 (t)
dove si è identificato l’operatore densità
ρ(z) =
N
X
δ(z − zi ).
(2.41)
i=1
Dalla (2.37) identificando Ψ+
z0 (t) con |n(R(t))i si ottiene
I
γn = i
Z
dz0
d2 z
hρ(z)i
[z − z0 ]
(2.42)
I
dove l’integrale in dt è stato sostituito da
dz0 . La fase di Berry può essere, nel caso
in esame, calcolata esplicitamente operando l’integrazione in dz0 nel piano complesso. In
questo modo si ottiene
Z
γn = 2π
d2 z hρ(z)i .
(2.43)
L’integrazione della densità del sistema in tutto lo spazio dà il numero totale degli elettroni
φ
N =ν
e quindi
φ0
2π φ
γn =
.
(2.44)
2m + 1 φ0
Se la quasibuca compie un giro tale da circondare un’altra quasibuca il numero di elettroni
1
. Questo porta come conseguenza ad
racchiuso dal suo percorso diminuisce di
2m + 1
un’alterazione della fase geometrica che diviene
γn =
2π φ
2π
2π
−
= 2πN −
.
2m + 1 φ0 2m + 1
2m + 1
(2.45)
Quello che accade quando una quasibuca ruota attorno ad un’altra (e analogamente per
una quasiparticella) è che la funzione d’onda acquista un fattore di fase non banale. Se
due eccitazioni uguali, invece di ruotare una attorno all’altra scambiano le loro posizioni il
fattore acquisito si dimezza. Proprio questa fase dà la statistica frazionaria delle eccitazioni
elementari, che per il caso in esame è pari (a parte un fattore 2πN ) a
θqp =
π
,
2m + 1
(2.46)
2.4. FUNZIONE D’ONDA NELLA SEQUENZA DI JAIN E SUE ECCITAZIONI
39
differente dai valori θf = π tipico dei fermioni e θb = 0 proprio dei bosoni. In termini di
funzioni d’onda ciò si traduce nell’espressione
π
−i( 2m+1 ) +
Ψ+
Ψz1 ,z0
z0 ,z1 = e
(2.47)
dove z0 e z1 rappresentano le posizioni assunte dalle due quasiparticelle che vengono
scambiate.
2.4
Funzione d’onda nella sequenza di Jain e sue eccitazioni
Passo ora a prendere in considerazione gli stati appartenenti alla più generale sequenza
p
ν=
. Partendo dalla funzione d’onda di Laughlin (2.6), J.K. Jain [12, 31] osservò
2mp + 1
che era possibile darne una fattorizzazione nel modo seguente

Ψ2m+1 = 
Y
− 14
(zi − zj )e
P
| zk | 2
k `2
∆B

Y

− 14
(zi − zj )2m e
P
k
| zk | 2
`2
b

.
(2.48)
i<j
i<j
In essa si è utilizzata la notazione complessa zi = xi + iyi per descrivere la coordinata della
i-esima particella, analoga a quella considerata nel Paragrafo 1.4.3 a meno di un fattore `,
e si è posto
`2∆B =
`2b =
h̄c
e∆B
h̄c
eb
(2.49)
(2.50)
con
B = ∆B + b.
(2.51)
Nel primo fattore della (2.48) si riconosce il determinante di Slater degli elettroni moltiplicato per un termine gaussiano in analogia alla (2.7). Esso rappresenta pertanto la funzione
d’onda di un sistema di elettroni con ν = 1 soggetti ad un campo magnetico ∆B. Il secondo fattore invece associa ad ogni elettrone 2m zeri della funzione d’onda. Per quanto
visto nel Paragrafo 2.2.2 a tali zeri corrispondono quanti elementari di flusso che vengono
introdotti nel sistema.
Associare zeri della funzione d’onda agli elettroni equivale a legare ad essi quanti di flusso
del campo magnetico esterno. In questo modo le particelle si trovano immerse in un campo magnetico efficace ∆B meno intenso del precedente e si può supporre che siano nella
condizione di manifestare IQHE. Legando quanti di flusso agli elettroni se ne altera però
la natura. Jain propose per le nuove entità che stiamo considerando il nome di ‘Composite
Fermions’ (CF). Il fatto che anche questi nuovi oggetti siano fermioni deriva dall’effetto
Aharonov-Bohm [29]. Associando infatti ad ogni elettrone 2m quanti di flusso si introduce
un fattore di fase banale che non altera la statistica originale della particella. Per quanto
riguarda la sequenza di Laughlin è pertanto possibile instaurare una corrispondenza fra il
FQHE degli elettroni e l’IQHE con ν = 1 dei CF. Questo ragionamento può essere esteso
anche a stati al di fuori di questa sottosequenza. Considero cosa accade se i CF si pongono
in uno stato con un generico filling factor ν̃. Per il ν elettronico vale
B=
nφ0
,
ν
(2.52)
40
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
associando 2m quanti di flusso ad ogni elettrone come indicato in precedenza si lega ad
essi, in approssimazione di campo medio, una parte del campo magnetico pari a
b = 2mnφ0 .
(2.53)
I CF si muovono per quanto detto in un campo efficace
∆B =
nφ0
ν̃
(2.54)
la loro densità n è la stessa del sistema elettronico di partenza dal momento che ad ogni
elettrone del sistema è associato lo stesso numero di quanti di flusso. In base a queste
considerazioni si ottiene
nφ0
nφ0
= 2mnφ0 +
(2.55)
ν
ν̃
e il conseguente legame fra ν e ν̃
ν̃
ν=
.
(2.56)
2mν̃ + 1
Si può a questo punto ipotizzare che, come nel caso degli elettroni, anche per i CF gli stati
più stabili siano quelli con un valore intero del filling factor. Ponendo ν̃ = p, con p ∈ Z,
nella (2.55) si arriva ad ottenere la sequenza che prende il nome di sequenza di Jain
ν=
p
.
2mp + 1
(2.57)
Essa racchiude gran parte degli stati FQHE più stabili e facilmente osservabili sperimentalmente. In base alle considerazioni fatte Jain è giunto all’elaborazione di una funzione
d’onda variazionale per gli stati appartenenti alla sequenza appena descritta. Essa assume
la forma
2
Ψjain = PLLL Φp (z1 , ..., zN )
Y
1
(zi − zj )2m e− 4
P
k
| zk |
`2
.
(2.58)
i<j
La funzione Φp che compare è la funzione d’onda di un sistema di elettroni liberi con ν = p,
a meno di un fattore moltiplicativo gaussiano che ho fattorizzato per semplicità nell’ultimo
termine. Si osserva facilmente che essa è antisimmetrica per scambio di due qualunque
elettroni. Ciò è vero per via dell’antisimmetria di Φp e della simmetria del termine legato
ai flussi. L’operatore PLLL indica la proiezione della funzione sul primo livello di Landau.
Per le eccitazioni di quasiparticelle della sequenza di Jain, procedendo in analogia con
quanto fatto per quella di Laughlin, è possibile ricavare il valore della carica e della
statistica [32, 33]. La prima è data da
Qqp = −
e
;
2mp + 1
Qqh =
e
2mp + 1
(2.59)
mentre la seconda è pari a
2m(p − 1) + 1
.
(2.60)
2mp + 1
Dalla prima si può dedurre che un agglomerato di 2mp + 1 quasiparticelle ha la stessa
carica dell’elettrone. Per poter affermare che tale oggetto rappresenti proprio l’elettrone
occorre studiarne la statistica. Essa è data da
θqp = π
θe
= [2m(p − 1) + 1] (2mp + 1)
π
(2.61)
2.4. FUNZIONE D’ONDA NELLA SEQUENZA DI JAIN E SUE ECCITAZIONI
41
che è un numero dispari come atteso.
Notare che nel caso p = 1 quanto ricavato si riduce a quanto già osservato nel caso della
sequenza di Laughlin. A differenza di ciò che accade nel caso della sequenza di Laughlin,
per la sequenza di Jain si ha
Qqp
θqp
ν 6=
6=
.
(2.62)
−e
π
Prendendo in considerazione come esempio il caso ν = 52 , che risulta uno dei più studiati
sperimentalmente, si ha che le eccitazioni elementari che compaiono in esso hanno
e
5
(2.63)
3
π.
5
(2.64)
Qqp = −
θqp =
42
CAPITOLO 2. EFFETTO HALL QUANTISTICO FRAZIONARIO
Capitolo 3
Teorie di campo efficaci per gli
stati di bulk
In questo Capitolo passerò in rassegna alcune teorie di campo efficaci che permettono di
descrivere gli stati del FQHE per un dato filling factor e la carica e la statistica delle
eccitazioni di quasiparticella già ricavati nel Capitolo precedente.
3.1
Teoria di Wen per gli stati della sequenza di Laughlin
La descrizione degli stati del FQHE attraverso funzioni d’onda di prova, discussa nel
Capitolo 2, è risultata determinante per la trattazione delle eccitazioni elementari con
carica e statistica frazionarie. Al fine di operare uno studio più sistematico risulta però
conveniente elaborare una teoria di campo efficace che tenga conto solo degli effetti di
bassa energia e trascuri i dettagli microscopici dell’interazione presente nel sistema. In
questa Sezione ripercorrerò il ragionamento seguito da X.G. Wen nel suo lavoro del 1995
1
[36] per trattare la sequenza di Laughlin con ν =
. A partire da questo Capitolo
2m + 1
utilizzerò il sistema di unità di misura naturale nel quale h̄ = c = 1.
Considero la densità di lagrangiana
L=
2m + 1 µνρ
e µνρ
aµ ∂ν aρ −
Aµ ∂ν aρ ,
4π
2π
(3.1)
dove gli indici greci si intendono sommati se ripetuti e corrono sui valori 0, 1 e 2 che sono
identificati rispettivamente con la coordinata temporale t e quelle spaziali x e y e in cui
µνρ è il tensore completamente antisimmetrico in tre dimensioni. Essa ha la forma di una
teoria di Chern-Simons per il campo di gauge abeliano a in due dimensioni spaziali e una
temporale accoppiata ad un potenziale vettore esterno A [34]. La lagrangiana (3.1) non è
invariante sotto le trasformazioni di gauge
aµ → aµ + ∂µ Λ
(3.2)
Aµ → Aµ + ∂µ f
con Λ e f funzioni arbitrarie. Tale invarianza appare però nell’azione ottenuta dalla (3.1)
integrando nel tempo e nello spazio. Ciò dipende dal fatto che i campi si considerano nulli
43
44
CAPITOLO 3. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BULK
all’infinito. Questo fatto si rivelerà di grande importanza quando studierò il sistema in
presenza di un bordo. Occorre ora richiamare una caratteristica fondamentale dalla teoria
di Chern-Simons rappresentata dalla (3.1). Questa è una teoria di campo topologica e
ha pertanto densità di hamiltoniana nulla [34]. Ciò può essere visto per calcolo diretto
richiamando la definizione della densità di hamiltoniana
H=
δL
∂t aσ − L
δ∂t aσ
(3.3)
che, per la (3.1), implica H = 0. Studiando le equazioni del moto di questa teoria
δL
δL
− ∂ν
=0
δaµ
δ∂ν aµ
(3.4)
1 µνρ
e µνρ
1
∂ν aρ =
∂ν Aρ .
2π
2m + 1 2π
(3.5)
si ottiene la relazione
Da essa si possono trarre alcune importanti considerazioni per identificare il trivettore1
J µ che racchiude la densità di carica J 0 del sistema e quella di corrente con componenti
J 1 e J 2 . Studiando la componente temporale di questa relazione vettoriale si ha
1
e
1
e
B
1 0νρ
∂ν aρ =
(∂x Ay − ∂y Ax ) =
B=ν
2π
2m + 1 2π
2m + 1 2π
φ0
(3.6)
in cui nell’ultimo passaggio ho inserito la definizione del filling factor (cf. Eq. (1.63)) e
hc
2π
l’espressione del quanto elementare di flusso φ0 =
=
nelle nuove unità di misura.
e
e
Si noti che l’ultima espressione rappresenta la densità media n di particelle del sistema e
risulta quindi ragionevole identificare il primo termine con la densità di elettroni in modo
da avere
N
X
J 0 (r)
1 0νρ
δ(r − rj ) =
∂ν aρ = ρ(r) =
(3.7)
2π
−e
j=1
in cui il vettore rj rappresenta la posizione dell’j-esimo elettrone.
Estendendo le considerazioni precedenti anche alle componenti spaziali della (3.5) si ottiene
−e2
1
−e2
1
−e 1νρ
∂ν aρ =
(−∂t Ay + ∂y At ) =
Ey
2π
2π 2m + 1
2π 2m + 1
(3.8)
−e 2νρ
−e2
1
e2
1
∂ν aρ =
(∂t Ax − ∂x At ) =
Ex
2π
2π 2m + 1
2π 2m + 1
che, posto i = 1, 2, porta alla
N
X
−e iνρ
∂ν aρ = J i = −e
vji δ(r − rj ),
2π
j=1
(3.9)
1
In questo contesto, vista la bidimensionalità del sistema in esame, per trivettore intenderò un vettore
con una componente temporale e due componenti spaziali.
3.1. TEORIA DI WEN PER GLI STATI DELLA SEQUENZA DI LAUGHLIN
45
dove vj rappresenta la velocità dell’j-esimo elettrone, e utilizzando la somma sugli indici ripetuti anche per gli indici latini che identificano le componenti spaziali, porta alla
relazione fra densità di corrente e campo elettrico già discussa nella Sezione 1.2
J i = σij E j .
(3.10)
ˆ di conducibilità secondo
Nella (3.8) è pertanto possibile identificare i valori della matrice σ̂
le relazioni
e2
e2
1
σ21 = −σ12 = ν =
;
σ11 = σ22 = 0
(3.11)
h
2m + 1 h
che corrispondono a quelle attese in presenza dei plateaux del FQHE (vedi Eqs. (1.15,
1.16)) .
Sfruttando ora l’antisimmetria del tensore µνρ si ottiene
µνρ ∂µ ∂ν aρ = 0
(3.12)
che, per le identificazioni (3.6) e (3.8), porta all’equazione di conservazione della carica
∂µ J µ = 0.
(3.13)
Quanto detto mostra come la teoria di campo efficace fino qui delineata permetta di descrivere i plateaux della conducibiltà del bulk di un generico stato di Laughlin privo di
eccitazioni. Occorre ora estendere tale teoria per tenere conto anche di queste ultime.
A tal fine immagino di creare nel punto r0 una particella che ha una costante di accoppiamento col campo di gauge a pari a l il cui valore verrà specificato tra poco. Nel caso
particolare in cui tale particella sia ferma la sua introduzione si traduce nella densità
lagrangiana con l’aggiunta del termine di sorgente
Ls = −la0 δ(r − r0 ) = −la0 j 0 .
(3.14)
Studiando nuovamente le equazioni del modo per la componente a0 del campo di gauge si
ottiene l’espressione della densità di particelle
J0
1 0ij
e
B
l
=
∂i aj =
+
δ(r − r0 )
−e
2π
(2m + 1) 2π 2m + 1
(3.15)
che, oltre al termine che compare nella (3.6), contiene il contributo dovuto all’eccitazione
creata. Da questo si ricava che la carica aggiunta dall’introduzione dell’eccitazione è pari
a
l
Q=−
e.
(3.16)
2m + 1
Come mostrato nel Capitolo 2, le eccitazioni nella sequenza di Laughlin hanno carica
frazionaria data dalle equazioni
Qqp = −
e
;
2m + 1
Qqh =
e
.
2m + 1
(3.17)
Questo fissa il valore di l ad essere un intero. In particolare l = 1 per la quasiparticella,
l = −1 per la quasibuca e l = 2m + 1 per l’elettrone.
Nel caso in cui fossero presenti nel sistema due eccitazioni differenti tali da portare rispettivamente cariche del campo di gauge pari a l1 e l2 , le considerazioni fatte nella Sezione
46
CAPITOLO 3. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BULK
2.3 permettono di affermare che la rotazione di una di esse attorno all’altra darebbe luogo
a un fattore di fase per la funzione d’onda del sistema pari a
Θ = 2π
l1
l2 .
2m + 1
(3.18)
Nel caso particolare l1 = l2 = l lo scambio delle eccitazioni porta al fattore statistico
l2
.
2m + 1
(3.19)
θe = (2m + 1)π
(3.20)
θ=π
Per l’elettrone, con l = 2m + 1, si ha
che, essendo un numero dispari, dà la corretta statistica fermionica. Per le quasiparticelle
(l = 1) e le quasibuche (l = −1) si ricava un fattore statistico pari a
θqp = θqh =
π
,
2m + 1
(3.21)
che riproduce i risultati ottenuti nel Capitolo 2.
Occorre considerare infine il fatto che, a seguito di una rotazione di una quasiparticella o
di una quasibuca attorno ad un elettrone, la fase acquisita è pari a
Θ = 2π.
(3.22)
Ciò dimostra come fra tali oggetti vi è una mutua statistica banale.
Riassumendo quanto visto finora, la lagrangiana efficace di Wen per la sequenza di Laughlin è
2m + 1 µνρ
e µνρ
L=
aµ ∂ν aρ −
Aµ ∂ν aρ − laµ j µ ,
(3.23)
4π
2π
dove con j µ ho indicato la densità di corrente dell’eccitazione elementare presente nel sistema che, in maniera più generale di quanto visto nella (3.14), non è fissa in una posizione,
ma libera di muoversi nel sistema.
3.2
Teoria di Wen per la sequenza di Jain
La generalizzazione proposta dallo stesso X. G. Wen per rendere la (3.23) applicabile anche
p
al caso della sequenza di Jain, in cui ν =
, comporta l’introduzione di p campi di
2mp + 1
gauge abeliani. La densità lagrangiana che si ottiene assume la forma [36, 37]
L=
1
e
Kij µνρ aiµ ∂ν ajρ −
ti µνρ Aµ ∂ν aiρ − li aiµ j µ ,
4π
2π
(3.24)
nella quale gli accoppiamenti fra i diversi campi di gauge sono racchiusi nella matrice
simmetrica K di dimensione p × p , mentre i vettori t e l con p componenti legano i
campi di gauge rispettivamente al potenziale vettore esterno e al termine di sorgente di
quasiparticelle. Come già fatto nel caso degli indici di Lorentz, considero sottintesa anche
la somma sugli indici latini ripetuti. Notare che questi indici non hanno qui il ruolo di
indici spaziali, ma identificano i distinti campi di gauge abeliani. In accordo con quanto
3.2. TEORIA DI WEN PER LA SEQUENZA DI JAIN
47
fatto nel caso della sequenza di Laughlin, la densità di corrente del sistema può essere
scritta come
p
e X µνρ
Jµ = −
∂ν aiρ .
(3.25)
2π i=1
Richiamando le considerazioni fatte in Appendice A, si ha che, per una densità lagrangiana
della forma (3.24), le grandezze fondamentali del sistema sono date dalle relazioni
ν = ti (K −1 )ij tj
Q = −eli (K
θ = πli (K
−1
−1
)ij tj
)ij lj
(3.26)
(3.27)
(3.28)
che rappresentano rispettivamente il filling factor del sistema, la carica di una generica
eccitazione e la sua statistica come vedremo tra poco. Per riprodurre la sequenza di Jain
data da
p
ν
=
2mp + 1
Qqp = −
θqp
= π
e
2mp + 1
(3.29)
2m(p − 1) + 1
2mp + 1
occorre fissare la matrice K e il vettore t nel seguente modo [37]:
Kij = δij + 2mCij ,
(3.30)
1 1 ...
 1 1 ... 
C=
,
.. .. . .
.
. .
(3.31)
con C matrice di dimensione p × p


e il vettore t di accoppiamento elettromagnetico
t = (1, 1, ..., 1).
|
{z
p
(3.32)
}
Verifico ora che questa scelta riproduce le (3.29). Considero in primo luogo il filling factor.
Per poterne calcolare il valore dalla (3.26) occorre invertire la matrice K. Considerando
la relazione matriciale
Cij Cjk = pCik
(3.33)
si ottiene
(K −1 )ij = δij −
2m
Cij .
2mp + 1
(3.34)
Inserendo questa nella (3.26), con la (3.32), si ricava
ν=
p
2mp + 1
(3.35)
48
CAPITOLO 3. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BULK
che è quanto atteso per la sequenza di Jain.
Per trattare le quasiparticelle considero il vettore di accoppiamento2
l = (1, 0, ..., 0)
(3.36)
| {z }
p−1
da cui applicando la (3.27) e la (3.28) ricavo le relazioni volute per la carica e la statistica
e
2mp + 1
2m(p − 1) + 1
= π
.
2mp + 1
Qqp = −
θqp
(3.37)
(3.38)
Si osservi che un insieme di 2mp + 1 eccitazioni elementari del tipo appena descritto
possiede una carica pari a quella dell’elettrone. Per poter affermare di essere realmente in
presenza di un elettrone occorre che anche la statistica corrisponda a quanto atteso. Per
calcolare la statistica dell’agglomerato in esame introduco il vettore di accoppiamento
le = (2mp + 1)l = (2mp + 1, 0, ..., 0)
(3.39)
| {z }
p−1
per mezzo del quale ottengo la statistica
θe = π[2m(p − 1) + 1](2mp + 1).
(3.40)
Essa corrisponde ad un numero dispari di π, in quanto prodotto di due fattori dispari, come
proprio dell’elettrone. Ciò permette di affermare che, come accade nel caso della sequenza
di Laughlin, anche per la sequenza di Jain gli oggetti fondamentali per la descrizione del
fluido Hall sono le quasiparticelle mentre gli elettroni diventano un loro agglomerato.
I risultati ricavati attraverso questa teoria di campo concordano pienamente con quelli
enunciati nella Sezione 2.4. Inoltre, la teoria appena elaborata contiene come sottocaso
quella esposta nella Sezione precedente. Nel caso della sequenza di Laughlin si ha infatti
p = 1 e la matrice K è un numero uguale a 2m + 1 come emerge dal confronto fra la (3.23)
e la (3.24). Per tale sequenza, in base alla relazione (3.35), si ricava come voluto
ν=
1
.
2m + 1
(3.41)
La carica e la statistica di una quasiparticella elementare in questo caso particolare
coincidono con le (3.17) e (3.21)
ν=
Qqp
θqp
1
=
=
.
−e
π
2m + 1
(3.42)
La scelta fatta per il vettore l non è unica. Per la particolare forma della matrice K −1 infatti un
qualunque vettore costituito da un 1 e p − 1 zeri porta allo stesso risultato. Ciò permette di affermare che
l’eccitazione creata è p volte degenere.
2
3.3. TEORIA DI FRADKIN E LOPEZ PER LA SEQUENZA DI JAIN
3.3
49
Teoria di Fradkin e Lopez per la sequenza di Jain
Più recentemente E. Fradkin e A. Lopez [41] hanno elaborato una teoria per la descrizione
degli stati della sequenza di Jain nella quale compaiono solamente tre campi di gauge
abeliani. La densità di lagrangiana da loro considerata è formalmente analoga alla (3.24)
ma, a differenza di questa, la dimensione della matrice K e dei vettori di accoppiamento t
e l è fissa per tutti i possibili stati della sequenza e pari a tre. Per la matrice K gli autori
hanno considerato la seguente rappresentazione


