2 LS
Fila A
1. Determina l’insieme delle soluzioni reali per ciascuna delle seguenti equazioni:
2 x ( x − 2) x + 3 ( x − 1) 2
+
=
5
10
2
1
4− x
2
+ 2
= 2
x − 2x x + 2x x − 4
2
x 2 + 11x − 70 x − 7 x + 7
+
=
x2 − 9
3− x x + 3
N.B. Ciascun procedimento risolutivo si deve concludere con la frase. “L'insieme delle soluzioni è...”
2 x ( x − 2) x + 3 ( x − 1) 2
+
=
5
10
2
1.a)
Trasformando le frazioni allo stesso denominatore 10 e moltiplicando per 10 a primo e secondo membro,
l'equazione risulta equivalente a:
4 x( x − 2) + x + 3 = 5( x − 1) 2 ⇒ 4 x 2 − 8 x + x + 3 = 5 x 2 − 10 x + 5
da cui si ricava:
− x 2 + 3x − 2 = 0 ⇒ x 2 − 3x + 2 = 0
le cui soluzioni sono x1=1 e x2=2.
1.b)
1
4− x
2
+ 2
= 2
x − 2x x + 2x x − 4
2
Trasformando le frazioni allo stesso denominatore x(x-2)(x+2) e moltiplicando al primo e secondo membro
per x(x-2)(x+2) , sotto la condizione x ≠ 0, x ≠ ±2 l'equazione risulta equivalente a:
x + 2 + (4 − x )( x − 2) = 2 x, C.E.x ≠ 0,± 2 ⇒ x + 2 + 4 x − 8 − x 2 + 2 x = 2 x
da cui si ricava
− x2 + 5x − 6 = 0 ⇒ x2 − 5x + 6 = 0
le cui soluzioni sono x1 = 3 e x2 = 2. Di queste però solo la prima appartiene al C.E. dell'equazione fratta.
1c)
x 2 + 11x − 70 x − 7 x + 7
+
=
x2 − 9
3− x x + 3
Osservato che tra i fattori al denominatore ce ne sono due di opposti: x – 3 e 3 – x , in primo
luogo conviene riscrivere l'equazione scegliendo uno dei fattori e facendo un opportuno cambio di
segno:
x 2 + 11x − 70 x − 7 x + 7
−
=
x2 − 9
x− 3 x+ 3
Trasformando le frazioni allo stesso denominatore (x-3)(x+3) e moltiplicando per (x-3)(x+3) al primo e
secondo membro, sotto la condizione x ≠ ±3 l'equazione risulta equivalente a:
x 2 + 11x − 70 − ( x − 7 )( x + 3) = ( x + 7 )( x − 3) , C.E.x ≠ ± 3
da cui si ricava:
e quindi:
x 2 + 11x − 70 − ( x 2 + 3 x − 7 x − 21) = x 2 − 3 x + 7 x − 21 ⇒ 15 x − 49 = x 2 + 4 x − 21
− x 2 + 11x − 28 = 0 ⇒ x 2 − 11x + 28 = 0
le cui soluzioni sono x1 = 4
e x2 = 7, entrambe appartenenti al C.E. dell'equazione fratta.
2. Semplifica le frazioni algebriche:
2 x 2 + 3x − 2
x2 − x − 6
2x2 − x − 3
2 x 2 − 5x + 3
Per poter “semplificare” una frazione (cioè dividerne numeratore e denominatore per uno o più
fattori comuni) occorre prima scomporre in fattori i termini delle frazioni. Osservato che sono tutti
trinomi di 2° grado, si può ricorrere alla formula generale di scomposizione dei trinomi di 2°
grado:
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − 2 ) essendo x1 e x2 le soluzioni dell'equazione di 2° grado associata al
trinomio:
ax 2 + bx + c = 0 ; quindi, condizione necessaria affinchè un trinomio risulti scomponibile è che
risulti b2 – 4ac ≥ 0
2a) Scomposizione di 2x2 + 3x – 2 :
equazione associata 2x2 + 3x – 2 = 0 le cui soluzioni sono x1 = ½ e x2 = - 2 , pertanto la
scomposizione è 2x2 + 3x – 2 = 2(x – 1/2)(x - (-2)) = (2x – 1)(x + 2)
N.B. È opportuno eseguire la moltiplicazione 2(x – ½) in modo da ottenere coefficienti interi!