2m −1 0


K =  −1 −p 0  ,
0
0 −1
(3.43)
mentre per il vettore t hanno scelto
t = (1, 0, 0).
(3.44)
Per la forma del vettore t in (3.44) di accoppiamento con il campo elettromagnetico si
deduce la forma
Jµ = −
e µνρ
∂µ a1ρ
2π
(3.45)
per il trivettore densità di corrente. Essa dipende solamente dal campo a1 che per questa
ragione è definito campo carico. Come già fatto per la teoria di Wen, esposta nella Sezione
precedente, occorre verificare se tali espressioni permettono di ricavare le grandezze fondamentali del sistema. Per fare ciò richiamo nuovamente i risultati (3.26), (3.27) e (3.28)
ricavati nel dettaglio in Appendice A e validi indipendentemente dalla dimensione di K, l
e t e considero l’espressione esplicita per la matrice inversa K −1

K −1

p
−1
0
1


0
=
 −1 −2m
.
2mp + 1
0
0
−2mp − 1
Il filling factor, dalla (3.26), assume il valore
ν=
p
,
2mp + 1
(3.46)
che è quanto atteso per un generico stato appartenente alla sequenza di Jain.
Considerando un’eccitazione elementare di quasiparticella scelgo
l = (0, −1, 1)
e dalla (3.27) ottengo
Qqp = −
e
,
2mp + 1
(3.47)
(3.48)
mentre la sua statistica è data dalla (3.28) e vale
θqp = −
2m(p + 1) + 1
ν
1
π = ( 2 − − 1)π.
2mp + 1
p
p
(3.49)
50
CAPITOLO 3. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BULK
Si noti che tale valore non corrisponde alla (3.38), ma risulta in accordo con questo se
si tiene conto del fatto che la differenza fra questi è pari a 2π e si sfrutta la periodicità
dell’angolo statistico. Passando a considerare l’elettrone si ha che esso può essere nuovamente descritto come un insieme di 2mp + 1 eccitazioni elementari. Introducendo pertanto
il vettore
le = (2mp + 1)l = (0, −2mp − 1, 2mp + 1)
(3.50)
si ricava la statistica
1
p2
p
θe = − [2m(p + 1) + 1] (2mp + 1)π = ( − 2 − 2 )π
ν
ν
ν
(3.51)
che, nonostante sia differente dalla (3.40), è sempre un multiplo dispari di π come ci
si attende per l’elettrone. La teoria appena delineata permette quindi di descrivere gli
stati del FQHE appartenenti alla sequenza di Jain in termini di soli tre campi e non più
con un numero p di campi che cresce con il livello dello stato. Ciò risulta di notevole
semplificazione per p > 2 mentre complica la descrizione nel caso degli stati di Laughlin
dal momento che questa teoria non si riduce banalmente a quella delineata della Sezione
3.1. A seconda delle circostanze risulterà pertanto più conveniente descrivere il sistema
mediante una delle due teorie, a scapito dell’altra. I principali vantaggi della teoria di
Fradkin e Lopez emergeranno però successivamente in relazione agli stati di edge.
Concludo questa parte commentando, in modo intuitivo, sulla necessità di introdurre
almeno tre campi distinti nella teoria. Dal momento che si tratta di una teoria efficace
essa ha lo scopo di fornire una descrizione di quanto osservato sperimentalmente. Una
teoria in cui compare un solo campo, come visto nella Sezione 3.1, permette di descrivere
stati per i quali vale
Qqp
θqp
ν=
=
(3.52)
−e
π
e pertanto è applicabile solamente al caso della sequenza di Laughlin.
Considero ora una teoria basata su due soli campi. Per fare ciò immagino di eliminare il
campo a3 dalla teoria di Fradkin e Lopez. La matrice K ha ora la forma
K=
2m −1
−1 −p
!
(3.53)
dalla quale deriva
K −1
1
=
2mp + 1
p
−1
−1 −2m
!
.
(3.54)
Inoltre i vettori di accoppiamento per le quasiparticelle sono dati da
t = (1, 0)
(3.55)
l = (0, −1).
(3.56)
Con queste definizioni si può verificare facilmente che il valore del filling factor del sistema
e della carica delle quasiparticelle restano uguali a quanto ricavato nella (3.46) e nella
(3.48). Quello che però cambia è il fattore statistico delle eccitazioni che assume il valore
θqp = −
2m
π.
2mp + 1
(3.57)
3.3. TEORIA DI FRADKIN E LOPEZ PER LA SEQUENZA DI JAIN
51
Questa non è la statistica assoluta della quasiparticella data dalla (3.49), ma quella riferita
alla statistica dell’elettrone. Questo complica la descrizione se si vuole utilizzare una
definizione assoluta. Per ovviare a questo problema gli autori del lavoro hanno introdotto
un terzo campo la cui sola funzione è quella di rendere assoluta la statistica dell’eccitazione.
52
CAPITOLO 3. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BULK
Capitolo 4
Teorie di campo efficaci per gli
stati di bordo
Come visto nel Capitolo 2 un sistema nelle condizioni di FQHE presenta un gap energetico
per la creazione di eccitazioni di quasiparticella anche nel caso di filling factor minori di 1
appartenenti alla sequenza principale. Tale gap rende gli stati FQHE molto simili ad un
isolante. Quando però il sistema viene confinato mediante un potenziale in una regione
finita del piano, lungo il bordo (edge) del campione si ha la formazione di stati le cui
eccitazioni risultano gapless anche se presentano la stessa carica e la stessa statistica di
quelle del bulk. Questo Capitolo è dedicato all’introduzione di teorie di campo efficaci che
descrivano tali stati.
4.1
Stati di bordo nell’IQHE
Considero l’hamiltoniana libera di singola particella (1.33) con l’aggiunta di termine di
potenziale di confinamento V (y) per vincolare il sistema in una regione limitata del piano
nella direzione y. Studierò un semplice caso che permette di avere un’idea qualitativa del
fenomeno. Va comunque sottolineato che alcuni andamenti fra cui quello di buca quadrata
infinita e quello di potenziale armonico possono essere risolti esattamente [20].
Ipotizzo che il fluido Hall sia confinato lungo y mediante il potenziale
V (y)



=0





 6= 0
W
W
<y<
2
2
per
−
per
W
y<−
2
(4.1)
W
y>
2
con W generica larghezza della regione di confinamento. Per semplificare la trattazione
considero il potenziale lentamente variabile sulla scala della lunghezza magnetica
∂y V (y) ωc
.
`
(4.2)
Risolvo nuovamente l’equazione di Schroedinger nel gauge di Landau (1.52). Ottengo cosı̀
un’equazione riconducibile a quella di un oscillatore armonico, nella quale però compare
53
54
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
un termine aggiuntivo dovuto al potenziale V (y)
("
Hψ(x, y) =
p2x
e
+ px − By
c
2 #
)
1
+ V (y) ψ(x, y).
2me
(4.3)
Dal momento che la coordinata x è ciclica è possibile cercare una soluzione nella forma
eikx
ψ(x, y) = √ ϕ(y).
2π
(4.4)
In base alle considerazioni fatte si ottiene l’equazione agli autovalori per la funzione ϕ(y)
"
1 2
∂ +
−
2me y
me ωc2
2
!
#
2
(y − y0 ) + V (y) ϕ(y) = Enk ϕ(y)
(4.5)
con y0 = k`2 .
Per valori di y tali per cui V (y) = 0, cioè dentro la barretta Hall, le soluzioni della (4.3)
sono funzioni d’onda dell’oscillatore armonico centrate in y0 con autovalori
1
En = ωc (n + ).
2
Per valori vicino ai bordi la situazione è però differente.
lentamente variabile, si può porre
V (y) ≈ V (y0 ).
(4.6)
Qui, essendo il potenziale
(4.7)
L’aggiunta di un termine costante modifica la forma dei livelli energetici del sistema
rispetto al bulk in (4.6). Si ha
Enk = ωc
1
n+
2
+ V (k`2 );
(4.8)
i livelli subiscono cosı̀ una deformazione al variare di k come mostrato in Fig. 4.1a.
La forma esplicita dell’andamento dipende da V (y). A differenza di ciò che accade nel
bulk, nel quale per saltare da un livello energetico al successivo occorre fornire al sistema
un’energia pari a ωc , sugli edge le eccitazioni non hanno gap di creazione (gapless).
Nel caso in cui l’energia di Fermi del sistema sia compresa nel bulk fra due distinti livelli
le uniche eccitazioni di bassa energia possibili per il sistema sono proprio quelle di edge.
Considerando i pacchetti d’onda dei singoli elettroni si ha che la velocità di propagazione
lungo il bordo è data da
∂Enk
.
(4.9)
v=
∂k
Dal momento che le funzioni d’onda sono fortemente localizzate attorno a y0 si manifesta
un’altra caratteristica fondamentale degli stati di bordo: la chiralità. Essi infatti hanno
una velocità di propagazione la cui direzione è fissata dal campo magnetico che agisce
sul sistema. In Fig. 4.1b è mostrato ad esempio il moto chirale degli edge, in cui l’edge
superiore si propaga in modo progressivo e quello inferiore in modo regressivo. Per quanto
detto si ha che gli stati di bordo dell’IQHE possono essere ben schematizzati come un
Liquido di Fermi Chirale. Il primo a sottolineare questo fatto fu Halperin nel 1982 [40].
4.2. STATI DI BORDO PER LA SEQUENZA DI LAUGHLIN
55
Figura 4.1: a) Descrizione qualitativa della deformazione dei livelli energetici Enk (espressi
in unità di ωc ) del sistema a seguito dell’introduzione di un potenziale di confinamento. Da
essa emerge come le eccitazioni del bordo siano gapless. Ponendo come mostrato l’energia
di Fermi EF del sistema fra due livelli energetici del bulk le eccitazioni di bassa energia
ammissibili per il sistema sono solo quelle sugli edge. b) Visione dall’alto dalla barretta
Hall che evidenzia il moto chirale degli stati di bordo.
4.2
Stati di bordo per la sequenza di Laughlin
Nel caso degli stati di FQHE la teoria non interagente considerata in precedenza non è
più valida a causa della forte correlazione fra gli elettroni. Nonostante ciò, vista l’analogia
della fenomenologia del FQHE con quella dell’IQHE, è lecito supporre che anche per questi
si abbia la formazione di stati di bordo. Per essi però il modello a Liquido di Fermi Chirale
che nasce, come visto nella Sezione precedente, da una costruzione di singola particella
perde validità ed è necessario fare ricorso ad un approccio differente. Per quanto riguarda
gli stati appartenenti alla sequenza di Laughlin, è conveniente seguire nuovamente il lavoro
di X.G. Wen del 1995 [36] che evidenzia lo stretto legame fra la teoria di campo efficace
per il bulk, considerata nella Sezione 3.1, e gli stati di edge del sistema.
Considero in primo luogo la parte quadratica nel campo di gauge della (3.23)
L=
da cui si ricava l’azione
2m + 1 µνρ
aµ ∂ν aρ
4π
(4.10)
2m + 1
dtdxdyµνρ aµ ∂ν aρ
(4.11)
4π
nella quale gli estremi di integrazione si estendono da −∞ a +∞. Come osservato nel
Capitolo precedente una teoria di questo tipo non ammette dinamica per i campi di gauge
del bulk e può pertanto essere vista come una buona base di partenza per la descrizione dello stato fondamentale privo di eccitazioni. Essa permette inoltre di studiare le eccitazioni
di edge che sono osservabili nel caso in cui le energie in gioco non siano sufficientemente
elevate da generare eccitazioni nel bulk.
La più semplice geometria realizzabile, che comporta la formazione di stati di edge, consiste nel confinare il fluido Hall infinito al solo semipiano negativo delle y come mostrato
in Fig. 4.2. Ciò rende possibile introdurre una teoria di campo efficace che permette di
studiare un edge di lunghezza infinita. Per questa configurazione del sistema anche i campi
Z
S=
56
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Figura 4.2: La regione grigia rappresenta il fluido Hall vincolato attraverso un potenziale
esterno nel semipiano negativo delle y. Lungo l’asse x, evidenziato dal tratto più spesso,
si ha la formazione di un edge infinito. La freccia indica la direzione di propagazione del
modo che in questo caso è progressivo. Il verso del campo megnetico è indicato in figura.
di gauge risultano definiti solo nella regione del piano in cui è presente il fluido Hall e si
viene a perdere l’invarianza di gauge dell’azione. Infatti, a seguito della trasformazione di
gauge abeliana
aµ → aµ + ∂µ Λ,
(4.12)
con Λ(t, x, y) funzione arbitraria, si ha una variazione dell’azione in (4.10) pari a
∆S =
2m + 1
4π
2m + 1
4π
Z
Z
+∞
Z
+∞
−∞
Z
0
dx
dt
−∞
−∞
dyµνρ ∂µ (Λ∂ν aρ ) =
(4.13)
dtdxΛ(t, x, 0) [∂t ax (t, x, 0) − ∂x at (t, x, 0)] .
In essa, e per tutto il resto del Capitolo, utilizzerò l’identificazione (a0 , a1 , a2 ) = (at , ax , ay ).
Per ripristinare l’invarianza di gauge almeno per l’azione della teoria occorre imporre
∆S = 0. Questo si può ottenere o restringendo le trasformazioni di gauge alle sole funzioni
per cui il campo Λ sul bordo y = 0 soddisfi
Λ(t, x, 0) = 0
(4.14)
o imponendo sui campi di gauge il vincolo
[∂t ax (t, x, 0) − ∂x at (t, x, 0)] = 0.
(4.15)
Sceglierò la prima condizione che non vincola i campi e, come si vedrà, permette di dare
una dinamica agli stati di bordo della teoria.
Il primo e più semplice tentativo di attribuire dinamica agli stati di edge sarebbe quello
di imporre la condizione at = 0 e considerare la sua equazione del moto
∂x ay − ∂y ax = 0
(4.16)
4.2. STATI DI BORDO PER LA SEQUENZA DI LAUGHLIN
57
come vincolo. Quest’ultima ha soluzioni


 ax (t, x, y) = ∂x ϕ(t, x, y)
(4.17)

 a (t, x, y) = ∂ ϕ(t, x, y)
y
y
con ϕ(t, x, y) campo scalare.
Mostrerò ora che questa assunzione non porta dinamica.
Tenendo conto della scelta di gauge at = 0 e delle equazioni (4.17) si ottiene
2m + 1
4π
SEDGE =
+∞
Z
Z
0
dtdx
−∞
−∞
dy [−ax ∂t ay + ay ∂t ax ] =
(4.18)
2m + 1
4π
Z
+∞
Z
0
dtdx
−∞
−∞
dy [−∂x ϕ∂t ∂x ϕ + ∂y ϕ∂t ∂x ϕ]
che, dopo una prima integrazione per parti, diviene
SEDGE =
2m + 1
4π
Z
+∞
−∞
dtdx [ϕ(t, x, 0)∂t ∂x ϕ(t, x, 0)] .
(4.19)
Integrando ulteriormente per parti si giunge alla forma voluta per l’azione di edge
SEDGE = −
2m + 1
4π
Z
+∞
−∞
dtdx∂x ϕ∂t ϕ
(4.20)
in cui ho omesso per semplicità la dipendenza dalle coordinate. Da essa deriva direttamente
la densità lagrangiana
2m + 1
LEDGE = −
∂x ϕ∂t ϕ.
(4.21)
4π
Si osserva che la densità di hamiltoniana derivata da tale lagrangiana è nulla. Vale infatti
H=
δLEDGE
∂t ϕ − LEDGE = 0.
δ∂t ϕ
(4.22)
La teoria cosı̀ elaborata non può pertanto dare alcuna informazione sulla dinamica degli
stati di bordo. Lo stesso X. G. Wen osserva però [36] che la condizione di gauge
at = 0 considerata non è la più generale possibile, ma può essere generalizzata dalla
at = −vax ,
(4.23)
dove v > 0 rappresenta il modulo della velocità di propagazione degli stati sull’edge. Il
suo valore non può essere dedotto microscopicamente dalla teoria delineata per il bulk
in quanto è legato alle condizioni presenti al bordo fra cui, in primo luogo, la forma
del potenziale di confinamento. Per esempio nella teoria idrodinamica fenomenologica di
E
Wen [36] tale velocità è espressa come il rapporto , dove E rappresenta il modulo del
B
campo elettrico lungo il bordo del campione in presenza del potenziale di confinamento.
Essa pertanto viene introdotta come un parametro il cui valore dovrà poi essere fissato in
accordo con i dati sperimentali. Opero ora il cambio di variabili

T =t







aT = at + vax


















X = x − vt
Y =y
aX = ax
aY = ay
.
(4.24)
58
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Questa trasformazione lascia invariata l’azione (4.11) con il vincolo in (4.23) dato da
aT = 0. L’azione che descrive gli stati di edge in questa base è analoga a quella precedentemente descritta (vedi Eq. (4.20))
SEDGE
2m + 1
=−
4π
Z
dT dX∂T ϕ∂X ϕ.
(4.25)
dtdx (∂t + v∂x ) ϕ∂x ϕ
(4.26)
Operando le trasformazioni (4.24) ottengo
SEDGE = −
2m + 1
4π
Z
con la densità di lagrangiana della forma
LEDGE = −
2m + 1
(∂t + v∂x ) ϕ∂x ϕ.
4π
(4.27)
Da essa si ricava l’hamiltoniana non banale
HEDGE
(2m + 1)
=
v
4π
Z
+∞
−∞
v
dx (∂x ϕ) =
4πν
2
Z
+∞
−∞
dx (∂x ϕ)2 ,
(4.28)
che, come ci si deve aspettare, risulta definita positiva. Nella seconda uguaglianza ho
1
utilizzato ν =
valido per la sequenza di Laughlin.
2m + 1
Il campo ϕ(x) introdotto può essere legato alla densità di particelle ρ(x) degli stati di edge
[41]. Per mostrare ciò occorre prendere in considerazione la densità di carica del bulk J 0 .
In base alla (3.7) posso scrivere
J0 = −
e 0νρ
e
∂ν aρ = − (∂x ay − ∂y ax ) .
2π
2π
(4.29)
La densità di particelle sull’edge è data dall’integrale della (4.29) rispetto alla variabile
y lungo lo spessore fisico dell’edge. Ipotizzo che tale spessore sia pari ad una generica
lunghezza λ in modo da ottenere l’espressione
1
ρ(x) =
2π
Z
0
−λ
dy (∂x ay − ∂y ax ) .
(4.30)
Studio separatamente i due termini tenendo conto che λ può essere considerata piccola
rispetto alle variazioni delle quantità in gioco. Nel primo termine considero l’integrando
costante nell’intervallo considerato; in tal modo ho
Z
0
−λ
λ→0
dy∂x ay ≈ λ∂x ay (t, x, 0) −→ 0
(4.31)
che si annulla nel limite λ → 0. Posso integrare il secondo termine considerando i campi
nulli all’esterno del fluido Hall. Si ha pertanto
Z
0+
−λ
λ→0
∂y ax = ax (t, x, 0+ ) − ax (t, x, −λ) −→ −∂x ϕ.
(4.32)
Ciò permette di ottenere la relazione
ρ(x) =
1
∂x ϕ(x).
2π
(4.33)
4.2. STATI DI BORDO PER LA SEQUENZA DI LAUGHLIN
59
Considerando l’equazione del moto derivata dalla (4.26)
∂t ∂x ϕ + v∂x2 ϕ = 0,
(4.34)
mediante la (4.33), si giunge ad avere
∂t ρ + v∂x ρ = 0
(4.35)
che dà l’equazione d’onda della densità di particelle dell’edge propaganti con velocità
di propagazione v diretta nel verso dell’asse positivo delle x (vedi Fig. 4.2). Da essa
risulta evidente la natura chirale della propagazione in analogia con quanto visto nel caso
dell’IQHE.
Per comprendere più a fondo il significato della teoria degli edge risulta fondamentale
passare alla sua quantizzazione. Per questo suppongo un bordo di dimensione finita L
nella direzione delle x e descrivo l’hamiltoniana del sistema in termini della densità di
particelle ρ(x) appena introdotta. Attraverso la (4.33) riscrivo la (4.28) come
HEDGE
πv
=
ν
Z
L
dxρ2 (x)
(4.36)
0
dove per semplicità ho supposto 0 ≤ x ≤ L. Si può riscrivere l’espressione per l’hamiltoniana utilizzando in modi normali della densità ρ(x) definiti attraverso la serie di Fourier
ρ(x) =
∞
1 X
eikx ρk .
L k=−∞
(4.37)
Introducendo la (4.37) nella (4.36) si ha
HEDGE =
2πv
νL
X
ρ−k ρk +
k>0
πv 2
ρ .
νL 0
(4.38)
Nella (4.38) ho esplicitato il contributo di modo zero rappresentato dall’operatore
Z
ρ0 = ρk=0 =
L
ρ(x) = N.
(4.39)
0
Esso corrisponde al numero totale N di elettroni presenti nel sistema rispetto ad un valore
medio. Considero ora le parentesi di commutazione canonica di tale teoria. In generale si
ha che fra le coordinate e i momenti coniugati di una teoria valgono i commutatori
[qi , πj ] = iδij .
(4.40)
Nel caso in esame posso porre, per k 6= 0,
q k = ρk .
(4.41)
I momenti coniugati possono essere derivati direttamente a partire dalle equazioni di
Hamilton usando l’hamiltoniana HEDGE nella (4.38). Si ha perciò
ρ̇k = −ivkρk
2πv
π̇k = −
ρ−k .
νL
(4.42)
(4.43)
60
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Inserendo la (4.42) nella (4.43) si ha
π̇−k = −
2πi
ρ̇k
νkL
(4.44)
da cui
2πi
ρk
(4.45)
νkL
dove ho considerato nulla la costante di integrazione perchè non contribuisce alle parentesi
di commutazione.
Utilizzando la (4.40) ottengo, per k 6= 0,
π−k = −
[ρk , ρ−k ] =
νkL
.
2π
(4.46)
Dal momento che gli altri commutatori sono nulli è possibile riassumerli tutti nella relazione (k 6= 0)
νkL
[ρk , ρq ] =
δk,−q .
(4.47)
2π
Per il modo zero avrò, dalla (4.40),
q 0 = ρ0
(4.48)
con π0 tale che
[ρ0 , π0 ] = i.
(4.49)
Come osservato da X.G. Wen le relazioni di commutazione (4.47) sono quelle tipiche
dell’algebra di Kac-Moody [42] che compare nella teoria di Tomonaga-Luttinger [43] per
un liquido di elettroni interagenti in una dimensione. L’unica differenza sostanziale rispetto
al liquido di Luttinger ordinario è che negli stati di edge le eccitazioni si propagano in modo
chirale mentre nel Liquido di Luttinger ordinario queste hanno, nello stesso punto, onde
di densità che si propagano in entrambe le direzioni. Risulta pertanto corretto parlare,
per gli stati di bordo, di Liquido di Luttinger Chirale (χLL).
Operando le seguenti sostituzioni per i modi con k 6= 0
a†k
r
2π
ρ−k
νkL
r
2π
ρk
νkL
=
ak =
(4.50)
è possibile passare all’usuale descrizione in seconda quantizzazione. Questi operatori sono
di tipo bosonico come si può osservare dal calcolo diretto dei commutatori
h
ak , a†q
i
=
2π
√
[ρk , ρ−q ] = δk,q .
νL kq
(4.51)
L’hamiltoniana (4.38), espressa in termini di tali operatori, assume la forma tipica di un
sistema fononico più il modo zero
HEDGE = v
X
k>0
ka†k ak +
πv 2
πv 2
ρ = H0 +
N .
νL 0
νL
(4.52)
4.2. STATI DI BORDO PER LA SEQUENZA DI LAUGHLIN
61
Per motivi che risulteranno chiari in seguito, ho evidenziato il termine dipendente dal
numero di particelle cariche. I fononi in (4.52) hanno una direzione di propagazione con
velocità v ben definita lungo l’edge; ci si trova infatti in presenza di un sistema di fononi
chirali.
Concludo questa parte richiamando quanto svolto in Appendice B relativamente alla scrittura in trasformata di Fourier di ϕ(x) e alla sue relazioni di commutazione. Come mostrato
in Appendice B il campo ϕ(x) ha la seguente rappresentazione
ϕ(x) = ϕf (x) + ϕ0 (x)
dove
r
ϕf (x) =
i
2πν X
i † −ikx − a |k|
ikx
− √ ak e + √ ak e
e 2 ,
L k>0
k
k
(4.53)
(4.54)
in cui a costituisce un fattore di cut-off per i momenti, rappresenta il campo relativo ai
modi fononici e
2π
xρ0 − νπ0
(4.55)
ϕ0 =
L
quello relativo al modo zero con π0 dato dalla (4.49). Tale campo ha le seguenti relazioni
di commutazione
[ϕ(x), ϕ(y)] = iπνsign(x − y)
(4.56)
valide anche per un edge finito.
Passo ora a considerare il caso di un modo con propagazione regressiva. Esso non può
formarsi nella geometria mostrata in Fig. 4.2 dal momento che porterebbe ad un’hamiltoniana non definita positiva. Per poter avere tale propagazione occorre considerare un
fluido vincolato nel semipiano opposto a quanto mostrato in Fig. 4.2, ma con lo stesso
verso di B, e procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto per il campo progressivo
considerando questa volta la condizione di gauge
at = vax .
(4.57)
Indico con ϕ(−) (x) il campo regressivo per cui vale
(−)
(−)
ϕ(−) (x) = ϕf (x) + ϕ0 (x)
(4.58)
dove (vedi Appendice B), si ha
(−)
ϕf (x)
r
=
a
(−)
2πν X
i (−)
i
− √ ak e−ikx + √ a†k eikx e− 2 |k|
L k>0
k
k
(−)
ϕ0 (x) =
2π (−)
(−)
xρ + νπ0
L 0
(4.59)
(4.60)
e valgono le parentesi di commutazione
h
i
ϕ(−) (x), ϕ(−) (y) = −iπνsign(x − y).
(4.61)
In questo caso ottengo la densità lagrangiana
LEDGE =
2m + 1
(∂t − v∂x ) ϕ(−) ∂x ϕ(−)
4π
(4.62)
62
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Figura 4.3: La regione grigia rappresenta quella occupata dal fluido Hall e lungo l’asse x
si ha la formazione dell’edge. In esso la propagazione avviene in verso opposto rispetto a
quanto accadeva nel caso precedente come indicato dalla freccia. La direzione del campo
B è mostrata in figura.
che porta direttamente all’hamiltoniana
(2m + 1)
=
v
4π
HEDGE
Z
+∞
−∞
dx ∂x ϕ(−)
2
(4.63)
analoga a quella per l’edge progressivo e nuovamente definita positiva.
La densità di particelle sull’edge è data da
ρ(−) (x) = −
1
∂x ϕ(−) (x).
2π
(4.64)
Nel caso di propagazione regressiva, utilizzando nuovamente la scrittura in modi normali
della densità (4.37), si arriva all’espressione
HEDGE =
2πv
νL
X
(−) (−)
ρk ρ−k +
k>0
πv (−) 2
(ρ )
νL 0
(4.65)
per l’hamiltoniana del sistema. Da essa si deriva il commutatore
h
i
(−)
ρk , ρ(−)
=−
q
νkL
δk,−q .
2π
(4.66)
Per passare alla scrittura in seconda quantizzazione della (4.65) utilizzo le relazioni
(−)
a†k
(−)
ak
r
=
r
=
X
k>0
ka†k
(−) (−)
ak
(4.67)
2π
ρ−k
νkL
e ottengo
HEDGE = v
2π
ρk
νkL
+
πv 2
πv
ρ0 = H 0 +
(N (−) )2 .
νL
νL
(4.68)
4.2. STATI DI BORDO PER LA SEQUENZA DI LAUGHLIN
4.2.1
63
Bosonizzazione dei campi nella sequenza di Laughlin
Le eccitazioni di tipo fononico, sebbene definiscano l’hamiltoniana dell’edge a numero
costante di particelle, non esauriscono quelle ammesse per il sistema. Finora infatti non ho
tenuto conto della possibilità di modificare il numero di eccitazioni cariche in esso presenti.
Esse nascono dall’aggiunta o dalla rimozione di un elettrone o di una quasiparticella dal
fluido Hall e sono pertanto legate alla variazione del numero delle particelle. Per includere
anch’esse occorre rappresentare l’operatore di campo elettronico ψe (x) e di quasiparticella
ψqp (x) in termini dei modi fononici.
Incomincio con il campo elettronico ψe (x). La sua azione sul sistema è quella di diminuire
la densità delle particelle cariche di una unità. In termini operatoriali ciò si traduce nella
relazione di commutazione
h
i
ρ(±) (x), ψe(±) (y) = −δ(x − y)ψe(±) (y),
(4.69)
dove con + e − indico rispettivamente i campi associati agli edge progressivi e regressivi.
Il mio scopo ora è quello di creare un’identità operatoriale nello spazio di Hilbert degli
(±)
stati del liquido del χLL che consenta di riscrivere il campo ψe (x) in funzione del campo
ϕ(±) (x) operazione che prende il nome di bosonizzazione. L’espressione per l’operatore
elettronico proposta da Wen [36] è la seguente
ψe(±) (x) = √
πx
i (±)
1
e ν ϕ (x) e±i νL
2πa
(4.70)
dove a è lo stesso fattore di cut-off che compare nella (4.54). In base a tale relazione si
verifica che
πx
h
i
ρ(±) (x), ψe(±) (y) = ∓
e±i νL
2π
√
i (±)
1
e ν ϕ (y) , ∂x ϕ(±) (x) = −δ(x − y)ψe(±) (x).
2πa
(4.71)
L’ultima uguaglianza è stata ottenuta utilizzando l’identità operatoriale
h
i
eA , B = [A, B] eA ,
(4.72)
valida quando il commutatore [A, B] è un c-numero, e le commutazioni dei campi (4.56).
Per poter ritenere equivalenti le due espressioni occorre ancora verificare che l’operatore
elettronico bosonizzato soddisfi le relazioni di anticommutazione tipiche dei fermioni quale
ad esempio
n
o
ψ (±) (x), ψ (±) (y) = 0.
(4.73)
Utilizzando la relazione di Baker-Hausdorff, valida per due operatori A e B tali per cui
[A, B] è un c-numero,
1
(4.74)
eA eB = eA+B e 2 [A,B]
e inserendo il commutatore (4.56), si dimostra che
ψe(±) (x)ψe(±) (y) =
1 i [ϕ(±) (x)+ϕ(±) (y)] − iπ sign(x−y) ±i π (x+y)
eν
e 2ν
e νL
2πa
(4.75)
ψe(±) (y)ψe(±) (x) =
1 i [ϕ(±) (y)+ϕ(±) (x)] iπ sign(x−y) ±i π (x+y)
e νL
.
eν
e 2ν
2πa
(4.76)
e
64
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Essendo ν =
1
si ha
2m + 1
ψe(±) (x)ψe(±) (y) = −ψe(±) (y)ψe(±) (x)
(4.77)
Le altre relazioni di anticommutazione possono essere ricavate in modo analogo.
Più complicato risulta l’anticommutatore
†
ψe(±) (x), ψe(±) (y)
= δ(x − y).
(4.78)
1
con
2πa
a → 0. Per una dimostrazione di questa affermazione si rimanda alla letteratura [47].
πx
In ultimo vorrei commentare la presenza del fattore costante e±i νL introdotto nella (4.70).
Questo, essendo un numero, non modifica le relazioni di commutazione appena discusse.
Tale termine è scelto in modo da soddisfare la relazione di periodicità per i campi [71]
(±)
Quest’ultimo risulta verificato solo se la costante di normalizzazione di ϕe
ψe(±) (x) = ψe(±) (x + L).
è √
(4.79)
Si noti che questo termine è rilevante solo per edge finiti e scompare per L → ∞.
Ripercorrendo quanto fatto per il caso dell’operatore elettronico ψe (x) posso introdurre
una rappresentazione bosonica per le eccitazioni di quasiparticella sugli edge. In analogia
con i risultati del bulk assumo che esistano eccitazioni di quasiparticella anche sull’edge
con le stesse proprietà di carica e statistica. Queste, nella sequenza di Laughlin, hanno
carica frazionaria
e
Qqp = −
(4.80)
2m + 1
e statistica frazionaria
θqp =
π
.
2m + 1
(4.81)
L’espressione del campo di quasiparticella sarà, in analogia con la (4.70),
(±)
ψqp
(x) = √
πx
1
(±)
eiϕ (x) e±i L .
2πa
(4.82)
Si può dimostare, con ragionamenti analoghi a quelli fatti per l’elettrone, che tale espressione verifica le relazioni
[ρ(x), ψqp (y)] = −
1
δ(x − y)ψqp (x)
2m + 1
iπ
ψqp (x)ψqp (y) = ψqp (y)ψqp (x)e− 2m+1 sign(x−y) .
(4.83)
(4.84)
Anche in questo caso l’eccitazione elettronica può essere considerata come un agglomerato
di 2m + 1 eccitazioni elementari.
4.3. TEORIA DI FRADKIN E LOPEZ PER LA SEQUENZA DI JAIN
4.3
65
Teoria di Fradkin e Lopez per la sequenza di Jain
p
2mp + 1
partendo dalla densità di lagrangiana di Fradkin e Lopez introdotta nella Sezione 3.3. Mi
riferirò ad un singolo bordo come quello descritto in Fig. 4.2. Per fare ciò occorre in primo
luogo disaccoppiare la densità di lagrangiana del bulk con matrice K nella (3.43) mediante
il cambio di variabili
 1
1

 ã = a
In questa Sezione descriverò la teoria di campo efficace per la sequenza di Jain ν =






1
√
ã2 = √ a1 + pa2 .