Scomposizione di x2 – x – 6 :
equazione associata x2 – x – 6 = 0 le cui soluzioni sono x1 = – 2 e x2 = 3 , pertanto la
scomposizione è x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3)
La semplificazione richiesta allora é:
2 x 2 + 3x − 2
(2 x − 1)( x + 2)
2x − 1
⇒
⇒
2
x − x− 6
( x − 3)( x + 2)
x− 3
2b) Scomposizione di 2x2 – x – 3 :
equazione associata 2x2 – x – 3 = 0 le cui soluzioni sono x1 = 3/2 e x2 = – 1 , pertanto la
scomposizione è 2x2 – x – 3 = 2(x – 3/2)(x - (-1)) = (2x – 3)(x + 1)
N.B. È opportuno eseguire la moltiplicazione 2(x – 3/2) in modo da ottenere coefficienti interi!
Scomposizione di 2x2 –5 x + 3 :
equazione associata 2x2 –5 x + 3 = 0 le cui soluzioni sono x1 = 3/2 e x2 = 1 , pertanto la
scomposizione è 2x2 – 5 x + 3 = 2(x – 3/2)(x – 1)
La semplificazione richiesta allora é:
2x2 − x − 3
(2 x − 3)( x + 1)
x+ 1
⇒
⇒
2
2 x − 5x + 3
(2 x − 3)( x − 1)
x− 1
3. Scrivi per ciascuno dei seguenti casi un’equazione di 2° grado nell’incognita x in modo che
siano soddisfatte le condizioni richieste:
a. le soluzioni sono x1 = –1/3 x2 = 5
Si può scrivere un'equazione che abbia le due soluzioni richieste, ricordando che esse sono anche
gli zeri del trinomio di secondo grado della forma standard dell'equazione di 2° grado:
ax2 + bx +c = 0
che pertanto si può pensare scomposto nel prodotto:
a(x – x1)(x – x2) [cfr. scomposizione del trinomio di 2° grado].
Quindi un'equazione che soddisfi la richiesta si può ottenere da:
a(x + 1/3)(x-5) = 0
scegliendo per il coefficiente a un qualunque valore reale non nullo.
In alternativa, noti x1 e x2 si possono calcolare x1 + x2 e x1x2 e attraverso le note relazioni con i
coefficienti risalire a possibili valori di a, b, c.
Nel caso specifico, x1 + x2 = -1/3 + 5 = 14/3 e x1x2 = (-1/3)5 = - 5/3. Da cui, dovendo essere:
-b/a = 14/3 e c/a = -5/3, possibili valori dei coefficienti sono: a = 3, b = -14, c = -5 e, più in
generale, a = 3k, b = -14k, c = -5k con k numero reale non nullo.
b. l’equazione ha un’unica soluzione x0 = 4/5
Un'equazione di 2° grado che ha un'unica soluzione (o meglio, due soluzioni coincidenti) ha il
discriminante nullo e il trinomio della sua forma standard è riconducibile al quadrato di un
binomio. Nel caso specifico: a(x – 4/5)2 = 0, con a reale e non nullo.
c. la somma delle soluzioni è uguale a 5 e il loro prodotto è uguale a 3
Basta ricondursi al problema di trovare due numeri di cui si conoscono la somma s e il prodotto
p. Essi, se esistono in R, sono le soluzioni dell'equazione: x2 – sx + p = 0. Pertanto l'equazione
richiesta è: x2 – 5x + 3 = 0
4. Quali sono i due numeri reali la cui somma e il cui prodotto corrispondono rispettivamente al
giorno e al mese della presa della Bastiglia1 ?
E' analogo al caso c) dell'esercizio precedente, posti s = 14 e p = 7. I numeri richiesti si trovano
risolvendo l'equazione: x2 – 14x + 7 = 0
x1/ 2 =
14 ± 168
2
5. Determina la somma e il prodotto delle soluzioni della seguente equazione di II grado:
4 ⋅ 10 20 x 2 − 5 ⋅ 10 22 x − 8 ⋅ 10 21 = 0
Ricordando le due relazioni x1 + x2 = -b/a e x1x2 = c/a è sufficiente calcolare i due rapporti:
− (− 5 ⋅ 10 22 ) 5 ⋅ 10 2
=
= 125
4 ⋅ 10 20
4
− 8 ⋅ 10 21 − 80
x1 ⋅ x2 =
=
= − 20
4 ⋅ 10 20
4
x1 + x2 =
6. Scrivi un’equazione il cui insieme delle soluzioni sia: { -3, 5, 1/2 }. Qual è il grado minimo
dell'equazione? Spiega perché il grado non può essere 4, mentre potrebbe essere 5.
Procedimento analogo all'esercizio 3a); un'equazione si può ottenere da:
a(x + 3)(x – 5)(x – ½) = 0 (*)
scelto per a un valore reale non nullo.
1
Parigi, 14 luglio 1789 (inizio della Rivoluzione Francese)
L'equazione è di terzo grado, essendo il primo membro il prodotto di tre binomi di primo grado.