p







(4.85)
ã3 = a3
Si ottiene cosı̀ la densità di lagrangiana
L=
1 µνρ 1
ãµ ∂ν ã1ρ − µνρ ã2µ ∂ν ã2ρ − µνρ ã3µ ∂ν ã3ρ
ν
(4.86)
che consta di tre termini analoghi alla (4.10). Procedendo quindi in modo simile a quanto
fatto per un singolo modo impongo le condizioni di gauge
ã1t = −vC ã1x ;
ã2t = vN ã2x ;
ã3t = vN 0 ã3x .
(4.87)
Si noti che i segni delle velocità di propagazione dei modi sono stati scelti in modo da
giungere ad una hamiltoniana definita positiva per la teoria sull’edge. Il primo campo si
propaga in modo progressivo, gli altri due vanno in senso opposto. In analogia con quanto
fatto nella Sezione 4.2 si arriva quindi alla densità di lagrangiana
1
1
vC
=
− ∂t ϕC ∂x ϕC −
(∂x ϕC )2 + ∂t ϕN ∂x ϕN − vN (∂x ϕN )2 +
4π
ν
ν
LEDGE
2
+∂t ϕN 0 ∂x ϕN 0 − vN 0 (∂x ϕN 0 )
i
(4.88)
.
Ricordo che la densità di particelle del bulk dipende solo dal campo ã1 = a1 (vedi Eq.
(3.45)), quindi la densità dell’edge ha la forma
ρ(x) =
1
∂x ϕC (x)
2π
(4.89)
ed è legata solo al campo ϕC (x). Esso, derivando dal campo carico a1 , prende il nome di
campo carico. Analogamente i campi ϕN (x) e ϕN 0 (x) sono denominati campi neutri.
L’hamiltoniana sull’edge espressa in termini di questi campi assume la forma
HEDGE =
vC
4πν
Z
0
L
(∂x ϕC )2 +
vN
4π
Z
0
L
(∂x ϕN )2 +
vN 0
4π
Z
0
L
(∂x ϕN 0 )2 .
(4.90)
I commutatori dei campi, essendo questi disaccoppiati, sono dati, in base alla considerazioni fatte in Appendice B, da
[ϕC (x), ϕC (y)] = iπνsign(x − y)
(4.91)
[ϕN (x), ϕN (y)] = −iπsign(x − y)
(4.92)
[ϕN 0 (x), ϕN 0 (y)] = −iπsign(x − y).
(4.93)
66
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Il campo carico ϕC (x) per il bordo superiore è quindi progressivo mentre i due neutri sono
regressivi.
Richiamando l’espressione esplicita dei campi
ϕC
ϕN
r
i † −ikx − a |k| 2π
2πν X −i
ikx
√ aC,k e + √ aC,k e
e 2 +
xρC,0 − νπC,0 (4.94)
L k>0
L
k
k
r
a
2π X −i
i
2π
√ aN,k e−ikx + √ a†N,k eikx e− 2 |k| +
xρN,0 + πN,0
L k>0
L
k
k
=
=
r
ϕN 0
=
(4.95)
a
i
2π X −i
2π
√ aN 0 ,k e−ikx + √ a†N 0 ,k eikx e− 2 |k| +
xρN 0 ,0 + πN 0 ,0 (4.96)
L k>0
L
k
k
calcolata in Appendice B arrivo alla scrittura della (4.90) in seconda quantizzazione
HEDGE =
XX
vi ka†i,k ai,k +
i k>0
X πvi
i
νL
ρ2i,0 = H0 + H 0 +
πvC 2
N
νL
(4.97)
in cui l’indice i (i = C, N, N 0 ) corre sui tre campi introdotti. Nell’ultimo passaggio
ho messo in evidenza il contributo dato dal numero di particelle cariche al modo zero
dell’hamiltoniana che deriva dalla relazione, valida per il solo modo carico,
ρC,0 = N
(4.98)
e ho posto
πvN 0 2
πvN 2
ρN,0 +
ρ 0 .
(4.99)
L
L N ,0
Quest’ultimo termine racchiude il contributo dei modi zero dei campi neutri.
Vorrei concludere questa Sezione commentando le diverse velocità presenti nella (4.90).
Nel loro lavoro [41] Fradkin e Lopez pongono
H0 =
vN = vN 0 = 0
(4.100)
non dando alcuna dinamica ai campi non accoppiati al campo elettromagnetico. Essi
saranno invece determinanti per verificare le regole di statistica dei campi (vedi Paragrafo
4.3.1). Nel corso della tesi prenderò in considerazione velocità vN e vN 0 finite per poi
passare solo alla fine al limite vN,N 0 → 0. Come vedremo questo procedimento è dettato
da necessità di calcolo legate alla regolarità degli integrali. Risulta quindi chiaro che il
modello proposto da Fradkin e Lopez non permette di investigare la dinamica dei modi
neutri. In realtà, come osservato da Levitov et al. [48] e da Wen e Lee [65] le velocità dei
modi neutri vN sono piccole ma non strettamente nulle. La condizione tipica è vN vC
con vN finito. Questa relazione sembra del tutto ragionevole; come infatti osservato da
Imura [66] le velocità di propagazione dei due modi risultano differenti. La velocità del
E
modo neutro vN ha un ordine di grandezza pari a
con E campo elettrico generato al
B
bordo dal potenziale di confinamento. Quella del modo carico vC ha, oltre ad un contributo
dello stesso ordine di grandezza, una correzione dovuta all’interazione
HINT
1
= 2
8π
Z
dxdx0 ∂x ϕC V (x − x0 )∂x0 ϕC (x0 )
(4.101)
4.3. TEORIA DI FRADKIN E LOPEZ PER LA SEQUENZA DI JAIN
67
con V (x) generico potenziale di interazione. Se quest’ultimo è a lungo raggio come nel
caso coulombiano non schermato tale termine incrementa notevolmente la velocità del
modo carico e porta alla condizione vN vC . Va quindi tenuto presente che utilizzando
il modello di Fradkin e Lopez si perdono tutte le informazioni sulla dinamica dei modi
neutri. Nonostante ciò però, come si vedrà nell’ultimo Capitolo in relazione ai risultati
sperimentali, la restrizione imposta da Fradkin e Lopez non compromette la predittività
del modello; infatti, per le energie in gioco tipiche degli esperimenti attuali, le velocità dei
modi neutri sono cosı̀ piccole da non poter essere rilevate.
4.3.1
Bosonizzazione dei campi per la teoria di Fradkin e Lopez
Dopo aver descritto il sistema in assenza di eccitazioni studio ora gli stati eccitati di
p
elettrone e quasiparticella per ν =
. Considero la scrittura dell’operatore di
2mp + 1
campo elettronico in termini degli operatori ϕC , ϕN e ϕN 0 . In questo caso si procede in
analogia con quanto già fatto per la teoria di Wen, con la complicazione aggiuntiva di avere
tre distinti campi che descrivono l’edge. Ipotizzo per l’operatore di campo elettronico la
forma
h
i
(±)
(±)
(±)
α πx i α1 ϕ
1
C (x)+α2 ϕN (x)+α3 ϕN 0 (x)
±i 1L
(±)
e
e
,
(4.102)
ψe (x) = √
2πa
in cui ho tenuto conto sia del modo progressivo che di quello regressivo identificati rispettivamente con gli apici + e −. Nell’espressione precedente si devono forzare i coefficienti
α1 , α2 e α3 in modo che siano soddisfatte le relazioni (4.69) e (4.73). Passando al calcolo
diretto e utilizzando le relazioni (4.91-4.93) si ottiene per la carica
h
i
ρ(±) (x), ψe(±) (y) = −α1 νδ(x − y)ψe(±) (y)
(4.103)
che permette di fissare
1
.
ν
Imponendo la validità dell’anticommutatore fermionico (4.78) ottengo inoltre
α1 =
(4.104)
θe
π
(4.105)
1 θe
− .
ν
π
(4.106)
να12 − α22 − α32 =
dalla quale, sostituendo la (4.104), si ha
α22 + α32 =
Non potendo far ricorso ad altre considerazioni legate alla fisica del sistema non sono
in grado di fissare entrambi i coefficienti α2 e α3 . La scelta più semplice è quella di
considerare, ad esempio, α3 = 0. Ciò fa sı̀ che il campo neutro ϕN 0 risulti superfluo nel
modello proposto e semplifica la teoria in esame.
Nella (4.106) compare l’angolo statistico θe . In generale deve valere
θe = π(2k + 1)
(4.107)
68
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
con k ∈ Z. L’angolo calcolato da Fradkin e Lopez nel bulk è
p 1 p 1
− 2ke π
+ −
ν ν
ν
p
θe = −π
(4.108)
dove, rispetto alla (3.51), ho tenuto conto dell’indeterminazione di 2ke π sull’angolo con
ke ∈ Z. In generale si avrà dunque
s
α2 =
1 θe
−
=
ν
π
s
p2
p
+ 2 + 2ke .
2
ν
ν
(4.109)
Si noti che α2 non è univocamente determinato a causa dell’indeterminazione statistica rappresentata dal fattore ke . Per le condizioni di esistenza della (4.109) si devono
considerare i valori di ke interi per cui vale
ke ≥ −
p2
p
−
.
2ν 2 2ν 2
(4.110)
Nel suo lavoro [54] Fradkin fissa ke = 0. Riassumendo si ottiene
ψe(±) (x) = √
i
πx
1
e±i νL e
2πa
1 (±)
ϕ
(x)+
ν C
q
(±)
p2
+ p2 +2ke ϕN (x)
ν2
ν
.
(4.111)
Procedendo in modo del tutto analogo per l’operatore di quasiparticella si ha
h
πx i
1
(±)
ψqp
(x) = √
e±i L e
2πa
1 (±)
ϕ
+
p C
q
(±)
1+ p1 +2kqp ϕN
i
(4.112)
con kqp ∈ Z e tale per cui
1
1
kqp ≥ − − .
2 2p
(4.113)
Anche in questo caso Fradkin [54] pone kqp = 0.
Si noti che, se si volesse ‘mappare’ questa descrizione nel caso della sequenza di Laughlin
1
dove p = 1 e ν =
, la procedura più semplice sarebbe scegliere ke nella (4.109) in
2m + 1
modo tale da avere α2 = 0 e cioè ke = −(2m + 1)2 che risulta compatibile con la (4.110).
(±)
Con questa scelta il campo neutro ϕN scomparirebbe dalla forma del campo elettronico
e non giocherebbe alcun ruolo nella dinamica. Allo stesso modo si può procedere per le
quasiparticelle ponendo kqp = −1. Si noti che tali valori sono quelli che rendono gli angoli
statistici θe e θqp calcolati da Fradkin uguali a quelli calcolati per mezzo della teoria di
Wen. Utilizzando tali valori per gli angoli statistici anche il campo ϕN diviene superfluo
e le espressioni (4.111) e (4.112) vanno a coincidere con la (4.70) e la (4.82).
4.4
Teoria di Wen per la sequenza di Jain
In questa Sezione esporrò brevemente la descrizione proposta da Wen per gli stati di
p
bordo della sequenza di Jain con ν =
. Questo procedimento fu analizzato in
2mp + 1
dettaglio oltre che da Wen [36] anche, successivamente, da C.L Kane e M.P.A Fisher [37]
4.4. TEORIA DI WEN PER LA SEQUENZA DI JAIN
69
e risulta cronologicamente antecedente al modello proposto da Fradkin e Lopez. Come
si vedrà in seguito questo approccio risulta piuttosto complesso soprattutto per p ≥ 2.
Per questo motivo non lo utilizzerò nel prosieguo del mio lavoro di tesi, seguirò invece
la procedura elaborata da Fradkin e Lopez discussa nella Sezione precedente. Reputo
comunque istruttivo presentare i tratti salienti di questa teoria anche senza entrare nel
dettaglio delle dimostrazioni. Per una dettagliata discussione rimando a [37]. A tal fine
occorre partire dalla parte quadratica della densità lagrangiana (3.24). Per ogni campo
che compare in essa si possono introdurre condizioni di gauge analoghe alla (4.23). A
seguito di ciò, procedendo come nella Sezione precedente, si può ottenere la densità di
lagrangiana per gli stati di edge [37]
1
L=−
Kij ∂x ϕi ∂t ϕj + Vij ∂x ϕi ∂x ϕj ,
4π
(4.114)
in cui la matrice K è la stessa che compare nella teoria del bulk (cf. Eq. (3.24)), mentre la
matrice V rappresenta sia il termine di velocità associato al campo i-esimo (elemento Vii )
sia un termine di interazione tra i campi (elemento Vi6=j ). Questa matrice non è universale,
ma dipende da fattori quali la forma del potenziale di confinamento e il tipo di interazione
(corto o lungo raggio).
Generalizzando la (4.33) si ha che la densità di particelle dell’edge può essere scritta come
[37]
ρ(x) =
p
1 X
∂x ϕi (x).
2π i=1
(4.115)
Per un generico stato di FQHE la diagonalizzazione della lagrangiana (3.24) avviene attraverso alcuni passaggi. In primo luogo si rende diagonale la matrice K mediante una
trasformazione ortogonale. Ciò è reso possibile dal fatto che essa è simmetrica. A seguito
di questa operazione si ha un campo corrispondente alla somma di tutti i campi di edge
che, in virtù della (4.115), viene denominato campo carico e altre p−1 combinazioni lineari
indipendenti che vengono definite campi neutri. Il secondo passo consiste nel riscalare i
campi in modo da rendere gli autovalori della matrice K pari a 1 o −1. Si può dimostrare
[37] che, a seguito di queste operazioni, si ottengono solo due diversi tipi di matrici K: o
la matrice identità o una di tipo Lorentz con un solo autovalore 1 corrispondente al campo
carico e tutti gli altri pari a −1 legati ai campi neutri. La distinzione che si viene a creare
fra le diverse segnature degli autovalori della matrice K si ripercuote sulla natura stessa
degli edge. Essi possono infatti essere divisi in due categorie: la prima in cui gli autovalori
hanno tutti segno concorde e lo stesso accade per la direzione di propagazione dei modi di
edge (modi copropaganti), le seconda in cui la segnatura discorde fa sı̀ che i modi neutri
si propaghino tutti in direzione opposta rispetto a quello carico (modi contropropaganti).
Resta ancora da discutere il termine di interazione V . Come mostrato da C.L. Kane e
M.P.A Fisher [37] la matrice K mostra una particolare simmetria che può essere sfruttata
per trattare il termine di interazione. Essi dimostrano che il termine non diagonale Vi6=j
risulta irrilevante nel linguaggio del Gruppo di Rinormalizzazione rispetto agli altri e può
essere trascurato. La dimostrazione di questo fatto richiede però l’introduzione di scattering con impurezze distribuite in maniera casuale lungo l’edge. In questo modo si considera
solo il termine diagonale Vij = vi δij e procedendo alla sola diagonalizzazione della matrice
K la teoria risulta completamente disaccoppiata.
70
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
2
con p = 2 nel
5
limite L → ∞. Per esso si hanno due campi ϕ1 e ϕ2 e K vale (cf. Eq. (3.30))
Come esempio del procedimento appena descritto esplicito il caso ν =
!
K=
3 2
2 3
1
=
5
3 −2
−2 3
e di conseguenza
K
−1
!
.
Opero ora la sostituzione


 ϕC = ϕ 1 + ϕ 2
(4.116)

 ϕ =ϕ −ϕ .
1
2
N
Poichè il primo campo, in base alla definizione (4.115), è tale per cui
ρ(x) =
1
∂x ϕC
2π
(4.117)
esso è il campo carico. Per distinguersi da questo il secondo campo è indicato come
neutro. Attraverso la trasformazione (4.116) ottengo la densità lagrangiana completamente
disaccoppiata
1 5
1
L=−
∂x ϕC ∂t ϕC + ∂x ϕN ∂t ϕN + vC ∂x ϕC ∂x ϕC + vN ∂x ϕN ∂x ϕN
4π 2
2
(4.118)
dove vC e vN sono le velocità di propagazione rispettivamente del campo carico e di quello
neutro, prese entrambe finite
L’hamiltoniana del sistema risente dei contributi di entrambi i campi e può essere scritta,
ripercorrendo le considerazioni fatte nella Sezione precedente, nella forma
H = vC
X
ka†C,k aC,k + vN
k>0
X
ka†N,k aN,k
(4.119)
k>0
in cui gli operatori a†C e aC agiscono sui modi del campo carico mentre a†N e aN su quelli
del campo neutro. Occorre ora passare a dare una rappresentazione degli operatori di
campo bosonizzati. Per fare ciò si considera la più generale scrittura dell’operatore di
campo elettronico della forma
ψe (x) = √
α1 πx
1
ei L ei[α1 ϕC (x)+α2 ϕN (x)]
2πa
(4.120)
nella quale i coefficienti α1 e α2 vanno forzati attraverso i vincoli fisici (4.69) e (4.73) legati
alla carica e alla statistica degli elettroni. Analogamente a quanto visto nel Paragrafo 4.3.1
si ottiene, nel limite L → ∞, l’operatore di campo elettronico
h
i
1
e
ψe (x) = √
2πa
5
ϕ (x)+
2 C
pθ
e − 5 ϕ (x)
2π
4 N
i
(4.121)
4.5. QUANTIZZAZIONE DELLA CONDUTTANZA PER LE TEORIE DI EDGE
71
dove occorre tenere conto della periodicità dell’angolo statistico θe ; esso, a causa delle
condizioni di esistenza del coefficiente α2 , deve valere
p
θe
=−
π
ν
1 p 1
+ −
ν
ν
p
5
− 2ke ≥ .
2
(4.122)
In modo del tutto analogo si può introdurre l’operatore di distruzione di un’eccitazione
elementare che assume la forma
ψqp (x) = √
i
1
e
2πa
1
ϕ (x)+
2 C
q
θqp
1
− 20
ϕN (x)
2π
.
(4.123)
Anche in questo caso l’angolo statistico θqp è definito a meno di multipli di 2π e deve essere
tale per cui
θqp
1
ν
1
= ( 2 − − 1) − 2kqp ≥ .
(4.124)
π
p
p
10
Fino al 1996 la teoria fin qui esposta era ritenuta la più accreditata per lo studio degli
stati di bordo. A partire da quell’anno alcuni esperimenti relativi al tunneling di elettroni
fra l’edge di un sistema FQHE e un metallo, che analizzerò più nel dettaglio in seguito,
ne misero in discussione le previsioni. Vari nuovi modelli teorici sono stati sviluppati per
ovviare a tale problema [67, 68, 69, 70]. Uno di questi è proprio il modello di Fradkin e
Lopez che, come visto, necessita solo di due campi di cui uno carico e uno neutro.
4.5
Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge
In questa Sezione voglio verificare che i modelli teorici proposti per descrivere gli stati di
bordo permettono di ricavare le corrette proprietà di trasporto del sistema. Mi occuperò
del calcolo della conduttanza Hall del campione.
Considero la barretta Hall fra due contatti come mostrato in Fig. 4.4. In questa geometria
non c’è più un solo bordo che circonda il campione, ma due edge distinti che si muovono
in direzioni opposte. Ognuno di questi edge è in equilibrio con il potenziale chimico del
serbatoio da cui proviene e non risente dell’altro. Il voltaggio Hall del sistema è legato alla
differenza dei potenziali chimici dei serbatoi
eVH = µS − µD .
(4.125)
In questa geometria a due terminali il potenziale VH è direttamente il voltaggio Hall del
sistema. Passo ora a considerare i risultati che si ottengono a partire da questa geometria
nei vari modelli proposti.
4.5.1
Conduttanza Hall per la teoria di Wen per gli stati di Laughlin
L’effetto del potenziale Hall può essere inglobato nell’hamiltoniana attraverso un accoppiamento tra il potenziale chimico e la densità di particella. L’hamiltoniana di un sistema
costituito da due edge indipendenti che si propagano in direzioni opposte è data quindi da
(vedi Eqs. (4.52) e (4.68))
H = HS +
πv 2
πv 2
N S + HD +
N − µS NS − µD ND .
νL
νL D
(4.126)
72
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Figura 4.4: Barretta Hall (in azzurro) con due edge distinti che si propagano in direzioni
opposte a causa dell’azione del campo magnetico. In questa configurazione i due edge
possono essere considerati completamente indipendenti e in equilibrio con i rispettivi serbatoi (in giallo). L’edge superiore ha il potenziale chimico del serbatoio µS mentre quello
inferiore risente del potenziale chimico µD . Il voltaggio Hall è dato da eVH = µS − µD .
La direzione del campo B è mostrata in figura.
Da questa si ricava che il numero medio di particelle cariche nei due edge è dato dal valore
che minimizza la (4.126)
νL
νL
µS ;
hND i =
µD .
(4.127)
2πv
2πv
Se µS 6= µD esiste uno scompenso di densità tra i due edge e quindi una corrente netta
diversa da zero. Per valutarla esplicitamente richiamo le equazioni d’onda per le densità
di particelle degli edge
(∂t + v∂x )ρS (x, t) = 0
(4.128)
(∂t − v∂x )ρD (x, t) = 0
hNS i =
e confrontandole con la legge di conservazione
∂t (−eρ) + ∂x J = 0
(4.129)
ottengo i valori medi delle densità di corrente
hNS i
hND i
;
hJD i = −ve
.
(4.130)
L
L
Sostituendo ora i risultati (4.127) si ricavano le densità di corrente
νe
νe
hJS i =
µS ;
hJD i = − µD .
(4.131)
2π
2π
La corrente totale circolante nel sistema è data pertanto, utilizzando la (4.125), da
e
I = hJS i + hJD i = ν (µS − µD ).
(4.132)
2π
L’espressione per la conduttanza Hall GH (I = GH VH ) è data infine dalla [49]
hJS i = ve
GH =
e2
eI
=ν .
µS − µD
h
(4.133)
4.5. QUANTIZZAZIONE DELLA CONDUTTANZA PER LE TEORIE DI EDGE
4.5.2
73
Conduttanza Hall per la teoria di Fradkin e Lopez
Anche in questo caso posso procedere come fatto nel Paragrafo precedente. Considerando
l’hamiltoniana del sistema accoppiato con i serbatoi esterni si ha (vedi Eq. (4.97))
0
H = H0,S + H0,S
+
πvC 2
πvC 2
0
N − µS NS + H0,D + H0,D
+
N − µD ND
νL S
νL D
(4.134)
0
dove H0,SD e H0,SD
sono del tipo dato in Eq. 4.97. Questa scrittura risulta coerente
col fatto che l’accoppiamento col campo elettromagnetico esterno attraverso i potenziali
chimici µS e µD avviene solamente mediante il campo carico. Le densità di carica degli
edge sono
νe
νe
hJS i =
µS ;
hJD i = − µD
(4.135)
2π
2π
e portano alla corrente media
I = hJS i + hJD i = ν
e2
(µS − µD ).
2π
(4.136)
Anche in questo caso si ottiene la quantizzazione della conduttanza GH in termini di
GH = ν
e2
.
h
(4.137)
Come ci si doveva aspettare anche per la sequenza di Jain si ritrova la legge universale
(4.137).
74
CAPITOLO 4. TEORIE DI CAMPO EFFICACI PER GLI STATI DI BORDO
Capitolo 5
Processi di Tunneling
Nel Capitolo precedente ho delineato le caratteristiche principali delle eccitazioni negli
stati di bordo del FQHE. Una tecnica sperimentale molto usata per studiare le proprietà
di tali eccitazioni è quella di effettuare misure di trasporto in presenza di tunneling. In
questi esperimenti si utilizzano, per creare il tunneling, differenti geometrie.
Focalizzerò la mia attenzione sulla valutazione della corrente di tunneling per una geometria di ‘point contact’. Dall’andamento della corrente sarà possibile evidenziare le differenze sostanziali fra il liquido di Fermi degli stati di bordo a ν intero e quello di Luttinger
in cui ν è frazionario. Oltre a ciò, il confronto coi dati sperimentali, permetterà di comprendere se il modello di Fradkin e Lopez a due campi per gli stati di edge esposto nella
Sezione 4.3 risulti più predittivo rispetto alla descrizione di Wen a molti campi delineata
nella Sezione 4.4. Su tale punto verteranno le considerazioni più importanti del mio lavoro.
5.1
Geometria di ‘point contact’
Il modo più semplice per rendere possibile il tunneling tra gli edge di una barretta Hall è
quello di creare un punto di contatto tra i bordi superiore e inferiore che, nella configurazione mostrata in Fig. 4.4, risultano separati e indipendenti. Questi vengono avvicinati
sperimentalmente utilizzando un potenziale di contatto (gate) Vg negativo applicato a due
elettrodi fissati sul campione. Come illustrato in Fig. 5.1 i due elettrodi funzionano come
pinze che stringono in una zona della barretta: a seconda dell’intensità di Vg i bordi risultano più o meno vicini fra loro.
Se non viene applicato alcun potenziale di gate (Vg = 0) gli edge non comunicano fra loro
e la conduttanza misurata tra i due contatti agli estremi della barretta è universale e pari
a quanto già ricavato nella Sezione 4.5
e2
2π
(5.1)
I = GH V H .
(5.2)
GH = ν
con una corrente
Quando si fornisce un debole potenziale negativo Vg , i bordi si avvicinano leggermente e
si rende possibile il backscattering tra le particelle; ad esempio, una particella dell’edge
superiore che si muove ‘right’ fa tunneling nell’edge inferiore e cambia quindi direzione
75
76
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Figura 5.1: Applicazione di un potenziale alla barretta Hall mediante il gate Vg . Esso
mette in comunicazione l’edge superiore (progressivo) con quello inferiore (regressivo) e
rende possibile il tunneling fra i due edge (linee tratteggiate).
(‘left movers’). Questo limite prende il nome di ‘weak pinch-off’ ed è illustrato in Fig.
5.2b. Occorre notare che in questo caso il fluido Hall è presente tra i due bordi e ciò
permette il tunneling sia delle quasiparticelle che degli elettroni.
Il tunneling modifica il valore della corrente Hall, questa infatti viene decrementata rispetto
al valore (5.2) di un termine dovuto alla corrente di tunneling o backscattering
I = GH VH − IBS .
(5.3)
Quando il potenziale di gate cresce negativamente si viene a creare una zona di completo
svuotamento intorno al point contact in modo da creare una corrente di backscattering
molto grande. Come mostrato in Fig. 5.2a ciò equivale ad avvicinare il bordo di una
barretta Hall a quello di un’altra, creando un punto di contatto in una regione in cui il
fluido Hall è assente. Questa configurazione rende possibile il tunneling di soli elettroni.
In questo limite, che prende il nome di ‘strong pinch-off’, la corrente misurata tra i due
contatti è la corrente di tunneling degli elettroni.
Infine, se il potenziale di gate diventa troppo intenso, la barretta Hall viene definitivamente
separata in due regioni indipendenti e la corrente misurata è nulla.
5.2
‘Cleaved Edge Overgrowth’
Un’altra geometria molto utilizzata negli esperimenti di tunneling è quella del ‘Cleaved
Edge Overgrowth’ (CEO). In questo caso una barriera di tunneling di spessore comparabile con la lunghezza magnetica viene fatta crescere in direzione perpendicolare al 2DEG.
Su di essa, dal lato opposto rispetto al gas di elettroni, viene posto uno strato di GaAs
fortemente drogato n come mostrato in Fig. 5.3. Tale configurazione rende possibile il
passaggio di elettroni fra tutto il bordo del fluido Hall e il semiconduttore. Dal momento
che il tunneling non avviene all’interno del fluido Hall il sistema appena descritto non può
essere utilizzato per lo studio dei processi di tunneling che coivolgono quasiparticelle ma
solo per gli elettroni. Oltre a questo la geometria di CEO presenta un altro svantaggio tecnico. A differenza del ‘Quantum Point Contact’ descritto in precedenza, in cui la barriera
di tunneling nasce dall’azione di un potenziale di gate esterno che può essere facilamente
modificato, qui essa viene costruita sul bordo della barretta ed è difficilmente manipolabile
a meno di costruire nuovi campioni.
5.2. ‘CLEAVED EDGE OVERGROWTH’
77
Figura 5.2: Andamenti di strong (a) e weak (b) pinch-off. (a) il potenziale di gate è
cosı̀ intenso (con segno negativo) da rimuovere completamente il fluido Hall al centro del
campione (zona bianca). Il sistema è diviso in due regioni distinte con due differenti fluidi
(zone grigie). Fra esse l’unico processo di tunneling possibile e quello di elettroni. (b) il
potenziale di gate è debole e non separa il fluido, ma serve solo a consentire l’avvicinamento
dei bordi fra i quali si può avere il passaggio sia di quasiparticelle che di elettroni.
78
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
A questi svantaggi si contrappone il fatto che la barriera qui introdotta risulta stretta e
molto piccata in energia a differenza della precedente (vedi Fig. 5.4). Per comprendere
meglio l’importanza di questo fatto occorre considerare brevemente i contributi che entrano in gioco nei processi di tunneling. La probabilità di tunneling di una particella dipende
dalla probabilità che essa ha di attraversare la barriera per effetto tunnel e dalla densità
degli stati del fluido di partenza e arrivo. Il primo fattore è legato alla geometria della
barriera mentre il secondo dipende essenzialmente dalla natura delle eccitazioni considerate. Nel caso della geometria di CEO, dal momento che la barriera può essere considerata
approssimativamente deltiforme, il primo fattore ha scarsa dipendenza dall’energia e non
influenza l’andamento previsto per la corrente che dipende direttamente dalla densità degli
stati. Nel caso del ‘point contact’ invece, poichè la barriera risulta meno piccata il primo
fattore potrebbe dipendere dall’energia e andare ad influenzare i risultati.
Nelle Sezioni successive calcolerò la corrente considerando per semplicità che l’ampiezza
di tunneling non sia dipendente dall’energia.
Figura 5.3: Schema della geometria di cleaved edge overgrowth. Si osserva la barriera di
tunneling perpendicolare al 2DEG. La zona più scura è costituita dal semiconduttore che
è coinvolto nel processo di tunneling.
Figura 5.4: Andamento della barriera di tunneling (a) nel caso del quantum point contact
e (b) per il cleaved edge overgrowth. Mentre nel primo caso la barriera risulta bassa e
lentamente variabile con la distanza la seconda è molto più piccata.
5.3
Probabilità di Tunneling
Studierò ora nel dettaglio la corrente di tunneling che si instaura fra due edge avvicinati
fra loro da un point contact con debole accoppiamento (weak pinch-off in Fig. 5.2b).
5.3. PROBABILITÀ DI TUNNELING
79
Prima di entrare nel merito della valutazione della corrente per le diverse sequenze del
FQHE introduco il concetto di ‘rate di tunneling’. Per fare ciò considero nuovamente la
situazione di edge indipendenti accoppiati con serbatoi esterni tenuti a diversi potenziali
chimici delineata nella Sezione 4.5. Nel seguito indicherò con A l’edge superiore e con B
quello inferiore e rispettivamente con µA e µB i potenziali chimici da cui provengono gli
edge. Tale situazione è schematizzata in Fig. 5.5. Il potenziale Hall sarà
eV = µA − µB
(5.4)
dove per comodità ho omesso il pedice H nel voltaggio.
Figura 5.5: Schema della barretta Hall in cui sono evidenziati i due edge, indicati con A e
B, e i rispettivi potenziali chimici µA e µB . I processi di tunneling sono rappresentati da
due linee tratteggiate in x = 0.
L’hamiltoniana totale ha la forma
H0 = HA + HB − µA NA − µB NB
(5.5)
dove HA e HB sono le hamiltoniane dei singoli edge disaccoppiati e NA e NB il numero
totale di elettroni presenti negli edge riferiti, come al solito, ad un valore medio. La forma
esplicita delle hamiltoniane considerate dipende, come visto nel Capitolo 4, dal modello
utilizzato per la descrizione dell’edge. Per il momento non entrerò nel merito della loro
espressione.
Pongo ora in contatto gli edge attraverso un termine di tipo ‘point contact’ con tunneling
da A a B puntuale in x = 0
†
HT U N = ΛψA
(0)ψB (0) + h.c.
(5.6)
Il parametro Λ rappresenta l’ampiezza del processo di tunneling. I campi ψA (0) e ψB (0)
presenti nella (5.6) descrivono sia il campo elettronico sia quello di quasiparticella a seconda dell’entità di cui si vuole considerare il tunneling. In generale entrambi i processi sono
presenti per una geometria come quella in Fig. 5.2b. Studi relativi al Gruppo di Rinormalizzazione dimostrano però come il termine associato al tunneling di quasiparticelle sia
80
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
quello rilevante a basse energie ed è quindi più importante del corrispondente tunneling di
elettroni [53]. Non riporto qui la dimostrazione ampiamente discussa in [53], ma ritornerò
nelle Sezioni successive a commentare questo aspetto. Per il momento non discriminerò
fra quale entità salti.
La presenza di HT U N fa sı̀ che il numero di particelle nei due edge non sia più una
costante del moto instaurando una corrente di tunneling (o backscattering) come indicato
nella Sezione precedente. Questa dipenderà dalla probabilità di transizione di partire da
uno stato iniziale |ii , autostato di H0 , e finire in uno stato finale |f i 6= |ii . In generale
|ii = |Ni , αi i
(5.7)
Ni = NiA + NiB
(5.8)
dove
indica il numero totale di particelle presente in |ii e αi rappresenta tutti i gradi di libertà
bosonici presenti nello stato iniziale dato dai modi fononici
αi = αiA ⊗ αiB .
(5.9)
Analogamente per lo stato finale |f i si ha
|f i = |Nf , αf i
(5.10)
con
Nf = Nf A + Nf B ;
αf = αf A ⊗ αf B .
(5.11)
Essendoci un passaggio tra i due edge avremo
NiA 6= Nf A
(5.12)
NiB 6= Nf B
(5.13)
Nf = Ni .
(5.14)
con una conservazione globale
Ora scriverò l’espressione della probabilità di transizione P (f, i, t) di andare da uno stato |ii presente al tempo t0 ad uno stato |f i presente al tempo t trattando all’ordine
perturbativo più basso il termine di tunneling. Avrò
P (f, i, t) = |hf |i(t)i| 2
(5.15)
|i(t)i = e−iH(t−t0 ) |ii
(5.16)
H = H0 + HT U N .
(5.17)
dove |i(t)i è l’evoluto temporale
con (vedi Eqs. (5.5) e (5.6))
Introducendo l’evolutore temporale nella (5.16) si ha
|i(t)i = e−iH0 t U(t, t0 )eiH0 t0 |ii
(5.18)
U(t, t0 ) = eiH0 t eiH(t−t0 ) e−iH0 t0 .
(5.19)
con
5.3. PROBABILITÀ DI TUNNELING
81
Dall’equazione del moto per U(t, t0 ) è possibile mostrare che l’evolutore temporale assume
un’espressione compatta nella forma [4]
−i
U(t, t0 ) = T e
Rt
t0
HT U N (t0 )dt0
(5.20)
dove T indica il prodotto tempo-ordinato e HT U N (t) evolve rispetto ad H0 .
Inserendo la (5.19) e la (5.20) nella (5.15) si ha
R
R
+i t HT U N (t0 ) 0 −i t HT U N (t0 ) 0 t
t
0
0
dt f
i T̃ e
dt i
P (f, i, t) = f T e
(5.21)
dove T̃ indica il prodotto anti tempo-ordinato. Sviluppo ora tale espressione all’ordine più
basso nell’hamiltoniana di tunneling
Z
t
Z
t
dt1
P (f, i, t) =
t0
t0
dt2 hNf , αf |HT U N (t1 )| Ni , αi i hNi , αi |HT U N (t2 )| Nf , αf i .
(5.22)
Siccome la tipica configurazione sperimentale non discrimina sulla distribuzione iniziale
dei modi fononici si ipotizza che essi siano inizialmente posti in contatto con un bagno
termico e seguano la distribuzione termodinamica di Bose. La probabilità di ogni stato
fononico risulta pertanto pesata dall’opportuno fattore di Boltzmann. Considero inoltre
la somma su tutti i possibili stati finali e pongo t0 = 0, si ha quindi
P (t) =
X Z
t
Z
dt1
0
0
αi ,αf
t
dt2 hNf , αf |HT U N (t1 )| Ni , αi i hNi , αi |HT U N (t2 )| Nf , αf i
e−βEαi
.
Z
(5.23)
Qui,
Z=
X
e−βEαi
(5.24)
αi
è la funzione di partizione del sistema di fononi e Eαi è l’energia del generico stato fononico
αi .
Esplicitando ora l’evoluzione temporale di HT U N si ottiene
t
X Z
P (t) =
Z
dt1
t
dt2
αi ,αf
0
0
h
i
h
i
D
†
†
Nf , α eiH0 t1 ΛψA
(0)ψB (0) + Λ∗ ψB
(0)ψA (0) e−iH0 t1 Ni , αi
E
D
†
†
Ni , αi eiH0 t2 ΛψA
(0)ψB (0) + Λ∗ ψB
(0)ψA (0) e−iH0 t2 Nf , αf
(5.25)
E e−βEαi
Z
.
Sviluppando il prodotto (5.25) si ottengono quattro termini di cui due sono nulli per
la conservazione del numero totale di particelle (Eq. 5.14) mentre gli altri sono uno il
complesso coniugato dell’altro e vincolano il numero di particelle a soddisfare
Nf A = NiA ± 1
Nf B = NiB ∓ 1.
(5.26)
82
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Considero per il momento il termine con
Nf A = NiA + 1
Nf B = NiB − 1
(5.27)
che descrive il tunneling dall’edge B all’edge A. A questo processo è associata la probabilità
di transizione
2
PBA (t) = |Λ|
X Z
αi ,αf
·
D
t
t
Z
dt1
0
0
D
h
i
E
†
(0)ψB (0) e−iH0 t1 Ni , αi ·
dt2 Nf , αf eiH0 t1 ψA
h
i
†
(0)ψA (0) e−iH0 t2 Nf , αf
Ni , αi eiH0 t2 ψB
E e−βEαi
Z
.
(5.28)
Si noti che l’altro caso della (5.26) corrisponde al processo opposto di tunneling da A a
B e darebbe la probabilità PAB (t). Passo a considerare come gli operatori di evoluzione
temporale agiscono negli elementi di matrice della (5.28). Si ha
PBA (t) =
|Λ|2
X Z
αi ,αf
D
0
t
t
Z
D
†
(t1 )ψB (t1 )e+i(µA NA +µB NB )t1 Ni , αi
dt2 Nf , αf e−i(µA NA +µB NB )t1 ψA
dt1
0
†
Ni , αi e−i(µA NA +µB NB )t2 ψB
(t2 )ψB (t2 )e+i(µA NA +µB NB )t2 Nf , αf
E
E
(5.29)
per comodità ho esplicitato la dipendenza dai potenziali chimici e quindi ψ † (t) evolve con
HA + HB dati nella (5.5).
Osservo ora che occorre conoscere l’espressione
e+i(µA NA +µB NB )t Ni
E
(5.30)
per valutare la quale è necessario stabilire quale entità salti.
Se considero quasiparticelle con un filling factor appartenente alla sequenza di Jain
p
ν=
avrò, come mostrato nel Capitolo 2, la relazione operatoriale
2mp + 1
N (e) =
ν (qp)
N
.
p
(5.31)
Poichè Ni , nella (5.30), è il numero totale di particelle dell’entità che salta si ottengono
due espressioni distinte. Se saltano quasiparticelle
E
(qp)
(qp)
i νp (µA NA +µB NB )t Ni,qp = e
Ni,qp ,
(5.32)
E
(e)
(e) i(µA NA +µB NB )t Ni,e = e
Ni,e .
(5.33)
+i(µA NA +µB NB )t e
mentre nel caso di elettroni vale
+i(µA NA +µB NB )t1 e
Mettendo insieme quanto detto e considerando i vincoli (5.27) tra Ni e Nf si ha
5.3. PROBABILITÀ DI TUNNELING
(r)
PBA (t) = |Λ|2
X Z
αi ,αf
D
·
t
t
Z
dt1
0
0
83
D
E
†
(t1 )ψB,r (t1 ) αi ·
dt2 eiQr V (t2 −t1 ) αf ψA,r
E e−βEαi
†
(t2 )ψA,r (t2 ) αf
αi ψB,r
,
(5.34)
Z
dove r rappresenta sia il contributo dovuto agli elettroni (r = e) sia quello dovuto alle
quasiparticelle (r = qp) con
ν
Qe = e;
Qqp = e.
(5.35)
p
Per semplicità ho lasciato sottointesa la coordinata spaziale che risulta fissata a zero per
le ipotesi fatte in precedenza. Riordinando i prodotti scalari in modo da poter considerare
la relazione di completezza per gli stati fononici finali
X
|αf i hαf | = 1
(5.36)
αf
la probabilità cercata può essere ulteriormente semplificata e diviene
(r)
PBA (t) = |Λ|2
t
Z
Z
dt1
0
0
t
E
D
†
†
(t1 )ψB,r (t1 )
(t2 )ψA,r (t2 )ψA,r
dt2 eiQr V (t2 −t1 ) ψB,r
T
(5.37)
dove ho indicato con h...iT la media termodinamica.
Operando le integrazioni nell’ordine opportuno e prendendo in considerazione un tempo t
molto grande si ottiene
(r)
PBA (t) = |Λ|2 t
Z
+∞
0
>
<
dt0 eiQr V t KB
(0, t0 )KA
(0, t0 ),
−∞
(5.38)
con i propagatori di particella sugli edge (J = A, B).
D
E

†
>

K
(x,
t)
=
ψ
(x,
t)ψ
(0,
0)