Non si può ottenere un'equazione di quarto grado equivalente alla (*) perché, essendo il primo
membro di terzo grado, vorrebbe dire moltiplicare per un binomio di 1° grado e quindi aggiungere
una soluzione all'insieme dato, cioè lo zero del binomio stesso.
Si può invece ottenere un'equazione equivalente di 5° grado moltiplicando la (*) per un polinomio
di 2° grado irriducibile, per esempio: x2 + 1.
7. Due numeri primi si definiscono gemelli se la loro differenza è 2: sono tali, per esempio, 3 e 5
oppure 11 e 13 o anche 17 e 19.
Trova la coppia di numeri primi gemelli per i quali risulta che la somma dei rispettivi quadrati è
uguale a 7202.
Se con n si indica il più piccolo dei due numeri primi gemelli, n + 2 rappresenta il secondo;
l'equazione risolvente allora è:
n2 + (n + 2)2 = 7202
equivalente a:
2n2 + 4n – 7198 = 0 le cui soluzioni
sono: n1 = – 61 e n2 = 59.
Dovendo essere n ∈ N, la soluzione accettabile è n2 e i due numeri primi gemelli sono 59 e 61.
Se con n si fosse indicato il maggiore dei due numeri primi, l'equazione sarebbe stata:
n2 + (n – 2)2 = 7202
equivalente a:
2n2 – 4n – 7198 = 0 le cui soluzioni
sono: n1 = 61 e n2 = –59. In tal caso la soluzione accettabile sarebbe stata n1.
8. Determina il lato di un quadrato sapendo che, se si raddoppia la sua base e si diminuisce di 8 m
la sua altezza, il rettangolo ottenuto ha l'area inferiore di 48 m2 rispetto a quella del quadrato.
Indicata con x la lunghezza del alto del quadrato e ricordate le formule di calcolo dell'area di un
quadrato e di un rettangolo, l'equazione risolvente è:
2x(x – 8) = x2 – 48 , con il vincolo x > 8 (perché ...),
equivalente a: x2 – 16x + 48 = 0
le cui soluzioni sono x1 = 4 e x2 = 12. Di queste, solo la seconda rispetta il vincolo geometrico.
Fila B
3. Stabilisci qual è il grado dell’equazione (x – 1)(2x – 3)(3x – 1)(x + 2)(2x + 1) = 0 e il suo
insieme delle soluzioni, spiegando perché è facile determinarlo.
L'equazione è di quinto grado, essendo il primo membro il prodotto di cinque fattori di 1°
grado. Poiché il secondo membro dell'equazione è zero, applicando la legge di annullamento
del prodotto si può facilmente stabilire l'insieme delle soluzioni risolvendo cinque equazioni di
1° grado:
x – 1 = 0 da cui x = 1
2x – 3 = 0 da cui x = 3/2
3x – 1 = 0 da cui x = 1/3
x + 2 = 0 da cui x = 2
2x + 1 = 0 da cui x = - 1.
7. Un numero si definisce automorfo se il suo quadrato termina per il numero stesso: sono
automorfi, per esempio, 5 (52 = 25), 6 (62 = 36), 25 (252 = 625) ecc. Determina due numeri
automorfi sapendo il più grande supera di 51 il più piccolo e che la somma dei loro quadrati
è uguale a 6401.
Se con n si indica il più piccolo dei due numeri automorfi, n + 51 rappresenta il secondo;
l'equazione risolvente allora è:
n2 + (n + 512 = 6401 , con n
equivalente a:
cui soluzioni sono: n1 = – 76 e n2 = 25.
2n2 + 102n – 3800 = 0
le
Dovendo essere n ∈ N, la soluzione accettabile è n2 e i due numeri automorfi sono 25 e 76; infatti
252 = 625 e 762 = 5776.
8. In un parallelogramma gli angoli acuti hanno ampiezza 30°, due lati opposti sono uguali,
ciascuno, alla somma di 2 cm con il doppio di uno degli altri due lati e l'area è di 30 cm2.
Determinare il perimetro del parallelogramma.
Con riferimento alla figura, indicata con x la lunghezza del lato più corto del parallelogramma, la
lunghezza del lato maggiore è 2x + 2 , mentre quella dell'altezza relativa a quest'ultimo è x/2,
essendo il cateto opposto all'angolo di 30° in un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e
60° (ricorda che un triangolo rettangolo con gli angoli di 30° e 60° è metà di un triangolo
equilatero il cui lato coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo.
Ricordata la formula con cui si calcola l'area di un parallelogramma, l'equazione risolvente è:
x/2(2x + 2 ) = 30
equivalente a: x2 + x – 30 = 0
le cui soluzioni sono:
x1 = - 6 e x2 = 5. Di queste solo la seconda rispetta il vincolo geometrico, x > 0; di conseguenza il
perimetro richiesto è 34.