J,r
J,r
J,r

T
(5.39)
E
D


 K < (x, t) = ψ (x, t)ψ † (0, 0) .
J,r
J,r
J,r
T
Si può osservare facilmente che l’espressione (5.38) presenta due proprietà fondamentali. In
primo luogo fornisce un andamento lineare nel tempo per la probabilità. Questo non deve
stupire visto che sto valutando la probabilità a lunghi tempi. In secondo luogo, osservo
che l’integrale su t0 rappresenta una trasformata di Fourier. Posso pertanto considerare la
probabilità di transizione per unità di tempo, che prende anche il nome di rate di tunneling
(r)
ΓBA (V ),
(r)
(r)
ΓBA (V ) =
dPBA (t)
= |Λ|2
dt
Z
+∞
−∞
0
>
<
dt0 eiQr V t KB,r
(0, t0 )KA,r
(0, t0 ).
(5.40)
Nella (5.40) ho esplicitato la dipendenza del rate per andare da B ad A dal potenziale
Hall V . Si noti che, per via delle (5.39), la probabilità e il rate ad essa legato sono
manifestamente reali come ci si deve attendere.
84
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
(r)
Conti analoghi per la probabilità PAB (t) forniscono l’espressione per il rate di tunneling
(r)
ΓAB (V ) per andare da A a B
(r)
ΓAB (V ) = |Λ|2
Z
+∞
−∞
0
>
<
dt0 e−iQr V t KA,r
(0, t0 )KB,r
(0, t0 )
(5.41)
Si osservi che fra i due processi esiste la relazione
(r)
(r)
ΓAB (V ) = ΓBA (−V ).
(5.42)
(r)
Nota l’espressione per i rate è possibile scrivere la corrente di backscattering IBS all’ordine
più basso in HT U N . Si ha infatti
(r)
h
(r)
i
(r)
h
(r)
(r)
i
IBS = Qr ΓBA (V ) − ΓAB (V ) = Qr ΓBA (V ) − ΓBA (−V ) .
(5.43)
Per proseguire nel calcolo esplicito della corrente, e quindi del rate in (5.40), occorre
conoscere l’espressione bosonizzata per gli operatori di quasiparticella e di elettrone. Come
visto nel Capitolo 4 questa cambia a seconda della sequenza considerata. Sarà proprio lo
scopo delle Sezioni successive quello di dare una valutazione esplicita del rate di tunneling
e della corrente per la sequenza di Laughlin e quella di Jain utilizzando le hamiltoniane
efficaci discusse nelle Sezioni 4.2 e 4.3.
5.4
Corrente per gli stati della sequenza di Laughlin
In questa Sezione valuterò la corrente di tunneling per la sequenza di Laughlin in cui ogni
edge è rappresentato da un solo campo. Da adesso in poi considererò solamente il limite
di edge infinito (L → ∞).
(r)
>
Gli ingredienti fondamentali per il calcolo della corrente IBS sono i propagatori KJ,r
(x, t) e
<
(x, t). Per la loro valutazione utilizzo l’espressione dei campi ψA,B,r (x = 0, t) ricavata
KJ,r
nelle Eqs. (4.70) e (4.82).
Ricordo che ho indicato con A l’edge superiore, che in questo caso è progressivo, con
operatore di campo ϕA (x, t) e con B quello inferiore regressivo con operatore di campo
ϕB (x, t). Per semplicità quindi, in questo caso, posso operare le sostituzioni
A → +;
B → −.
(5.44)
Otterrò (r = e, qp)
1
(+)
eiηr ϕ (x,t)
2πa
1
(−)
√
eiηr ϕ (x,t)
2πa
√
ψA,r (x, t) =
ψB,r (x, t) =
(5.45)
(5.46)
1
e ηqp = 1.
ν
Le evoluzioni temporali dei campi sono ottenute dalle hamiltoniane dei due edge (vedi
Eqs.(4.28) e (4.63))
dove ηe =
2
+∞
vC
dx ∂x ϕ(+)
4πν −∞
Z +∞
2
vC
dx ∂x ϕ(−) .
4πν −∞
Z
HA =
HB =
(5.47)
(5.48)
5.4. CORRENTE PER GLI STATI DELLA SEQUENZA DI LAUGHLIN
85
Si ha quindi
1 D −iηr ϕ(±) (x,t) iηr ϕ(±) (0,0) E
e
e
T
2πa
1 D iηr ϕ(±) (x,t) −iηr ϕ(±) (0,0) E
e
e
.
T
2πa
>
K±,r
(x, t) =
<
K±,r
(x, t) =
(5.49)
(5.50)
Utilizzo ora la relazione operatoriale
D
eiA(x,t) e−iB(0,0)
= ehA(x,t)B(0,0)iT − 2 hA
1
E
T
2 (0,0)
iT − 21 hB 2 (0,0)iT
(5.51)
valida per medie gaussiane (come nel caso del campo bosonico in esame) per due operatori
A e B lineari negli operatori bosonici. Sostituendo nelle (5.49) e (5.50) si ottiene (J = ±)
1 ηr2 W J (x,t)
e
2πa
>
<
KJ,r
(x, t) = KJ,r
(x, t) =
con
D
E
W ± (x, t) = ϕ(±) (x, t)ϕ(±) (0, 0)
2
D
T
(5.52)
E
− ϕ(±) (0, 0)
T
.
(5.53)
(r)
Dunque in maniera compatta il rate ΓBA (V ) nella (5.40) diventa
(r)
ΓBA (V ) = |λ|2
Z
+∞
0
2
dt0 eiQr V t eηr W
(+) (0,t0 )
2
eηr W
(−) (0,t0 )
(5.54)
−∞
dove ho posto
|λ|2 =
|Λ|2
.
2πa
(5.55)
In Appendice C ho calcolato esplicitamente il Kernel W (±) (x, t). Trattando qui la sequenza
vC
(c)
di Laughlin si ha un solo campo carico con cut-off sulle frequenze pari a ωC =
.
a
(c)
Inoltre, essendo vC finita e dovendo operare il limite a → 0, avremo che vale βωC 1
(c)
con ωC t 1. Utilizzo pertanto l’espressione (C.21) calcolata in Appendice C (i = C)
(c)
"
(±)
WC (x
#
βωC
π
π
= 0, t) = −ν ln
sinh(|t| ) − iν sign(t),
π
β
2
(5.56)
dove ho posto gC = ν e z± = ±t. Questa espressione è valida sia per il modo progressivo
sia per quello regressivo.
Sostituendo la (5.56) nell’espressione per il rate di tunneling (5.54) si ottiene
(r)
ΓBA (V
) = |λ|2
Z
+∞
−∞
dt0 eiQr V
t0
"
(c)
#−2ηr2 ν
βωC
π
sinh(|t| )
π
β
2
π
e−2iηr ν 2 sign(t) .
(5.57)
Si osservi che il Kernel W ± (t) nella (5.54) è tagliato a grandi tempi dalla temperatura
(t < β) e che l’integrale sui tempi nella (5.57) ha anche un cut-off legato al voltaggio
1
). Quindi i tempi dominanti verificano
(t <
Qr V
t < tmax = min(β,
1
).
Qr V
(5.58)
86
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
(c)
(c)
Il limite di ωC t 1 descrive cosı̀ le proprietà di bassa energia nella regione ωC tmax 1
e cioè
(c)
kB T, Qr V ωC .
(5.59)
Per calcolare l’integrale nella (5.57) richiamo il risultato (D.21) ottenuto in Appendice D
(c)
nel limite ωC t 1. Da esso ottengo, mediante le sostituzioni
(c)
ω (c) = ωC ;
γ = ηr2 ν,
q = Qr ;
(5.60)
l’espressione finale per il rate di tunneling nella sequenza di Laughlin
(r)
ΓBA (V ) = |λ|2 e
"
Qr βV
2
2
#
(c) −2ηr ν
βωC
2π
2
2 ν + i Qr βV )
Γ(η
r
β
2π
2π
Γ(2ηr2 ν)
.
(5.61)
A partire da questa espressione del tutto generale si può calcolare sia la corrente di
backscattering delle quasiparticelle che la corrente di tunneling degli elettroni nella geometria di ‘strong pinch-off’. Si osservi che il rate nella (5.61) verifica la relazione di bilancio
dettagliato
(r)
(r)
(r)
ΓBA (V ) = eQr βV ΓBA (−V ) = eQr βV ΓAB (V ).
(5.62)
Per semplificare il calcolo della corrente utilizzo questa relazione nella (5.43) ottenendo
(r)
h
(r)
i
IBS = Qr ΓBA (V ) 1 − e−Qr βV .
(5.63)
Grazie a questa la corrente diventa
2
(r)
IBS = 2Qr
5.4.1
|λ|
2πkB T
(c)
ωC
ωC
!2ηr2 ν−1
sinh
(c)
Γ(η 2 ν + i Qr V )2
r
Qr V
2πkB T
Γ(2ηr2 ν)
2kB T
.
(5.64)
Limiti notevoli per la corrente
Prendo ora in considerazione due limiti di notevole interesse: T → 0 e V → 0. Questi
limiti corrispondono nella (5.64) alla regione dei parametri in cui Qr V kB T (T → 0)
e Qr V kB T (V → 0).
Nel primo caso (T → 0) utilizzo l’espansione asintotica della funzione Γ(x)
|y|→+∞
|Γ(x + iy)| −→
√
π
1
πe− 2 y |y|x− 2
(5.65)
mentre nel secondo considero direttamente il limite V → 0. Ottengo quindi
2ηr2 ν
|λ|2
Qr
(c)
ωC
(r)
IBS
= π
(r)
IBS
|λ|2
= 2πQ2r (c)
ωC
(c)
Γ(2ηr2 ν) ωC
2πkB
(c)
ωC
2ηr2 ν−1 V
!2ηr2 ν−2
2ηr2 ν−1
Γ(ηr2 ν)
2
V T 2ηr ν−2
2
Γ(2ηr ν)
T →0
(5.66)
V →0
(5.67)
Ricordo che la (5.66) è il primo termine di un’espansione valida per kB T Qr V mentre
la (5.67) è valida nel limite opposto kB T Qr V .
5.4. CORRENTE PER GLI STATI DELLA SEQUENZA DI LAUGHLIN
87
A questo punto esplicito gli andamenti per il tunneling di quasiparticelle ed elettroni. Per
le quasiparticelle (r = qp) occorre sostituire nelle (5.64)-(5.67)
Qqp = νe;
ηqp = 1
(5.68)
mentre per gli elettroni
Qe = e;
ηe =
1
.
ν
(5.69)
I limiti appena discussi diventano
(qp)
IBS
(e)
IBS
= π
= π
|λ|2
(νe)2ν
(c)
(c)
ωC Γ(2ν) ωC
2ν−1 V
2ν−1
T →0
(5.70)
T →0
(5.71)
2
|λ|2
(e) ν
(c)
ωC
Γ( ν2 )
(c)
ωC
2 −1 V
2
−1
ν
ν
mentre
(qp)
IBS
(e)
IBS
=
|λ|2
2π(νe)2 (c)
ωC
|λ|2
= 2πe2 (c)
ωC
2πkB
!2ν−2
(c)
ωC
2πkB
(c)
ωC
! 2 −2
ν
Γ(ν)
V T 2ν−2
Γ(2ν)
Γ( ν1 )
2
−2
ν
2 VT
Γ( ν )
V →0
(5.72)
V → 0.
(5.73)
Si noti che, per ν < 1, in entrambi i limiti il contributo della corrente di backscattering dovuto alle quasiparticelle è dominante rispetto a quello degli elettroni. Ciò è la
dimostrazione che, almeno all’ordine perturbativo più basso, anche se entrambi i processi di tunneling possono avere luogo sono le quasiparticelle a dare il contributo rilevante.
Studi effettuati utilizzando il Gruppo di Rinormalizzazione [53] dimostrano che questo
argomento è valido anche per gli ordini successivi nel tunneling. Dalle (5.70) e (5.72), nel
caso ν < 1 i contributi a IBS delle quasiparticelle diventano sempre più grandi al diminuire
di V e T divergendo per V = 0 e T = 0. Ciò porta il sistema fuori dal regime perturbativo
e2
(HT U N → 0) e non rispetta quindi la condizione IBS ν V . Gli andamenti (5.70)2π
e2
(5.73) vanno quindi interpretati solo nel regime di V e T per cui IBS ν V . Al di fuori
2π
di questo limite occorre passare a considerare sviluppi perturbativi a ordini più alti.
Si noti inoltre che nel caso ν = 1 le espressioni (5.70)-(5.73) mostrano andamenti analitici
che riproducono la legge di Ohm come previsto dal modello a liquido di Fermi. Negli altri
casi si ha un andamento non analitico di tipo potenza che rappresenta uno dei segni distintivi del Liquido di Luttinger. Tale andamento è strettamente legato alla forte correlazione
presente nel sistema. In esso infatti gli elettroni compiono complessi percorsi per evitarsi
fra loro rispettando il principio di esclusione di Pauli e acquisendo il corretto fattore di
fase per scambio. Dal momento che tale movimento coinvolge il sistema nel suo complesso
si ha una sorta di azione a lungo raggio che si manifesta con un esponente anomalo nella
funzione di correlazione di quasiparticella e si ripercuote come visto nella caratteristica
tensione-corrente.
Si osservi infine che la (5.72) e la (5.73) rappresentano il limite lineare della corrente e
identificano automaticamente la conduttanza lineare
IBS = GBS V.
(5.74)
88
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
5.5
Corrente per gli stati della sequenza di Jain
p
utilizzando
2mp + 1
il modello di Fradkin e Lopez esposto in Sezione 4.3. Considero nuovamente la (5.40): in
(+)
(−)
questo caso però l’edge A consiste di un campo carico ϕC progressivo e uno neutro ϕN
(−)
regressivo, mentre l’edge B ha un campo carico regressivo ϕC e uno neutro progressivo
(+)
ϕN . Ricordo che i campi elettronici e di quasiparticella sono scrivibili come (r = e, qp)
(vedi Eqs. (4.111) e (4.112))
Determino ora la corrente di tunneling per la sequenza di Jain ν =
h
ψA,r (x, t) =
i
1
√
e
2πa
h
ψB,r (x, t) =
√
i
1
e
2πa
dove
ηe,C =
1
;
ν
(+)
(−)
i
(+)
i
ηr,C ϕC (x,t)+ηr,N ϕN (x,t)
(−)
ηr,C ϕC (x,t)+ηr,N ϕN (x,t)
(5.75)
(5.76)
1
p
ηqp,C =
(5.77)
e
s
ηe,N =
p2
p2
+
+ 2ke ;
ν2 ν
s
1+
ηqp,N =
1
+ 2kqp .
p
(5.78)
Le evoluzioni temporali dei campi sono date dalle hamiltoniane
+∞
vC
(+)
(∂x ϕC )2 +
4πν −∞
Z +∞
vC
(−)
(∂x ϕC )2 +
4πν −∞
Z
HA =
HB =
vN +∞
(−)
(∂x ϕN )2
4π −∞
Z
vN +∞
(+)
(∂x ϕN )2
4π −∞
Z
(5.79)
(5.80)
Per il momento considererò la velocità vN dei modi neutri finita per poi trattarla nel limite
vN → 0.
Inserendo la (5.75) e la (5.76) nelle (5.49)-(5.50) si ha
(+)
(+)
(−)
(−)
1
e−iηr,C ϕC (x,t) eiηr,C ϕC (0,0) e−iηr,N ϕN (x,t) eiηr,N ϕN (0,0) (5.81)
2πa
T
(−)
(−)
(+)
(+)
1
−iηr,C ϕC (x,t) iηr,C ϕC (0,0) −iηr,N ϕN (x,t) iηr,N ϕN (0,0)
e
e
e
e
(5.82)
2πa
T
>
KA,r
(x, t) =
<
KB,r
(x, t) =
Questi Kernel, con l’uso dell’identità (5.51), diventano
(+)
(−)
2
2
1 ηr,C
e WC (x,t) eηr,N WN (x,t)
2πa
(−)
(+)
2
2
1 ηr,C
e WC (x,t) eηr,N WN (x,t) .
2πa
>
KA,r
(x, t) =
<
KB,r
(x, t) =
(5.83)
(5.84)
Il rate di tunneling assume in questo caso la forma
(r)
ΓBA (V
2
) = |λ|
Z
+∞
h
dte
−∞
(+)
(−)
2
iQr V t ηr,C WC (0,t)+WC (0,t)
e
i
h
(+)
(−)
2
ηr,N
WN (0,t)+WN (0,t)
e
i
.
(5.85)
5.5. CORRENTE PER GLI STATI DELLA SEQUENZA DI JAIN
89
(±)
L’andamento del termine WC (0, t) è stato ampiamente discusso nella Sezione (5.4) in relazione agli stati della sequenza di Laughlin. La sua espressione esplicita sotto le condizioni
(c)
(c)
βωC 1 e ωC t 1 è data da
(c)
"
(±)
WC (0, t)
#
βωC
π
π
= −ν ln
sinh(|t| ) − iν sign(t)
π
β
2
(5.86)
e sarà valida anche nel caso in esame.
(±)
Lo studio della funzione di correlazione WN (0, t) del campo neutro rende necessario fare
alcune considerazioni aggiuntive. Il cut-off sulle energia dei modi neutri del sistema in
vN
(c)
questo caso è dato da ωN =
che, dal momento che intendo considerare vN vC ,
a
(c)
(c)
porta alla relazione fra i cut-off ωN ωC . Tale situazione si riflette nello spazio delle
energie accessibili al sistema separandolo in due regioni come mostrato in Fig. 5.6. Fradkin
(c)
(c)
Figura 5.6: I cut-off sui momenti per il modo neutro ωN e carico ωC dividono lo spazio
delle energie accessibili al sistema in tre distinte regioni. Quelle indicate con a e b sono
quelle che possono essere coinvolte nei processi di tunneling fra quasiparticelle degli edge.
(c)
Se l’energia supera ωC si ha la creazione di eccitazioni anche nel bulk.
e Lopez, ponendo direttamente vN = 0 nel loro lavoro [41], eliminano di fatto la regione
a. In essa pertanto il modello teorico proposto cessa di valere e non possono essere fatte
previsioni. I risultati da me ottenuti saranno validi pertanto nella regione b che è però
quella più accessibile agli esperimenti svolti fino ad oggi. Dal momento che considero
(c)
(c)
(c)
ωN → 0 si ha che βωN 1 e ωN t 1. In Appendice C ho mostrato che, sotto tali
(±)
condizioni, vale WN (0, t) → 0 e pertanto non vi è alcun contributo dovuto ai modi neutri
al rate di tunneling. Esso assume pertanto la forma
(r)
ΓBA (V ) = |λ|2 e
Qr βV
2
"
2
#
(c) −2ηr,C ν
βωC
2π
2
Qr βV
2
β Γ(ηr,C ν + i 2π )
.
2 ν)
2π
Γ(2ηr,C
(5.87)
del tutto analoga alla (5.61) se si tiene conto del fatto che l’unico contributo all’espressione
proviene dal campo carico.
90
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
La corrente di backscattering diviene pertanto
2
(r)
IBS = 2Qr
5.5.1
|λ|
2πkB T
(c)
ωC
ωC
!2η2
r,C ν−1
Γ(η 2 ν + i Qr V )2
Qr V
r,C
2πkB T
sinh
(c)
2 ν)
Γ(2ηr,C
2kB T
.
(5.88)
Limiti notevoli per la corrente
(r)
Passando nuovamente a considerare i limiti T → 0 e V → 0 per la corrente IBS ottengo
(r)
IBS
(r)
IBS
= π
2 ν
2ηr,C
|λ|2
Qr
(c)
ωC
|λ|2
2πQ2r (c)
ωC
=
(c)
2 ν) ω
Γ(2ηr,C
C
2πkB
2
2η2
r,C ν−1
!2η2
r,C ν−2
(c)
ωC
V 2ηr,C ν−1
2 ν)
Γ(ηr,C
2
V T 2ηr,C ν−2
2
Γ(2ηr,C ν)
T →0
(5.89)
V → 0.
(5.90)
Tenendo conto delle relazioni (5.77) e utilizzando il fatto che
ν
e;
p
Qqp =
Qe = e
(5.91)
arrivo alle espressioni
(qp)
IBS
(e)
IBS
2
= π
= π
|λ|
(c)
2
ν
pe
ν
p2
ωC Γ(2 ν2 ) ω (c)
C
p
2
ν
−1
p2
V
2
ν
−1
p2
T →0
(5.92)
T →0
(5.93)
2
|λ|2
(e) ν
(c)
ωC
Γ( ν2 )
(c)
ωC
2 −1 V
2
−1
ν
ν
e
(qp)
IBS
(e)
IBS
2
ν
= 2π
e
p
=
|λ|2
2π(e)2 (c)
ωC
|λ|2
2πkB
(c)
!2
(c)
ωC
ωC
2πkB
(c)
ωC
! 2 −2
ν
ν
−2
p2
Γ( pν2 )
V
Γ(2 pν2 )
Γ( ν1 )
2
−2
ν
2 VT
Γ( ν )
T
2
ν
−2
p2
V →0
(5.94)
V → 0.
(5.95)
Come già osservato nel caso della sequenza di Laughlin, per basse energie si ha che il
tunneling rilevante è quello di quasiparticella. Nuovamente la corrente di quasiparticella
diverge per T = 0 e V = 0; le espressioni ottenute pertanto dovranno essere ritenute
e2
valide solamente nel regime IBS ν V dove la corrente di backscattering può essere
2π
considerata una piccola perturbazione alla corrente circolante nel campione.
Si noti che, ponendo p = 1, quanto ricavato per la sequenza di Jain si riconduce alle
relazioni (5.70)-(5.73) valide per la sequenza di Laughlin.
A questo punto ricavo rapidamente il risultato previsto dalla teoria di Wen esposta nella
2
Sezione 4.4. Mi limiterò a considerare solo il caso più semplice ν = . Non entrerò nel
5
5.6. EVIDENZE SPERIMENTALI
91
dettaglio del calcolo dal momento che sono interessato solo ad ottenere le leggi di potenza
dalla corrente di backscattering. Da conti analoghi a quanto sopra descritto su ha
n h
(qp)
IBS
∝V
2
22
+2
5
( 21 )
n h
(e)
IBS ∝ V
2
θqp
1
− 20
2π
i
θe
5 22
+2 2π
− 45
2
5
( )
(
i
)
−1
−1
o
= V2
θqp
−1
π
T →0
(5.96)
T →0
(5.97)
o
θe
= V 2 π −1
e
(qp)
∝ V T2
IBS
(e)
IBS
∝ VT
θqp
−2
π
2 θπe −2
V →0
(5.98)
V → 0.
(5.99)
Sfruttando opportunamente la periodicità degli angoli statistici θqp e θe e tenendo conto
delle condizioni (4.124) e (4.122), in modo da selezionare solo i termini più rilevanti a
basse energie, ottengo le espressioni
(qp)
IBS
∝ V
1
5
(qp)
∝ VT
(e)
∝ V5
IBS
− 45
T →0
(5.100)
V →0
(5.101)
per la quasiparticella e
IBS
(e)
IBS
∝ VT
4
T →0
(5.102)
V →0
(5.103)
per l’elettrone.
Dalla teoria di Fradkin e Lopez avrei ottenuto (vedi Eqs. (5.92)-(5.95))
(qp)
IBS
4
∝ V −5
(qp)
IBS
∝ VT
(e)
∝ V4
− 95
T →0
(5.104)
V →0
(5.105)
per la quasiparticella e
IBS
(e)
IBS
∝ VT
3
T →0
(5.106)
V → 0.
(5.107)
Gli esponenti sono diversi nei due casi, ciò fa si che esperimenti volti alla determinazione
di questi ultimi permettano di avvalorare uno dei due modelli a scapito dell’altro.
5.6
Evidenze Sperimentali
In questa Sezione vorrei accennare a due evidenze sperimentali che hanno messo in risalto
l’andamento di tipo legge di potenza caratteristico di un Liquido di Luttinger e quindi
l’esistenza di stati di edge nel regime frazionario. Come già discusso le due tipiche geometrie utilizzate sono il point contact con tunneling fra due edge di FQHE e il tunneling fra
edge e un serbatoio metallico attraverso la tecnica del CEO. Descrivo ora un esperimento
eseguito utilizzando la prima geometria nel regime di weak pinch-off che è quello da me
trattato teoricamente.
92
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Figura 5.7: Set-up sperimentale dell’esperimento del gruppo NEST di Pisa. Sono rappresentati i contatti mediante i quali sono state effettuate le misure ed è mostrato come i due
edge vengono posti in contatto attraverso un potenziale di gate (in grigio in figura). Ciò
permette il tunneling delle quasiparticelle nel point-contact posto al centro del sistema.
Con I+ è indicata la corrente entrante nel sistema e con I− quella uscente. Con V+ e V−
sono indicati i potenziali che agiscono sul sistema. Tratto da [56].
5.6.1
Point contact per debole tunneling
L’andamento della corrente di tunneling di quasiparticella in una geometria di point contact per debole tunneling è stato solo recentemente osservato dal gruppo NEST di Pisa
[56]. Se infatti nel passato erano stati eseguiti diversi esperimenti per tunneling di elettroni nel regime opposto di strong pinch-off [57, 58, 59], mancavano misure sull’evidenza
del tunneling di quasiparticelle.
In Fig. 5.7 è mostrato il set-up sperimentale considerato. Due stati di bordo sono avvicinati da un voltaggio di gate Vg = −0.4 V nella regione centrale del point contact. Si
misura la corrente di tunneling o backscattering, dagli autori indicata con IT , in funzione
del voltaggio di Hall che è pari alla differenza di potenziale tra i due edge VT .
dIT
In Fig. 5.8b è mostrata la conduttanza di tunneling differenziale GT =
al variare del
dVT
1
voltaggio Hall per diverse temperature tali per cui T > 400 mK. Il filling factor ν = da
3
loro considerato appartiene alla sequenza di Laughlin, dunque ci si aspetta che la corrente
IT segua l’andamento teorico
2
2 |λ|
IT = e (c)
3 ω
C
2πkB T
!− 1
3
(c)
ωC
sinh
Γ( 1 + i eV )2
eV
3
6πkB T
6kB T
Γ( 23 )
(5.108)
con limiti per la conduttanza differenziale
− 34
GT ∝ V T
GT ∝ T
− 34
(kB T eV )
(5.109)
(eV kB T )
(5.110)
In Fig. 5.8a è plottata la funzione teorica generale appena descritta. Dal confronto fra
le due figure si può notare un buon accordo. In particolare il picco della conduttanza
per VT = 0 cresce al diminuire della temperatura e si stringe in larghezza proprio come
5.6. EVIDENZE SPERIMENTALI
93
4
previsto dall’andamento T − 3 .
Purtroppo gli esperimenti a temperature ancora più basse (T < 400 mK) mostrano degli
andamenti in disaccordo con la teoria standard con la conduttanza che esibisce un minimo
invece che un massimo per VT = 0. La spiegazione di questo fenomeno è ancora oggetto
di discussione seppure ci siano teorie che suggeriscono di tenere conto dell’interazione tra
i due edge non considerata nel mio lavoro [60].
Figura 5.8: a) Andamento teorico della conduttanza differenziale GT =
dIT
del sistema
dVT
1
e T = 900 mK, 700 mK, 500 mK. Si osserva che al diminuire della temperatura la
3
conduttanza ha un picco sempre più accentuato la cui larghezza diminuisce. b) Andamento
della conduttanza differenziale misurata sperimentalmente dal gruppo NEST di Pisa per
gli stessi valori di temperatura. Esso corrisponde qualitativamente al precedente. Tratto
da [56].
per ν =
94
5.7
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Tunneling tra edge e metallo
I primi e più importanti esperimenti sul tunnelling fra un edge e un metallo tridimensionale
nella geometria di CEO sono dovuti a M. Grayson, A. M. Chang e collaboratori [61, 62].
Ricordo che, trattandosi di due sistemi separati, le uniche entità che possono saltare sono
gli elettroni e non le quasiparticelle. Si noti che la barriera scorre lungo tutto il bordo tra
il fluido Hall e il metallo1 (vedi Fig. (5.9)). La misura effettuata è relativa alla corrente di
tunneling I tra edge e metallo in funzione della differenza di potenziale fra i due sistemi.
Prima di mostrare e discutere tale andamento sperimentale occorre aprire una parentesi
Figura 5.9: Schema di un fluido Hall (2DEG in campo magnetico) messo in contatto con
un metallo tridimensionale (3DEG) il cui bordo è perpendicolare ad esso.
teorica per ricavare in questa geometria cosa dobbiamo aspettarci per la corrente di tunneling. Non entrerò nel dettaglio anche se i calcoli sono del tutto analoghi a quanto discusso
nella Sezione 5.5. Discuterò però i punti essenziali; per i dettagli occorre considerare la
teoria di Chamon e Fradkin [64].
In primo luogo si assume che il tunneling sia debole e che avvenga in molti punti di contatto non correlati fra loro, attraverso impurezze. Si ha quindi un tunneling incoerente
tra i diversi punti di contatto.
In secondo luogo, per il tunneling attraverso una singola impurezza, si può mappare il
gas di Fermi tridimensionale in un liquido chirale di Fermi con ν = 1. L’idea è che nel
punto di contatto, al bordo del sistema 3D, solo un canale quantistico, fra i molti che
descrivono il sistema 3D, si accoppia all’impurezza. Questo canale può essere descritto
in termini di fermioni non chirali su una retta semi-infinita che ha come punto terminale
il point contact in cui i left e right-movers corrispondono a particelle entranti e uscenti
dall’impurezza. Questa mezza linea può essere raddrizzata producendo un liquido chirale
su una linea infinita (vedi Fig. 5.10). Essendo un liquido di Fermi avremo quindi un
liquido chirale con ν = 1.
Le hamiltoniane dell’edge, indicato col pedice E, e del canale del sistema 3D che interviene
nel tunneling, indicato con M , sono
(0)
HM
=
vM
4π
Z
+∞
−∞
dx (∂x ϕM (x))2
(5.111)
1
In realtà negli esperimenti si è considerato, come visto in precedenza, un semiconduttore fortemente
drogato n.
5.7. TUNNELING TRA EDGE E METALLO
95
Figura 5.10: Corrispondenza fra un sistema di fermioni non chirali su una retta semiinfinita (a sinistra) ed uno di fermioni chirali su una retta infinita (a destra).
(0)
HE
vC
4πν
=
Z
+∞
−∞
2
(+)
dx ∂x ϕC (x)
+
vN
4π
Z
+∞
−∞
(−)
2
dx ∂x ϕN (x)
(5.112)
in cui nella (5.112) ho considerato la teoria di Fradkin e Lopez per la sequenza di Jain e
dove con vM ho indicato la velocità dell’elettrone nel canale coinvolto nel tunneling.
Il termine di tunneling in diversi punti lungo l’edge è dato da
HT U N =
X
HTi U N
(5.113)
i
dove i indicizza le posizioni delle impurezze in cui avviene il tunneling, con
†
(xi )ψE (xi ) + h.c.
HTi U N = Λi ψM
(5.114)
In essa i campi fermionici rappresentano l’elettrone nel metallo (ψM (x)) e quello nell’edge
(ψE (x)). Per entrambi si può dare un’espressione bosonizzata in funzione dei campi ϕM (x)
e ϕC,N (x)
ψM (x) =
√
1
eiϕM (x)
2πa
ψE (x) =
i
1
√
e
2πa
(5.115)
1 (+)
ϕ (x)+
ν C
q
(−)
p2
+ p2 +2ke ϕN (x)
ν2
ν
.
(5.116)
Ripercorrendo quanto fatto nella Sezione 5.5 si ha che il rate dal metallo all’edge all’ordine
più basso nel tunneling è dato da
ΓiM E (V ) = |Λi |2
Z
+∞
−∞
D
E D
†
e−iQe V t ψM
(xi , t)ψM (xi , 0)
T
E
†
ψE (xi , t)ψE
(xi , 0)
T
.
(5.117)
Essendo gli elettroni nel metallo descritti da un Liquido di Luttinger Chirale con ν = 1 si
ha
D
E
†
ψM
(xi , t)ψM (xi , 0) = eWM (0,t)
(5.118)
T
con
"
(c)
#
βωM
π
π
WM (0, t) = − ln
sinh(|t| ) − i sign(t).
π
β
2
(5.119)
96
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Per gli elettroni nell’edge si ha, per quanto ricavato nella Sezione 5.5 per la teoria di
Fradkin e Lopez,
D
E
1
†
(5.120)
ψE (xi , t)ψE
(xi , 0) = e ν 2 WE (0,t)
T
con
"
(c)
#
βωC
π
π
WE (0, t) = −ν ln
sinh(|t| ) − iν sign(t)
π
β
2
(5.121)
dove non si ha contributo dovuto ai modi neutri, dal momento che nel modello in esame
si ha vN → 0.
L’unica differenza rispetto
D a quanto già calcolato
E per il tunneling fra due edge è dunque
†
che uno dei due termini ψM (xi , t)ψM (xi , 0)
si comporta come un campo carico con
T
ν = 1. La corrente di tunneling totale sarà data dalla somma dei contribuiti dovuti ad
ogni singolo processo di tunneling
X
I=
I i.
(5.122)
i
Ognuno di essi, all’ordine più basso nell’hamiltoniana di tunneling, ha lo stesso andamento
nel voltaggio per T → 0. Si ha pertanto, per kB T eV , una legge di potenza tipo
I ∝ V αth
(5.123)
2
si sarebbe pertanto ottenuto αth = 52 .
5
2
avrei ottenuto un ulteriore contributo
Se avessi utilizzato il modello di Wen per ν =
5
dato dal modo neutro, come già discusso nella Sezione 5.5, e l’andamento della corrente
per T → 0 sarebbe stato
θe
I ∝ V π = V 3.
(5.124)
con αth = ν1 . Nel caso ν =
Le due potenze sono diverse, e saranno quindi i risultati sperimentali a permettere di
stabilire quale dei due modelli risulta più corretto.
In Fig. 5.11 è mostrato l’andamento di I in funzione del voltaggio V . La barriera di
tunneling utilizzata da Grayson per i suoi apparati sperimentali aveva un’altezza di circa
100 meV, molto maggiore dell’energia di Fermi pari a circa 4 meV. Il suo spessore differiva
fra i vari campioni ma era compreso fra i 9 e i 22.5 nm. I vari campioni considerati avevano
densità elettroniche bidimensionali comprese nell’intervallo n = 0.89 ÷ 1.16 × 1011 cm−2 e
mobilità µ = 0.5 ÷ 2.9 × 106 cm2 / Vs. Si noti che all’aumentare del campo magnetico, e
per eV > kB T , si passa da una dipendenza lineare della corrente dal voltaggio (per ν > 1)
ad una legge di potenza (per ν < 1) nella forma
I ∝ V α.
(5.125)
A più alti voltaggi tale andamento si perde dal momento che si è fuori dal regime perturbativo considerato. L’esperimento di Chang si è limitato a considerare i valori particolari di
filling factor 1, 23 , 21 e 13 mentre Grayson ha esteso l’analisi a vari campioni su un intervallo
continuo di filling factor.
In Fig. 5.12 è mostrato il valore di α ricavato mediante un best-fit dei dati sperimentali.
La curva rossa invece mostra il risultato del modello di Fradkin e Lopez (vedi Eq. (5.123))
1
2
5
F
F
con αth
= . Si noti, come caso particolare, che per ν = si ha αth
= nel caso del
ν
5
2
5.7. TUNNELING TRA EDGE E METALLO
97
modello di Fradkin, che risulta molto vicino ai dati sperimentali, mentre il valore ottenuto
W
col modello di Wen, αth
= 3 (vedi Eq. (5.124)), è più alto e non compatibile con quanto
osservato. Tale disaccordo fra la teoria di Wen e gli esperimenti è presente anche per altri
valori di ν da me non trattati.
Posso quindi concludere che il modello proposto da Fradkin e Lopez (con un modo carico
e un modo neutro con vN → 0) descrive in maniera più appropriata i dati sperimentali
rispetto al modello di Wen (con un modo carico e più modi neutri entrambi propaganti a
velocità finita). Si noti inoltre che i regimi di voltaggio e temperatura considerati sperimentalmente ricadono quindi nella regione b in Fig. 5.5 in cui la velocità del modo neutro
può essere considerata nulla.
Figura 5.11: Caratteristica tensione-corrente (in scala logaritmica su entrambi gli assi). Al
variare del campo magnetico (dai 7.5 T della curva più alta fino ai 15.0 T della più bassa)
si osserva una deviazione dalla linearità (linea tratteggiata rossa) verso un andamento di
tipo potenza I ∝ V α per kB T < eV come previsto dalla teoria. Per voltaggi ancora più
alti la resistenza di tunneling diventa trascurabile e viene ripristinata la linearità. Tratto
da [63].
98
CAPITOLO 5. PROCESSI DI TUNNELING
Figura 5.12: Esponente α relativo all’andamento della corrente I ∝ V α in funzione del
voltaggio ricavati attraverso best-fit negli esperimenti di Chang (tondi vuoti) e Grayson
(altri simboli a seconda dei vari campioni considerati) in funzione dell’inverso del filling
1
factor . Tali valori sono messi in confronto con la teoria di Fradkin e Lopez basata con un
ν
campo carico propagante e uno neutro non propagante (linea rossa). Come si può vedere
i dati sono in buon accordo col modello teorico. Tratto da [63].
Conclusioni
Nel mio lavoro di tesi ho considerato due teorie di campo efficaci per la descrizione del
bulk dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario: la teoria di Wen e quella di Fradkin e
Lopez. Entrambe permettono di ricavare le corrette proprietà di carica e statistica delle
eccitazioni elementari presenti del sistema e del suo filling factor per gli stati appartenti
p
alla sequenza di Jain con ν =
. La principale differenza fra esse è che, mentre la
2mp + 1
prima coinvolge un numero di campi che cresce con la gerarchia dello stato p, la seconda
è basata su tre soli campi. Di questi uno è legato alle proprietà di carica delle eccitazioni,
gli altri due veicolano le proprietà statistiche.
Dalla restrizione al bordo di tali teorie di campo ho ottenuto teorie di campo efficaci in
grado di descrivere gli stati di edge dell’Effetto Hall Quantistico Frazionario. Ho focalizzato la mia attenzione principalmente sulla teoria di Fradkin e Lopez per la quale ho
calcolato l’hamiltoniana del sistema e ho dato le espressioni esplicite degli operatori di
campo di elettrone e quasiparticella. Ho mostrato come nella teoria di Fradkin e Lopez
fossero sufficienti due campi: uno carico con velocità finita e uno neutro con velocità tendente a zero. Per la teoria di Wen invece i campi, anche sul bordo, aumentano con la
gerarchia.
Data la complessita di quest’ultima teoria ho preso in considerazione solamente il caso
2
ν = , anch’esso descrivibile mediante due campi uno carico e uno neutro entrambi però
5
con velocità finite. La differenza delle velocità dei modi neutri tra i due modelli si ripercuote sulle proprietà di trasporto.
Riguardo a ciò, nel mio lavoro mi sono soffermato principalmente sullo studio delle proprietà di tunneling delle quasiparticelle e degli elettroni fra gli edge. Sperimentalmente,
mediante l’introduzione di un potenziale di gate, è possibile permettere il passaggio di
particelle fra gli edge. Ciò crea una corrente di tunneling che può essere misurata. Nella
mia tesi mi sono occupato in prevalenza del caso di debole tunneling.
Per dare una descrizione teorica della situazione appena illustrata sono partito dalle hamiltoniane che descrivono gli edge nella teoria di Fradkin e Lopez e ho introdotto un termine
di tunneling tale da metterli in comunicazione. Questo mi ha permesso di calcolare la
corrente di tunneling all’ordine più basso nell’hamiltoniana di tunneling. Dall’espressione
da me ottenuta ho ricavato gli andamenti previsti sia nel limite di basse temperature che
in quello di piccoli voltaggi Hall. Per essi ho ottenuto una corrente con andamenti in
funzione del voltaggio e della temperatura tipo leggi di potenza dove l’esponente è legato
in modo semplice al filling factor. Questi andamenti si discostano da quanto atteso per
un conduttore ohmico il cui andamento è lineare, a conferma del fatto che il sistema è
descritto come un Liquido di Luttinger e non come un liquido di Fermi.
Le previsioni di questa teoria sono state messe a confronto con i dati sperimentali. In
99
100
CONCLUSIONI
1
primo luogo ho verificato il buon accordo qualitativo, nel caso ν = , tra i miei risultati
3
teorici e i dati sperimentali di tunneling di quasiparticella tra due edge in una barretta
Hall. Per la sequenza di Jain ho preso in considerazione anche il caso di tunneling di
elettroni fra fluido Hall e metallo, studiato sperimentalmente prima da Chang e poi da
Grayson. Anche in questo caso la caratteristica tensione-corrente da me ottenuta usando
il modello di Fradkin e Lopez risulta in accordo con i dati sperimentali, ma si discosta
dalla previsione che si sarebbe ottenuta con la teoria di Wen.
Concludendo posso affermare che per una corretta descrizione degli stati di edge di un
sistema Hall nella sequenza di Jain occorre tenere conto, come fatto da Fradkin e Lopez,
che, almeno nei regimi investigati sperimentalmente fino ad oggi, i modi neutri necessari
per dare la corretta statistica alle eccitazioni del sistema non devono avere dinamica. Solamente il modo carico contribuisce alle proprietà di trasporto del sistema ed è responsabile
della legge di potenza calcolata teoricamente e osservata negli esperimenti.
Appendice A
Grandezze fisiche e lagrangiana
del bulk
Lo scopo di questa Appendice è dimostrare le equazioni (3.26-3.28). A tal fine prendo in
considerazione una teoria di campo la cui densità di lagrangiana è della forma
L=
e
1
Kij µνρ aiµ ∂ν ajρ −
ti µνρ Aµ ∂ν aiρ − li aiµ j µ .
4π
2π
(A.1)
Come vedremo, i risultati che otterrò sono indipendenti dalla dimensione della matrice K
e dei vettori l e t utilizzati per descrivere la teoria. A seguito del cambio di variabili [44]
−li j µ = j̃iµ +
e
ti µνρ ∂ν Aρ
2π
(A.2)
e integrando per parti (la lagrangiana va intesa sempre integrata per ottenere un’azione)
ottengo
1
L=
(A.3)
Kij µνρ aiµ ∂ν ajρ + aiµ j̃iµ ,
4π
in cui il termine di bordo si perde dal momento che i campi si considerano nulli all’infinito.
La (A.3) è quadratica nei campi di gauge e posso ora integrare funzionalmente su di essi
[45]. Introduco per comodità la notazione
(M µν )ij = µνρ ∂ρ Kij .
(A.4)
−1 ij ν
aiµ = ãiµ − 2π(Mµν
) j̃j
(A.5)
Mediante la sostituzione
e integrando nuovamente per parti si elimina nella (A.3) il termine lineare in a e si arriva
alla lagrangiana
1 i
−1 ij ν
L=
ã (M µν )ij ãjν − π j̃iµ (Mµν
) j̃j .
(A.6)
4π µ
A seguito dell’integrazione funzionale sui campi di gauge il primo termine, che è di tipo
gaussiano, mi porta un fattore moltiplicativo legato a det M . Considero la forma analitica
−1 )ij , essa è data da
della matrice (Mµν
−1 ij
(Mµν
) = (K −1 )ij [µνρ ∂ρ ]−1 .
101
(A.7)
102
APPENDICE A. GRANDEZZE FISICHE E LAGRANGIANA DEL BULK
Richiamando la relazione
h
µητ ∂τ µνρ ∂ ρ = − δ ην ∂ 2 − ∂ η ∂ν
i
(A.8)
e tenuto conto del fatto che, per via della conservazione della carica e dell’antisimmetria
del tensore µνρ , deve valere
∂ν j̃ ν = 0,
(A.9)
posso scrivere
(K −1 )ij
µνρ ∂ ρ .
(A.10)
∂2
Ho qui introdotto una notazione operatoriale compatta, che va intesa espressa in trasformata di Fourier,
1
1
→ − 2.
(A.11)
2
∂
k
Il termine dipendente dalle correnti della lagrangiana (A.6) si riduce pertanto a
−1 ij
(Mµν
) =−
L = π j̃iµ
(K −1 )ij
µνρ ∂ ρ j̃jν .
∂2
(A.12)
Riesplicitando le variabili jiµ mediante la (A.2), sfruttando l’antisimmetria del tensore
µνρ e attraverso le opportune integrazioni per parti, giungo alla forma definitiva della
lagrangiana
L=
(K −1 )ij
e2
µνρ Aµ ∂ ν Aρ ti (K −1 )ij tj − ejiµ (K −1 )ij tj Aµ + πjiµ
µνρ ∂ ν jjρ =
2
4π
∂
(A.13)
Lν + LQ + Lθ .
Essa consta di tre termini che, come si vedrà, saranno responsabili rispettivamente del
filling factor ν, della carica Q e della statistica θ.
Nel primo termine Lν considero le equazioni del moto relative al campo A. Esse portano
all’espressione per la densità di corrente elettromagnetica
Jµ =
e2
ti (K −1 )ij tj µνρ ∂ν Aρ
2π
(A.14)
nella quale si può riconoscere l’usuale relazione tensoriale fra la corrente e i vettori E e B.
In particolare è possibile identificare, attraverso la (3.8),
σyx =
e2
ti (K −1 )ij tj .
2π
(A.15)
Imponendo il risultato relativo al valore del plateau
σyx = ν
e2
2π
(A.16)
si identifica il filling factor
Nel termine LQ , ponendo
ν = ti (K −1 )ij tj .
(A.17)
µ
jiµ = li jqp
(A.18)
103
in modo da considerare il caso di insiemi di più quasiparticelle, riconosco il termine di
accoppiamento fra il campo esterno e la corrente di quasiparticella. Si può pertanto
µ
identificare la carica associata alla densità di corrente jqp
Q = −eti (K −1 )ij lj .
(A.19)
Considero ora nel dettaglio il termine Lθ . Immagino di essere in presenza di due distinte
quasiparticelle composte da eccitazioni elementari nella forma
µ
jiµ = li jqp
jjν
=
(A.20)
ν
lj0 jqp
.
(A.21)
Integrando nel tempo e nello spazio la lagrangiana Lθ , ottengo l’azione corrispondente
Z
Sθ =
dtdxdyLθ = πli (K −1 )ij lj0
Z
µ
dtdx2 jqp
µνρ ν ρ
∂ jqp .
∂2
(A.22)
Si può mostrare che tale integrale porta ad un invariante topologico [46] e rappresenta il
‘linking number’ di due curve in R3 . Nel contesto in esame esso è pari al numero di volte
in cui le traiettorie delle quasiparticelle elementari si intersecano. Nel caso in cui una di
esse compia un solo giro attorno all’altra l’integrale è pari a 2 ed il fattore complessivo
diventa
Sθ = 2πli (K −1 )ij lj0 .
(A.23)
Particolarmente interessante è il caso in cui i due agglomerati di quasiparticelle siano
uguali (li = li0 ). Se essi scambiano la loro posizione la (A.23) porta a
πli (K −1 )ij lj .
(A.24)
Dal momento che il fattore di fase che viene acquisito dalla funzione d’onda per scambio di
quasiparticelle è pari a eiδSθ con δSθ variazione dell’ azione, la statistica di queste ultime
sarà pari a
θ = πli (K −1 )ij lj .
(A.25)
Ciò dà l’ultima grandezza cercata.
104
APPENDICE A. GRANDEZZE FISICHE E LAGRANGIANA DEL BULK
Appendice B
Operatore di campo per edge
finito
In questa Appendice dimostrerò le relazioni (4.54) e (4.56) introdotte nel Paragrafo 4.2.1
per edge finiti nella sequenza di Laughlin. Per semplicità considero la dimostrazione per
un edge progressivo dando i risultati finali per quello regressivo.
Dalla relazione (4.33), che lega il campo ϕ(x) alla densità di particelle cariche del sistema
ρ(x), ottengo
1
∂x ϕ(x)
(B.1)
ρ(x) =
2π
e dalla scrittura (4.50) in seconda quantizzazione delle componenti di quest’ultima per
k 6= 0
r

2π

†


a =
ρ−k

 k
νkL
(B.2)
r



2π

 ak =
ρk
νkL
posso scomporre ϕ(x) nel seguente modo
ϕ(x) = ϕf (x) + ϕ0 (x)
dove
r
ϕf (x) =
2πν X
i
i † −ikx − a |k|
ikx
− √ ak e + √ ak e
e 2
L k>0
k
k
(B.3)
(B.4)
rappresenta il campo relativo ai modi fononici e
ϕ0 (x) =
2π
xρ0 + απ0
L
(B.5)
descrive la forma più generale del modo zero compatibile con la (B.1).
Ho qui indicato con
Z
L
ρ0 = ρk=0 =
dxρ(x) = N
(B.6)
0
il numero totale di particelle rispetto ad un valore di equilibrio e con π0 l’operatore
coniugato canonicamente a ρ0 (vedi Eq. (4.49)
[ρ0 , π0 ] = i.
105
(B.7)
106
APPENDICE B. OPERATORE DI CAMPO PER EDGE FINITO
La costante α nalla (B.5) è per ora arbitraria, ma sarà presto definita. Notare che nella
(B.4) ho introdotto un fattore di cut-off sui momenti che risulta necessario per rendere
convergenti le grandezze che calcolerò in seguito.
Calcolo ora esplicitamente il commutatore
[ϕf (x), ϕf (y)] .
(B.8)
Si ha, utilizzando le relazioni (4.51),
[ϕf (x), ϕf (y)] =
"
!
#
a
a
2πν X
i
i
i
i
†
†
− √ ak eikx + √ ak e−ikx e− 2 |k| , − √ aq eiqy + √ ak e−iqy e− 2 |q| =
L k,q>0
q
q
k
k
i
i
1 h
2πν X
1 h
†
i(kx−qy) −ak
†
−i(kx−qy) −ak
√
√
ak , aq e
e
−
ak , aq e
e
=
L k,q>0
kq
kq
2πν X 1 ik(x−y) −ak 1 −ik(x−y) −ak
e
e
− e
e
=
L k>0 k
k
ν
∞ X
1
n=1
n
i 2πn
(x−y) −a 2πn
L
L
e
e
2πn
2πn
1
− e−i L (x−y) e−a L
n
(B.9)
dove nell’ultimo passaggio ho tenuto conto del fatto che in un edge finito gli impulsi sono
quantizzati come
2π
k=
n
(B.10)
L
con n ∈ N. La relazione precedente si ritrova in letteratura [55] ed è tale per cui, nel
limite a L, si ha
ν
X 1
n>0
n
i 2πn
(x−y) −a 2πn
L
L
e
2πiν arctan(
e
2πn
2πn
1
− e−i L (x−y) e−a L
n
≈
(B.11)
x−y
2πνi
2πνi
a→0
)−
(x − y) −→ iπνsign(x − y) −
(x − y).
a
L
L
Si avrà quindi che
[ϕ(x), ϕ(y)]a→0 = iπνsign(x − y) −
2πνi
(x − y) + [ϕ0 (x), ϕ0 (y)] .
L
(B.12)
Come vedremo la richiesta per il commutatore (B.12) è che questo, indipendentemente da
L, valga
[ϕ(x), ϕ(y)] = iπνsign(x − y).
(B.13)
Per fare ciò occorre che, nella (B.12), si abbia
[ϕ0 (x), ϕ0 (y)] =
2πνi
(x − y)
L
(B.14)
107
Sostituendo l’espressione (B.5) nella (B.7) si determina il parametro α
α = −ν.
(B.15)
Abbiamo cosı̀
2π
xρ0 − νπ0 .
(B.16)
L
Riassumendo i principali risultati ottenuti in questa Appendice si ha che il campo progressivo ϕ(x) può essere scritto nella forma
ϕ0 (x) =
ϕ(x) = ϕf (x) + ϕ0 (x)
(B.17)
[ϕ(x), ϕ(y)] = iπνsign(x − y).
(B.18)
con
e ϕf (x) e ϕ0 dati rispettivamente dalla (B.4) e dalla (B.16). Analogamente per il campo
regressivo ϕ(−) (x) è possibile dimostrare
(−)
(−)
ϕ(−) (x) = ϕf (x) + ϕ0 (x)
dove
(−)
ϕf (x)
r
=
2πν X
i (−) −ikx
i † (−) ikx − a |k|
√
√
e
e 2
−
a e
+
a
L k>0
k k
k k
e
(−)
ϕ0 (x) =
2π (−)
(−)
xρ0 + νπ0 .
L
(B.19)
(B.20)
(B.21)
L’equivalente della (B.18) è dato da
h
i
ϕ(−) (x), ϕ(−) (y) = −iπνsign(x − y).
(B.22)
Concludo questa Appendice notando che per un sistema la cui densità lagrangiana assume
la generica forma
1
L(±) = ∓
∂x ϕ(±) ∂t ϕ(±) − v(∂x ϕ(±) )2 ,
(B.23)
4πg
dove g è un coefficiente arbitrario, i commutatori precedenti si generalizzano come
h
i
ϕ(±) (x), ϕ(±) (y) = iπgsign(x − y).
(B.24)
108
APPENDICE B. OPERATORE DI CAMPO PER EDGE FINITO
Appendice C
Funzioni di correlazione
In questa Appendice calcolo il valor medio termodinamico della funzione di correlazione
(±)
dell’operatore di campo bosonico ϕi (x, t) nel limite L → ∞
(±)
Wi (x, t)
=
D
E
(±)
(±)
ϕi (x, t)ϕi (0, 0)
T
−
(±) 2
ϕi (0, 0)
.
(C.1)
T
Ho indicato con (±) l’indice relativo alla propagazione progressiva (+) e regressiva (−) e
con i = C, N il tipo di campo possibile. Come visto, nel caso più generale della sequenza
(±)
(±)
di Jain sono possibili sia campi ‘carichi’ ϕC (x, t) che neutri ϕN (x, t), mentre per la
sequenza di Laughlin esiste solamente un campo carico. Volutamente rimango in questa
Appendice il più generale possibile il modo da utilizzare il risultato che otterrò per tutti
questi campi.
Le hamiltoniane associate a questi campi e che inducono la loro dinamica sono
(±)
Hi
vi
=
4πgi
Z
+∞
−∞
(±)
dx(∂x ϕi (x))2 ,
(C.2)
e i campi hanno commutatori
h
(±)
(±)
i
ϕi (x), ϕi (y) = ±igi πsign(x − y).
(C.3)
Ho indicato con gi un parametro che discrimina fra i vari campi. Ad esempio, nel caso del
campo carico (i = C) si ha vC per la velocità e gC = ν, mentre eventuali campi neutri
(i = N ) hanno velocità vN e gN = 1.
L’evoluzione dei campi in trasformata di Fourier nel limite di edge infinito L → ∞ è data
da
(+)
ϕi (x, t)
(−)
ϕi (x, t)
r
=
r
=
2πgi X
i (+) ik(x−vt)
i † (+) −ik(x−vt) − a |k|
− √ ak e
+ √ ak e
e 2
L k>0
k
k
(C.4)
a
(−)
2πgi X
i (−)
i
− √ ak e−ik(x+vt) + √ a†k eik(x+vt) e− 2 |k|
L k>0
k
k
(C.5)
2πn
con k =
e a cut-off sui momenti che verrà mandato a zero alla fine del calcolo. I modi
L
zero non compaiono più dal momento che considero un edge infinito.
109
110
APPENDICE C. FUNZIONI DI CORRELAZIONE
(+)
Considero per ora i modi progressivi. Inserendo la (C.4) nella definizione di Wi
(C.1) ottengo
(+)
Wi
(x, t)
(x, t) =
*
#+
"
a
2πgi X
i † −ik(x−vt)
i
i
i †
ik(x−vt)
+ √ ak e
− √ aq + √ aq
e− 2 (k+q)
− √ ak e
L k,q>0
q
q
k
k
T
(C.6)
#+
*
"
a
i †
i
i †
2πgi X
i
e− 2 (k+q) .
−
− √ ak + √ ak − √ aq + √ aq
L k,q>0
q
q
k
k
T
La media termodinamica agisce solo sugli operatori di creazione e distruzione; posso
pertanto scrivere
(+)
Wi
(x, t) =
h
i
E h
i
2πgi X
1 D
1
− √ hak aq iT eik(x−vt) − 1 + √
ak a†q
eik(x−vt) − 1
T
L k,q>0
kq
kq
i a
i
1 D † E h −ik(x−vt)
1 D † † E h −ik(x−vt)
ak aq
ak aq
e
− 1 e− 2 (k+q) .
+√
e
−1 − √
T
T
kq
kq
(C.7)
Tenuto conto del fatto che i modi fononici seguono la statistica di Bose i valori medi
precedenti sono dati da
D
E
hak aq iT = a†k a†q
D
D
a†k aq
E
ak a†q
E
T
T
1
δk,q
eβvk − 1
=
eβvk
δk,q .
eβvk − 1
(+)
2πgi X e−ak
=
L k>0 k
(
h
−ik(x−vt)
e
=0
=
Sostituendo questa nella relazione per Wi
(+)
Wi (x, t)
T
(C.8)
(x, t) ottengo
i
−1
1
eβvk − 1
h
ik(x−vt)
+ e
eβvk
− 1 βvk
e
−1
i
)
.
(C.9)
Passando al continuo e procedendo in modo analogo per i modi regressivi si ottiene
(±)
Wi
(x, t) = −gi
Z
+∞
dk
0
e−ak
k
βvi k
∓ i sin k(x ∓ vi t) . (C.10)
2
[1 − cos k(x ∓ vi t)] coth
Questi integrali sono ampiamente discussi nel contesto di sistemi quantistici dissipativi
[50]. Se, come nel caso in esame, il cut-off è esponenziale tali oggetti possono essere
calcolati in termini di funzioni speciali. Si ha [51]

(±)
Wi
(z± ) = −gi ln 

Γ2 (1 + κi )
κi Γ(κi ±
iz±
β )Γ(1
+ κi ∓
iz±
β )

(C.11)
111
con
κi =
kB T
a
= (c)
βvi
ωi
(C.12)
x
∓ t,
vi
(C.13)
e
z± =
vi
(c)
dove con ωi =
ho indicato il cut-off sulle frequenze. Si noti che a parità di cut-off a
a
sui momenti, nel caso in cui valga vN vC , si ricava
(c)
(c)
ωN ωC .
(C.14)
In questo modo si ha che il cut-off sui modi neutri risulta molto più piccolo rispetto a
quello del modo carico. La funzione Γ(x) di Eulero nella (C.11) è data da [52]
+∞
Z
Γ(x) =
dzz x−1 e−z .
(C.15)
0
A questo punto considero due casi limite che saranno di interesse per la valutazione della
(c)
corrente. Il primo caso corrisponde al limite κi 1 (kB T ωi ), il secondo ad un’es(c)
pansione asintotica per κi 1 (kB T ωi ).
Considero il primo limite per il quale si ha l’espansione
κi 1
(±)
Wi (z± ) −→
(κi ± i zβ± )
"
−gi ln
#
κi Γ(1 ± i zβ± )Γ(1 ∓ i zβ± )
,
(C.16)
ottenuta tenendo conto della relazione valida per la funzione di Eulero
Γ(1 + x) = xΓ(x).
(C.17)
Richiamando l’ulteriore relazione
Γ(1 + ix)Γ(1 − ix) =
πx
sinh πx
(C.18)
si arriva all’espressione
κi 1
(±)
Wi (z± ) −→
"
−gi ln
(κi ± i zβ± ) sinh π zβ±
κi π zβ±
#
,
(C.19)
che, separando parte reale e parte immaginaria, diviene
"
(±)
Wi (z± )
= −gi ln (1 +
(c)
Considerando il regime z± ωi
2
2 (c) 21
z±
ωi )
π zβ±
#
h
(c)
∓ igi arctan z± ωi
i
.
(C.20)
1 la (C.20) si semplifica ulteriormente e si arriva a
"
(±)
Wi (z± )
sinh π zβ±
(c)
βωi
≈ −gi ln
π
#
π
π
sinh(|z± | ) ∓ igi sign(z± ).
β
2
(C.21)
112
APPENDICE C. FUNZIONI DI CORRELAZIONE
La (C.21) sarà quindi utilizzata nei limiti
(c)
βωi
(c)
1;
ωi z± 1.
(C.22)
(c)
Considero ora il limite opposto κi 1 (βωi 1) e riparto dalla (C.16). Usando
l’espansione asintotica della funzione Γ(x) di Eulero
1
1
ln Γ(x) ≈ (x − ) ln x − x + ln 2π
2
2
(C.23)
si ha
(±)
Wi (z± )
≈ −gi −κi ln(1 +
z±
(c)
(c)
arctan z± ωi
± i arctan z± ωi
.
+2
β
(C.24)
1 si ottiene
2
2 (c)
z±
ωi )
(c)
Se considero anche la condizione z± ωi

(c)
z2 ω
(±)
Wi (z± ) ≈ −gi  ± i
β
(c)

ω
(c)
→0
(c)
i
± iz± ωi  −→
0
(C.25)
(±)
Quindi nel limite z± ωC → 0 non ho alcun contributo finito proveniente da Wi
(z± ).
Appendice D
Rate di tunneling per il campo
carico
In questa Appendice intendo calcolare esplicitamente un integrale della forma
#−2γ Z
"
βω (c)
I=
π
+∞
iqV t
πt
sin i
β
dte
−∞
−2γ
.
(D.1)
Questa espressione si può ricondurre a quella per il rate di tunneling (5.54) con γ = ηr2 ν,
Qqp = νe e Qe = e dal momento che vale la relazione
t
|t|
π
= ln sinh π
+ i sign(t).
β
β
2
ln sin iπ
(D.2)
Posso dividere questo integrale in due parti che tratterò separatamente
"
ΦA =
"
ΦB =
βω (c)
π
#−2γ Z
βω (c)
π
#−2γ Z
+∞
iqV t
π i −πt
t
− e β − eβ
2
dte
0
0
iqV t
dte
−∞
π i −πt
t
− e β − eβ
2
−2γ
(D.3)
−2γ
(D.4)
Considero in primo luogo la (D.3). Essa può essere riscritta nella forma
"
−iπγ
ΦA = e
βω (c)
2π
#−2γ Z
+∞
h
γ − 2π
t
β
dteiqV t e
i
− 2π
t −2γ
β
1−e
.
(D.5)
0
Posso ora operare la sostituzione
t=
β 0
t
2π
(D.6)
in modo tale da arrivare all’espressione
"
−iπγ
ΦA = e
βω (c)
2π
#−2γ
β
2π
Z
+∞
β
0
h
0
dt0 eiqV ( 2π t ) e−γt 1 − e−t
i−2γ
.
(D.7)
0
Operando l’ulteriore cambio di variabili
0
e−t = x,
113
(D.8)
114
APPENDICE D. RATE DI TUNNELING PER IL CAMPO CARICO
l’integrale diviene
"
−iπγ
ΦA = e
βω (c)
2π
#−2γ
β
2π
Z
1
qV β
dx x(γ−i 2π −1) [1 − x](−2γ) .
(D.9)
0
Richiamo ora la definizione della funzione B(m, n) [52]
Z
1
B(m, n) =
xm−1 (1 − x)n−1 .
(D.10)
0
Osservo che l’integrale (D.9) è scritto nella forma (D.10); il suo valore sarà pertanto
"
−iπγ
ΦA = e
βω (c)
2π
#−2γ
β
qV β
B(γ + i
, −2γ + 1).
2π
2π
(D.11)
Per il termine (D.4) si procede in analogia con quanto appena fatto modificando opportunamente i cambi di variabile. Si giunge cosı̀ all’espressione
"
iπγ
ΦB = e
βω (c)
2π
#−2γ
β
qV β
B(γ − i
, −2γ + 1).
2π
2π
(D.12)
Voglio ora passare a dare una descrizione delle equazioni (D.11) e (D.12) in termini di
funzioni Γ di Eulero. A tal fine considero la relazione [52]
B(m, n) =
Γ(m)Γ(n)
.
Γ(m + n)
(D.13)
Tale relazione perde validità nei punti in cui le funzioni Γ non sono definite cioè dove m,
n e m + n sono nulli o corrispondono ad un intero negativo. Sostituendo nella (D.11) si
ricava
"
#−2γ
qV β
(c)
Γ
γ
−
i
Γ(−2γ + 1)
βω
β
2π
ΦA = e−iπγ
.
(D.14)
2π
2π
Γ −γ + i qV β + 1
2π
Proseguendo col calcolo in esame, ipotizzando di essere nel corretto dominio di validità
per tutte le funzioni Γ di Eulero presenti nella relazione, posso applicare la proprietà
fondamentale di queste ultime
Γ(x + 1) = xΓ(x).
(D.15)
La (D.11) può essere riscritta pertanto come
"
ΦA = e−iπγ
βω (c)
2π
#−2γ
β
Γ γ − i qV
Γ(−2γ)
β
(2γ)
2π
.
β
β
2π (γ + i qV
Γ −γ + i qV
2π )
2π
Utilizzando la relazione
Γ(x)Γ(−x) = −
π
x sin(πx)
(D.16)
(D.17)
arrivo ad avere
"
ΦA = e−iπγ
#−2γ
βω (c)
2π
qV β 2
qV β
Γ(γ
+
i
)
β
2π sin(πγ + i 2 )
2π
Γ(2γ)
sin(2πγ)
(D.18)
115
nella quale ho tenuto conto del fatto che per la funzione Γ vale
Γ̄(z) = Γ(z̄).
(D.19)
Procedendo in modo del tutto analogo per la (D.12) ottengo
"
ΦB = eiπγ
βω (c)
2π
#−2γ
2
qV β
β Γ(γ + i 2π ) sin(πγ − i qV2 β )
.
2π
Γ(2γ)
sin(2πγ)
(D.20)
A questo punto sono in grado di valutare la somma
I = ΦA + ΦB = e
qV β
2
"
#−2γ
βω (c)
2π
qV β 2
Γ(γ
+
i
)
β
2π 2π
Γ(2γ)
.
(D.21)
La (D.13) non è valida per n e m nulli o interi negativi. Operando tuttavia una continuazione analitica si ottiene anche in questi casi la stessa espressione per l’integrale
I.
116
APPENDICE D. RATE DI TUNNELING PER IL CAMPO CARICO
Ringraziamenti
Volevo iniziare con un doveroso ringraziamento ai miei relatori Maura Sassetti e Nicodemo
Magnoli per la fiducia e la pazienza che hanno avuto con me in questi mesi. Le loro spiegazioni mi hanno permesso di arrivare a comprendere almeno in parte quell’affascinante e
complesso mondo che è l’Effetto Hall Quantistico e i loro consigli e le loro rassicurazioni
sono state davvero preziose nei momenti di sconforto a cui sono andato incontro in questi
mesi.
Un altro grazie speciale va a Matteo per il tempo che mi ha dedicato, per le sue correzioni
e le sue spiegazioni che sono state fondamentali per il mio lavoro.
Un grande grazie va anche al mio correlatore Nicola Maggiore che è stato molto attento
nel leggere il mio lavoro e ascoltare le mie spiegazioni e mi è stato d’aiuto nel cercare di
rendere più comprensibili varie parti contorte e criptiche della mia tesi.
Fra le persone che hanno contribuito a darmi una mano nello scrivere la tesi devo ringraziare
Riccardo, il mio compagno di ufficio, che mi ha fornito un importante sostegno per comprendere i segreti del LateX.
Visto che sono alla fine di questo percorso universitario non posso non ringraziare tutti i
miei amici e compagni di corso. Non voglio fare un elenco perchè finirei per scordare e
fare un torto a qualcuno. Il mio grazie va a tutti, sia a quelli con cui ho stretto una solida
amicizia da subito, sia a chi ho ‘scoperto’ solo di recente, sia infine a quelli con cui ci sono
stati alti e bassi in questi anni.
Devo tantissimo anche alla mia famiglia. A mio padre e mia madre che con i loro sacrifici
mi hanno permesso di arrivare a questo punto e ai miei fratelli Laura e Alessandro che
mi hanno sopportato in ogni condizione di umore e di stress e che mi hanno dato la forza
di andare avanti. Fra tutti i miei parenti che hanno creduto in me, e che ringrazio di
cuore, un grazie particolare va ai miei cugini: Eddy che, nonostante i momenti di rotta e
le incomprensioni degli ultimi tempi resta sempre il mio migliore amico, e Chiara che ce
l’ha fatta superando una sfida al cui confronto la mia svanisce.
Gli ultimi ringraziamenti, i più sentiti, vanno alla mia piccola Sabrina che ormai da due
anni mi sostiene e crede in me più di chiunque altro. Mi spiace che questi ultimi mesi
siano stati duri sia per me che per lei, ma sono contento di averla avuta vicino e spero che
vada avanti cosı̀ per molto tempo.
117
118
RINGRAZIAMENTI
Bibliografia
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